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@@ -0,0 +1,169 @@
+import gradio as gr
+import os
+import re
+import requests
+import numpy as np
+import torch
+from sklearn.neighbors import NearestNeighbors
+from sentence_transformers import SentenceTransformer
+from transformers import pipeline, AutoTokenizer, AutoModelForCausalLM
+
+# --- CONFIGURATION ---
+HF_TOKEN = os.getenv("HF_TOKEN", "").strip()
+HF_MODEL = "HuggingFaceH4/zephyr-7b-beta"  # Change this if needed
+HF_API_URL = f"https://api-inference.huggingface.co/models/{HF_MODEL}"
+headers = {"Authorization": f"Bearer {HF_TOKEN}"}
+
+FILES = ["main1.txt", "main2.txt", "main3.txt", "main4.txt", "main5.txt", "main6.txt"]
+EMBEDDING_MODEL = "sentence-transformers/all-MiniLM-L6-v2"
+
+EMBEDDING_CACHE_FILE = "embeddings.npy"
+CHUNKS_CACHE_FILE = "chunks.npy"
+
+# --- FUNCTIONS ---
+
+def test_model_connection():
+    try:
+        print("🔍 Testing Hugging Face model availability...")
+        test_response = requests.get(HF_API_URL, headers=headers, timeout=10)
+        print("Status Code:", test_response.status_code)
+        print("Response JSON:", test_response.json())
+    except Exception as e:
+        print("❌ Connection Test Failed:", e)
+
+def load_text_files(file_list):
+    knowledge = ""
+    for file_name in file_list:
+        try:
+            with open(file_name, "r", encoding="utf-8") as f:
+                knowledge += "\n" + f.read()
+        except Exception as e:
+            print(f"Error reading {file_name}: {e}")
+    return knowledge.strip()
+
+def chunk_text(text, max_chunk_length=500):
+    sentences = re.split(r'(?<=[.!?])\s+', text)
+    chunks = []
+    current_chunk = ""
+    for sentence in sentences:
+        if len(current_chunk) + len(sentence) <= max_chunk_length:
+            current_chunk += " " + sentence
+        else:
+            chunks.append(current_chunk.strip())
+            current_chunk = sentence
+    if current_chunk:
+        chunks.append(current_chunk.strip())
+    return chunks
+
+def embed_texts(texts):
+    return model.encode(texts, convert_to_numpy=True, normalize_embeddings=True)
+
+def save_cache(embeddings, chunks):
+    np.save(EMBEDDING_CACHE_FILE, embeddings)
+    np.save(CHUNKS_CACHE_FILE, np.array(chunks))
+
+def load_cache():
+    if os.path.exists(EMBEDDING_CACHE_FILE) and os.path.exists(CHUNKS_CACHE_FILE):
+        embeddings = np.load(EMBEDDING_CACHE_FILE, allow_pickle=True)
+        chunks = np.load(CHUNKS_CACHE_FILE, allow_pickle=True).tolist()
+        print("✅ Loaded cached embeddings and chunks.")
+        return embeddings, chunks
+    return None, None
+
+def retrieve_chunks(query, top_k=5):
+    query_embedding = embed_texts([query])
+    distances, indices = nn_model.kneighbors(query_embedding, n_neighbors=top_k)
+    return [chunks[i] for i in indices[0]]
+
+def build_prompt(question):
+    relevant_chunks = retrieve_chunks(question)
+    context = "\n".join(relevant_chunks)
+
+    system_instruction = """You are an AI-supported financial expert. Your role is to answer questions strictly within the context of the university lecture "Financial Markets" (Universität Duisburg-Essen).
+Important instructions:
+1. Base your answers primarily on the provided lecture excerpts ("lecture_slides").
+2. If an answer is not directly covered by the lecture content, you may elaborate — but **only if you are absolutely certain**. Avoid making up information.
+3. If you are unsure, reply politely: 
+   "Entschuldigung. Leider kenne ich die Antwort auf diese Frage nicht."
+4. If a formula is relevant, show the **exact formula** and explain it in **simple terms**.
+5. Do not give vague or speculative answers — it's better to skip a question than guess.
+6. **Never generate your own questions. Only respond to the given question.**
+7. **Always respond in German.**
+8. Make your answers clear, fact-based, and well-structured.
+"""
+
+    prompt = f"""{system_instruction}
+Vorlesungsinhalte:
+{context}
+--- Ende der Vorlesungsinhalte ---
+Frage des Nutzers (bitte nur diese beantworten): {question}
+Antwort:"""
+    return prompt
+
+def respond(message, history):
+    try:
+        prompt = build_prompt(message)
+        payload = {
+            "inputs": prompt,
+            "parameters": {
+                "temperature": 0.2,
+                "max_new_tokens": 400,
+                "stop": ["Frage:", "Question:", "User:", "Frage des Nutzers"]
+            },
+        }
+
+        response = requests.post(HF_API_URL, headers=headers, json=payload, timeout=60)
+        response.raise_for_status()
+        output = response.json()
+
+        if isinstance(output, list) and "generated_text" in output[0]:
+            generated_text = output[0]["generated_text"]
+            answer = generated_text[len(prompt):].strip()
+        else:
+            print("❗️HF API returned unexpected format:", output)
+            answer = "❌ Modell hat keine gültige Antwort geliefert. Bitte später erneut versuchen."
+
+    except Exception as e:
+        print("API Error:", e)
+        try:
+            print("Raw HF response:", response.text)
+        except:
+            pass
+        answer = "❌ Error contacting the model. Please check your token, timeout, or model availability."
+
+    if history is None:
+        history = []
+
+    history.append({"role": "assistant", "content": answer})
+    return answer
+
+# --- INIT SECTION ---
+
+print("🔄 Initializing embedding model...")
+model = SentenceTransformer(EMBEDDING_MODEL)
+
+chunk_embeddings, chunks = load_cache()
+
+if chunk_embeddings is None or chunks is None:
+    print("🛠 No cache found. Processing text...")
+    knowledge_base = load_text_files(FILES)
+    chunks = chunk_text(knowledge_base)
+    chunk_embeddings = embed_texts(chunks)
+    save_cache(chunk_embeddings, chunks)
+    print("✅ Embeddings and chunks cached.")
+
+nn_model = NearestNeighbors(metric="cosine")
+nn_model.fit(chunk_embeddings)
+
+# --- GRADIO INTERFACE ---
+
+demo = gr.ChatInterface(
+    fn=respond,
+    title="📚 RAG Chatbot Finanzmärkte",
+    description="Stelle Fragen basierend auf den hochgeladenen Vorlesungstexten.",
+    chatbot=gr.Chatbot(type="messages"),
+)
+
+if __name__ == "__main__":
+    test_model_connection()
+    demo.launch(debug=True)

main1.txt

@@ -0,0 +1,1368 @@
+Ziele und Inhalte der Veranstaltung
+
+- Umfassendes Verständnis für die Funktionsweise von Finanzmärkten mit
+  besonderem Fokus auf
+
+  - Institutionelle Ausgestaltung von Finanzmärkten und des Handels auf
+    Finanzmärkten
+
+  - Besonderheiten verschiedener Finanzinstrumente, wie Anleihen,
+    Forwards, Optionen und Aktien
+
+  - Verfahren zur Bewertung von Finanztiteln unter Risiko
+
+  - Weiterführende Kenntnisse zentraler Kapitalmarktmodelle
+
+  - Empirische Tests von Gleichgewichtsmodellen
+
+  - Kapitalmarktanomalien und Behavioral Finance
+
+- Wir werden lernen, Abläufe an den Finanzmärkten zu verstehen und zu
+  beurteilen,
+
+- verschiedene Finanztitel zu bewerten, sowie
+
+- Kapitalmarktmodelle zu verstehen und empirisch zu testen.
+
+Wer bin ich?
+
+- Was machen wir in der Forschung?
+
+- Bester Kontaktweg: [email protected]
+
+Weitere Informationen zur Veranstaltung
+
+- Das Modul findet im 2. Block des Semesters statt.
+
+- Bestandteile:
+
+  - Vorlesung, montags
+
+  - Übungen für komplexere Anwendungen und Übungsaufgaben
+
+- Unterrichts- und Prüfungssprache ist deutsch.
+
+- Materialien (Vorlesungsfolien, Übungsblätter) finden Sie auf Moodle.
+
+Zeitplan
+
+- Die Vorlesung findet Montags von 12:00 - 15:30 Uhr statt.
+
+- Die Übung findet Donnerstags von 12:00 - 14:00 Uhr (LB 104) und
+  16:00 - 18:00 Uhr (LB 107) statt.
+
+  - Beide Wochentermine behanden die gleichen Übungsaufgaben. Suchen Sie
+    die für sich passende Uhrzeit aus.
+
+  - Ansprechpartner: Nina Klocke
+
+Informationen zur Klausur
+
+- Was müssen Sie für die Abschlussklausur wissen?
+
+- Wie wird die Klausur aussehen?
+
+  - Alle Themen der Vorlesung werden für die Klausur relevant sein.
+
+  - Das gleiche gilt für die Inhalte der Übungen.
+
+  - Die Klausur wird mehrere kleinere Fragen zu den Inhalten der
+    Vorlesung enthalten.
+
+  - Die Klausur wird möglichst viele verschiedene Themen der Vorlesung
+    abdecken.
+
+  - Die Klausur wird sich an den Beispielen aus der Vorlesung und den
+    Übungen orientieren; die Übungsaufgaben sind alte Klausuraufgaben.
+
+  - Sie werden 40% benötigen, um die Prüfung zu bestehen.
+
+Literaturhinweis
+
+- Franke, G. und H. Hax (2013): Finanzwirtschaft des Unternehmens und
+  Kapitalmarkt, Springer-Verlag, 5. Auflage.
+
+Finanzmärkte
+
+Finanzmärkte
+
+Finanzmärkte
+
+- Zitat von Beike/Schlütz (2015):
+  “Im weitesten Sinne definiert, kanalisiert das Finanzsystem die
+  knappen Ressourcen einer Volkswirtschaft von den Sparern hin zu
+  Schuldnern.”
+  (Beike/Schlütz (2015): Finanznachrichten lesen, verstehen, nutzen; 6.
+  Auflage)
+
+- Sparer: Menschen, die weniger ausgeben, als sie einnehmen.
+
+- Schuldner: Menschen, die mehr ausgeben, als sie einnehmen.
+
+- Das Finanzsystem besteht aus verschiedenen Institutionen, die zu einer
+  Koordination von Sparern und Schuldnern beitragen.
+
+  1.  Finanzmärkte
+
+  2.  Finanzmarktteilnehmer
+
+   
+
+- Finanzmärkte = diejenigen Institutionen, über die eine Person, die
+  sparen möchte, Mittel direkt an eine Person weitergeben kann, die Geld
+  aufnehmen möchte.
+
+Funktionen
+
+Funktionen
+
+- Koordinationsfunktion
+
+- Allokationsfunktion
+
+- Auswahlfunktion (Zulassungsbeschränkungen)
+
+- Losgrößentransformation
+
+- Fristentransformation
+
+- Risikotransformation
+
+Koordinationsfunktion
+
+- Finanzmärkte bieten Kapitalgebern (KG) und Kapitalnehmern (KN) ein
+  Forum (z. B. Börse).
+
+- Anbieter und Nachfrager können sich treffen, um Handel zu treiben.
+
+Allokationsfunktion
+
+- Markt besitzt beim Transfer der anlagebereiten Mittel durch den
+  Marktmechanismus eine Verteilungs- und Steuerungsfunktion.
+
+- Wettbewerb um die knappen Kapitalbeträge.
+
+- Verteilung erfolgt durch den Marktmechanismus danach, wer unter
+  Berücksichtigung des Risikos die höchste Rendite verspricht.
+
+- Ausgleich von Angebot und Nachfrage schaffen.
+
+- Marktteilnehmer, die Kapital benötigen, erhalten dieses von
+  denjenigen, die liquide Mittel zur Verfügung stellen.
+
+- Marktpreis ist Ausdruck der Knappheit der Finanzmittel und die Basis
+  für eine effiziente Allokation.
+
+Auswahlfunktion / Zulassungsbeschränkungen
+
+- Zulassungsbeschränkungen für Marktteilnehmer.
+
+- Unternehmen, die Handel an Wertpapierbörsen betreiben möchten, müssen
+  bestimmte Mindestanforderungen erfüllen, um z. B. in einem Börsenindex
+  gelistet zu werden.
+
+Losgrößentransformation
+
+- Kapitalbedarf von Kapitalnehmern mit Anlage von Kapitalgebern in
+  Einklang bringen.
+
+- i. d. R. stimmen die zu handelnden Beträge (Losgrößen) von Schuldner
+  und Anleger nicht überein.
+
+Fristentransformation
+
+- Laufzeiten des aufzunehmenden und anzulegenden Kapital stimmen
+  i. d. R. nicht überein.
+
+- Aufgabe des Marktes, einen Ausgleich von Angebot und Nachfrage zu
+  schaffen, indem er den unterschiedlichen Laufzeitenwünschen der
+  Beteiligten gerecht wird.
+
+Risikotransformation
+
+ 
+
+- Risiko liegt auf der Seite des Kapitalgebers.
+
+- Risikotransformation bedeutet Risikoreduktion und Risikoaufspaltung.
+
+- Risikoreduktion: das vom Kapitalgeber zur Verfügung gestellte Kapital
+  wird auf mehrere Kapitalnehmer verteilt.
+
+- Risikoaufspaltung: Aufspaltung auf unterschiedlich gestaltete
+  Kontrakte, bei der die Wünsche der Kapitalgeber und -nehmer bzgl.
+  ihres Risikos abgestimmt werden.
+
+Aufgaben
+
+Aufgaben
+
+- Zusammenführung von Angebot und Nachfrage.
+
+- Bildung “fairer” Preise.
+
+Struktur
+
+Struktur
+
+- Kapitalmarkt
+
+  - Handel von Beteiligungs-, Forderungs- und Mischtiteln
+
+  - Primärmarkt, Sekundärmarkt
+
+  - börslicher Handel, außerbörslicher Handel
+
+   
+
+- Geldmarkt
+
+  - Handel von kurzfristigen Krediten und Geldanlagen
+
+   
+
+- Devisenmarkt
+
+  - Handel von Währungen, überwiegend im Freiverkehr
+
+  - Kassamarkt, Terminmarkt
+
+   
+
+- Derivatemarkt
+
+  - Handel von Derivaten auf konkrete Finanzmarktobjekte (Aktien,
+    Anleihen, etc.) und abstrakte Größen (Aktienkursindizes)
+
+  - In der Regel Termingeschäfte (prominente Außnahme: CFDs)
+
+  - Börsenhandel, OTC-Handel (Over-the-Counter, d. h. außerbörslicher
+    Handel)
+
+Kapitalmarkt
+
+- Markt für langfristige Finanzmittelbeschaffung.
+
+- Untergliederung in Teilmärkte anhand bestimmter Kriterien.
+
+- Differenzierung:
+
+  - organisierter Markt (von Banken und Börsen getragener Markt;
+    Kapitalbeschaffung u. a. durch Wertpapiere) bzw. nicht organisierter
+    Markt (ohne Mitwirkung von Börsen oder Kreditinstituten)
+
+  - Aktienmarkt (ausgerichtet auf die Beschaffung von Eigenkapital;
+    Ausgabe in Form von Aktien [Wertpapiere, die Teilhaberrechte an
+    einer Aktiengesellschaft verbriefen]) bzw. Rentenmarkt (Handel mit
+    Gläubigerpapieren wie z. B. Anleihen, Schuldverschreibungen)
+
+  - Primärmarkt (Ausgabe von Finanzierungstiteln) bzw. Sekundärmarkt
+    (Handel bereits platzierter Finanzierungstitel → Börse)
+
+Geldmarkt
+
+ 
+
+- Markt der kurzfristigen Finanzierungstitel.
+
+- Dient dem Verleihen und Ausleihen von Geld über relativ kurzfristige
+  Zeiträume (Zeiträume bis zu maximal einem Jahr).
+
+- Transaktionen: Aufnahme kurzfristiger Kredite mit (z. B. Geldleihe bei
+  der Zentralbank) und ohne Besicherung (z. B. Tagesgelder).
+
+- Hohe Transaktionskosten ⇒ Marktteilnehmer sind i. d. R. Institutionen
+  wie Geschäftsbanken, Handelsunternehmen, Fondsgesellschaften,
+  Zentralbanken.
+
+Devisenmarkt
+
+ 
+
+- Markt auf dem Banken, Unternehmen und Fondsmanager Fremdwährungen
+  handeln.
+
+- Handel überwiegend OTC (Vorteile: geringere Transaktionskosten [keine
+  Makler-Courtage]; ermöglicht Handel zwischen nicht standardisierten
+  bzw. individuell ausgehandelten Produkten).
+
+- Differenzierung zwischen Devisenkassa- (Ausführung innerhalb von zwei
+  Tagen) und Devisentermingeschäften (Vereinbarung von Kurs und Menge
+  der Währung heute, Lieferung und Bezahlung in der Zukunft).
+
+- Währungsschwankungen absichern.
+
+Derivatemarkt
+
+ 
+
+- Markt auf dem Finanzinstrumente, deren Preis oder Wert von den Kursen
+  oder Preisen anderer Handelsgüter (zum Beispiel Rohstoffe oder
+  Lebensmittel), Vermögensgegenstände (Wertpapiere wie z. B. Aktien oder
+  Anleihen) oder von marktbezogenen Referenzgrößen (Zinssätze, Indizes)
+  abhängt, gehandelt werden.
+
+- i. d. R. Termingeschäfte.
+
+- Handel an Börsen und OTC.
+
+Finanzmarktteilnehmer
+
+Finanzmarktteilnehmer
+
+Finanzmarktintermediäre (Intermediär = Vermittler verschiedener Akteure)
+
+- Geschäftsbanken
+
+- Kapitalanlage- bzw. Investmentgesellschaften
+
+ 
+
+width=0.1
+
+(40,20) (-10,60) (-10,-40) (-125,10) (105,10)
+
+(-5,10)
+
+(-125,58)(85,15)Private Haushalte (-125,-42)(85,15)Kleinunternehmen
+
+(-90,55)(0,-1)28 (-90,-25)(0,1)28 (20,55)(0,-1)28 (20,-25)(0,1)28
+(-40,15)(1,0)30 (103,15)(-1,0)35 (-10,60)(-1,-1)35 (-10,-35)(-1,1)35
+
+Zentralbanken
+
+Zentralbanken
+
+ 
+→ staatliche Institution mit dem Ziel der überwachung des
+Geschäftsbankensystems und der Steuerung der Geldmenge
+
+- Bsp.:
+
+  - Federal Reserve System (Fed) in den USA [nationale Ebene]
+
+  - Deutschland: früher Deutsche Bundesbank
+    heute Europäische Währungsunion / Einführung des Euro
+    (am 1. Januar 1999 als Buchgeld, am 1. Januar 2002 als Bargeld)
+    → Europäisches System der Zentralbanken (ESZB)
+    unter der Führung der Europäischen Zentralbank (EZB) [supranationale
+    Ebene]
+
+   
+
+- keine einzelwirtschaftlichen Ziele (z. B. Gewinnmaximierung), sondern
+  gesamtwirtschaftliche Ziele (z. B. Gewährleistung der Preisstabilität)
+
+Zentralbankaufgaben
+
+- Durchführung von Devisengeschäften.
+  ↪ bei Devisenmarktintervention tritt die Zentralbank als Nachfrager
+  oder Anbieter von Devisen auf, um den von ihr angestrebten Kurs zu
+  erreichen; Fähigkeit zu Devisenmarktinterventionen hängt von der
+  Existenz hinreichender Währungsreserven ab.
+
+- Verwaltung der Währungsreserven.
+  ↪ Bestand an Gold und Goldforderungen, sowie konvertible Devisen
+  (umtauschbare Währungen).
+
+- Sicherung der Funktionsfähigkeit der Zahlungssysteme.
+  ↪ Zentralbank steht an der Spitze des Bankensystems eines Landes/
+  Währungsraumes und bietet den Geschäftsbanken die Möglichkeit, sich
+  bei ihr Zentralbankgeld zu verschaffen um den normalen Zahlungsverkehr
+  reibungslos abzuwickeln
+  → Refinanzierung.
+
+Zentralbankaufgaben
+
+ 
+
+- Aufsicht über das Bankwesen.
+  ↪ Inwiefern eine Zentralbank die Aufgabe der Finanzmarktaufsicht
+  wahrnimmt, hängt vom jeweiligen monetären System ab.
+
+- Geldpolitik ↔ Notenemission.
+  ↪ Position Banknotenumlauf der Zentralbankbilanz ist ein besonderes
+  Merkmal der Zentralbank und weist auf ihr Notenmonopol hin; die
+  Zentralbank hat die alleinige Befugnis, die Banknoten zu emittieren
+  und in Umlauf zu bringen.
+
+Wertpapierbörsen
+
+Wertpapierbörsen
+
+ 
+
+- Organisation
+
+  - gesetzliche Grundlage
+
+  - Börsenverwaltung, Börsenleitung
+
+  - Börsenaufsicht
+
+  - Börsenträger
+
+Wertpapierbörsen
+
+ 
+
+- Teilnehmer am Börsenhandel
+
+  - registrierte Börsenmitglieder
+
+  - Banken werden durch Händler vertreten
+
+  - Makler (Handelsmitglieder)
+
+  - Broker, Dealer, Broker-Dealer, Inter-Dealer-Broker
+
+   
+
+- Kursbildung
+
+  - limitierte, nicht-limitierte Order
+
+  - Auktionsprinzip, Market-Maker Prinzip
+
+Wertpapierbörsen
+
+ 
+
+- Börsenverwaltung, Börsenleitung: verantwortlich für
+  Verwaltung/Leitung.
+
+- Börsenaufsicht: wird wahrgenommen von der zuständigen Behörde des
+  Bundeslandes in Zusammenarbeit mit der Handelsüberwachungsstelle der
+  Börse; die Aufsicht über die Einhaltung des WpHG obliegt der BaFin.
+
+- Börsenträger: stellt auf Anforderung des Börsenrats oder
+  Börsengeschäftsführung und im Einvernehmen mit diesen die personellen
+  und finanziellen Mittel sowie die erforderlichen Räume zur Abwicklung
+  der Börse zur Verfügung; darf nicht ins Handelsgeschehen eingreifen.
+
+Teilnehmer am Börsenhandel
+
+Registrierte Börsenmitglieder
+
+ 
+
+- Banken, Wertpapierhandelshäuser.
+
+- überprüfung bzgl. fachlicher Kompetenz → Börsenleitung.
+
+- Banken werden durch Händler vertreten.
+  → wickeln Geschäfte für Banken oder deren Kunden ab.
+
+Makler
+
+ 
+
+- Handelsmittler von Börsen, Wertpapierhandelshäuser.
+
+- Gewerbsmäßiger Vermittler, der für andere Wertpapier-, Devisen- oder
+  Warengeschäfte ausführt.
+
+- Treten zwischen Händler verschiedener Banken und versuchen, in kurzer
+  Zeit möglichst viele Geschäfte für diese zu vermitteln.
+
+- Entlohnung: Courtage / Provision.
+
+Broker (Wertpapiermakler)
+
+ 
+
+- Mittler zwischen Käufer und Verkäufer.
+
+- Darf im Gegensatz zum Börsenmakler auch private Kunden
+  bedienen/betreuen.
+
+- Bietet unternehmensberatende Dienstleistungen/Finanzdienstleistungen.
+
+- Beratung/Empfehlung über Kauf/Nicht-Kauf von Wertpapieren →
+  Chartanalyse, allg. Unternehmensinformationen.
+
+- Entlohnung bei Durchführung eines Auftrags: Courtage (Brokerage).
+
+- Keine Geschäfte auf eigene Rechnung.
+
+Dealer
+
+ 
+
+- Börsenhändler, der Verkäufe und Käufe organisiert und durchführt.
+
+- Handelt auf eigene Rechnung.
+
+- Beteiligt sich aktiv am Börsengeschehen.
+
+- Geschäftsbanken, die Eigenhandel mit Finanzinstrumenten betreiben
+  (Wertpapiere für eigene Depots).
+
+- Handelsbevollmächtigte von zum Börsenhandel zugelassenen Unternehmen.
+
+Broker-Dealer/Inter-Dealer-Broker
+
+ 
+Broker-Dealer
+
+- Handelt auf eigene Rechnung und nimmt Kundenaufträge an.
+
+ 
+Inter-Dealer-Broker
+
+- Mittler zwischen den Dealern.
+
+- Wie Broker: führt Anbieter und Nachfrager zusammen und verlangt dafür
+  Provision.
+
+- Unterschied zum normalen Broker: handelt nur im Auftrag von
+  institutionellen Marktteilnehmern, d.h. agiert keinesfalls für
+  Privatanleger.
+
+[image]
+
+Orderformen
+
+Orderformen
+
+ 
+
+- Market Order
+
+  - unlimitierter Kaufauftrag: Billigst-Order.
+
+  - unlimitierter Verkaufsauftrag: Bestens-Order.
+
+   
+
+- Limit Order
+
+  - limitierter Kaufauftrag: Auftraggeber nennt bei der
+    Auftragserteilung (Ordererteilung) einen Preis (Kurs), der nicht
+    überschritten werden darf; Kauf-Limit-Order (buy limit order).
+
+  - limitierter Verkaufsauftrag: Auftraggeber nennt bei der
+    Ordererteilung einen Preis, der nicht unterschritten werden darf;
+    Verkauf-Limit-Order (sell limit order).
+
+   
+
+Orderformen
+
+ 
+
+- Market-to-Limit Order
+
+  - unlimitierte Kauf- und Verkauforders, die zum Auktionspreis oder (im
+    fortlaufenden Handel) zum besten Limit im Orderbuch ausgeführt
+    werden sollen.
+
+  - eine Market-to-Limit Order wird nur akzeptiert, wenn auf der
+    gegenüberliegenden Orderbuchseite ausschließlich Limit Orders
+    vorhanden sind.
+
+  - ist nur eine Teilausführung der Market-to-Limit Order möglich, wird
+    der Rest der Order mit dem Limit, zu dem die erste Teilausführung
+    erfolgt ist, in das Orderbuch gestellt.
+
+Orderformen
+
+ 
+Für besondere Handelsstrategien:
+
+- Stop Market Order:
+  Sobald das vorgegebene Stop Limit erreicht (über- bzw. unterschritten)
+  ist, wird die Stop Order automatisch als unlimitierte Kauf- bzw.
+  Verkaufsorder in das Orderbuch gestellt.
+
+  - Stop-Buy-Order
+    Bei Erreichen des Kurslimits (Stoppkurs) wird eine unlimitierte
+    Kauforder ausgelöst (WP wird automatisch durch eine Billigst-Order
+    erworben).
+
+  - Stop-Loss-Order
+    Bei Erreichen des Kurslimits (Stoppkurs) wird eine unlimitierte
+    Verkaufsorder ausgelöst (WP wird automatisch durch eine
+    Bestens-Order erworben).
+
+Orderformen
+
+ 
+
+- Stop Limit Order:
+  Sobald das vorgegebene Stop Limit erreicht (über- bzw. unterschritten)
+  ist, wird die Stop Order automatisch als limitierte Kauf- bzw.
+  Verkaufsorder in das Orderbuch gestellt.
+
+Beispiel zu Limit-Order
+
+ 
+Aktueller Aktienkurs der XYZ-AG in t = 0:
+
+- Investor A: limitierter Kaufauftrag zu
+
+- Investor B: Stop-Buy-Order zu
+
+- Investor C: limitierter Verkaufsauftrag zu
+
+- Investor D: Stop-Loss-Order zu
+
+Szenario I: Nächster Aktienkurs in t = 1,2:
+Szenario II: Nächster Aktienkurs in t = 1,2:
+Szenario III: Nächster Aktienkurs in t = 1,2:
+
+Beispiel zu Limit-Order
+
+Annahme: Alle Kauf-/Verkaufsaufträge in t = 1,2 werden berücksichtigt!
+(Angebot = Nachfrage)
+
+        I :   II :   III :
+  ---- ----- ------ -------
+                    
+   A                
+   B*               
+   C                
+   D*               
+
+* tatsächlicher Kauf / Verkauf in t = 2 !
+
+Ausführungsbeschränkungen / Gültigkeitsbeschränkungen:
+
+ 
+
+- FOK (Fill-or-Kill)
+
+- IOC (Immediate-or-cancel)
+
+- BOC (Book-or-cancel) – nur bei Limit Orders
+
+- TOP (Top-of-the-book) – nur bei Limit Orders
+
+- GFD (Good-for-a-day)
+
+- GTC (Good-till-cancelled)
+
+- GTD (Good-till-date)
+
+FOK (Fill-or-Kill)
+
+ 
+
+- Bezeichnung für die Variante eines limitierten Auftrags.
+
+- Auftrag kann auf dem Handelssystem Xetra erteilt werden und wird dann
+  nur sofort und vollständig ausgeführt (ist das nicht möglich, wird die
+  Order komplett gelöscht).
+
+- Bei der vollständigen Ausführung des Auftrags kann es auch zu
+  Teilausführungen zu verschiedenen Preisen kommen.
+
+IOC (Immediate-or-cancel)
+
+ 
+
+- Variante eines limitierten Auftrags im elektronischen Handelssystem
+  Xetra.
+
+- Funktioniert wie eine Fill-or-Kill Order, jedoch können auch Teile
+  ausgeführt werden.
+
+- Nicht ausgeführter Teil verfällt.
+
+BOC (Book-or-cancel)
+
+ 
+
+- Order, die für eine passive Orderausführung in das Orderbuch
+  eingestellt werden soll.
+
+- Wenn eine sofortige (und damit aggressive) Ausführung möglich ist,
+  wird die Order ohne Aufnahme in das Orderbuch gelöscht.
+
+- Ausschließlich bei Limit Orders.
+
+TOP (Top-of-the-book)
+
+ 
+
+- Die TOP-Order wird akzeptiert und zum Orderbuch hinzugefügt, wenn ihr
+  Limit die aktuelle Orderbuchspanne verkleinert, d. h. wenn das Limit
+  einer Kauf- (Verkauf-) TOP-Order größer (kleiner) als der beste
+  sichtbare Geldkurs (Briefkurs) im Orderbuch und kleiner (größer) als
+  der beste sichtbare Geldkurs (Briefkurs) ist.
+
+- Ausschließlich bei Limit Orders.
+
+GFD (Good-for-a-day)
+
+ 
+
+- Bezeichnung für einen limitierten Auftrag.
+
+- Wird erteilt, um Optionsgeschäfte an Terminbörsen durchzuführen.
+
+- Gültigkeit der Order beschränkt sich auf den aktuellen Börsentag.
+
+GTC (Good-till-cancelled)
+
+ 
+
+- Bezeichnung für einen uneingeschränkt limitierten Auftrag.
+
+- Wird erteilt, um Optionsgeschäfte an Terminbörsen durchzuführen.
+
+- Besitzt bis zum Widerruf Gültigkeit.
+
+GTD (Good-till-date)
+
+ 
+
+- Bezeichnung für einen uneingeschränkt limitierten Auftrag.
+
+- Wird erteilt, um Optionsgeschäfte an Terminbörsen durchzuführen.
+
+- Besitzt nur bis zu einem bestimmten, angegebenen Zeitpunkt Gültigkeit
+  besitzt.
+
+Auktionsbeschränkungen
+
+ 
+Daneben gibt es Handelsbeschränkungen, die den Handel der Orders auf
+bestimmte Auktionen beschränken:
+
+- Opening auction only
+
+- Closing auction only
+
+- Auction only
+
+Weitere spezielle Ordertypen
+
+ 
+
+- Iceberg Orders
+
+- Hidden Orders
+
+- Strike Match Orders
+
+- Trailing Stop Orders
+
+- One-cancels-the-other Orders
+
+- Order-on-event
+
+- Midpoint Orders
+
+Kursbildung
+
+Order-Driven-Market (auftragsgetrieben)
+
+- Auktionsprinzip: Bezeichnung für den Handelsmechanismus an einer
+  Börse, bei dem durch Sammlung und Berücksichtigung aller vorliegenden
+  Orders Liquidität konzentriert wird.
+
+- Orders zum Kauf und zum Verkauf werden in einem Orderbuch einander
+  gegenübergestellt.
+
+- Auktionspreis wird nach dem Meistausführungsprinzip ermittelt.
+
+- Auktionsprinzip ermöglicht, dass sich auf der Nachfrageseite die
+  Investoren mit den höchsten Kaufgeboten und auf der Anbieterseite die
+  Marktteilnehmer mit den niedrigsten Verkaufsgeboten durchsetzen.
+
+- (Elektronisches Handelssystem) Xetra ermittelt Kurse auch nach dem
+  Auktionsprinzip.
+
+Quote-Driven-Market (preisgetrieben)
+
+- Market-Maker-Prinzip: Bestimmte Marktakteure (Market-Maker, z. B.
+  Geschäftsbanken, Broker-Dealer) stellen auf Anfrage verbindliche An-
+  und Verkaufspreise (Quoter).
+
+- Market Maker garantieren fortwährende Handelbarkeit von Wertpapieren
+  und stellen so die Marktliquidität und Funktionsfähigkeit einer Börse
+  sicher.
+
+- Durch ihre ständige Bereitschaft, im Handel als Gegenpartei zu
+  fungieren, kompensieren Market Maker den asynchronen Orderfluss der
+  Investoren und stabilisieren kurzfristige Marktungleichgewichte.
+
+- Market Maker werden v. a. bei umsatzschwachen Wertpapieren eingesetzt.
+
+ 
+→ Mischform beider Systeme möglich (bspw. Auktion und fortlaufender
+Markt)
+
+Geld- und Brief(kurs)
+
+Geld(kurs) 
+Kurs, zu dem ein Marktteilnehmer ein Wertpapier zum Kauf nachfragt
+(bietet Geld).
+
+- Synonyme: Kaufkurs, Bid.
+
+- Marktteilnehmer veröffentlicht den Kaufkurs durch Einstellung in das
+  offene Orderbuch eines vollelektronischen Handelssystems.
+
+- Gegensatz: Brief(kurs), Ask.
+
+ 
+Brief(kurs)  
+Bezeichnung für den Preis, zu dem ein Marktteilnehmer ein Wertpapier zum
+Verkauf anbietet (bietet Brief).
+
+- Synonyme: Verkaufskurs, Ask.
+
+- Marktteilnehmer stellt den Verkaufskurs durch Eingabe in das offene
+  Orderbuch eines vollelektronischen Handelssystems ein.
+
+Spread
+
+Spanne zwischen An-/Verkauf: SPREAD.
+
+- Unterschied zwischen Geld- und Briefkurs.
+
+- Angabe kann entweder absolut oder prozentual erfolgen.
+
+- Angabe prozentual zum Briefkurs:
+  Spread = (Briefkurs − Geldkurs)/Briefkurs
+
+- Xetra-Handel: Geld-Brief-Spanne = Differenz zwischen dem besten
+  verbindlichen Kauf- und Verkaufspreis.
+
+- Je niedriger die Spanne, desto einheitlicher die Einschätzung der
+  Marktteilnehmer hinsichtlich des Wertes eines Wertpapiers (bei
+  Illiquidität, sonst definiert).
+
+(Gesetzliche) Marktsegmente
+
+Kapitalmarktzugang
+
+  --------------------------- ----------------------
+  gesetzliche Marktsegmente   Transparenzstandards
+                              
+  Regulierter Markt           Prime Standard
+                              General Standard
+                              
+  Freiverkehr (Open Market)   Scale
+                              Quotation Board
+                              Basic Board
+  --------------------------- ----------------------
+
+EU-regulierter Markt
+
+- Fusion von geregeltem Markt und amtlichem Markt im Nov. 2007.
+
+- Zulassungssegment für Wertpapiere mit besonders strengen
+  Zulassungsvoraussetzungen und Folgepflichten.
+
+- Organisierter Markt: Zulassungsvoraussetzungen, Folgepflichten der
+  Teilnehmer sowie die Organisation der Händler gesetzlich geregelt.
+
+- Öffentlich-rechtliches Zulassungsverfahren, EU-regulierter Markt.
+  → Unternehmen muss seit mindestens drei Jahren existieren.
+  → Voraussichtlicher Kurswert der zuzulassenden Aktien - oder falls
+  eine Schätzung nicht möglich ist - das Eigenkapital des Unternehmen
+  muss mindestens betragen.
+  → Streubesitzanteil von mindestens 25 Prozent.
+
+- Transparenzstandard: Prime Standard oder General Standard
+  (Zulassungsfolgepflichten).
+
+Freiverkehr (börsenregulierter Markt)
+
+Nicht amtliches deutsches Marktsegment, in dem neben einigen deutschen
+Aktien auch ausländische Aktien, Anleihen und Optionsscheine gehandelt
+werden.
+
+- Kein organisierter Markt; privatrechtliches Segment;
+  Freiverkehrsrichtlinien der Deutschen Börse AG.
+
+- Anleger hat keinen Anspruch auf Abrechnung zu einem bestimmten Kurs
+  oder etwa auf garantierte Ausführung seines Auftrags ⇒ viel höheres
+  Risiko als bei Standardwerten des regulierten Marktes, zumal meist nur
+  eine geringe Stückzahl von Aktien gehandelt wird.
+
+- Bei Aufnahmen im Quotation Board gibt es nur wenige formale
+  Einbeziehungsvoraussetzungen und keine Folgepflichten für den
+  Emittenten.
+
+- Die Aufnahme in den Entry Standard beinhaltet neben
+  Einbeziehungsvorschriften auch Folgepflichten, allerdings sind diese
+  weitaus geringer als im Prime oder General Standard.
+
+Transparenzstandard (auch: Transparenzlevel)
+
+Transparenzstandard
+
+ 
+→ In Europa: 2 Zugänge zum Kapitalmarkt.
+
+- Von der EU regulierte Märkte (EU-Regulated Markets).
+
+  - Fortschreitende Harmonisierung im europäischen Kapitalmarkt führt zu
+    einheitlichen Regelungen auf den jeweiligen nationalen Märkten.
+
+  - Ziele: Markteffizienz erhöhen, besserer Anlegerschutz, Garantie
+    eines fairen Wettbewerbs.
+
+   
+
+- Märkte, die von den Börsen selbst reguliert werden (Regulated
+  Unofficial Markets).
+
+Bsp. Börse Frankfurt: Börsengang im von der EU-regulierten Markt.
+
+General Standard
+
+ 
+
+- Mindestanforderungen des Gesetzgebers für den regulierten Markt.
+
+- Jahresfinanzbericht (innerhalb von 4 Monaten) und
+  Halbjahresfinanzbericht (innerhalb von 2 Monaten) nach IFRS
+  (International Financial Reporting Standards).
+
+- Ad-hoc-Publizitätspflicht (WpHG) von Unternehmensnachrichten, die den
+  Börsenkurs beeinflussen könnten.
+
+- Zwischenmitteilungen für Q1 und Q3.
+
+- Positionierung vor nationalem sowie internationalem
+  Investorenpublikum.
+
+Prime Standard
+
+ 
+
+- Teilbereich des General Standard.
+
+- Alle Anforderungen des General Standard.
+
+- Hier: höchste Transparenzstandards.
+
+- Quartalsfinanzberichte in deutscher und englischer Sprache.
+
+- Veröffentlichung eines aktuellen Unternehmenskalenders im Internet.
+
+Freiverkehr
+
+→ Notierungsaufnahme im Open Market (Freiverkehr) kann in Scale oder in
+das Quotation Board führen.
+
+Scale
+
+- Ermöglicht insbesondere kleineren und mittleren UN (KMU) eine
+  einfache, schnelle und kosteneffiziente Einbeziehung in den
+  Börsenhandel.
+
+- Klare und erleichterte Einbeziehungsvoraussetzungen und
+  -folgepflichten.
+
+- Einstiegssegment (Vorbereitung) für spätere Notierung im General
+  Standard oder Prime Standard und Grundlage für weiteres Wachstum durch
+  Zugang zu einer großen Gruppe an KMU fokussierten, nationalen und
+  internationalen Investoren.
+
+- Jahresabschluss und Zwischenbericht nach nat. GAAP (Generally Accepted
+  Accounting Principles - Allgemein anerkannte
+  Rechnungslegungsgrundsätze)
+
+- Ad-hoc-Publizitätspflicht, wie im EU-regulierten Markt.
+
+Quotation Board
+
+- Segment für WP, die nicht im regulierten Markt zugelassen sind,
+  sondern bereits an einem anderen in- oder ausländischen und von der
+  Deutsche Börse AG anerkannten börsenmäßigen Handelsplatz zugelassen
+  sind.
+
+- Wenige formale Einbeziehungsvoraussetzungen und keine Folgepflichten
+  für den Emittenten.
+
+- UN muss unverzüglich die Deutsche Börse AG über
+  Unternehmensnachrichten, wie insbesondere Kapitalmaßnahmen
+  unterrichten.
+  z. B. bei:
+
+  - Kapitalerhöhungen
+
+  - Aktiensplit
+
+  - Ausgabe von Bezugsrechten
+
+  - Dividendenzahlungen
+
+Basic Board
+
+- Basis Segment im Freiverkehr.
+
+- Ermöglicht ehemaligen Emittenten des Entry Standard sowie Emittenten
+  in Scale, die die Einbeziehungsfolgepflichten oder die
+  Mindestmarktkapitalisierung nicht erfüllen, ein Primärlisting aufrecht
+  zu erhalten.
+
+- Wird nicht als Börsensegment gesondert ausgewiesen, auch wenn die
+  Unternehmen im Basic Board verpflichtet sind, weiterhin ihre
+  Finanzberichte (u.a. Jahresabschluss und Lagebericht sowie den
+  Halbjahresabschluss und Zwischenlagebericht) zu veröffentlichen.
+
+Transparenzstandard (auch: Transparenzlevel)
+
+Insgesamt gilt also:
+⇒ Unternehmen können bei der Börsenzulassung zwischen Segmenten mit klar
+strukturierten Transparenzstandards wählen.
+Die Aufnahme in den Prime Standard ist Voraussetzung für die Aufnahme in
+einen der Auswahlindizes der Deutschen Börse (DAX, MDAX, SDAX, TecDAX).
+
+Auswahlindizes
+
+Auswahlindizes
+
+ 
+
+- DAX
+
+- MDAX (abgeleitet von Mid-Cap-DAX)
+
+- SDAX
+
+- TecDAX
+
+- X-Indizes
+
+- Late/Early-Indizes
+
+DAX
+
+ 
+Aktienindex, der die Wertentwicklung der 40 größten und umsatzstärksten
+deutschen Aktien (Blue Chips) abbildet:
+
+- Juristischer Sitz oder operatives Hauptquartier, also der Sitz der
+  Geschäfts- bzw. Verwaltungsführung, in Deutschland.
+
+- Rund 75 Prozent des gesamten Grundkapitals inländischer
+  börsennotierter Aktiengesellschaften.
+
+- Etwa 85 Prozent der in deutschen Beteiligungspapieren getätigten
+  Börsenumsätze.
+
+DAX
+
+ 
+
+- Kriterien für die Gewichtung: Orderbuchumsatz (1) und Free
+  Float-Marktkapitalisierung (2)
+
+  - Orderbuchumsatz = Summe des festgestellten Umsatzes der jeweiligen
+    Aktiengattungen einer Gesellschaft der letzten zwölf Monate.
+
+  - Free Float-Marktkapitalisierung (einer Aktiengattung) = Produkt aus
+    dem durchschnittlichen Kurs der letzten 20 Handelstage und der
+    Anzahl der frei handelbaren Aktien.
+    → Festbesitz (= Besitz von Großaktionären, welche 5% oder mehr der
+    Aktien halten bzw. eigene Aktien, die das Unternehmen hält bleiben
+    für die Gewichtung unberücksichtigt).
+
+   
+
+- Sekündliche Berechnungsfrequenz.
+
+DAX
+
+ 
+
+- Einmal im Jahr findet im September eine ordentliche Anpassung statt,
+  dazu kommen außerordentliche Anpassungen im März, Juni und Dezember.
+
+- Ausnahmefälle
+
+  - z. B. kurzfristig angekündigte übernahmen oder signifikante
+    Veränderungen des Free Float.
+
+  - Deutsche Börse AG kann von den vorgenannten Regeln abweichen.
+
+   
+
+- Außerordentliche Aktualisierungen auch bei Ereignissen wie Insolvenzen
+  (z.B. Wirecard).
+
+DAX
+
+Berechnung des DAX (bzw. aller Indizes der DAX-Familie):
+$$DAX_{(t)} = K_{(T)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n p_{(i,t)} \cdot q_{(i,T)} \cdot ff_{(i,T)} \cdot c_{(i,t)}}{\sum_{i=1}^n p_{(i,0)} \cdot q_{(i,0)} } \cdot \text{Basis}$$
+mit
+
+- t = Berechnungszeitpunkt des Index
+
+- n = Anzahl der Aktien im Index
+
+- T = Zeitpunkt der letzten Verkettung
+
+- Basis = 1000 Indexpunkte (normiert zum 31. Dezember 1987)
+
+- p_((i, 0)) = Aktienkurs der Gesellschaft (GS) i zum Basiszeitpunkt
+
+- p_((i, t)) = Aktienkurs der GS i zum Zeitpunkt t
+
+- q_((i, 0)) = Anzahl der Aktien der GS i zum Basiszeitpunkt
+
+- q_((i, T)) = Anzahl der Aktien der GS i zum Zeitpunkt T
+
+- c_((i, t)) = aktueller Korrekturfaktor der GS i zum Zeitpunkt t
+
+- ff_((i, T)) = Free Float-Faktor der GS i zum Zeitpunkt T
+
+- K_((T)) = indexspezifischer Verkettungsfaktor gültig ab
+  Verkettungstermin T
+
+DAX
+
+ 
+
+- Performance-Index
+
+  - Annahme: Dividenden und sonstige Zahlungen werden in die Aktien des
+    Index wieder reinvestiert; im Gegensatz zum Kursindex um Dividenden
+    und Kapitalveränderungen bzw. Zinszahlungen bereinigt.
+
+  - Gibt Auskunft über die vollständige Wertentwicklung eines
+    Portfolios.
+
+   
+
+- Kursindex
+
+  - Keine Bereinigung um Dividenden- und Bonuszahlungen; dementsprechend
+    werden in den Index die Dividenden bzw. sonstige Zahlungen nicht
+    eingerechnet.
+
+DAX
+
+ 
+
+- Xetra
+
+  - Abkürzung für Exchange Electronic Trading.
+
+  - Elektronisches Handelssystem der Deutschen Börse.
+
+  - Ermöglicht Investoren auch außerhalb der offiziellen
+    Börsenhandelszeiten Wertpapiere zu kaufen und zu verkaufen.
+
+   
+
+- Parketthandel der Frankfurter Wertpapierbörse wurde am 22. Mai 2011
+  eingestellt.
+
+MDAX
+
+ 
+
+- Besteht aus den 50 Mid-Cap-Werten (Nebenwerten), die hinsichtlich
+  Marktkapitalisierung und Börsenumsatz auf die Werte des DAX folgen.
+
+- Spiegelt die Kursentwicklung von Aktien mittelgroßer deutscher
+  Unternehmen wider.
+
+- UN der klassischen Sektoren (→ Industrie, Finanzen, Handel), die ihren
+  juristischen bzw. operativen Sitz in Deutschland aufweisen.
+
+- Prime Standard.
+
+SDAX
+
+ 
+
+- Index der 50 größten auf die MDAX-Werte folgenden Unternehmen.
+
+- Unternehmen der klassischen Sektoren, die ihren juristischen bzw.
+  operativen Sitz in Deutschland aufweisen.
+
+- Prime Standard.
+
+TecDAX
+
+ 
+
+- Index der 30 Mid-Cap-Werten aus Technologiebranchen unterhalb der
+  DAX-Titel.
+
+- Unternehmen der Technologie Sektoren, die ihren juristischen bzw.
+  operativen Sitz in Deutschland aufweisen.
+
+- Prime Standard.
+
+X-Indizes
+
+ 
+
+- X-DAX, X-MDAX und X-TecDAX
+
+- Wird börsentäglich von 8.00 Uhr bis 9.00 Uhr und von 17.45 Uhr bis
+  22.00 Uhr berechnet.
+
+- Ist Indikator für die DAX-Entwicklung außerhalb der
+  Xetra-Handelszeiten.
+
+- Gesamte Handelszeit US-amerikanischer Börsen wird abgedeckt.
+
+Late/Early-Indizes
+
+ 
+
+- Late/Early-Indizes bieten Investoren vor Xetra-Handelsbeginn von 08.00
+  bis 09.00 Uhr und nach Xetra-Handelsschluss um 17.45 Uhr bis 20.00 Uhr
+  eine Indikation der Entwicklung der deutschen Indizes.
+
+- Ist Indikator für die Wertentwicklung des DAX vor bzw. nach
+  Xetra-Handelsschluss; Basis: DAX Future.
+
+- Dienen lediglich als Indikator, nicht jedoch als Underlying für
+  abgeleitete Produkte wie Zertifikate, Optionsscheine, Fonds oder
+  ähnliches wie der auf Future-Preisen basierende X-DAX.
+
+- Entsprechen in ihrer Zusammensetzung exakt den Original-Indizes.
+
+Industriegruppen
+
+Industriegruppen sind Basis der Branchenindizes
+
+ 
+
+- Alle Unternehmen in Prime und General Standard sind einem von 62
+  Subsektoren (Industriegruppen) zugeordnet.
+
+- Anhand des Subsektors findet die Einordnung der UN in die 18
+  klassischen oder technologischen Prime-Standard-Branchen statt.
+
+- Einordnung richtet sich nach dem Umsatzschwerpunkt des jeweiligen
+  Unternehmen.
+
+Farkas-Theorem
+
+Farkas-Theorem
+
+Farkas-Theorem
+
+Annahmen für Arbitragefreiheit: Es existiert ein vollkommener
+Kapitalmarkt und es gibt mindestens einen Investor mit positivem
+Grenznutzen (und keinen mit negativem Grenznutzen).
+
+Arbitragefreiheit: Ein Kapitalmarkt ist arbitragefrei, wenn kein
+Portefeuille existiert, das heute einen negativen Preis hat, im nächsten
+Zeitpunkt jedoch einen nicht-negativen Marktwert in jedem möglichen
+Zustand aufweist.
+
+Farkassches Theorem: Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt gilt das
+Prinzip der Arbitragefreiheit dann und nur dann, wenn nicht-negative
+Preise π_(s) für zustandsbedingte Ansprüche existieren, so dass für
+jedes Wertpapier j (j = 1, ..., N) gilt:
+P_(j) = Σ_(s)e_(js)π_(s)
+$$\begin{aligned}
+\mbox{mit} \quad P_j & = & \mbox{aktueller Preis des Wertpapiers $j$ und}\\ 
+e_{js} & = & \mbox{EZ{\"U} aus Wertpapier $j$ in Zustand $s$}.
+\end{aligned}$$
+
+Bedingungen an ein Gleichgewicht: Der Markt ist geräumt, d.h., das
+Angebot entspricht der Nachfrage. Jeder Investor hält sein optimales
+Portefeuille, d.h., niemand hat einen Anreiz im Gleichgewicht, Kauf-
+oder Verkaufsaufträge zu erteilen.
+
+Zusammenhang zwischen Arbitragefreiheit und Gleichgewicht: Ein Investor
+mit positivem Grenznutzen wird eine existierende Arbitragemöglichkeit
+immer ausnutzen wollen. Er wird ein Arbitrageportefeuille nachfragen,
+d.h., sein altes Portefeuille ist nicht optimal. Damit liegt ex
+definitione kein Gleichgewicht vor. Arbitragefreiheit ist eine
+notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Gleichgewichts.
+
+Farkas Theorem
+
+- Arbitragefreiheit ist gegeben, wenn ein Vektor π = (π₁, ..., π_(S))
+  mit π_(s) ≥ 0 für s = (1, ..., S), mit mind. 2 π_(s)> 0 existiert, so
+  dass gilt:
+
+E π = P
+
+  --- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+    E  =  Matrix der zustandsabhängigen Zahlungen der Wertpapiere j (j = 1, ..., n) in den Zuständen s (s = 1, ..., S)
+    P  =  Vektor der Preise P_(j) der Wertpapiere j (j = 1, ..., n)
+  --- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+
+$$\begin{aligned}
+e_{11}\cdot \pi_1 +e_{12}\cdot \pi_2 = P_1 \tag{1}\\
+e_{21}\cdot \pi_1 +e_{22}\cdot \pi_2 = P_2 \tag{2}\\
+e_{31}\cdot \pi_1 +e_{32}\cdot \pi_2 = P_3 \tag{3}\\
+\end{aligned}$$
+
+Das Prinzip der Arbitragefreiheit
+
+Arbitragegelegenheit bei Sicherheit
+Beispiel: Folgende Warenkörbe werden auf Obstmarkt angeboten:
+
+   Händler   Äpfel   Birnen   Preis je Korb
+  --------- ------- -------- ---------------
+      1        8       2          8,70
+      2        2       8          8,30
+      3        5       5          8,00
+
+Folgende Arbitrage (free lunch) möglich:
+
+- Kauf von zwei Körben von Händler 3 und Verkauf von je einem Korb zu
+  Konditionen von Händler 1 bzw. Händler 2.
+
+- Kauf und Verkauf von 10 Äpfel und Birnen
+  ⇒ Ausgaben: 16; Erlöse: 17
+
+- Arbitragegewinn: 1.
+
+- Portefeuille besteht aus: +2 Einheiten (long) Körbe vom Händler 3 und
+  -1 Einheiten (short) Körbe der Händler 1 und 2.
+
+- Obstmarkt arbitragefrei, wenn Preis von Händler 3 8,50.
+
+- Jeder andere Preis bietet Arbitragegelegenheit.
+
+Das Prinzip der Arbitragefreiheit auch bei Bewertung von stochastischen
+Zahlungsströmen anwendbar:
+
+  ---- --------------- ------------------- -------------------
+   WP   Preis (t = 0)   Rückfluss (t = 1)   Rückfluss (t = 1)
+                          in Zustand 1        in Zustand 2
+   1        0,90                1                   1
+   2        0,60                1                   0
+   3        0,28                0                   1
+  ---- --------------- ------------------- -------------------
+
+Folgende Arbitrage ist nun möglich:
+
+- Verkauf Wertpapier 1 in t = 0 (Kreditaufnahme: 0,90); Rückzahlung in
+  t = 1 von 1 (⇒ Wertpapier 1 short).
+
+- Gleichzeitiger Kauf der Wertpapiere 2 und 3 (Kosten 0,60 + 0,28 =
+  0,88); sicherer Rückfluss von 1 (⇒ Wertpapier 2 und 3 long).
+
+- t = 0: Portefeuille wirft Einzahlungsüberschuss von 0,02 ab.
+
+- t = 1: In beiden Zuständen entsprechen die Ein- den Auszahlungen.
+
+- Gleichgewicht: Wertpapier 1 kostet gleichviel wie die Wertpapiere 2
+  und 3 zusammen.
+
+- ⇒ Portefeuilles und Wertpapiere, die in Zukunft denselben
+  (stochastischen) Zahlungsstrom abwerfen, müssen gleich viel kosten.
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+- Heute haben wir uns mit den institutionellen Rahmenbedingungen von
+  Kapitalmärkten, insb. in Deutschland beschäftigt.
+
+- Außerdem haben wir das wichtige Farkas-Theorem kennengelernt.
+
+- In der nächsten Vorlesung werden wir uns mit wichtigen primären
+  Finanztiteln beschäftigen. Wir werden Aktien, Anleihen und auch
+  Optionen kennenlernen.

main2.txt

@@ -0,0 +1,855 @@
+Überblick
+
+- Heute beschäftigen wir uns mit wichtigen primären Finanztitel.
+
+- Aus diesen Finanztiteln entstehen Zahlungsströme, die den Wert des
+  Finanztitels bestimmen.
+
+- Mit der Bewertung von Finanztiteln werden wir uns im zweiten Teil und
+  in der nächsten Woche beschäftigen.
+
+Finanzinstrumente
+
+Primäre Finanztitel
+
+Primäre Finanztitel
+
+Charakterisierung wichtiger Finanztitel
+
+- Nachfolgend werden wichtige Finanztitel über die durch sie
+  hervorgerufenen Zahlungsströme charakterisiert.
+
+- Vernachlässigt werden weitere nicht-monetäre Charakteristika wie z.B.
+  die Bilanzierung, die Veräußerbarkeit, etc. des Finanztitels.
+
+- Wir betrachten die folgenden Finanztitel:
+
+  - Aktien
+
+  - Zinstitel
+
+  - Forwards/Futures
+
+  - Optionen
+
+Aktien
+
+Aktien
+
+- Aktien verbriefen Anteile am Eigentum an einer Aktiengesellschaft und
+  stellen somit Wertpapiere dar. Unter Verbriefung verstehen wir dabei
+  die Schaffung von handelbaren Wertpapieren aus Forderungen bzw.
+  Eigentumsrechten.
+
+- Neben dem Kauf (s₀) und Verkauf (S_(T)) der Aktie resultieren aus dem
+  Besitz von Aktien Dividendenzahlungen (D(t_(i))) zu Zeitpunkten t_(i).
+
+- Man beachte, dass in t₀ der Kaufspreis s₀ deterministisch ist, während
+  die übrigen Zahlungen (zunächst) stochastisch sind.
+
+Beispiel: Cash Flows eines Aktieninvestments In t = 0 werde eine
+Investition in eine Aktie in Höhe von 10.000 Euro getätigt. Nach 6 und
+18 Monaten erhält der Investor eine Dividendenzahlung in Höhe von 500
+Euro, nach 27 Monaten wird die Aktie wieder verkauft. Beim Verkauf
+realisiert der Investor einen Kursverlust von 1200 Euro. Der
+Zahlungstrom für das Investment ist dann gegeben durch:
+{z(t₀) = −10.000; D(t₆) = 500; D(t₁₈) = 500; S(t₂₇) = 8.800}
+
+Man beachte: bei einem thesaurierenden Aktienfonds bzw. einer
+entsprechenden Aktie können die Dividenden zu Gunsten einer höheren
+Endzahlung entfallen.
+
+Zinstitel
+
+Zinstitel
+
+- Zinstitel (auch: Gläubigertitel) verbriefen eine schuldrechtliche
+  Verpflichtung und beinhalten entsprechende Forderungsrechte des
+  Gläubigers gegenüber dem Schuldner.
+
+- Alternative Bezeichnungen:
+
+  - Renten
+
+  - Anleihen / Bonds
+
+  - Schuldverschreibungen
+
+- Der Cash Flow aus der Anlage in einen Zinstitel besteht aus dem Erwerb
+  des Titels zum Kaufpreis p(t₀) und Zins- sowie Tilgungszahlungen zu
+  späteren Zeitpunkten.
+
+- Am Ende der Laufzeit ist die Schuld in Höhe des Nominalbetrages N
+  vollständig getilgt.
+
+- Wird der Zinstitel zu einem Zeitpunkt ge- oder verkauft, an dem keine
+  Zinszahlung anfällt, so wird der entsprechende Kaufs- oder
+  Verkaufspreis in der Praxis um die anteilige Zinszahlung (accrued
+  interest; Stückzinsen) korrigiert.
+
+- Hinsichtlich der Zahlungsmodalitäten können die folgenden Arten von
+  Zinstiteln unterschieden werden:
+
+  - Festverzinsliche Wertpapiere (Festzinstitel, fixed income papers)
+
+  - Variable verzinste Wertpapiere (floating rate notes)
+
+  - Zinsfreie Anleihen
+
+- Festzinstitel: Zinsen vorab festgelegt, konstant (Beispiel: Straight
+  Bond, −P(t₀), Z, …, Z, (Z + N)).
+
+- Zinsfreie Anleihen: Keine laufenden Zinszahlungen, nur endfällige
+  Tilgung
+  (Beispiele: Zerobonds (langfristig); Diskontpapiere, Wechsel, Treasury
+  Bills, Commercial Papers (kurzfristig)).
+
+Beispiel: Cash Flows eines Zinstitels In t = 0 wird ein Standardbond mit
+einer Laufzeit von 3 Jahren in einem Umfang (Nennwert) von 50.000 Euro
+zum Nennwert erworben. Der Bond liefere einen jährlichen nachschüssigen
+Zins in Höhe von 5% und werde endfällig getilgt.
+{50.000; −2.500; −2.500; −52.500} Emittent
+{−50.000; 2.500; 2.500; 52.500} Investor
+
+Man beachte: Das Ausfallrisiko des Emittenten wird hierbei
+vernachlässigt, die Zahlungsströme sind somit deterministisch. In der
+Praxis kann (insb. bei Commercial Papers bzw. Unternehmensanleihen) ein
+nicht zu vernachlässigendes Ausfallrisiko hinzukommen.
+
+Derivate
+
+Derivate
+
+Derivate
+
+- Lat. derivare bzw. derivatum (“ableiten”, “abgeleitet”).
+
+- Ein Derivat ist ein Instrument, dessen Wert von den Werten anderer,
+  grundlegenderer Variablen abhängt.
+
+- Beispiele:
+
+  - Futureskontrakte
+
+  - Forwardkontrakte
+
+  - Swaps
+
+  - Optionen
+
+Begriffliche Gliederung
+
+- Vertragliche Vereinbarung über die Erfüllung des Geschäfts.
+
+  - bedingte vs. unbedingte Termingeschäfte
+
+- Allgemeine Rahmenbedingungen des Handelsplatzes.
+
+  - börsengehandelt vs. außerbörslich gehandelt
+
+- Eigenschaft des Börsenobjektes.
+
+  - Finanzderivate des Aktien-, Zins- und Währungssegments
+
+  - Warenderivate
+
+  - weitere
+
+[image]
+
+Bedingte vs. unbedingte Termingeschäfte
+
+Optionen vs. Futures/Forwards/Swaps
+
+- Futures / Forwards / Swaps verpflichten den Inhaber zum Kauf oder
+  Verkauf zu einem bestimmten Preis an einem bestimmten zukünftigen
+  Termin.
+
+- Eine Option gibt dem Inhaber das Recht zum Kauf oder Verkauf zu einem
+  bestimmten Preis.
+
+Handelsplätze
+
+Börsen
+
+- Kontrakte sind standardisiert und es gibt praktisch kein Kreditrisiko.
+
+Over-the-Counter-Markt
+
+- Ein telefon- und computerverbundenes Netzwerk von Händlern bei
+  Finanzinstitutionen, Unternehmen und Fondsmanagern.
+
+- Kontrakte können flexibel gestaltet werden und es gibt ein geringes
+  Kreditrisiko.
+
+- OTC hat ein größeres Gesamtvolumen als die Börsen.
+
+Forwards und Futures
+
+Forwards und Futures
+
+- Aktien und Zinstitel gehören zu den primären Finanztiteln. Hiervon
+  können sog. derivative Finanztitel (kurz: Derivate) abgeleitet werden.
+
+- Derivate sind stets direkt oder indirekt in Relation zu einem primären
+  Finanztitel definiert und stellen grundsätzlich Termingeschäfte dar.
+
+- Erstes Beispiel für ein Derivat: Forwardkontrakt / Futureskontrakt
+  bzw. Forward/Future. Da wir ausschließlich Finanztitel als
+  Referenzinstrumente berücksichtigen, betrachten wir im Folgenden sog.
+  Financial Forwards.
+
+Definition: Financial Forward Ein Forwardkontrakt beinhaltet für den
+Käufer (Long-Position) bzw. den Verkäufer (Short-Position) die feste
+Verpflichtung,
+
+- zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt (Liefertermin)
+
+- unter Zugrundelegung eines vorab vereinbarten Referenzwertes für die
+  Abrechnung
+
+einen spezifizierten Finanztitel (Basistitel, Underlying) zu kaufen bzw.
+zu verkaufen oder aber den entsprechenden Differenzbetrag zu begleichen
+(Cash Settlement).
+
+Cash Flow eines Forwards
+
+- Ausgangspunkt ist der Erwerb eines Forwards im Zeitpunkt t = s mit
+  Erfüllungszeitpunkt t = T (mit T > s).
+
+- Wir vernachlässigen die Stellung möglicher Sicherheitsleistungen
+  (siehe unten).
+
+- Eine Zahlung findet dann ausschließlich im Zeitpunkt t = T statt.
+  Insbesondere handelt es sich (bei Vernachlässigung der
+  Sicherheitsleistungen) hierbei um ein Nullinvestment.
+
+  - F_(s): vertraglich vereinbarter Referenzwert des Underlying für den
+    Erwerb im Zeitpunkt t = T.
+
+  - K_(T): Marktwert des Underlyings im Zeitpunkt t = T.
+
+  - K_(T) − F_(s): Gewinn-/Verlustposition aus Sicht des Käufers.
+
+  - F_(s) − K_(T): Gewinn-/Verlustposition aus Sicht des Verkäufers.
+
+- Wird das Geschäft mittels eine Cash Settlements erfüllt, so findet
+  eine Ausgleichszahlung in entsprechender Höhe statt.
+
+Gewinn-/Verlustfunktion bei einem Forward
+
+- Grundsätzlich gilt, dass der Käufer des Forwards von steigenden, der
+  Verkäufer von sinkenden Kursen des Basistitels profitiert.
+
+- Forward-Kontrakte können jedoch auch (ohne Gewinnabsicht) für das
+  Hedging gegen bestimmte Risiken eingesetzt werden.
+
+Gewinn-/Verlustfunktion eines Forwards zum Liefertermin
+
+[image]
+
+Futureskontrakte - Grundlagen
+
+- Vertrag über den Kauf oder Verkauf eines Assets zu einem bestimmten
+  Preis an einem bestimmten zukünftigen Termin.
+
+- ähnlich wie ein Forwardkontrakt.
+
+- Während ein Forwardkontrakt auf den OTC-Märkten gehandelt wird, werden
+  Futureskontrakte an den (Termin-)Börsen gehandelt: hochgradik
+  standardisiert.
+
+- Tägliche Abrechnung.
+
+Beispiel: Potato Futures (euronext.liffe)
+
+- Unit of trading: 25 tons
+
+- Contract size: 250
+
+- Quality: The potatoes must be suitable for french fries and of the
+  varieties Bintje, Asterix, Maritiema, Agria, Victoria or Arcade (from
+  harvest 2005 contracts Arcade is deleted from this list and Ramos and
+  Innovator are added). The potatoes must meet the following
+  requirements:
+
+  1.  A tuber count of a maximum of 65 tubers per 10 kilogrammes
+
+  2.  Minimum size equivalent to a 40 mm riddle and with no maximum
+
+  3.  An underwater weight of a minimum of 360 grammes
+
+  4.  A frying colour grade of maximum 4
+
+  5.  Maximum 8 class 3 french fries
+
+  6.  Maximum 50 points
+
+- Contract standard: Cash settlement based on the settlement price by
+  euronext.liffe Amsterdam.
+
+Auflösung von Futurespositionen
+
+- Die meisten Futureskontrakte werden nicht durch Lieferung des
+  Basisobjekts erfüllt.
+
+- Dies gilt häufig selbst dann, wenn ein Hedger das Basisobjekt
+  tatsächlich kaufen oder verkaufen möchte.
+
+- Auflösung eines Futureskontrakts vor Fälligkeit durch Eingehen einer
+  Gegenposition in gleicher Höhe und mit der gleichen Kontraktfälligkeit
+  (Glattstellung).
+
+Konvergenz von Futures- zu Kassapreisen
+
+[image] [image]
+
+Margins
+
+- Bei Vertragsabschluss eines Futures kommt es zur Stellung einer
+  Sicherheitsleistung (Margin) in Prozent des Vertragswertes. Bei einem
+  Forward kann es dazu kommen.
+
+- Diese Sicherheitsleistung ist in der Regel bei der das Geschäft
+  abwickelnden Stelle (beim Futures: Börse oder Clearing-Stelle) zu
+  hinterlegen.
+
+- Eine Margin besteht aus einem Kapitaleinschuss oder einem Portfolio
+  aus marktgängigen Wertpapieren, das vom Investor bei der Börse oder
+  beim Broker hinterlegt wird.
+
+- Der Kontostand des Margin-Kontos wird täglich angepasst, um die
+  Gewinne (Verluste) aus offenen Futurespositionen auszugleichen.
+
+- Es besteht oftmals eine Nachschusspflicht (Margin Call) während der
+  Vertragslaufzeit, wenn die Sicherheitsleistung durch eine
+  entsprechende negative Änderung des Wertes des Underlying aufgezehrt
+  ist.
+
+- Mit Hilfe der Sicherheitsleistungen soll insbesondere eine
+  Verlustakkumulation verhindert werden.
+
+- Margins minimieren die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Kontrakte nicht
+  erfüllt werden.
+
+Beispiel für die Berechnung von Margins
+Ein Investor geht am 5. Juni eine Long-Position mit zwei
+Dezember-Gold-Futureskontrakten ein:
+
+- Kontraktgröße ist 100 Unzen
+
+- Futurespreis ist US pro Unze
+
+- Initial Margin beträgt US /Kontrakt (US insgesamt)
+
+- Maintenance Margin ist US /Kontrakt (US insgesamt)
+
++:------:+:-------:+:-------:+:-------:+:------:+:-------:+:--------+
+|        |         | Tägl.   | Kumul.  | Margin |         |         |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+|        | F       | Gew.    | Gew.    | Konto- |         | Margin  |
+|        | utures- |         |         |        |         |         |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+|        | preis   | (Verl.) | (Verl.) | stand  |         | Call    |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| Tag    | (US)    | (US)    | (US)    | (US)   |         | (US)    |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| 2-6    |         |         |         |        |         |         |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+|        | 400,00  |         |         | 4000   |         |         |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| 5-Jun  | 397,00  | (600)   | (600)   | 3400   |         | 0       |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| ⋮      | ⋮       | ⋮       | ⋮       | ⋮      |         | ⋮       |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| 13-Jun | 393,30  | (420)   | (1340)  | 2660   | +       | 1340 =  |
+|        |         |         |         |        |         | 4000    |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| ⋮      | ⋮       | ⋮       | ⋮       | ⋮      | (15,10) | ← <     |
+|        |         |         |         |        | (10,0)( | 3000    |
+|        |         |         |         |        | -3,1)15 |         |
+|        |         |         |         |        | (       |         |
+|        |         |         |         |        | 10,0)(- |         |
+|        |         |         |         |        | 3,-1)15 |         |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| 19-Jun | 387,00  | (1140)  | (2600)  | 2740   | +       | 1260 =  |
+|        |         |         |         |        |         | 4000    |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| ⋮      | ⋮       | ⋮       | ⋮       | ⋮      |         | ⋮       |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+| 26-Jun | 392,30  | 260     | (1540)  | 5060   |         | 0       |
++--------+---------+---------+---------+--------+---------+---------+
+
+Terminbörsen
+
+- Chicago Board of Trade (CBoT), http://www.cbot.com
+
+- Chicago Mercantile Exchange (CME), http://www.cme.com
+
+- NYSE Euronext, http://www.nyseeuronext.com
+
+- Eurex (Europe)
+
+- BM&F Bovespa (Sao Paulo, Brazil)
+
+- TIFFE (Tokyo)
+
+- und viele andere
+
+Optionen
+
+Optionen
+
+- Mit der wichtigste Vertreter der derivativen Finanzinstrumente sind
+  sogenannte Optionskontrakte bzw. Optionen.
+
+- Optionen vebriefen das Recht (und nicht die Pflicht; hierin besteht
+  der Unterschied zum Forwardkontrakt)
+
+  - einen festgelegten Basistitel (Underlying; dies kann z.B. eine Aktie
+    oder ein weiteres Derivat sein)
+
+  - zu einem vorab festgelegten Preis (Ausübungspreis, Strike)
+
+  - nur am Ende (europäische Option) bzw. bis zum Ende (amerikanische
+    Option) einer bestimmten Frist (Laufzeit)
+
+  - zu kaufen (Kaufoption, Call) oder zu verkaufen (Verkaufsoption,
+    Put).
+
+- Der Verkäufer einer Option besitzt kein Ausübungsrecht /
+  Widerspruchsrecht und muss auf die Lieferung bzw. Abnahme des
+  Basistitels vorbereitet sein (man nennt den Verkäufer daher oft auch
+  den Stillhalter der Option).
+
+  - Instrument der einseitigen Risikobegrenzung
+
+Terminologie
+
+- Optionskäufer = Inhaber der Option = Optionsnehmer (er)halten eine
+  Long-Position
+
+- Optionsverkäufer = Optionsgeber = Stillhalter (er)halten eine
+  Short-Position
+
+- Basispreis (= Ausübungs- oder Strikepreis)
+
+- Optionsprämie (= Optionspreis oder -kurs)
+
+- Verfalldatum (= Fälligkeit)
+
+- Amerikanische vs. Europäische Option
+
+  - Eine amerikanische Option kann während der gesamten Laufzeit
+    ausgeübt werden
+
+  - Eine europäische Option kann nur am Ende der Laufzeit ausgeübt
+    werden
+
+  - Eine Bermuda-Option kann zu bestimmten Zeitpunkten während der
+    Laufzeit ausgeübt werden
+
+Wert der Option
+
+- Nicht zu verwechseln mit dem Preis der Option
+  (Der Preis bezieht sich auf den Handelspreis am Markt; der Wert auf
+  die modelltheoretische Analyse)
+
+- Es gilt:
+  Optionswert =  Innerer Wert  +  Zeitwert
+
+- Innerer Wert einer Kaufoption = max (S − K, 0)
+
+- Unterscheide in-the-money, at-the-money und out-of-the-money.
+
+- Im Zeitwert spiegeln sich noch mögliche, für den Investor positive,
+  Kursentwicklungen während der Restlaufzeit wider.
+
+Wert der Option
+
+= +
+
+- Eine Option, die einen inneren Wert besitzt, wird auch als im Geld
+  oder in-the-money bezeichnet.
+
+- Eine Option ohne inneren Wert bezeichnet man als aus dem Geld oder
+  out-of-the-money.
+
+- Am Geld oder at-the-money bedeutet, dass der Ausübungspreis gleich dem
+  Marktpreis des Basiswertes ist.
+
+Preis der Option: Die Optionsprämie
+
+- Wird durch Angebot und Nachfrage bestimmt.
+
+- Hängt von zahlreichen Einflußfaktoren ab (siehe oben, Wert der
+  Option):
+
+  - Kassakurs des Basisobjekts, Ausübungspreis und Optionslaufzeit,
+
+  - Margins, Transaktionskosten und Steuern,
+
+  - Rahmenbedingungen (bspw. Zutrittsbeschränkungen) der Terminmärkte
+    und Risikoeinstellung der Marktteilnehmer.
+
+Europäische Optionen
+
+- Wir betrachten im Folgenden ausschließlich Europäische Optionen und
+  schauen uns die Position des Käufers (Long-Position) sowie die
+  Verkaufsposition (Short-Position) an, die hierzu spiegelbildlich zu
+  sehen ist.
+
+- Zu Beginn der Laufzeit muss der Käufer die Optionsprämie C₀ (Call)
+  oder P₀ (Put) entrichten.
+
+- Am Ende der Laufzeit T wird der Besitzer der Option diese ausüben,
+  sofern der Wert des Underlyings S_(T) bei einem Call (Put) größer
+  (kleiner) ist als der Strike K.
+
+Auszahlungsprofile: Europäische Optionen Die Auszahlungsprofile
+(Payoff-Profile) des Europäischen Calls und Puts sind gegeben durch:
+$$\begin{aligned}
+C_T&=&\max\left\{S_T-K;0\right\}\\
+P_T&=&\max\left\{K-S_T;0\right\}\\
+\end{aligned}$$
+Die Funktionen C_(T) und P_(T) beschreiben gleichzeitig den Wert der
+Option im Zeitpunkt T. Ziehen wir die Optionsprämie C₀ bzw. P₀ hiervon
+ab, so erhalten wir die Gewinn-/Verlustfunktionen der Optionen.
+
+Gewinn- und Verlustprofil Long Call
+
+[image]
+
+Gewinn- und Verlustprofil Short Call
+
+[image]
+
+Gewinn- und Verlustprofil Long Put
+
+[image]
+
+Gewinn- und Verlustprofil Short Put
+
+[image]
+
+Synthetische Positionen
+
+- Gewinn/Verlustprofil eines existierenden Finanztitels wird durch
+  Kombination anderer Finanztitel dupliziert.
+
+- Gewinn/Verlustprofil wird also synthetisch über die Kombination
+  verwandter Instrumente nachgebildet.
+
+- Wird durch Beziehung zwischen Derivaten und Underlyings ermöglicht.
+
+Synthetische Positionen
+
+Gewinn/Verlustprofil des synthetischen Kaufs einer Kaufoption
+
+[image]
+
+Ausgewählte synthetische Positionen im Überblick
+
+  Synthetische Nachbildung von ...   durch ...
+  ---------------------------------- -------------------------------------------
+  Long Call                          Long Put und Kauf des Basiswertes
+  Short Call                         Short Put und Leerverkauf des Basiswertes
+  Long Put                           Long Call und Leerverkauf des Basiswertes
+  Short Put                          Short Call und Kauf des Basiswertes
+  Kauf des Basiswertes               Short Put und Long Call
+  Leerverkauf des Basiswertes        Long Put und Short Call
+
+Gewinn- / Verlustprofil Short Straddle
+
+[image]
+
+Gewinn- und Verlustprofil Long Strangle
+
+[image]
+
+Wichtige Eigenschaften von Optionen
+
+- Für die Ausübung einer klassischen Option ist nur ein einziger Kurs
+  von Interesse, der Kurs des Basisinstruments.
+  → Bei exotischen Optionen können die Kurse mehrerer Basisinstrumente
+  relevant sein und die Höhe der Zahlung bzw. die Zulässigkeit der
+  Ausübung beeinflußen.
+  → Beispiel: Basket-Optionen
+
+- Der Wert, den der Optionserwerber bei Ausübung einer klassischen, im
+  Geld liegenden Option erhält, ist linear steigend mit Steigung eins,
+  bezogen auf den Kassakurs des Basisinstruments.
+  → Bei exotischen Optionen kann diese Linearität ersetzt werden durch
+  eine nichtlineare Beziehung zwischen der Zahlung bei Ausübung und dem
+  Kurs des Basisinstruments. Die Ausübung kann auch zu einer fixen,
+  kursunabhängigen Zahlung führen.
+  → Beispiel: Digitaloptionen (Binäroptionen), also Cash or
+  Nothing-Optionen, etc.
+
+- Die Zahlung bei Ausübung einer klassischen Option bemisst sich nur
+  nach dem Kurs des Basisinstruments im Ausgangszeitpunkt.
+  → Bei exotischen Optionen können dagegen auch andere Zeitpunkte oder
+  auch Zeiträume relevant sein.
+  → Beispiel: Durchschnittsoptionen (bspw. Asiatische Optionen)
+
+- Das Recht des Erwerbers einer klassischen Option, diese wahrzunehmen,
+  ist nur im Hinblick darauf beschränkt, wann er ausüben darf, ansonsten
+  existieren keine Beschränkungen.
+  → Einige exotische Optionen sind die Aufrechterhaltung oder
+  Inkraftsetzung des Ausübungsrechts an bestimmte Bedingungen, z. B.
+  bezüglich des Kursverlaufs des Basisinstruments, geknüpft.
+  → Beispiel: Schwellenoptionen oder Barrier-Optionen
+
+Kurspfadabhängige Optionen
+
+- Eine Option wird als kurspfadabhängig bezeichnet, wenn die Auszahlung
+  zur Optionsfälligkeit von der Kursentwicklung bis zu diesem Zeitpunkt
+  direkt abhängt.
+
+- Kurspfadabhängige Optionen können zusätzlich einem Schwellenkriterium
+  unterliegen.
+
+Systematik exotischer Optionen
+
+p.1|p.1|p.2|p.2|p.2 Faktorzahl & Determi- nanten & Kurspfadunabhängige
+Optionen &
+& & & Ohne Schwelle & Mit Schwelle
+Einfak- torielle Optionen & Qualitativ & Digital-Optionen (Asset or
+Nothing-, Cash or Nothing- sowie Gap-Optionen) & Schalteroptionen,
+Rangeoptionen & Kontroll-Optionen, Quattro-Optionen
+& Quantitativ & Klassische (=Plain-Vanilla) Optionen, Power Optionen,
+Contingent Optionen & Durchschnittsoptionen, Extremwertoptionen &
+Schwellen-Optionen
+& Basket-Optionen, Performance-Optionen, Quanto-Optionen &
+Compound-Optionen, Chooser-Optionen &
+
+Einfaktorielle Optionen
+
+- Digitaloptionen (Binäroptionen)
+
+  - Cash or Nothing-Kaufoptionen
+
+  - Asset or Nothing Calls
+
+- Schalteroptionen
+
+- Range-Optionen
+
+- Schwellenoptionen (Kontrolloptionen)
+
+- Contigent-Optionen
+
+  - Pay Later-Option
+
+- Power-Optionen
+
+  - Potenzierung des entsprechenden Auszahlungsbetrags.
+
+  - Auszahlung nach oben limitiert.
+
+Einfaktorielle Optionen
+
+- Durchschnittsoptionen
+
+  - Meist arithmetisch
+
+  - Average Rate Call-Option (Asian Call)
+
+  - Average Strike Call-Option
+
+- Extremwertoptionen (Lookback-Optionen)
+
+  - Extreme Kursrealisationen
+
+- Schwellenoption (Barrier-Optionen)
+
+  - Wird ein festgelegtes Kursniveau, die Schwelle, erreicht, wird das
+    Recht auf Ausübung der Option in Kraft (In-Option) oder außer Kraft
+    (Out-Option) gesetzt.
+
+Mehrfaktorielle Optionen
+
+- Basket-Optionen
+
+  - Kursdurchschnitt aus einer spezifizierten Zahl von Aktien, die oft
+    derselben Branche angehören.
+
+- Performance-Optionen
+
+  - Entscheidend ist die relative Entwicklung der Kurse mehrerer
+    Basisinstrumente.
+
+- Quanto-Options
+
+  - Die Ausübung führt zu einer Zahlung, die sich aus der Differenz des
+    Kurses eines Basisobjekts und einem Ausübungspreis, die beide in
+    Fremdwährung denominiert sind, und dem Terminkurs dieser
+    Fremdwährung ergibt.
+
+  - Die Zahlung erfolgt nicht in Fremdwährung, sondern in Heimatwährung.
+
+Mehrfaktorielle Optionen
+
+- Compound-Optionen
+
+  - Basisobjekt einer ansonsten klassischen Option ist wiederum eine
+    Option.
+
+- Chooser-Optionen
+
+  - ähnlich wie über Straddle-Positionen.
+
+  - Billiger als Straddles.
+
+Swaps
+
+Swaps
+
+- Ein (Zins-)Swap ist eine Vereinbarung zwischen i.d.R. zwei Parteien.
+
+- Dabei handelt es sich um ein außerbörliches (OTC) (Zins-)
+  Termingeschäft.
+
+- Dennoch sind Swaps weitgehend standardisiert durch die festgelegten
+  Definitionen und ein Standardvertragswerk der ISDA.
+
+- Swaps sind unbedingte (symmetrische) Zinstermingeschäfte.
+
+- Vereinfacht ausgedrückt kann man kann einen Swap als eine Kombination
+  von Forwards betrachten.
+
+- Beispiel Plain Vanilla Swap: Tausch fester Zinszahlungen gegen
+  variable Zinszahlungen.
+
+Swaps
+
+[image]
+
+Contracts for differences (CFDs)
+
+Contracts for differences (CFDs)
+
+- Derivative Kontrakte, die so gestaltet sind, dass der Preis immer dem
+  des zugrunde liegenden Wertpapiers entspricht.
+
+- Wurde 1990 für institutionelle Anleger in Großbritannien entwickelt,
+  um die stamp duty (Steuern) zu vermeiden.
+
+- 1998 für Kleinanleger eingeführt.
+
+- Großbritannien größter Markt, gefolgt von Deutschland, Japan,
+  Australien und Singapur.
+
+- Deutschland: 1,58 Billionen Euro im Jahr 2018 (CFD Verband e.V.), das
+  entspricht etwa dem gesamten Transaktionsvolumen der Deutschen Börse
+  AG.
+
+- Vorteile: Leverage, Short-Positionen.
+
+Einsatzgebiete
+
+Wozu Derivate eingesetzt werden
+
+- Um Risiken zu hedgen.
+
+- Um (auf bestimmte zukünftige Marktentwicklungen) zu spekulieren.
+
+- Um Arbitragegewinne zu realisieren.
+
+- Um bestimmte Eigenschaften einer Verbindlichkeit zu ändern.
+
+- Um bestimmte Eigenschaften eines Investments zu ändern, ohne dafür
+  Kosten für den Verkauf des Portfolios und den Kauf eines anderen
+  Portfolios aufzuwenden.
+
+Händlertypen
+
+- Hedger
+
+- Spekulanten
+
+- Arbitrageure
+
+Einige der größten Handelsverluste sind eingetreten, weil Personen mit
+dem Mandat, als Hedger oder Arbitrageur zu handeln, plötzlich
+Spekulanten wurden.
+
+Hedger
+
+Beispiele
+
+- Ein europäisches Unternehmen wird in drei Monaten eine Zahlung für
+  Importe aus den USA zahlen und möchte diese Verpflichtung durch eine
+  Long-Position in einem Forward absichern.
+
+  [image]
+
+- Ein Investor besitzt 1000 Aktien von Microsoft bei einem aktuellen
+  Kurs von pro Aktie. Ein zweimonatiger Put mit einem Basispreis von
+  kostet aktuell . Der Investor sichert seine Position durch den Kauf
+  von 10 Kontrakten ab.
+
+Wert einer Aktienposition mit/ohne Hedging
+
+[image]
+
+Spekulanten
+
+Ein Beispiel
+
+- Ein Investor mit Vermögen erwartet, dass der Aktienkurs von Amazon in
+  den nächsten 2 Monaten steigen wird. Der aktuelle Kurs beträgt , der
+  Preis eines zweimonatigen Calls mit einem Basispreis von beläuft sich
+  auf .
+
+- Was sind die möglichen Strategien?
+
+Arbitrageure
+
+1. Gold: Eine Arbitragemöglichkeit?
+Nehmen Sie an:
+
+- Kassakurs für Gold beträgt US pro Unze
+
+- Einjahres-Forwardpreis für Gold beträgt US pro Unze
+
+- Einjahres-US-Zinssatz ist 5 %  p.a.
+
+Existiert eine Arbitragemöglichkeit?
+
+Arbitrageure
+
+2. Gold: Eine weitere Arbitragemöglichkeit?
+Nehmen Sie an:
+
+- Kassakurs für Gold ist US pro Unze
+
+- Einjahres-Forwardpreis für Gold beträgt US pro Unze
+
+- Einjahres-US-Zinssatz ist 5 %  p.a.
+
+Existiert eine Arbitragemöglichkeit?
+
+Arbitrageure
+
+Der Forwardpreis von Gold
+Falls der Kassakurs für Gold S ist und der Forwardpreis für einen
+Kontrakt mit Fälligkeit in T Jahren F ist, dann gilt
+F = S(1 + r)^(T)
+wobei r der Einjahres-Zinssatz für eine (heimische) risikolose Anlage
+ist.
+
+In den Beispielen war S = 300, T = 1 und r = 0, 05, so dass gilt:
+F = 300 ⋅ (1 + 0, 05) = 315
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+- Heute haben wir uns mit einigen wichtigen Finanztiteln beschäftigt.
+
+- Wir haben sowohl Aktien und Anleihen als auch einige wichtige Derivate
+  kennengelernt.
+
+- In der nächsten Vorlesung werden wir uns mit der Bewertung unter
+  Risiko befassen.

main3.txt

@@ -0,0 +1,1574 @@
+Überblick
+
+- Heute beschäftigen wir uns (zunächst) mit der Bewertung von
+  Anlagealternativen unter Risiko.
+
+- Im weiteren Verlauf der heutigen Vorlesung werden wir dann die
+  Kombination von verschieden Anlagealternativen zu Portfolios
+  diskutieren.
+
+Investitionsbewertung unter Unsicherheit
+
+Investitionsbewertung unter Unsicherheit
+
+Berücksichtigung von Unsicherheit
+
+- Im Rahmen der Investitionsbewertung unter Unsicherheit ist es
+  regelmäßig erforderlich, Risiken innerhalb der Barwertberechnung zu
+  berücksichtigen.
+
+- Dies gelingt über drei unterschiedliche Ansätze:
+
+  - Wahl eines Diskontierungszinses, der das Risiko adäquat abbildet
+    (z.B. LIBOR; EURIBOR; EONIA bei Finanzinvestitionen)
+
+  - Risikozuschlag auf den risikolosen Kapitalmarkt- oder
+    Wertpapierzinssatz
+
+  - Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten anstatt unsicherer Cash
+    Flows (bei unverändertem Kalkulationszins)
+
+- Wichtig: Alle Ansätze betrachten keine sicheren Cash Flows mehr,
+  sondern den Erwartungswert unsicherer Cash Flows.
+
+Exkurs: Statistische Operatoren
+
+- Der Erwartungswert und die höheren Momente einer
+  Wahrscheinlichkeitsverteilung erlauben uns, die Verteilung auf einfach
+  quantifizierbare und vergleichbare Kennzahlen herunterzubrechen.
+
+- Betrachten wir als Motivation einmal eine Investition in Aktien.
+
+  - Aufgrund der unsicheren Zukunftsentwicklungen ist das zukünftige
+    Endvermögen eine Zufallsvariable.
+
+  - Das Endvermögen hängt ab von
+
+    - der gewählten Alternative (→ beeinflussbar) und
+
+    - dem eingetretenem Zustand der Natur / Umweltzustand (→ nicht
+      beeinflussbar).
+
+- Wir treffen die folgenden Annahmen:
+
+  - 2 Zeitpunkte: t = 0 und t = 1
+
+  - Zustandsbezogene Betrachtungsweise:
+
+    - Zustände müssen unabhängig von der gewählten Alternative definiert
+      sein.
+
+    - Zustände sind bekannt mit endlicher Anzahl.
+
+    - diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
+
+    - den Zuständen können subjektive Wahrscheinlichkeiten zugeordnet
+      werden.
+
+  - Grundsätzlich unterscheiden wir zwischen Entscheidungen unter Risiko
+    und Entscheidungen unter Unsicherheit.
+
+    - Entscheidungen unter Risiko: Subjektive Wahrscheinlichkeit
+      vorhanden.
+
+    - Entscheidungen unter Unsicherheit: Unbekannte Wahrscheinlichkeit.
+
+- Daraus ergibt sich eine Ergebnismatrix in t = 1:
+
+    ---------------------- -------- -------- --- --------
+     Eintrittsw’keiten ∑1     w₁       w₂     ⋯   w_(n)
+           Zustände           S₁       S₂     ⋯   S_(n)
+       1-1 Alternativen                          
+              a₁             E₁₁      E₁₂     ⋯   E_(1n)
+              a₂             E₂₁      E₂₂     ⋯   E_(2n)
+              ⋮               ⋮        ⋮      ⋱     ⋮
+            a_(m)           E_(m1)   E_(m2)   ⋯   E_(mn)
+    ---------------------- -------- -------- --- --------
+
+- In einer alternativen Darstellung können wir die verschiedenen
+  Ergebnisse auch über ein Baumdiagramm darstellen.
+
+  (200,100) (100,80)(-1,-1)60 (100,80)(-1,-2)30 (100,80)(1,-2)30
+  (100,80)(1,-1)60 (30,0)E₁₁ (60,0)E₁₂ (160,0)E_(1n) (135,20)… (100,0)
+  …… (95,90)a₁
+
+  width=0.85,center
+
+  (320,120) (70,80)(-1,-1)60 (70,80)(0,-1)65 (70,80)(1,-1)60 (0,0)80
+  (60,0)120 (130,0)160 (25,50)$\frac{1}{3}$ (60,50)$\frac{1}{3}$
+  (105,50)$\frac{1}{3}$ (60,90)-100 (55,110)Aktie (220,110)Anleihe
+  (250,80)(-1,-1)60 (250,80)(0,-1)65 (250,80)(1,-1)60 (180,0)120
+  (240,0)120 (310,0)120 (205,50)$\frac{1}{3}$ (240,50)$\frac{1}{3}$
+  (285,50)$\frac{1}{3}$ (240,90)-100
+
+- Unser Ziel ist nun eine Auswahl zwischen
+  Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
+
+- Diese Auswahl basieren wir auf oben angesprochenen Kennzahlen der
+  Verteilung, den sog. Momenten.
+
+- Mögliche Kennzahlen in diesem Kontext sind:
+
+  - Erwartungswert
+
+  - Varianz/Standardabweichung
+
+  - Kovarianz/Korrelationskoeffizient
+
+- Schauen wir auf ein Beispiel.
+
+- Die folgende Tabelle zeigt uns in t = 1 Aktienwerte in Euro.
+
+         Zustand       S₁    S₂    S₃    S₄      
+    ----------------- ----- ----- ----- ----- -- --
+     Eintrittsw’keit   0,1   0,3   0,4   0,2     
+         Aktie I       150   170   180   200     
+        Aktie II       280   300   270   290     
+        Aktie III      100   100   100   100     
+
+- Die Preise / Kurse der Aktien in t = 0 betragen:
+
+  - Aktie I: 125 €
+
+  - Aktie II: 250 €
+
+  - Aktie III: 90 €
+
+- Dann ergibt sich der Erwartungswert:
+
+  $$\begin{aligned}
+  \mbox{E}[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j E_{ij} \\[1ex]
+  \mbox{E}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150 + 0,3\cdot 170 + 0,4\cdot 180 + 0,2\cdot 200 = \underline{178 \text{ \euro}} \\[1ex]
+  \mbox{E}[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{284 \text{ \euro}} \\[1ex]
+  \mbox{E}[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{100 \text{ \euro}}
+  \end{aligned}$$
+
+- Die Varianz:
+
+  $$\begin{aligned}
+  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j \left( E_{ij}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]\right)^2 \\[1ex]
+  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot (150-178)^2 + 0,3\cdot (170-178)^2 \\
+   & + & 0,4\cdot (180-178)^2 + 0,2\cdot (200-178)^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
+  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{164 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
+  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2}
+  \end{aligned}$$
+
+- Oder, alternativ:
+
+  $$\begin{aligned}
+  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i] & = & \underbrace{\sum_{j=1}^n w_j E_{ij}^2}_{\mbox{E}[\tilde{E}_i^2]}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]^2 \\[1ex]
+  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150^2 + 0,3\cdot 170^2 \\
+   &+& 0,4\cdot 180^2 + 0,2\cdot 200^2 -178^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\
+  . . . & & 
+  \end{aligned}$$
+
+- Die Standardabweichung:
+
+  $$\begin{aligned}
+  \sigma[\tilde{E}_i] & = & \sqrt{\mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i]} \\[1ex]
+  \sigma[\tilde{P}_1^{I}] & = & \sqrt{196} = \underline{14 \text{ \euro}} \\[1ex]
+  \sigma[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{12,8062 \text{ \euro}} \\[1ex]
+  \sigma[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}}
+  \end{aligned}$$
+
+- Die Kovarianz:
+  $$\begin{aligned}
+  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \sum_{j=1}^n w_j (E_{ij}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]) (E_{kj}-\mbox{E}[\tilde{E}_k]) \\[1ex]
+  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & 0,1 (150-178)\cdot (280-284)\\
+   & + & 0,3 (170-178)\cdot (300-284) \\
+   & + & 0,4 (180-178)\cdot (270-284) \\
+   & + & 0,2 (200-178)\cdot (290-284) = \underline{-12 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
+  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
+  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2}
+  \end{aligned}$$
+
+- Und der Korrelationskoeffizient:
+
+  $$\begin{aligned}
+  \rho[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k]}{\sigma[\tilde{E}_i]\cdot \sigma[\tilde{E}_k]} \quad \left(\rho \in [-1;1]\right) \\[1ex]
+  \rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & \frac{-12 \text{\euro}^2}{14\text{\euro}\cdot 12,8062\text{\euro}} = \underline{-0,0669} \\[1ex]
+  \rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0} \\[1ex]
+  \rho[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0}
+  \end{aligned}$$
+
+Das Bernoulli-Prinzip
+
+Wie entscheiden unter Risiko?
+
+Wie soll ein bestimmtes (Anfangs-)Vermögen W₀ auf
+Wertpapiere/Investitionsalternativen aufgeteilt werden?
+
+  ------------- --------------------------------------------------------
+  Sicherheit:   Investition in das WP, welches das höchste EV erzielt.
+  Risiko:       Zunächst keine Entscheidung möglich.
+  ------------- --------------------------------------------------------
+
+[image]
+
+- Mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erzielen WP A und WP B eine
+  bestimmte Rendite. Aber welches WP ist zu wählen?
+
+- Auch möglich: Portfoliobildung (dazu gleich mehr).
+
+[image]
+
+- D. h. für unterschiedliche (x_(A), x_(B))-Kombinationen bekommt man
+  unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Portfoliorendite
+  (stochastisch).
+
+Klassische Entscheidungsgrundsätze
+
+ 
+Die Grundidee: Berechnen Sie die Momente der
+Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die Präferenzwerte zu bestimmen.
+
+1. Moment:
+
+- Rendite  $\widehat{=}$ Erwartungswert μ
+
+- Wählen Sie die Alternativen mit dem höchsten erwarteten Wert.
+
+- Entscheidungsregel (formal): E[Ṽ_(i)] > E[Ṽ_(k)] ⇒ V_(i) ≻ V_(k)
+
+Klassische Entscheidungsgrundsätze
+
+ 
+Beispiel
+Aktie: $\mbox{E}[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80+120+160)=$ 120.
+Staatsanleihe: E[Ṽ^(BA)]= 120.
+Eine ausschließlich auf Erwartungswerten basierende Entscheidungsfindung
+ist für risikoscheue oder risikofreudige Anleger nicht geeignet, da die
+Unsicherheit von Aktien nicht berücksichtigt wird.
+⇒ mindestens eine Kennzahl zur Risikomessung ist erforderlich.
+
+Klassische Entscheidungsgrundsätze
+
+ 
+
+2. Moment
+
+- Risikomaß  $\stackrel{\wedge}{=}$ Standardabweichung σ oder Varianz σ²
+
+- Definiert Φ(E[Ṽ_(i)], var [Ṽ_(i)]) den
+
+  - Erwartungswert und variationsabhängiger Präferenzwert,
+
+  - führt dies zu der folgenden (formalen) Entscheidungsregel:
+
+  - Φ(E[Ṽ_(i)], var [Ṽ_(i)]) > Φ(E[Ṽ_(k)], var [Ṽ_(k)]) ⇒ V_(i) ≻ V_(k)
+
+- Beachten Sie, dass neben der Standardabweichung oder Varianz mehrere
+  andere Risikofaktoren möglich sind: Schiefe, Kurtosis, Value at Risk,
+  erwarteter Ausfall, ...
+
+Klassische Entscheidungsgrundsätze
+
+ 
+Beispiel
+
+Aktie: ̄
+$\mathop{\mathrm{var}}[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80-120)^2+\frac{1}{3} (120-120)^2+\frac{1}{3} (160-120)^2$
+$=\text{1.066,62\EUR{}}^2.$
+σ[Ṽ^(A)]= 32.66
+
+Staatsanleihe: var [Ṽ^(BA)] = 0 = σ[Ṽ^(BA)].
+
+Das (μ, σ)-Prinzip
+
+ 
+Das (μ, σ)-Prinzip setzt eine Entscheidungsfindung auf der Grundlage von
+μ und σ voraus.
+
+Beispiel: Präferenzfunktion des Investors:
+$\Phi=\mu-\frac{1}{5}\sigma^2$
+Aktie: $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 1.066,67=-93,33$
+Staatsanleihe: $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 0=120$
+⇒ Wähle die Staatsanleihe!
+
+→ Unter der Annahme, dass zwei Projekte den gleichen Erwartungswert
+haben, entscheiden sich risikoscheue Investoren immer für das weniger
+riskante Projekt.
+
+Das Bernoulli-Prinzip
+
+- Unter Anwendung des Bernoulli-Prinzips versuchen wir, den erwarteten
+  Nutzen zu maximieren.
+  $$\mbox{E}[U(\tilde{r_{PF}})]\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$$
+
+- ⇒ Die Entscheidungsfindung unter Risiko wird gelöst durch:
+
+  - Zustandsabhängige Ergebnisse V_(ij) jeder Alternative kombiniert mit
+    einer Nutzenfunktion U(Ṽ) ergeben einen zustandsabhängigen
+    Nutzenwert U(V_(ij)).
+
+  - Bestimmen Sie die Erwartungswerte des Nutzens für jede Alternative
+    i:
+    $$\mbox{E}[U(\tilde V_i)] = \sum_{j=1}^n p_j \cdot U(V_{ij}).$$
+
+  - Die Entscheidungsfindung berücksichtigt alle relevanten
+    Erwartungswerte des Nutzens. Zwei Alternativen, i und k:
+    E[U(Ṽ_(i))] > E[U(Ṽ_(k))] ⇒ V_(i) ≻ V_(k).
+    Erwartungsnutzen-Maximierung
+
+- Annahme: Axiome des rationalen Verhaltens: Das Bernoulli-Prinzip geht
+  von rationalem Verhalten aus.
+  Anmerkung: Unter dieser Annahme gibt es eine Nutzenfunktion U(Ṽ) für
+  zwei zufällige Wahrscheinlichkeitsverteilungen w₁ und w₂:
+  $$\begin{aligned}
+  w_1 > w_2 & \Leftrightarrow \mbox{E}_{w_1}[U(\tilde V)]>\mbox{E}_{w_2}[U(\tilde V)]\\
+  w_1 \sim w_2 & \Leftrightarrow \mbox{E}_{w_1}[U(\tilde V)]=\mbox{E}_{w_2}[U(\tilde V)]
+  \end{aligned}$$
+  Die Nutzenfunktion U(Ṽ) ist eindeutig (außer bei positiver linearer
+  Transformation).
+
+- Das Bernoulli-Prinzip berücksichtigt die Präferenzen der Anleger in
+  Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
+
+- Zielsetzung: Rangfolge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen
+  (Projekte) auf der Grundlage ihres Erwartungswerts des Nutzens.
+
+Anwendung des Bernoulli-Prinzips
+
+Wir betrachten die Nutzenfunktion U(V) = 1000 ⋅ V − V² und berechnen den
+erwarteten Nutzen der Investition in Aktien und Staatsanleihen. Wir
+beginnen mit der Aktie:
+
+   Zustand         1               2               3
+  --------- --------------- --------------- ---------------
+      p      $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$
+      V           80              120             160
+    U(V)        73.600          105.600         134.400
+
+ 
+
+$\mbox{E}[U(\tilde V)]=\frac{1}{3}\cdot 73.600+\frac{1}{3}\cdot 105.600+\frac{1}{3}\cdot 134.400=104.533,\bar{3}$
+
+Beispiel fortgesetzt
+
+ 
+Nun wenden wir uns den Staatsanleihen zu:
+
+   Zustand         1               2               3
+  --------- --------------- --------------- ---------------
+      p      $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$
+      V           120             120             120
+    U(V)        105.600         105.600         105.600
+
+ 
+
+$\mbox{E}[U(\tilde V)]=\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 105.600 = 105.600$
+ 
+Da die Staatsanleihen einen höheren erwarteten Nutzen bietet als die
+Aktie, wird sich ein Anleger mit der entsprechenden Nutzenfunktion für
+die Staatsanleihen entscheiden.
+
+Wer wird Millionär?
+
+Beispiel 1 (Wer wird Millionär?). Stellen Sie sich die folgende
+Situation vor: Sie sind in der Show mit Günther Jauch und stehen vor der
+Millionen-Euro-Frage. Sie haben bereits den 50 : 50-Joker eingesetzt, so
+dass zwei Antworten möglich sind. Ihre subjektiven Wahrscheinlichkeiten
+für die möglichen Antworten sind .6 für Antwort A und .4 für Antwort B.
+Erinnern Sie sich, dass Sie mit der richtigen Antwort 1 Mio. € gewinnen,
+während Sie mit der falschen Antwort nur 16.000€ gewinnen. Wenn Sie die
+Frage nicht beantworten, gewinnen Sie 500.000€. Beantworten Sie die
+Frage?
+
+Wer wird Millionär?
+
+Beispiel 2 (Erwartungsnutzentheorie).
+
+- Sie maximieren einen einfachen exponentiellen Nutzen gemäß der
+  Funktion $u(c) = -\frac{e^{-ac}}{a}$, wobei a Ihre konstante absolute
+  Risikoaversion bezeichnet, a = .15.
+
+- Berechnen Sie den Nutzen einer Nichtbeantwortung der Frage:
+  $u(500) = -\frac{e^{-.15 \cdot 500}}{.15} = - 1.786$.
+
+- Berechnen wir nun den Nutzen einer Antwort:
+  $u = .4 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 16}}{.15}) + .6 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 1000}}{.15}) = -.242$.
+
+- Bei dieser Nutzenfunktion und dem Grad der Risikoaversion sollten Sie
+  also antworten!
+
+Risikobereitschaft
+
+Die Nutzenfunktion zeigt die Einstellung des Anlegers zum Risiko. Wir
+unterscheiden zwischen drei Risikohaltungen:
+
+- risikoavers,
+
+- risikoneutral,
+
+- risikofreudig.
+
+Risikobereitschaft
+
+ 
+Betrachten Sie eine risikofreie Anlage (z.B. Staatsanleihe) w₁ und eine
+risikoreiche Anlage (z.B. Aktie) w₂ mit demselben Erwartungswert
+$$\mbox{E}[\tilde V^{BA}]=120=\frac{1}{3}(80+120+160)=\mbox{E}[\tilde V^A].$$
+Dann wird die Risikoeinstellung eines Anlegers wie folgt definiert:
+Definition: Der Investor ist
+
+- risikoavers, wenn w₁ ≻ w₂,
+
+- risikoneutral, wenn w₁ ∼ w₂,
+
+- risikofreudig, wenn w₁ ≺ w₂.
+
+ 
+
+Risikobereitschaft
+
+ 
+Risikoverhalten
+Gegeben U(Y) und U^(′)(Y) > 0 (muss positiv sein! warum?).
+Jede(r) Investor*In ist
+
+- risikoavers, wenn U(Y) konkav ist [U^(″)(Y) < 0],
+
+- risikoneutral, wenn U(Y) linear ist [U^(″)(Y) = 0],
+
+- risikofreudig, wenn U(Y) konvex ist [U^(″)(Y) > 0].
+
+Risikobereitschaft
+
+[image]
+
+Vergleichbarkeit von Bernoulli- und mu-sigma
+
+Bernoulli- und (μ, σ)-Prinzip
+
+Frage: In welchen Fällen führen das Bernoulli-Prinzip und das
+(μ, σ)-Prinzip zur gleichen Entscheidung?
+Für alle Zufallsverteilungen vollständig erklärt durch μ und σ:
+
+- Normal verteilte Ergebnisse
+
+- Exponentielle Nutzenfunktion U(V) = −e^(−aV)(a > 0)
+
+  - Die zugehörige Präferenzfunktion ist
+    $\Phi=\mu-\frac{a}{2}\cdot \sigma^2$
+
+Beispiel: quadratische Nutzenfunktion
+U(V) = aV + bV²(a > 0, b < 0)
+→ parabolische Nutzenfunktion; mit b < 0:
+Nutzenfunktion impliziert Risikoaversion.
+→ Funktion ist realisierbar, solange der erwartete Wert steigt.
+Andernfalls: Ein steigender Gewinn oder Wohlstand würde zu einem
+sinkenden Nutzen führen.
+Daraus folgt:
+$\frac{\delta U(V)}{\delta V} = a + 2bV > 0 \Leftrightarrow V < -\frac{a}{2b}$
+Achtung: b < 0
+
+Bernoulli-Prinzip:
+$$\begin{aligned}
+\mbox{E}[U(\tilde V)] & = & \mbox{E}[a\tilde V+b\tilde V^2]\\
+& = & a\cdot \mbox{E}[\tilde V]+b\cdot \mbox{E}[\tilde V^2]\\
+& \stackrel{(*)}{=} & a\cdot \mbox{E}[\tilde V]+b\cdot (\mathop{\mathrm{var}}[\tilde V]+ \mbox{E}[\tilde V]^2)\\
+& = & a\cdot\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)\\
+\end{aligned}$$
+(*) var [Ṽ] = E[Ṽ²] − E[Ṽ]²
+Daraus folgt:
+$\underbrace{\mbox{E}[U(\tilde V)]}_{\text{Bernoulli-Prinzip:}} = \underbrace{a\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)}_{(\mu,\sigma)-Prinzip}$
+
+Risikozuschlag und Sicherheitsäquivalent
+
+Risikozuschlag auf den Zinssatz
+
+- Häufig angewendet (weil einfach) ist die Methode, den adäquaten
+  risikolosen Diskontierungszins um einen subjektiven Risikozuschlag zu
+  erhöhen.
+
+- Dieser Risikozuschlag wird umso größer sein, je höher das Risiko des
+  Investitionsprojekts eingeschätzt wird.
+
+- Für eine Investition lässt sich der Risikozuschlag z auf den
+  Kalkulationszinssatz allgemein wie folgt berücksichtigen:
+  $$PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\mbox{E}[CF_t]}{(1+i+z)^t}$$
+
+Beispiel: Berücksichtigung eines Risikozuschlags auf den
+Kalkulationszinssatz
+
+- Für eine Investition mit einer Laufzeit von zwei Jahren seien folgende
+  unsichere Cash Flows angenommen. Der Diskontierungszinssatz betrage
+  10% und der Risikozuschlag betrage 2% (Aufschlag um 2 Prozentpunkte).
+
+- Zunächst ist die Berechnung der erwarteten Cash Flows E[CF_(t)] aus
+  der Investition unter Unsicherheit erforderlich:
+
+     Umweltzustand        S₁       S₂       S₃     
+  -------------------- -------- -------- --------- ---------------
+   Wahrscheinlichkeit    0,2      0,5       0,3    
+           t₁           +5 000   +7 000   +9 000   E[CF₁] = 7200
+           t₂           +6 000   +7 500   +10 000  E[CF₂] = 7950
+
+- Der Barwert dieser Investition beträgt:
+  $$\begin{aligned}
+      PV_0  &= \sum_{t=1}^T \frac{\mbox{E}[CF_t]}{(1+i+z)^t} =\frac{7.200\text{\euro}}{1,12} + \frac{7.950\text{\euro}}{1,12^2}\\
+      &= \textcolor{uniblau}{12 766,26}
+  \end{aligned}$$
+
+- Merke: Ein positiver Risikozuschlag auf den Kalkulationszinssatz führt
+  c.p. immer zu einem sinkendem Barwert!
+
+- Begründung?
+
+  - Mathematisch: erwartete CF werden mit einem dann höheren (weil
+    risikoadjustierten) Zinssatz diskontiert, was zu einem sinkenden
+    Barwert führt.
+
+  - ökonomisch: der Risikozuschlag erhöht die Mindestrendite, die die
+    Investition mindestens erwirtschaften muss ⇒ Investition wird
+    unattraktiver ⇒ Barwert sinkt.
+
+Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
+
+- Alternativ können Risiken auch dadurch abgebildet werden, dass
+  anstelle unsicherer Cash Flows sog. Sicherheitsäquivalente (certainty
+  equivalents, CEs) diskontiert werden → Sicherheitsäquivalentmethode
+
+  - Das Sicherheitsäquivalent einer zukünftigen, unsicheren Zahlung ist
+    derjenige sichere Betrag, der dem Investor in Abhängigkeit seiner
+    Risikoeinstellung den gleichen Nutzen liefert wie die unsichere
+    Zahlung selbst.
+
+- Je nach Risikoeinstellung des Investors kann aus der Differenz von
+  Sicherheitsäquivalent und Erwartungswert der zukünftigen Zahlung eine
+  Risikoprämie RP von größer null, kleiner null oder gleich null
+  resultieren.
+
+  - Risikoneutralität: Sicherheitsäquivalent = Erwartungswert der
+    unsicheren Zahlung: ⇒ RP = 0
+
+  - Risikoaversion: Sicherheitsäquivalent < Erwartungswert der
+    unsicheren Zahlung: ⇒ RP > 0
+
+  - Risikoaffinität: Sicherheitsäquivalent > Erwartungswert der
+    unsicheren Zahlung: ⇒ RP < 0
+
+- Es bestehen also folgende Zusammenhänge zwischen dem Erwartungswert
+  der unsicheren Cash Flows E(CF_(t)), Sicherheitsäquivalent CE_(t) und
+  der Risikoprämie RP_(t):
+
+$$\begin{aligned}
+    \mbox{E}(CF_t) &=& CE_t + RP_t\\
+    CE_t &=&  \mbox{E}(CF_t) - RP_t\\
+    RP_t &=& \mbox{E}(CF_t) - CE_t
+\end{aligned}$$
+
+Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
+
+- Ist die Risikonutzenfunktion des Investors bekannt, kann das
+  Sicherheitsäquivalent CE_(t) direkt aus dieser Risikonutzenfunktion
+  bestimmt werden.
+
+- Da der Nutzen des Sicherheitsäquivalents U(CE_(t)) genau so groß sein
+  muss, wie der erwartete Nutzen der unsicheren erwarteten Cash Flows
+  E[U(CF_(t))], gilt folgender Zusammenhang:
+
+$$\begin{aligned}
+    U(CE_t)  &\overset{!}{=} \mbox{E}[U(CF_t)]\\
+    \Leftrightarrow CE_t &= U^{-1} (\mbox{E}[U(CF_t)])
+\end{aligned}$$
+
+- Das heißt, das Sicherheitsäquivalent lässt sich allgemein aus der
+  Inversen der Risikonutzenfunktion des Investors ermitteln.
+
+[image]
+
+- Zur Erinnerung: Für das Sicherheitsäquivalent gilt:
+  $$\textcolor{uniblau}{CE_t =  \mbox{E}(CF_t) - RP_t}$$
+
+- Die allgemeine Barwertformel verändert sich dann mit Berücksichtigung
+  von Sicherheitsäquivalenten wie folgt:
+  $$PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\overbrace{\mbox{E}(CF_t) - RP_t}^{CE_t}}{(1+i)^t}$$
+
+Beispiel: Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
+
+- Für eine Investition unter Unsicherheit stehen folgende Informationen
+  zur Verfügung:
+
+  - Risikoloser Kapitalmarktzins: 10%
+
+  - Erwartete Cash Flows:
+
+     Umweltzustand        S₁       S₂       S₃       S₄
+  -------------------- -------- -------- -------- ---------
+   Wahrscheinlichkeit    0,1      0,3      0,4       0,2
+         Jahr 1         +4 000   +6 000   +8 000   +11 000
+         Jahr 2         +3 000   +6 000   +9 000   +12 000
+
+Beispiel: Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
+
+- Damit lassen sich für die gegebene Investition folgende
+  Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen bestimmen:
+
+              μ        σ²         σ
+  -------- ------- ----------- -------
+   Jahr 1   7 600   4 440 000   2 107
+   Jahr 2   8 100   7 290 000   2 700
+
+Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
+
+- Das Sicherheitsäquivalent bestimmt sich als Umkehrfunktion (Inverse)
+  der Risikonutzenfunktion und soll hier im Beispiel wie folgt lauten:
+  $$\begin{aligned}
+  CE_t &= \mbox{E}(CF_t) - RP_t\\
+  &= \mbox{E}(CF_t) - \alpha \cdot \sigma (CF_t) \\
+  &= \mbox{E}(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t)
+  \end{aligned}$$
+
+- α gibt dabei den Grad der Risikoaversion des jeweiligen Entscheiders
+  an.
+
+- Nutzenfunktionen zu bestimmen ist in der Praxis eine große
+  Herausforderung.
+
+- Die ermittelten Werte werden nun verwendet, um den Barwert der
+  unsicheren Investition zu berechnen.
+
+- Dafür sind zunächst die Sicherheitsäquivalente beider Jahre zu
+  berechnen:
+
+$$\begin{aligned}
+CE_t &= \mbox{E}(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t) \\
+CE_1 &= 7 600 - 0,1 \cdot 2 107 = \textcolor{uniblau}{7 389,30}\\
+CE_2 &= 8 100 - 0,1 \cdot 2 700 = \textcolor{uniblau}{7 830,00}
+\end{aligned}$$
+
+- Gemäß der Formel zur Berechnung des Barwertes gilt dann:
+
+$$\begin{aligned}
+PV_0 &= \sum_{t=1}^T \frac{\textcolor{uniblau}{CE_t}}{(1+i)^t} = \frac{7 389,30}{1,1} + \frac{7 830,00}{1,1^2}   \\
+&= \textcolor{uniblau}{13 188,62}
+\end{aligned}$$
+
+Zusammenfassung und weitere Agenda
+
+- Jetzt sind wir in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu
+  bewerten.
+
+- In der Realität wird ein Unternehmen jedoch selten nur in ein
+  einzelnes Projekt investieren wollen.
+
+- In gleichem Maße sollte ein Investor nicht nur in eine einzige
+  Anlagemöglichkeit investieren (warum? → dazu gleich mehr).
+
+- Daher betrachten wir im weiteren Verlauf die Investition in mehrere
+  Projekte.
+
+- Wir werden dies am Beispiel eines Investors diskutieren; die
+  Überlegungen sind aber ohne Weiteres auf Unternehmen zu übertragen.
+
+Portfolios und Diversifikation
+
+Portfolios und Diversifikation
+
+Entscheidungssituation unter Risiko
+
+- Bisher: Betrachtung sich gegenseitig ausschließender
+  Investitionsprojekte bzw. -programme.
+
+- Jetzt: Investitionsprojekte schließen sich nicht mehr gegenseitig aus.
+
+- Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei Risiko erfordert die
+  Berücksichtigung der stochastischen Zusammenhänge mit der Gesamtheit
+  aller übrigen Projekte, die durchgeführt werden.
+
+- Modell notwendig, in dem das Gesamtprogramm (=Portfolio) unter
+  simultaner Berücksichtigung aller in Frage kommender Projekte
+  optimiert wird.
+
+Although more than half a century has passed since Markowitz’s (1952)
+seminal paper, the mean-variance (MV) framework is still the major model
+used in practice today in asset allocation and active portfolio
+management despite many other models developed by academics.
+
+Anlageproblematik Der Aufbau, die Verwaltung und die Sicherung von
+Vermögen ist ein zentraler Prozess, mit dem jeder Anleger konfrontiert
+ist.
+Herausforderungen:
+
+- Viele Anlagealternativen mit verschiedenen Rendite-/Risikoprofilen
+
+- Ausgleich von Risiken
+
+- Abstimmung auf die individuellen Präferenzen des Anlegers
+
+Lösung: Portfoliomanagement
+
+- Die wesentliche Aufgabe des Portfoliomanagements besteht darin, das
+  Kapital im Hinblick auf die Nutzenpräferenz des Anlegers optimal zu
+  allokieren.
+
+Anlageuniversum
+
+[image]
+
+Magisches Dreieck
+
+[image]
+
+Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen
+
+Rendite
+
+Verhältnis zwischen einem Endwert und einem Anfangswert, ausgedrückt
+über einen bestimmten Zeitraum.
+
+- $r_t = \frac{ P_t }{ P_{t-1} } -1$ (diskret),
+
+- $r_t = ln (\frac{ P_t }{ P_{t-1} }$) (stetig),
+
+wobei P_(t) der Preis der Aktie zum Zeitpunkt t ist.
+Durschnittliche Rendite einer Einzelinvestition
+
+$$\bar r = \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} r_t$$
+
+Die Vorteile der stetigen Rendite
+
+Zeitadditivität
+Für diskrete Renditen ist die Rendite über einen langen Zeitraum nicht
+die Summe der Renditen über die kurzen Zeiträume.
+(1 + r₁)(1 + r₂)⋯(1 + r_(n)) = ∏_(i)(1 + r_(i))
+Diese fehlende Zeitadditivität von diskreten Renditen ist für viele
+Analysen ungeeignet; insb. ändert sich durch die Multiplikation die
+Verteilung der Renditen. Aus diesem Grund werden häufig stetige Renditen
+verwendet, da sie zeitadditiv sind. Bei stetigen Renditen ist die
+Rendite über einen langen Zeitraum die Summe der Renditen über die
+kurzen Zeiträume.
+∑_(i)log (1 + r_(i)) = log (1 + r₁) + ⋯ + log (1 + r_(T)) = log (P_(T)) − log (P₀)
+
+Normalverteilung der log-Renditen
+Wenn wir annehmen, dass die Preise logarithmisch normalverteilt sind,
+dann ist log(1 + r_(i)) praktischerweise auch normalverteilt.
+Diskrete und kontinuierliche Renditen sind nahezu äquivalent
+Wenn die Renditen sehr klein sind (was bei Geschäften mit kurzer
+Haltedauer oft der Fall ist), liegen stetige Renditen im Wert nahe bei
+diskreten Renditen.
+log (1 + r) ≈ r, r ≪ 1
+
+Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen
+
+Risiko einer Einzelinvestion (hier: Volatilität)
+Die Varianz σ² ist die quadratische Differenz zwischen den realisierten
+Einzelrenditen und ihrem berechneten Mittelwert. Durch Ziehen der
+Quadratwurzel erhält man die Standardabweichung σ:
+$$\sigma = \sqrt{ \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} (r_t - \bar r)^2 }$$
+
+Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen Wurzel-T-Regel
+Um eine entsprechende Vergleichbarkeit von Rendite und Risiko zu
+erreichen, müssen beide Variablen annualisiert werden. Die annualisierte
+Standardabweichung wird mit Hilfe des Annualisierungsfaktors
+(Wurzel-T-Regel) bestimmt:
+$$\sigma_{T_1} = \sigma_{T_2} \cdot \sqrt{ \frac{ {T_1} }{ {T_2} } }$$
+
+Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen Erwartete Rendite und Varianz
+Da eine Investitionsentscheidung unter Unsicherheit getroffen wird, ist
+die Renditeberechnung ex-ante nicht möglich. Die tatsächliche Rendite
+r_(T) und Volatilät σ kann nur ex post bestimmt werden.
+Annahme: Zukünftige Renditen haben ähnliche Eigenschaften wie
+historische Renditen:
+
+- Gleichbleibender Mittelwert
+
+- Gleichbleibende Varianz
+
+Aufbauend darauf nutzt man häufig die durchschnittliche vergangene
+Rendite als erwartete Rendite μ = E[r_(i)] = r̄ und die historische
+Varianz σ² = var [r_(i)] als Maß für die erwartete Volatilität.
+
+Rendite-Risiko-Diagramm Wie würden Sie sich entscheiden?
+
+[image]
+
+Portfolio Was ist ein Portfolio?
+
+- Das Portfolio beschreibt ein Bündel von Investitionen, die ein Anleger
+  besitzt.
+
+- Für den Aufbau eines Portfolios werden in der Regel Zielsetzungen und
+  -kriterien formuliert, die der Auswahl der einzelnen Vermögenswerte
+  zugrunde gelegt werden.
+
+- Durch die Zusammenstellung des Portfolios wird versucht, die für den
+  Investor optimale Mischung zwischen Rendite, Risiko und Liquidität zu
+  erreichen.
+
+Portfolio
+
+[image]
+
+Rendite und Risiko eines Portfolios Gesamtrendite des Portfolios
+
+Die Summe der Erwartungswerte der Renditen, gewichtet mit den Anteilen
+x_(i) der i = 1, ... N Wertpapiere in einem Portfolio P ergibt die
+Portfoliorendite:
+
+- $\mbox{E}[r_P] = \sum \limits_{i=1}^{N} x_i \cdot \mbox{E}[r_i]$
+
+Gesamtrisiko des Portfolios
+
+Das Gesamtrisiko des Portfolios ist abhängig von
+
+- den Risiken der einzelnen Wertpapiere σ_(i),
+
+- ihren Portfolioanteilen x_(i) und
+
+- den Kovarianzen zwischen den einzelnen Renditen.
+
+Kovarianz und Korrelation Kovarianz
+Die Kovarianz charakterisiert die (lineare) Beziehung zwischen den
+Renditen zweier Wertpapiere und ergibt sich aus dem Produkt der
+Differenzen zwischen zwei Wertpapieren i und j.
+
+- σ_(ij) = E[(r_(i) − E[r_(i)])(r_(j) − E[r_(j)])]
+
+Korrelation
+Um die Beziehung vergleichbar zu machen, wird der
+Korrelationskoeffizient durch Standardisierung der Kovarianz
+hergeleitet. Dieser ist definiert als Quotient aus Kovarianz σ_(ij) und
+dem Produkt der Standardabweichungen σ_(i)σ_(j).
+
+- $\rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j}$
+
+Kovarianz und Korrelation Interpretation
+
+- Der Korrelationskoeffizient ist normiert und nimmt nur Werte zwischen
+  −1 ≤ ρ_(ij) ≤ 1 an.
+
+- Er dient als Richtungs- und Stärkeindikator für die zu
+  prognostizierenden Renditen der abhängigen Wertpapiere.
+
+  - Bei einem Wert von +1 (bzw. -1) besteht eine vollständig positive
+    (bzw. negative) lineare Beziehung zwischen den betrachteten
+    Variablen.
+
+  - Ist ρ_(ij) gleich null, so besteht kein linearer Zusammenhang
+    zwischen den betrachteten Variablen.
+
+Risiko des Portfolios 2 Assets:
+
+$$\sigma_p = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$$
+
+3 Assets:
+
+σ_(p) =
+$$\sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + w_3^2\sigma_3^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2+2w_1w_3\rho_{13}\sigma_1\sigma_3 +2w_2w_3\rho_{23}\sigma_2\sigma_3}$$
+
+n Assets:
+
+$$\sigma_p = \sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N}w_i^2\sigma_i^2+2\sum \limits_{i=0}^{N} \sum \limits_{j=i+1}^{N} w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}$$
+
+Diversifikationseffekt
+
+Gegeben sind N identische Wertpapiere mit
+
+- μ_(i) = μ
+
+- σ_(i) = σ
+
+- ρ_(ij) = 0 für alle i ≠ j
+
+Mögliche Alternativen:
+
+1.  Investion in ein einzelnes Wertpapier
+
+2.  Gleichmäßige Investion auf alle n Wertpapiere
+
+    - Naive Diversifikation
+
+Renditen der Alternativen:
+
+1.  E[r_(P)] = 1 ⋅ μ₁ = μ
+
+2.  $\mbox{E}[r_P] = \frac{1}{N}\cdot\mu_1 + \frac{1}{N} \cdot \mu_2 + ... + \frac{1}{N} \cdot \mu_N = \frac{1}{N}
+    \sum \limits_{i=1}^{N}\mu_i = \mu$.
+
+Diversifikationseffekt
+
+Die Renditen der Einzelinvestition und des Portfolios sind identisch.
+Standardabweichung der Alternativen:
+
+1.  $\sigma_P = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2}= 1 \cdot \sigma_1 = \sigma$
+
+2.  $\sigma_P = \sqrt{(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_1^2+ (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_2^2+...+(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_N^2}  =\sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N} (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_i^2} = \frac{\sigma}{N}$
+
+Bei einer Investition in N Wertpapiere verringert sich die
+Standardabweichung auf $\frac{\sigma}{N}$.
+⇒ Durch die Investition in ein Portfolio kann die Volatilität reduziert
+werden.
+
+Diversifikationseffekt [image]
+
+Diversifikation: Systematisches und unsystematisches Risiko
+
+- Das Risiko eines einzelnen Wertpapiers kann in zwei Risiken unterteilt
+  werden:
+
+  - Unsystematisches (idiosynkratisches) Risiko (unternehmenspezifisch)
+
+  - Systematisches Risiko (Marktrisiko)
+
+- Durch ein breit gestreutes (diversifiziertes) Portfolio, lässt sich
+  das unsystematische Risiko auf ein Minimum reduzieren. Das Marktrisiko
+  bleibt jedoch stets erhalten.
+
+[image]
+
+Einfluss des Korrelationsfaktors
+
+Gegeben ist ein Portfolio aus 2 Wertpapieren mit den Portfoliogewichten
+w und (1 - w) (w ∈[0;1]).
+Rendite des Portfolios:
+
+E[r_(P)] = wE[r₁] + (1 − w)E[r₂]
+
+Standardabweichung des Portfolios:
+
+$\sigma_P = \sqrt{w^2\sigma_1^2 + (1-w)^2\sigma_2^2 +2w(1-w)\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$
+
+Anhand der Formel ist erkennbar, dass der Korrelationskoeffizient einen
+direkten Einfluss auf die Standardabweichung σ_(P) ausübt.
+
+Einfluss des Korrelationsfaktors
+
+[image]
+
+Einfluss des Korrelationsfaktors
+
+1.  ρ_(ij) = +1
+
+    - Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gleichgerichtet
+
+    - Gesamtrisiko des Portfolios entspricht der Summe der mit den
+      jeweiligen Portfolioanteilen gewichteten Standardabweichungen der
+      beiden Wertpapiere (Durchschnittsrisiko, keine Diversifikation)
+
+2.  −1 ≤ ρ_(ij) ≤ +1
+
+    - Wenn der Korrelationskoeffizient sich verringert, sinkt das
+      Portfoliorisiko zunehmend unter das Durchschnittsrisiko.
+      (Diversifikationseffekt tritt ein)
+
+3.  ρ_(ij) = −1
+
+    - Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gegenläufig
+
+    - Gesamtrisiko des Portfolios kann auf 0 gesenkt werden (perfekte
+      Diversifikation)
+
+Korrelationskoeffizient
+
+- Die Wirkung des Korrelationskoeffizienten ist erheblich für das
+  Gesamtrisiko des Portfolios.
+
+- Bei der Zusammenstellung eines diversifizierten Portfolios ist es
+  erforderlich, sowohl die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse
+  als auch die Korrelationen zwischen einzelnen Anlageklassen für das
+  Portfolio als Ganzes zu berücksichtigen.
+
+Korrelationen
+
+Übersicht über die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse
+
+Korrelationskoeffizient
+
+Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse:
+
+- In der Praxis bewegen sich die Renditen der einzelnen Anlageklassen,
+  wie z.B. Aktien, sehr ähnlich.
+
+- Noch ausgeprägter ist dieser Effekt innerhalb einzelner Industrien.
+
+- Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Faktoren, die die Renditen
+  bestimmen, wie Zinsniveau, Inflationsrate, wirtschaftliche Entwicklung
+  und Währungseinflüsse alle Aktien ähnlichermaßen betreffen.
+
+Korrelationen
+
+Übersicht über die Korrelationen verschiedener Anlageklassen
+
+Achtung: Korrelationen sind nicht konstant und ändern sich im Laufe der
+Zeit.
+
+Asset Allocation
+
+- Erst durch die Beimischung anderer Anlageklassen wie Anleihen, Gold
+  und Rohstoffen können die Vorteile niedriger Koeffizienten richtig
+  genutzt werden.
+
+- Diese Verteilung (Diversifikation) des Vermögens auf verschiedene
+  Assetklassen wird als Asset Allocation (Vermögensallokation)
+  bezeichnet.
+
+- Schlüsselziel ist ein ausgewogenes Verhältnis von Risiko und Rendite
+  im Gesamtportfolio.
+
+- Die Allokation erfolgt ähnlich zum Aktienportfolio durch die
+  individuelle Abstimmung des jeweiligen Vermögensanteils an die
+  Risikotoleranz, die Ziele und den Zeitrahmen des Anlegers.
+
+Markowitz Portfolio Theorie
+
+Markowitz Portfolio Theorie
+
+Markowitz Portfolio Theorie
+
+- 1952 legte Markowitz mit seinem Beitrag Portfolio Selection den
+  Grundstein für die moderne Portfoliotheorie.
+
+- Markowitz war der Erste, der eine umfassende Methodik für die
+  Portfolioanalyse und die Bestimmung effizienter Portfolios
+  entwickelte.
+
+- Sein Modell dient nach wie vor als Grundlage für die Erstellung von
+  Asset Allocations.
+
+- Die wichtigsten Grundsätze des Konzepts sind Diversifikation und
+  Vermögensallokation.
+
+Markowitz-Optimierung
+
+- Das Ziel der Portfoliotheorie nach Markowitz ist es, ein Portfolio auf
+  dem Kapitalmarkt so zu optimieren, dass es effizient ist.
+
+- Ein Portfolio heißt effizient, wenn es von keinem anderen Portfolio
+  dominiert wird, dass
+
+  - ein geringeres Risiko bei gleichem erwarteten Ertragswert hat oder
+
+  - einen höheren erwarteten Renditewert bei gleichem Risikoniveau.
+
+- Die Menge aller effizienten Portfolios heißt Effizienzlinie.
+
+- Die Entscheidungsparameter des Modells sind die erwarteten Renditen,
+  die Volatilitäten und die Korrelationen.
+
+Beispiel Risikoeffizienz
+
+Neben der risikofreien Geldanlage gibt es nur zwei risikobehaftete
+Wertpapiere.
+Beispiel:
+
+   WP_(i)    1          2    
+  -------- ------ --- ------ ----------------------------------
+   μ_(i)    0,07   <   0,12  (erwartete Rendite)
+   σ_(i)    0,09   >   0,08  (Standardabweichung der Rendite)
+
+ 
+
+- Kann nur in eines der beiden Wertpapiere investiert werden, ist
+  Wertpapier 2 risikoeffizient, da μ₂ > μ₁ und σ₂ < σ₁ gilt.
+
+- Können Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 gebildet werden, gibt
+  es mehr als eine effiziente Lösung, abhängig vom
+  Korrelationskoeffizienten zwischen den Wertpapieren.
+
+Annahmen des Modells
+
+- Ausgangspunkt für die Optimierung ist ein (a)
+  Ein-Perioden-Investitionsmodell, das sich mit der Entscheidung
+  risikoaverser Privatanleger befasst, die riskante Wertpapiere kaufen
+  wollen.
+
+- Annahmen über den Kapitalmarkt:
+
+  - Vollkommener und effizienter Kapitalmarkt ohne Transaktionskosten
+    und Steuern.
+
+    - Man kann zu einem fest vorgegebenen Zinssatz risikofrei beliebig
+      Geld anlegen und aufnehmen.
+
+  - (c) Wertpapiere sind beliebig teilbar.
+
+  - (d) Alle Wertpapiere können gleichzeitig gekauft werden (d.h.,
+    schließen sich nicht gegenseitig aus).
+
+  - Leerverkäufe sind zulässig.
+
+  - (e) Es ist bekannt, welche Zustände im Zeitpunkt 1 eintreten können
+    und welche Eintrittswahrscheinlichkeiten den Zuständen zuzuordnen
+    sind.
+
+  - (f) Wertpapierrenditen sind normalverteilt, d.h. nur Erwartungswert
+    und Volatilität sind von Interesse.
+
+    - Dazu später mehr.
+
+- Annahmen über den Investor:
+
+  - Ziel der Investoren ist Vermögensvermehrung.
+
+  - (g) Die Investoren sind rational und risikoavers.
+
+  - Investoren sind Preisnehmer.
+
+Das Optimierungsproblem
+
+Annahme: Die Anleger interessieren sich nur für die Rendite μ und die
+Varianz σ² (siehe Annahme oben) und wollen μ auf ein Zielrisiko σ²
+maximieren.
+
+Ferner sei gegeben:
+$$\begin{aligned}
+w &=& (w_1,...,w_N) \\
+\mu &=& (\mu_1,...,\mu_N) \\
+\Sigma &=& \begin{pmatrix} \sigma_{11} &... & \sigma_{1N} \\ ... & ... &... \\ \sigma_{N1} &...& \sigma_{NN} \end{pmatrix}
+\end{aligned}$$
+
+wobei w das Gewicht des risikobehafteten Vermögenswerts, μ die erwartete
+Rendite und Σ die NxN-Kovarianzmatrix der Vermögenswerte ist.
+
+Gesucht ist die Lösung des Optimierungsproblems
+max μ^(T)w
+unter der Nebenbedingung
+w^(T)Σw = c.
+
+Dies wird zu
+max μ^(T)w − λ ⋅ w^(T)Σw,
+wobei ^(T) für die Transponierte der Matrix steht, λ einen
+Lagrange-Multiplier und c eine Konstante bezeichnet.
+
+Effizienzlinie: Zwei-Asset-Fall
+
+[image]
+
+Effizienzlinie: Multi-Asset-Fall
+
+[image]
+
+- Ein effizientes Portfolio bietet geringeres Risiko und besseren Ertrag
+  als das beste einzelne Wertpapier, wenn die Wertpapiere untereinander
+  keine sehr hohe Korrelation aufweisen.
+
+- ⇒ Daher wird der Anleger ein effizientes Portfolio einem einzelnen
+  Wertpapier vorziehen.
+
+Bestimmung des optimalen Portfolios
+
+In welches Portfolio investieren?
+
+- Effiziente Portfolios wurden durch Dominanzüberlegungen bestimmt.
+  Diese Dominanzüberlegungen gelten unabhängig von der Risikoeinstellung
+  eines Investors!
+
+- Bei der Suche nach dem optimalen Portfolio können also die
+  ineffizienten Portfolios ausgeschlossen werden, ohne genaueres über
+  die Risikoeinstellung eines Investors wissen zu müssen.
+
+- Zur Bestimmung des optimalen Portfolios für den einzelnen Anleger aus
+  der Menge der effizienten Portfolios werden die individuellen
+  Präferenzen des Anlegers benötigt.
+  ⇒ Indifferenzkurven
+
+- Im optimalen Portfolio entspricht die Steigung der Indifferenzkurve
+  des Anlegers der Steigung der Effizienzlinie (Tangentialpunkt).
+
+- Optimales Portfolio: Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und
+  Effizienzlinie.
+
+- Grafisch: Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller (μ, σ)-
+  Kombinationen, die ein vorgegebenes Erwartungsnutzenniveau ergeben.
+
+- In der Theorie gerne genutzte Beispiele für eine Präferenzfunktion der
+  Anleger wird gerne genutzt:
+  Φ(μ, σ) = μ − α σ,
+  wobei α (≥ 0) die Risikoaversion darstellt.
+
+Multi-Asset-Fall: Indifferenzkurven
+
+[image]
+
+Die Effizienzlinie und Indifferenzkurven
+
+- Jeder Anleger wählt das Portfolio, in dem seine individuelle
+  Indifferenzkurve die Effizienzlinie tangiert.
+
+- Die Anleger halten aufgrund ihrer unterschiedlichen Risikopräferenzen
+  jeweils verschiedene effiziente Portfolios.
+
+Tobin-Separation
+
+- Tobin erweiterte 1958 das Markowitz-Modell durch sein
+  Separationstheorem, indem er einen risikofreien Zinssatz (z.B.
+  Staatsanleihen, Spareinlagen) mit dem Zins r_(f) einführte.
+
+- Demnach gibt es nur ein universales Idealportfolio für alle, das sog.
+  Tangentialportfolio. Die persönliche Risikotoleranz ist für die
+  Bestimmung dieses Tangentialportfolios irrelevant.
+
+- Je nach persönlicher Risikobereitschaft investiert der Anleger
+  entweder mehr in das Tangentialportfolio mit risikoreichen Anlagen
+  oder mehr in die sicheren Anlagen.
+
+[image]
+
+Tobin-Separation Somit ergibt sich:
+
+- Erwartete Rendite: E[r_(P)] = w_(f)r_(f) + (1 − w_(f))E[r_(i)]
+
+- Volatilität: σ_(P) = (1 − w_(f))σ_(i)
+
+- Der risikolose Zinssatz eröffnet dem Anleger zusätzliche
+  Möglichkeiten. Durch die Aufnahme zusätzlichen Kapitals kann er
+  Renditen erzielen, die vorher nicht möglich gewesen wären.
+
+- Das Risiko hängt ausschließlich davon ab, wie hoch der Anteil des
+  Tangentialportfolios ist, den der Anleger hält.
+
+Bestimmung risikoeffizienter Portfolios
+
+Bestimmung risikoeffizienter Portfolios
+
+- Ein Kapitalanleger möchte einen bestimmten Geldbetrag für eine Periode
+  in Wertpapiere/Investitionsprojekte (risikolos und risikobehaftet)
+  anlegen. Ergebnisgröße: Endvermögen $\widetilde{EV}$ oder
+  Portfoliorendite r̃_(PF), da $\widetilde{EV}$ = AV(1 + r̃_(PF))).
+
+- Wie gehen wir dabei vor?
+
+  - bei Sicherheit: Investiere in das Wertpapier, das die höchste
+    Rendite abwirft.
+
+  - bei Unsicherheit: Risiko muss berücksichtigt werden. → Abwägen
+    zwischen Ertrag und Risiko mit dem Ziel einer geeigneten
+    Risikomischung.
+
+- Portfoliorendite: r̃_(PF) = x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + x_(s) ⋅ k
+
+- Oder Endvermögen:
+  $\widetilde {EV} = x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s \cdot (1+k)$
+
+- Erwartungswert und Varianz bestimmen!
+
+[image]
+
+- Risikoeffiziente Portfolios liegen auf markiertem Bereich.
+
+- ρ = Korrelationskoeffizient als Maß für den Zusammenhang zwischen den
+  Wertpapieren.
+
+[image]
+
+x₁, x₂, x_(s): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i am Gesamtportfolio.
+
+→ neue Effizienzlinie (Tangente) wird durch zwei Punkte beschrieben.
+
+- (μ, σ)-Kombination der risikolosen Geldanlage (x_(s) = 1).
+
+- Tangentialpunkt an die alte Effizienzlinie (x_(s) = 0; x_(T) = 1).
+
+- Das Verhältnis der risikobehafteten Wertpapiere zueinander ist in den
+  PFs auf der Effizienzlinie immer gleich.
+
+Bestimmung risikoeffizienter Portfolios
+
+2 Ansätze:
+
+1.  endvermögensorientierter Ansatz
+
+2.  renditeorientierter Ansatz
+
+Endvermögensorientierter Ansatz:
+
+  ----- -------------- -------------------------------------------------------- --
+  Sei          P₀^(A): Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0,                   
+               P₀^(B): Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0,                   
+               P̃₁^(A): stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1,    
+               P̃₁^(B): stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1,    
+                    k: risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode,   
+                   W₀: Anfangsvermögen,                                         
+          x_(A)/x_(B): Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0         
+                       gekauft wird,                                            
+                x_(s): Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird.       
+  ----- -------------- -------------------------------------------------------- --
+
+Endvermögensorientierter Ansatz:
+
+Es gilt:
+
+  -------- ---------------------------------------------- -- --
+  t = 0:   x_(A) ⋅ P₀^(A) + x_(B) ⋅ P₀^(B) + x_(s) = W₀      
+  -------- ---------------------------------------------- -- --
+
+  -------- ------------------ --- ---------------------------------------------------------------
+  t = 1:   $\widetilde{EV}$   =   x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B) + x_(s)(1 + k)
+                              =   x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B)
+                                  +(W₀ − x_(A) ⋅ P₀^(A) − x_(B) ⋅ P₀^(B))(1 + k)
+                              =   x_(A)(P̃₁^(A) − P₀^(A)(1 + k)) + x_(B)(P̃₁^(B) − P₀^(B)(1 + k))
+                                  +W₀(1 + k)
+  -------- ------------------ --- ---------------------------------------------------------------
+
+  ⇔   $\widetilde{EV}$   = $x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0(1+k)$   
+  --- ------------------ ------------------------------------------------------------------------ --
+
+ 
+
+  -- -- -------------------------------------------------------------------------------------- --
+        mit $\widetilde{RP}_i \mathrel{\widehat{=}}$ Risikoprämie von Wertpapier i (i = A,B)   
+  -- -- -------------------------------------------------------------------------------------- --
+
+Endvermögensorientierter Ansatz:
+
+ 
+Risikoeffiziente Portfolios
+
+  ---------------------------------------------------------- ------------------ ------------------------------------------------------
+  var $\widetilde{EV}$$\rightarrow  \min\limits_{x_A,x_B}$                      E$\widetilde{EV}$$\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$
+                                                                    ODER        
+  u. d. NB.                                                                     u. d. NB.
+  E$\widetilde{EV}$= c = const.                                                 var $\widetilde{EV}$= c = const.
+  ---------------------------------------------------------- ------------------ ------------------------------------------------------
+
+Endvermögensorientierter Ansatz:
+
+ 
+Lösung: Lagrange-Ansatz
+Berechnung von $\mbox{E}\lbrack \widetilde{EV}\rbrack$ und
+$\mathop{\mathrm{var}}\lbrack \widetilde{EV}\rbrack$:
+$$\begin{aligned}
+\mbox{E}[\widetilde{EV}] & = & \mbox{E}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
+& = & \fbox{$x_A \cdot \mbox{E}[\widetilde{RP}_A] + x_B \cdot \mbox{E}[\widetilde{RP}_B] + W_0 \cdot (1+k)$} \\[14pt]
+\mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{EV}] & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
+& = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B ] \\[7pt]
+& = & x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \mathop{\mathrm{cov}}[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] \\[7pt]
+& \stackrel{(*)}{=} & \fbox{$x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]$}
+\end{aligned}$$
+
+Endvermögensorientierter Ansatz:
+
+ 
+Es gilt (*):
+$$\begin{aligned}
+\mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_A] & = & \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A - P_0^A \cdot(1+k)] = \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] \\[7pt]
+\mathop{\mathrm{cov}}[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] & = & \text{Cov}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B] 
+\end{aligned}$$
+
+Falls Cov nicht angegeben, aber ρ
+$$\begin{aligned}
+\rho_{A,B} & = & \frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]}{\sqrt{\mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^B]}}
+\end{aligned}$$
+
+Renditeorientierter Ansatz:
+
+ 
+
+  ----- ---------------------- ----------------------------------------
+  Sei            r̃_(A), r̃_(B): stochastische Rendite Wertpapier A/B
+                       r̃_(PF): stochastische Portfoliorendite
+          x_(A), x_(B), x_(s): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i am
+                               GesamtPortfolio
+                            k: risikoloser Zinssatz
+  ----- ---------------------- ----------------------------------------
+
+Renditeorientierter Ansatz:
+
+ 
+Es gilt:
+
+  -------- --------------------------- -- --
+  t = 0:   x_(A) + x_(B) + x_(s) = 1      
+  -------- --------------------------- -- --
+
+  -------- -------- --- -------------------------------------------------------------------
+  t = 1:   r̃_(PF)   =   x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + x_(s) ⋅ k
+                    =   x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + (1 − x_(A) − x_(B)) ⋅ k
+                    =   x_(A) ⋅ (r̃_(A) − k) + x_(B) ⋅ (r̃_(B) − k) + k
+                    =   $x_A \cdot (\widetilde{rp}_A) + x_B \cdot (\widetilde{rp}_B) + k$
+  -------- -------- --- -------------------------------------------------------------------
+
+ 
+mit $\widetilde{rp}_i \stackrel{\widehat{}}{=}$ Risikoprämie von
+Wertpapier i [in % (i = A, B)]
+
+Renditeorientierter Ansatz:
+
+ 
+Risikoeffiziente Portfolios
+
+  ------------------------------------------------ ------------------ --------------------------------------------
+  var r̃_(PF)$\rightarrow  \min\limits_{x_A,x_B}$                      Er̃_(PF)$\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$
+                                                          ODER        
+  u. d. NB.                                                           u. d. NB.
+  Er̃_(PF)= c = const.                                                 var r̃_(PF)= c = const.
+  ------------------------------------------------ ------------------ --------------------------------------------
+
+Renditeorientierter Ansatz:
+
+ 
+Berechnung von E[r̃_(PF)] und var [r̃_(PF)]:
+$$\begin{aligned}
+\mbox{E}[\tilde r_{PF}] & = & \mbox{E}[x_A \cdot \widetilde{rp}_{A} + x_B \cdot \widetilde{rp}_{B} + k] \\[7pt]
+ & = & \fbox{$x_A \cdot \mbox{E}[\widetilde{rp}_A] + x_B \cdot \mbox{E}[\widetilde{rp}_B] + k$} \\[14pt]
+\mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_{PF}] & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B + k] \\[7pt]
+& = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B ] \\[7pt]
+& = & \ldots \\[7pt]
+%& & = x_A^2 \cdot Var[\tilde RP_A] + x_B^2 \cdot Var[\tilde RP_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B Cov[\tilde RP_A; \tilde RP_B] 
+& = & \fbox{$x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde r_A; \tilde r_B]$}
+\end{aligned}$$
+
+Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz
+
+ 
+
+  ----- -------------- ------------------------------------------------------- --
+  Sei          P₀^(A): Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0,                  
+               P₀^(B): Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0,                  
+               P̃₁^(A): stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1,   
+               P̃₁^(B): stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1,   
+                    k: risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode   
+                   W₀: Anfangsvermögen,                                        
+          x_(A)/x_(B): Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0        
+                       gekauft wird,                                           
+                x_(s): Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird,      
+  ----- -------------- ------------------------------------------------------- --
+
+Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz
+
+ 
+
+  -- --------------- --------------------------------------------------- --
+       r̃_(A), r̃_(B): stochastische Rendite von Wertpapier A/B,           
+             r̃_(PF): stochastische Portfoliorendite,                     
+          x^(′)_(i): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i (i = A, B, s)   
+                     am GesamtPortfolio.                                 
+  -- --------------- --------------------------------------------------- --
+
+Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz
+
+ 
+
+  -------- ----------------------------------------------
+  t = 0:   x_(A) ⋅ P₀^(A) + x_(B) ⋅ P₀^(B) + x_(s) = W₀
+  -------- ----------------------------------------------
+
+t = 1:
+
+  --- --------------------------------------------------------------------- --- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+                                $\widetilde{EV}$                            =   x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B) + x_(s)(1 + k)
+  ⇒                  $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$                 =   $\frac{x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s(1+k)-(x_A \cdot P_0^A + x_B \cdot P_0^B+x_{s})}{W_{0}}$
+  ⇒                  $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$                 =   $\frac{x_A (\tilde P_1^A - P_0^A)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^A}{P_0^A} + \frac{x_B(\tilde P_1^B - P_0^B)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^B}{P_0^B} +\frac{x_s}{W_{0}}\cdot k$
+  ⇒    $\underbrace{\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}}_{\tilde r_{EV}}$  =   $\underbrace{\frac{x_A  P_0^A}{W_{0}}}_{x'_{A}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^A - P_0^A)}{P_0^A}}_{\tilde r_{A}} + \underbrace{\frac{x_B  P_0^B}{W_{0}}}_{x'_{B}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^B - P_0^B)}{P_0^B}}_{\tilde r_{B}}+\underbrace{\frac{x_s}{W_{0}}}_{x'_{s}} k$
+                                                                                
+  ⇔                                  r̃_(EV)                                 =   x^(′)_(A) ⋅ r̃_(A) + x^(′)_(B) ⋅ r̃_(B) + x^(′)_(s) ⋅ k
+  --- --------------------------------------------------------------------- --- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+
+Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz
+
+ 
+Es gilt:
+$$\begin{aligned}
+\frac{x_A \cdot P_0^A}{W_0} + \frac{x_B \cdot P_0^B}{W_0} + \frac{x_s}{W_0} = 1 & \Leftrightarrow & x_A^{'} + x_B^{'} + x_s^{'} = 1
+\end{aligned}$$
+
+Performancemaßstab
+
+- Mit der Messung der relativen Performance soll die Frage beantwortet
+  werden, ob das gewählte Portfolio die festgelegte Benchmark über einen
+  bestimmten Zeitraum risikoadjustiert übertroffen hat.
+
+- Die Sharpe-Ratio berechnet die erzielte Überschussrendite des
+  Portfolios im Verhältnis zum Gesamtrisiko des Portfolios:
+  $$SR_P = \frac{\mbox{E}[r_P]- r_f}{\sigma_P}$$
+
+- Die Ratio entspricht der erzielten Überrendite pro angenommener
+  Volatilitätseinheit. Ziel ist es, einen möglichst hohen SR-Wert zu
+  erreichen.
+
+Grenzen und Kritik des Modells
+
+- Kritik an den Grundannahmen des Modells.
+
+  - ⇒ s. bspw. Normalverteilungsannahme
+
+  - Rationalität des Investors ist fraglich ⇒ s. Behavorial Finance
+
+  - In der Praxis müssen die Transaktionskosten und die Effizienz des
+    Optimierungsverfahrens berücksichtigt werden.
+
+- Bestimmung der erwarteten Renditen und Volatilitäten ausschließlich
+  anhand historischer Daten.
+
+  - Schätzfehler oder Strukturbrüche
+
+- Dynamische Korrelationen von Anlageklassen in Krisensituation etc.
+
+- Die Anlegerpräferenzen lassen sich nur schwer in Zahlen ausdrücken.
+
+- Optimierte Portfolios weisen oft extreme Allokationen auf, z.B. einen
+  hohen Anteil an Leerverkäufen. In der Praxis ist das eher nicht
+  machbar oder sinnvoll.
+
+- Die Portfoliogewichte reagieren empfindlich auf Änderungen der
+  Modellparameter.
+
+- Optimale Lösungen übergewichten Vermögenswerte mit höheren
+  Renditeerwartungen.
+
+Normalverteilung vs. empirische Verteilung
+
+[image]
+
+Empirische Verteilung Renditen des MSCI World Index und der
+Normalverteilung
+
+Stylisierte Fakten zu Finanzzeitreihen
+
+- Wie die vorstehende Abbildung zeigt, weisen (viele) Finanzzeitreihen
+  nicht-normalverteilte Merkmale auf.
+
+- Diese Merkmale betreffen die univariaten Verteilungen mit übermäßiger
+  Kurtosis (fat tails) und Schiefe,
+
+- Aber auch die multivariaten Verteilungen mit nichtlinearen
+  Abhängigkeitsstrukturen.
+
+- So sind beispielsweise gemeinsame Börsencrashs weitaus häufiger als
+  gemeinsame Aufschwünge.
+
+Naive 1/N-Allokation
+
+- Naive Diversifikation ist die unkomplizierte Aufteilung eines
+  Portfolios auf N Vermögenswerte.
+
+- Neuere Studien zur Vermögensallokation wie und kommen zu dem Schluss,
+  dass die einfache Allokationsregel 1/N gute Resultate liefert.
+
+- Im Vergleich zu anderen, komplizierteren Asset-Allocation-Strategien,
+  einschließlich des Markowitz-Portfolios, schneidet es bei der
+  Sharpe-Ratio gut ab.
+
+- Fazit: Diversifikation ist unabdingbar, aber der Nutzen
+  fortgeschrittener mathematischer Modelle ist unklar.
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+- Heute haben wir uns mit der Bewertung von Anlagealternativen unter
+  Risiko beschäftigt.
+
+- Wir sind jetzt in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu
+  bewerten.
+
+- Ebenfalls haben wir die Kombination von verschieden Anlagealternativen
+  zu Portfolios diskutiert.
+
+- Bisher haben wir bei der Berechnung des Barwertes jedoch die Cash
+  Flows aller Perioden mit einem konstanten Abzinsungsfaktor berechnet.
+
+- In der Realität unterscheiden sich aber häufig kurzfristige und
+  langfristige Zinssätze.
+
+- Der Zusammenhang zwischen kurzfristigen und langfristigen Zinssätzen
+  wird mittels der Theorie der Zinsstruktur beschrieben.
+
+- In der nächsten Vorlesung beschäftigen wir uns aber erst mit
+  Kapitalmarktmodellen, genauer mit dem CAPM.
+
+Literatur
+
+Literatur

main4.txt

@@ -0,0 +1,1302 @@
+Überblick
+
+- Das Thema der heutigen Veranstaltung ist der Übergang von der
+  Betrachtung eines individuellens Investors / einer Investorin zu einem
+  Marktgleichgewicht.
+
+- Dazu werden wir das Capital Asset Pricing Model (CAPM) vorstellen.
+
+- Ebenfalls beschäftigen wir uns mit effizienten Kapitalmärkten und der
+  Effizienzmarkthypothese.
+
+- Dann werden wir sog. Kapitalmarktanomalien diskutieren und die Grenzen
+  der Arbitrage kennenlernen.
+
+Capital Asset Pricing Model
+
+CAPM
+
+Erste Annahmen des CAPM
+
+- Homogene Erwartungen: alle Investoren ermitteln die gleichen
+  risiko-effizienten PFs, d.h. die gleichen Risikoeffizienzlinien.
+
+- Unterschiedliche Nutzenfunktionen/Präferenzfunktionen: die Investoren
+  wählen trotz homogener Erwartungen unterschiedliche Portfolios.
+
+- Bei Existenz der risikolosen Geldanlage/Verschuldung: Alle Investoren
+  halten das gleich strukturierte riskante Portfolio. Sie kombinieren es
+  jedoch in Abhängigkeit ihrer Risikoaversion in unterschiedlichem
+  Ausmaß mit dem risikolosen Wertpapier. Risiko und Ertrag sämtlicher
+  Kombinationen stehen dabei in linearem Zusammenhang.
+
+- Der Markt befindet sich im Gleichgewicht: Angebot = Nachfrage.
+
+Von der Portfoliotheorie zum CAPM
+
+- Ausgangspunkt ist unser Portfolio-Modell mit n risikobehafteten
+  Vermögenswerten und einen risikolosen Vermögenswert r₀.
+
+- Bitte beachten Sie: Die Annahme eines risikolosen Vermögenswerts ist
+  eine Modellvereinfachung (normalerweise gibt es auf dem Markt eine
+  Zinsstruktur; siehe dazu später mehr, Vorlesung 6).
+
+- Der risikofreie Zinssatz stellt keine Grenze für die Investition oder
+  Kreditaufnahme dar. Die Entscheidungen der Anleger beruhen lediglich
+  auf der erwarteten Rendite und der Varianz.
+
+- 0 ≤ a < ∞ sei der Anteil des verfügbaren Geldes, der in ein Portfolio
+  P ∈ M investiert wird, und −∞ < 1 − a ≤ 1 der Anteil der risikofreien
+  Anlage.
+
+- Die Gesamtrendite des Portfolios wird wie folgt berechnet:
+  R = a R_(P) + (1 − a) r₀.
+
+- Bestehend aus einem Portfolio von risikobehafteten Vermögenswerten P
+  und einem risikolosen Vermögenswert r₀, gilt für das Gesamtportfolio:
+  μ = a μ_(P) + (1 − a) r₀ = r₀ + a (μ_(P) − r₀) und σ² = a²σ_(P)².
+
+- $a=\frac{\sigma}{\sigma_P}$ führt zu
+  $$\mu=r_0+\frac{\mu_P-r_0}{\sigma_P}\ \sigma$$
+
+- Wir gehen davon aus, dass das Portfolio P konstant ist und variieren
+  nur den Anteil a am Gesamtportfolio (inkl. risikoloser Anlage).
+
+- Wir erhalten alle möglichen (μ; σ)-Kombinationen als eine bei r₀
+  beginnende Linie mit einer Steigung von $\frac{\mu_P-r_0}{\sigma_P}$.
+
+Sharpe-Ratio Der Ausdruck
+$$SR_P=\frac{\mu_P-r_0}{\sigma_P}$$
+wird als Sharpe-Ratio des Portfolios R_(P) bezeichnet.
+
+Sharpe-Ratio
+
+- Die Sharpe-Ratio kann auch als risikoadjustiertes Performancemaß für
+  jeden Vermögenswert verwendet werden.
+
+- In der obigen Gleichung wird die Sharpe-Ratio des Vermögenswertes i
+  dem risikofreien Zinssatz gegenübergestellt. Anstelle von r₀ ist auch
+  eine Benchmark R_(B) möglich.
+
+- In diesem Fall sprechen wir von einer so genannten verallgemeinerten
+  Sharpe-Ratio, die auch als Informationsverhältnis bekannt ist:
+  $$SR(R_i)=\frac{\mbox{E}(R_i-R_B)}{\sigma(R_i-R_B)}=IR(R_i-R_B)$$
+
+Von der Portfoliotheorie zum CAPM
+
+Risikolose Verzinsung und risikobehaftetes Portfolio
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+Möglichkeiten im Rahmen risikofreier und risikobehafteter Vermögenswerte
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+Effizienter Rand / Tangentialportfolio
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+- Das Portfolio T wird als Tangentialportfolio bezeichnet.
+
+- Wir erinnern uns: Es ist für alle(!) Investoren (unabhängig von den
+  Präferenzen) optimal, einen Punkt auf der Effizienzlinie zu wählen.
+
+- Der Anteil des risikolosen Vermögenswerts am Gesamtportfolio ist der
+  einzige Unterschied zwischen den einzelnen optimalen Portfolios.
+
+- Die Zusammensetzung des risikobehafteten Anteils im Gesamtportfolio
+  ist für alle Investoren identisch.
+
+- Das Tangentialportfolio hat die höchste Sharpe-Ratio.
+
+Tobin-Separation Die Aufteilung im optimalen Gesamtportfolio zwischen
+einem risikofreien Vermögenswert und einem für alle Anleger identischen
+risikoreichen Portfolio wird als Zwei-Fonds-Theorem bezeichnet. Die
+Trennung zwischen der Zusammensetzung des risikobehafteten Portfolios
+und der Risikoeinstellung des Anlegers ist als Tobin-Separation bekannt.
+
+Das Capital Asset Pricing Modell
+
+- Schließlich wollen wir das Capital Asset Pricing Modell vorstellen.
+
+- Das Gleichgewichtsmodell liefert risikobereinigte Vermögenspreise.
+  Zunächst werfen wir einen Blick auf die Modellannahmen:
+
+  - Ein gegebener Markt umfasst n risikobehaftete Vermögenswerte sowie
+    einen risikofreien Zinssatz r₀.
+
+  - Auf dem Markt sind m Investoren mit individuellen Kapitalbudgets von
+    V_(i) aktiv. Das gesamte Marktvolumen ist folglich
+    $V=\sum_{i=1}^mV_i$.
+
+  - Alle Anleger haben homogene Erwartungen in Bezug auf
+    r₀, E(R_(i)), var (R_(i)), cov (R_(i); R_(j)).
+
+  - Der Markt befindet sich im Gleichgewicht.
+
+  - Jeder Anleger hält ein effizientes Portfolio P_(i) als Kombination
+    aus dem Tangentialportfolio T (mit einem Anteil von λ_(i)) und dem
+    risikolosen Vermögenswert.
+
+  - Die Marktportfolio-Nachfrage ist gegeben als:
+    $$\left(\sum_{i=1}^m\lambda_iV_i\right)x_T$$
+    mit x_(T) = (x_(T1), …, x_(Tn)).
+
+  - Auf der anderen Seite umfasst das Marktportfolioangebot alle
+    verfügbaren risikobehafteten Vermögenswerte des Marktes. Jeder
+    einzelne Vermögenswert hat einen relativen Anteil P_(i)/P am
+    Gesamtwert $P=\sum_{i=1}^nP_i$ des Marktportfolios M. Der zugehörige
+    Investitionsvektor x_(M) = (x_(M1), …, x_(Mn)) ist gegeben durch:
+    $$x_M=\left(\frac{P_1}{P},\ldots,\frac{P_n}{P}\right).$$
+
+- Da das Marktportfolioangebot eindeutig gegeben ist, ergibt sich das
+  Gleichgewicht wie folgt:
+  $$\left(\sum_{i=1}^m\lambda_iV_i\right)x_T=Px_M.$$
+
+- x_(T) und x_(M) sind Investitionsvektoren.
+
+- Folglich müssen x_(T) und x_(M) gleich sein und $P=\sum_{i=1}^m V_i$.
+
+- Im Marktgleichgewicht gilt T = M. Das Tangentialportfolio ist gleich
+  dem Marktportfolio.
+
+- Wir wollen nun einige Schlussfolgerungen aus dieser Anmerkung ziehen:
+
+- Die Menge der optimalen Portfolios ist wie folgt gegeben:
+  $$\mbox{E}(R)=r_0+\frac{\mbox{E}(R_M)-r_0}{\sigma(R_M)}\sigma(R)=r_0+SR_M\sigma(R).$$
+
+- Die resultierende Linie im μ − σ-Rahmen wird als Kapitalmarktlinie
+  bezeichnet.
+
+- Das Marktportfolio hat die höchste Sharpe-Ratio.
+
+- Für einen Anleger optimale Portfolios duplizieren das Marktportfolio
+  mit seinem risikoreichen Teil.
+
+- In der Praxis sprechen wir von passiver
+  Portfolioverwaltung/Indexierung.
+
+- Darüber hinaus ist die erwartete Rendite für jedes Portfolio gegeben
+  als:
+  $$\mbox{E}(R)=r_0+\frac{\mathop{\mathrm{cov}}(R,R_M)}{\mathop{\mathrm{var}}(R_M)}\left[\mbox{E}(R_M)-r_0\right]=r_0+\beta_R\left[\mbox{E}(R_M)-r_0\right]$$
+
+- Die sich daraus ergebende Linie wird als Wertpapiermarktlinie
+  bezeichnet.
+
+- Wertpapiermarktlininie: Trade-off zwischen erwarteter Rendite und
+  Risiko
+
+width=1,center
+
+  ----------- --- ----------------------- --- --------------------------------- --- -----------------------------
+  μ_(j)        =  r₀                       +  $\frac{\mu_M-r_0}{\sigma ^2_M}$    ⋅  cov [r̃_(j); r̃_(M)]
+
+  erwartete    =  risikolose Verzinsung    +  Marktpreis des Risikos             ⋅  relevantes Wertpapierrisiko
+  Rendite                                                                           
+
+               =  risikolose               +  Risikozuschlag                        
+                  Verzinsung                                                        
+  ----------- --- ----------------------- --- --------------------------------- --- -----------------------------
+
+- cov [r̃_(j), r_(M)] = δ_(j; M) ⋅ σ_(j) ⋅ σ_(M)
+
+- Risikozuschlag: nicht diversifizierbares systematisches Risiko des
+  betrachteten Titels bzw. PFs.
+
+- Substitution:
+  $\beta_j:=\frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde r_j,\tilde r_M]}{\sigma ^2_M}$.
+
+- Daraus folgt: Wertpapiermarktlinie: μ_(j) = r₀ + β_(j)(μ_(M) − r₀)
+
+- Kapitalmarktlinie: Die Kapitalmarktlinie gibt an, wie bei der Wahl
+  effizienter PFs die erwartete Rendite mit dem durch die
+  Standardabweichung gemessenen Risiko steigt.
+
+Kapitalmarktlinie
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+Wertpapierlinie
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+- Beta misst die Empfindlichkeit der einzelnen Renditen gegenüber
+  Veränderungen der Marktrendite.
+
+- Wir erhalten die folgende Formel
+  E(R) − r₀ = β_(R)[E(R_(M)) − r₀]
+
+- Unter der Annahme eines Marktgleichgewichts entspricht die
+  Überschussrendite von Portfolios oder einzelnen Vermögenswerten der
+  beta-gewichteten Rendite des Marktes.
+
+- Mit $\frac{\mbox{E}(R_M)-r_0}{\sigma(R_M)}$ als Marktpreis des Risikos
+  kann die Gleichung wie folgt verstanden werden: erwartete Rendite =
+  risikofreier Satz + Marktpreis des Risikos ⋅ systematisches Risiko.
+
+- Das CAPM kann die Portfoliopreise im Rahmen des Marktgleichgewichts
+  bei t = 0 bestimmen.
+  $$P=\frac{\mbox{E}(V)}{1+r_0+\beta_R\left[\mbox{E}(R_M)-r_0\right]}$$
+
+- Der Portfoliopreis entspricht dem erwarteten Cashflow V, abgezinst mit
+  dem risikofreien Zinssatz r₀ und angepasst mit einer Risikoprämie.
+
+Index-Modelle
+
+Index-Modelle
+
+- Unter Berücksichtigung der in der letzten Vorlesung diskutierten
+  Einschränkungen wird die Markowitz-Optimierung in der Praxis nur für
+  das Verfahren der Asset Allocation verwendet. Dies bedeutet die
+  Aufteilung des Anlagevolumens in verschiedene Arten von Anlageklassen.
+
+- Die Auswahl von Einzeltiteln erfolgt häufig auf der Grundlage von
+  Faktormodellen.
+
+- Das bekannteste Modell für die Wertpapierauswahl ist das Capital Asset
+  Pricing Model.
+
+- Das Fama-French-Modell ist ein weiteres berühmtes Faktor-Modell.
+
+- Seien R_(i) und R_(M) die Renditen des i-ten Einzeltitels bzw.
+  Marktindexes.
+
+Indexmodell/Faktormodell
+R_(i) = α_(i) + β_(i)R_(M) + ε_(i), i = 1, …, n.
+
+- Achtung: Im Rahmen des CAPM wird das Indexportfolio durch das
+  Marktportfolio gegeben und nicht durch einen Index approximiert.
+
+- Dieses einfache Ein-Faktor-Modell basiert auf den folgenden Annahmen:
+
+  1.  E(ε_(i)) = 0; var (ε_(i)) = σ_(i)²
+
+  2.  cov (ε_(i); R_(i)) = 0.
+
+- Die Annahmen führen zu:
+  cov (R_(i), R_(M)) = b_(i)var (R_(M))
+  oder
+  $$b_i=\frac{\mathop{\mathrm{cov}}(R_i,R_{M})}{\mathop{\mathrm{var}}(R_{M})}.$$
+
+Beta Der Parameter b_(i) ist definiert als Betafaktor des
+Vermögenswertes i in Bezug auf das gewählte Indexportfolio.
+
+- Beachten Sie:
+  E(R_(i)) = a_(i) + b_(i)E(R_(M))
+  oder
+  a_(i) = E(R_(i)) − b_(i)E(R_(M)).
+
+  Alpha Der Parameter a_(i) bezeichnet den Alpha-Faktor des
+  Vermögenswertes i.
+
+- Außerdem
+  $$\sigma(R_{MI})=\sum_{i=1}^nc_i\rho(R_i;R_{M})\sigma(R_i).$$
+  mit c_(i) als Indexgewichten in $R_{MI}=\sum_{i=1}^nc_iR_i$.
+
+- Die Volatilität des einzelnen Vermögenswerts beeinflusst nur einen
+  kleinen Teil der Volatilität des Marktindex.
+
+- Wir unterteilen die Volatilität des einzelnen Vermögenswerts in zwei
+  Teile:
+  σ(R_(i)) = ρ(R_(i); R_(M))σ(R_(i)) + [1 − ρ(R_(i); R_(M))]σ(R_(i))
+
+Systematisches vs. unsystematisches Risiko Der erste (zweite) Term in
+der obigen Gleichung für σ(R_(i)) wird als systematisches
+(unsystematisches) Risiko der einzelnen Vermögenswerte bezeichnet.
+
+- Die Volatilitätsgleichung zeigt, dass nur das systematische Risiko
+  einzelner Vermögenswerte in der Volatilität des Marktindex enthalten
+  ist.
+
+- Das unsystematische Risiko verschwindet durch eine diversifizierte
+  Indexbildung.
+
+- Für beta:
+  $$b_i=\frac{\rho(R_i;R_{M})\sigma(R_i)}{\sigma(R_{M})}=\frac{\mbox{Syst. Risiko von Anlage i}}{\mbox{Marktrisiko}}$$
+
+- Alle Parameter des vorgestellten Indexmodells können mit empirischen
+  Daten geschätzt werden.
+
+- Unter der Annahme der Homoskedastizität der Fehlerterme wird eine
+  Kleinste-Quadrate-Schätzung durchgeführt.
+
+- Sowohl Alpha- als auch Beta-Faktoren sind geschätzte Koeffizienten der
+  Regressionsgleichung.
+
+- Die Renditen des Marktindexportfolios sind geeignete Eingangsdaten.
+
+- Empirische Tests zeigen, dass weder die Annahmen noch die lineare
+  Struktur des Modells in der Renditegleichung R_(i) erfüllt sind.
+
+Empirische Schätzung des Beta-Faktors
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+Zwischenfazit
+
+- Soweit haben wir uns mit einem bekannten
+  Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, dem Capital Asset Pricing Model
+  (CAPM), beschäftigt.
+
+- Im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen wir uns mit empirischen
+  Tests für das CAPM und mit Kapitalmarktanomalien.
+
+- Zunächst beschäftigen wir uns aber mit effizienten Kapitalmärkten und
+  der Effizienzmarkthypothese.
+
+- Zuletzt schauen wir auf die Grenzen der Arbitrage.
+
+Die Effizienzmarkthypothese
+
+Die Effizienzmarkthypothese
+
+Was ist ein effizienter Markt?
+
+- Ein effizienter Kapitalmarkt ist ein Markt, auf dem die Aktienkurse
+  die verfügbaren Informationen vollständig widerspiegeln.
+
+- Fama, 1970, Effizienzmarkthypothese (EMH): Der Marktpreis spiegelt zu
+  jedem Zeitpunkt sofort alle am Markt verfügbaren Informationen wider.
+
+- Eine schwächere und ökonomisch sinnvollere Version der
+  Effizienzhypothese stammt von Jensen (1978):
+  Die Preise spiegeln Informationen bis zu dem Punkt wider, an dem der
+  Grenznutzen des Handelns aufgrund von Informationen (die zu
+  erzielenden Gewinne) die Grenzkosten nicht übersteigt.
+
+- Wir unterscheiden drei Formen der Markteffizienz:
+
+  - Schwache Form: Preise und Renditen der Vergangenheit.
+
+  - Mittelstarke Form: alle öffentlichen Informationen.
+
+  - Starke Form: alle öffentlichen UND privaten Informationen.
+
+- Zu den Folgen der Effizienzmarkthypothese gehören:
+
+  - Anleger sind nicht in der Lage, den Markt dauerhaft zu schlagen: Da
+    sich die Informationen sofort in den Preisen niederschlagen, sollten
+    die Anleger nur eine normale Rendite erwarten. Die Kenntnis von
+    Informationen zum Zeitpunkt ihrer Veröffentlichung nützt einem
+    Anleger nichts. Der Preis passt sich an, bevor der Anleger Zeit hat,
+    darauf zu reagieren.
+
+  - Unternehmen sollten erwarten, dass sie für die von ihnen verkauften
+    Wertpapiere einen fairen Wert erhalten. Fair bedeutet, dass der
+    Preis, den sie für die Ausgabe von Wertpapieren erhalten, dem
+    aktuellen Wert entspricht. Wertvolle Finanzierungsmöglichkeiten, die
+    sich aus der Täuschung von Anlegern ergeben, sind daher auf
+    effizienten Märkten nicht verfügbar.
+
+- Die Abbildung zeigt mögliche Anpassungen von Aktienkursen.
+
+[image]
+
+- Die durchgezogene Linie stellt den Weg dar, den das Wertpapier auf
+  einem effizienten Markt nimmt.
+
+- In diesem Fall wird der Preis sofort an die neuen Informationen
+  angepasst, ohne dass es zu weiteren Preisänderungen kommt.
+
+- Die gepunktete Linie stellt eine langsame Reaktion dar.
+
+- Hier braucht der Markt 30 Tage, um die Informationen vollständig
+  aufzunehmen.
+
+- Die gestrichelte Linie schließlich veranschaulicht eine überreaktion
+  und eine anschließende Korrektur zurück auf den wahren Preis.
+
+- Die gestrichelte Linie und die gepunktete Linie zeigen den Weg, den
+  der Aktienkurs auf einem ineffizienten Markt nehmen könnte.
+
+- Wenn der Aktienkurs mehrere Tage braucht, um sich anzupassen, können
+  Anleger, die ihre Käufe und Verkäufe zum richtigen Zeitpunkt tätigen,
+  Handelsgewinne erzielen.
+
+Grundlagen der Effizienz
+
+- Die obige Abbildung zeigt die Folgen der Markteffizienz.
+
+- Aber was sind die Bedingungen, die Markteffizienz bewirken?
+
+- Andrei Shleifer argumentiert, dass es drei Bedingungen gibt, von denen
+  jede einzelne zu Effizienz führt :
+
+  - Rationalität oder homogene Erwartungen über zukünftige Aktienkurse.
+
+  - Zufällige und unabhängige Abweichungen von der Rationalität:
+    Verzerrungen, die auf unzureichende Informationen oder irrationales
+    Verhalten zurückzuführen sind, sind unkorreliert und werden sich im
+    Durchschnitt ausgleichen.
+
+  - Arbitrage: Auch wenn es einige nicht-rationale Akteure auf den
+    Märkten gibt, werden rationale Akteure durch einen Arbitrageprozess
+    (Kauf und Verkauf eines Vermögenswerts, um von einer Preisdifferenz
+    zu profitieren) verhindern, dass diese die Preise (langfristig)
+    beeinflussen können.
+
+- Rationalität
+
+  - Nehmen wir an, dass alle Investoren rational sind.
+
+  - Wenn neue Informationen auf dem Markt veröffentlicht werden, werden
+    alle Anleger ihre Schätzungen der Aktienkurse auf rationale Weise
+    anpassen.
+
+  - Natürlich kann es Zeiten geben, in denen sich die Marktteilnehmer
+    nicht vollkommen rational verhalten.
+
+  - Daher ist es vielleicht zu viel verlangt, dass sich alle Anleger
+    rational verhalten.
+
+  - Der Markt ist aber immer noch effizient, wenn das folgende Szenario
+    zutrifft.
+
+- Zufällige und unabhängige Abweichungen von der Rationalität
+
+  - Die Anleger reagieren möglicherweise nicht rational auf die
+    Veröffentlichung neuer Informationen.
+
+  - Sie könnten auf eine irrational pessimistische oder irrational
+    optimistische Weise reagieren.
+
+  - Nehmen wir aber an, dass etwa gleich viele Personen irrational
+    optimistisch wie irrational pessimistisch sind.
+
+  - Die Preise würden wahrscheinlich in einer Weise steigen, die mit der
+    Markteffizienz vereinbar ist, auch wenn die meisten Anleger als
+    nicht völlig rational eingestuft würden.
+
+  - Die Markteffizienz setzt also keine rationalen Individuen voraus,
+    sondern nur gegenläufige Irrationalitäten.
+
+  - Diese Annahme, dass sich Irrationalitäten zu allen Zeiten
+    ausgleichen, ist jedoch möglicherweise unrealistisch.
+
+  - Aber auch hier gibt es eine Annahme, die zu Effizienz führen wird.
+
+- Arbitrage
+
+  - Stellen Sie sich eine Welt vor, in der es zwei Arten von Menschen
+    gibt: Den irrationalen Amateur und den rationalen Profi.
+
+  - Die Amateure lassen sich von ihren Emotionen leiten, und wenn sich
+    die Leidenschaften der verschiedenen Amateure nicht gegenseitig
+    aufheben, tendieren sie dazu, die Aktien entweder über oder unter
+    ihrem effizienten Preis zu verkaufen.
+
+  - Profis auf der anderen Seite gehen methodisch und rational an die
+    Sache heran: Wenn eine Aktie unterbewertet ist, würden sie sie
+    kaufen. Wenn sie überbewertet ist, würden sie sie verkaufen.
+
+  - Während ein Laie vielleicht nur eine kleine Summe riskiert, können
+    diese Profis große Summen riskieren, wohl wissend, dass das
+    Wertpapier falsch bewertet ist.
+
+  - Arbitrage erzielt Gewinne aus dem gleichzeitigen Kauf und Verkauf
+    von unterschiedlichen, aber substituierbaren Wertpapieren.
+
+  - Wenn die Arbitrage der Profis die Spekulation der Amateure
+    dominiert, wären die Märkte immer noch effizient.
+
+Die verschiedenen Arten der Effizienz
+
+- In der vorherigen Diskussion haben wir angenommen, dass der Markt
+  sofort auf alle verfügbaren Informationen reagiert.
+
+- In der Realität können sich bestimmte Informationen schneller auf die
+  Aktienkurse auswirken als andere Informationen.
+
+- Um mit unterschiedlichen Antwortquoten umzugehen, trennen die Forscher
+  die Informationen in verschiedene Typen.
+
+- Das gebräuchlichste Klassifizierungssystem sieht drei Arten vor:
+
+  - Informationen über frühere Preise
+
+  - Öffentlich zugängliche Informationen
+
+  - Alle Informationen
+
+- Die schwache Form
+
+  - Ein Kapitalmarkt gilt als schwach effizient oder erfüllt die
+    schwache Effizienzform, wenn er die Informationen über die
+    Aktienkurse der Vergangenheit vollständig berücksichtigt.
+
+  - Häufig wird die Effizienz der schwachen Form mathematisch wie folgt
+    dargestellt:
+    $$\begin{aligned}
+    P_t=P_{t-1}+\text{Erwartete Rendite}+\text{Zuf{\"a}lliger Fehler}_t
+    \end{aligned}$$
+
+  - Diese Gleichung besagt, dass der heutige Kurs gleich der Summe aus
+    dem zuletzt beobachteten Kurs plus der erwarteten Rendite des
+    Eigenkapitals plus einer Zufallskomponente ist, die während des
+    Intervalls auftritt.
+
+  - Die erwartete Rendite ist eine Funktion des Risikos eines
+    Wertpapiers und beruht auf den Risiko- und Renditemodellen der
+    vorangegangenen Vorlesungen.
+
+  - Die Zufallskomponente ist auf neue Informationen über das
+    Unternehmen zurückzuführen. Sie kann positiv oder negativ sein und
+    hat einen Erwartungswert von Null.
+
+  - Die Zufallskomponente in einer beliebigen Periode steht in keinem
+    Zusammenhang mit der Zufallskomponente in einer vergangenen Periode.
+
+  - Wenn die Aktienkurse der obigen Gleichung folgen, spricht man von
+    einem random walk.
+
+  - Die schwache Form der Effizienz ist so ziemlich die schwächste Form
+    der Effizienz, die man von einem Finanzmarkt erwarten würde, da
+    historische Preisinformationen die am einfachsten zu beschaffenden
+    Informationen über das Eigenkapital eines Unternehmens sind.
+
+  - Wenn es möglich wäre, außergewöhnliche Gewinne zu erzielen, indem
+    man einfach nur Muster in den Aktienkursen findet, würde das jeder
+    tun, und alle Gewinne würden in dem Gedränge verschwinden.
+
+  - Die folgende Abbildung zeigt diese Auswirkungen des Wettbewerbs:
+
+  [image]
+
+- Die mittelstarken und starken Formen
+
+  - Ein Markt ist mittelstark effizient, wenn die Preise alle öffentlich
+    zugänglichen Informationen widerspiegeln (einbeziehen),
+    einschließlich Informationen wie z. B. veröffentlichte
+    Rechnungsabschlüsse für das Unternehmen sowie historische
+    Preisinformationen.
+
+  - Ein Markt ist stark effizient, wenn die Preise alle Informationen,
+    ob öffentlich oder privat, widerspiegeln.
+
+  - Die Informationsmenge der vergangenen Preise ist eine Teilmenge der
+    Informationsmenge der öffentlich verfügbaren Informationen, die
+    wiederum eine Teilmenge aller Informationen ist.
+
+  - Daher impliziert eine starke Form der Effizienz eine mittelstarke
+    Form der Effizienz, und eine mittelstarke Form der Effizienz
+    impliziert eine schwache Form der Effizienz.
+
+  - Der Unterschied zwischen der mittelstarken Effizienzform und der
+    schwachen Effizienzform besteht darin, dass die mittelstarke
+    Effizienzform nicht nur voraussetzt, dass der Markt mit den
+    historischen Preisinformationen effizient arbeitet, sondern dass
+    sich alle der öffentlichkeit zur Verfügung stehenden Informationen
+    in den Preisen widerspiegeln.
+
+  [image]
+
+  - Am äußersten Ende des Spektrums steht die hohe Form der
+    Markteffizienz.
+
+  - Diese Form besagt, dass jede Information, die für den Wert des
+    Wertpapiers relevant ist und mindestens einem Anleger bekannt ist,
+    auch tatsächlich vollständig in den Aktienkurs einfließt.
+
+  - Ein strenggläubiger Anhänger der strengen Effizienzform würde
+    bestreiten, dass ein Insider, der weiß, ob ein Unternehmen im
+    Bergbau auf Gold gestoßen ist, von dieser Information profitieren
+    könnte.
+
+  - Sie würde argumentieren, dass die Information eingepreist wird,
+    sobald das Gold entdeckt wird.
+
+Markteffizienz: die Evidenz
+
+- Ein Grund für die Annahme, dass die Märkte eine schwache Effizienzform
+  aufweisen, liegt darin, dass es so billig und einfach ist, Muster in
+  den Aktienkursen zu finden.
+
+- Jeder, der einen Computer programmieren kann und ein wenig Ahnung von
+  Statistik hat, kann nach solchen Mustern suchen.
+
+- Es liegt auf der Hand, dass, wenn es solche Muster gäbe, die Menschen
+  sie finden und ausnutzen würden, so dass sie verschwinden würden.
+
+- Die mittelstarke Effizienzform impliziert jedoch erfahrenere Anleger
+  als die schwache Effizienzform.
+
+- Ein Investor muss sich in den Bereichen Buchhaltung, Finanzen und
+  Statistik auskennen und die Eigenheiten der einzelnen Branchen und
+  Unternehmen kennen.
+
+- Was die Effizienz der starken Form betrifft, so ist sie nur weiter
+  entfernt als die Effizienz der mittelstarken Form.
+
+- Es ist schwer vorstellbar, dass der Markt so effizient ist, dass
+  jemand mit wertvollen Insiderinformationen nicht davon profitieren
+  kann.
+
+- Die schwache Form
+
+  - Schwache Effizienzform bedeutet, dass die Preisbewegung eines
+    Wertpapiers in der Vergangenheit nicht mit seiner Preisbewegung in
+    der Zukunft zusammenhängt.
+
+  - Die schwache Form der Effizienzmarkthypothese ist auf vielfältige
+    Weise getestet worden.
+
+  - In diesem Zusammenhang sprechen Finanzökonomen häufig von serieller
+    Korrelation, die nur ein Wertpapier betrifft.
+
+  - Dies ist die Korrelation zwischen der aktuellen Rendite eines
+    Wertpapiers und der Rendite desselben Wertpapiers in einem späteren
+    Zeitraum.
+
+  - Ein positiver Koeffizient der seriellen Korrelation für eine
+    bestimmte Aktie deutet auf eine Tendenz zur Fortschreibung hin.
+
+  - Ein negativer Koeffizient der seriellen Korrelation weist auf eine
+    Tendenz zur Umkehrung hin.
+
+  - Sowohl signifikant positive als auch signifikant negative serielle
+    Korrelationskoeffizienten sind Anzeichen für Marktineffizienzen; in
+    beiden Fällen können die heutigen Renditen zur Vorhersage künftiger
+    Renditen verwendet werden.
+
+  - Serielle Korrelationskoeffizienten für Aktienkursrenditen nahe Null
+    würden auf eine schwache Effizienzform hindeuten.
+
+  - Die folgende Tabelle zeigt die serielle Korrelation für tägliche
+    Aktienkursänderungen bei acht großen britischen Unternehmen.
+
+[image]
+
+- Diese Koeffizienten zeigen an, ob es Beziehungen zwischen der
+  gestrigen und der heutigen Rendite gibt.
+
+- Wie man sieht, sind die Korrelationskoeffizienten überwiegend negativ,
+  was bedeutet, dass eine überdurchschnittliche Rendite heute eine
+  unterdurchschnittliche Rendite morgen etwas wahrscheinlicher macht.
+
+- Umgekehrt ist der Koeffizient von Imperial Tobacco leicht positiv, was
+  bedeutet, dass eine überdurchschnittliche Rendite heute eine
+  überdurchschnittliche Rendite morgen etwas wahrscheinlicher macht.
+
+- Da die Korrelationskoeffizienten jedoch prinzipiell zwischen −1 und +1
+  variieren können, sind die angegebenen Koeffizienten recht klein.
+
+- Tatsächlich sind die Koeffizienten sowohl im Verhältnis zu den
+  Schätzfehlern als auch zu den Transaktionskosten so gering, dass die
+  Ergebnisse im Allgemeinen als mit einer schwachen Effizienzform
+  vereinbar angesehen werden.
+
+- Die mittelstarke Form (Eventstudien)
+
+  - Die mittelstarke Form der Effizienzmarkthypothese besagt, dass die
+    Preise alle öffentlich verfügbaren Informationen widerspiegeln
+    sollten.
+
+  - Um diese Hypothese zu testen, haben Forscher gemessen, wie schnell
+    die Wertpapierkurse auf verschiedene Nachrichten reagieren, z. B.
+    auf die Bekanntgabe von Gewinnen oder Dividenden, auf Nachrichten
+    über eine übernahme oder auf makroökonomische Informationen.
+
+  - Um die Auswirkung einer Ankündigung auf den Kurs einer Aktie zu
+    isolieren, ist die Berechnung der abnormalen Rendite (AR)
+    erforderlich.
+
+  - Die abnormale Rendite eines bestimmten Wertpapiers für einen
+    bestimmten Tag kann berechnet werden, indem die Marktrendite
+    desselben Tages (r_(m)) von der tatsächlichen Rendite (r) der Aktie
+    für diesen Tag abgezogen wird:
+    $$\begin{aligned}
+    \text{AR}=r-r_m
+    \end{aligned}$$
+
+  - Das folgende System wird uns helfen, Tests der mittelstarken Form zu
+    verstehen:
+
+      ------------------------------------------------ --- ------------
+      Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t − 1   →   AR_(t − 1)
+      Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t       →   AR_(t)
+      Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t + 1   →   AR_(t + 1)
+      ------------------------------------------------ --- ------------
+
+  - Die Pfeile zeigen an, dass die abnormale Rendite in einem beliebigen
+    Zeitraum nur mit den in diesem Zeitraum veröffentlichten
+    Informationen zusammenhängt.
+
+  - Nach der Effizienzmarkthypothese sollte die abnormale Rendite eines
+    Unternehmens zum Zeitpunkt t, AR_(t), die Veröffentlichung von
+    Informationen zum gleichen Zeitpunkt, t, widerspiegeln.
+
+  - Alle Informationen, die vor diesem Zeitpunkt veröffentlicht werden,
+    sollten keine Auswirkungen auf die abnormalen Renditen in diesem
+    Zeitraum haben, da ihr gesamter Einfluss bereits vorher spürbar
+    gewesen sein sollte.
+
+  - Um die mittelstarke Form der EMH anhand von abnormalen Renditen zu
+    testen, werden Eventstudien durchgeführt.
+
+  - Grob gesagt sind Eventstudien statistische Studien, die untersuchen,
+    ob die Pfeile wie abgebildet sind oder ob die Veröffentlichung von
+    Informationen die Renditen an anderen Tagen beeinflusst.
+
+  - Ein Beispiel dafür ist die Studie von Szewczyk, Tsetsekos und
+    Zantout über Dividendenausfälle.
+
+  - Da Dividendenausfälle im Allgemeinen als schlechte Ereignisse
+    angesehen werden, würden wir erwarten, dass die abnormalen Renditen
+    zum Zeitpunkt der Ankündigung negativ sind.
+
+  - Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der kumulativen ARs für
+    eine Stichprobe von Unternehmen, die Dividendenausfälle ankündigen.
+
+[image]
+
+- Erwartungsgemäß sind die ARs um den Zeitpunkt der Ankündigung herum
+  negativ, was durch einen Rückgang der kumulierten abnormalen Renditen
+  sowohl am Tag vor der Ankündigung (Tag −1) als auch am Tag der
+  Ankündigung (Tag 0) belegt wird.
+
+- Es ist jedoch zu beachten, dass es in den Tagen nach der Ankündigung
+  praktisch keine Bewegung bei den kumulierten ARs gibt.
+
+- Dies bedeutet, dass die schlechten Nachrichten bis zum Tag der
+  Bekanntgabe vollständig in den Aktienkurs eingepreist sind, ein
+  Ergebnis, das mit Effizienz vereinbar ist.
+
+- Im Laufe der Jahre wurde diese Art von Methodik auf viele Ereignisse
+  angewandt (Ankündigung von Dividenden/Gewinn, Fusionen usw.).
+
+- Im Durchschnitt unterstützen die Tests der Ereignisstudien die
+  Ansicht, dass der Markt halbwegs effizient ist.
+
+- Die starke Form
+
+  - Eine Reihe von Studien zur starken Effizienzform untersucht den
+    Insiderhandel.
+
+  - Unternehmensinsider haben Zugang zu Informationen, die nicht
+    allgemein zugänglich sind.
+
+  - Aber wenn die starke Form der EMH gilt, sollten sie nicht in der
+    Lage sein, durch den Handel mit ihren Informationen zu profitieren.
+
+  - Die meisten staatlichen Stellen verlangen von den Insidern eines
+    Unternehmens, dass sie den Handel mit Wertpapieren des eigenen
+    Unternehmens offenlegen.
+
+  - Anhand der Aufzeichnungen dieser Geschäfte können wir feststellen,
+    ob sie abnormale Renditen erzielt haben.
+
+  - Die folgende Abbildung zeigt die kumulierten abnormalen Renditen,
+    die britische Direktoren zwischen 1994 und 2005 mit ihren Geschäften
+    erzielten.
+
+[image]
+
+- Es ist klar, dass es in den Tagen nach dem Insiderhandel eine starke
+  Marktreaktion gibt und dass ihre Geschäfte ungewöhnlich profitabel
+  waren.
+
+- Diese Ansicht wird durch Daten aus anderen Ländern gestützt.
+
+- In Anbetracht der Tatsache, dass man mit privaten Informationen
+  abnormale Gewinne erzielen kann, scheint die Effizienzform nicht durch
+  empirische Evidenz untermauert zu sein.
+
+Zwischenfazit
+
+- Heute haben wir uns mit dem Capital Asset Pricing Model (CAPM)
+  beschäftigt.
+
+- Ebenfalls haben wir uns aber mit effizienten Kapitalmärkten und der
+  Effizienzmarkthypothese befasst.
+
+- Damit haben wir theoretisch diskutiert, wie Kapitalmärkte
+  funktionieren sollten.
+
+- Im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen wir uns mit empirischen
+  Beobachtungen und mit Kapitalmarktanomalien.
+
+- Zuletzt schauen wir auf die Grenzen der Arbitrage.
+
+Kapitalmarktanomalien
+
+Kapitalmarktanomalien
+
+Empirische Herausforderungen für die Markteffizienz
+
+- Gewinnüberraschung (Earnings Surprises)
+
+  - Der gesunde Menschenverstand legt nahe, dass die Kurse steigen
+    sollten, wenn die Erträge höher als erwartet ausfallen, und fallen
+    sollten, wenn das Gegenteil der Fall ist.
+
+  - Die Markteffizienz impliziert, dass sich die Preise sofort auf die
+    Ankündigung einstellen.
+
+  - Kolasinski und Li (2005) ordnen US-Unternehmen nach dem Ausmaß ihrer
+    Gewinnüberraschung ein, d. h. der Differenz zwischen dem aktuellen
+    Quartalsgewinn und dem Quartalsgewinn vor vier Quartalen, geteilt
+    durch den aktuellen Aktienkurs.
+
+  - Sie bilden ein Portfolio von Unternehmen mit den extremsten
+    positiven Überraschungen und ein weiteres Portfolio von Unternehmen
+    mit den extremsten negativen Überraschungen.
+
+  - Die folgende Abbildung zeigt die Renditen aus dem Kauf der beiden
+    Portfolios, abzüglich der Rendite des Gesamtmarktes.
+
+[image]
+
+- Die Kurse passen sich langsam an die Gewinnankündigungen an, wobei das
+  Portfolio mit den positiven Überraschungen sowohl im nächsten Monat
+  als auch in den nächsten sechs Monaten besser abschneidet als das
+  Portfolio mit den negativen Überraschungen.
+
+- Größe
+
+  - Im Jahr 1981 legten zwei wichtige Studien Hinweise dafür vor, dass
+    in den Vereinigten Staaten die Renditen von Aktien mit kleiner
+    Marktkapitalisierung während des Großteils des 20. Jahrhunderts
+    höher waren als die Renditen von Aktien mit großer
+    Marktkapitalisierung.
+
+  - Die Studien wurden seitdem über verschiedene Zeiträume und in
+    verschiedenen Ländern wiederholt.
+
+  - Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise die durchschnittlichen
+    Renditen im Zeitraum von 1963 bis 1995 für fünf nach Größe geordnete
+    Portfolios von US-Aktien.
+
+[image]
+
+- Wie man sieht, ist die durchschnittliche Rendite bei kleinen Aktien um
+  einiges höher als die durchschnittliche Rendite bei großen Aktien.
+
+- Obwohl ein großer Teil der unterschiedlichen Performance lediglich ein
+  Ausgleich für das zusätzliche Risiko kleiner Firmen ist, haben
+  Forscher allgemein argumentiert, dass nicht alles durch
+  Risikounterschiede erklärt werden kann.
+
+- Keim (1983) hat nachgewiesen, dass der größte Teil der
+  Renditeunterschiede im Monat Januar auftritt.
+
+Empirische Forschung zur Markteffizienz
+
+- Sind die Finanzmärkte effizient?
+
+- , p. 95: Es gibt keine andere These in den Wirtschaftswissenschaften,
+  die empirisch besser belegt ist als die EMH.
+
+- Dennoch traten einige Herausforderungen auf:
+
+  - Übermäßige Marktvolatilität.
+
+  - Überreaktion der Aktienkurse: Langfristige Trends (1-3 Jahre) kehren
+    sich um.
+
+  - Momentum der Aktienkurse: Die kurzfristigen Trends (6-12 Monate)
+    halten an.
+
+  - Größe und B/M-Verhältnis (veraltete Informationen) können zur
+    Vorhersage von Renditen beitragen (Fama-French 3/5-Faktormodell).
+
+- Außerdem lassen sich einige der größten Kursschwankungen nicht durch
+  neue Informationen erklären.
+
+  - Der Absturz von 1987 mit einem Rückgang von 22, 6% ohne erkennbare
+    Neuigkeiten.
+
+  - Mehrere der größten eintägigen Kursschwankungen traten auch an Tagen
+    auf, an denen keine größeren Ankündigungen gemacht wurden (Ausnahme:
+    COVID-19-Ausbruch im Jahr 2020).
+
+- Forscher liefern empirische Belege für Marktanomalien:
+
+  - : saisonale Muster bei Aktienrenditen (z.B. der Januar-Effekt).
+
+  - : Aktienmärkte überreagieren in Bezug auf unerwartete
+    Nachrichtenereignisse.
+
+  - : Wertaktien schneiden weltweit besser ab als Wachstumsaktien.
+
+- Die beschriebenen Muster stehen zwar im Zusammenhang mit den
+  Aktienmärkten, doch haben die letzten Jahre gezeigt, dass viele dieser
+  Muster auch in anderen Anlageklassen zu finden sind.
+
+- Mehrere der empirischen Muster im Querschnitt der Aktienrenditen
+  gelten auch für andere Anlageklassen, z. B. Momentum, langfristige
+  Umkehrungen (longterm reversal), Volatilität.
+
+- Sie gelten sogar für die Märkte von FIFA 19 (Montone und Zwinkels,
+  2021).
+
+- Dies deutet auf einen gemeinsamen Mechanismus hin, der für alle
+  Anlageklassen gilt.
+
+- Diese Anomalien widerlegen jedoch nicht die Markteffizienz, da jeder
+  Test die gemeinsamen Hypothesen prüfen muss: Markteffizienz an sich
+  ist nicht testbar. Sie muss zusammen mit einem Gleichgewichtsmodell,
+  einem Modell zur Bewertung von Vermögenswerten, getestet werden (Fama,
+  JF, 1991).
+
+- Dennoch liefert die Geschichte eindeutige Beispiele für nicht
+  effiziente Märkte (siehe Barberis/Thaler, 2003):
+
+  - Zusammenschluss von Royal Dutch und Shell Transports im Jahr 1907.
+
+  - Die Cash-Flows werden im Verhältnis 60:40 zwischen den Unternehmen
+    aufgeteilt.
+
+  - Beide Aktien werden jedoch an unterschiedlichen Börsen gehandelt.
+
+  - Einfache Rechnenaufgabe: Der Cashflow an RD ist das 1,5-fache des
+    Cashflows an die ST-Aktionäre.
+
+  - ⇒: Der Marktwert von RD sollte das 1,5-fache des Marktwerts von ST
+    betragen.
+
+  - Dennoch ...
+
+[image]
+
+Der Arbitrage sind Grenzen gesetzt! Eine Erklärung dafür ist die
+Existenz von “noise trader”.
+
+- Eine Kombination von möglichen Erklärungen für Marktanomalien:
+
+  - In der Realität können die Entscheidungen von Anlegern unter Risiko
+    irrational sein.
+
+  - In der Praxis haben Anleger nur begrenzte Arbitragemöglichkeiten
+    (Transaktionskosten, Liquiditätsbeschränkungen).
+
+Zwischenfazit
+
+- Empirische Beobachtungen zeigen uns also, dass wir Abweichungen
+  zwischen Theorie und Realität beobachten: sog. Kapitalmarktanomalien.
+
+- Zuletzt schauen wir daher auf die Grenzen der Arbitrage. Warum kann es
+  zu solchen Abweichungen von der Effizienzmarkthypothese kommen?
+
+Die Grenzen der Arbitrage
+
+Die Grenzen der Arbitrage
+
+Shleifer, A. and R. Vishny (1997): “The Limits of Arbitrage,” The
+Journal of Finance, 52, 35–55.
+
+(see N. Barberis: Behavioral Finance. Asset Prices and Investor
+Behavior, Yale University.)
+
+Grenzen der Arbitrage
+
+- Behavioral Finance-Anwendungen auf die Preise von Vermögenswerten
+  gehen häufig davon aus, dass irrationale Anleger die Preise
+  beeinflussen.
+
+- Es gibt eine klassische Kritik an dieser Idee, die arbitrage critique.
+
+- Dieser Kritik zufolge können irrationale Anleger die Preise nicht über
+  einen längeren Zeitraum hinweg beeinflussen.
+
+  - Sobald irrationale Investoren die Preise bewegen, entsteht eine
+    attraktive Gelegenheit für rationale Investoren.
+
+  - Die rationalen Anleger handeln gegen die Fehlbewertung und
+    korrigieren sie schnell (arbitrage).
+
+- Die Forschung liefert jedoch empirische Evidenz für die Grenzen der
+  Arbitrage.
+
+Definition 1 (Keine Arbitragemöglichkeiten). Ein Kapitalmarkt ist frei
+von Arbitragemöglichkeiten, wenn es kein Portfolio gibt, das heute zu
+einem negativen Preis gekauft werden kann, aber morgen in jedem
+möglichen Zustand der Welt einen nicht-negativen Marktwert haben wird.
+
+Beispiel 1 (Arbitrage-Möglichkeiten).
+
+[image]
+
+Beispiel 2 (Arbitrage-Möglichkeiten).
+
+  Zeit                           0                      1              
+  ---------------------- ----------------- --------------------------- -----------
+                                                    Zustand 1           Zustand 2
+  Kauf von Anlage 2            -0,60                    1                   0
+  Kauf von Anlage 3            -0,28                    0                   1
+  Verkauf von Anlage 1          0,9                    -1                  -1
+  Kum. Cash Flow               0,02                     0                   0
+                          Negativer Preis   nicht-negativer Marktwert  
+
+Definition 2 (Fundamentalwert). Der Fundamentalwert eines Vermögenswerts
+ist sein Preis in einer Wirtschaft mit rationalen Anlegern und ohne
+Beschränkungen. Der Fundamentalwert spiegelt alle verfügbaren
+öffentlichen Informationen korrekt wider und ist der Preis eines
+effizienten Marktes.
+
+- In einer Wirtschaft mit Beschränkungen oder wenn einige Menschen nicht
+  völlig rational sind, kann der Preis eines Vermögenswertes vom
+  Fundamentalwert abweichen. Solche Abweichungen werden als
+  Fehlbewertung oder Ineffizienz bezeichnet.
+
+- Rationale Anleger werden manchmal auch als Arbitrageure bezeichnet.
+
+- Weniger als völlig rationale Investoren werden manchmal als Noise
+  Trader bezeichnet.
+
+- Die Arbitrage-Kritik besagt, dass es für rationale Investoren einfach
+  ist, eine Fehlbewertung zu korrigieren.
+
+- In der Realität ist es jedoch nicht einfach:
+
+  - Es gibt Risiken und Kosten, die die Möglichkeiten der Arbitrageure,
+    eine Fehlbewertung zu korrigieren, einschränken.
+
+  - Auf diese Weise können irrationale Anleger die Preise erheblich und
+    für lange Zeit beeinflussen.
+
+- Besondere Grenzen der Arbitrage
+
+  - Risiken: Fundamental-Risiko, Noise-Trader-Risiko
+
+  - Kosten: Handelskosten, Implementierungskosten, Informationskosten
+
+Definition 3 (Fundamental-Risiko). Das Risiko, dass es negative
+Nachrichten über den fundamentalen Wert des falsch bewerteten
+Vermögenswerts gibt.
+
+Definition 4 (Noise Trader Risiko). Das Risiko, dass der Arbitrageur
+aufgrund der sich kurzfristig verschlechternden Fehlbewertung gezwungen
+ist, seinen Handel mit Verlust zu beenden .
+
+- Das Noise-Trader-Risiko entsteht, weil Arbitrageure in der realen Welt
+  das Geld anderer Leute verwalten. Wenn sich also die Fehlbewertung
+  kurzfristig verschlechtert, könnten nervöse Kunden ihr Geld aus dem
+  Fonds des Arbitrageurs abziehen und eine Liquidation erzwingen.
+
+- Dieses Problem wird durch den Einsatz von Leverage noch verstärkt.
+  Wenn sich die Fehlbewertung kurzfristig verschlimmert, können die
+  Banken ihre Kredite fällig stellen, was wiederum eine Liquidation
+  erzwingt.
+
+Definition 5 (Kosten). Zu den Kosten gehören allgemeine Handelskosten,
+aber auch Leerverkaufskosten und Informationskosten, d. h. die Kosten
+für die Erkennung, das Verständnis und die Ausnutzung einer
+Fehlbewertung.
+
+Grenzen der Arbitrage (SV 1997)
+
+- Im weiteren Verlauf dieser Vorlesung werden wir einen Blick auf das
+  Modell von werfen, das erklärt, warum Arbitrage Anomalien auf
+  Finanzmärkten nicht beseitigen kann.
+
+- Betrachten wir einen Markt, auf dem nur ein Vermögenswert mit dem
+  Fundamentalwert V gehandelt wird.
+
+- Es gibt drei Arten von Händlern: Noise Trader, Arbitrageure und
+  Investoren in Arbitragefonds, die nicht selbst handeln.
+
+- Arbitrageure engagieren sich nur auf diesem Markt; Investoren
+  verteilen ihre Mittel auf mehrere Märkte.
+
+- Es gibt drei Zeitpunkte: 1, 2 und 3. Der Preis des Vermögenswertes zum
+  Zeitpunkt t ist p_(t).
+
+- Zum Zeitpunkt 3 wird V allen bekannt: p₃ = V.
+
+- Noise Trader sind pessimistisch und können einen Pessimismus-Schock
+  S_(t) erleben.
+
+- Die Nachfrage nach dem Vermögenswert ist gegeben durch
+  QN(t) = (V − S_(t))/p_(t)
+
+- Zum Zeitpunkt t = 1 kennen die Arbitrageure S₁; S₂ ist jedoch
+  unsicher. Es kann sein, dass S₂ > S₁ ist (was eintritt, wenn sich die
+  Fehlwahrnehmungen der Noise Trader vertiefen).
+
+- Arbitrageure und Investoren sind völlig rational.
+
+- Arbitrageure nutzen die von Noise Tradern verursachten Fehlbewertungen
+  aus, um Gewinne zu erzielen.
+
+- Sie verfügen über kumulierte Ressourcen F_(t), die sie investieren
+  können, um die Fehlbewertung auszunutzen.
+
+- F₁ ist exogen gegeben; F₂ wird unter Berücksichtigung der Performance
+  der Arbitrageure bestimmt.
+
+- Der interessante Teil des Modells findet zum Zeitpunkt t = 2 statt:
+  Entweder erholt sich der Preis auf den Fundamentalwert V (mit der
+  Wahrscheinlichkeit 1 − q), oder die Noise Trader sind weiterhin
+  verwirrt und der Preis weicht immer noch von V ab (mit der
+  Wahrscheinlichkeit q).
+
+- Wenn der Preis  = V ist, investieren die Arbitrageure ihre gesamten
+  Mittel in Bargeld / den risikofreien Vermögenswert.
+
+- Wenn der Preis  ≠ V ist, wollen die Arbitrageure alle ihre Ressourcen
+  in den Vermögenswert investieren, da sich der Preis in t = 3 mit
+  Sicherheit erholen wird.
+
+- Ihre Nachfrage ist also QA(2) = F₂/p₂.
+
+- Da der Markt geräumt werden muss (Nachfrage ≡ Angebot), ist der Preis
+  gegeben durch:
+  p₂ = V − S₂ + F₂
+
+- Nehmen wir nun an, dass die Ressourcen der Arbitrageure begrenzt sind
+  und nicht ausreichen, um alle Fehlbewertungen zu korrigieren, d. h.
+  F₂ < S₂.
+
+- Im anderen Fall wäre die Lösung trivial: Wir würden effiziente Märkte
+  beobachten.
+
+- In t = 1 wollen Arbitrageure nicht unbedingt alle Ressourcen in den
+  Vermögenswert investieren. Stattdessen möchten sie vielleicht etwas
+  Bargeld bereithalten, falls die Unterbewertung des Vermögenswertes
+  zunimmt.
+
+- Offensichtlich haben — in diesem Fall — alle zu diesem Zeitpunkt
+  investierten Mittel zumindest vorübergehend an Wert verloren.
+
+- Bezeichnen wir die Nachfrage der Arbitrageure zum Zeitpunkt t = 1 mit
+  D₁. Dann ist QA(1) = D₁/p₁ und
+  p₁ = V − S₁ + D₁.
+
+- Auch hier gehen wir davon aus, dass die Ressourcen der Arbitrageure
+  begrenzt sind und nicht ausreichen, um alle Fehlbewertungen zu
+  korrigieren, d.h. F₁ < S₁.
+
+- Werfen wir nun einen Blick auf die Beziehung zwischen Investoren und
+  Arbitrageuren.
+
+- Die Investoren stellen den Arbitrageuren Mittel zur Verfügung, um
+  mögliche Fehlbewertungen zu korrigieren, und erhalten die von den
+  Arbitrageuren erwirtschaftete Rendite abzüglich der konstanten
+  Grenzkosten, die für alle Arbitrageure gleich hoch sind.
+
+- Die Mittel der Investoren reichen nicht aus, um die Nachfrage aller
+  Arbitrageure auf den verschiedenen Märkten zu befriedigen.
+
+- Investoren sind Bayesianer und haben Erwartungen über die erwartete
+  Rendite jedes Arbitrageurs und investieren in den Arbitrageur mit der
+  höchsten erwarteten Rendite entsprechend ihrer Erwartungen.
+
+- Die Erwartungen der Investoren sind unterschiedlich, d. h. nicht alle
+  Ressourcen landen beim gleichen Arbitrageur.
+
+- Zum Zeitpunkt t = 2 aktualisieren die Investoren ihre Erwartungen
+  bezüglich der erwarteten Rendite des Arbitrageurs unter
+  Berücksichtigung der neu verfügbaren Informationen — der Rendite des
+  Arbitrageurs in der vorangegangenen Periode, p₂/p₁.
+
+- Die Investoren haben nicht die geistigen Fähigkeiten, die
+  Anlagestrategien der Arbitrageure zu verstehen. Daher müssen sie sich
+  auf beobachtbare Größen verlassen. Daher können die Investoren nicht
+  unterscheiden zwischen
+
+  1.  einem zufälligen Fehlerterm,
+
+  2.  Pech, weil Noise Trader zunehmend verwirrt sind, oder
+
+  3.  fehlenden Fähigkeiten des Arbitrageurs.
+
+- Insbesondere werden Arbitrageure, die in der ersten Periode schlechte
+  Renditen erzielt haben, Ressourcen an Arbitrageure verlieren, die
+  bessere Renditen erzielt haben.
+
+- Führen wir G(x) = ax + 1 − a als die Funktion ein, die die
+  Umverteilung der Mittel in t = 2 organisiert, wobei a ≥ 1 ist.
+
+- Dann ist das Geldangebot der Arbitrageure in t = 2 gegeben durch
+  F₂ = F₁ − aD₁(1 − p₂/p₁).
+
+- Bei einer Rendite von Null (p₂ = p₁) gewinnen oder verlieren
+  Arbitrageure keine Mittel; bei höheren Renditen gewinnen sie Mittel;
+  bei niedrigeren Renditen verlieren sie Mittel.
+
+- Dabei bezeichnet a die Sensitivität der Investoren gegenüber der
+  vergangenen Wertentwicklung. Bei höheren Werten von a verliert der
+  Arbitrageur als Reaktion auf eine schlechte Performance mehr Mittel.
+
+- Dies ist eine rationale Reaktion auf den Versuch, aus den Renditen der
+  Vergangenheit auf die Fähigkeiten des Managements und die zukünftigen
+  Chancen zu schließen.
+
+- Diese leistungsbezogene Mittelzuweisung im Modell führt zu einem
+  interessanten Effekt: Das Kapital ist vor allem dann niedrig, wenn die
+  erwarteten Erträge hoch sind. Wenn die Fehlbewertung zunimmt, sind die
+  Gewinne der Arbitrageure in der ersten Periode niedrig, aber — da die
+  Preise in t = 3 bekannt sind — ist dies genau der Zeitpunkt, an dem
+  die zukünftigen Renditen am höchsten sind.
+
+- Betrachten wir abschließend noch das Optimierungsproblem der
+  Arbitrageure.
+
+- Arbitrageure maximieren ihren erwarteten Gewinn in t = 3 — was
+  gleichbedeutend damit ist, dass sie ihr verwaltetes Vermögen
+  maximieren, da sie einen konstanten Grenzsatz verlangen.
+
+- Arbitrageure maximieren
+  $$\begin{gathered}
+  \mbox{E}[W] = (1-q) \left[a\left(\frac{D_1 V}{p_1} + F_1 - D_1 \right) + (1-a) F_1 \right] \\
+  + q \cdot \frac{V}{p_2} \cdot \left[a \left(\frac{D_1 p_2}{p_1} + F_1 - D_1\right) + (1 - a) F_1 \right]. 
+  \end{gathered}$$
+
+- Im ersten Fall halten die Arbitrageure in der letzten Periode Bargeld;
+  im zweiten Fall investieren sie ihre gesamten verfügbaren Mittel in
+  den Vermögenswert.
+
+- Ihre Bedingung erster Ordnung ist gegeben durch (erste Ableitung!):
+  $$(1-q) \left(\frac{V}{p_1} -1 \right) + q \left(\frac{p_2}{p_1} -1 \right) \frac{V}{p_2} \geq 0.$$
+
+- Der erste Term erfasst den zusätzlichen Nutzen, wenn sich der Preis in
+  t = 2 erholt. Der zweite Term ist der Verlust an Nutzen, wenn der
+  Preis fällt, bevor er sich in t = 3 erholt.
+
+- Wir sehen also, dass die optimale Entscheidung, Arbitrage zu nutzen,
+  und das Ausmaß, in dem sie genutzt werden sollte, von der
+  Wahrscheinlichkeit abhängt, dass die Fehlbewertung sofort korrigiert
+  wird, und vom Ausmaß der Fehlbewertung.
+
+- Am wichtigsten ist, dass es viele Umstände gibt, unter denen
+  Arbitrageure sich nicht dafür entscheiden, in t = 1 voll investiert zu
+  sein.
+
+- Mit anderen Worten, wir beobachten Grenzen der Arbitrage, die nicht
+  explizit durch eingeschränkte Ressourcen, sondern eher durch das
+  allgemeine Modell bedingt sind.
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+- Heute haben wir uns mit einem bekannten
+  Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, dem Capital Asset Pricing Model
+  (CAPM), beschäftigt.
+
+- Wir haben die Effizienzmarkthypothese kennengelernt.
+
+- Wir haben über verschiedene Abweichungen von effizienten Märkten, sog.
+  Marktanomalien, gesprochen, die in dem großen Bereich der
+  Verhaltensökonomie diskutiert werden.
+
+- Zuletzt haben wir die Grenzen der Arbitrage kennengelernt.
+
+- In der nächsten Vorlesung diskutieren wir die Behavioral Finance noch
+  detaillierter.
+
+Literatur
+
+Literatur

main5.txt

@@ -0,0 +1,1573 @@
+Üblerblick
+
+- Heute beschäftigen wir uns mit der Behavioral Finance.
+
+- Die interdisziplinäre Behavioral Finance nutzt Erkenntnisse aus der
+  Psychologie und der Soziologie um Kapitalmarktbeobachtungen zu
+  erklären, die mit der traditionellen Finanzwirtschaft schwer zu
+  erklären sind.
+
+- Im Mittelpunkt stehen dabei (irrationale) Verhaltensmuster von
+  Marktteilnehmern.
+
+- Die Behavioral Finance nimmt dabei eine eher beschreibende als eine
+  normative Rolle ein.
+
+Behavioral Finance
+
+Behavioral Finance
+
+Behavioral Finance
+
+- Wesentliche Aussagen:
+
+  - Der Mensch trifft seine Entscheidungen häufig auf der Grundlage von
+    Heuristiken.
+
+  - Dieser Entscheidungsprozess führt zu systematischen Abweichungen vom
+    rationalen Verhalten, sog. Biases oder Verzerrungen.
+
+    - Kognitive Verzerrungen: Anleger können nicht alle Informationen
+      analysieren und verarbeiten.
+
+    - Emotionale Verzerrungen: Anleger nehmen Informationen in
+      Abhängigkeit von ihrem Gemütszustand wahr.
+
+  - kein vollständig rationales Handeln, Abkehr vom des homo
+    oeconomicus.
+
+[image]
+
+[image]
+
+Ein Mix aus rationalem Kalkül und irrationalem Verhalten
+
+Der Preis der Sveriges Riksbank für Wirtschaftswissenschaften im
+Gedenken an Alfred Nobel 2013 wurde gemeinsam an Eugene F. Fama, Lars
+Peter Hansen und Robert J. Shiller für ihre empirische Analyse von
+Vermögenspreisen verliehen.
+
+[image]
+
+http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2013/ 
+
+Das Preisvergabekomitee verlieh den Nobelpreis an zwei führende
+Wirtschaftswissenschaftler, die gegensätzliche Ansichten über die
+Rationalität der Finanzmärkte vertreten.
+
+- E. Fama’s Seminartheorie der rationalen, effizienten Märkte
+  inspirierte den Aufstieg der Indexfonds und trug zum Rückgang der
+  Finanzregulierung bei.
+
+- R. Shiller sammelte Beweise für irrationales, ineffizientes Verhalten
+  und erregte Aufmerksamkeit, indem er den Fall der Aktienkurse im Jahr
+  2000 und den Immobiliencrash im Jahr 2006 vorhersagte.
+
+- L. Hansen entwickelte eine Methode der statistischen Analyse zur
+  Bewertung von Theorien über Preisbewegungen.
+
+Mit anderen Worten... 
+
+... gegensätzliche Konzepte, die die Entscheidungsfindung des Einzelnen
+erklären:
+
+[image] [image]
+rational vs. irrational
+
+.58
+
+Wirtschaftsakteure sind Menschen. Wirtschaftsmodelle müssen das
+respektieren.
+
+.38
+
+[image]
+
+Der Preis der Sveriges Riksbank für Wirtschaftswissenschaften in
+Erinnerung an Alfred Nobel 2017 wurde Richard H. Thaler für seine
+Beiträge zur Verhaltensökonomie verliehen.
+
+http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2017/ 
+
+Preis der Sveriges Riksbank in Wirtschafts- wissenschaften 2002
+
+[image]
+
+- Daniel Kahneman: ... für die Integration von Erkenntnissen aus der
+  psychologischen Forschung in die Wirtschafts- wissenschaft,
+  insbesondere in Bezug auf menschliches Urteilsvermögen und
+  Entscheidungsfindung unter Unsicherheit.
+
+- Vernon Smith: ... für die Etablierung von Laborexperimenten als
+  Instrument der empirischen Wirtschaftsanalyse, insb. für die
+  Untersuchung alternativer Marktmechanismen.
+
+http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2002/ 
+
+Traditionelle Finanzmarkttheorie
+
+Rationale Entscheidungsfindung
+
+Rationale Entscheidungsfindung
+
+Ökonomen vertreten eine normative Theorie der Entscheidungsfindung, die
+davon ausgeht, dass die Entscheidungsfindung der Menschen rational ist .
+
+- Normativ: Formale Theorie der Entscheidungsfindung in
+  Risikosituationen.
+
+- Die Entscheidungsfindung...
+
+  - ... basiert auf Regeln der Logik und Statistik,
+
+  - ... zielt darauf ab, den Nutzen des Einzelnen zu maximieren,
+
+  - ... setzt voraus, dass das Subjekt alle relevanten Informationen,
+    Konsequenzen und Wahrscheinlichkeiten kennt.
+
+Homo Oeconomicus
+
+[image]
+
+- Die Grundlage für viele von John Stuart Mill (1848) eingeführte
+  ökonomische Theorien.
+
+- Besagt, dass Menschen immer rationale und vollständig
+  eigeninteressierte Akteure sind.
+
+- Individuen sind in der Lage, die schwierigsten Optimierungsprobleme zu
+  lösen und versuchen, ihren Nutzen unter den gegebenen Einschränkungen
+  zu maximieren.
+
+- Mit anderen Worten, der homo oeconomicus
+
+  - hat wohldefinierte Präferenzen ((subjektiver) erwarteter Nutzen),
+    unvoreingenommene überzeugungen und Erwartungen,
+
+  - hat eine perfekte Informationsverarbeitung nach dem Bayes’schen
+    Gesetz,
+
+  - trifft auf der Grundlage dieser überzeugungen und Präferenzen
+    optimale, dynamisch konsistente Entscheidungen (was unendliche
+    kognitive Fähigkeiten und Willenskraft voraussetzt), und
+
+  - ist ausschließlich durch Eigeninteresse motiviert.
+
+Wie sieht es mit dem Schwierigkeitsgrad der Nutzenmaximierung (oder des
+Gewinns) aus?
+
+- Problem:
+
+  - Das Modell geht davon aus, dass die Menschen gleichermaßen gut darin
+    sind, zu entscheiden, wie viele Eier sie zum Frühstück kaufen und
+    wie viel sie für ihren Ruhestand sparen wollen.
+
+- Lösung
+
+  - Die richtige Analogie ist die eines erfahrenen Billardspielers, der
+    die mathematischen Formeln nicht kennt, die bestimmen, wie eine
+    Kugel von einer anderen abprallt, aber seine Stöße so ausführt, als
+    würde er die Formeln kennen. .
+
+  ⇒ Annahme: Auf freien Märkten wird sich rationales Verhalten
+  durchsetzen.
+
+Wiederholung: normative Konzepte
+
+- Satz von Bayes
+
+  - Ein Konzept, das die Informationsverarbeitung erklärt.
+
+  - Wie werden neue Informationen integriert? Wie aktualisieren wir
+    unsere überzeugungen bezüglich der Wahrscheinlichkeiten, wenn neue
+    Informationen eintreffen?
+
+- Erwartungsnutzentheorie
+
+  - Ein Konzept, das die optimale Wahl zwischen Alternativen mit
+    ungewissem Ausgang erklärt.
+
+  - Wie werden Alternativen mit ungewissem Ausgang bewertet?
+
+Finanzielle Bildung
+
+- Um eine optimale Auswahl treffen zu können, müssen die Marktteilnehmer
+  natürlich über finanzielle Kenntnisse verfügen.
+
+- Es gibt eine umfangreiche Literatur zum Thema finanzielle Bildung
+  (financial literacy), die wir in diesem Kurs nicht im Detail
+  besprechen werden.
+
+- Wir werden jedoch kurz einen Blick auf das Thema finanzielle Bildung
+  werfen.
+
+- Werfen wir einen Blick auf die drei wichtigsten Fragen zur Messung der
+  finanziellen Bildung.
+
+1.  Angenommen, Sie haben 100 USD auf einem Sparkonto und der Zinssatz
+    beträgt 2% pro Jahr. Was glauben Sie, wie viel Sie nach 5 Jahren auf
+    dem Konto haben würden, wenn Sie das Geld wachsen lassen würden:
+    mehr als 102 USD, genau 102 USD, weniger als 102 USD?
+
+2.  Stellen Sie sich vor, der Zinssatz für Ihr Sparkonto läge bei 1% pro
+    Jahr und die Inflation bei 2% pro Jahr. Würden Sie nach einem Jahr
+    mit dem Geld auf diesem Konto mehr, genau dasselbe oder weniger
+    kaufen können als heute?
+
+3.  Glauben Sie, dass die folgende Aussage richtig oder falsch ist? Der
+    Kauf von Aktien eines einzelnen Unternehmens bietet in der Regel
+    eine sicherere Rendite als ein Aktienfonds.
+
+[image]
+
+- Lusardi, Annamaria, and Olivia S. Mitchell (2006), “Financial Literacy
+  and Planning: Implications for Retirement Wellbeing”, MRRC Working
+  Paper n. 2006-144.
+
+Sind Sie ein Homo oeconomicus?
+
+Beispiel 1 (Dictator game). Sie erhalten €20. Teilen Sie das Geld mit
+Ihrem Nachbarn.
+Sie behalten:
+Ihr Nachbar erhält:
+
+Beispiel 2 (Dictator game).
+
+Sie erhalten 20€. Sie müssen Ihrem Nachbarn einen Teil des Geldes
+anbieten. Anschließend entscheidet Ihr Nachbar, ob er das Angebot
+annimmt oder ablehnt. Wenn Ihr Nachbar das Angebot annimmt, erhalten Sie
+beide die Beträge, die Sie vorgeschlagen haben. Lehnt Ihr Nachbar das
+Angebot ab, erhalten Sie beide nichts.
+Sie behalten:
+Ihr Nachbar erhält:
+
+Sind Sie ein Homo Oeconomicus?
+
+Beispiel 3 (Fischbacher and Föllmi-Heusi (2013)).
+
+- Lügen bei Würfelspielen.
+
+- Die Augen auf dem Würfel bedeuten einen Gewinn von bis zu 5 CHF; 6 = 0
+  CHF.
+
+- Die Teilnehmer werden angewiesen, den Würfel so oft zu werfen, wie sie
+  wollen, sollten sich aber das Ergebnis des ersten Wurfs merken und es
+  später mitteilen.
+
+- Wichtig: Keine Beobachtbarkeit von Personen!
+
+- Was ist die rationale Wahl?
+
+[image]
+
+Satz von Bayes
+
+Beispiel 4 (Satz von Bayes). Betrachten Sie einen Beutel, der fünf
+schwarze und/oder weiße Pokerchips enthält. Entweder sind 80% der Chips
+weiß und 20% sind schwarz (Tasche A) oder 40% sind weiß und 60% sind
+schwarz (Tasche B). Ihre A-priori-Schätzung der Wahrscheinlichkeit,
+Tasche A zu haben, ist 50%.
+
+Nun wird ein Chip aus der Tüte gezogen. Er ist weiß (schwarz). Wie hoch
+ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit, dass Sie den Beutel A vor sich
+haben?
+
+Bayes’ theorem
+
+Gegeben sind a priori Wahrscheinlichkeiten p(y_(i)) und
+Wahrscheinlichkeiten p(s_(j) ∣ y_(i)). Dann lauten die a
+posteriori-Wahrscheinlichkeiten p(y_(i) ∣ s_(j)) wie folgt
+
+$$p(y_i \mid s_j) = \frac{p(y_i) \cdot p(s_j \mid y_i)}{p(s_j)} = \frac{p(y_i) \cdot p(s_j \mid y_i)}{\sum_k p(y_k) \cdot p(s_j \mid y_k)}$$
+
+Zurück zu unserem Beispiel...
+
+Beispiel 5 (Satz von Bayes). Unsere A-priori-Schätzung der
+Wahrscheinlichkeit, Beutel A zu haben, ist p(y_(i)) = 0, 5 für i = A, B.
+
+Außerdem wissen wir durch unser Wissen über die Beutel, dass
+$p(s_W \mid y_A) = \frac{4}{5}$ und $p(s_W \mid y_B) = \frac{2}{5}$.
+
+Das Bayes-Theorem besagt also
+$$\begin{aligned}
+p(y_A \mid s_W) &=& \frac{p(y_A) \cdot p(s_W \mid y_A)}{\sum_k p(y_k) \cdot p(s_W \mid y_k)} \\
+&=& \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} }{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}}\\
+&=& \frac{2}{3}
+\end{aligned}$$
+
+Erwartungsnutzentheorie
+
+Erwartungsnutzentheorie
+
+- Auf der Grundlage einer Reihe von Axiomen der Nutzentheorie kann eine
+  Nutzenfunktion konstruiert werden.
+
+- Die Annahme ist, dass ein Individuum aus der Menge der möglichen
+  Alternativen a_(i) (i=1, ..., m) diejenige Alternative wählt, die den
+  Erwartungswert seiner Nutzenfunktion maximiert.
+
+- Die Nutzenfunktion u der Person wird über eine Menge von Ergebnissen
+  für das Entscheidungsproblem definiert.
+
+- In der Nutzentheorie wird ein solches Entscheidungsproblem gelöst,
+  indem die Menge der Ergebnisse x_(is) bewertet wird, die sich aus der
+  Wahl einer Alternative a_(i) und dem Eintreten eines bestimmten
+  Zustands s mit der Wahrscheinlichkeit p(s) ergeben.
+
+- Das zentrale Ergebnis ist: Für die Ergebnisse kann eine Nutzenfunktion
+  u definiert werden, so dass eine Alternative mit einem höheren
+  erwarteten Nutzen immer einer Alternative mit einem niedrigeren
+  erwarteten Nutzen vorgezogen wird.
+
+Definition 1 (Nutzenfunktion). Eine Nutzenfunktion wird verwendet, um
+jedem möglichen Ergebnis s (a(s)) jeder Alternative a einen Nutzen
+zuzuordnen. Dann kann der erwartete Nutzen jeder Alternative als
+gewichteter Durchschnitt unter Verwendung subjektiver
+Wahrscheinlichkeiten p(s) berechnet werden:
+$$\mbox{E}[u(a)] = \sum_{i=1}^n p(s_i) \cdot u(a(s_i))$$
+Eine Alternative A mit einem höheren erwarteten Nutzen wird gegenüber
+einer Alternative B mit einem niedrigeren erwarteten Nutzen bevorzugt.
+
+- Das Konzept der Erwartungsnutzentheorie basiert auf den Axiomen der
+  vollständigen Bestellung, Kontinuität, und Unabhängigkeit.
+
+- Im Rahmen des erwarteten Nutzens können wir Anpassungen des Nutzens in
+  Bezug auf das Risiko durch drei Maße ausdrücken:
+
+  - das Sicherheitsäquivalent,
+
+  - die Risikoprämie,
+
+  - die Krümmung der Nutzenfunktion.
+
+- Eine Entscheidungsträgerin ist risikoscheu, wenn sie das erwartete
+  Ergebnis einer beliebigen nicht entarteten Lotterie dieser vorzieht.
+
+- Eine nicht entartete Lotterie ist eine Lotterie, bei der kein einziges
+  Ergebnis die Wahrscheinlichkeit eins hat.
+
+Definition 2 (Sicherheitsäquivalent). Ein Sicherheitsäquivalent der
+Lotterie x̃ ist ein Betrag x̂, bei dem der Entscheidungsträger indifferent
+zwischen x̃ und dem bestimmten Betrag x̂ ist. Somit ist x̂ definiert durch
+u(x̂) = E[u(x̃)] ⇔ x̂ = u⁻¹(E[u(x̃)])
+
+Definition 3 (Risikoprämie). Die Risikoprämie einer Lotterie x̃ ist ihr
+Erwartungswert abzüglich ihres Sicherheitsäquivalents.
+RP(x̃) = x̄ − x̂ = E[x̃] − u⁻¹(E[u(x̃)])
+
+Die folgenden Eigenschaften sind gleichwertig:
+
+- Ein Entscheidungsträger ist risikoscheu.
+
+- Das Sicherheitsäquivalent des Entscheidungsträgers für jede nicht
+  entartete Lotterie ist kleiner als der Erwartungswert dieser Lotterie.
+
+- Die Risikoprämie des Entscheidungsträgers ist für alle nicht
+  entarteten Lotterien positiv.
+
+- Die Nutzenfunktion des Entscheidungsträgers ist streng konkav.
+
+Die folgenden Eigenschaften sind gleichwertig:
+
+- Ein Entscheidungsträger ist risikofreudig.
+
+- Das Sicherheitsäquivalent des Entscheidungsträgers für jede nicht
+  entartete Lotterie ist höher als der Erwartungswert dieser Lotterie.
+
+- Die Risikoprämie des Entscheidungsträgers ist für alle nicht
+  entarteten Lotterien negativ.
+
+- Die Nutzenfunktion des Entscheidungsträgers ist streng konvex.
+
+[image]
+
+Definition 4 (Arrow-Pratt-Maß). Die Risikoneigungsfunktion r ist
+definiert durch:
+$$r(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)}$$
+
+- Mit dem Maß für die Risikobereitschaft können wir vergleichen, ob ein
+  Entscheidungsträger risikoscheuer oder risikofreudiger ist als ein
+  anderer. Für einen solchen Entscheidungsträger ist seine Risikoprämie
+  größer als die des anderen Entscheidungsträgers für eine bestimmte
+  Lotterie.
+
+- Für einen risikofreudigen (risikoscheuen) Entscheidungsträger,
+  r(x) < 0  ∀ x (r(x) > 0  ∀ x).
+
+- Sei r₁(x) > r₂(x) ∀ x Risikoneigungsfunktionen für zwei
+  Entscheidungsträger. Dann gilt RP₁ > RP₂.
+
+- Herausforderung: Ist ein Entscheidungsträger risikofreudig oder
+  risikoscheu?
+
+  - Experimente mit Lotterien durchführen (so wie Holt & Laury).
+
+  - Experimente, bei denen das Sicherheitsäquivalent direkt ermittelt
+    wird.
+
+[image]
+
+- Bei der ersten Entscheidung beträgt die Wahrscheinlichkeit des
+  geringen Gewinns für beide Optionen 1/10, so dass nur eine extrem
+  risikofreudige Person Option B wählen würde.
+
+- Bei der letzten Entscheidung beträgt die Wahrscheinlichkeit des hohen
+  Gewinns für beide Optionen 1/10, so dass nur eine extrem risikoscheue
+  Person Option B wählen würde.
+
+- Jede Person wechselt irgendwann: Wenn die Wahrscheinlichkeit des
+  Ergebnisses mit dem hohen Auszahlungsbetrag genügend ansteigt (und man
+  die Tabelle nach unten wandert), sollte die Person zu Option B
+  übergehen.
+
+- Eine risikoneutrale Person würde zum Beispiel viermal A wählen, bevor
+  sie zu B wechselt; selbst sehr risikoscheue Personen sollte bei der
+  untersten Reihe umsteigen.
+
+[image]
+
+- Man könnte darüber diskutieren, ob die Risikoeinstellung in
+  verschiedenen Situationen bzw. Lebensbereichen konstant ist .
+
+- Es gibt Menschen, die ein großes Bündel von Versicherungspolicen
+  besitzen und gleichzeitig Lotto spielen.
+
+- Nach der normativen Theorie muss die Risikobereitschaft konstant sein,
+  damit ein Individuum sich als völlig rational betrachten kann.
+
+Verstöße gegen die Rationalität und Erwartungsnutzentheorie
+
+- Wie funktioniert der erwartete Nutzen in der Praxis?
+
+- Im Laufe der Zeit haben wir einige auffällige Paradoxien beobachtet:
+
+  - Endowment-Effekt
+
+  - Allais-Paradoxon
+
+  - Ellsberg-Paradoxon
+
+  - Systematische Abweichung von der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+
+Beispiel 6. Ihr anfängliches Vermögen beträgt . Außerdem haben Sie die
+Wahl zwischen
+
+1.  Einem sicheren Gewinn von
+
+2.  Einer 50% Chance auf einen Gewinn von und einer 50% Chance auf einen
+    Gewinn von .
+
+Beispiel 7. Ihr anfängliches Vermögen beträgt nun . Außerdem haben Sie
+die Wahl zwischen
+
+1.  Einem sicheren Verlust von
+
+2.  Einer 50% Chance, zu verlieren und einer 50% Chance, zu verlieren.
+
+- Szenario 1: 72% wählen Option 1, 28% wählen Option 2.
+
+- Szenario 2: 36% wählen Option 1, 64% wählen Option 2.
+
+- Wenn die Entscheidung also als Gewinn ausgelegt wird, sind die
+  Entscheidungsträger im Durchschnitt risikoscheu.
+
+- Wenn die Entscheidung mit einem Verlust verbunden ist, sind die
+  Entscheidungsträger im Durchschnitt risikofreudig.
+
+- Der Endowment-Effekt
+
+  - Ein gewisses Maß an Trägheit wird in den Prozess der Verbraucherwahl
+    eingebracht, da Güter, die in der Ausstattung des Einzelnen
+    enthalten sind, ceteris paribus einen höheren Wert haben als solche,
+    die nicht in der Ausstattung enthalten sind.
+
+  - Die Entnahme eines Gutes aus der Ausstattung führt zu einem Verlust,
+    während die Hinzufügung desselben Gutes (zu einer Ausstattung ohne
+    dieses Gut) zu einem Gewinn führt.
+
+Das Allais-Paradoxon, 1953
+
+Beispiel 8 (Allais-Paradoxon, Fall A). Betrachten Sie eine Wahl zwischen
+
+1.  Mio. mit Sicherheit.
+
+2.  Millionen mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% und Millionen mit
+    einer Wahrscheinlichkeit von 89% und mit einer Wahrscheinlichkeit
+    von 1%.
+
+Beispiel 9 (Allais-Paradoxon, Fall B). Betrachten Sie nun eine Wahl
+zwischen
+
+1.  Millionen mit einer Wahrscheinlichkeit von 11% und mit einer
+    Wahrscheinlichkeit von 89%.
+
+2.  Millionen mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% und mit einer
+    Wahrscheinlichkeit von 90%.
+
+Beispiel 10 (Allais-Paradoxon, Erklärung).
+
+Viele Individuen wählen in dieser Konstellation nicht konsequent.
+Betrachten wir ein Individuum, das im Fall A 1 wählt. Also,
+u(1, 000, 000) > 0.10 ⋅ u(5, 000, 000) + 0.89 ⋅ u(1, 000, 000) + 0.01 ⋅ u(0)
+Jetzt fügen wir 0.89 ⋅ u(0) − 0.89 ⋅ u(1, 000, 000) zu beiden Seiten der
+Gleichung hinzu [eq:allais]:
+0.11 ⋅ u(1, 000, 000) + 0.89 ⋅ u(0) > 0.10 ⋅ u(5, 000, 000) + 0.90 ⋅ u(0)
+Die Wahl von 2 im Fall B verstößt also gegen die Axiome, die dem Rahmen
+des erwarteten Nutzens zugrunde liegen.
+
+Maurice Allais wurde 1988 mit dem Preis der Sveriges Riksbank für
+Wirtschaftswissenschaften in Erinnerung an Alfred Nobel ausgezeichnet.
+
+Das Ellsberg-Paradoxon, 1961
+
+- Es seien zwei Urnen gegeben:
+
+- Urne C: 100 Kugeln, 50 rote, 50 schwarze.
+
+- Urne U: 100 Kugeln, alle entweder rot oder schwarz, mit einer
+  unbekannten Verteilung der Farben.
+
+- Jetzt können die Menschen zwischen den folgenden Wetten wählen:
+
+  1.  Urne C, rot oder schwarz?
+
+  2.  Urne U, rot oder schwarz?
+
+  3.  Urne C rot oder Urne U rot?
+
+  4.  Urne C schwarz oder Urne U schwarz?
+
+- In der Regel wählen die Menschen Folgendes:
+
+  - Wette 1 und 2: indifferent
+
+  - Wette 3 und 4: die Urne C wird der Urne U vorgezogen
+
+Ambiguitätsaversion
+
+- Das beobachtete Verhalten kann mit Ambiguitätsaversion erklärt werden.
+
+- Menschen mögen keine Situationen, in denen sie sich unsicher über die
+  Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnisse fühlen, d. h. Situationen
+  der Ambiguität (UnSicherheit über das spezifische Risiko).
+
+- Daher ziehen die Menschen Bekanntes dem Unbekannten vor, was zu einer
+  Verzerrung der objektiven Wahrscheinlichkeiten führen kann:
+
+- Das Risiko wird überbewertet, die Gewinne werden unterbewertet.
+
+- Ambiguitätsaversion kann empirische Beobachtungen, wie zum Beispiel
+  die
+
+  - Nichtbeteiligung am Aktienmarkt
+
+  erklären.
+
+- Allerdings scheinen unsicherere Aktien keine höheren
+  durchschnittlichen Renditen zu haben .
+
+Verhaltensbasierte Entscheidungsfindung
+
+Der Beginn der Behavioral Finance
+
+- 1969 begannen Daniel Kahneman und Amos Tversky mit der Arbeit an
+  Experimenten, die zeigten, dass Menschen Wahrscheinlichkeiten
+  einschätzen und Entscheidungen auf eine Art und Weise treffen, die
+  sich systematisch von dem unterscheidet, was die
+  Entscheidungsanalysten raten. Behavioral Finance stellt eine
+  deskriptive Analyse der Entscheidungsfindung vor und argumentiert,
+  dass die Entscheidungsfindung der Menschen auf mentalen Abkürzungen
+  beruht .
+
+- : Menschen verlassen sich auf eine Reihe von Heuristiken, die manchmal
+  zu vernünftigen Urteilen führen, aber auch zu schweren und
+  systematischen Fehlern führen können.
+
+- Hirshleifer, 2001: Da Zeit und kognitive Ressourcen begrenzt sind,
+  können wir die Daten, die uns die Umwelt zur Verfügung stellt, nicht
+  optimal auswerten. Stattdessen hat die natürliche Selektion einen
+  Verstand geschaffen, der Daumenregeln (Algorithmen, Heuristiken, oder
+  mentale Module) selektiv auf eine Teilmenge von Informationen anwendet
+  (Simon, 1956).
+
+- Die Entscheidungsfindung ...
+
+  - ... basiert auf mentalen Abkürzungen namens Heuristiken (z.B.
+    Repräsentativität, Verfügbarkeit, ...; siehe oben).
+
+  - ... ist schnell, ohne alle relevanten Informationen zu analysieren.
+
+  - ... ist nicht immer auf die Maximierung wirtschaftlicher Ziele
+    ausgerichtet.
+
+- Wir beobachten also ein weniger rationales Verhalten der Akteure.
+
+- Wir beobachten vorhersehbare Abweichungen von der Rationalität.
+
+Verhaltensbasierte Entscheidungsfindung
+
+- Behavioral Finance zielt auf eine realistischere Darstellung der
+  finanziellen Entscheidungsfindung in mehreren Dimensionen ab:
+
+  - Behavioral Finance ermöglicht realistischere Annahmen.
+
+  - Behavioral Finance lässt nicht vollkommen rationale Präferenzen zu.
+
+  - Behavioral Finance lässt kognitive Grenzen zu.
+
+- Daher berücksichtigt die Behavioral Finance auch die Auswirkungen von
+  vermeintlich irrelevanten Faktoren auf die finanzielle
+  Entscheidungsfindung.
+
+- Vermeintlich irrelevante Faktoren: eine Reihe von Faktoren, die keinen
+  Einfluss auf das wirtschaftliche Verhalten haben .
+  Beispiel: Standardoption in Rentenplänen.
+
+Heuristiken und Verzerrungen
+
+Heuristiken und Verzerrungen
+
+- Eine Heuristik ist ein Ansatz, um Aussagen mit begrenzter Information
+  und Zeit zu treffen.
+
+- Heuristiken werden verwendet, weil möglicherweise nicht alle
+  Informationen verfügbar sind oder eine gründliche Analyse zu viel Zeit
+  in Anspruch nimmt.
+
+- Extreme Vereinfachungen können zu (systematischen) Verzerrungen
+  führen.
+
+Was ist eine Verzerrung? Rauschen vs. Verzerrung
+
+[image]
+
+.
+
+[image]
+
+.
+
+[image]
+
+.
+
+[image]
+
+.
+
+Die Affektheuristik
+
+Die Affektheuristik
+
+Affekt
+
+Definition 5 (Affekt). Die spezifische Qualität von ’Gutheit’ oder
+’Schlechtheit’
+(1) als Gefühlszustand (mit oder ohne Bewusstsein) erlebt und
+(2) die Abgrenzung einer positiven oder negativen Eigenschaft eines
+Reizes. [...] “[a]ffektive Reaktionen erfolgen schnell und automatisch”
+.
+
+- : Positiver Affekt führt dazu, dass die Probanden positive
+  Wahrscheinlichkeiten überschätzen.
+
+[image]
+
+-  argumentieren, dass ein höherer Affekt zu einem geringeren
+  wahrgenommenen Risiko führen würde.
+
+- Das wahrgenommene Risiko einer Investitionsmöglichkeit wird durch den
+  Einfluss auf diese Investitionsentscheidung beeinflusst .
+
+- Investitionsmöglichkeiten mit geringem Affekt werden als risikoreicher
+  wahrgenommen, während Investitionsmöglichkeiten mit hohem Affekt als
+  weniger risikoreich wahrgenommen werden.
+
+Eng damit verbunden: Stimmung
+
+- Die Anlegerstimmung hat Auswirkungen auf den Querschnitt der
+  Aktienrenditen (Baker and Wurgler, 2006, 2007).
+
+- Menschen mit hoher Stimmung neigen dazu, übermäßig optimistische
+  Entscheidungen zu treffen.
+
+- : Eine Verbesserung der Stimmung durch einen exogenen Stimulus führt
+  zu positiveren Urteilen über nicht damit zusammenhängende Ereignisse.
+
+- : der Aktienmarkt hat höhere Renditen an sonnigeren Tagen.
+
+- : Wenn die Fußballnationalmannschaft ein Weltmeisterschaftsspiel
+  verliert, fällt der nationale Aktienmarkt am nächsten Tag.
+
+Die Repräsentativitätsheuristik
+
+Repräsentativitätsheuristik
+
+Repräsentativität
+
+- Repräsentativität bedeutet, ein Ereignis zu betrachten und zu
+  beurteilen, inwieweit es mit anderen Ereignissen in der
+  Allgemeinbevölkerung übereinstimmt .
+
+- Diese Verzerrung tritt auf, wenn eine Person eine
+  Situation/Wahrscheinlichkeit auf der Grundlage eines Musters früherer
+  Erfahrungen oder überzeugungen über das Szenario kategorisiert.
+
+- Es wird davon ausgegangen, dass eine einzelne Information für die
+  gesamte Population repräsentativ ist.
+
+  - Wörter wie net oder Internet, die Teil eines Firmennamens sind,
+    deuteten während der Dot-Com-Blase von 2001 auf erhebliche
+    Wertsteigerungen hin.
+
+- Dies kann zu einer Verzerrung führen
+
+  - wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aufgrund der
+    Repräsentativität überschätzt wird, oder
+
+  - wenn der Entscheidungsträger Aspekte vernachlässigt, die nicht
+    repräsentativ erscheinen.
+
+Beispiel 11. Linda ist 31 Jahre alt, ledig, aufgeschlossen und sehr
+intelligent. Sie hat Umweltstudien studiert. Sie ist eine begeisterte
+Wanderin und hat auch an Anti-Atomkraft-Kundgebungen teilgenommen.
+
+Was ist wahrscheinlicher?
+
+1.  Linda ist eine Bankangestellte. (32%)
+
+2.  Linda ist Bankangestellte und Mitglied von Green Peace. (68%)
+
+Beispiel 12. Welche der beiden Sequenzen tritt bei einem fairen
+Münzwurfexperiment mit größerer Wahrscheinlichkeit auf?
+
+KKKKKKZZZZZZKKKKKK
+
+KKZKZKKZKZZKZKKZZK
+
+- Aus der Repräsentativitätsheuristik ergeben sich eine Reihe verwandter
+  Phänomene.
+
+- Gesetz der kleinen Zahlen: Menschen überschätzen den
+  Informationsgehalt von kleinen Stichproben. Anleger können das Gesetz
+  der großen Zahlen auf kleine Sequenzen anwenden.
+
+- Infolgedessen können Entscheidungen auf der Grundlage kurzer
+  Datensätze getroffen werden.
+
+  - Hot hands beim Sport / im Kasino
+
+  - Offene Investmentfonds
+
+- Autokorrelation: Systematische Muster, die in kurzen Datensätzen zu
+  sehen sind und in Wirklichkeit einem Random Walk folgen.
+
+- Gambler’s Fallacy
+
+Beispiel 13 (Gambler’s Fallacy). Stellen Sie sich vor, Sie werfen eine
+faire Münze mehrmals und beobachten das folgende Ergebnis:
+
+ZKZKZKKKKKK
+
+Wie hoch ist Ihrer Meinung nach die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste
+Wurf Kopf (Zahl) ergibt?
+
+Heterogene Erwartungen
+
+Heterogene Erwartungen
+
+Heterogene Erwartungen
+
+- Jetzt wollen wir einen Blick auf die Annahme werfen, dass die Anleger
+  homogene überzeugungen haben.
+
+- Insbesondere werden wir einen Blick auf die Ergebnisse einer aktuellen
+  Arbeit von werfen, die untersucht, wie Haushalte ihre überzeugungen
+  als Reaktion auf die US-Präsidentschaftswahlen 2016 aktualisieren.
+
+- Die Haushalte erhalten ein öffentliches Signal, das unerwartete
+  Ergebnis der US-Wahl vom November 2016.
+
+  - Unerwartet bedeutet, dass die Menschen (Anleger) keine Gelegenheit
+    hatten, ihre Erwartungen und Portfolios vor der Wahl anzupassen.
+
+- Wie können die Anleger dieses Signal verarbeiten und ihre Portfolios
+  aktualisieren?
+
+- Welche Bedeutung hat das für unsere Wirtschaftsmodelle?
+
+  - Standardmodelle gehen davon aus, dass Individuen ihre Überzeugungen
+    als Reaktion auf öffentliche Signale in gleicher Weise
+    aktualisieren.
+
+  - Dieses Papier: Agenten haben unterschiedliche Modelle der Welt und
+    aktualisieren ihre überzeugungen auf heterogene Weise.
+
+Umfrage-Evidenz
+
+- Betrachten wir zunächst die Erwartungen der Anleger im Vorfeld der
+  Wahl, die durch Umfragen ermittelt wurden.
+
+  [image]
+
+- Da Republikaner und Demokraten an unterschiedliche Wirtschaftsmodelle
+  glauben, geben Republikaner an, die Zukunft der US-Wirtschaft zum
+  Zeitpunkt der Wahl viel optimistischer zu sehen, während Demokraten
+  angeben, pessimistischer zu werden.
+
+Portfolio-Evidenz
+
+- Werfen wir nun einen Blick auf die Folgen für die
+  Portfolioentscheidungen der Anleger.
+
+- Mit anderen Worten: Lässt der Einzelne seinen Worten (seinen
+  Erwartungen) Taten folgen?
+
+- Werfen wir einen Blick auf die Portfolioentscheidungen der Anleger
+  rund um die Wahl.
+
+  [image]
+
+  [image]
+
+  [image]
+
+- Im Vergleich zu den Demokraten erhöhen republikanische Anleger nach
+  der Wahl aktiv den Aktienanteil und das Markt-Beta in ihren
+  Portfolios.
+
+- In übereinstimmung mit dem öffentlichen Signal der Wahl, das die
+  Republikaner dazu veranlasst hat, die künftige Entwicklung der
+  US-Wirtschaft relativ optimistischer einzuschätzen und von den
+  Demokraten Vermögenswerte zu kaufen, die stärker auf das
+  US-Wirtschaftswachstum ausgerichtet sind, stellen die Autoren in ihrem
+  Datensatz einen signifikanten Anstieg des Handelsvolumens nach der
+  Wahl fest, unabhängig von der politischen Zugehörigkeit.
+
+- Mainstream-Amerikaner, die dasselbe öffentliche Signal über die
+  künftige US-Wirtschaftspolitik wahrnehmen, interpretieren dieses
+  Signal so, dass es je nach dem Weltmodell, an das sie glauben,
+  unterschiedliche Auswirkungen auf die Wirtschaft hat.
+
+- Die Heterogenität der überzeugungen ist auf unterschiedliche Modelle
+  der Welt zurückzuführen.
+  ⇒ es gibt eine Heterogenität der Anlegerüberzeugungen und
+  -aktualisierungen, die durch (dogmatisch) unterschiedliche Modelle
+  bedingt sind.
+
+Begrenzte Rationalität
+
+Begrenzte Rationalität
+
+Begrenzte Rationalität, begrenzte Aufmerksamkeit
+
+- Investoren haben eine begrenzte Fähigkeit, Informationen zu sammeln
+  und zu verarbeiten.
+
+- Dies kann dazu führen, dass die Anleger nicht ausreichend auf
+  Nachrichten reagieren — vor allem, wenn viele Nachrichten zur gleichen
+  Zeit verfügbar sind.
+
+- So kann zum Beispiel eine eingeschränkte Aufmerksamkeit den
+  Post-Earnings-Announcement-Drift (PEAD) erklären, den wir im Anschluss
+  an Gewinnbekanntgaben beobachten.
+
+- PEAD ist stärker bei Unternehmen, die ihre Gewinne zur gleichen Zeit
+  wie viele andere Unternehmen bekannt geben .
+
+- PEAD ist stärker für Unternehmen, die am Freitag Gewinne bekannt geben
+  .
+
+Aufsehenerregende Aktien
+
+- Interessanterweise kann die begrenzte Kapazität zur Aufnahme und
+  Verarbeitung von Informationen auch dazu führen, dass bestimmten
+  Merkmalen, z. B. von Aktien, zusätzliche Aufmerksamkeit geschenkt
+  wird.
+
+- Diese besonderen Merkmale ermöglichen es den Aktien, die
+  Aufmerksamkeit der Anleger zu gewinnen.
+
+- Natürlich können Anleger nicht das gesamte Universum der
+  Anlagemöglichkeiten oder Aktien analysieren.
+
+- Stattdessen müssen sie das Universum auf einen überschaubaren
+  Datensatz eingrenzen.
+
+- Da dies in erster Linie für den Kauf von Aktien und nicht für den
+  Verkauf gilt, scheint die Aufmerksamkeit für Kaufentscheidungen
+  wichtiger zu sein als für Verkaufsentscheidungen von Einzelanlegern.
+
+- So zeigen beispielsweise , dass das Kaufinteresse für
+  aufmerksamkeitsstarke Aktien bei Privatanlegern größer ist als das
+  Verkaufsinteresse.
+
+- Aufsehenerregende Aktien sind in diesem Zusammenhang vor allem Aktien
+  mit extremen Renditen, hohem Volumen oder Nachrichtenmeldungen.
+
+  - Kaufdruck.
+
+[image]
+
+- Wichtig: Dies gilt nicht (in gleichem Maße) für professionelle
+  Fondsmanager.
+
+- Professionelle Fondsmanager nutzen mehr und bessere Informationen.
+
+- Ihre Kaufentscheidung basiert auf einem größeren Universum an in Frage
+  kommenden Aktien.
+
+- Außerdem erwerben sie größere Portfolios: Aktien von viel mehr
+  Unternehmen (insbesondere im Vergleich zu Einzelanlegern).
+
+Medienberichterstattung und der Aktienmarkt
+
+Medienberichterstattung und der Aktienmarkt
+
+[image] [image]
+
+[image]
+
+Medienberichterstattung und der Aktienmarkt
+
+- Natürlich kann die Aufmerksamkeit für eine bestimmte Aktie auch durch
+  die Medien ausgelöst werden.
+
+- Aktien mit geringerer Medienberichterstattung haben höhere Renditen .
+
+  - Was ist der Grund dafür?
+
+- Die Intuition dahinter ist, dass Aktien mit einer höheren
+  Medienberichterstattung höhere Aktienkurse und somit niedrigere
+  Folgerenditen aufweisen.
+
+- Auf die Medienberichterstattung folgen Aktienrenditen in der Richtung,
+  die der Tenor des Artikels nahelegt (d. h. negative Nachrichten werden
+  mit negativen Renditen in Verbindung gebracht).
+
+- Eine höhere Medienberichterstattung geht mit mehr Handel und größeren
+  absoluten Renditen (größere Volatilität) einher.
+
+- Vorsichtig: Dies bedeutet nicht unbedingt, dass die
+  Medienberichterstattung den Markt bewegt; einige Nachrichten könnten
+  die Medienberichterstattung auslösen und den Markt ebenfalls bewegen
+  (Endogenität).
+
+- Im Gegensatz dazu zeigt der Artikel von , dass die
+  Medienberichterstattung in diesem speziellen Fall tatsächlich den
+  Markt bewegt.
+
+- Nach der Berichterstattung kehrt der Aktienkurs langsam zu seinem
+  vorherigen Wert zurück.
+
+- Die neueste Forschung nutzt randomisierte Feldexperimente, um die
+  Auswirkungen der Medienberichterstattung auf Aktienrenditen zu
+  untersuchen.
+
+-  präsentieren ein Feldexperiment, bei dem Medienartikel für eine
+  zufällige Stichprobe von Unternehmen mit Gewinnankündigungen einem
+  Prozent der Nutzer von Yahoo Finance vorgestellt werden.
+
+- Die Studie zeigt, dass geförderte Unternehmen am Tag der
+  Gewinnbekanntgabe höhere abnormale Renditen und einige Hinweise auf
+  geringere Bid-Ask-Spreads aufweisen.
+
+-  wirft einen Blick auf Bloomberg und schätzt den Effekt der
+  Präsentation von Informationen auf den Finanzmärkten. Sie nutzt ein
+  natürliches Experiment zur prominenten Positionierung von Nachrichten
+  auf der "ersten Seite" des Bloomberg-Terminals.
+
+- Die Positionierung auf der Titelseite führt innerhalb der ersten zehn
+  Minuten nach Veröffentlichung der Nachricht zu 280% höheren
+  Handelsvolumina und 180% größeren Kursveränderungen, gefolgt von einem
+  starken Drift für 30-45 Minuten.
+
+- Später beginnen die nicht auf der ersten Seite stehenden Nachrichten
+  aufzuholen, aber die Aufnahme dieser Informationen erfolgt wesentlich
+  langsamer, und die ersten Auswirkungen der Positionierung halten noch
+  Tage nach der Veröffentlichung an.
+
+- Wichtig ist, dass die Artikel auf der ersten Seite und die Artikel,
+  die nicht auf der ersten Seite erscheinen, weder durch eine
+  algorithmische Analyse noch durch die Zielgruppe der aktiven
+  Finanzfachleute unterschieden werden können.
+
+- Insgesamt liefert dieser Teil der Literatur starke Belege dafür, dass
+  Medienberichterstattung, nicht das zugrunde liegende
+  Nachrichtenereignis (d.h. Gewinnankündigungen usw.), die Aktienkurse
+  beeinflusst.
+
+- Dies zeigt, dass die Anleger tatsächlich nicht genügend auf relevante
+  Nachrichtenereignisse achten, sondern dass ihre Aufmerksamkeit z. B.
+  durch die Medien ausgelöst werden muss.
+
+Die Wahrnehmung von Risiko
+
+Wahrnehmung von Risiko
+
+Risiko in der traditionellen Wirtschaftstheorie
+
+- Normativ: Wie definieren wir Risiko aus einer normativ-theoretischen
+  Perspektive?
+
+  - In der Finanzwelt wird das Risiko spätestens seit der
+    einflussreichen Arbeit des Nobelpreisträgers Harry Markowitz
+    (Markowitz 1952) weitgehend als die Varianz oder Standardabweichung
+    der Renditen definiert und operationalisiert (gemeinhin auch als
+    Renditevolatilität bezeichnet).
+
+  - Führende Lehrbücher verwenden Volatilität (Brealey et al. 2017).
+
+  - Weit verbreitete Modelle zur Bewertung von Vermögenswerten (Sharpe
+    1964, Lintner 1965, Mossin 1966) beruhen auf der Volatilität.
+
+  - In ähnlicher Weise wird in einem Großteil der heutigen
+    Finanzregulierung und -praxis die Volatilität oder Varianz
+    verwendet. So verwenden z. B. die Eckpfeiler der
+    Finanzmarktregulierung (z. B. die Richtlinie über Märkte für
+    Finanzinstrumente (MiFID) sowie Solvabilität II in der Europäischen
+    Union) die Renditevolatilität (Varianz) als Risikomaß für Aktien,
+    Währungen, Zinssätze und Immobilienpreise.
+
+  - Wichtig ist, dass Investmentfonds ein standardisiertes Dokument mit
+    wesentlichen Informationen für den Anleger (Key Investor Information
+    Document - KIID) vorlegen müssen, in dem die historische Volatilität
+    eines Fonds als Berechnungsgrundlage dient, um den Anlegern die
+    Risiken zu vermitteln.
+
+Risiko in der traditionellen Wirtschaftstheorie
+
+- The equity premium puzzle: Das Puzzle bezieht sich auf die Tatsache,
+  dass das Verhältnis zwischen Risiko und Rendite im letzten Jahrhundert
+  für Aktien so viel günstiger war als für Anleihen, dass ein
+  unangemessen hohes Maß an Risikoaver- sion erforderlich wäre, um zu
+  erklären, warum Anleger überhaupt bereit sind, Anleihen zu halten .
+
+- Betrachtet man die durchschnittlichen Aktienrenditen und
+  Standardabweichungen der letzten Jahre sowie die durchschnittlichen
+  risikofreien Anlagerenditen (und Standardabweichungen), so würde die
+  Risikoaversion der Anleger dazu führen, dass sie eine bestimmte
+  Auszahlung von $51.300 einer 50/50-Wette vorziehen würden, bei der
+  entweder $50.000 oder $100.000 ausgezahlt werden.
+
+  - Vielleicht ist ein anderes Maß für das Risiko relevant?
+
+Die Wahrnehmung von Risiko
+
+- Risikowahrnehmung? Dies ist letztlich eine empirische Frage .
+
+- Wie nehmen die Menschen das Risiko wahr?
+
+- Eine Diskrepanz zwischen der gängigen Definition des Risikos im
+  Finanzbereich und der tatsächlichen Risikowahrnehmung kann potenziell
+  schädlich sein.
+
+[image]
+
+- Angenommen, ein Entscheidungsträger muss sich für eine der beiden
+  Finanzanlagen entscheiden, die durch die Renditeverteilungen in der
+  vorherigen Abbildung gekennzeichnet sind.
+
+- Beide Verteilungen haben den gleichen Mittelwert (erstes Moment), die
+  gleiche Varianz (zweites Moment; m2) und die gleiche Kurtosis (viertes
+  Moment; m4), unterscheiden sich aber in der Schiefe (drittes Moment;
+  m3).
+
+- Die Renditen in (a) sind negativ schief mit m3 = −1, 0, während die
+  Verteilung in (b) positiv schief ist mit m3 = +1, 0.
+
+- Wenn das Risiko als die Varianz der Renditen definiert ist, sollte ein
+  Entscheidungsträger zwischen den beiden Alternativen indifferent sein.
+
+- Intuitiv werden jedoch viele Menschen einen der Vermögenswerte als
+  risikoreicher empfinden.
+
+- Insbesondere scheinen Abwärtsrisiko-Maße und Schiefe der Vorstellung,
+  die die Menschen bei der Bewertung von Risiko im Kopf haben, näher zu
+  kommen als Maße der symmetrischen Variation um den Mittelwert.
+
+  - Beeinflussung der Preisbildung auf den Märkten für reale
+    Vermögenswerte.
+
+  - Beeinflussung der Preisbildung auf experimentellen Vermögensmärkten.
+
+- Die Risikowahrnehmung des Einzelnen kann von den
+  Mittelwert-Varianz-Modellen im Finanzwesen abweichen, die Risiko mit
+  Renditevolatilität gleichsetzen.
+
+  - Laien
+
+  - Fachleute
+
+    - Sie sollten das Risiko eher analytisch im Sinne der normativen
+      Definitionen betrachten, die in den Wirtschafts- und
+      Finanzmodellen üblich sind.
+
+- Experimentelles Design:
+
+  - Befragen Sie nacheinander Individuen zu ihrer Risikowahrnehmung und
+    Investitionsneigung für verschiedene Verteilungen jährlicher
+    Vermögensrenditen, die so kalibriert sind, dass sie sich
+    systematisch in ihren höheren Momenten unterscheiden.
+
+    - Die Erfassung der Investitionsbereitschaft der Teilnehmer
+      ermöglicht ein umfassenderes Bild darüber, wie die
+      Risikowahrnehmung Investitionsentscheidungen beeinflusst.
+
+- Sample:
+
+  - 2,213 Finanzfachleute
+
+  - 4,559 Laien
+
+  - aus neun Ländern, die  50% der Weltbevölkerung und mehr als 60% des
+    weltweiten Bruttoinlandsprodukts repräsentieren.
+
+[image]
+
+- 200 Beobachtungen pro Verteilung.
+
+- Erwartete Rendite: 6%.
+
+[image]
+
+[image]
+
+- Die Ausschüttungen haben die gleiche erwartete Rendite (m1) von 6,0%,
+  unterscheiden sich aber — in festen Größen — in ihren höheren
+  Momenten.
+
+- Systematische Variation der Standardabweichung (m2 = 16% oder m2 =
+  32%), der Schiefe (m3 = -1, m3 = 0 oder m3 = +1) und der Kurtosis (m4
+  = 3,0 (Normalverteilung) oder m4 = 10,8 (fat tails)) der Verteilungen
+  bei Konstanthaltung aller anderen Momente.
+
+- Zufällige Reihenfolge.
+
+- Die Autoren verwenden einen Standardschwellenwert für die statistische
+  Signifikanz auf dem 0,5 %-Niveau. .
+
+- Alle Analysen basieren auf Subjekt-Level angepassten Daten (d.h.
+  Kontroll für Subjekt-Level fixe Effekte).
+
+[image]
+
+- (a) Risikowahrnehmung und (b) Investitionsneigung.
+
+- Variationen in der Standardabweichung lösen nicht systematische
+  Unterschiede in der Risikowahrnehmung aus.
+
+- Unterschiede in der Standardabweichung der Verteilungen führen zu
+  signifikanten Unterschieden in der Investitionsbereitschaft der
+  Teilnehmer, wobei eine höhere Standardabweichung zu einer geringeren
+  Investitionsbereitschaft führt.
+
+- Ausgehend von der Prämisse, dass die Investitionsbereitschaft eine
+  Funktion sowohl der Risikowahrnehmung als auch der Risikopräferenzen
+  ist, könnte die Diskrepanz bei den Volatilitätseffekten darauf
+  hindeuten, dass die Risikoeinstellung der Menschen - nicht aber die
+  Risikowahrnehmung - auf Volatilitätsmaße reagiert.
+
+- Die Schiefe der Renditen von Vermögenswerten führt zu ausgeprägten
+  Unterschieden in der Wahrnehmung von Finanzrisiken: Positiv schiefe
+  Renditen werden als deutlich riskanter angesehen als symmetrische
+  Verteilungen und negativ schiefe Renditen.
+
+  - Dies kann durch die hohe Wahrscheinlichkeit einer Niederlage und die
+    Abneigung dagegen erklärt werden.
+
+[image]
+
+- (a) und (c) Finanzfachleute und (b) und (d) Laien.
+
+- Die Verlustwahrscheinlichkeit ist der Haupttreiber sowohl für die
+  Wahrnehmung des finanziellen Risikos als auch für die
+  Investitionsneigung bei Finanzfachleuten und Laien.
+
+- Die Investitionsneigung steht in umgekehrtem Verhältnis zur
+  Risikowahrnehmung.
+
+- Auf aggregierter Ebene erklärt die Verlustwahrscheinlichkeit ca. 80%
+  der Variation in der durchschnittlichen Risikowahrnehmung und mehr als
+  96% der Variation in der durchschnittlichen Investitionsneigung.
+
+- Verlustaversion ist die wichtigste Komponente der Entscheidungsfindung
+  unter Risiko (siehe auch Prospect Theory).
+
+- Es kann sein, dass es keine über die Verlustaversion hinausgehende
+  Risikoaversion gibt.
+
+Prospect Theory
+
+Prospect Theory
+
+Referenzpunktabhängige Bewertung
+
+- Erinnern Sie sich an unser Beispiel, in dem es um Verletzungen des
+  erwarteten Nutzens ging.
+
+Beispiel 14. Ihr anfängliches Vermögen beträgt . Außerdem haben Sie die
+Wahl zwischen
+
+1.  Einem sicheren Gewinn von
+
+2.  Einer 50% Chance auf einen Gewinn von und einer 50% Chance auf einen
+    Gewinn von .
+
+Beispiel 15. Ihr anfängliches Vermögen beträgt nun . Außerdem haben Sie
+die Wahl zwischen
+
+1.  Einem sicheren Verlust von
+
+2.  Einer 50% Chance auf einen Verlust von und einer 50% Chance auf
+    einen Verlust von .
+
+- Szenario 1: 72% wählen Option 1, 28% wählen Option 2.
+
+- Szenario 2: 36% wählen Option 1, 64% wählen Option 2.
+
+- Wenn die Entscheidung also als Gewinn ausgelegt wird, sind die
+  Entscheidungsträger im Durchschnitt risikoscheu.
+
+- Wenn die Entscheidung mit einem Verlust verbunden ist, sind die
+  Entscheidungsträger im Durchschnitt risikofreudig.
+
+- Einzelne Entscheidungen beruhen also nicht auf der Gesamtheit der
+  Vermögenspositionen, sondern auf Veränderungen im Vergleich zu einem
+  Referenzpunkt (in der Regel dem Status quo).
+
+Verlustaversion
+
+- Verlustaversion: Im Allgemeinen gewichten Anleger Verluste stärker
+  (sind keine Mean-Variance-Optimierer)
+
+Samuelson’s Kollege beim Mittagessen
+
+- Paul Samuelson bot seinem Kollegen eine Zwei-zu-Eins-Wette an: Bei
+  Kopf gewinnt er $200, bei Zahl verliert er $100. Der Kollege lehnte
+  die Wette ab.
+
+- Samuelson fragte ihn, ob er 100 solcher Wetten annehmen würde. Der
+  Kollege sagte ja.
+
+- Samuelson bewies mathematisch (basierend auf den Axiomen der
+  Rationalität), dass sein Kollege nicht rational war (aus der
+  Erwartungsnutzentheorie) (Samuelson, 1963).
+
+Prospect Theory
+
+- Die Prospect Theory (PT)—auch neue Erwartungsnutzentheorie—beschreibt,
+  wie Individuen ihre Verlust- und Gewinnaussichten bewerten .
+
+- Eine wesentliche Annahme/Aussage der PT ist, dass Anleger
+  verlustaversiv sind und die Vermeidung von Verlusten besonders
+  relevant ist.
+
+- Die PT wurde 1979 von Daniel Kahneman und Amos Tversky als eine
+  beschreibende Alternative zur Erwartungsnutzentheorie eingeführt.
+
+  - Anhand der Theorie lassen sich viele Verhaltensweisen erklären, die
+    nicht mit dem herkömmlichen Modell vereinbar sind.
+
+Zentrale Unterschiede der Prospect Theory gegenüber der
+Erwartungsnutzentheorie sind:
+
+- In der Prospect Theory wird nicht der absolute (meist monetäre) Nutzen
+  betrachtet, sondern die Veränderungen, die sich aus den
+  Entscheidungsalternativen relativ zu einem vorher definierten
+  Referenzpunkt ergeben.
+
+- Verluste werden aufgrund der Verlustaversion stärker gewichtet als
+  Gewinne.
+
+- Investoren sind risikoscheu bei der Bewertung von Gewinnen und
+  risikofreudig bei der Bewertung von Verlusten.
+
+- Zur Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeiten wird eine
+  Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion verwendet. Diese neigt dazu,
+  extrem unwahrscheinliche Ereignisse zu hoch und fast sichere
+  Ereignisse zu niedrig zu gewichten.
+
+- Die Theorie hat zwei Hauptelemente, Wertefunktion und
+  Gewichtungsfunktion.
+
+- Elemente ersetzen Nutzenfunktion und Wahrscheinlichkeiten in der
+  Erwartungsnutzentheorie.
+
+- Ziehen Sie ein Glücksspiel (x, p; y, q) in Betracht.
+
+- Dann wird ihm unter dem erwarteten Nutzen folgender Wert zugewiesen
+  pU(W + x) + qU(W + y).
+
+- Nach der Prospect Theory wird ihm folgender Wert zugewiesen
+  π(p)v(x) + π(q)v(y).
+
+[image]
+
+- Die Wertefunktion ist für die Veränderungen des Vermögens definiert,
+  und die Funktion ist bei Verlusten steiler als bei Gewinnen. Manchmal
+  verwenden wir die Begriffe Verlustfunktion und Gewinnfunktion.
+
+- Die Wertefunktion ist im positiven Bereich konkav (Risikoaversion und
+  abnehmende Wertempfindlichkeit) und im negativen Bereich konvex
+  (Risikofreude und abnehmende Wertempfindlichkeit).
+
+- Abnehmende marginale Sensibilität: Die Auswirkung eines Verlusts oder
+  eines Gewinns auf die subjektive Bewertung nimmt mit zunehmender Höhe
+  des Verlusts oder Gewinns ab.
+  ⇒ bedeutet, dass es weniger schmerzhaft ist, Verluste gleichzeitig und
+  nicht als einzelne Episoden zu realisieren.
+
+- Die Wertefunktion ist auch unter Sicherheit gültig.
+
+[image]
+
+Die Gewichtungsfunktion:
+
+- Zahlreiche Experimente zeigen, dass die Entscheidungsträger die
+  Aussichten nicht nach ihren objektiven Wahrscheinlichkeiten bewerten.
+
+- Besonders:
+
+  - Sehr kleine Wahrscheinlichkeiten erhalten zu viel Gewicht.
+
+  - Mittlere und große Wahrscheinlichkeiten erhalten zu wenig Gewicht.
+
+- Dieser Zusammenhang kann mit der Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion
+  dargestellt werden.
+
+[image]
+
+- Die Form der Gewichtungsfunktion zeigt, dass kleine
+  Zielwahrscheinlichkeiten überschätzt und große
+  Zielwahrscheinlichkeiten unterschätzt werden.
+
+- Wichtige Merkmale der Gewichtungsfunktion:
+
+  - (Monoton) steigende Funktion von p
+
+  - Unstetigkeiten an den Endpunkten 0 und 1, wobei π(1) = 1 und
+    π(0) = 0.
+
+  - π(p) > p, für kleine p; π(p) < p, für große p.
+
+  - Subadditiv für kleine p: π(r ⋅ p) > r ⋅ π(p), 0 ≤ r ≤ 1.
+
+  - Sub-certain: π(p) + π(1 − p) < 1.
+
+  - Unterproportional: π(p ⋅ q)/π(p) < π(r ⋅ p ⋅ q)/π(r ⋅ p);
+    0 ≤ r, q ≤ 1.
+
+- Wir können die Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion wie folgt
+  beschreiben (Lattimore, Baker und Witte, 1992):
+
+$$\begin{aligned}
+\Delta x > 0&:& \pi^+_{\delta, \gamma} (p) := \frac{\delta^+ \cdot p^{\gamma^+}}{\delta^+ \cdot p^{\gamma^+} + (1-p)^{\gamma^+}} \\
+\Delta x < 0&:& \pi^-_{\delta, \gamma} (p) := \frac{\delta^- \cdot p^{\gamma^-}}{\delta^- \cdot p^{\gamma^-} + (1-p)^{\gamma^-}} 
+\end{aligned}$$
+
+- Dabei bezeichnet π(p) die Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion,
+
+- δ bezeichnet den Parameter attractivity,
+
+- γ bezeichnet den Parameter Differenzierbarkeit, und
+
+- p bezeichnet die objektiven Wahrscheinlichkeiten.
+
+- Welche Auswirkungen hat die Wahrscheinlichkeitsgewichtung auf die
+  Bewertung mit der Wertefunktion?
+
+  - Wenn die Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisses als unvoreingenommen
+    wahrgenommen werden (d. h. den objektiven Wahrscheinlichkeiten
+    entsprechen), bleiben die Bemerkungen zur Wertefunktion unverändert
+    (risikoscheu im positiven Bereich, risikofreudig im negativen
+    Bereich).
+
+  - Wenn sehr kleine Wahrscheinlichkeiten übergewichtet werden, ist der
+    Entscheidungsträger im positiven Bereich weniger risikoscheu (die
+    Wahrscheinlichkeit von Gewinnen wird überschätzt) und weniger
+    risikofreudig im negativen Bereich (die Wahrscheinlichkeit von
+    Verlusten wird überschätzt).
+
+  - Wenn mittlere und große Wahrscheinlichkeiten untergewichtet werden,
+    ist der Entscheidungsträger im positiven Bereich mehr risikoscheu
+    (die Wahrscheinlichkeit von Gewinnen wird unterschätzt) und mehr
+    risikofreudig im negativen Bereich (die Wahrscheinlichkeit von
+    Verlusten wird unterschätzt).
+
+- Diese Art der Entscheidungsgewichtung kann jedoch zu
+  Dominanzverletzungen führen!
+
+Beispiel 16. Betrachten Sie das folgende Entscheidungsproblem:
+
+    Ergebnis  s₁     s₂      s₃
+  ---------- ----- ------- -------
+       p_(i)  0.6    0.2     0.2
+         Δx₁   0    1,000   1,000
+         Δx₂   0     900    1,000
+
+- Nach der Erwartungsnutzentheorie würden wir uns natürlich für
+  Alternative 1 entscheiden, da diese Alternative die Wahl 2 dominiert.
+
+- Wie entscheiden wir nach der Prospect Theory?
+
+- Nehmen wir an, die Wertefunktion sei
+
+$$v(\Delta x) =
+\begin{cases}
+(\Delta x)^{\alpha}, \Delta x \geq 0\\
+-\lambda (-\Delta x)^{\beta}, \Delta x < 0. 
+\end{cases}$$
+
+Dann
+$$\begin{aligned}
+V(\Delta x) &=& \sum \pi(p_i) \cdot v(\Delta x_i) \\
+&=& \pi(p_1) \cdot v(\Delta x_{1,1}) + \pi(p_2) \cdot v(\Delta x_{1,2}) + \pi(p_3) \cdot v(\Delta x_{1,3})
+\end{aligned}$$
+
+- Nehmen wir an δ⁺ = 0.65, δ⁻ = 0.8, γ⁺ = 0.6, γ⁻ = 0.65, α = β = 0.88,
+  λ = 2.25.
+
+- Dann erhalten wir... (zu Hause überprüfen!)
+
+Für die erste Wahl erhalten wir (den zweiten und dritten Zustand
+kombinieren)
+$$\Delta x \geq 0: \pi^+_{\delta, \gamma} (0.4) := \frac{\delta^+ \cdot 0.4^{\gamma^+}}{\delta^+ \cdot 0.4^{\gamma^+} + (1-0.4)^{\gamma^+}} = 0.3376.$$
+Für die zweite Wahl erhalten wir
+$$\Delta x > 0: \pi^+_{\delta, \gamma} (0.2) := \frac{\delta^+ \cdot 0.2^{\gamma^+}}{\delta^+ \cdot 0.2^{\gamma^+} + (1-0.2)^{\gamma^+}} = 0.22.$$
+
+Die Werte der Auszahlungsbeträge sind
+$$\begin{aligned}
+v(1000) &=& 1000^{0.88} = 436.5158,\\
+v(900) &=& 900^{0.88} = 397.8629.\\
+\end{aligned}$$
+
+Daher,
+$$\begin{aligned}
+V(\Delta x_1) &=& \pi(p_1) \cdot 0 + \pi(.2 + .2) \cdot v(1000) = 147.3625, \\
+V(\Delta x_2) &=& \pi(p_1) \cdot 0 + \pi(.2) \cdot v(900) + \pi(.2) \cdot v(1000) = 184.0085. \\
+\end{aligned}$$
+
+- Wir würden also die Alternative bevorzugen, die in jeder Hinsicht
+  unterlegen ist (stochastische Dominanz).
+
+- Damit haben wir unser anfängliches Problem gelöst, dass die Linearität
+  der Auswertung in den Wahrscheinlichkeiten (∑p_(i) ⋅ u(a_(i))) zu
+  Widersprüchen mit unseren Beobachtungen führt (Allais’sches
+  Paradoxon).
+
+- Wir haben das Problem gelöst, indem wir die Wahrscheinlichkeiten und
+  nicht nur die Ergebnisse transformiert haben: ∑π(p_(i)) ⋅ v(a_(i)).
+
+- Diese neue Theorie verstößt jedoch gegen stochastische
+  Dominanzüberlegungen.
+
+- Um dieses Problem zu lösen, wenden wir uns der Kumulativen Prospect
+  Theory zu und transformieren kumulierte Wahrscheinlichkeiten (Tversky
+  und Kahneman, 1992).
+
+Kumulative Prospect Theory
+
+- Die kumulative Prospect Theory (CPT) ist ein Beispiel für eine
+  rangabhängige Gewichtungsfunktion.
+
+- Grundidee der rangabhängigen Gewichtungsfunktionen:
+
+  - Das Entscheidungsgewicht ist nicht das Ergebnis einer einfachen
+    Transformation der jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
+
+  - Die Größe des Entscheidungsgewichts hängt auch von der Höhe und dem
+    Vorzeichen des Ergebnisses ab, das mit dieser gegebenen
+    Wahrscheinlichkeit eintritt.
+
+  - Zunächst werden alle möglichen Ergebnisse in eine Rangfolge
+    gebracht.
+
+  - Zweitens hängen die Wahrscheinlichkeitsgewichte dann von der
+    Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses und den kumulierten
+    Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse mit niedrigerem Rang ab.
+
+Kumulative Prospect Theory
+$$CPT(\Delta x) = \sum_{i=1}^m \pi_i^- \cdot v(\Delta x_i) + \sum_{i=m+1}^n \pi^+_i \cdot v(\Delta x_i)$$
+mit
+$$\begin{aligned}
+\pi^+_i &=& \omega \left( p_i + ... + p_n \right) - \omega \left( p_{i+1} + ... + p_n \right) \\
+\pi_i^- &=& \omega \left( p_1 + ... + p_i \right) - \omega \left( p_1 + ... + p_{i-1} \right)
+\end{aligned}$$
+
+[image]
+
+Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion aus der
+kumulativen Prospect Theory .
+
+- Die Form der Gewichtungsfunktion lässt sich durch die Referenzpunkte
+  und die abnehmende Empfindlichkeit erklären.
+
+- Zwei natürliche Bezugspunkte für Wahrscheinlichkeiten sind: absolute
+  Sicherheit und Unmöglichkeit.
+
+- Sobald wir von unmöglich zu kaum möglich und von sicher zu sehr
+  wahrscheinlich übergehen, beobachten wir starke Veränderungen in den
+  Wahrscheinlichkeitsgewichten.
+
+- Wenn es also um mittlere Ergebnisse geht, ist der Einfluss auf die
+  Entscheidungen gering. Bei extremen Ergebnissen ist der Einfluss
+  jedoch sehr groß (begrenzte Subadditivität).
+
+Beispiel 17.
+
+- Kehren wir zu unserem Beispiel zurück.
+
+- Wir müssen die kumulierten Wahrscheinlichkeiten π_(i)⁺ und π_(i)⁻
+  berechnen.
+
+- Da die Auszahlung im ersten Zustand der Welt gleich Null ist, müssen
+  wir die Wahrscheinlichkeiten nicht berechnen. Die Wahrscheinlichkeit
+  wäre jedoch
+  π₁⁺ := ω(p₁ + p₂ + p₃) − ω(p₂ + p₃) = ω(1) − ω(0, 2 + 0, 2) = .6624.
+
+- Für den zweiten Zustand der Welt erhalten wir
+  π₂⁺ := ω(p₂ + p₃) − ω(p₃) = ω(0, 2 + 0, 2) − ω(0, 2) = .1171.
+
+- Für den dritten Zustand der Welt erhalten wir π₃⁺ := ω(p₃) = ω(0, 2) =
+  .2205.
+
+- Daraus ergibt sich (zu Hause überprüfen!)
+
+- CPT(Δx₁) = 147.3625
+
+- CPT(Δx₂) = 142.838
+
+In der Tat schlagen Tversky und Kahneman (1992) auch Funktionsformen für
+v(⋅) und ω(⋅) vor und kalibrieren sie an experimentellen Befunden:
+$$v(\Delta x) =
+\begin{cases}
+(\Delta x)^{\alpha}, \Delta x \geq 0\\
+-\lambda (-\Delta x)^{\alpha}, \Delta x < 0. 
+\end{cases}$$
+$$\omega_{\gamma} (p) = \frac{p^{\gamma}}{(p^{\gamma} + (1-p)^{\gamma})^{1/\gamma}}$$
+mit α = 0.88, λ = 2.25, γ = 0.65.
+Beachten Sie, dass sich diese Werte von den in unserem Beispiel
+verwendeten unterscheiden.
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+- Heute haben wir uns mit der Behavioral Finance beschäftigt.
+
+- Wir haben einige Annahmen der traditionellen Kapitalmarkttheorie
+  kritisch hinterfragt und damit ein besseres Verständnis für
+  Aktienmärkte erhalten.
+
+- Wir haben einige bekannte Entscheidungsheuristiken kennengelernt, uns
+  mit begrenzter Aufmerksamkeit und mit der Prospect Theory
+  auseinandergesetzt.
+
+- In der nächsten und letzten Vorlesung kehren wir zur traditionellen
+  Kapitalmarkttheorie zurück und beschäftigen uns mit veränderlichen
+  Zinssätzen und der Theorie der Zinsstruktur.
+
+Literatur
+
+Literatur

main6.txt

@@ -0,0 +1,866 @@
+Überblick
+
+- Heute, in unserer letzten Vorlesung, beschäftigen wir uns mit
+  veränderlichen Zinssätzen und der Theorie der Zinsstruktur.
+
+Theorie der Zinsstruktur
+
+Theorie der Zinsstruktur
+
+Theorie der Zinsstruktur
+
+- Bisher sind wir stets von einem einheitlichen Zins r ausgegangen, der
+  insb. unabhängig von dem Anlagehorizont bzw. bei Festzinstiteln
+  unabhängig von der Laufzeit des Zinstitels ist.
+
+- Empirische Analysen zeigen jedoch, dass die Rendite eine Funktion der
+  Restlaufzeit ist und sich diese Funktion im Zeitablauf ändert.
+
+- Zur Quantifizierung dieses Sachverhalts führen wir im Folgenden die
+  Konzepte der Renditestrukturkurve sowie der Zinsstrukturkurve ein.
+
+- Die folgende Abbildung zeigt die Zinsstruktur in zwei
+  unterschiedlichen Zeitpunkten.
+
+[image]
+
+Wir unterscheiden die folgenden Zinssätze:
+
+- Spot Rate - der aktuelle Zinssatz heute (t = 0).
+
+- Forward Rate - der Zinssatz, der heute festgelegt wird, zu einem
+  festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft.
+
+- Future Rate - die erwartete zukünftige Spot Rate.
+
+- Yield to Maturity - der interne Zinsfuß einer verzinslichen Anlage.
+
+Definition: Die internen Renditen der Einheitszerobonds werden als Spot
+Rates (Kassazinssätze) bezeichnet. Ist b(0, t) der Preis des
+Einheitszerobonds mit Laufzeit t, so gilt die interne Zinsfuß-Gleichung:
+b(0, t) = 1 ⋅ (1 + r)^(−t).
+D. h. die Preise b(0, t), t > 0, der Einheitszerobonds sind äquivalent
+zu den Diskontierungsfaktoren.
+
+[image]
+
+Definition: Die Forward Rate (Terminzinssatz) ist der Zinssatz, der
+heute (Zeitpunkt 0) vereinbart wird für eine Mittelanlage zum Zeitpunkt
+s über t − s Perioden.
+Formel der impliziten Forward Rate:
+$$\begin{aligned}
+r_{s,t} = \sqrt[t-s]{\frac{(1+r_{0,t})^t}{(1+r_{0,s})^s}}-1
+\end{aligned}$$
+
+[image]
+
+Definition: Renditestrukturkurve Die Renditestrukturkurve (Yield Curve)
+beschreibt die funktionale Abhängigkeit der Rendite (interner Zinsfuß)
+von Kuponanleihen (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit.
+
+Renditestrukturkurven
+
+Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) erfasst die funktionale
+Abhängigkeit der Rendite (auf Basis des internen Zinsfußes) von
+Festzinstiteln (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit.
+Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1, …, n ist die Renditestrukturkurve
+zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der
+Renditegrößen
+{y₁(s), ..., y_(n)(s)}
+
+und im allg. Fall durch die Menge der Renditegröße
+{y_(T)(s); T > 0},
+wobei y_(T)(s) die Rendite eines Bonds zum Zeitpunkt s bei einer
+Restlaufzeit von T Perioden bezeichne. Alternativ wird auch die Notation
+y(s, s + T) verwendet.
+
+- In der Praxis betrachtet man die durchschnittliche empirische Rendite
+  von Anleihen (gleicher Gattung und Bonität) gleicher Restlaufzeit.
+
+- Anschließend verwendet man ein Glättungsverfahren zur Anpassung einer
+  bestimmten funktionalen Struktur an die empirischen Renditen.
+
+- Sind die internen Renditen für alle Restlaufzeiten identisch, so
+  spricht man von einer flachen Renditestruktur.
+
+- Nehmen die Renditen mit zunehmender Restlaufzeit zu, liegt eine
+  steigende (normale) Renditestruktur vor.
+
+- Nehmen die Renditen mit zunehmender Laufzeit ab, spricht man von einer
+  fallenden (inversen) Renditestruktur.
+
+Renditestrukturkurven
+
+[image]
+
+Zinsstrukturkurven
+
+Definition: Zinsstrukturkurve Die Zinsstrukturkurve beschreibt die
+funktionale Abhängigkeit der Renditen (interne Renditen) von
+Nullkuponanleihen (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit.
+
+- Die Zinsstrukturkurve (Term Structure of Interest Rates) erfasst
+  ebenfalls die funktionale Abhängigkeit der Rendite von ihrer
+  Restlaufzeit. Hierbei werden jedoch nur Nullkuponanleihen zugrunde
+  gelegt.
+
+- Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1, …, n ist die Zinsstrukturkurve
+  zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Größen
+  {r₁(s), ..., r_(n)(s)}
+
+  und im allg. Fall durch die Menge der Größen
+  {r_(T)(s); T > 0}
+  wobei r_(T)(s) den internen Zinsfuß (auch: Kassazinssatz, Spot Rate)
+  zum Zeitpunkt s einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T bezeichnet.
+  Alternativ wird auch die Notation r(s, s + T) verwendet.
+
+Diskontstrukturkurve Die Diskontstrukturkurve ist allg. spezifiziert
+durch die Größen
+{b_(T)(s); T > 0}
+Sie ist äquivalent zur Zinsstrukturkurve und gibt die Kurse von
+Einheitszerobonds mit Restlaufzeit T zum Zeitpunkt s an. Alternativ zur
+Notation b_(T)(s) wird auch die Notation b(s, s + T) verwendet.
+Der Zusammenhang zwischen Zins- und Diskontstrukturkurve ist bei
+diskreter Verzinsung gegeben durch
+$$r_T(s) = \sqrt[T]{ \frac {1}{b_T(s)} } - 1  \Leftrightarrow b_T(s) = \left[ 1 + r_T(s) \right] ^{-T}$$
+
+- Vor dem Hintergrund der Problematik des internen Zinsfußes im Kontext
+  der Wiederanlage von zwischenzeitlichen Zahlungen, ist nur die Zins-
+  bzw. äquivalent die Diskontstruktur eine unverzerrte Konzeption zur
+  Quantifizierung der Fristigkeitsabhängigkeit der Zinssätze, da hier
+  die Wiederanlageproblematik entfällt.
+
+- Hieraus lassen sich weitergehende Überlegungen bspw. zur Bewertung von
+  festverzinslichen Titeln oder zur Quantifizierung des
+  Zinsänderungsrisikos anstellen.
+
+- Eine zu einem bestimmten Zeitpunkt gegebene Zinsstruktur {r_(T)(s)}
+  beinhaltet neben den Kassazinssätzen auch Informationen über die
+  impliziten Terminsätze (Implied Forward Rates).
+
+- Die Forward Rates f₁(s), …, f_(T)(s) geben dabei die Verzinsung für
+  die zukünftigen sukzessiven Perioden
+  [s, s + 1], [s + 1, s + 2], …, [s + T − 1, s + T] an.
+
+- Aufgrund von Arbitrageüberlegungen gilt:
+  (1 + r_(0, s))^(s) ⋅ (1 + f_(s, t))^(t − s) = (1 + r_(0, t))^(t)
+
+- Ein Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wägt ab
+  zwischen einer einmaligen Anlage zum Zinssatz r_(0, t) über t
+  Perioden, und einer Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu
+  den Zinssätzen r_(0, 1), f_(1, 2), f_(2, 3), …, f_(t − 1, t).
+
+Renditestrukturtypen
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht (2007), S. 84.
+
+- Allgemein gilt
+  [1 + r_(T)(s)]^(T) = [1 + f₁(s)][1 + f₂(s)] ⋅ ... ⋅ [1 + f_(T)(s)]
+
+- Damit folgt
+  $$r_T(s) = \sqrt[T]{ \prod [1 + f_t(s)] } - 1$$
+
+- Außerdem gilt ferner
+  1 + f₁(s) = 1 + r₁(s)  bzw.  f₁(s) = r₁(s)
+  sowie für T ≥ 2
+  $$\label{eq:ref1}
+      1 + f_T(s) = \frac {[1 + r_T(s)]^T}{[1 + r_{T-1}(s)]^{T-1}} = \frac {[1 + r_T(s)]^T}{[1 + f_1(s)] ... [1 + f_{T-1}(s)]}$$
+
+- Bei flacher Zinsstruktur fallen Spot und Forward Rate zusammen, denn
+  aus r_(t)(s) = r für alle t folgt unmittelbar f_(t)(s) = r für alle t.
+
+- Die Forward Rates lassen sich ebenso aus der Diskontstruktur ableiten.
+  Zwischen Diskontsätzen und Forward Rates gilt zunächst der
+  Zusammenhang
+  $$b_T(s) = [1 + r_T(s)]^{-T} = \prod_{i=1}^T [1 + f_t(s)]^{-1}$$
+
+- In Gleichung [eq:ref1] ist daher nur [1 + r_(T)(s)]^(T) durch
+  $\frac{1}{b_T(s)}$ zu ersetzen.
+
+Zeitstruktur der Zinssätze
+
+[image]
+
+[image]
+
+[image]
+
+Anwendung auf die Kursrechnung
+
+- Wir wollen nun den fairen Wert P₀ eines Zahlungsstroms
+  Z = {Z₁, …, Z_(T)} im verallgemeinerten Zinsmodell bestimmen und
+  stellen dafür eine Arbitragefreiheitsüberlegung an.
+
+- Den Ausgangspunkt bilden die Zinsstruktur {r₁, …, r_(T)} in t = 0 bzw.
+  die daraus abgeleiteten impliziten Terminzinssätze {f₁, …, f_(T)},
+  wobei r_(t) := r_(t)(0) und f_(t) := f_(t)(0).
+
+- Eine Investition von P₀ in Zerobonds gemäß der aktuellen Zinsstruktur
+  muss denselben Endwert haben wie der Kauf des Titels und die
+  Reinvestition der Rückflüsse zu Marktbedingungen.
+
+- Diese Überlegung beruht darauf, dass die Zinsstruktur {r₁, …, r_(T)}
+  für t > 0 unverändert bleibt bzw. die impliziten Terminsätze auch
+  eintreten, d.h. mit den zukünftigen Wiederanlagezinssätzen
+  zusammenfallen (Vernachlässigung des Zinsänderungsrisikos).
+
+- Unter Benutzung der Terminsätze folgt daraus die Bedingung
+  $$P_0 \prod_{t=1}^T (1 + f_t) = \sum_{t=1}^T Z_t \prod_{i=t+1}^T (1 + f_i)$$
+
+- Hieraus ergibt sich
+  $$P_0(f_1,...,f_T) = \sum_{t=1}^T Z_t  \left( \prod_{i=1}^t (1 + f_i) \right) ^{-1}$$
+
+- In Abhängigkeit von den Spot Rates lautet die Preisgleichung
+  entsprechend
+  $$P_0(r_1,...,r_T) = \sum_{t=1}^T Z_t(1 + r_t)^{-t}$$
+
+- und in Abhängigkeit von den Diskontfaktoren schließlich
+  $$P_0(b_1,...,b_T) = \sum_{t=1}^T Z_tb_t$$
+
+- Hieraus wird insb. deutlich, dass der Preis eines Kuponbonds der Summe
+  der Barwerte der Zerobonds, in die er zerlegt werden kann
+  (Bond-Stripping), entspricht.
+
+- Wir schauen uns nun die Methode des Bootstrapping an.
+
+- Für jede der Restlaufzeiten t = 1, …, m liege hierbei ein Kuponbond
+  mit Laufzeit t, Preis P_(t) und Zahlungsstrom Z = {Z_(t1), …, Z_(tt)}
+  vor.
+
+- Damit besteht das Gleichungssystem
+  $$\begin{split}
+      P_1 &= Z_{11}b_1 \\  
+      P_2 &= Z_{21}b_1 + Z_{22}b_2 \\
+          \vdots \\
+      P_t &= Z_{t1}b_1 + Z_{t2}b_2 +...+ Z_{tt}b_t  \\
+          \vdots \\
+      P_m &= Z_{m1}b_1 + Z_{m2}b_2 +...+ Z_{mt}b_t +...+ Z_{mm}b_m
+   \end{split}$$
+  für die Diskontstrukturkurve {b₁, …, b_(m)}.
+
+- Nach rekursivem Auflösen des Gleichungssystems gilt
+  b₁ = P₁/Z₁₁, b₂ = (P₂ − Z₂₁b₁)/Z₂₂, etc.
+
+- So kann die Diskontstruktur direkt aus den Kuponbondpreisen abgeleitet
+  werden (und daraus dann die Zinsstruktur).
+
+Beispiel: Bootstrapping Gegeben sind drei Kuponbonds mit identischem
+Nennwert N = 1000, den Restlaufzeiten t���= 1, 2 sowie 3, einem
+einheitlichen Kupon von Z = 50 und Marktpreisen P₁ = 999, P₂ = 998 sowie
+P₃ = 997. Bestimmen Sie die Diskontstruktur {b₁, b₂, b₃} sowie die
+Zinsstruktur {r₁, r₂, r₃}.
+
+- Zahlungsströme:
+
+  - Bond 1: {−999, 1050}
+
+  - Bond 2: {−998, 50, 1050}
+
+  - Bond 3: {−997, 50, 50, 1050}
+
+- Bootstrapping-Gleichungssystem:
+
+  1.  999 = 1050b₁
+
+  2.  998 = 50b₁ + 1050b₂
+
+  3.  997 = 50b₁ + 50b₂ + 1050b₃
+
+- Aus (1) folgt $b_1 = \frac {999}{1050} = 0.9514$
+
+- und damit $r_1 = \frac {1}{b_1} - 1 = 5.1051\%$
+
+- Aus (2) folgt
+  $b_2 = \frac {998-50b_1}{1050} = \frac {998-47.57}{1050} = \frac {950.43}{1050} = 0.9052$
+
+- und damit $r_2 = \sqrt {\frac {1}{b_2}} - 1 = 5.1078\%$
+
+- Aus (3) folgt schließlich:
+  $b_3 = \frac {997-50b_1-50b_2}{1050} = \frac {997-47.57-45.26}{1050} = \frac {904.17}{1050} = 0.8611$
+
+- und damit $r_3 = \sqrt[3] {\frac {1}{b_3}} - 1 = 5.1106\%$.
+
+Erklärung der Zinsstruktur
+
+Erklärung der Zinsstruktur
+
+- Frage: Was bestimmt die Gestalt der Zinsstruktur?
+
+- Mögliche Erklärungen liefern die Erwartungstheorie und die
+  Liquiditätstheorie.
+
+Erwartungstheorie
+
+- Idee: Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen den heutigen
+  Forward-Zinssätzen/Terminzinssätzen und den Zinssätzen der kommenden
+  Periode.
+
+- Die Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralität und besagt, dass
+  eine Investition in eine Reihe von Anleihen mit kurzer Laufzeit im
+  Gleichgewicht die gleiche erwartete Rendite bieten muss wie eine
+  Investition in eine einzelne Anleihe mit langer Laufzeit.
+
+- Sie besagt, dass der einzige Grund für eine nach oben geneigte
+  Laufzeitstruktur darin besteht, dass die Anleger einen Anstieg der
+  kurzfristigen Zinssätze erwarten.
+
+- Der einzige Grund für eine sinkende Terminstruktur ist, dass die
+  Anleger erwarten, dass die kurzfristigen Zinssätze fallen.
+
+- Die Erwartungstheorie kann keine vollständige Erklärung für die
+  Zinsstruktur sein, wenn sich die Anleger Sorgen um das Risiko machen.
+
+- Begründung durch Arbitrageüberlegungen. Es gilt:
+  (1 + r_(0, s))^(s) ⋅ (1 + r̃_(s, t))^(t − s) = (1 + r_(0, t))^(t)
+
+- Die Forward-Zinssätze sind bekannt, daraus sollen sich die kommenden
+  Zinssätze erklären lassen.
+
+- Die Zinsstruktur wird über die Erwartungen über die Entwicklung der
+  kurzfristigen Zinssätze erklärt:
+
+  - Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wägt ab zwischen
+    einmaliger Anlage zum Zinssatz r_(0, t) über t Perioden, und Anlage
+    jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinssätzen
+    r_(0, 1), r̃_(1, 2), r̃_(2, 3), …, r̃_(t − 1, t).
+
+  - Zinssätze r̃_(1, 2), r̃_(2, 3), …, r̃_(t − 1, t) sind im ZP 0
+    unbekannt.
+
+  - Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralität ⇒ Kapitalanleger
+    verhält sich gegenüber einem mit unsicheren Zinserwartungen
+    verbundenen Risiko neutral.
+
+- Erwartetes EV beider Anlageformen ist (wg. der Risikoneutralität)
+  gleich groß:
+  (1 + r_(0, t))^(t) = (1 + r_(0, 1)) ⋅ (1 + E[r̃_(1, 2)]) ⋅ (1 + E[r̃_(2, 3)])… ⋅ (1 + E[r̃_(t − 1, t)]).
+
+- Dieser Argumentation entsprechend gilt:
+  E[r̃_(1, 2)⁽¹⁾] = r_(1, 2)⁽⁰⁾.
+
+- D. h. der erwartete Einjahres-Zinssatz in einem Jahr (E[r̃_(1, 2)⁽¹⁾])
+  entspricht dem heutigen Forward-Zinssatz (r_(1, 2)⁽⁰⁾).
+
+  ⇒ Eine Prognose, die mit großen Unsicherheiten verbunden ist.
+
+- Auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt definiert die gegenwärtige
+  Zinsstruktur eindeutig die Terminzinssätze. Diese legen die
+  Erwartungswerte der zukünftigen Zinssätze fest.
+
+Liquiditätspräferenztheorie
+
+- Postuliert, dass Forward-Zinssätze immer über den zukünftigen
+  Zinssätzen liegen.
+
+- Begründung:
+
+  - Anleger/Finanzinvestoren wollen liquide bleiben und bevorzugen daher
+    eher kurze Laufzeiten bei der Anlage.
+    ⇒ trotz steigender Zinssätze finden Kapitalgeber eine längerfristige
+    Bindung uninteressant.
+
+  - Folge: Anlegern muss für längere Laufzeiten eine Prämie geboten
+    werden = Zinsstrukturkurve ist ansteigend auch wenn Zinsen in der
+    Zukunft nicht steigen (Zinssätze müssen wg. der Prämie nicht
+    zwingend steigen!).
+
+  - Schuldner bevorzugen dagegen langfristiges Kapital (u. a. wegen
+    Planungssicherheit).
+
+- Insgesamt:
+
+  - Überschussangebot an Kapital im kurzfristigen Bereich, weil sich
+    viele Investoren nur kurzfristig binden möchten.
+
+  - Überschussnachfrage an Kapital im langfristigen Bereich;
+    Kapitalnehmer bevorzugen langfristige Finanzierungen.
+
+  - ⇒ um diese Überschüsse zum Ausgleich zu bringen, muss die
+    Zinsstruktur ansteigen.
+
+- Bei einer flachen Zinsstrukturkurve gäbe es ein ��berangebot an
+  kurzfristigem und eine Übernachfrage nach langfristigem Kapital. Um
+  das Ungleichgewicht zu beseitigen, müssen die Zinsen am langen Ende
+  steigen. Eine steigende Zinsstrukturkurve stellt sich ein und kann
+  über die Zeit hinweg stabil bleiben.
+
+Kritik
+
+- Investoren, die durch eine Geldanlage Auszahlungen zu späteren
+  Terminen finanzieren wollen.
+
+- Die aus einer Geldanlage resultierenden zukünftigen Einzahlungen
+  sollten möglichst die geplanten Auszahlungen übersteigen.
+  ⇒ Wichtig, das Risiko (Unsicherheit des Zinssatzes) dieser
+  Einzahlungen zu minimieren.
+  ⇒ Investor, der das Risiko aus den späteren Einzahlungen minimieren
+  will, wird daher bei gleichem erwarteten EV beider Anlagealternativen
+  die langfristige Anlage vorziehen oder eine Risikoprämie für die
+  kurzfristige revolvierende Anlage verlangen.
+
+- Bei Dominanz dieser Investoren → inverse ZSK!
+
+Reale und nominale Zinssätze
+
+Reale und nominale Zinssätze
+
+- Es gibt verschiedene Indizes, die die realen Preise darstellen.
+
+- Der bekannteste ist der Consumer Price Index (CPI), der angibt, wie
+  teuer ein typischer Warenkorb einer Familie ist.
+
+- Über die Differenz des CPI von einem zum nächsten Jahr kann folglich
+  die Inflationsrate bestimmt werden.
+
+- Inflation im Euro-Raum gemessen am harmonisierten
+  Verbraucherpreisindex (1997 - 2023)
+
+[image]
+
+Reale und nominale Zinssätze
+
+- Die Formel für die Umwandlung der nominalen Cash Flows einer
+  zukünftigen Periode t in reale Cash Flows heute lautet
+  $$\begin{aligned}
+  \text{Realer Cash Flow (in $t$)}=\frac{\text{Nominaler Cash Flow (in $t$)}}{(1+\text{Inflationsrate})^t}
+  \end{aligned}$$
+
+- Die Formel zur Berechnung der realen Spot Rate r_(real) ist ähnlich:
+  $$\begin{aligned}
+  1+r_{\text{Real}}=\frac{1+r_{\text{Nominal}}}{1+\text{Inflationsrate}}
+  \end{aligned}$$
+
+- Wie beeinflusst die zukünftige erwartete Inflation den nominalen
+  Zinssatz?
+
+- Fisher’s Theorie: Eine Änderung der erwarteten Inflationsrate bewirkt
+  die gleiche proportionale Änderung des nominalen Zinssatzes und hat
+  keinen Effekt auf den realen Zinssatz.
+
+Reale und nominale Zinssätze
+
+- Die Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen Inflationsrate und
+  Treasury Bill Rate.
+
+- Offensichtlich forderten die Investoren meistens dann einen hohen
+  Zinssatz, wenn auch die Inflationsrate hoch war.
+
+[image]
+
+Analyse des Zinsänderungsrisikos
+
+Analyse des Zinsänderungsrisikos
+
+- Wie aus der Darstellung der Entwicklung der Zinsstruktur deutlich
+  wird, unterliegt die Zinsstrukturkurve einer zeitlichen Änderung.
+  Dabei bewirken Zinsänderungen
+
+  - eine Änderung des Kurses (Barwert)
+
+  - eine Änderung der Reinvestitionserträge aus den Rückflüssen
+    (Endwert)
+
+- Barwerte (Kurse) und Endwerte (resultierendes Endvermögen) unterliegen
+  somit einem Zinsänderungsrisiko.
+
+- Die Quantifizierung der Zinsstrukturkurve und ihrer zeitlichen
+  Änderungen ist die Voraussetzung für eine Quantifizierung der
+  Auswirkungen des Zinsänderungsrisikos.
+
+- Wir konzentrieren uns dabei auf einen einfachen deterministischen
+  Ansatz und treffen dazu folgende Annahmen:
+
+- Die Zinsstruktur in s = 0 sei flach: r_(t)(0) = r.
+
+- Kauf eines festverzinslichen Titels {Z₁, …, Z_(T)} zum Kurs (Barwert)
+  P(r).
+
+- Die Zinsänderung besteht in einem einmaligen Übergang in eine flache
+  Zinsstruktur der Höhe r + Δr.
+
+- Der übergang geschieht unmittelbar nach Kauf bzw. in t = 0. Man
+  vergleicht also die Änderung des Barwerts bei einer Änderung des
+  Diskontierungsfaktors.
+
+- Um die Auswirkungen einer Zinsänderung r + Δr zu quantifizieren
+  bestimmen wir (approximativ) die hieraus resultierende Barwertänderung
+  ΔP = P(r + Δr) − P(r) sowie die entsprechende Endwertänderung
+  ΔK_(T) = K_(T)(r + Δr) − K_(T)(r).
+
+- Hierzu analysieren wir zunächst die Eigenschaften der Barwertfunktion
+  bei Annahme einer flachen Zinsstruktur.
+
+- Es gilt
+
+$$P(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{-t}$$
+$$P'(r) = - \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r)^{-t}  < 0$$
+$$P''(r) =  \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}  > 0$$
+
+- Die Barwertfunktion ist somit eine streng monoton fallende und konvexe
+  Funktion.
+
+- Dies impliziert:
+
+  - Bei steigendem Marktzins fällt der Barwert (Kurs).
+
+  - Bei fallendem Marktzins steigt der Barwert (Kurs).
+
+  - Eine Zinssenkung führt zu einer stärkeren Kursveränderung als eine
+    gleich hohe Zinserhöhung.
+
+[image]
+
+- Analog analysieren wir die Endwertfunktion. Es gilt:
+
+$$K_T(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{T-t}$$
+$$K_T'(r) = \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T (T-t)Z_t(1+r)^{-t}  > 0$$
+$$K_T''(r) = \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T (T-t)(T-t-1)Z_t(1+r)^{-t}  > 0$$
+
+- Die Endwertfunktion ist somit ebenfalls konvex, jedoch streng monoton
+  steigend.
+
+- Dies impliziert:
+
+  - Bei steigendem Marktzins steigen die Reinvestitionserträge und damit
+    der Endwert (relative Vermögenssteigerung)
+
+  - Bei fallendem Marktzins fallen die Reinvestitionserträge und damit
+    der Endwert (relative Vermögensminderung)
+
+- Insgesamt wirken Zinsänderungseffekte somit entgegengesetzt auf Bar-
+  und Endwert.
+
+  - Effekt 1: Wenn Zinssätze steigen, sinken Anleihenpreise: Wenn die
+    vorherrschenden Zinssätze steigen, werden Anleihen mit fixen
+    Kuponzahlungen ceteris paribus weniger wertvoll, weil die
+    Kuponzahlungen im Vergleich zum Markt nicht ansteigen (Barwert/Preis
+    sinkt).
+
+  - Effekt 2: Höhere Zinszahlungen ermöglichen bessere
+    Wiederanlagemöglichkeiten für zwischenzeitliche Rückflüsse aus
+    Kuponzahlungen (Endwert steigt).
+
+Barwert- und Endwertänderung bei einer Zinsänderung
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht (2007), S. 88.
+
+Beispiel: Anleihe mit EZü e_(t)
+
+Annahme: flache Zinsstruktur mit k = 9%
+
+$$\begin{array}{r|c|c|c|c}
+t   & 0 & 1 & 2 &   3 \\ \hline
+e_t &   & 9 & 9 & 109 
+\end{array}$$
+
+$$\begin{aligned}
+\Rightarrow & PV & = 100 \\
+& FV & = 100 \cdot 1,09^3 = 129,50  
+\end{aligned}$$
+
+[image]
+
+Annahme: unmittelbare (d. h. in t = 0⁺) Zinsänderung auf k = 10%
+$$\begin{aligned}
+\Rightarrow & PV & = \frac{9}{1,1} + \frac{9}{1,1^2} + \frac{109}{1,1^3} = 97,51 \\
+& & \text{nur Effekt 1 wirksam} \\
+& FV & = 97,51 \cdot 1,1^3 = 129,79 \\
+& & \text{nur Effekt 2 wirksam}
+\end{aligned}$$
+
+Für alle Kapitalwerte K_(t) mit t ∈ ]0, 3[ sind beide Effekte wirksam!
+
+[image]
+
+- Ob das Vermögen mit Zinsänderung $\stackrel{>}{<}$ dem Vermögen ohne
+  Zinsänderung ist, hängt davon ab, welcher ZP untersucht wird!
+
+- Es gibt einen ZP D, bei dem das Vermögen mit Zinsänderung gleich dem
+  Vermögen ohne Zinsänderung ist, d. h. im ZP D besteht kein
+  Zinsänderungsrisiko!
+
+- Man sagt: Im ZP D ist das (End-)Vermögen gegenüber Zinsänderungen
+  immunisiert.
+
+- Man kann sogar zeigen, dass das Vermögen ohne Zinsänderungen im ZP D
+  ein Minimum hat, d. h., dass jede Zinsänderung (pos. oder neg.) zu
+  einem Vermögenszuwachs führt.
+
+- Dazu schauen wir uns im folgenden das Konzept der Duration an.
+
+Die Duration
+
+- Im Rahmen einer Analyse des Zinsänderungsrisikos wenden wir uns nun
+  einer Reihe von (eng verwandten) Kennziffern zur Zinssensitivität des
+  Barwerts zu.
+
+- Wir beginnen mit der absoluten Duration, definiert durch
+  $$D_A(r) = -P'(r) = \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r)^{-t}$$
+
+- Diese entspricht somit der ersten Ableitung der Barwertfunktion,
+  jedoch mit negativem Vorzeichen. Da P^(′)(r) < 0, folgt D_(A)(r) > 0.
+
+- Aus geometrischer Sicht wird unter Verwendung der ersten Ableitung der
+  Barwertfunktion die Änderung der Barwertfunktion linear approximiert
+  durch die entsprechende Änderung des Funktionswerts der Tangente an
+  die Barwertkurve.
+
+Absolute Duration als lin. Approximation der Barwertkurve
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht (2007), S. 89.
+
+- Aus analytischer Sicht ist die absolute Duration ein approximatives
+  Maß für die absolute Kursänderung bei absoluter Zinsänderung, denn es
+  gilt entsprechend zur geometrischen Darstellung
+  ΔP(r) ≈ −D_(A)(r) ⋅ Δr
+
+- Je höher die Duration, desto größer das Zinsänderungsrisiko im Sinne
+  einer Barwertänderung.
+
+- Die Höhe der Duration hängt dabei wiederum von dem
+  Ausgangsrenditenniveau r ab.
+
+- Die lineare Approximation der Barwertkurve unterliegt einem
+  Approximationsfehler, der umso größer ist,
+
+  - je größer Δr
+
+  - je gekrümmter die Barwertkurve r ist.
+
+- Der Effekt steigender Zinsen (Kursverlust) wird somit überschätzt, der
+  Effekt fallender Zinsen (Kursanstieg) hingegen unterschätzt.
+
+- Aus der absoluten Duration lassen sich weitere Durationsmaße ableiten.
+
+- Die modifizierte Duration (Modified Duration), definiert durch
+  $$D_M(r) \coloneqq \frac {D_A(r)}{P(r)} = \frac {\frac {1}{1+r} \sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}$$
+  ist ein approximatives Maß für die relative Kursänderung bei absoluter
+  Zinsänderung.
+
+- Es gilt
+  $$\frac {\Delta P(r)}{P(r)}  \approx -D_M(r) \cdot \Delta r$$
+
+- Die Macaulay-Duration (oft nur als Duration bezeichnet) ist definiert
+  durch
+  $$\label{eq:Macaulay}
+      D(r) = (1+r)D_M(r) = \frac {\sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}$$
+
+- Sie ergibt sich aus der zeitgewichteten Summe der diskontierten
+  Zahlungen dividiert durch den Barwert der Anleihe und kann auch als
+  das gewichtete Mittel der Fälligkeitszeitpunkte der einzelnen
+  Zahlungen interpretiert werden.
+
+- Die Duration gibt somit die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer an.
+
+- Ihre Einheit entspricht dabei der gewählten Zeiteinheit (i.d.R.
+  Jahre).
+
+- Als ΔP(r) bzw. D(r) entsprechende Approximation erhält man
+  $$\frac {\Delta P(r)}{P(r)}  \approx - \frac {(1+r+\Delta r)-(1+r)}{1+r}D(r) = - \frac{\Delta r}{1+r} D(r)$$
+
+- Die Macaulay-Duration ist somit ein Maß für die relative Kursänderung
+  bei relativer Änderung des Aufzinsungsfaktors.
+
+Beispiel: Duration eines Standardbonds Wir betrachten einen Standardbond
+mit einer Laufzeit von 4 Jahren, einem Nennwert von 1000 Euro sowie
+einem Nominalzins von 6%. Zu bestimmen ist die Duration des Bonds, wenn
+der anfängliche Zinssatz 4% beträgt. Der Zahlungsstrom des Bonds ist
+zunächst gegeben durch { 60, 60, 60, 1060 }.
+
+Es gilt im Einzelnen
+
+$$\begin{aligned}
+\frac{60}{1.04} &=   57.692\\
+\frac{60}{1.04^{2}}&=   55.473 \quad & \mbox{und damit} \quad & 2 \cdot \frac{60}{1.04^{2}} = 110.946\\
+\frac{60}{1.04^{3}}&=   53.340 \quad & \mbox{und damit} \quad & 3 \cdot \frac{60}{1.04^{3}} = 160.020\\
+\frac{1060}{1.04^{4}}&=   906.092 \quad & \mbox{und damit} \quad & 4 \cdot \frac{1060}{1.04^{4}} = 3624.37
+\end{aligned}$$
+
+Als Macaulay-Duration ergibt sich nach diesen Vorüberlegungen
+$$D = \frac {57.692+110.946+160.020+3624.37}{57.692+55.473+53.340+906.092}= \frac {3953.028}{1072.597} = 3.6855$$
+Die Duration des Bonds beträgt somit 3.6855 Jahre.
+
+Beispiel: Duration eines Zerobonds Betrachtet man einen Zerobond mit
+Laufzeit T, so erhält man durch Auswertung der von Gleichung
+[eq:Macaulay] das Resultat D(r) = T. Bei einem Zerobond stimmt somit die
+Duration stets mit seiner Laufzeit überein.
+
+- Die Duration eines Zerobonds mit Laufzeit T beinhaltet gleichzeitig
+  die maximale Duration aller Bonds mit gleicher Laufzeit, denn es gilt
+  $$\frac {\sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}   \le \frac {T \sum Z_t(1+r)^{-t} }{P(r)}  = T$$
+
+- Die Duration hängt nicht nur vom anfänglichen Zinsniveau, sondern auch
+  von der Restlaufzeit und Kuponhöhe ab.
+
+- Abschließend zum Thema Duration betrachten wir noch die
+  Portfolioduration.
+
+- Diese berechnet sich als die gewichtete Summe der Durationen der
+  einzelnen Titel.
+
+- Es seien X = {X₁, …, X_(T)} und Z = {Z₁, …, Z_(T)} zwei
+  Zahlungsreihen.
+
+- Dann gilt insbesondere
+  $$D_{X+Z} = \frac {P_X}{P_X + P_Z} D_X + \frac {P_Z}{P_X + P_Z} D_Z$$
+
+- Für die Portfolioduration gilt allgemein analog
+  $$D_P = \sum \limits_{i=1}^n x_iD_i$$
+  wobei x_(i) = P_(i)/P dem Barwert von Titel i bezogen auf den
+  Gesamtwert des Portfolios entspricht.
+
+- Der in der vorherigen Abbildung veranschaulichte Approximationsfehler
+  bei der Quantifizierung der durch eine Zinsänderung induzierte
+  Barwertänderung lässt sich durch Einbeziehung der Konvexität
+  verringern.
+
+- Theoretischer Ausgangspunkt ist dabei die Taylor-Entwicklung einer
+  Funktion f im Punkt x₀. Durch den Abbruch der Taylorreihe erst nach
+  dem zweiten Glied wird die lineare Approximation verbessert, konkret
+  $$\Delta P = P'(r) \cdot \Delta r + \frac {1}{2} P''(r)\ (\Delta r)^2 = -D_A(r) \cdot \Delta r + \frac {1}{2} C_A(r)\ (\Delta r)^2$$
+
+- Dabei ist die absolute Konvexität gegeben durch die zweite Ableitung
+  der Barwertfunktion
+
+$$C_A(r) = P''(r) = \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}$$
+
+Konvexität
+
+- Der Betrag $\frac{1}{2} C_A(r)(\Delta r)^2$ erfasst dabei die absolute
+  Kursänderung aufgrund des quadratischen Anteils der Krümmung der
+  Barwertkurve.
+
+- Eine Division von ΔP durch P ergibt die Approximation
+  $$\frac {\Delta P}{P} \approx -D_M \cdot \Delta r + \frac {1}{2} C(r)\ (\Delta r)^2$$
+
+  wobei die Konvexität C(r) definiert ist durch
+
+  $$C(r) = \frac {P''(r)}{P} = \frac {\sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}}{(1+r)^2 \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{-t}}$$
+
+Zinsänderungsimmunisierung
+
+- Zuvor wurden die gegenläufigen Wirkungen einer Zinsänderung bzgl.
+  Barwert und Endwert eines Bonds veranschaulicht. Ist es in bestimmten
+  Konstellationen möglich, die anfängliche (vor Eintritt der
+  Zinsänderung) Wertentwicklung trotz einer eingetretenen Zinsänderung
+  sicherzustellen?
+
+- Dazu betrachten wir zunächst den Wert eines durch die Rückflüsse
+  {Z₁, …, Z_(T)} charakterisierten, festverzinslichen Titels zu einem
+  beliebigen Zeitpunkt 0 ≤ s ≤ T unter dem anfänglichen Zins r₀.
+
+- Hierbei gilt
+  $$K_s(r_0) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r_0)^{s-t}$$
+
+- Bei sofortiger einmaliger Zinsänderung r + Δr in t = 0 ergibt sich für
+  den Barwert zum Zeitpunkt s unter dieser Konstellation
+  $$K_s(r_0 + \Delta r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r+\Delta r)^{s-t}$$
+
+- Ist es zu einem Zeitpunkt s möglich, dass für Zinsänderungen eines
+  bestimmten Ausmaßes Δr stets
+  K_(s)(r₀ + Δr) ≥ K_(s)(r₀)
+  gilt?
+
+- In einem solchen Fall wäre gewährleistet, dass - zumindest in diesem
+  Zeitpunkt und für Änderungen des anfänglichen Zinssatzes in einem
+  bestimmten Umfang—der Wert des Bonds zum Zeitpunkt s trotz
+  Zinsänderung nicht geringer ist als unter dem anfänglich geltenden
+  Zins.
+
+- Die Erfüllung der obigen Ungleichung l��uft auf die Frage der Existenz
+  eines lokalen oder sogar globalen Minimums hinaus.
+
+- Die Antwort ist dabei positiv und sie lautet
+  s = D(r₀)
+
+- Wenn wir einen Zeitpunkt wählen, welcher der Duration zum anfänglichen
+  Zins entspricht, so besitzt die Wertfunktion K_(s) = K_(D) ein Minimum
+  im Punkt r₀ und die obige Ungleichung ist erfüllt.
+
+- Im Folgenden wollen wir den Nachweis der Eigenschaft eines lokalen
+  Minimums erbringen. Allgemein gilt
+  $K_s(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{s-t}$ sowie
+  $K'_s(r) = (1+r)^{s-1}\sum \limits_{t=1}^T (s-t)Z_t(1+r)^{-t}$.
+
+- Damit folgt
+
+  0 = K^(′)_(s)(r₀) ̄
+  $= s(1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r_0)^{-t}$
+  $- (1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}$
+  $= s(1+r_0)^{s-1}P(r_0) - (1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}$
+
+- Insgesamt folgt
+  $$\quad   s = \frac {\sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}}{P(r_0)} = D(r_0)$$
+  d.h. die Eigenschaft eines lokalen Minimums ist nachgewiesen.
+
+- Allgemeiner lässt sich zeigen, dass sogar ein globales Minimum
+  vorliegt, d.h. die obige Ungleichung gilt sogar für zugelassene
+  Zinsänderungen in beliebiger Höhe.
+
+- Weiterhin bedeutet die Ungleichung, dass spätestens bis zum Zeitpunkt
+  s = D(r₀) ein anfänglicher Kursverlust infolge steigender Zinsen durch
+  die verbesserten Reinvestitionsmöglichkeiten zumindest kompensiert,
+  ggf. sogar überkompensiert worden ist.
+
+- Zu beachten ist, dass die Aussage nicht K_(s)(r₀ + Δr) = K_(s)(r₀)
+  lautet, d.h. die Zinsänderungen werden nicht notwendigerweise alle im
+  gleichen Zeitpunkt kompensiert, sondern jede Zinsänderung besitzt in
+  der Regel einen eigenen Kompensationszeitpunkt.
+
+- Sicher ist aber, dass im Zeitpunkt s die Wertentwicklung gleich der
+  unteren Grenze K_(s)(r₀) ist oder darüber liegt.
+
+- Fasst man den Wert K_(s)(r₀) als Untergrenze eines (nach oben
+  unbegrenzten) Fensters auf, das sich um den Zeitpunkt der Duration
+  befindet, so erhält man das sogenannte Durationsfenster (Duration
+  Window).
+
+Durationsfenster
+
+[image]
+
+Quelle: Albrecht (2007), S. 94.
+
+- Die zentrale Annahme bei den vorherigen Analysen ist die einer flachen
+  Zinsstruktur, die nur einer einzigen anfänglichen deterministischen
+  Änderung einer bestimmten Form unterliegen darf.
+
+- Mehrfache Änderungen sind kein Problem, da man nach jeder erfolgten
+  Zinsänderungen entsprechende Anpassungen vornehmen kann.
+
+- Bezüglich der Annahme einer flachen Zinsstruktur gibt es inzwischen
+  eine Reihe von Erweiterungen wie die Single-Faktor-Durationsmodelle,
+  Faktormodelle der Zinsstruktur sowie die Key-Rate-Duration.
+
+- Ein weiteres Problem des Durationsansatzes ist, dass traditionelle
+  Durationskonzepte Zinsänderungsrisiken nicht mehr erfassen können,
+  wenn die Höhe der Zinszahlungen selbst von Zinsänderungen beeinflusst
+  wird wie bei zinssensitiven Produkten oder Bonds mit eingebetteten
+  Optionen. Hier können optionsadjustierte Durationsmaße angewandt
+  werden.
+
+- Insgesamt können wir festhalten, dass das einfache Durationsmaß ein
+  sehr nützliches Konzept im Sinne einer ersten Approximation für die
+  Analyse des Außmaßes des Zinsänderungsrisikos und einer darauf
+  aufbauenden Portfoliosteuerung darstellt.
+
+- Es unterliegt jedoch einer Reihe von Beschränkungen und liefert nur
+  approximative Ergebnisse.
+
+- Daher kommt es vor allem auf den spezifischen Anwendungszweck an, ob
+  mit diesem Ansatz oder verfeinerten Analysen gearbeitet wird.
+
+Zusammenfassung und Ausblick
+
+- Heute haben wir uns mit der Theorie der Zinsstruktur beschäftigt.
+
+- Wir haben über Zinsänderungen gesprochen und über die Möglichkeit,
+  sich dagegen abzusichern (Duration).
+
+Vielen Dank!