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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 |
---
license: mit
task_categories:
- graph-ml
language:
- en
size_categories:
- 100M<n<1B
---
# Ramsey Graph
[Live Demo](https://huggingface.co/spaces/linxy/RamseyGraph)
本仓库托管了一些与经典 **拉姆齐数（Ramsey Number）** 相关的图。同时发布到 [Huggingface datasets (linxy/RamseyGraph)](https://huggingface.co/datasets/linxy/RamseyGraph)。你可以使用以下代码获取：
```bash
pip install datasets
```
```python
>>> from datasets import load_dataset
>>> dataset = load_dataset("linxy/RamseyGraph", "r44_3", trust_remote_code=True)
>>> for i in dataset["train"]:
>>> print(i)
{'edges': [], 'num_nodes': 3}
{'edges': [[1, 2]], 'num_nodes': 3}
{'edges': [[0, 2], [1, 2]], 'num_nodes': 3}
{'edges': [[0, 1], [0, 2], [1, 2]], 'num_nodes': 3}
```
`r44_3` 指 Ramsey(4,4) 图中 3 个顶点的图。以下是所有数据集的名称：
```python
['r34_1', 'r34_2', 'r34_3', 'r34_4', 'r34_5', 'r34_6', 'r34_7', 'r34_8',
'r35_1', 'r35_2', 'r35_3', 'r35_4', 'r35_5', 'r35_6', 'r35_7', 'r35_8', 'r35_9', 'r35_10', 'r35_11', 'r35_12', 'r35_13',
'r36_1', 'r36_2', 'r36_3', 'r36_4', 'r36_5', 'r36_6', 'r36_7', 'r36_8', 'r36_9', 'r36_10', 'r36_11', 'r36_12', 'r36_13', 'r36_14', 'r36_15', 'r36_16', 'r36_17',
'r37_21', 'r37_22',
'r38_27',
'r39_35',
'r44_1', 'r44_2', 'r44_3', 'r44_4', 'r44_5', 'r44_6', 'r44_7', 'r44_8', 'r44_9', 'r44_10', 'r44_11', 'r44_12', 'r44_13', 'r44_14', 'r44_15', 'r44_16', 'r44_17',
'r45_24',
'r46_35some',
'r55_42some']
```
# 介绍
| 一个 6 结点的 Ramsey(4, 4) 图及其补图 |
| --------------- |
|  |
| 它不包含 4 个顶点的完全子图，也不包含 4 个顶点的完全独立集。 |
**Ramsey(s,t,n) 图** 是具有 $n$ 个顶点的图，它不包含大小为 $s$ 的团，也不包含大小为 $t$ 的独立集。通常将 `n` 省略，用 **Ramsey(s,t) 图** 代指某些 $n$ 的 Ramsey(s,t,n) 图。 **Ramsey 定理**表示，对于给定的 $s$ 和 $t$，Ramsey(s,t) 图的数量是有限的。我们称满足 Ramsey 图的最小顶点数为**拉姆齐数（Ramsey Number）**。然而，找到所有这样的图，甚至确定它们存在的最大 $n$，都是一个著名的组合数学难题。
人类已知的拉姆齐数非常有限，大部分只能知道该数的上界和下界。一个方法是寻找最大 Ramsey 图，它的顶点数就是 Ramsey 数的下界。
如果你对这个主题感兴趣，可以尝试找一下 **最大的 Ramsey(5,5) 图**。人们已经将 42 顶点的 Ramsey(5,5) 图全部找到了，但是不确定有没有 43 顶点的 Ramsey(5,5) 图。拉姆齐数 Ramsey(5,5) 的下界最后一次被改进是在 1989 年。只要你找到一个，那就是这个领域 35 年来的重要进展！
> 有关 Ramsey 图的最新研究，请参见 **Radziszowski** 的动态综述，持续更新刊登于 [**电子组合学期刊**](https://www.combinatorics.org)。
## Ramsey 数
**Ramsey 数** 是指满足 Ramsey 图的最小顶点数。以下是一些已知的 Ramsey 数：
| s\t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | ------- | --------- | --------- | ---------- | ---------- | ----------- |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | - | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | - | - | 6 | 9 | 14 | 18 | 23 | 28 | 36 | 40 - 41 |
| 4 | - | - | - | 18 | 25 | 36 - 40 | 49 - 58 | 59 - 79 | 73 - 106 | 92 - 136 |
| 5 | - | - | - | - | 43 - 48 | 59 - 85 | 80 - 133 | 101 - 194 | 133 - 282 | 149 - 381 |
| 6 | - | - | - | - | - | 102 - 161 | 115 - 273 | 134 - 427 | 183 - 656 | 204 - 949 |
| 7 | - | - | - | - | - | - | 205 - 497 | 219 - 840 | 252 - 1379 | 292 - 2134 |
| 8 | - | - | - | - | - | - | - | 282 - 1532 | 329 - 2683 | 343 - 4432 |
| 9 | - | - | - | - | - | - | - | - | 565 - 5366 | 581 - 9797 |
| 10 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 798 - 17730 |
## 进展
目前人们已经找到了许多 Ramsey 图，但仍有许多图尚未找到。以下是一些已知的 Ramsey 图：
| 顶点数 | Ramsey(3,4) | Ramsey(3,5) | Ramsey(3,6) | Ramsey(4,4) 图 |
| ------ | ------------------------ | -------------------------- | ------------------------------------------- | -------------------------------------------- |
| 1 | [1 个图](data/r34_1.g6) | [1 个图](data/r35_1.g6) | [1 个图](data/r36_1.g6) | [1 个图](data/r44_1.g6) |
| 2 | [2 个图](data/r34_2.g6) | [2 个图](data/r35_2.g6) | [2 个图](data/r36_2.g6) | [2 个图](data/r44_2.g6) |
| 3 | [3 个图](data/r34_3.g6) | [3 个图](data/r35_3.g6) | [3 个图](data/r36_3.g6) | [4 个图](data/r44_3.g6) |
| 4 | [6 个图](data/r34_4.g6) | [7 个图](data/r35_4.g6) | [7 个图](data/r36_4.g6) | [9 个图](data/r44_4.g6) |
| 5 | [9 个图](data/r34_5.g6) | [13 个图](data/r35_5.g6) | [14 个图](data/r36_5.g6) | [24 个图](data/r44_5.g6) |
| 6 | [15 个图](data/r34_6.g6) | [32 个图](data/r35_6.g6) | [37 个图](data/r36_6.g6) | [84 个图](data/r44_6.g6) |
| 7 | [9 个图](data/r34_7.g6) | [71 个图](data/r35_7.g6) | [100 个图](data/r36_7.g6) | [362 个图](data/r44_7.g6) |
| 8 | [3 个图](data/r34_8.g6) | [179 个图](data/r35_8.g6) | [356 个图](data/r36_8.g6) | [2079 个图](data/r44_8.g6) |
| 9 | | [290 个图](data/r35_9.g6) | [1407 个图](data/r36_9.g6) | [14701 个图](data/r44_9.g6) |
| 10 | | [313 个图](data/r35_10.g6) | [6657 个图](data/r36_10.g6) | [103706 个图 (压缩文件)](data/r44_10.g6.gz) |
| 11 | | [105 个图](data/r35_11.g6) | [30395 个图 (压缩文件)](data/r36_11.g6.gz) | [546356 个图 (压缩文件)](data/r44_11.g6.gz) |
| 12 | | [12 个图](data/r35_12.g6) | [116792 个图 (压缩文件)](data/r36_12.g6.gz) | [1449166 个图 (压缩文件)](data/r44_12.g6.gz) |
| 13 | | [1 个图](data/r35_13.g6) | [275086 个图 (压缩文件)](data/r36_13.g6.gz) | [1184231 个图 (压缩文件)](data/r44_13.g6.gz) |
| 14 | | | [263520 个图 (压缩文件)](data/r36_14.g6.gz) | [130816 个图 (压缩文件)](data/r44_14.g6.gz) |
| 15 | | | [64732 个图 (压缩文件)](data/r36_15.g6.gz) | [640 个图](data/r44_15.g6) |
| 16 | | | [2576 个图 (压缩文件)](data/r36_16.g6.gz) | [2 个图](data/r44_16.g6) |
| 17 | | | [7 个图](data/r36_17.g6) | [1 个图](data/r44_17.g6) |
- 所有最大 Ramsey(3,7) 图
- [21 个顶点 (压缩文件)](data/r37_21.g6.gz) (1118436 个图，由 **Gunnar Brinkmann** 和 **Jan Goedgebeur** 发现)
- [22 个顶点](data/r37_22.g6) (191 个图)
- 所有最大 Ramsey(3,8) 图
- 1992 年 **McKay** 和 **Zhang** 证明最大 Ramsey(3,8) 图有 27 个顶点，但完整的 Ramsey(3,8,27) 图集直到 2012 年才由 **Gunnar Brinkmann** 和 **Jan Goedgebeur** 确定。
- [27 个顶点 (压缩文件)](data/r38_27.g6.gz) (477142 个图)
- 所有最大 Ramsey(3,9) 图
- 最大 Ramsey(3,9) 图有 35 个顶点，由 **Kalbfleisch** 很久以前发现，但直到 2013 年才证明其唯一性。参见 **Goedgebeur** 和 **Radziszowski** 的[论文](https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v20i1p30)。
- [35 个顶点](data/r39_35.g6) (1 个图)
- 所有最大 Ramsey(4,5) 图
- 1995 年，**McKay** 和 **Radziszowski** 证明不存在超过 24 个顶点的 Ramsey(4,5) 图，并找到了 350904 个 24 顶点的图。剩下的图在 2016 年由 **McKay** 和 **Angeltveit** 发现。总共有 352366 个图，参见 [r45_24.g6](data/r45_24.g6)。
- 已知最大的 Ramsey(4,6) 图
- 2012 年初，**Geoffrey Exoo** 发现了 37 个 Ramsey(4,6,35) 图。这可能还有更多，甚至可能存在 36 到 40 个顶点的图。参见 [r46_35some.g6](data/r46_35some.g6)。
- 已知最大的 Ramsey(5,5) 图
- 1989 年，**Geoffrey Exoo** 发现了几个 Ramsey(5,5,42) 图。**McKay** 和 **Radziszowski** 将其扩展至 656 个图，并推测不可能有更大的图。然而，可能还有更多 42 顶点的图，甚至可能存在 43 到 47 个顶点的图。[r55_42some.g6](data/r55_42some.g6) 包含其中 328 个图，其他 328 个是它们的补图。
- Ramsey(4,4;3)-超图
- **Ramsey(4,4;3) 超图** 是一个 3-均匀超图，不能包含 4-顶点的完全子图，也不能包含 4-顶点的完全独立集。**Steve Butler** 和 **Aaron Wootton** 在 2010 年发现了 42 个这样的超图，每个都有 13 个顶点。
## Thanks
**Gunnar Brinkmann** 和 **Jan Goedgebeur** 的 [**ramsey**](https://users.cecs.anu.edu.au/~bdm/data/ramsey.html) 数据库
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