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Primrec.option_bind ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ f : α → Option β g : α → β → Option σ hf : Primrec f hg : Primrec₂ g a : α ⊢ Option.casesOn (f a) none (g a) = Option.bind (f a) (g a) ** cases f a <;> rfl ** Qed
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Primrec.option_map ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ f : α → Option β g : α → β → σ hf : Primrec f hg : Primrec₂ g x : α ⊢ (Option.bind (f x) fun b => some (g x b)) = Option.map (g x) (f x) ** cases f x <;> rfl ** Qed
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Primrec.option_iget ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁵ : Primcodable α inst✝⁴ : Primcodable β inst✝³ : Primcodable γ inst✝² : Primcodable δ inst✝¹ : Primcodable σ inst✝ : Inhabited α o : Option α ⊢ (Option.casesOn (id o) default fun b => b) = Option.iget o ** cases o <;> rfl ** Qed
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Primrec.option_isSome ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ o : Option α ⊢ (Option.casesOn (id o) false fun b => true) = Option.isSome o ** cases o <;> rfl ** Qed
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Primrec.option_getD ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ x✝ : Option α × α o : Option α a : α ⊢ (Option.casesOn ((fun a x => a) (o, a).1 (o, a).2) ((fun x b => b) (o, a).1 (o, a).2) fun b => b) = Option.getD (o, a).1 (o, a).2 ** cases o <;> rfl ** Qed
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Primrec.bind_decode_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ f : α → β → Option σ h : Primrec₂ fun a n => Option.bind (decode n) (f a) ⊢ Primrec₂ f ** simpa [encodek] using h.comp fst ((@Primrec.encode β _).comp snd) ** Qed
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Primrec.map_decode_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ f : α → β → σ ⊢ (Primrec₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Primrec₂ f ** simp only [Option.map_eq_bind] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ f : α → β → σ ⊢ (Primrec₂ fun a n => Option.bind (decode n) (some ∘ f a)) ↔ Primrec₂ f ** exact bind_decode_iff.trans Primrec₂.option_some_iff ** Qed
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Primrec.cond ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ c : α → Bool f g : α → σ hc : Primrec c hf : Primrec f hg : Primrec g a : α ⊢ (Nat.casesOn (encode (c a)) (g a) fun b => f (a, b).1) = bif c a then f a else g a ** cases c a <;> rfl ** Qed
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Primrec.ite ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁵ : Primcodable α inst✝⁴ : Primcodable β inst✝³ : Primcodable γ inst✝² : Primcodable δ inst✝¹ : Primcodable σ c : α → Prop inst✝ : DecidablePred c f g : α → σ hc : PrimrecPred c hf : Primrec f hg : Primrec g ⊢ Primrec fun a => if c a then f a else g a ** simpa using cond hc hf hg ** Qed
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Primrec.dom_bool ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ f : Bool → α b : Bool ⊢ (bif id b then f true else f false) = f b ** cases b <;> rfl ** Qed
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Primrec.dom_bool₂ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ f : Bool → Bool → α x✝ : Bool × Bool a b : Bool ⊢ (bif (a, b).1 then f true (a, b).2 else f false (a, b).2) = f (a, b).1 (a, b).2 ** cases a <;> rfl ** Qed
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PrimrecPred.not ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁵ : Primcodable α inst✝⁴ : Primcodable β inst✝³ : Primcodable γ inst✝² : Primcodable δ inst✝¹ : Primcodable σ p : α → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p n : α ⊢ (!decide (p n)) = decide ((fun a => ¬p a) n) ** simp ** Qed
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PrimrecPred.and ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁶ : Primcodable α inst✝⁵ : Primcodable β inst✝⁴ : Primcodable γ inst✝³ : Primcodable δ inst✝² : Primcodable σ p q : α → Prop inst✝¹ : DecidablePred p inst✝ : DecidablePred q hp : PrimrecPred p hq : PrimrecPred q n : α ⊢ (decide (p n) && decide (q n)) = decide ((fun a => p a ∧ q a) n) ** simp ** Qed
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PrimrecPred.or ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁶ : Primcodable α inst✝⁵ : Primcodable β inst✝⁴ : Primcodable γ inst✝³ : Primcodable δ inst✝² : Primcodable σ p q : α → Prop inst✝¹ : DecidablePred p inst✝ : DecidablePred q hp : PrimrecPred p hq : PrimrecPred q n : α ⊢ (decide (p n) || decide (q n)) = decide ((fun a => p a ∨ q a) n) ** simp ** Qed
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Primrec.nat_lt ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ p : ℕ × ℕ ⊢ ¬p.2 ≤ p.1 ↔ (fun x x_1 => x < x_1) p.1 p.2 ** simp ** Qed
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Primrec.option_orElse ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ x✝ : Option α × Option α o₁ o₂ : Option α ⊢ (Option.casesOn (o₁, o₂).1 (o₁, o₂).2 fun b => ((o₁, o₂), b).1.1) = (fun x x_1 => HOrElse.hOrElse x fun x => x_1) (o₁, o₂).1 (o₁, o₂).2 ** cases o₁ <;> cases o₂ <;> rfl ** Qed
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Primrec.list_findIdx₁ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ p : α → β → Bool hp : Primrec₂ p a : β l : List β n : α ⊢ (bif p (id n) a then 0 else Nat.succ (List.findIdx (p n) l)) = List.findIdx (p n) (a :: l) ** simp [List.findIdx_cons] ** Qed
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Primrec.nat_findGreatest ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁵ : Primcodable α inst✝⁴ : Primcodable β inst✝³ : Primcodable γ inst✝² : Primcodable δ inst✝¹ : Primcodable σ f : α → ℕ p : α → ℕ → Prop inst✝ : (x : α) → (n : ℕ) → Decidable (p x n) hf : Primrec f hp : PrimrecRel p x : α ⊢ Nat.rec 0 (fun n IH => if p x ((n, IH).1 + 1) then (n, IH).1 + 1 else (n, IH).2) (f x) = Nat.findGreatest (p x) (f x) ** induction f x <;> simp [Nat.findGreatest, *] ** Qed
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Primrec.nat_bodd ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 σ : Type u_5 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable δ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ ⊢ (id n % 2 == 1) = Nat.bodd n ** cases H : n.bodd <;> simp [Nat.mod_two_of_bodd, H] ** Qed
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list_reverse' ** α : Type u_1 β : Type u_2 σ : Type u_3 inst✝² : Primcodable α inst✝¹ : Primcodable β inst✝ : Primcodable σ H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n) this : Primcodable (List β) := prim H l : List β ⊢ ∀ (r : List β), List.foldl (fun s b => b :: s) r l = List.reverseAux l r ** induction l <;> simp [*, List.reverseAux] ** Qed
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Primrec.sum_casesOn ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → β ⊕ γ g : α → β → σ h : α → γ → σ hf : Primrec f hg : Primrec₂ g hh : Primrec₂ h a : α ⊢ (bif Nat.bodd (encode (f a)) then Option.map (h a) (decode (Nat.div2 (encode (f a)))) else Option.map (g a) (decode (Nat.div2 (encode (f a))))) = some (Sum.casesOn (f a) (g a) (h a)) ** cases' f a with b c <;> simp [Nat.div2_val, encodek] ** Qed
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Primrec.list_foldr ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β g : α → σ h : α → β × σ → σ hf : Primrec f hg : Primrec g hh : Primrec₂ h a : α ⊢ List.foldl (fun s b => h (a, s, b).1 ((a, s, b).2.2, (a, s, b).2.1)) (g a) (List.reverse (f a)) = List.foldr (fun b s => h a (b, s)) (g a) (f a) ** simp [List.foldl_reverse] ** Qed
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Primrec.list_head? ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ l : List α ⊢ (List.casesOn (id l) none fun b l_1 => some (l, b, l_1).2.1) = List.head? l ** cases l <;> rfl ** Qed
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Primrec.list_tail ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ l : List α ⊢ (List.casesOn (id l) [] fun b l_1 => (l, b, l_1).2.2) = List.tail l ** cases l <;> rfl ** Qed
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Primrec.list_rec ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β g : α → σ h : α → β × List β × σ → σ hf : Primrec f hg : Primrec g hh : Primrec₂ h F : α → List β × σ := fun a => List.foldr (fun b s => (b :: s.1, h a (b, s))) ([], g a) (f a) this : Primrec F a : α ⊢ (F a).2 = List.recOn (f a) (g a) fun b l IH => h a (b, l, IH) ** suffices F a = (f a, List.recOn (f a) (g a) fun b l IH => h a (b, l, IH)) by rw [this] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β g : α → σ h : α → β × List β × σ → σ hf : Primrec f hg : Primrec g hh : Primrec₂ h F : α → List β × σ := fun a => List.foldr (fun b s => (b :: s.1, h a (b, s))) ([], g a) (f a) this : Primrec F a : α ⊢ F a = (f a, List.recOn (f a) (g a) fun b l IH => h a (b, l, IH)) ** dsimp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β g : α → σ h : α → β × List β × σ → σ hf : Primrec f hg : Primrec g hh : Primrec₂ h F : α → List β × σ := fun a => List.foldr (fun b s => (b :: s.1, h a (b, s))) ([], g a) (f a) this : Primrec F a : α ⊢ List.foldr (fun b s => (b :: s.1, h a (b, s))) ([], g a) (f a) = (f a, List.rec (g a) (fun b l IH => h a (b, l, IH)) (f a)) ** induction' f a with b l IH <;> simp [*] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β g : α → σ h : α → β × List β × σ → σ hf : Primrec f hg : Primrec g hh : Primrec₂ h F : α → List β × σ := fun a => List.foldr (fun b s => (b :: s.1, h a (b, s))) ([], g a) (f a) this✝ : Primrec F a : α this : F a = (f a, List.recOn (f a) (g a) fun b l IH => h a (b, l, IH)) ⊢ (F a).2 = List.recOn (f a) (g a) fun b l IH => h a (b, l, IH) ** rw [this] ** Qed
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Primrec.list_get? ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some l : List α n : ℕ ⊢ Sum.casesOn (F (l, n).1 (l, n).2) (fun x => none) some = List.get? l n ** dsimp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some l : List α n : ℕ ⊢ Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) l) = List.get? l n ** symm ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some l : List α n : ℕ ⊢ List.get? l n = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) l) ** induction' l with a l IH generalizing n ** case cons α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some n✝ : ℕ a : α l : List α IH : ∀ (n : ℕ), List.get? l n = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) l) n : ℕ ⊢ List.get? (a :: l) n = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) (a :: l)) ** cases' n with n ** case nil α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some n✝ n : ℕ ⊢ List.get? [] n = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) []) ** rfl ** case cons.zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some n : ℕ a : α l : List α IH : ∀ (n : ℕ), List.get? l n = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) l) ⊢ List.get? (a :: l) Nat.zero = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl Nat.zero) (a :: l)) ** dsimp ** case cons.zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some n : ℕ a : α l : List α IH : ∀ (n : ℕ), List.get? l n = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) l) ⊢ some a = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inr a) l) ** clear IH ** case cons.zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some n : ℕ a : α l : List α ⊢ some a = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inr a) l) ** induction' l with _ l IH <;> simp [*] ** case cons.succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ F : List α → ℕ → ℕ ⊕ α := fun l n => List.foldl (fun s a => Sum.casesOn s (fun x => Nat.casesOn x (Sum.inr a) Sum.inl) Sum.inr) (Sum.inl n) l hF : Primrec₂ F this : Primrec fun p => Sum.casesOn (F p.1 p.2) (fun x => none) some n✝ : ℕ a : α l : List α IH : ∀ (n : ℕ), List.get? l n = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl n) l) n : ℕ ⊢ List.get? (a :: l) (Nat.succ n) = Sum.rec (fun val => none) (fun val => some val) (List.foldl (fun s a => Sum.rec (fun val => Nat.rec (Sum.inr a) (fun n n_ih => Sum.inl n) val) (fun val => Sum.inr val) s) (Sum.inl (Nat.succ n)) (a :: l)) ** apply IH ** Qed
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Primrec.list_map ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β g : α → β → σ hf : Primrec f hg : Primrec₂ g a : α ⊢ List.foldr (fun b s => g (a, b, s).1 (a, b, s).2.1 :: (a, b, s).2.2) [] (f a) = List.map (g a) (f a) ** induction f a <;> simp [*] ** Qed
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Primrec.list_range ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ ⊢ Nat.rec [] (fun n_1 IH => (n, n_1, IH).2.2 ++ [(n, n_1, IH).2.1]) (id n) = List.range n ** simp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ ⊢ Nat.rec [] (fun n IH => IH ++ [n]) n = List.range n ** induction n <;> simp [*, List.range_succ] ** Qed
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Primrec.list_length ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ l : List α ⊢ List.foldr (fun b s => (fun a b => Nat.succ (a, b).2.2) (l, b, s).1 (l, b, s).2) 0 (id l) = List.length l ** dsimp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ l : List α ⊢ List.foldr (fun b s => Nat.succ s) 0 l = List.length l ** induction l <;> simp [*] ** Qed
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Primrec.list_findIdx ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β p : α → β → Bool hf : Primrec f hp : Primrec₂ p a : α ⊢ List.foldr (fun b s => bif p (a, b, s).1 (a, b, s).2.1 then 0 else Nat.succ (a, b, s).2.2) 0 (f a) = List.findIdx (p a) (f a) ** dsimp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → List β p : α → β → Bool hf : Primrec f hp : Primrec₂ p a : α ⊢ List.foldr (fun b s => bif p a b then 0 else Nat.succ s) 0 (f a) = List.findIdx (p a) (f a) ** induction f a <;> simp [List.findIdx_cons, *] ** Qed
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Primrec.nat_strong_rec ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → ℕ → σ g : α → List σ → Option σ hg : Primrec₂ g H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n) this : Primrec₂ fun a n => List.map (f a) (List.range n) a : α n : ℕ ⊢ List.get? (List.map (f (a, n).1) (List.range (Nat.succ (a, n).2))) (a, n).2 = some (f a n) ** simp [List.get?_range (Nat.lt_succ_self n)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → ℕ → σ g : α → List σ → Option σ hg : Primrec₂ g H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n) a : α n : ℕ ⊢ Nat.rec (some []) (fun n IH => Option.bind (a, n, IH).2.2 fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, n, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, n, IH), b), b_1).2]) (g ((a, n, IH), b).1.1 ((a, n, IH), b).2)) n = some (List.map (f a) (List.range n)) ** simp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → ℕ → σ g : α → List σ → Option σ hg : Primrec₂ g H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n) a : α n : ℕ ⊢ Nat.rec (some []) (fun n IH => Option.bind IH fun b => Option.map (fun b_1 => b ++ [b_1]) (g a b)) n = some (List.map (f a) (List.range n)) ** induction' n with n IH ** case succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → ℕ → σ g : α → List σ → Option σ hg : Primrec₂ g H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n) a : α n : ℕ IH : Nat.rec (some []) (fun n IH => Option.bind IH fun b => Option.map (fun b_1 => b ++ [b_1]) (g a b)) n = some (List.map (f a) (List.range n)) ⊢ Nat.rec (some []) (fun n IH => Option.bind IH fun b => Option.map (fun b_1 => b ++ [b_1]) (g a b)) (Nat.succ n) = some (List.map (f a) (List.range (Nat.succ n))) ** simp [IH, H, List.range_succ] ** case zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → ℕ → σ g : α → List σ → Option σ hg : Primrec₂ g H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n) a : α ⊢ Nat.rec (some []) (fun n IH => Option.bind IH fun b => Option.map (fun b_1 => b ++ [b_1]) (g a b)) Nat.zero = some (List.map (f a) (List.range Nat.zero)) ** rfl ** Qed
| |
Primrec.subtype_val ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : α → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p ⊢ Primrec Subtype.val ** letI := Primcodable.subtype hp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : α → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp ⊢ Primrec Subtype.val ** refine' (@Primcodable.prim (Subtype p)).of_eq fun n => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : α → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp n : ℕ ⊢ encode (decode n) = encode (Option.map Subtype.val (decode n)) ** rcases @decode (Subtype p) _ n with (_ | ⟨a, h⟩) <;> rfl ** Qed
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Primrec.subtype_val_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : β → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p f : α → Subtype p ⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f ** letI := Primcodable.subtype hp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : β → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p f : α → Subtype p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp ⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f ** refine' ⟨fun h => _, fun hf => subtype_val.comp hf⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : β → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p f : α → Subtype p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp h : Primrec fun a => ↑(f a) ⊢ Primrec f ** refine' Nat.Primrec.of_eq h fun n => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : β → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p f : α → Subtype p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp h : Primrec fun a => ↑(f a) n : ℕ ⊢ encode (Option.map (fun a => ↑(f a)) (decode n)) = encode (Option.map f (decode n)) ** cases' @decode α _ n with a ** case some α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : β → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p f : α → Subtype p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp h : Primrec fun a => ↑(f a) n : ℕ a : α ⊢ encode (Option.map (fun a => ↑(f a)) (some a)) = encode (Option.map f (some a)) ** simp ** case some α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : β → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p f : α → Subtype p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp h : Primrec fun a => ↑(f a) n : ℕ a : α ⊢ Nat.succ (encode ↑(f a)) = encode (some (f a)) ** rfl ** case none α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝⁴ : Primcodable α inst✝³ : Primcodable β inst✝² : Primcodable γ inst✝¹ : Primcodable σ p : β → Prop inst✝ : DecidablePred p hp : PrimrecPred p f : α → Subtype p this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp h : Primrec fun a => ↑(f a) n : ℕ ⊢ encode (Option.map (fun a => ↑(f a)) none) = encode (Option.map f none) ** rfl ** Qed
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Primrec.option_get ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → Option β h : ∀ (a : α), Option.isSome (f a) = true ⊢ Primrec f → Primrec fun a => Option.get (f a) (_ : Option.isSome (f a) = true) ** intro hf ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → Option β h : ∀ (a : α), Option.isSome (f a) = true hf : Primrec f ⊢ Primrec fun a => Option.get (f a) (_ : Option.isSome (f a) = true) ** refine' (Nat.Primrec.pred.comp hf).of_eq fun n => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → Option β h : ∀ (a : α), Option.isSome (f a) = true hf : Primrec f n : ℕ ⊢ Nat.pred (encode (Option.map f (decode n))) = encode (Option.map (fun a => Option.get (f a) (_ : Option.isSome (f a) = true)) (decode n)) ** generalize hx : @decode α _ n = x ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ f : α → Option β h : ∀ (a : α), Option.isSome (f a) = true hf : Primrec f n : ℕ x : Option α hx : decode n = x ⊢ Nat.pred (encode (Option.map f x)) = encode (Option.map (fun a => Option.get (f a) (_ : Option.isSome (f a) = true)) x) ** cases x <;> simp ** Qed
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Primrec.vector_cons ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ ⊢ Primrec fun a => Vector.toList (a.1 ::ᵥ a.2) ** simp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ ⊢ Primrec fun a => a.1 :: Vector.toList a.2 ** exact list_cons.comp fst (vector_toList_iff.2 snd) ** Qed
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Primrec.vector_tail ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ x✝ : Vector α n l : List α h : List.length l = n ⊢ List.tail (Vector.toList { val := l, property := h }) = Vector.toList (Vector.tail { val := l, property := h }) ** cases l <;> rfl ** Qed
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Primrec.vector_get ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ a : Vector α n × Fin n ⊢ List.get? (Vector.toList a.1) ↑a.2 = some (Vector.get a.1 a.2) ** rw [Vector.get_eq_get, ← List.get?_eq_get] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ a : Vector α n × Fin n ⊢ List.get? (Vector.toList a.1) ↑a.2 = List.get? (Vector.toList a.1) ↑(Fin.cast (_ : n = List.length (Vector.toList a.1)) a.2) ** rfl ** Qed
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Primrec.list_ofFn ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ f : Fin (n + 1) → α → σ hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Primrec (f i) ⊢ Primrec fun a => List.ofFn fun i => f i a ** simp [List.ofFn_succ] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ f : Fin (n + 1) → α → σ hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Primrec (f i) ⊢ Primrec fun a => f 0 a :: List.ofFn fun i => f (Fin.succ i) a ** exact list_cons.comp (hf 0) (list_ofFn fun i => hf i.succ) ** Qed
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Primrec.fin_app ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ x✝ : (Fin n → σ) × Fin n v : Fin n → σ i : Fin n ⊢ Vector.get (Vector.ofFn (v, i).1) (v, i).2 = id (v, i).1 (v, i).2 ** simp ** Qed
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Primrec.fin_curry₁ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ f : Fin n → α → σ h : ∀ (i : Fin n), Primrec (f i) a : Fin n × α ⊢ Vector.get (Vector.ofFn fun i => f i a.2) a.1 = f a.1 a.2 ** simp ** Qed
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Primrec.fin_curry ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ f : α → Fin n → σ h : Primrec₂ f a : α ⊢ Vector.get (Vector.ofFn fun i => f a i) = f a ** funext i ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 σ : Type u_4 inst✝³ : Primcodable α inst✝² : Primcodable β inst✝¹ : Primcodable γ inst✝ : Primcodable σ n : ℕ f : α → Fin n → σ h : Primrec₂ f a : α i : Fin n ⊢ Vector.get (Vector.ofFn fun i => f a i) i = f a i ** simp ** Qed
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Nat.Primrec'.to_prim ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ pf : Primrec' f ⊢ Primrec f ** induction pf ** case zero n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ ⊢ Primrec fun x => 0 case succ n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ ⊢ Primrec fun v => Nat.succ (head v) case get n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ i✝ : Fin n✝ ⊢ Primrec fun v => Vector.get v i✝ case comp n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ m✝ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Fin n✝ → Vector ℕ m✝ → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec' (g✝ i) a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec (g✝ i) ⊢ Primrec fun a => f✝ (ofFn fun i => g✝ i a) case prec n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Vector ℕ (n✝ + 2) → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : Primrec' g✝ a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : Primrec g✝ ⊢ Primrec fun v => Nat.rec (f✝ (tail v)) (fun y IH => g✝ (y ::ᵥ IH ::ᵥ tail v)) (head v) ** case zero => exact .const 0 ** case succ n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ ⊢ Primrec fun v => Nat.succ (head v) case get n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ i✝ : Fin n✝ ⊢ Primrec fun v => Vector.get v i✝ case comp n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ m✝ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Fin n✝ → Vector ℕ m✝ → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec' (g✝ i) a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec (g✝ i) ⊢ Primrec fun a => f✝ (ofFn fun i => g✝ i a) case prec n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Vector ℕ (n✝ + 2) → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : Primrec' g✝ a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : Primrec g✝ ⊢ Primrec fun v => Nat.rec (f✝ (tail v)) (fun y IH => g✝ (y ::ᵥ IH ::ᵥ tail v)) (head v) ** case succ => exact _root_.Primrec.succ.comp .vector_head ** case get n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ i✝ : Fin n✝ ⊢ Primrec fun v => Vector.get v i✝ case comp n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ m✝ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Fin n✝ → Vector ℕ m✝ → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec' (g✝ i) a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec (g✝ i) ⊢ Primrec fun a => f✝ (ofFn fun i => g✝ i a) case prec n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Vector ℕ (n✝ + 2) → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : Primrec' g✝ a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : Primrec g✝ ⊢ Primrec fun v => Nat.rec (f✝ (tail v)) (fun y IH => g✝ (y ::ᵥ IH ::ᵥ tail v)) (head v) ** case get n i => exact Primrec.vector_get.comp .id (.const i) ** case comp n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ m✝ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Fin n✝ → Vector ℕ m✝ → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec' (g✝ i) a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : ∀ (i : Fin n✝), Primrec (g✝ i) ⊢ Primrec fun a => f✝ (ofFn fun i => g✝ i a) case prec n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Vector ℕ (n✝ + 2) → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : Primrec' g✝ a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : Primrec g✝ ⊢ Primrec fun v => Nat.rec (f✝ (tail v)) (fun y IH => g✝ (y ::ᵥ IH ::ᵥ tail v)) (head v) ** case comp m n f g _ _ hf hg => exact hf.comp (.vector_ofFn fun i => hg i) ** case prec n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ g✝ : Vector ℕ (n✝ + 2) → ℕ a✝¹ : Primrec' f✝ a✝ : Primrec' g✝ a_ih✝¹ : Primrec f✝ a_ih✝ : Primrec g✝ ⊢ Primrec fun v => Nat.rec (f✝ (tail v)) (fun y IH => g✝ (y ::ᵥ IH ::ᵥ tail v)) (head v) ** case prec n f g _ _ hf hg =>
exact
.nat_rec' .vector_head (hf.comp Primrec.vector_tail)
(hg.comp <|
Primrec.vector_cons.comp (Primrec.fst.comp .snd) <|
Primrec.vector_cons.comp (Primrec.snd.comp .snd) <|
(@Primrec.vector_tail _ _ (n + 1)).comp .fst).to₂ ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ ⊢ Primrec fun x => 0 ** exact .const 0 ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ ⊢ Primrec fun v => Nat.succ (head v) ** exact _root_.Primrec.succ.comp .vector_head ** n✝ : ℕ f : Vector ℕ n✝ → ℕ n : ℕ i : Fin n ⊢ Primrec fun v => Vector.get v i ** exact Primrec.vector_get.comp .id (.const i) ** n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ m n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ g : Fin n → Vector ℕ m → ℕ a✝¹ : Primrec' f a✝ : ∀ (i : Fin n), Primrec' (g i) hf : Primrec f hg : ∀ (i : Fin n), Primrec (g i) ⊢ Primrec fun a => f (ofFn fun i => g i a) ** exact hf.comp (.vector_ofFn fun i => hg i) ** n✝ : ℕ f✝ : Vector ℕ n✝ → ℕ n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ g : Vector ℕ (n + 2) → ℕ a✝¹ : Primrec' f a✝ : Primrec' g hf : Primrec f hg : Primrec g ⊢ Primrec fun v => Nat.rec (f (tail v)) (fun y IH => g (y ::ᵥ IH ::ᵥ tail v)) (head v) ** exact
.nat_rec' .vector_head (hf.comp Primrec.vector_tail)
(hg.comp <|
Primrec.vector_cons.comp (Primrec.fst.comp .snd) <|
Primrec.vector_cons.comp (Primrec.snd.comp .snd) <|
(@Primrec.vector_tail _ _ (n + 1)).comp .fst).to₂ ** Qed
| |
Nat.Primrec'.head ** n : ℕ v : Vector ℕ (Nat.succ n) ⊢ Vector.get v 0 = Vector.head v ** simp [get_zero] ** Qed
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Nat.Primrec'.tail ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f v : Vector ℕ (Nat.succ n) ⊢ f (ofFn fun i => Vector.get v (Fin.succ i)) = f (Vector.tail v) ** rw [← ofFn_get v.tail] ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f v : Vector ℕ (Nat.succ n) ⊢ f (ofFn fun i => Vector.get v (Fin.succ i)) = f (ofFn (Vector.get (Vector.tail v))) ** congr ** case e_a.e_a n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f v : Vector ℕ (Nat.succ n) ⊢ (fun i => Vector.get v (Fin.succ i)) = Vector.get (Vector.tail v) ** funext i ** case e_a.e_a.h n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f v : Vector ℕ (Nat.succ n) i : Fin n ⊢ Vector.get v (Fin.succ i) = Vector.get (Vector.tail v) i ** simp ** Qed
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Nat.Primrec'.cons ** n m : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ g : Vector ℕ n → Vector ℕ m hf : Primrec' f hg : Vec g i : Fin (Nat.succ m) ⊢ Primrec' fun v => Vector.get ((fun v => f v ::ᵥ g v) v) 0 ** simp [*] ** n m : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ g : Vector ℕ n → Vector ℕ m hf : Primrec' f hg : Vec g i✝ : Fin (Nat.succ m) i : Fin m ⊢ Primrec' fun v => Vector.get ((fun v => f v ::ᵥ g v) v) (Fin.succ i) ** simp [hg i] ** Qed
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Nat.Primrec'.comp' ** n m : ℕ f : Vector ℕ m → ℕ g : Vector ℕ n → Vector ℕ m hf : Primrec' f hg : Vec g v : Vector ℕ n ⊢ f (ofFn fun i => Vector.get (g v) i) = f (g v) ** simp ** Qed
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Nat.Primrec'.pred ** v : Vector ℕ (Nat.succ 0) ⊢ Nat.rec 0 (fun y IH => Vector.head (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)) (Vector.head v) = Nat.pred (Vector.head v) ** simp ** v : Vector ℕ (Nat.succ 0) ⊢ Nat.rec 0 (fun y IH => y) (Vector.head v) = Nat.pred (Vector.head v) ** cases v.head <;> rfl ** Qed
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Nat.Primrec'.add ** v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1) ⊢ Nat.rec (Vector.head (Vector.tail v)) (fun y IH => Nat.succ (Vector.head (Vector.tail (y ::ᵥ IH ::ᵥ Vector.tail v)))) (Vector.head v) = Vector.head v + Vector.head (Vector.tail v) ** simp ** v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1) ⊢ Nat.rec (Vector.head (Vector.tail v)) (fun y IH => Nat.succ IH) (Vector.head v) = Vector.head v + Vector.head (Vector.tail v) ** induction v.head <;> simp [*, Nat.succ_add] ** Qed
| |
Nat.Primrec'.mul ** v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1) ⊢ Nat.rec 0 (fun y IH => Vector.head (Vector.tail (Vector.tail (y ::ᵥ IH ::ᵥ Vector.tail v))) + Vector.head (Vector.tail (y ::ᵥ IH ::ᵥ Vector.tail v))) (Vector.head v) = Vector.head v * Vector.head (Vector.tail v) ** simp ** v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1) ⊢ Nat.rec 0 (fun y IH => Vector.head (Vector.tail v) + IH) (Vector.head v) = Vector.head v * Vector.head (Vector.tail v) ** induction v.head <;> simp [*, Nat.succ_mul] ** case succ v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1) n✝ : ℕ n_ih✝ : Nat.rec 0 (fun y IH => Vector.head (Vector.tail v) + IH) n✝ = n✝ * Vector.head (Vector.tail v) ⊢ Vector.head (Vector.tail v) + n✝ * Vector.head (Vector.tail v) = n✝ * Vector.head (Vector.tail v) + Vector.head (Vector.tail v) ** rw [add_comm] ** Qed
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Nat.Primrec'.if_lt ** n : ℕ a b f g : Vector ℕ n → ℕ ha : Primrec' a hb : Primrec' b hf : Primrec' f hg : Primrec' g v : Vector ℕ n ⊢ Nat.rec (g v) (fun y IH => f (Vector.tail (Vector.tail (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)))) (b v - a v) = if a v < b v then f v else g v ** cases e : b v - a v ** case zero n : ℕ a b f g : Vector ℕ n → ℕ ha : Primrec' a hb : Primrec' b hf : Primrec' f hg : Primrec' g v : Vector ℕ n e : b v - a v = Nat.zero ⊢ Nat.rec (g v) (fun y IH => f (Vector.tail (Vector.tail (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)))) Nat.zero = if a v < b v then f v else g v ** simp [not_lt.2 (tsub_eq_zero_iff_le.mp e)] ** case succ n : ℕ a b f g : Vector ℕ n → ℕ ha : Primrec' a hb : Primrec' b hf : Primrec' f hg : Primrec' g v : Vector ℕ n n✝ : ℕ e : b v - a v = Nat.succ n✝ ⊢ Nat.rec (g v) (fun y IH => f (Vector.tail (Vector.tail (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)))) (Nat.succ n✝) = if a v < b v then f v else g v ** simp [Nat.lt_of_sub_eq_succ e] ** Qed
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Nat.Primrec'.encode ** v : Vector ℕ 0 ⊢ 0 = encode v ** rw [v.eq_nil] ** v : Vector ℕ 0 ⊢ 0 = encode nil ** rfl ** Qed
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Nat.Primrec'.unpair₁ ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f ⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1 ** have s := sqrt.comp₁ _ hf ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) ⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1 ** have fss := sub.comp₂ _ hf (mul.comp₂ _ s s) ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) fss : Primrec' fun v => f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) ⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1 ** refine' (if_lt fss s fss s).of_eq fun v => _ ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) fss : Primrec' fun v => f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) v : Vector ℕ n ⊢ (if f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) < Nat.sqrt (f v) then f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) else Nat.sqrt (f v)) = (unpair (f v)).1 ** simp [Nat.unpair] ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) fss : Primrec' fun v => f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) v : Vector ℕ n ⊢ (if f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) < Nat.sqrt (f v) then f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) else Nat.sqrt (f v)) = (if f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) < Nat.sqrt (f v) then (f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v), Nat.sqrt (f v)) else (Nat.sqrt (f v), f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) - Nat.sqrt (f v))).1 ** split_ifs <;> rfl ** Qed
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Nat.Primrec'.unpair₂ ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f ⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).2 ** have s := sqrt.comp₁ _ hf ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) ⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).2 ** have fss := sub.comp₂ _ hf (mul.comp₂ _ s s) ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) fss : Primrec' fun v => f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) ⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).2 ** refine' (if_lt fss s s (sub.comp₂ _ fss s)).of_eq fun v => _ ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) fss : Primrec' fun v => f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) v : Vector ℕ n ⊢ (if f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) < Nat.sqrt (f v) then Nat.sqrt (f v) else f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) - Nat.sqrt (f v)) = (unpair (f v)).2 ** simp [Nat.unpair] ** n : ℕ f : Vector ℕ n → ℕ hf : Primrec' f s : Primrec' fun v => Nat.sqrt (f v) fss : Primrec' fun v => f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) v : Vector ℕ n ⊢ (if f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) < Nat.sqrt (f v) then Nat.sqrt (f v) else f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) - Nat.sqrt (f v)) = (if f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) < Nat.sqrt (f v) then (f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v), Nat.sqrt (f v)) else (Nat.sqrt (f v), f v - Nat.sqrt (f v) * Nat.sqrt (f v) - Nat.sqrt (f v))).2 ** split_ifs <;> rfl ** Qed
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Nat.Primrec'.prim_iff₁ ** f : ℕ → ℕ h : Primrec fun v => f (Vector.head v) v : ℕ ⊢ f (Vector.head (ofFn fun i => id v)) = f v ** simp ** Qed
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Nat.Primrec'.prim_iff₂ ** f : ℕ → ℕ → ℕ h : Primrec fun v => f (Vector.head v) (Vector.head (Vector.tail v)) v : ℕ × ℕ ⊢ f (Vector.head (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil)) (Vector.head (Vector.tail (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil))) = f v.1 v.2 ** simp ** Qed
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Nat.Primrec'.vec_iff ** m n : ℕ f : Vector ℕ m → Vector ℕ n h : Vec f ⊢ Primrec f ** simpa using Primrec.vector_ofFn fun i => to_prim (h i) ** Qed
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MeasureTheory.exists_continuous_snorm_sub_le_of_closed ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** obtain ⟨η, η_pos, hη⟩ :
∃ η : ℝ≥0, 0 < η ∧ ∀ s : Set α, μ s ≤ η → snorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** exact exists_snorm_indicator_le hp c hε ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** have ηpos : (0 : ℝ≥0∞) < η := ENNReal.coe_lt_coe.2 η_pos ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** obtain ⟨V, sV, V_open, h'V, hV⟩ : ∃ (V : Set α), V ⊇ s ∧ IsOpen V ∧ μ V < ∞ ∧ μ (V \ s) < η ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η ⊢ ∃ V, V ⊇ s ∧ IsOpen V ∧ ↑↑μ V < ⊤ ∧ ↑↑μ (V \ s) < ↑η case intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** exact s_closed.measurableSet.exists_isOpen_diff_lt hs ηpos.ne' ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** let v := u ∩ V ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** have hsv : s ⊆ v := subset_inter hsu sV ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** have hμv : μ v < ∞ := (measure_mono (inter_subset_right _ _)).trans_lt h'V ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** obtain ⟨g, hgv, hgs, hg_range⟩ :=
exists_continuous_zero_one_of_closed (u_open.inter V_open).isClosed_compl s_closed
(disjoint_compl_left_iff.2 hsv) ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** have g_norm : ∀ x, ‖g x‖ = g x := fun x => by rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg (hg_range x).1] ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** have gc_bd0 : ∀ x, ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖ := by
intro x
simp only [norm_smul, g_norm x]
apply mul_le_of_le_one_left (norm_nonneg _)
exact (hg_range x).2 ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** have gc_support : (Function.support fun x : α => g x • c) ⊆ v := by
refine' Function.support_subset_iff'.2 fun x hx => _
simp only [hgv hx, Pi.zero_apply, zero_smul] ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v gc_mem : Memℒp (fun x => ↑g x • c) p ⊢ ∃ f, Continuous f ∧ snorm (fun x => f x - indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p ** refine'
⟨fun x => g x • c, g.continuous.smul continuous_const, (snorm_mono gc_bd).trans _, gc_bd0,
gc_support.trans (inter_subset_left _ _), gc_mem⟩ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v gc_mem : Memℒp (fun x => ↑g x • c) p ⊢ snorm (fun x => indicator (v \ s) (fun _x => c) x) p μ ≤ ε ** exact hη _ ((measure_mono (diff_subset_diff (inter_subset_right _ _) Subset.rfl)).trans hV.le) ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 x : α ⊢ ‖↑g x‖ = ↑g x ** rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg (hg_range x).1] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x ⊢ ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ ** intro x ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x x : α ⊢ ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ ** simp only [norm_smul, g_norm x] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x x : α ⊢ ↑g x * ‖c‖ ≤ ‖c‖ ** apply mul_le_of_le_one_left (norm_nonneg _) ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x x : α ⊢ ↑g x ≤ 1 ** exact (hg_range x).2 ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ ⊢ ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ** intro x ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ x : α ⊢ ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ** by_cases hv : x ∈ v ** case pos α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ x : α hv : x ∈ v ⊢ ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ** rw [← Set.diff_union_of_subset hsv] at hv ** case pos α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ x : α hv : x ∈ v \ s ∪ s ⊢ ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ** cases' hv with hsv hs ** case pos.inl α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv✝ : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ x : α hsv : x ∈ v \ s ⊢ ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ** simpa only [hsv.2, Set.indicator_of_not_mem, not_false_iff, sub_zero, hsv,
Set.indicator_of_mem] using gc_bd0 x ** case pos.inr α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs✝ : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ x : α hs : x ∈ s ⊢ ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ** simp [hgs hs, hs] ** case neg α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ x : α hv : ¬x ∈ v ⊢ ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ** simp [hgv hv, show x ∉ s from fun h => hv (hsv h)] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ ⊢ (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v ** refine' Function.support_subset_iff'.2 fun x hx => _ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ x : α hx : ¬x ∈ v ⊢ ↑g x • c = 0 ** simp only [hgv hx, Pi.zero_apply, zero_smul] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v ⊢ Memℒp (fun x => ↑g x • c) p ** refine' Memℒp.smul_of_top_left (memℒp_top_const _) _ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v ⊢ Memℒp (fun x => ↑g x) p ** refine' ⟨g.continuous.aestronglyMeasurable, _⟩ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v ⊢ snorm (fun x => ↑g x) p μ < ⊤ ** have : snorm (v.indicator fun _x => (1 : ℝ)) p μ < ⊤ := by
refine' (snorm_indicator_const_le _ _).trans_lt _
simp only [lt_top_iff_ne_top, hμv.ne, nnnorm_one, ENNReal.coe_one, one_div, one_mul, Ne.def,
ENNReal.rpow_eq_top_iff, inv_lt_zero, false_and_iff, or_false_iff, not_and, not_lt,
ENNReal.toReal_nonneg, imp_true_iff] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v this : snorm (indicator v fun _x => 1) p μ < ⊤ ⊢ snorm (fun x => ↑g x) p μ < ⊤ ** refine' (snorm_mono fun x => _).trans_lt this ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v this : snorm (indicator v fun _x => 1) p μ < ⊤ x : α ⊢ ‖↑g x‖ ≤ ‖indicator v (fun _x => 1) x‖ ** by_cases hx : x ∈ v ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v ⊢ snorm (indicator v fun _x => 1) p μ < ⊤ ** refine' (snorm_indicator_const_le _ _).trans_lt _ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v ⊢ ↑‖1‖₊ * ↑↑μ v ^ (1 / ENNReal.toReal p) < ⊤ ** simp only [lt_top_iff_ne_top, hμv.ne, nnnorm_one, ENNReal.coe_one, one_div, one_mul, Ne.def,
ENNReal.rpow_eq_top_iff, inv_lt_zero, false_and_iff, or_false_iff, not_and, not_lt,
ENNReal.toReal_nonneg, imp_true_iff] ** case pos α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v this : snorm (indicator v fun _x => 1) p μ < ⊤ x : α hx : x ∈ v ⊢ ‖↑g x‖ ≤ ‖indicator v (fun _x => 1) x‖ ** simp only [hx, abs_of_nonneg (hg_range x).1, (hg_range x).2, Real.norm_eq_abs,
indicator_of_mem, CstarRing.norm_one] ** case neg α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.OuterRegular μ hp : p ≠ ⊤ s u : Set α s_closed : IsClosed s u_open : IsOpen u hsu : s ⊆ u hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 η : ℝ≥0 η_pos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (indicator s fun _x => c) p μ ≤ ε ηpos : 0 < ↑η V : Set α sV : V ⊇ s V_open : IsOpen V h'V : ↑↑μ V < ⊤ hV : ↑↑μ (V \ s) < ↑η v : Set α := u ∩ V hsv : s ⊆ v hμv : ↑↑μ v < ⊤ g : C(α, ℝ) hgv : EqOn (↑g) 0 (u ∩ V)ᶜ hgs : EqOn (↑g) 1 s hg_range : ∀ (x : α), ↑g x ∈ Icc 0 1 g_norm : ∀ (x : α), ‖↑g x‖ = ↑g x gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖↑g x • c‖ ≤ ‖c‖ gc_bd : ∀ (x : α), ‖↑g x • c - indicator s (fun _x => c) x‖ ≤ ‖indicator (v \ s) (fun _x => c) x‖ gc_support : (Function.support fun x => ↑g x • c) ⊆ v this : snorm (indicator v fun _x => 1) p μ < ⊤ x : α hx : ¬x ∈ v ⊢ ‖↑g x‖ ≤ ‖indicator v (fun _x => 1) x‖ ** simp only [hgv hx, Pi.zero_apply, Real.norm_eq_abs, abs_zero, abs_nonneg] ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.exists_hasCompactSupport_snorm_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ** suffices H :
∃ g : α → E, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g ** case H α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** apply hf.induction_dense hp _ _ _ _ hε ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ HasCompactSupport f → Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p ∧ HasCompactSupport (f + g) α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ HasCompactSupport f → AEStronglyMeasurable f μ ** rotate_left ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** intro c t ht htμ ε hε ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** rcases exists_Lp_half E μ p hε with ⟨δ, δpos, hδ⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** obtain ⟨η, ηpos, hη⟩ :
∃ η : ℝ≥0, 0 < η ∧ ∀ s : Set α, μ s ≤ η → snorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** exact exists_snorm_indicator_le hp c δpos.ne' ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** have hη_pos' : (0 : ℝ≥0∞) < η := ENNReal.coe_pos.2 ηpos ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** obtain ⟨s, st, s_compact, μs⟩ : ∃ s, s ⊆ t ∧ IsCompact s ∧ μ (t \ s) < η ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η ⊢ ∃ s, s ⊆ t ∧ IsCompact s ∧ ↑↑μ (t \ s) < ↑η case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** exact ht.exists_isCompact_diff_lt htμ.ne hη_pos'.ne' ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** have hsμ : μ s < ∞ := (measure_mono st).trans_lt htμ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** have I1 : snorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ := by
rw [← snorm_neg, neg_sub, ← indicator_diff st]
exact hη _ μs.le ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** obtain ⟨k, k_compact, sk⟩ : ∃ k : Set α, IsCompact k ∧ s ⊆ interior k :=
exists_compact_superset s_compact ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** rcases exists_continuous_snorm_sub_le_of_closed hp s_compact.isClosed isOpen_interior sk hsμ.ne c
δpos.ne' with
⟨f, f_cont, I2, _f_bound, f_support, f_mem⟩ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_support : Function.support f ⊆ interior k f_mem : Memℒp f p ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** have I3 : snorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε := by
convert
(hδ _ _
(f_mem.aestronglyMeasurable.sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator s_compact.measurableSet))
((aestronglyMeasurable_const.indicator s_compact.measurableSet).sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator ht))
I2 I1).le using 2
simp only [sub_add_sub_cancel] ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_support : Function.support f ⊆ interior k f_mem : Memℒp f p I3 : snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ** refine' ⟨f, I3, f_cont, f_mem, HasCompactSupport.intro k_compact fun x hx => _⟩ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_support : Function.support f ⊆ interior k f_mem : Memℒp f p I3 : snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε x : α hx : ¬x ∈ k ⊢ f x = 0 ** rw [← Function.nmem_support] ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_support : Function.support f ⊆ interior k f_mem : Memℒp f p I3 : snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε x : α hx : ¬x ∈ k ⊢ ¬x ∈ Function.support f ** contrapose! hx ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_support : Function.support f ⊆ interior k f_mem : Memℒp f p I3 : snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε x : α hx : x ∈ Function.support f ⊢ x ∈ k ** exact interior_subset (f_support hx) ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 H : ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ** rcases H with ⟨g, hg, g_cont, g_mem, g_support⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 g : α → E hg : snorm (f - g) p μ ≤ ε g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g p g_support : HasCompactSupport g ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ** exact ⟨g, g_support, hg, g_cont, g_mem⟩ ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ HasCompactSupport f → Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ HasCompactSupport g → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p ∧ HasCompactSupport (f + g) ** rintro f g ⟨f_cont, f_mem, hf⟩ ⟨g_cont, g_mem, hg⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf✝ : Memℒp f✝ p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 f g : α → E f_cont : Continuous f f_mem : Memℒp f p hf : HasCompactSupport f g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g p hg : HasCompactSupport g ⊢ Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p ∧ HasCompactSupport (f + g) ** exact ⟨f_cont.add g_cont, f_mem.add g_mem, hf.add hg⟩ ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ HasCompactSupport f → AEStronglyMeasurable f μ ** rintro f ⟨_f_cont, f_mem, _hf⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 f : α → E _f_cont : Continuous f f_mem : Memℒp f p _hf : HasCompactSupport f ⊢ AEStronglyMeasurable f μ ** exact f_mem.aestronglyMeasurable ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ ** rw [← snorm_neg, neg_sub, ← indicator_diff st] ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ snorm (Set.indicator (t \ s) fun _y => c) p μ ≤ δ ** exact hη _ μs.le ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_support : Function.support f ⊆ interior k f_mem : Memℒp f p ⊢ snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε ** convert
(hδ _ _
(f_mem.aestronglyMeasurable.sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator s_compact.measurableSet))
((aestronglyMeasurable_const.indicator s_compact.measurableSet).sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator ht))
I2 I1).le using 2 ** case h.e'_3.h.e'_5 α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_compact : IsCompact s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ k : Set α k_compact : IsCompact k sk : s ⊆ interior k f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_support : Function.support f ⊆ interior k f_mem : Memℒp f p ⊢ (f - Set.indicator t fun _y => c) = (f - Set.indicator s fun x => c) + ((Set.indicator s fun x => c) - Set.indicator t fun x => c) ** simp only [sub_add_sub_cancel] ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.exists_hasCompactSupport_integral_rpow_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) ** have I : 0 < ε ^ (1 / p) := Real.rpow_pos_of_pos hε _ ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) ** have A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 := by
simp only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, I] ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) ** have B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 := by simpa only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hp ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) ** rcases hf.exists_hasCompactSupport_snorm_sub_le ENNReal.coe_ne_top A with
⟨g, g_support, hg, g_cont, g_mem⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α → E g_support : HasCompactSupport g hg : snorm (f - g) (↑(Real.toNNReal p)) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g ↑(Real.toNNReal p) ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) ** change snorm _ (ENNReal.ofReal p) _ ≤ _ at hg ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α → E g_support : HasCompactSupport g g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g ↑(Real.toNNReal p) hg : snorm (f - g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) ** refine' ⟨g, g_support, _, g_cont, g_mem⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α → E g_support : HasCompactSupport g g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g ↑(Real.toNNReal p) hg : snorm (f - g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ** rwa [(hf.sub g_mem).snorm_eq_integral_rpow_norm B ENNReal.coe_ne_top,
ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff I.le, one_div, ENNReal.toReal_ofReal hp.le,
Real.rpow_le_rpow_iff _ hε.le (inv_pos.2 hp)] at hg ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α → E g_support : HasCompactSupport g g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g ↑(Real.toNNReal p) hg : (∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹ ⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ ** exact integral_nonneg fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _ ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) ⊢ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 ** simp only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, I] ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 ⊢ ENNReal.ofReal p ≠ 0 ** simpa only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hp ** Qed
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MeasureTheory.Integrable.exists_hasCompactSupport_lintegral_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ f : α → E hf : Integrable f ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x - g x‖₊ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Integrable g ** simp only [← memℒp_one_iff_integrable, ← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] at hf ⊢ ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ f : α → E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 hf : Memℒp f 1 ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ snorm (fun x => f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g 1 ** exact hf.exists_hasCompactSupport_snorm_sub_le ENNReal.one_ne_top hε ** Qed
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MeasureTheory.Integrable.exists_hasCompactSupport_integral_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ f : α → E hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Integrable g ** simp only [← memℒp_one_iff_integrable, ← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← ENNReal.ofReal_one]
at hf ⊢ ** α : Type u_1 inst✝⁷ : MeasurableSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : T4Space α inst✝⁴ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α inst✝ : Measure.Regular μ f : α → E ε : ℝ hε : 0 < ε hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) ⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal 1) ** simpa using hf.exists_hasCompactSupport_integral_rpow_sub_le zero_lt_one hε ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.exists_boundedContinuous_snorm_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, snorm (f - ↑g) p μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) p ** suffices H :
∃ g : α → E, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g) ** case H α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** apply hf.induction_dense hp _ _ _ _ hε ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ IsBounded (range f) → Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p ∧ IsBounded (range (f + g)) α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ IsBounded (range f) → AEStronglyMeasurable f μ ** rotate_left ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, snorm (g - Set.indicator s fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** intro c t ht htμ ε hε ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** rcases exists_Lp_half E μ p hε with ⟨δ, δpos, hδ⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** obtain ⟨η, ηpos, hη⟩ :
∃ η : ℝ≥0, 0 < η ∧ ∀ s : Set α, μ s ≤ η → snorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** exact exists_snorm_indicator_le hp c δpos.ne' ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** have hη_pos' : (0 : ℝ≥0∞) < η := ENNReal.coe_pos.2 ηpos ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** obtain ⟨s, st, s_closed, μs⟩ : ∃ s, s ⊆ t ∧ IsClosed s ∧ μ (t \ s) < η ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η ⊢ ∃ s, s ⊆ t ∧ IsClosed s ∧ ↑↑μ (t \ s) < ↑η case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** exact ht.exists_isClosed_diff_lt htμ.ne hη_pos'.ne' ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** have hsμ : μ s < ∞ := (measure_mono st).trans_lt htμ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** have I1 : snorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ := by
rw [← snorm_neg, neg_sub, ← indicator_diff st]
exact hη _ μs.le ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** rcases exists_continuous_snorm_sub_le_of_closed hp s_closed isOpen_univ (subset_univ _) hsμ.ne c
δpos.ne' with
⟨f, f_cont, I2, f_bound, -, f_mem⟩ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_mem : Memℒp f p ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** have I3 : snorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε := by
convert
(hδ _ _
(f_mem.aestronglyMeasurable.sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet))
((aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet).sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator ht))
I2 I1).le using 2
simp only [sub_add_sub_cancel] ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_mem : Memℒp f p I3 : snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε ⊢ ∃ g, snorm (g - Set.indicator t fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ** refine' ⟨f, I3, f_cont, f_mem, _⟩ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_mem : Memℒp f p I3 : snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε ⊢ IsBounded (range f) ** exact (BoundedContinuousFunction.ofNormedAddCommGroup f f_cont _ f_bound).isBounded_range ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 H : ∃ g, snorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) ⊢ ∃ g, snorm (f - ↑g) p μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) p ** rcases H with ⟨g, hg, g_cont, g_mem, g_bd⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 g : α → E hg : snorm (f - g) p μ ≤ ε g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g p g_bd : IsBounded (range g) ⊢ ∃ g, snorm (f - ↑g) p μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) p ** exact ⟨⟨⟨g, g_cont⟩, Metric.isBounded_range_iff.1 g_bd⟩, hg, g_mem⟩ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ IsBounded (range f) → Continuous g ∧ Memℒp g p ∧ IsBounded (range g) → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p ∧ IsBounded (range (f + g)) ** rintro f g ⟨f_cont, f_mem, f_bd⟩ ⟨g_cont, g_mem, g_bd⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 f g : α → E f_cont : Continuous f f_mem : Memℒp f p f_bd : IsBounded (range f) g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g p g_bd : IsBounded (range g) ⊢ Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p ∧ IsBounded (range (f + g)) ** refine' ⟨f_cont.add g_cont, f_mem.add g_mem, _⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 f g : α → E f_cont : Continuous f f_mem : Memℒp f p f_bd : IsBounded (range f) g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g p g_bd : IsBounded (range g) ⊢ IsBounded (range (f + g)) ** let f' : α →ᵇ E := ⟨⟨f, f_cont⟩, Metric.isBounded_range_iff.1 f_bd⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 f g : α → E f_cont : Continuous f f_mem : Memℒp f p f_bd : IsBounded (range f) g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g p g_bd : IsBounded (range g) f' : α →ᵇ E := { toContinuousMap := ContinuousMap.mk f, map_bounded' := (_ : ∃ C, ∀ (x y : α), dist (ContinuousMap.toFun (ContinuousMap.mk f) x) (ContinuousMap.toFun (ContinuousMap.mk f) y) ≤ C) } ⊢ IsBounded (range (f + g)) ** let g' : α →ᵇ E := ⟨⟨g, g_cont⟩, Metric.isBounded_range_iff.1 g_bd⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 f g : α → E f_cont : Continuous f f_mem : Memℒp f p f_bd : IsBounded (range f) g_cont : Continuous g g_mem : Memℒp g p g_bd : IsBounded (range g) f' : α →ᵇ E := { toContinuousMap := ContinuousMap.mk f, map_bounded' := (_ : ∃ C, ∀ (x y : α), dist (ContinuousMap.toFun (ContinuousMap.mk f) x) (ContinuousMap.toFun (ContinuousMap.mk f) y) ≤ C) } g' : α →ᵇ E := { toContinuousMap := ContinuousMap.mk g, map_bounded' := (_ : ∃ C, ∀ (x y : α), dist (ContinuousMap.toFun (ContinuousMap.mk g) x) (ContinuousMap.toFun (ContinuousMap.mk g) y) ≤ C) } ⊢ IsBounded (range (f + g)) ** exact (f' + g').isBounded_range ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p ∧ IsBounded (range f) → AEStronglyMeasurable f μ ** exact fun f ⟨_, h, _⟩ => h.aestronglyMeasurable ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ ** rw [← snorm_neg, neg_sub, ← indicator_diff st] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f : α → E hf : Memℒp f p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ snorm (Set.indicator (t \ s) fun _y => c) p μ ≤ δ ** exact hη _ μs.le ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_mem : Memℒp f p ⊢ snorm (f - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ ε ** convert
(hδ _ _
(f_mem.aestronglyMeasurable.sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet))
((aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet).sub
(aestronglyMeasurable_const.indicator ht))
I2 I1).le using 2 ** case h.e'_3.h.e'_5 α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ hp : p ≠ ⊤ f✝ : α → E hf : Memℒp f✝ p ε✝ : ℝ≥0∞ hε✝ : ε✝ ≠ 0 c : E t : Set α ht : MeasurableSet t htμ : ↑↑μ t < ⊤ ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 δ : ℝ≥0∞ δpos : 0 < δ hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ δ → snorm g p μ ≤ δ → snorm (f + g) p μ < ε η : ℝ≥0 ηpos : 0 < η hη : ∀ (s : Set α), ↑↑μ s ≤ ↑η → snorm (Set.indicator s fun _x => c) p μ ≤ δ hη_pos' : 0 < ↑η s : Set α st : s ⊆ t s_closed : IsClosed s μs : ↑↑μ (t \ s) < ↑η hsμ : ↑↑μ s < ⊤ I1 : snorm ((Set.indicator s fun _y => c) - Set.indicator t fun _y => c) p μ ≤ δ f : α → E f_cont : Continuous f I2 : snorm (fun x => f x - Set.indicator s (fun _y => c) x) p μ ≤ δ f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖ f_mem : Memℒp f p ⊢ (f - Set.indicator t fun _y => c) = (f - Set.indicator s fun x => c) + ((Set.indicator s fun x => c) - Set.indicator t fun x => c) ** simp only [sub_add_sub_cancel] ** Qed
| |
MeasureTheory.Memℒp.exists_boundedContinuous_integral_rpow_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) (ENNReal.ofReal p) ** have I : 0 < ε ^ (1 / p) := Real.rpow_pos_of_pos hε _ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) (ENNReal.ofReal p) ** have A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 := by
simp only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, I] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) (ENNReal.ofReal p) ** have B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 := by simpa only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hp ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) (ENNReal.ofReal p) ** rcases hf.exists_boundedContinuous_snorm_sub_le ENNReal.coe_ne_top A with ⟨g, hg, g_mem⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α →ᵇ E hg : snorm (f - ↑g) (↑(Real.toNNReal p)) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) g_mem : Memℒp ↑g ↑(Real.toNNReal p) ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) (ENNReal.ofReal p) ** change snorm _ (ENNReal.ofReal p) _ ≤ _ at hg ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α →ᵇ E g_mem : Memℒp ↑g ↑(Real.toNNReal p) hg : snorm (f - ↑g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) (ENNReal.ofReal p) ** refine' ⟨g, _, g_mem⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α →ᵇ E g_mem : Memℒp ↑g ↑(Real.toNNReal p) hg : snorm (f - ↑g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ⊢ ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ** rwa [(hf.sub g_mem).snorm_eq_integral_rpow_norm B ENNReal.coe_ne_top,
ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff I.le, one_div, ENNReal.toReal_ofReal hp.le,
Real.rpow_le_rpow_iff _ hε.le (inv_pos.2 hp)] at hg ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 B : ENNReal.ofReal p ≠ 0 g : α →ᵇ E g_mem : Memℒp ↑g ↑(Real.toNNReal p) hg : (∫ (a : α), ‖(f - ↑g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹ ⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - ↑g) a‖ ^ p ∂μ ** exact integral_nonneg fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) ⊢ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 ** simp only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, I] ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p✝ : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ p : ℝ hp : 0 < p f : α → E hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) ε : ℝ hε : 0 < ε I : 0 < ε ^ (1 / p) A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 ⊢ ENNReal.ofReal p ≠ 0 ** simpa only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hp ** Qed
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MeasureTheory.Integrable.exists_boundedContinuous_lintegral_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ f : α → E hf : Integrable f ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 ⊢ ∃ g, ∫⁻ (x : α), ↑‖f x - ↑g x‖₊ ∂μ ≤ ε ∧ Integrable ↑g ** simp only [← memℒp_one_iff_integrable, ← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] at hf ⊢ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ f : α → E ε : ℝ≥0∞ hε : ε ≠ 0 hf : Memℒp f 1 ⊢ ∃ g, snorm (fun x => f x - ↑g x) 1 μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) 1 ** exact hf.exists_boundedContinuous_snorm_sub_le ENNReal.one_ne_top hε ** Qed
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MeasureTheory.Integrable.exists_boundedContinuous_integral_sub_le ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ f : α → E hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Integrable ↑g ** simp only [← memℒp_one_iff_integrable, ← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← ENNReal.ofReal_one]
at hf ⊢ ** α : Type u_1 inst✝⁶ : MeasurableSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : T4Space α inst✝³ : BorelSpace α E : Type u_2 inst✝² : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : Measure.WeaklyRegular μ f : α → E ε : ℝ hε : 0 < ε hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) ⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - ↑g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (↑g) (ENNReal.ofReal 1) ** simpa using hf.exists_boundedContinuous_integral_rpow_sub_le zero_lt_one hε ** Qed
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aeSeq.mk_eq_fun_of_mem_aeSeqSet ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p i : ι ⊢ aeSeqSet hf p ⊆ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x} ** rw [aeSeqSet, ← compl_compl { x | ∀ i, f i x = (hf i).mk (f i) x }, Set.compl_subset_compl] ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p i : ι ⊢ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x}ᶜ ⊆ toMeasurable μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ ** refine' Set.Subset.trans (Set.compl_subset_compl.mpr fun x h => _) (subset_toMeasurable _ _) ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x✝ : α hx : x✝ ∈ aeSeqSet hf p i : ι x : α h : x ∈ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x} ⊢ x ∈ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x} ** exact h.1 ** Qed
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aeSeq.aeSeq_eq_mk_of_mem_aeSeqSet ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p i : ι ⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x ** simp only [aeSeq, hx, if_true] ** Qed
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aeSeq.prop_of_mem_aeSeqSet ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x ** simp only [aeSeq, hx, if_true] ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ p x fun n => AEMeasurable.mk (f n) (_ : AEMeasurable (f n)) x ** rw [funext fun n => mk_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx n] ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ p x fun n => f n x ** have h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ { x | p x fun n => f n x } := by
rw [← compl_compl { x | p x fun n => f n x }, aeSeqSet, Set.compl_subset_compl]
refine' Set.Subset.trans (Set.compl_subset_compl.mpr _) (subset_toMeasurable _ _)
exact fun x hx => hx.2 ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x} ⊢ p x fun n => f n x ** have hx' := Set.mem_of_subset_of_mem h_ss hx ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x} hx' : x ∈ {x | p x fun n => f n x} ⊢ p x fun n => f n x ** exact hx' ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x} ** rw [← compl_compl { x | p x fun n => f n x }, aeSeqSet, Set.compl_subset_compl] ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ {x | p x fun n => f n x}ᶜ ⊆ toMeasurable μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ ** refine' Set.Subset.trans (Set.compl_subset_compl.mpr _) (subset_toMeasurable _ _) ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x} ⊆ {x | p x fun n => f n x} ** exact fun x hx => hx.2 ** Qed
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aeSeq.fun_prop_of_mem_aeSeqSet ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ p x fun n => f n x ** have h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x :=
funext fun n => (aeSeq_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx n).symm ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x ⊢ p x fun n => f n x ** rw [h_eq] ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α inst✝ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x ⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x ** exact prop_of_mem_aeSeqSet hf hx ** Qed
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aeSeq.measure_compl_aeSeqSet_eq_zero ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x ⊢ ↑↑μ (aeSeqSet hf p)ᶜ = 0 ** rw [aeSeqSet, compl_compl, measure_toMeasurable] ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x ⊢ ↑↑μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0 ** have hf_eq := fun i => (hf i).ae_eq_mk ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x hf_eq : ∀ (i : ι), f i =ᵐ[μ] AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) ⊢ ↑↑μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0 ** simp_rw [Filter.EventuallyEq, ← ae_all_iff] at hf_eq ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x hf_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i a = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) a ⊢ ↑↑μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0 ** exact Filter.Eventually.and hf_eq hp ** Qed
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aeSeq.aeSeq_eq_mk_ae ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p i : ι ⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x ** simp only [aeSeq, hx, if_true] ** Qed
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aeSeq.iSup ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝¹ : CompleteLattice β inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x ⊢ ⨆ n, aeSeq hf p n =ᵐ[μ] ⨆ n, f n ** simp_rw [Filter.EventuallyEq, ae_iff, iSup_apply] ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝¹ : CompleteLattice β inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x ⊢ ↑↑μ {a | ¬⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} = 0 ** have h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ { a : α | ⨆ i : ι, aeSeq hf p i a = ⨆ i : ι, f i a } := by
intro x hx
congr
exact funext fun i => aeSeq_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx i ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝¹ : CompleteLattice β inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {a | ⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} ⊢ ↑↑μ {a | ¬⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} = 0 ** exact measure_mono_null (Set.compl_subset_compl.mpr h_ss) (measure_compl_aeSeqSet_eq_zero hf hp) ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝¹ : CompleteLattice β inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x ⊢ aeSeqSet hf p ⊆ {a | ⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} ** intro x hx ** ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝¹ : CompleteLattice β inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ x ∈ {a | ⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} ** congr ** case e_s ι : Sort u_1 α : Type u_2 β : Type u_3 γ : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace β f : ι → α → β μ : Measure α p : α → (ι → β) → Prop inst✝¹ : CompleteLattice β inst✝ : Countable ι hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x x : α hx : x ∈ aeSeqSet hf p ⊢ (fun i => aeSeq hf p i x) = fun i => f i x ** exact funext fun i => aeSeq_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx i ** Qed
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MeasureTheory.UnifIntegrable.add ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ⊢ UnifIntegrable (f + g) p μ ** intro ε hε ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** have hε2 : 0 < ε / 2 := half_pos hε ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ₁, hδ₁_pos, hfδ₁⟩ := hf hε2 ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ₂, hδ₂_pos, hgδ₂⟩ := hg hε2 ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) δ₂ : ℝ hδ₂_pos : 0 < δ₂ hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨min δ₁ δ₂, lt_min hδ₁_pos hδ₂_pos, fun i s hs hμs => _⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) δ₂ : ℝ hδ₂_pos : 0 < δ₂ hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂) ⊢ snorm (indicator s ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** simp_rw [Pi.add_apply, Set.indicator_add'] ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) δ₂ : ℝ hδ₂_pos : 0 < δ₂ hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂) ⊢ snorm (indicator s (f i) + indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' (snorm_add_le ((hf_meas i).indicator hs) ((hg_meas i).indicator hs) hp).trans _ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) δ₂ : ℝ hδ₂_pos : 0 < δ₂ hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂) ⊢ snorm (indicator s (f i)) p μ + snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** have hε_halves : ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2) := by
rw [← ENNReal.ofReal_add hε2.le hε2.le, add_halves] ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) δ₂ : ℝ hδ₂_pos : 0 < δ₂ hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂) hε_halves : ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2) ⊢ snorm (indicator s (f i)) p μ + snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** rw [hε_halves] ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) δ₂ : ℝ hδ₂_pos : 0 < δ₂ hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂) hε_halves : ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2) ⊢ snorm (indicator s (f i)) p μ + snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2) ** exact add_le_add (hfδ₁ i s hs (hμs.trans (ENNReal.ofReal_le_ofReal (min_le_left _ _))))
(hgδ₂ i s hs (hμs.trans (ENNReal.ofReal_le_ofReal (min_le_right _ _)))) ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ε : ℝ hε : 0 < ε hε2 : 0 < ε / 2 δ₁ : ℝ hδ₁_pos : 0 < δ₁ hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) δ₂ : ℝ hδ₂_pos : 0 < δ₂ hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂) ⊢ ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2) ** rw [← ENNReal.ofReal_add hε2.le hε2.le, add_halves] ** Qed
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MeasureTheory.UnifIntegrable.neg ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ ⊢ UnifIntegrable (-f) p μ ** simp_rw [UnifIntegrable, Pi.neg_apply, Set.indicator_neg', snorm_neg] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ ⊢ ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ δ h, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** exact hf ** Qed
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MeasureTheory.UnifIntegrable.sub ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ⊢ UnifIntegrable (f - g) p μ ** rw [sub_eq_add_neg] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hg : UnifIntegrable g p μ hp : 1 ≤ p hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ ⊢ UnifIntegrable (f + -g) p μ ** exact hf.add hg.neg hp hf_meas fun i => (hg_meas i).neg ** Qed
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MeasureTheory.UnifIntegrable.ae_eq ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n ⊢ UnifIntegrable g p μ ** intro ε hε ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ, hδ_pos, hfδ⟩ := hf hε ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n ε : ℝ hε : 0 < ε δ : ℝ hδ_pos : 0 < δ hfδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨δ, hδ_pos, fun n s hs hμs => (le_of_eq <| snorm_congr_ae _).trans (hfδ n s hs hμs)⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n ε : ℝ hε : 0 < ε δ : ℝ hδ_pos : 0 < δ hfδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε n : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ ⊢ indicator s (g n) =ᵐ[μ] indicator s (f n) ** filter_upwards [hfg n] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f g : ι → α → β p : ℝ≥0∞ hf : UnifIntegrable f p μ hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n ε : ℝ hε : 0 < ε δ : ℝ hδ_pos : 0 < δ hfδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε n : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ x : α hx : f n x = g n x ⊢ indicator s (g n) x = indicator s (f n) x ** simp_rw [Set.indicator_apply, hx] ** Qed
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MeasureTheory.unifIntegrable_zero_meas ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β ε : ℝ x✝² : 0 < ε i : ι s : Set α x✝¹ : MeasurableSet s x✝ : ↑↑0 s ≤ ENNReal.ofReal 1 ⊢ snorm (indicator s (f i)) p 0 ≤ ENNReal.ofReal ε ** simp ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_indicator_ge ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f : α → β x : α ⊢ Tendsto (fun M => indicator {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊} f x) atTop (𝓝 0) ** refine' tendsto_atTop_of_eventually_const (i₀ := Nat.ceil (‖f x‖₊ : ℝ) + 1) fun n hn => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f : α → β x : α n : ℕ hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ⊢ indicator {x | ↑n ≤ ↑‖f x‖₊} f x = 0 ** rw [Set.indicator_of_not_mem] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f : α → β x : α n : ℕ hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ⊢ ¬x ∈ {x | ↑n ≤ ↑‖f x‖₊} ** simp only [not_le, Set.mem_setOf_eq] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f : α → β x : α n : ℕ hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ⊢ ↑‖f x‖₊ < ↑n ** refine' lt_of_le_of_lt (Nat.le_ceil _) _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f : α → β x : α n : ℕ hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ⊢ ↑⌈↑‖f x‖₊⌉₊ < ↑n ** refine' lt_of_lt_of_le (lt_add_one _) _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β f : α → β x : α n : ℕ hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ⊢ ↑⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ≤ ↑n ** norm_cast ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.integral_indicator_norm_ge_nonneg_le_of_meas ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f 1 hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | max M 0 ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** simpa ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.integral_indicator_norm_ge_nonneg_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f 1 ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** have hf_mk : Memℒp (hf.1.mk f) 1 μ := (memℒp_congr_ae hf.1.ae_eq_mk).mp hf ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f 1 ε : ℝ hε : 0 < ε hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) 1 ⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨M, hM_pos, hfM⟩ :=
hf_mk.integral_indicator_norm_ge_nonneg_le_of_meas μ hf.1.stronglyMeasurable_mk hε ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f 1 ε : ℝ hε : 0 < ε hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) 1 M : ℝ hM_pos : 0 ≤ M hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x‖₊} (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨M, hM_pos, (le_of_eq _).trans hfM⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f 1 ε : ℝ hε : 0 < ε hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) 1 M : ℝ hM_pos : 0 ≤ M hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x‖₊} (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x‖₊} (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) x‖₊ ∂μ ** refine' lintegral_congr_ae _ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f 1 ε : ℝ hε : 0 < ε hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) 1 M : ℝ hM_pos : 0 ≤ M hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x‖₊} (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ (fun x => ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊) =ᵐ[μ] fun x => ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x‖₊} (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) x‖₊ ** filter_upwards [hf.1.ae_eq_mk] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f 1 ε : ℝ hε : 0 < ε hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) 1 M : ℝ hM_pos : 0 ≤ M hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x‖₊} (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε x : α hx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x ⊢ ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖₊ = ↑‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ) x‖₊} (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) x‖₊ ** simp only [Set.indicator_apply, coe_nnnorm, Set.mem_setOf_eq, ENNReal.coe_eq_coe, hx.symm] ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.snormEssSup_indicator_norm_ge_eq_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f ⊢ ∃ M, snormEssSup (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) μ = 0 ** have hbdd : snormEssSup f μ < ∞ := hf.snorm_lt_top ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ ⊢ ∃ M, snormEssSup (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) μ = 0 ** refine' ⟨(snorm f ∞ μ + 1).toReal, _⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ ⊢ snormEssSup (Set.indicator {x | ENNReal.toReal (snorm f ⊤ μ + 1) ≤ ↑‖f x‖₊} f) μ = 0 ** rw [snormEssSup_indicator_eq_snormEssSup_restrict] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ this : Measure.restrict μ {x | ENNReal.toReal (snorm f ⊤ μ + 1) ≤ ↑‖f x‖₊} = 0 ⊢ snormEssSup f (Measure.restrict μ {x | ENNReal.toReal (snorm f ⊤ μ + 1) ≤ ↑‖f x‖₊}) = 0 α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ ⊢ MeasurableSet {x | ENNReal.toReal (snorm f ⊤ μ + 1) ≤ ↑‖f x‖₊} ** rw [this, snormEssSup_measure_zero] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ ⊢ MeasurableSet {x | ENNReal.toReal (snorm f ⊤ μ + 1) ≤ ↑‖f x‖₊} ** exact measurableSet_le measurable_const hmeas.nnnorm.measurable.subtype_coe ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ ⊢ Measure.restrict μ {x | ENNReal.toReal (snorm f ⊤ μ + 1) ≤ ↑‖f x‖₊} = 0 ** simp only [coe_nnnorm, snorm_exponent_top, Measure.restrict_eq_zero] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ this : {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊆ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ⊢ ↑↑μ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} = 0 ** rw [← nonpos_iff_eq_zero] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ this : {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊆ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ⊢ ↑↑μ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ≤ 0 ** refine' (measure_mono this).trans _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ this : {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊆ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ⊢ ↑↑μ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ≤ 0 ** have hle := coe_nnnorm_ae_le_snormEssSup f μ ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ this : {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊆ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} hle : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑‖f x‖₊ ≤ snormEssSup f μ ⊢ ↑↑μ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ≤ 0 ** simp_rw [ae_iff, not_le] at hle ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ this : {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊆ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} hle : ↑↑μ {a | snormEssSup f μ < ↑‖f a‖₊} = 0 ⊢ ↑↑μ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ≤ 0 ** exact nonpos_iff_eq_zero.2 hle ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ ⊢ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊆ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ** intro x hx ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ x : α hx : x ∈ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊢ x ∈ {x | snormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊} ** rw [Set.mem_setOf_eq, ← ENNReal.toReal_lt_toReal hbdd.ne ENNReal.coe_lt_top.ne,
ENNReal.coe_toReal, coe_nnnorm] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ x : α hx : x ∈ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊢ ENNReal.toReal (snormEssSup f μ) < ‖f x‖ ** refine' lt_of_lt_of_le _ hx ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ x : α hx : x ∈ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊢ ENNReal.toReal (snormEssSup f μ) < ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ** rw [ENNReal.toReal_lt_toReal hbdd.ne] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ x : α hx : x ∈ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊢ snormEssSup f μ < snormEssSup f μ + 1 ** exact ENNReal.lt_add_right hbdd.ne one_ne_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f ⊤ hmeas : StronglyMeasurable f hbdd : snormEssSup f μ < ⊤ x : α hx : x ∈ {x | ENNReal.toReal (snormEssSup f μ + 1) ≤ ‖f x‖} ⊢ snormEssSup f μ + 1 ≠ ⊤ ** exact (ENNReal.add_lt_top.2 ⟨hbdd, ENNReal.one_lt_top⟩).ne ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.snorm_indicator_norm_ge_pos_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ M, 0 < M ∧ snorm (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨M, hM⟩ := hf.snorm_indicator_norm_ge_le μ hmeas hε ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hM : snorm (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ M, 0 < M ∧ snorm (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine'
⟨max M 1, lt_of_lt_of_le zero_lt_one (le_max_right _ _), le_trans (snorm_mono fun x => _) hM⟩ ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hM : snorm (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε x : α ⊢ ‖Set.indicator {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖ ≤ ‖Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f x‖ ** rw [norm_indicator_eq_indicator_norm, norm_indicator_eq_indicator_norm] ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hM : snorm (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε x : α ⊢ Set.indicator {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊} (fun a => ‖f a‖) x ≤ Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} (fun a => ‖f a‖) x ** refine' Set.indicator_le_indicator_of_subset (fun x hx => _) (fun x => norm_nonneg (f x)) x ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hM : snorm (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε x✝ x : α hx : x ∈ {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊} ⊢ x ∈ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} ** rw [Set.mem_setOf_eq] at hx ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hM : snorm (Set.indicator {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε x✝ x : α hx : max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊ ⊢ x ∈ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊} ** exact (max_le_iff.1 hx).1 ** Qed
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MeasureTheory.snorm_indicator_le_of_bound ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M ⊢ ∃ δ hδ, ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** by_cases hM : M ≤ 0 ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : ¬M ≤ 0 ⊢ ∃ δ hδ, ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** rw [not_le] at hM ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M ⊢ ∃ δ hδ, ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨(ε / M) ^ p.toReal, Real.rpow_pos_of_pos (div_pos hε hM) _, fun s hs hμ => _⟩ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) ⊢ snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** by_cases hp : p = 0 ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 ⊢ snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** rw [snorm_indicator_eq_snorm_restrict hs] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 ⊢ snorm f p (Measure.restrict μ s) ≤ ENNReal.ofReal ε ** have haebdd : ∀ᵐ x ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M := by
filter_upwards
exact fun x => (hf x).le ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ M ⊢ snorm f p (Measure.restrict μ s) ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' le_trans (snorm_le_of_ae_bound haebdd) _ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ M ⊢ ↑↑(Measure.restrict μ s) univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ * ENNReal.ofReal M ≤ ENNReal.ofReal ε ** rw [Measure.restrict_apply MeasurableSet.univ, Set.univ_inter,
← ENNReal.le_div_iff_mul_le (Or.inl _) (Or.inl ENNReal.ofReal_ne_top)] ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : M ≤ 0 ⊢ ∃ δ hδ, ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨1, zero_lt_one, fun s _ _ => _⟩ ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : M ≤ 0 s : Set α x✝¹ : MeasurableSet s x✝ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal 1 ⊢ snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** rw [(_ : f = 0)] ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : M ≤ 0 s : Set α x✝¹ : MeasurableSet s x✝ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal 1 ⊢ snorm (indicator s 0) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** simp [hε.le] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : M ≤ 0 s : Set α x✝¹ : MeasurableSet s x✝ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal 1 ⊢ f = 0 ** ext x ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : M ≤ 0 s : Set α x✝¹ : MeasurableSet s x✝ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal 1 x : α ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x ** rw [Pi.zero_apply, ← norm_le_zero_iff] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : M ≤ 0 s : Set α x✝¹ : MeasurableSet s x✝ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal 1 x : α ⊢ ‖f x‖ ≤ 0 ** exact (lt_of_lt_of_le (hf x) hM).le ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : p = 0 ⊢ snorm (indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** simp [hp] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ M ** filter_upwards ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 ⊢ ∀ (a : α), ‖f a‖ ≤ M ** exact fun x => (hf x).le ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ M ⊢ ↑↑μ s ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ ≤ ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M ** rw [← one_div, ENNReal.rpow_one_div_le_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp_top)] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ M ⊢ ↑↑μ s ≤ (ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M) ^ ENNReal.toReal p ** refine' le_trans hμ _ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ M ⊢ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) ≤ (ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M) ^ ENNReal.toReal p ** rw [← ENNReal.ofReal_rpow_of_pos (div_pos hε hM),
ENNReal.rpow_le_rpow_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp_top), ENNReal.ofReal_div_of_pos hM] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_top : p ≠ ⊤ ε : ℝ hε : 0 < ε M : ℝ hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M hM : 0 < M s : Set α hs : MeasurableSet s hμ : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ ENNReal.toReal p) hp : ¬p = 0 haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ M ⊢ ENNReal.ofReal M ≠ 0 ** simpa only [ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, Ne.def] ** Qed
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MeasureTheory.Memℒp.snorm_indicator_le_of_meas ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ hδ, ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ, hδpos, hδ⟩ := hf.snorm_indicator_le' μ hp_one hp_top hmeas (half_pos hε) ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε δ : ℝ hδpos : 0 < δ hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal (ε / 2) ⊢ ∃ δ hδ, ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨δ, hδpos, fun s hs hμs => le_trans (hδ s hs hμs) _⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε δ : ℝ hδpos : 0 < δ hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal (ε / 2) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ ⊢ 2 * ENNReal.ofReal (ε / 2) ≤ ENNReal.ofReal ε ** rw [ENNReal.ofReal_div_of_pos zero_lt_two, (by norm_num : ENNReal.ofReal 2 = 2),
ENNReal.mul_div_cancel'] <;>
norm_num ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : α → β hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ hf : Memℒp f p hmeas : StronglyMeasurable f ε : ℝ hε : 0 < ε δ : ℝ hδpos : 0 < δ hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal (ε / 2) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ ⊢ ENNReal.ofReal 2 = 2 ** norm_num ** Qed
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MeasureTheory.unifIntegrable_const ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f g : α → β hp : 1 ≤ p hp_ne_top : p ≠ ⊤ hg : Memℒp g p ⊢ UnifIntegrable (fun x => g) p μ ** intro ε hε ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f g : α → β hp : 1 ≤ p hp_ne_top : p ≠ ⊤ hg : Memℒp g p ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((fun x => g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ, hδ_pos, hgδ⟩ := hg.snorm_indicator_le μ hp hp_ne_top hε ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f g : α → β hp : 1 ≤ p hp_ne_top : p ≠ ⊤ hg : Memℒp g p ε : ℝ hε : 0 < ε δ : ℝ hδ_pos : 0 < δ hgδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((fun x => g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** exact ⟨δ, hδ_pos, fun _ => hgδ⟩ ** Qed
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MeasureTheory.unifIntegrable_subsingleton ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Subsingleton ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ⊢ UnifIntegrable f p μ ** intro ε hε ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Subsingleton ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** by_cases hι : Nonempty ι ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Subsingleton ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ε : ℝ hε : 0 < ε hι : Nonempty ι ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** cases' hι with i ** case pos.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Subsingleton ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ε : ℝ hε : 0 < ε i : ι ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ, hδpos, hδ⟩ := (hf i).snorm_indicator_le μ hp_one hp_top hε ** case pos.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Subsingleton ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ε : ℝ hε : 0 < ε i : ι δ : ℝ hδpos : 0 < δ hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨δ, hδpos, fun j s hs hμs => _⟩ ** case pos.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Subsingleton ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ε : ℝ hε : 0 < ε i : ι δ : ℝ hδpos : 0 < δ hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε j : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ ⊢ snorm (indicator s (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** convert hδ s hs hμs ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Subsingleton ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ε : ℝ hε : 0 < ε hι : ¬Nonempty ι ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** exact ⟨1, zero_lt_one, fun i => False.elim <| hι <| Nonempty.intro i⟩ ** Qed
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MeasureTheory.unifIntegrable_finite ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p ⊢ UnifIntegrable f p μ ** obtain ⟨n, hn⟩ := Finite.exists_equiv_fin ι ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ⊢ UnifIntegrable f p μ ** intro ε hε ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** set g : Fin n → α → β := f ∘ hn.some.symm with hgeq ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ε : ℝ hε : 0 < ε g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** have hg : ∀ i, Memℒp (g i) p μ := fun _ => hf _ ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ε : ℝ hε : 0 < ε g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ, hδpos, hδ⟩ := unifIntegrable_fin μ hp_one hp_top hg hε ** case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ε : ℝ hε : 0 < ε g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p δ : ℝ hδpos : 0 < δ hδ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((fun i => g i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨δ, hδpos, fun i s hs hμs => _⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ε : ℝ hε : 0 < ε g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p δ : ℝ hδpos : 0 < δ hδ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s ((fun i => g i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ ⊢ snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** specialize hδ (hn.some i) s hs hμs ** case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ε : ℝ hε : 0 < ε g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p δ : ℝ hδpos : 0 < δ i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ hδ : snorm (indicator s ((fun i => g i) (↑(Nonempty.some hn) i))) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** simp_rw [hgeq, Function.comp_apply, Equiv.symm_apply_apply] at hδ ** case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : α → β inst✝ : Finite ι hp_one : 1 ≤ p hp_top : p ≠ ⊤ f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p n : ℕ hn : Nonempty (ι ≃ Fin n) ε : ℝ hε : 0 < ε g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p δ : ℝ hδpos : 0 < δ i : ι s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ hδ : snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** assumption ** Qed
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MeasureTheory.snorm_sub_le_of_dist_bdd ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c ⊢ snorm (indicator s (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ** by_cases hp : p = 0 ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 this : ∀ (x : α), ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ⊢ snorm (indicator s (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ** refine' le_trans (snorm_mono this) _ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 this : ∀ (x : α), ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ⊢ snorm (fun x => indicator s (fun x => c) x) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ** rw [snorm_indicator_const hs hp hp'] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 this : ∀ (x : α), ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ⊢ ↑‖c‖₊ * ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ ENNReal.ofReal c * ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ** refine' mul_le_mul_right' (le_of_eq _) _ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 this : ∀ (x : α), ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ⊢ ↑‖c‖₊ = ENNReal.ofReal c ** rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg hc] ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : p = 0 ⊢ snorm (indicator s (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ** simp [hp] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 ⊢ ∀ (x : α), ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ** intro x ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 x : α ⊢ ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ** by_cases hx : x ∈ s ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 x : α hx : x ∈ s ⊢ ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ** rw [Set.indicator_of_mem hx, Set.indicator_of_mem hx, Pi.sub_apply, ← dist_eq_norm,
Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg hc] ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 x : α hx : x ∈ s ⊢ dist (f x) (g x) ≤ c ** exact hf x hx ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p✝ p : ℝ≥0∞ hp' : p ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s f g : α → β c : ℝ hc : 0 ≤ c hf : ∀ (x : α), x ∈ s → dist (f x) (g x) ≤ c hp : ¬p = 0 x : α hx : ¬x ∈ s ⊢ ‖indicator s (f - g) x‖ ≤ ‖indicator s (fun x => c) x‖ ** simp [Set.indicator_of_not_mem hx] ** Qed
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MeasureTheory.unifIntegrable_of_tendsto_Lp_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (f n) p μ) atTop (𝓝 0) ⊢ UnifIntegrable f p μ ** intro ε hε ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : Tendsto (fun n => snorm (f n) p μ) atTop (𝓝 0) ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** rw [ENNReal.tendsto_atTop_zero] at hf_tendsto ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨N, hN⟩ := hf_tendsto (ENNReal.ofReal ε) (by simpa) ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** let F : Fin N → α → β := fun n => f n ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** have hF : ∀ n, Memℒp (F n) p μ := fun n => hf n ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨δ₁, hδpos₁, hδ₁⟩ := unifIntegrable_fin μ hp hp' hF hε ** case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p δ₁ : ℝ hδpos₁ : 0 < δ₁ hδ₁ : ∀ (i : Fin N) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s ((fun i => F i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ δ x, ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨δ₁, hδpos₁, fun n s hs hμs => _⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p δ₁ : ℝ hδpos₁ : 0 < δ₁ hδ₁ : ∀ (i : Fin N) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s ((fun i => F i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε n : ℕ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ ⊢ snorm (indicator s (f n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** by_cases hn : n < N ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ENNReal.ofReal ε > 0 ** simpa ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p δ₁ : ℝ hδpos₁ : 0 < δ₁ hδ₁ : ∀ (i : Fin N) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s ((fun i => F i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε n : ℕ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ hn : n < N ⊢ snorm (indicator s (f n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** exact hδ₁ ⟨n, hn⟩ s hs hμs ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → β g : α → β hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ε ε : ℝ hε : 0 < ε N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → snorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p δ₁ : ℝ hδpos₁ : 0 < δ₁ hδ₁ : ∀ (i : Fin N) (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → snorm (indicator s ((fun i => F i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε n : ℕ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ hn : ¬n < N ⊢ snorm (indicator s (f n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** exact (snorm_indicator_le _).trans (hN n (not_lt.1 hn)) ** Qed
| |
MeasureTheory.uniformIntegrable_of ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ UniformIntegrable f p μ ** set g : ι → α → β := fun i => (hf i).choose ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) ⊢ UniformIntegrable f p μ ** have hgmeas : ∀ i, StronglyMeasurable (g i) := fun i => (Exists.choose_spec <| hf i).1 ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) ⊢ UniformIntegrable f p μ ** have hgeq : ∀ i, g i =ᵐ[μ] f i := fun i => (Exists.choose_spec <| hf i).2.symm ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ⊢ UniformIntegrable f p μ ** refine' (uniformIntegrable_of' hp hp' hgmeas fun ε hε => _).ae_eq hgeq ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨C, hC⟩ := h ε hε ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨C, fun i => le_trans (le_of_eq <| snorm_congr_ae _) (hC i)⟩ ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι ⊢ indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) =ᵐ[μ] indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) ** filter_upwards [(Exists.choose_spec <| hf i).2] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x ⊢ indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) x = indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) x ** by_cases hfx : x ∈ { x | C ≤ ‖f i x‖₊ } ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) x = indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) x ** rw [Set.indicator_of_mem hfx, Set.indicator_of_mem, hx] ** case pos.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ x ∈ {x | C ≤ ‖g i x‖₊} ** rwa [Set.mem_setOf, hx] at hfx ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : ¬x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) x = indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) x ** rw [Set.indicator_of_not_mem hfx, Set.indicator_of_not_mem] ** case neg.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β inst✝ : IsFiniteMeasure μ hp : 1 ≤ p hp' : p ≠ ⊤ hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᵐ[μ] f i ε : ℝ hε : 0 < ε C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : ¬x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ ¬x ∈ {x | C ≤ ‖g i x‖₊} ** rwa [Set.mem_setOf, hx] at hfx ** Qed
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MeasureTheory.UniformIntegrable.spec ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** set g : ι → α → β := fun i => (hfu.1 i).choose ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) ⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** have hgmeas : ∀ i, StronglyMeasurable (g i) := fun i => (Exists.choose_spec <| hfu.1 i).1 ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) ⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** have hgunif : UniformIntegrable g p μ := hfu.ae_eq fun i => (Exists.choose_spec <| hfu.1 i).2 ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ ⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** obtain ⟨C, hC⟩ := hgunif.spec' hp hp' hgmeas hε ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε ** refine' ⟨C, fun i => le_trans (le_of_eq <| snorm_congr_ae _) (hC i)⟩ ** case intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι ⊢ indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) =ᵐ[μ] indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) ** filter_upwards [(Exists.choose_spec <| hfu.1 i).2] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x ⊢ indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) x = indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) x ** by_cases hfx : x ∈ { x | C ≤ ‖f i x‖₊ } ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) x = indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) x ** rw [Set.indicator_of_mem hfx, Set.indicator_of_mem, hx] ** case pos.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ x ∈ {x | C ≤ ‖g i x‖₊} ** rwa [Set.mem_setOf, hx] at hfx ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : ¬x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ indicator {x | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i) x = indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i) x ** rw [Set.indicator_of_not_mem hfx, Set.indicator_of_not_mem] ** case neg.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f : ι → α → β hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hfu : UniformIntegrable f p μ ε : ℝ hε : 0 < ε g : ι → α → β := fun i => Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i) hgunif : UniformIntegrable g p μ C : ℝ≥0 hC : ∀ (i : ι), snorm (indicator {x | C ≤ ‖g i x‖₊} (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε i : ι x : α hx : f i x = Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable (f i) μ) x hfx : ¬x ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊢ ¬x ∈ {x | C ≤ ‖g i x‖₊} ** rwa [Set.mem_setOf, hx] at hfx ** Qed
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MeasureTheory.uniformIntegrable_average_real ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : ι → α → β hp : 1 ≤ p f : ℕ → α → ℝ hf : UniformIntegrable f p μ ⊢ UniformIntegrable (fun n => (∑ i in Finset.range n, f i) / ↑n) p μ ** convert uniformIntegrable_average hp hf using 2 with n ** case h.e'_6.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : ι → α → β hp : 1 ≤ p f : ℕ → α → ℝ hf : UniformIntegrable f p μ n : ℕ ⊢ (∑ i in Finset.range n, f i) / ↑n = (↑n)⁻¹ • ∑ i in Finset.range n, f i ** ext x ** case h.e'_6.h.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : NormedAddCommGroup β p : ℝ≥0∞ f✝ : ι → α → β hp : 1 ≤ p f : ℕ → α → ℝ hf : UniformIntegrable f p μ n : ℕ x : α ⊢ ((∑ i in Finset.range n, f i) / ↑n) x = ((↑n)⁻¹ • ∑ i in Finset.range n, f i) x ** simp [div_eq_inv_mul] ** Qed
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essSup_eq_sInf ** α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β x : β f✝ : α → β m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → β ⊢ essSup f μ = sInf {a | ↑↑μ {x | a < f x} = 0} ** dsimp [essSup, limsup, limsSup] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β x : β f✝ : α → β m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → β ⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (Measure.ae μ), n ≤ a} = sInf {a | ↑↑μ {x | a < f x} = 0} ** simp only [eventually_map, ae_iff, not_le] ** Qed
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essInf_eq_sSup ** α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β x : β f✝ : α → β m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → β ⊢ essInf f μ = sSup {a | ↑↑μ {x | f x < a} = 0} ** dsimp [essInf, liminf, limsInf] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β x : β f✝ : α → β m : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → β ⊢ sSup {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (Measure.ae μ), a ≤ n} = sSup {a | ↑↑μ {x | f x < a} = 0} ** simp only [eventually_map, ae_iff, not_le] ** Qed
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essSup_measure_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β m : MeasurableSpace α f : α → β ⊢ ⊥ ∈ {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (Measure.ae 0), n ≤ a} ** simp [Set.mem_setOf_eq, EventuallyLE, ae_iff] ** Qed
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essSup_le_of_ae_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : β hf : f ≤ᵐ[μ] fun x => c ⊢ essSup f μ ≤ c ** refine' (essSup_mono_ae hf).trans _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : β hf : f ≤ᵐ[μ] fun x => c ⊢ essSup (fun x => c) μ ≤ c ** by_cases hμ : μ = 0 ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : β hf : f ≤ᵐ[μ] fun x => c hμ : μ = 0 ⊢ essSup (fun x => c) μ ≤ c ** simp [hμ] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : β hf : f ≤ᵐ[μ] fun x => c hμ : ¬μ = 0 ⊢ essSup (fun x => c) μ ≤ c ** rwa [essSup_const] ** Qed
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OrderIso.essSup_apply ** α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝¹ : CompleteLattice β m : MeasurableSpace α γ : Type u_3 inst✝ : CompleteLattice γ f : α → β μ : Measure α g : β ≃o γ ⊢ ↑g (essSup f μ) = essSup (fun x => ↑g (f x)) μ ** refine' OrderIso.limsup_apply g _ _ _ _ ** case refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝¹ : CompleteLattice β m : MeasurableSpace α γ : Type u_3 inst✝ : CompleteLattice γ f : α → β μ : Measure α g : β ≃o γ ⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Measure.ae μ) f case refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝¹ : CompleteLattice β m : MeasurableSpace α γ : Type u_3 inst✝ : CompleteLattice γ f : α → β μ : Measure α g : β ≃o γ ⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Measure.ae μ) f case refine'_3 α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝¹ : CompleteLattice β m : MeasurableSpace α γ : Type u_3 inst✝ : CompleteLattice γ f : α → β μ : Measure α g : β ≃o γ ⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Measure.ae μ) fun x => ↑g (f x) case refine'_4 α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝¹ : CompleteLattice β m : MeasurableSpace α γ : Type u_3 inst✝ : CompleteLattice γ f : α → β μ : Measure α g : β ≃o γ ⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Measure.ae μ) fun x => ↑g (f x) ** all_goals isBoundedDefault ** case refine'_4 α : Type u_1 β : Type u_2 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝¹ : CompleteLattice β m : MeasurableSpace α γ : Type u_3 inst✝ : CompleteLattice γ f : α → β μ : Measure α g : β ≃o γ ⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Measure.ae μ) fun x => ↑g (f x) ** isBoundedDefault ** Qed
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essSup_smul_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ essSup f (c • μ) = essSup f μ ** simp_rw [essSup] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ limsup f (Measure.ae (c • μ)) = limsup f (Measure.ae μ) ** suffices h_smul : (c • μ).ae = μ.ae ** case h_smul α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ Measure.ae (c • μ) = Measure.ae μ ** ext1 ** case h_smul.a α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 s✝ : Set α ⊢ s✝ ∈ Measure.ae (c • μ) ↔ s✝ ∈ Measure.ae μ ** simp_rw [mem_ae_iff] ** case h_smul.a α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 s✝ : Set α ⊢ ↑↑(c • μ) s✝ᶜ = 0 ↔ ↑↑μ s✝ᶜ = 0 ** simp [hc] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β f : α → β c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 h_smul : Measure.ae (c • μ) = Measure.ae μ ⊢ limsup f (Measure.ae (c • μ)) = limsup f (Measure.ae μ) ** rw [h_smul] ** Qed
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essSup_comp_le_essSup_map_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f ⊢ essSup (g ∘ f) μ ≤ essSup g (Measure.map f μ) ** refine' limsSup_le_limsSup_of_le (fun t => _) (by isBoundedDefault) (by isBoundedDefault) ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f t : Set β ⊢ t ∈ map g (Measure.ae (Measure.map f μ)) → t ∈ map (g ∘ f) (Measure.ae μ) ** simp_rw [Filter.mem_map] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f t : Set β ⊢ g ⁻¹' t ∈ Measure.ae (Measure.map f μ) → g ∘ f ⁻¹' t ∈ Measure.ae μ ** have : g ∘ f ⁻¹' t = f ⁻¹' (g ⁻¹' t) := by
ext1 x
simp_rw [Set.mem_preimage, Function.comp] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f t : Set β this : g ∘ f ⁻¹' t = f ⁻¹' (g ⁻¹' t) ⊢ g ⁻¹' t ∈ Measure.ae (Measure.map f μ) → g ∘ f ⁻¹' t ∈ Measure.ae μ ** rw [this] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f t : Set β this : g ∘ f ⁻¹' t = f ⁻¹' (g ⁻¹' t) ⊢ g ⁻¹' t ∈ Measure.ae (Measure.map f μ) → f ⁻¹' (g ⁻¹' t) ∈ Measure.ae μ ** exact fun h => mem_ae_of_mem_ae_map hf h ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f ⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map (g ∘ f) (Measure.ae μ)) ** isBoundedDefault ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f ⊢ IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map g (Measure.ae (Measure.map f μ))) ** isBoundedDefault ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f t : Set β ⊢ g ∘ f ⁻¹' t = f ⁻¹' (g ⁻¹' t) ** ext1 x ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : AEMeasurable f t : Set β x : α ⊢ x ∈ g ∘ f ⁻¹' t ↔ x ∈ f ⁻¹' (g ⁻¹' t) ** simp_rw [Set.mem_preimage, Function.comp] ** Qed
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MeasurableEmbedding.essSup_map_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : MeasurableEmbedding f ⊢ essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ ** refine' le_antisymm _ (essSup_comp_le_essSup_map_measure hf.measurable.aemeasurable) ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : MeasurableEmbedding f ⊢ essSup g (Measure.map f μ) ≤ essSup (g ∘ f) μ ** refine' limsSup_le_limsSup (by isBoundedDefault) (by isBoundedDefault) (fun c h_le => _) ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : MeasurableEmbedding f c : β h_le : ∀ᶠ (n : β) in map (g ∘ f) (Measure.ae μ), n ≤ c ⊢ ∀ᶠ (n : β) in map g (Measure.ae (Measure.map f μ)), n ≤ c ** rw [eventually_map] at h_le ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : MeasurableEmbedding f c : β h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c ⊢ ∀ᵐ (a : γ) ∂Measure.map f μ, g a ≤ c ** exact hf.ae_map_iff.mpr h_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : MeasurableEmbedding f ⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map g (Measure.ae (Measure.map f μ))) ** isBoundedDefault ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝ : CompleteLattice β γ : Type u_3 mγ : MeasurableSpace γ f : α → γ g : γ → β hf : MeasurableEmbedding f ⊢ IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map (g ∘ f) (Measure.ae μ)) ** isBoundedDefault ** Qed
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