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|---|---|
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.posPart_toSimpleFunc ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } ⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart f)) =ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) ** have eq : ∀ a, (toSimpleFunc f).posPart a = max ((toSimpleFunc f) a) 0 := fun a => rfl ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } eq : ∀ (a : α), ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 ⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart f)) =ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) ** have ae_eq : ∀ᵐ a ∂μ, toSimpleFunc (posPart f) a = max ((toSimpleFunc f) a) 0 := by
filter_upwards [toSimpleFunc_eq_toFun (posPart f), Lp.coeFn_posPart (f : α →₁[μ] ℝ),
toSimpleFunc_eq_toFun f] with _ _ h₂ h₃
convert h₂ using 1
rw [h₃] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } eq : ∀ (a : α), ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 ae_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 ⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart f)) =ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) ** refine' ae_eq.mono fun a h => _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } eq : ∀ (a : α), ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 ae_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 a : α h : ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 ⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) a ** rw [h, eq] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } eq : ∀ (a : α), ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 ** filter_upwards [toSimpleFunc_eq_toFun (posPart f), Lp.coeFn_posPart (f : α →₁[μ] ℝ),
toSimpleFunc_eq_toFun f] with _ _ h₂ h₃ ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } eq : ∀ (a : α), ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 a✝¹ : α a✝ : ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a✝¹ = ↑↑↑(posPart f) a✝¹ h₂ : ↑↑(Lp.posPart ↑f) a✝¹ = max (↑↑↑f a✝¹) 0 h₃ : ↑(toSimpleFunc f) a✝¹ = ↑↑↑f a✝¹ ⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a✝¹ = max (↑(toSimpleFunc f) a✝¹) 0 ** convert h₂ using 1 ** case h.e'_3 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } eq : ∀ (a : α), ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0 a✝¹ : α a✝ : ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a✝¹ = ↑↑↑(posPart f) a✝¹ h₂ : ↑↑(Lp.posPart ↑f) a✝¹ = max (↑↑↑f a✝¹) 0 h₃ : ↑(toSimpleFunc f) a✝¹ = ↑↑↑f a✝¹ ⊢ max (↑(toSimpleFunc f) a✝¹) 0 = max (↑↑↑f a✝¹) 0 ** rw [h₃] ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.negPart_toSimpleFunc ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } ⊢ ↑(toSimpleFunc (negPart f)) =ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.negPart (toSimpleFunc f)) ** rw [SimpleFunc.negPart, MeasureTheory.SimpleFunc.negPart] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } ⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) =ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) ** filter_upwards [posPart_toSimpleFunc (-f), neg_toSimpleFunc f] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } ⊢ ∀ (a : α), ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a → ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a → ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a ** intro a h₁ h₂ ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } a : α h₁ : ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a h₂ : ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a ⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a ** rw [h₁] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } a : α h₁ : ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a h₂ : ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a ⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a ** show max _ _ = max _ _ ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } a : α h₁ : ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a h₂ : ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a ⊢ max (↑(toSimpleFunc (-f)) a) 0 = max (↑(-toSimpleFunc f) a) 0 ** rw [h₂] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E F' : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' E' : Type u_6 inst✝² : NormedAddCommGroup E' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝ : NormedSpace 𝕜 E' f : { x // x ∈ simpleFunc ℝ 1 μ } a : α h₁ : ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a h₂ : ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a ⊢ max ((-↑(toSimpleFunc f)) a) 0 = max (↑(-toSimpleFunc f) a) 0 ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_eq ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ integral f = ↑integralCLM f ** simp only [integral] ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_eq_setToL1 ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ integral f = ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul μ) 1)) f ** simp only [integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑integralCLM f = ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul μ) 1)) f ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral_L1_eq_integral ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ } ⊢ L1.integral ↑f = integral f ** simp only [integral, L1.integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ } ⊢ ↑L1.integralCLM ↑f = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f) ** exact setToL1_eq_setToL1SCLM (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) f ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_zero ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E ⊢ integral 0 = 0 ** simp only [integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E ⊢ ↑integralCLM 0 = 0 ** exact map_zero integralCLM ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_add ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f g : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ integral (f + g) = integral f + integral g ** simp only [integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f g : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑integralCLM (f + g) = ↑integralCLM f + ↑integralCLM g ** exact map_add integralCLM f g ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_neg ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ integral (-f) = -integral f ** simp only [integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑integralCLM (-f) = -↑integralCLM f ** exact map_neg integralCLM f ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_sub ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f g : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ integral (f - g) = integral f - integral g ** simp only [integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f g : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑integralCLM (f - g) = ↑integralCLM f - ↑integralCLM g ** exact map_sub integralCLM f g ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_smul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ integral (c • f) = c • integral f ** simp only [integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑integralCLM (c • f) = c • ↑integralCLM f ** show (integralCLM' (E := E) 𝕜) (c • f) = c • (integralCLM' (E := E) 𝕜) f ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑(integralCLM' 𝕜) (c • f) = c • ↑(integralCLM' 𝕜) f ** exact map_smul (integralCLM' (E := E) 𝕜) c f ** Qed
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MeasureTheory.L1.norm_integral_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ‖integral f‖ = ‖↑integralCLM f‖ ** simp only [integral] ** Qed
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MeasureTheory.L1.continuous_integral ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E ⊢ Continuous fun f => integral f ** simp only [integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace E ⊢ Continuous fun f => ↑integralCLM f ** exact L1.integralCLM.continuous ** Qed
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MeasureTheory.integral_eq ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → E hf : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = L1.integral (Integrable.toL1 f hf) ** simp [integral, hE, hf] ** Qed
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MeasureTheory.integral_eq_setToFun ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → E ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = setToFun μ (weightedSMul μ) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul μ) 1) f ** simp only [integral, hE, L1.integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → E ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0) = setToFun μ (weightedSMul μ) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul μ) 1) f ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.L1.integral_eq_integral ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ integral f = ∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ ** simp only [integral, L1.integral, integral_eq_setToFun] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑integralCLM f = setToFun μ (weightedSMul μ) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul μ) 1) fun a => ↑↑f a ** exact (L1.setToFun_eq_setToL1 (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) f).symm ** Qed
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MeasureTheory.integral_undef ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G h : ¬Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0 ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G h : ¬Integrable f hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0 ** simp [integral, hG, h] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G h : ¬Integrable f hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0 ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.integral_zero ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ⊢ ∫ (x : α), 0 ∂μ = 0 ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (x : α), 0 ∂μ = 0 ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α hG : CompleteSpace G ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun x => 0 then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => 0) hf) else 0 else 0) = 0 ** exact setToFun_zero (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (x : α), 0 ∂μ = 0 ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.integrable_of_integral_eq_one ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ h : ∫ (x : α), f x ∂μ = 1 ⊢ Integrable f ** contrapose h ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ h : ¬Integrable f ⊢ ¬∫ (x : α), f x ∂μ = 1 ** rw [integral_undef h] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ h : ¬Integrable f ⊢ ¬0 = 1 ** exact zero_ne_one ** Qed
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MeasureTheory.integral_add ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ ∫ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ + ∫ (a : α), g a ∂μ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ + ∫ (a : α), g a ∂μ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g hG : CompleteSpace G ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a + g a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a + g a) hf) else 0 else 0) = (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0) + if h : True then if hf : Integrable fun a => g a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => g a) hf) else 0 else 0 ** exact setToFun_add (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) hf hg ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ + ∫ (a : α), g a ∂μ ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.integral_neg ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G ⊢ ∫ (a : α), -f a ∂μ = -∫ (a : α), f a ∂μ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), -f a ∂μ = -∫ (a : α), f a ∂μ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G hG : CompleteSpace G ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun a => -f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => -f a) hf) else 0 else 0) = -if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0 ** exact setToFun_neg (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) f ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), -f a ∂μ = -∫ (a : α), f a ∂μ ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.integral_sub ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ ∫ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ - ∫ (a : α), g a ∂μ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ - ∫ (a : α), g a ∂μ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g hG : CompleteSpace G ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a - g a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a - g a) hf) else 0 else 0) = (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0) - if h : True then if hf : Integrable fun a => g a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => g a) hf) else 0 else 0 ** exact setToFun_sub (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) hf hg ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G hf : Integrable f hg : Integrable g hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ - ∫ (a : α), g a ∂μ ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.integral_smul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 G c : 𝕜 f : α → G ⊢ ∫ (a : α), c • f a ∂μ = c • ∫ (a : α), f a ∂μ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 G c : 𝕜 f : α → G hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), c • f a ∂μ = c • ∫ (a : α), f a ∂μ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 G c : 𝕜 f : α → G hG : CompleteSpace G ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun a => c • f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => c • f a) hf) else 0 else 0) = c • if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0 ** exact setToFun_smul (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) weightedSMul_smul c f ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 G c : 𝕜 f : α → G hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), c • f a ∂μ = c • ∫ (a : α), f a ∂μ ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.integral_mul_right ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α L : Type u_6 inst✝ : IsROrC L r : L f : α → L ⊢ ∫ (a : α), f a * r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) * r ** simp only [mul_comm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α L : Type u_6 inst✝ : IsROrC L r : L f : α → L ⊢ ∫ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫ (a : α), f a ∂μ ** exact integral_mul_left r f ** Qed
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MeasureTheory.integral_div ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α L : Type u_6 inst✝ : IsROrC L r : L f : α → L ⊢ ∫ (a : α), f a / r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) / r ** simpa only [← div_eq_mul_inv] using integral_mul_right r⁻¹ f ** Qed
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MeasureTheory.integral_congr_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G h : f =ᵐ[μ] g ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G h : f =ᵐ[μ] g hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G h : f =ᵐ[μ] g hG : CompleteSpace G ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0) = if h : True then if hf : Integrable fun a => g a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => g a) hf) else 0 else 0 ** exact setToFun_congr_ae (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) h ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → G h : f =ᵐ[μ] g hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.continuous_integral ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ⊢ Continuous fun f => ∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α hG : CompleteSpace G ⊢ Continuous fun f => ∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α hG : CompleteSpace G ⊢ Continuous fun f => if h : True then if hf : Integrable fun a => ↑↑f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => ↑↑f a) hf) else 0 else 0 ** exact continuous_setToFun (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α hG : ¬CompleteSpace G ⊢ Continuous fun f => ∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ ** simp [integral, hG, continuous_const] ** Qed
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MeasureTheory.ennnorm_integral_le_lintegral_ennnorm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G ⊢ ↑‖∫ (a : α), f a ∂μ‖₊ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ ** simp_rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G ⊢ ENNReal.ofReal ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ ** apply ENNReal.ofReal_le_of_le_toReal ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G ⊢ ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ) ** exact norm_integral_le_lintegral_norm f ** Qed
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MeasureTheory.integral_eq_zero_of_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → G hf : f =ᵐ[μ] 0 ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0 ** simp [integral_congr_ae hf, integral_zero] ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_integral_of_L1 ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 f : α → G hfi : Integrable f F : ι → α → G l : Filter ι hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ)) ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 f : α → G hfi : Integrable f F : ι → α → G l : Filter ι hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) hG : CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ)) ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 f : α → G hfi : Integrable f F : ι → α → G l : Filter ι hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) hG : CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun i => if h : True then if hf : Integrable fun x => F i x then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => F i x) hf) else 0 else 0) l (𝓝 (if h : True then if hf : Integrable fun x => f x then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0 else 0)) ** exact tendsto_setToFun_of_L1 (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) f hfi hFi hF ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 f : α → G hfi : Integrable f F : ι → α → G l : Filter ι hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) hG : ¬CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ)) ** simp [integral, hG, tendsto_const_nhds] ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_integral_of_dominated_convergence ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α F : ℕ → α → G f : α → G bound : α → ℝ F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ bound_integrable : Integrable bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) ⊢ Tendsto (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ)) ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α F : ℕ → α → G f : α → G bound : α → ℝ F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ bound_integrable : Integrable bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) hG : CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ)) ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α F : ℕ → α → G f : α → G bound : α → ℝ F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ bound_integrable : Integrable bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) hG : CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun n => if h : True then if hf : Integrable fun a => F n a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F n a) hf) else 0 else 0) atTop (𝓝 (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0)) ** exact tendsto_setToFun_of_dominated_convergence (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
bound F_measurable bound_integrable h_bound h_lim ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝² : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α F : ℕ → α → G f : α → G bound : α → ℝ F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ bound_integrable : Integrable bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) hG : ¬CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ)) ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_integral_filter_of_dominated_convergence ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l F : ι → α → G f : α → G bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a)) ⊢ Tendsto (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) l (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ)) ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l F : ι → α → G f : α → G bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a)) hG : CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) l (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ)) ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l F : ι → α → G f : α → G bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a)) hG : CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun n => if h : True then if hf : Integrable fun a => F n a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F n a) hf) else 0 else 0) l (𝓝 (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0)) ** exact tendsto_setToFun_filter_of_dominated_convergence (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
bound hF_meas h_bound bound_integrable h_lim ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l F : ι → α → G f : α → G bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a)) hG : ¬CompleteSpace G ⊢ Tendsto (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) l (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ)) ** simp [integral, hG, tendsto_const_nhds] ** Qed
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MeasureTheory.hasSum_integral_of_dominated_convergence ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) ⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ) ** have hb_nonneg : ∀ᵐ a ∂μ, ∀ n, 0 ≤ bound n a :=
eventually_countable_forall.2 fun n => (h_bound n).mono fun a => (norm_nonneg _).trans ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a ⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ) ** have hb_le_tsum : ∀ n, bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' n, bound n a := by
intro n
filter_upwards [hb_nonneg, bound_summable]
with _ ha0 ha_sum using le_tsum ha_sum _ fun i _ => ha0 i ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a ⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ) ** have hF_integrable : ∀ n, Integrable (F n) μ := by
refine' fun n => bound_integrable.mono' (hF_meas n) _
exact EventuallyLE.trans (h_bound n) (hb_le_tsum n) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) ⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ) ** simp only [HasSum, ← integral_finset_sum _ fun n _ => hF_integrable n] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) ⊢ Tendsto (fun s => ∫ (a : α), ∑ i in s, F i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ)) ** refine' tendsto_integral_filter_of_dominated_convergence
(fun a => ∑' n, bound n a) _ _ bound_integrable h_lim ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a ⊢ ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a ** intro n ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a n : ι ⊢ bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a ** filter_upwards [hb_nonneg, bound_summable]
with _ ha0 ha_sum using le_tsum ha_sum _ fun i _ => ha0 i ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a ⊢ ∀ (n : ι), Integrable (F n) ** refine' fun n => bound_integrable.mono' (hF_meas n) _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a n : ι ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ ∑' (n : ι), bound n a ** exact EventuallyLE.trans (h_bound n) (hb_le_tsum n) ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) ⊢ ∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ i in n, F i a) μ ** exact eventually_of_forall fun s => s.aestronglyMeasurable_sum fun n _ => hF_meas n ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) ⊢ ∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖∑ i in n, F i a‖ ≤ (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) a ** refine' eventually_of_forall fun s => _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) s : Finset ι ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖∑ i in s, F i a‖ ≤ (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) a ** filter_upwards [eventually_countable_forall.2 h_bound, hb_nonneg, bound_summable]
with a hFa ha0 has ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝³ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α ι : Type u_6 inst✝ : Countable ι F : ι → α → G f : α → G bound : ι → α → ℝ hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a bound_integrable : Integrable fun a => ∑' (n : ι), bound n a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a) hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) s : Finset ι a : α hFa : ∀ (i : ι), ‖F i a‖ ≤ bound i a ha0 : ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a has : Summable fun n => bound n a ⊢ ‖∑ i in s, F i a‖ ≤ ∑' (n : ι), bound n a ** calc
‖∑ n in s, F n a‖ ≤ ∑ n in s, bound n a := norm_sum_le_of_le _ fun n _ => hFa n
_ ≤ ∑' n, bound n a := sum_le_tsum _ (fun n _ => ha0 n) has ** Qed
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MeasureTheory.continuousWithinAt_of_dominated ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ s : Set X hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s x₀ ⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) s x₀ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ s : Set X hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s x₀ hG : CompleteSpace G ⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) s x₀ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ s : Set X hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s x₀ hG : CompleteSpace G ⊢ ContinuousWithinAt (fun x => if h : True then if hf : Integrable fun a => F x a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F x a) hf) else 0 else 0) s x₀ ** exact continuousWithinAt_setToFun_of_dominated (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
hF_meas h_bound bound_integrable h_cont ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ s : Set X hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s x₀ hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) s x₀ ** simp [integral, hG, continuousWithinAt_const] ** Qed
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MeasureTheory.continuousAt_of_dominated ** α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousAt (fun x => F x a) x₀ ⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) x₀ ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousAt (fun x => F x a) x₀ hG : CompleteSpace G ⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) x₀ ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousAt (fun x => F x a) x₀ hG : CompleteSpace G ⊢ ContinuousAt (fun x => if h : True then if hf : Integrable fun a => F x a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F x a) hf) else 0 else 0) x₀ ** exact continuousAt_setToFun_of_dominated (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
hF_meas h_bound bound_integrable h_cont ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F✝ : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝ inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝ inst✝⁴ : CompleteSpace F✝ G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X F : X → α → G x₀ : X bound : α → ℝ hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousAt (fun x => F x a) x₀ hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) x₀ ** simp [integral, hG, continuousAt_const] ** Qed
| |
MeasureTheory.integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ** by_cases hfi : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ** rw [integral_eq_lintegral_pos_part_sub_lintegral_neg_part hfi] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f h_min : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ = 0 ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) - ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ** rw [h_min, zero_toReal, _root_.sub_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ = 0 ** rw [lintegral_eq_zero_iff'] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (-f a)) =ᵐ[μ] 0 ** refine' hf.mono _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f ⊢ ∀ (x : α), OfNat.ofNat 0 x ≤ f x → (fun a => ENNReal.ofReal (-f a)) x = OfNat.ofNat 0 x ** simp only [Pi.zero_apply] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f ⊢ ∀ (x : α), 0 ≤ f x → ENNReal.ofReal (-f x) = 0 ** intro a h ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f a : α h : 0 ≤ f a ⊢ ENNReal.ofReal (-f a) = 0 ** simp only [h, neg_nonpos, ofReal_eq_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : Integrable f ⊢ AEMeasurable fun a => ENNReal.ofReal (-f a) ** exact measurable_ofReal.comp_aemeasurable hfm.aemeasurable.neg ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ¬Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ** rw [integral_undef hfi] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ¬Integrable f ⊢ 0 = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ** simp_rw [Integrable, hfm, hasFiniteIntegral_iff_norm, lt_top_iff_ne_top, Ne.def, true_and_iff,
Classical.not_not] at hfi ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ⊤ ⊢ 0 = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ** have : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (f a) ∂μ = ∫⁻ a, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ := by
refine' lintegral_congr_ae (hf.mono fun a h => _)
dsimp only
rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg h] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ⊤ this : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ ⊢ 0 = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ) ** rw [this, hfi] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ⊤ this : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ ⊢ 0 = ENNReal.toReal ⊤ ** rfl ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ ** refine' lintegral_congr_ae (hf.mono fun a h => _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ⊤ a : α h : OfNat.ofNat 0 a ≤ f a ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (f a)) a = (fun a => ENNReal.ofReal ‖f a‖) a ** dsimp only ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfm : AEStronglyMeasurable f μ hfi : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ⊤ a : α h : OfNat.ofNat 0 a ≤ f a ⊢ ENNReal.ofReal (f a) = ENNReal.ofReal ‖f a‖ ** rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg h] ** Qed
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MeasureTheory.integral_norm_eq_lintegral_nnnorm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X P : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup P f : α → P hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ = ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ) ** rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae _ hf.norm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X P : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup P f : α → P hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ) ** simp_rw [ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X P : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup P f : α → P hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun x => ‖f x‖ ** refine' ae_of_all _ _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X P : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup P f : α → P hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ∀ (a : α), OfNat.ofNat 0 a ≤ (fun x => ‖f x‖) a ** simp_rw [Pi.zero_apply, norm_nonneg, imp_true_iff] ** Qed
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MeasureTheory.ofReal_integral_norm_eq_lintegral_nnnorm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X P : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup P f : α → P hf : Integrable f ⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ ** rw [integral_norm_eq_lintegral_nnnorm hf.aestronglyMeasurable,
ENNReal.ofReal_toReal (lt_top_iff_ne_top.mp hf.2)] ** Qed
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MeasureTheory.integral_eq_integral_pos_part_sub_integral_neg_part ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), ↑(Real.toNNReal (f a)) ∂μ - ∫ (a : α), ↑(Real.toNNReal (-f a)) ∂μ ** rw [← integral_sub hf.real_toNNReal] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), ↑(Real.toNNReal (f a)) - ↑(Real.toNNReal (-f a)) ∂μ ** simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ Integrable fun a => ↑(Real.toNNReal (-f a)) ** exact hf.neg.real_toNNReal ** Qed
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MeasureTheory.lintegral_coe_eq_integral ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0 hfi : Integrable fun x => ↑(f x) ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), ↑(f a) ∂μ) ** simp_rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae (eventually_of_forall fun x => (f x).coe_nonneg)
hfi.aestronglyMeasurable, ← ENNReal.coe_nnreal_eq] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0 hfi : Integrable fun x => ↑(f x) ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ = ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ)) ** rw [ENNReal.ofReal_toReal] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0 hfi : Integrable fun x => ↑(f x) ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ⊤ ** rw [← lt_top_iff_ne_top] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0 hfi : Integrable fun x => ↑(f x) ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤ ** convert hfi.hasFiniteIntegral ** case a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0 hfi : Integrable fun x => ↑(f x) ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤ ↔ HasFiniteIntegral fun x => ↑(f x) ** simp_rw [HasFiniteIntegral, NNReal.nnnorm_eq] ** Qed
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MeasureTheory.ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hfi : Integrable f f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), f x ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ** simp_rw [integral_congr_ae (show f =ᵐ[μ] fun x => ‖f x‖ by
filter_upwards [f_nn] with x hx
rw [Real.norm_eq_abs, abs_eq_self.mpr hx]),
ofReal_integral_norm_eq_lintegral_nnnorm hfi, ← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hfi : Integrable f f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal ‖f x‖ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ** apply lintegral_congr_ae ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hfi : Integrable f f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal ‖f a‖) =ᵐ[μ] fun a => ENNReal.ofReal (f a) ** filter_upwards [f_nn] with x hx ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hfi : Integrable f f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f x : α hx : OfNat.ofNat 0 x ≤ f x ⊢ ENNReal.ofReal ‖f x‖ = ENNReal.ofReal (f x) ** exact congr_arg ENNReal.ofReal (by rw [Real.norm_eq_abs, abs_eq_self.mpr hx]) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hfi : Integrable f f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ f =ᵐ[μ] fun x => ‖f x‖ ** filter_upwards [f_nn] with x hx ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hfi : Integrable f f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f x : α hx : OfNat.ofNat 0 x ≤ f x ⊢ f x = ‖f x‖ ** rw [Real.norm_eq_abs, abs_eq_self.mpr hx] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hfi : Integrable f f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f x : α hx : OfNat.ofNat 0 x ≤ f x ⊢ ‖f x‖ = f x ** rw [Real.norm_eq_abs, abs_eq_self.mpr hx] ** Qed
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MeasureTheory.integral_toReal ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0∞ hfm : AEMeasurable f hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ ∫ (a : α), ENNReal.toReal (f a) ∂μ = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ** rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae _ hfm.ennreal_toReal.aestronglyMeasurable] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0∞ hfm : AEMeasurable f hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a)) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ** rw [lintegral_congr_ae] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0∞ hfm : AEMeasurable f hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) =ᵐ[μ] fun a => f a ** refine' hf.mp (eventually_of_forall _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0∞ hfm : AEMeasurable f hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ ∀ (x : α), f x < ⊤ → (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) x = (fun a => f a) x ** intro x hx ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0∞ hfm : AEMeasurable f hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ x : α hx : f x < ⊤ ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) x = (fun a => f a) x ** rw [lt_top_iff_ne_top] at hx ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0∞ hfm : AEMeasurable f hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ x : α hx : f x ≠ ⊤ ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a))) x = (fun a => f a) x ** simp [hx] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0∞ hfm : AEMeasurable f hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun x => ENNReal.toReal (f x) ** exact eventually_of_forall fun x => ENNReal.toReal_nonneg ** Qed
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MeasureTheory.lintegral_coe_le_coe_iff_integral_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ≥0 hfi : Integrable fun x => ↑(f x) b : ℝ≥0 ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b ↔ ∫ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b ** rw [lintegral_coe_eq_integral f hfi, ENNReal.ofReal, ENNReal.coe_le_coe,
Real.toNNReal_le_iff_le_coe] ** Qed
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MeasureTheory.integral_nonpos_of_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : f ≤ᵐ[μ] 0 ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0 ** have hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f := hf.mono fun a h => by rwa [Pi.neg_apply, Pi.zero_apply, neg_nonneg] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf✝ : f ≤ᵐ[μ] 0 hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0 ** have : 0 ≤ ∫ a, -f a ∂μ := integral_nonneg_of_ae hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf✝ : f ≤ᵐ[μ] 0 hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f this : 0 ≤ ∫ (a : α), -f a ∂μ ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0 ** rwa [integral_neg, neg_nonneg] at this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : f ≤ᵐ[μ] 0 a : α h : f a ≤ OfNat.ofNat 0 a ⊢ OfNat.ofNat 0 a ≤ (-f) a ** rwa [Pi.neg_apply, Pi.zero_apply, neg_nonneg] ** Qed
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MeasureTheory.integral_eq_zero_iff_of_nonneg_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0 ** simp_rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae hf hfi.1, ENNReal.toReal_eq_zero_iff,
← ENNReal.not_lt_top, ← hasFiniteIntegral_iff_ofReal hf, hfi.2, or_false_iff] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0 ** rw [lintegral_eq_zero_iff'] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (f a)) =ᵐ[μ] 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0 ** rw [← hf.le_iff_eq, Filter.EventuallyEq, Filter.EventuallyLE] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ENNReal.ofReal (f x) = OfNat.ofNat 0 x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≤ OfNat.ofNat 0 x ** simp only [Pi.zero_apply, ofReal_eq_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ AEMeasurable fun a => ENNReal.ofReal (f a) ** exact (ENNReal.measurable_ofReal.comp_aemeasurable hfi.1.aemeasurable) ** Qed
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MeasureTheory.integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ 0 < ∫ (x : α), f x ∂μ ↔ 0 < ↑↑μ (Function.support f) ** simp_rw [(integral_nonneg_of_ae hf).lt_iff_ne, pos_iff_ne_zero, Ne.def, @eq_comm ℝ 0,
integral_eq_zero_iff_of_nonneg_ae hf hfi, Filter.EventuallyEq, ae_iff, Pi.zero_apply,
Function.support] ** Qed
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MeasureTheory.L1.norm_eq_integral_norm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : { x // x ∈ Lp H 1 } ⊢ ‖f‖ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ ** simp only [snorm, snorm', ENNReal.one_toReal, ENNReal.rpow_one, Lp.norm_def, if_false,
ENNReal.one_ne_top, one_ne_zero, _root_.div_one] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : { x // x ∈ Lp H 1 } ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ) = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ ** rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae (eventually_of_forall (by simp [norm_nonneg]))
(Lp.aestronglyMeasurable f).norm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : { x // x ∈ Lp H 1 } ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑↑f a‖ ∂μ) ** simp [ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : { x // x ∈ Lp H 1 } ⊢ ∀ (x : α), OfNat.ofNat 0 x ≤ ‖↑↑f x‖ ** simp [norm_nonneg] ** Qed
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MeasureTheory.L1.dist_eq_integral_dist ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f g : { x // x ∈ Lp H 1 } ⊢ dist f g = ∫ (a : α), dist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ ** simp only [dist_eq_norm, L1.norm_eq_integral_norm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f g : { x // x ∈ Lp H 1 } ⊢ ∫ (a : α), ‖↑↑(f - g) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a - ↑↑g a‖ ∂μ ** exact integral_congr_ae <| (Lp.coeFn_sub _ _).fun_comp norm ** Qed
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MeasureTheory.L1.norm_of_fun_eq_integral_norm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H hf : Integrable f ⊢ ‖Integrable.toL1 f hf‖ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ ** rw [L1.norm_eq_integral_norm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H hf : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ ** refine' integral_congr_ae _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H hf : Integrable f ⊢ (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) =ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ** apply hf.coeFn_toL1.mono ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H hf : Integrable f ⊢ ∀ (x : α), ↑↑(Integrable.toL1 f hf) x = f x → (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) x = (fun a => ‖f a‖) x ** intro a ha ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H hf : Integrable f a : α ha : ↑↑(Integrable.toL1 f hf) a = f a ⊢ (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) a = (fun a => ‖f a‖) a ** simp_rw [ha] ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p ⊢ snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹) ** have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
apply lintegral_congr
intro x
rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm,
← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹) ** simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹) ** rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ = ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹) case hf α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p case hfm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) μ ** rotate_left ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ = ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹) ** rw [A, ← ofReal_rpow_of_nonneg toReal_nonneg (inv_nonneg.2 toReal_nonneg), ofReal_toReal] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ** apply lintegral_congr ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p ⊢ ∀ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) = ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ** intro x ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p x : α ⊢ ENNReal.ofReal (‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p) = ↑(‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ** rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm,
← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg] ** case hf α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ** exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _ ** case hfm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) μ ** exact (hf.aestronglyMeasurable.norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ ** simp_rw [← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ≠ ⊤ ** simp_rw [← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ toReal_nonneg] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X H : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup H f : α → H p : ℝ≥0∞ hp1 : p ≠ 0 hp2 : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤ ** exact (lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm_lt_top hp1 hp2 hf.2).ne ** Qed
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MeasureTheory.integral_mono_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ ** have A : CompleteSpace ℝ := by infer_instance ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g A : CompleteSpace ℝ ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ ** simp only [integral, A, L1.integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g A : CompleteSpace ℝ ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun a => f a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0) ≤ if h : True then if hf : Integrable fun a => g a then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => g a) hf) else 0 else 0 ** exact setToFun_mono (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
(fun s _ _ => weightedSMul_nonneg s) hf hg h ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ CompleteSpace ℝ ** infer_instance ** Qed
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MeasureTheory.integral_mono_of_nonneg ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hgi : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ ** by_cases hfm : AEStronglyMeasurable f μ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hgi : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g hfm : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ ** refine' integral_mono_ae ⟨hfm, _⟩ hgi h ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hgi : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g hfm : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ HasFiniteIntegral fun a => f a ** refine' hgi.hasFiniteIntegral.mono <| h.mp <| hf.mono fun x hf hfg => _ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf✝ : 0 ≤ᵐ[μ] f hgi : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g hfm : AEStronglyMeasurable f μ x : α hf : OfNat.ofNat 0 x ≤ f x hfg : f x ≤ g x ⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g x‖ ** simpa [abs_of_nonneg hf, abs_of_nonneg (le_trans hf hfg)] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hgi : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g hfm : ¬AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ ** rw [integral_non_aestronglyMeasurable hfm] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f g : α → ℝ hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hgi : Integrable g h : f ≤ᵐ[μ] g hfm : ¬AEStronglyMeasurable f μ ⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ ** exact integral_nonneg_of_ae (hf.trans h) ** Qed
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MeasureTheory.integral_mono_measure ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ ν : Measure α hle : μ ≤ ν hf : 0 ≤ᵐ[ν] f hfi : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν ** have hfi' : Integrable f μ := hfi.mono_measure hle ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ ν : Measure α hle : μ ≤ ν hf : 0 ≤ᵐ[ν] f hfi : Integrable f hfi' : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν ** have hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f := hle.absolutelyContinuous hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ ν : Measure α hle : μ ≤ ν hf : 0 ≤ᵐ[ν] f hfi : Integrable f hfi' : Integrable f hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν ** rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae hf' hfi'.1, integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae hf hfi.1,
ENNReal.toReal_le_toReal] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ ν : Measure α hle : μ ≤ ν hf : 0 ≤ᵐ[ν] f hfi : Integrable f hfi' : Integrable f hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν case ha α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ ν : Measure α hle : μ ≤ ν hf : 0 ≤ᵐ[ν] f hfi : Integrable f hfi' : Integrable f hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≠ ⊤ case hb α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → ℝ ν : Measure α hle : μ ≤ ν hf : 0 ≤ᵐ[ν] f hfi : Integrable f hfi' : Integrable f hf' : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν ≠ ⊤ ** exacts [lintegral_mono' hle le_rfl, ((hasFiniteIntegral_iff_ofReal hf').1 hfi'.2).ne,
((hasFiniteIntegral_iff_ofReal hf).1 hfi.2).ne] ** Qed
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MeasureTheory.norm_integral_le_integral_norm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → G le_ae : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ ‖f a‖ h : ¬AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ ** rw [integral_non_aestronglyMeasurable h, norm_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α → G le_ae : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ ‖f a‖ h : ¬AEStronglyMeasurable f μ ⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ ** exact integral_nonneg_of_ae le_ae ** Qed
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MeasureTheory.SimpleFunc.integral_eq_sum ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α →ₛ E hfi : Integrable ↑f ⊢ ∫ (x : α), ↑f x ∂μ = ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) • x ** rw [← f.integral_eq_integral hfi, SimpleFunc.integral, ← SimpleFunc.integral_eq] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X f : α →ₛ E hfi : Integrable ↑f ⊢ setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f = integral μ f ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.norm_integral_le_of_norm_le_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → G C : ℝ h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C ⊢ ∫ (x : α), C ∂μ = C * ENNReal.toReal (↑↑μ univ) ** rw [integral_const, smul_eq_mul, mul_comm] ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_integral_approxOn_of_measurable ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hfi : Integrable f hfm : Measurable f hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s y₀ : E h₀ : y₀ ∈ s h₀i : Integrable fun x => y₀ ⊢ Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ)) ** have hfi' := SimpleFunc.integrable_approxOn hfm hfi h₀ h₀i ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hfi : Integrable f hfm : Measurable f hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s y₀ : E h₀ : y₀ ∈ s h₀i : Integrable fun x => y₀ hfi' : ∀ (n : ℕ), Integrable ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) ⊢ Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ)) ** simp only [SimpleFunc.integral_eq_integral _ (hfi' _), integral, hE, L1.integral] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hfi : Integrable f hfm : Measurable f hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s y₀ : E h₀ : y₀ ∈ s h₀i : Integrable fun x => y₀ hfi' : ∀ (n : ℕ), Integrable ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) ⊢ Tendsto (fun n => if h : True then if hf : Integrable fun x => ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) x then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) x) hf) else 0 else 0) atTop (𝓝 (if h : True then if hf : Integrable fun x => f x then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0 else 0)) ** exact tendsto_setToFun_approxOn_of_measurable (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
hfi hfm hs h₀ h₀i ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_integral_approxOn_of_measurable_of_range_subset ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : range f ∪ {0} ⊆ s n : ℕ ⊢ 0 ∈ range f ∪ {0} ** simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : range f ∪ {0} ⊆ s ⊢ Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f fmeas s 0 (_ : 0 ∈ s) n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ)) ** apply tendsto_integral_approxOn_of_measurable hf fmeas _ _ (integrable_zero _ _ _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : range f ∪ {0} ⊆ s ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s ** exact eventually_of_forall fun x => subset_closure (hs (Set.mem_union_left _ (mem_range_self _))) ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_integral_norm_approxOn_sub ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0}) n : ℕ x : α ⊢ 0 ∈ range f ∪ {0} ** simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0}) ⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), ‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ range f ∪ {0}) n) x - f x‖ ∂μ) atTop (𝓝 0) ** convert (tendsto_toReal zero_ne_top).comp (tendsto_approxOn_range_L1_nnnorm fmeas hf) with n ** case h.e'_3.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0}) n : ℕ ⊢ ∫ (x : α), ‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ range f ∪ {0}) n) x - f x‖ ∂μ = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ range f ∪ {0}) n) x - f x‖₊ ∂μ) n ** rw [integral_norm_eq_lintegral_nnnorm] ** case h.e'_3.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0}) n : ℕ ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ range f ∪ {0}) n) x - f x‖₊ ∂μ) = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ range f ∪ {0}) n) x - f x‖₊ ∂μ) n ** simp ** case h.e'_3.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0}) n : ℕ ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 (_ : 0 ∈ range f ∪ {0}) n) x - f x) μ ** apply (SimpleFunc.aestronglyMeasurable _).sub ** case h.e'_3.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0}) n : ℕ ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x) μ ** apply (stronglyMeasurable_iff_measurable_separable.2 ⟨fmeas, ?_⟩ ).aestronglyMeasurable ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0}) n : ℕ ⊢ IsSeparable (range f) ** exact (isSeparable_of_separableSpace_subtype (range f ∪ {0})).mono (subset_union_left _ _) ** Qed
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MeasureTheory.integral_zero_measure ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α m : MeasurableSpace α f : α → G ⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0 ** by_cases hG : CompleteSpace G ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α m : MeasurableSpace α f : α → G hG : CompleteSpace G ⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0 ** simp only [integral, hG, L1.integral] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α m : MeasurableSpace α f : α → G hG : CompleteSpace G ⊢ (if h : True then if hf : Integrable fun x => f x then ↑L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0 else 0) = 0 ** exact setToFun_measure_zero (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul _) rfl ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α m : MeasurableSpace α f : α → G hG : ¬CompleteSpace G ⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0 ** simp [integral, hG] ** Qed
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MeasureTheory.nndist_integral_add_measure_le_lintegral ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α f : α → G h₁ : Integrable f h₂ : Integrable f ⊢ ↑(nndist (∫ (x : α), f x ∂μ) (∫ (x : α), f x ∂(μ + ν))) ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν ** rw [integral_add_measure h₁ h₂, nndist_comm, nndist_eq_nnnorm, add_sub_cancel'] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α f : α → G h₁ : Integrable f h₂ : Integrable f ⊢ ↑‖∫ (x : α), f x ∂ν‖₊ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν ** exact ennnorm_integral_le_lintegral_ennnorm _ ** Qed
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MeasurableEmbedding.integral_map ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α β : Type u_7 x✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : MeasurableEmbedding f g : β → G ⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ ** by_cases hgm : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α β : Type u_7 x✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : MeasurableEmbedding f g : β → G hgm : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) ⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ ** exact MeasureTheory.integral_map hf.measurable.aemeasurable hgm ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α β : Type u_7 x✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : MeasurableEmbedding f g : β → G hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) ⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ ** rw [integral_non_aestronglyMeasurable hgm, integral_non_aestronglyMeasurable] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α β : Type u_7 x✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : MeasurableEmbedding f g : β → G hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) ⊢ ¬AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ ** refine' fun hgf => hgm (hf.aestronglyMeasurable_map_iff.2 hgf) ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_eq_subtype' ** α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α✝ → E m : MeasurableSpace α✝ μ✝ : Measure α✝ X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α✝ α : Type u_7 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α s : Set α hs : MeasurableSet s f : α → G ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : ↑s), f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ ** rw [← map_comap_subtype_coe hs] ** α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α✝ → E m : MeasurableSpace α✝ μ✝ : Measure α✝ X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α✝ α : Type u_7 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α s : Set α hs : MeasurableSet s f : α → G ⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val μ) = ∫ (x : ↑s), f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ ** exact (MeasurableEmbedding.subtype_coe hs).integral_map _ ** Qed
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MeasureTheory.integral_dirac' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : MeasurableSpace α f : α → E a : α hfm : StronglyMeasurable f ⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a ** borelize E ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : MeasurableSpace α f : α → E a : α hfm : StronglyMeasurable f this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E ⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a ** calc
∫ x, f x ∂Measure.dirac a = ∫ _, f a ∂Measure.dirac a :=
integral_congr_ae <| ae_eq_dirac' hfm.measurable
_ = f a := by simp [Measure.dirac_apply_of_mem] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : MeasurableSpace α f : α → E a : α hfm : StronglyMeasurable f this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E ⊢ ∫ (x : α), f a ∂Measure.dirac a = f a ** simp [Measure.dirac_apply_of_mem] ** Qed
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MeasureTheory.integral_dirac ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝³ : TopologicalSpace X inst✝² : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSingletonClass α f : α → E a : α ⊢ ∫ (x : α), f a ∂Measure.dirac a = f a ** simp [Measure.dirac_apply_of_mem] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_dirac' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α mα : MeasurableSpace α f : α → E hf : StronglyMeasurable f a : α s : Set α hs : MeasurableSet s inst✝ : Decidable (a ∈ s) ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0 ** rw [restrict_dirac' hs] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α mα : MeasurableSpace α f : α → E hf : StronglyMeasurable f a : α s : Set α hs : MeasurableSet s inst✝ : Decidable (a ∈ s) ⊢ (∫ (x : α), f x ∂if a ∈ s then Measure.dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0 ** split_ifs ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α mα : MeasurableSpace α f : α → E hf : StronglyMeasurable f a : α s : Set α hs : MeasurableSet s inst✝ : Decidable (a ∈ s) h✝ : a ∈ s ⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a ** exact integral_dirac' _ _ hf ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α mα : MeasurableSpace α f : α → E hf : StronglyMeasurable f a : α s : Set α hs : MeasurableSet s inst✝ : Decidable (a ∈ s) h✝ : ¬a ∈ s ⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0 ** exact integral_zero_measure _ ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_dirac ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α f : α → E a : α s : Set α inst✝ : Decidable (a ∈ s) ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0 ** rw [restrict_dirac] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α f : α → E a : α s : Set α inst✝ : Decidable (a ∈ s) ⊢ (∫ (x : α), f x ∂if a ∈ s then Measure.dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0 ** split_ifs ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α f : α → E a : α s : Set α inst✝ : Decidable (a ∈ s) h✝ : a ∈ s ⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a ** exact integral_dirac _ _ ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α f : α → E a : α s : Set α inst✝ : Decidable (a ∈ s) h✝ : ¬a ∈ s ⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0 ** exact integral_zero_measure _ ** Qed
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MeasureTheory.mul_meas_ge_le_integral_of_nonneg ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α f : α → ℝ hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f hf_int : Integrable f ε : ℝ ⊢ ε * ENNReal.toReal (↑↑μ {x | ε ≤ f x}) ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ ** cases' eq_top_or_lt_top (μ {x | ε ≤ f x}) with hμ hμ ** case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α f : α → ℝ hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f hf_int : Integrable f ε : ℝ hμ : ↑↑μ {x | ε ≤ f x} = ⊤ ⊢ ε * ENNReal.toReal (↑↑μ {x | ε ≤ f x}) ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ ** simpa [hμ] using integral_nonneg_of_ae hf_nonneg ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α f : α → ℝ hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f hf_int : Integrable f ε : ℝ hμ : ↑↑μ {x | ε ≤ f x} < ⊤ ⊢ ε * ENNReal.toReal (↑↑μ {x | ε ≤ f x}) ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ ** have := Fact.mk hμ ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α f : α → ℝ hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f hf_int : Integrable f ε : ℝ hμ : ↑↑μ {x | ε ≤ f x} < ⊤ this : Fact (↑↑μ {x | ε ≤ f x} < ⊤) ⊢ ε * ENNReal.toReal (↑↑μ {x | ε ≤ f x}) ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ ** calc
ε * (μ { x | ε ≤ f x }).toReal = ∫ _ in {x | ε ≤ f x}, ε ∂μ := by simp [mul_comm]
_ ≤ ∫ x in {x | ε ≤ f x}, f x ∂μ :=
integral_mono_ae (integrable_const _) (hf_int.mono_measure μ.restrict_le_self) <|
ae_restrict_mem₀ <| hf_int.aemeasurable.nullMeasurable measurableSet_Ici
_ ≤ _ := integral_mono_measure μ.restrict_le_self hf_nonneg hf_int ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν : Measure α f : α → ℝ hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f hf_int : Integrable f ε : ℝ hμ : ↑↑μ {x | ε ≤ f x} < ⊤ this : Fact (↑↑μ {x | ε ≤ f x} < ⊤) ⊢ ε * ENNReal.toReal (↑↑μ {x | ε ≤ f x}) = ∫ (x : α) in {x | ε ≤ f x}, ε ∂μ ** simp [mul_comm] ** Qed
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MeasureTheory.integral_mul_norm_le_Lp_mul_Lq ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ** rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae, integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae,
integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q) case hf α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖g a‖ ^ q case hfm α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖g a‖ ^ q) μ case hf α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ p case hfm α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ case hf α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖ case hfm α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ ** rotate_left ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q) ** rw [ENNReal.toReal_rpow, ENNReal.toReal_rpow, ← ENNReal.toReal_mul] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤ ENNReal.toReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)) ** have h_left : ∫⁻ a, ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ =
∫⁻ a, ((fun x => (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞)) * fun x => (‖g x‖₊ : ℝ≥0∞)) a ∂μ := by
simp_rw [Pi.mul_apply, ← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_mul (norm_nonneg _)] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤ ENNReal.toReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)) ** have h_right_f : ∫⁻ a, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ := by
refine' lintegral_congr fun x => _
rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.nonneg] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤ ENNReal.toReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)) ** have h_right_g : ∫⁻ a, ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ a, (‖g a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂μ := by
refine' lintegral_congr fun x => _
rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.symm.nonneg] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤ ENNReal.toReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)) ** rw [h_left, h_right_f, h_right_g] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ) ≤ ENNReal.toReal ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)) ** refine' ENNReal.toReal_mono _ _ ** case hf α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖g a‖ ^ q ** exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _ ** case hfm α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖g a‖ ^ q) μ ** exact (hg.1.norm.aemeasurable.pow aemeasurable_const).aestronglyMeasurable ** case hf α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ p ** exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _ ** case hfm α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ ** exact (hf.1.norm.aemeasurable.pow aemeasurable_const).aestronglyMeasurable ** case hf α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖ ** exact eventually_of_forall fun x => mul_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _) ** case hfm α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ ** exact hf.1.norm.mul hg.1.norm ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ ** simp_rw [Pi.mul_apply, ← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_mul (norm_nonneg _)] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ ** refine' lintegral_congr fun x => _ ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ x : α ⊢ ENNReal.ofReal (‖f x‖ ^ p) = ↑‖f x‖₊ ^ p ** rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.nonneg] ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ** refine' lintegral_congr fun x => _ ** α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ x : α ⊢ ENNReal.ofReal (‖g x‖ ^ q) = ↑‖g x‖₊ ^ q ** rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.symm.nonneg] ** case refine'_1 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤ ** refine' ENNReal.mul_ne_top _ _ ** case refine'_1.refine'_1 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤ ** convert hf.snorm_ne_top ** case h.e'_2 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = snorm f (ENNReal.ofReal p) μ ** rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm] ** case h.e'_2 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal p) ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal p)) ** rw [ENNReal.toReal_ofReal hpq.nonneg] ** case h.e'_2.hp_ne_zero α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ ENNReal.ofReal p ≠ 0 ** rw [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] ** case h.e'_2.hp_ne_zero α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ 0 < p ** exact hpq.pos ** case h.e'_2.hp_ne_top α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ ENNReal.ofReal p ≠ ⊤ ** exact ENNReal.coe_ne_top ** case refine'_1.refine'_2 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤ ** convert hg.snorm_ne_top ** case h.e'_2 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) = snorm g (ENNReal.ofReal q) μ ** rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm] ** case h.e'_2 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) = (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal q) ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal q)) ** rw [ENNReal.toReal_ofReal hpq.symm.nonneg] ** case h.e'_2.hp_ne_zero α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ ENNReal.ofReal q ≠ 0 ** rw [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] ** case h.e'_2.hp_ne_zero α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ 0 < q ** exact hpq.symm.pos ** case h.e'_2.hp_ne_top α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ ENNReal.ofReal q ≠ ⊤ ** exact ENNReal.coe_ne_top ** case refine'_2 α : Type u_1 E✝ : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝ inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝ hE : CompleteSpace E✝ inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝ inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g✝ : α → E✝ m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α E : Type u_7 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : α → E p q : ℝ hpq : Real.IsConjugateExponent p q hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ** exact ENNReal.lintegral_mul_le_Lp_mul_Lq μ hpq hf.1.nnnorm.aemeasurable.coe_nnreal_ennreal
hg.1.nnnorm.aemeasurable.coe_nnreal_ennreal ** Qed
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MeasureTheory.integral_countable' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α X : Type u_6 inst✝³ : TopologicalSpace X inst✝² : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝¹ : Countable α inst✝ : MeasurableSingletonClass α μ : Measure α f : α → E hf : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), ENNReal.toReal (↑↑μ {a}) • f a ** rw [← Measure.sum_smul_dirac μ, integral_sum_measure hf] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α X : Type u_6 inst✝³ : TopologicalSpace X inst✝² : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝¹ : Countable α inst✝ : MeasurableSingletonClass α μ : Measure α f : α → E hf : Integrable f ⊢ ∑' (i : α), ∫ (a : α), f a ∂↑↑μ {i} • Measure.dirac i = ∑' (a : α), ENNReal.toReal (↑↑(Measure.sum fun a => ↑↑μ {a} • Measure.dirac a) {a}) • f a ** congr 1 with a : 1 ** case e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α X : Type u_6 inst✝³ : TopologicalSpace X inst✝² : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝¹ : Countable α inst✝ : MeasurableSingletonClass α μ : Measure α f : α → E hf : Integrable f a : α ⊢ ∫ (a : α), f a ∂↑↑μ {a} • Measure.dirac a = ENNReal.toReal (↑↑(Measure.sum fun a => ↑↑μ {a} • Measure.dirac a) {a}) • f a ** rw [integral_smul_measure, integral_dirac, Measure.sum_smul_dirac] ** Qed
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MeasureTheory.integral_singleton' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α X : Type u_6 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X ν μ : Measure α f : α → E hf : StronglyMeasurable f a : α ⊢ ∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ {a}) • f a ** simp only [Measure.restrict_singleton, integral_smul_measure, integral_dirac' f a hf, smul_eq_mul,
mul_comm] ** Qed
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MeasureTheory.integral_singleton ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : MeasurableSingletonClass α μ : Measure α f : α → E a : α ⊢ ∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ {a}) • f a ** simp only [Measure.restrict_singleton, integral_smul_measure, integral_dirac, smul_eq_mul,
mul_comm] ** Qed
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MeasureTheory.integral_finset ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : MeasurableSingletonClass α s : Finset α f : α → E hf : Integrable f ⊢ ∫ (x : α) in ↑s, f x ∂μ = ∑ x in s, ENNReal.toReal (↑↑μ {x}) • f x ** rw [integral_countable _ s.countable_toSet hf, ← Finset.tsum_subtype'] ** Qed
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MeasureTheory.integral_unique ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : Unique α f : α → E ⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f default ∂μ ** congr with x ** case e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : Unique α f : α → E x : α ⊢ f x = f default ** congr ** case e_f.h.e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : Unique α f : α → E x : α ⊢ x = default ** exact Unique.uniq _ x ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G f✝ g : α → E m : MeasurableSpace α μ : Measure α X : Type u_6 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : FirstCountableTopology X ν : Measure α inst✝ : Unique α f : α → E ⊢ ∫ (x : α), f default ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ univ) • f default ** rw [integral_const] ** Qed
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MeasureTheory.integral_trim_simpleFunc ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β →ₛ F hf_int : Integrable ↑f ⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂Measure.trim μ hm ** have hf : StronglyMeasurable[m] f := @SimpleFunc.stronglyMeasurable β F m _ f ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β →ₛ F hf_int : Integrable ↑f hf : StronglyMeasurable ↑f ⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂Measure.trim μ hm ** have hf_int_m := hf_int.trim hm hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β →ₛ F hf_int : Integrable ↑f hf : StronglyMeasurable ↑f hf_int_m : Integrable ↑f ⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂Measure.trim μ hm ** rw [integral_simpleFunc_larger_space (le_refl m) f hf_int_m,
integral_simpleFunc_larger_space hm f hf_int] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β →ₛ F hf_int : Integrable ↑f hf : StronglyMeasurable ↑f hf_int_m : Integrable ↑f ⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) • x = ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑(Measure.trim μ hm) (↑f ⁻¹' {x})) • x ** congr with x ** case e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β →ₛ F hf_int : Integrable ↑f hf : StronglyMeasurable ↑f hf_int_m : Integrable ↑f x : F ⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) • x = ENNReal.toReal (↑↑(Measure.trim μ hm) (↑f ⁻¹' {x})) • x ** congr 2 ** case e_f.h.e_a.e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β →ₛ F hf_int : Integrable ↑f hf : StronglyMeasurable ↑f hf_int_m : Integrable ↑f x : F ⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) = ↑↑(Measure.trim μ hm) (↑f ⁻¹' {x}) ** exact (trim_measurableSet_eq hm (@SimpleFunc.measurableSet_fiber β F m f x)).symm ** Qed
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MeasureTheory.integral_trim_ae ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β → G hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂Measure.trim μ hm ** rw [integral_congr_ae (ae_eq_of_ae_eq_trim hf.ae_eq_mk), integral_congr_ae hf.ae_eq_mk] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 f : β → G hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (a : β), AEStronglyMeasurable.mk f hf a ∂μ = ∫ (a : β), AEStronglyMeasurable.mk f hf a ∂Measure.trim μ hm ** exact integral_trim hm hf.stronglyMeasurable_mk ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_trim_of_stronglyMeasurable ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝² : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β inst✝¹ : TopologicalSpace γ inst✝ : MetrizableSpace γ hm : m ≤ m0 f g : β → γ hf : StronglyMeasurable f hg : StronglyMeasurable g hfg : f =ᵐ[μ] g ⊢ f =ᵐ[Measure.trim μ hm] g ** rwa [EventuallyEq, @ae_iff _ m, trim_measurableSet_eq hm _] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G inst✝³ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝² : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β inst✝¹ : TopologicalSpace γ inst✝ : MetrizableSpace γ hm : m ≤ m0 f g : β → γ hf : StronglyMeasurable f hg : StronglyMeasurable g hfg : f =ᵐ[μ] g ⊢ MeasurableSet {a | ¬f a = g a} ** exact (hf.measurableSet_eq_fun hg).compl ** Qed
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MeasureTheory.ae_le_trim_of_stronglyMeasurable ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β inst✝³ : LinearOrder γ inst✝² : TopologicalSpace γ inst✝¹ : OrderClosedTopology γ inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ hm : m ≤ m0 f g : β → γ hf : StronglyMeasurable f hg : StronglyMeasurable g hfg : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ f ≤ᵐ[Measure.trim μ hm] g ** rwa [EventuallyLE, @ae_iff _ m, trim_measurableSet_eq hm _] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 𝕜 : Type u_4 inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E hE : CompleteSpace E inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F G : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G H : Type u_6 β : Type u_7 γ : Type u_8 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β inst✝³ : LinearOrder γ inst✝² : TopologicalSpace γ inst✝¹ : OrderClosedTopology γ inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ hm : m ≤ m0 f g : β → γ hf : StronglyMeasurable f hg : StronglyMeasurable g hfg : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ MeasurableSet {a | ¬f a ≤ g a} ** exact (hf.measurableSet_le hg).compl ** Qed
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MeasureTheory.ProbabilityMeasure.apply_mono ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω s₁ s₂ : Set Ω h : s₁ ⊆ s₂ ⊢ (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑μ s)) s₁ ≤ (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑μ s)) s₂ ** rw [← coeFn_comp_toFiniteMeasure_eq_coeFn] ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω s₁ s₂ : Set Ω h : s₁ ⊆ s₂ ⊢ (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑(toFiniteMeasure μ) s)) s₁ ≤ (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑(toFiniteMeasure μ) s)) s₂ ** exact MeasureTheory.FiniteMeasure.apply_mono _ h ** Qed
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MeasureTheory.ProbabilityMeasure.nonempty ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω ⊢ Nonempty Ω ** by_contra maybe_empty ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω maybe_empty : ¬Nonempty Ω ⊢ False ** have zero : (μ : Measure Ω) univ = 0 := by
rw [univ_eq_empty_iff.mpr (not_nonempty_iff.mp maybe_empty), measure_empty] ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω maybe_empty : ¬Nonempty Ω zero : ↑↑↑μ univ = 0 ⊢ False ** rw [measure_univ] at zero ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω maybe_empty : ¬Nonempty Ω zero : 1 = 0 ⊢ False ** exact zero_ne_one zero.symm ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω maybe_empty : ¬Nonempty Ω ⊢ ↑↑↑μ univ = 0 ** rw [univ_eq_empty_iff.mpr (not_nonempty_iff.mp maybe_empty), measure_empty] ** Qed
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MeasureTheory.ProbabilityMeasure.eq_of_forall_apply_eq ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ ν : ProbabilityMeasure Ω h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑μ s)) s = (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑ν s)) s ⊢ μ = ν ** ext1 s s_mble ** case h Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ ν : ProbabilityMeasure Ω h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑μ s)) s = (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑ν s)) s s : Set Ω s_mble : MeasurableSet s ⊢ ↑↑↑μ s = ↑↑↑ν s ** simpa [ennreal_coeFn_eq_coeFn_toMeasure] using congr_arg ((↑) : ℝ≥0 → ℝ≥0∞) (h s s_mble) ** Qed
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MeasureTheory.ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure_nonzero ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω ⊢ toFiniteMeasure μ ≠ 0 ** rw [← FiniteMeasure.mass_nonzero_iff, μ.mass_toFiniteMeasure] ** Ω : Type u_1 inst✝ : MeasurableSpace Ω μ : ProbabilityMeasure Ω ⊢ 1 ≠ 0 ** exact one_ne_zero ** Qed
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MeasureTheory.ProbabilityMeasure.tendsto_iff_forall_lintegral_tendsto ** Ω : Type u_1 inst✝² : MeasurableSpace Ω inst✝¹ : TopologicalSpace Ω inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω γ : Type u_2 F : Filter γ μs : γ → ProbabilityMeasure Ω μ : ProbabilityMeasure Ω ⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(↑f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(↑f ω) ∂↑μ)) ** rw [tendsto_nhds_iff_toFiniteMeasure_tendsto_nhds] ** Ω : Type u_1 inst✝² : MeasurableSpace Ω inst✝¹ : TopologicalSpace Ω inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω γ : Type u_2 F : Filter γ μs : γ → ProbabilityMeasure Ω μ : ProbabilityMeasure Ω ⊢ Tendsto (toFiniteMeasure ∘ μs) F (𝓝 (toFiniteMeasure μ)) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(↑f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(↑f ω) ∂↑μ)) ** exact FiniteMeasure.tendsto_iff_forall_lintegral_tendsto ** Qed
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MeasureTheory.FiniteMeasure.normalize_eq_of_nonzero ** Ω : Type u_1 inst✝ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω nonzero : μ ≠ 0 s : Set Ω ⊢ (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑(normalize μ) s)) s = (mass μ)⁻¹ * (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑μ s)) s ** simp only [μ.self_eq_mass_mul_normalize, μ.mass_nonzero_iff.mpr nonzero, inv_mul_cancel_left₀,
Ne.def, not_false_iff] ** Qed
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MeasureTheory.FiniteMeasure.normalize_eq_inv_mass_smul_of_nonzero ** Ω : Type u_1 inst✝ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω nonzero : μ ≠ 0 ⊢ ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ) = (mass μ)⁻¹ • μ ** nth_rw 3 [μ.self_eq_mass_smul_normalize] ** Ω : Type u_1 inst✝ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω nonzero : μ ≠ 0 ⊢ ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ) = (mass μ)⁻¹ • mass μ • ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ) ** rw [← smul_assoc] ** Ω : Type u_1 inst✝ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω nonzero : μ ≠ 0 ⊢ ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ) = ((mass μ)⁻¹ • mass μ) • ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ) ** simp only [μ.mass_nonzero_iff.mpr nonzero, Algebra.id.smul_eq_mul, inv_mul_cancel, Ne.def,
not_false_iff, one_smul] ** Qed
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MeasureTheory.FiniteMeasure.toMeasure_normalize_eq_of_nonzero ** Ω : Type u_1 inst✝ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω nonzero : μ ≠ 0 ⊢ ↑(normalize μ) = ↑((mass μ)⁻¹ • μ) ** ext1 s _s_mble ** case h Ω : Type u_1 inst✝ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω nonzero : μ ≠ 0 s : Set Ω _s_mble : MeasurableSet s ⊢ ↑↑↑(normalize μ) s = ↑↑↑((mass μ)⁻¹ • μ) s ** rw [← μ.normalize.ennreal_coeFn_eq_coeFn_toMeasure s, μ.normalize_eq_of_nonzero nonzero s,
ENNReal.coe_mul, ennreal_coeFn_eq_coeFn_toMeasure] ** case h Ω : Type u_1 inst✝ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω nonzero : μ ≠ 0 s : Set Ω _s_mble : MeasurableSet s ⊢ ↑(mass μ)⁻¹ * ↑↑↑μ s = ↑↑↑((mass μ)⁻¹ • μ) s ** exact Measure.coe_nnreal_smul_apply _ _ _ ** Qed
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MeasureTheory.FiniteMeasure.average_eq_integral_normalize ** Ω : Type u_1 inst✝² : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω E : Type u_2 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E nonzero : μ ≠ 0 f : Ω → E ⊢ average (↑μ) f = ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(normalize μ) ** rw [μ.toMeasure_normalize_eq_of_nonzero nonzero, average] ** Ω : Type u_1 inst✝² : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω E : Type u_2 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E nonzero : μ ≠ 0 f : Ω → E ⊢ ∫ (x : Ω), f x ∂(↑↑↑μ univ)⁻¹ • ↑μ = ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑((mass μ)⁻¹ • μ) ** congr ** case e_μ.e_a Ω : Type u_1 inst✝² : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω E : Type u_2 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E nonzero : μ ≠ 0 f : Ω → E ⊢ (↑↑↑μ univ)⁻¹ = ↑↑(RingHom.toMonoidWithZeroHom ENNReal.ofNNRealHom) (mass μ)⁻¹ ** simp [ENNReal.coe_inv (μ.mass_nonzero_iff.mpr nonzero), ennreal_mass] ** Qed
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MeasureTheory.FiniteMeasure.testAgainstNN_eq_mass_mul ** Ω : Type u_1 inst✝¹ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω inst✝ : TopologicalSpace Ω f : Ω →ᵇ ℝ≥0 ⊢ testAgainstNN μ f = mass μ * testAgainstNN (ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ)) f ** nth_rw 1 [μ.self_eq_mass_smul_normalize] ** Ω : Type u_1 inst✝¹ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω inst✝ : TopologicalSpace Ω f : Ω →ᵇ ℝ≥0 ⊢ testAgainstNN (mass μ • ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ)) f = mass μ * testAgainstNN (ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ)) f ** rw [μ.normalize.toFiniteMeasure.smul_testAgainstNN_apply μ.mass f, smul_eq_mul] ** Qed
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MeasureTheory.FiniteMeasure.normalize_testAgainstNN ** Ω : Type u_1 inst✝¹ : Nonempty Ω m0 : MeasurableSpace Ω μ : FiniteMeasure Ω inst✝ : TopologicalSpace Ω nonzero : μ ≠ 0 f : Ω →ᵇ ℝ≥0 ⊢ testAgainstNN (ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure (normalize μ)) f = (mass μ)⁻¹ * testAgainstNN μ f ** simp [μ.testAgainstNN_eq_mass_mul, inv_mul_cancel_left₀ <| μ.mass_nonzero_iff.mpr nonzero] ** Qed
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MeasureTheory.Measure.measurable_of_measurable_coe ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : β → Measure α h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → Measurable fun b => ↑↑(f b) s s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ borel ℝ≥0∞ ≤ MeasurableSpace.map (fun μ => ↑↑μ s) (MeasurableSpace.map f inst✝) ** rw [MeasurableSpace.map_comp] ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : β → Measure α h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → Measurable fun b => ↑↑(f b) s s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ borel ℝ≥0∞ ≤ MeasurableSpace.map ((fun μ => ↑↑μ s) ∘ f) inst✝ ** exact h s hs ** Qed
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MeasureTheory.Measure.measurable_map ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : Measurable f ⊢ Measurable fun μ => map f μ ** refine' measurable_of_measurable_coe _ fun s hs => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : Measurable f s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ Measurable fun b => ↑↑(map f b) s ** simp_rw [map_apply hf hs] ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : Measurable f s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ Measurable fun b => ↑↑b (f ⁻¹' s) ** exact measurable_coe (hf hs) ** Qed
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MeasureTheory.Measure.measurable_dirac ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β ⊢ Measurable dirac ** refine' measurable_of_measurable_coe _ fun s hs => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ Measurable fun b => ↑↑(dirac b) s ** simp_rw [dirac_apply' _ hs] ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ Measurable fun b => indicator s 1 b ** exact measurable_one.indicator hs ** Qed
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MeasureTheory.Measure.measurable_lintegral ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ Measurable fun μ => ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ** simp only [lintegral_eq_iSup_eapprox_lintegral, hf, SimpleFunc.lintegral] ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ Measurable fun μ => ⨆ n, ∑ x in SimpleFunc.range (SimpleFunc.eapprox (fun x => f x) n), x * ↑↑μ (↑(SimpleFunc.eapprox (fun x => f x) n) ⁻¹' {x}) ** refine' measurable_iSup fun n => Finset.measurable_sum _ fun i _ => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f n : ℕ i : ℝ≥0∞ x✝ : i ∈ SimpleFunc.range (SimpleFunc.eapprox (fun x => f x) n) ⊢ Measurable fun μ => i * ↑↑μ (↑(SimpleFunc.eapprox (fun x => f x) n) ⁻¹' {i}) ** refine' Measurable.const_mul _ _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f n : ℕ i : ℝ≥0∞ x✝ : i ∈ SimpleFunc.range (SimpleFunc.eapprox (fun x => f x) n) ⊢ Measurable fun μ => ↑↑μ (↑(SimpleFunc.eapprox (fun x => f x) n) ⁻¹' {i}) ** exact measurable_coe ((SimpleFunc.eapprox f n).measurableSet_preimage _) ** Qed
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MeasureTheory.Measure.join_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β ⊢ join 0 = 0 ** ext1 s hs ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ ↑↑(join 0) s = ↑↑0 s ** simp only [hs, join_apply, lintegral_zero_measure, coe_zero, Pi.zero_apply] ** Qed
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MeasureTheory.Measure.measurable_join ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ Measurable fun b => ↑↑(join b) s ** simp only [join_apply hs] ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ Measurable fun b => ∫⁻ (μ : Measure α), ↑↑μ s ∂b ** exact measurable_lintegral (measurable_coe hs) ** Qed
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MeasureTheory.Measure.bind_zero_left ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → Measure β ⊢ bind 0 f = 0 ** simp [bind] ** Qed
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MeasureTheory.Measure.bind_zero_right ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β m : Measure α ⊢ bind m 0 = 0 ** ext1 s hs ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β m : Measure α s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ ↑↑(bind m 0) s = ↑↑0 s ** simp only [bind, hs, join_apply, coe_zero, Pi.zero_apply] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β m : Measure α s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ ∫⁻ (μ : Measure β), ↑↑μ s ∂map 0 m = 0 ** rw [lintegral_map (measurable_coe hs) measurable_zero] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β m : Measure α s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑↑(OfNat.ofNat 0 a) s ∂m = 0 ** simp only [Pi.zero_apply, coe_zero, lintegral_const, zero_mul] ** Qed
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MeasureTheory.Measure.bind_apply ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β m : Measure α f : α → Measure β s : Set β hs : MeasurableSet s hf : Measurable f ⊢ ↑↑(bind m f) s = ∫⁻ (a : α), ↑↑(f a) s ∂m ** rw [bind, join_apply hs, lintegral_map (measurable_coe hs) hf] ** Qed
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MeasureTheory.Measure.bind_dirac ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → Measure β hf : Measurable f a : α ⊢ bind (dirac a) f = f a ** ext1 s hs ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → Measure β hf : Measurable f a : α s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ ↑↑(bind (dirac a) f) s = ↑↑(f a) s ** erw [bind_apply hs hf, lintegral_dirac' a ((measurable_coe hs).comp hf)] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → Measure β hf : Measurable f a : α s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ ((fun μ => ↑↑μ s) ∘ f) a = ↑↑(f a) s ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.Measure.join_eq_bind ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β μ : Measure (Measure α) ⊢ join μ = bind μ id ** rw [bind, map_id] ** Qed
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MeasureTheory.Measure.join_map_map ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : Measurable f μ : Measure (Measure α) ⊢ join (map (map f) μ) = map f (join μ) ** ext1 s hs ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : Measurable f μ : Measure (Measure α) s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ ↑↑(join (map (map f) μ)) s = ↑↑(map f (join μ)) s ** rw [join_apply hs, map_apply hf hs, join_apply (hf hs),
lintegral_map (measurable_coe hs) (measurable_map f hf)] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : Measurable f μ : Measure (Measure α) s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ ∫⁻ (a : Measure α), ↑↑(map f a) s ∂μ = ∫⁻ (μ : Measure α), ↑↑μ (f ⁻¹' s) ∂μ ** simp_rw [map_apply hf hs] ** Qed
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Subsets and Splits
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