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|---|---|
MeasureTheory.SignedMeasure.haveLebesgueDecomposition_mk' ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** have htμ' := htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** rw [mutuallySingular_ennreal_iff] at htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f htμ : totalVariation t ⟂ₘ VectorMeasure.ennrealToMeasure (toENNRealVectorMeasure μ) hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** change _ ⟂ₘ VectorMeasure.equivMeasure.toFun (VectorMeasure.equivMeasure.invFun μ) at htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : totalVariation t ⟂ₘ Equiv.toFun VectorMeasure.equivMeasure (Equiv.invFun VectorMeasure.equivMeasure μ) ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** rw [VectorMeasure.equivMeasure.right_inv, totalVariation_mutuallySingular_iff] at htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** refine'
{ posPart := by
use ⟨t.toJordanDecomposition.posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)⟩
refine' ⟨hf.ennreal_ofReal, htμ.1, _⟩
rw [toJordanDecomposition_eq_of_eq_add_withDensity hf hfi htμ' hadd]
negPart := by
use ⟨t.toJordanDecomposition.negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)⟩
refine' ⟨hf.neg.ennreal_ofReal, htμ.2, _⟩
rw [toJordanDecomposition_eq_of_eq_add_withDensity hf hfi htμ' hadd] } ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ Measure.HaveLebesgueDecomposition (toJordanDecomposition s).posPart μ ** use ⟨t.toJordanDecomposition.posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)⟩ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ Measurable ((toJordanDecomposition t).posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)).2 ∧ ((toJordanDecomposition t).posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)).1 ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition s).posPart = ((toJordanDecomposition t).posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)).1 + withDensity μ ((toJordanDecomposition t).posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)).2 ** refine' ⟨hf.ennreal_ofReal, htμ.1, _⟩ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ (toJordanDecomposition s).posPart = ((toJordanDecomposition t).posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)).1 + withDensity μ ((toJordanDecomposition t).posPart, fun x => ENNReal.ofReal (f x)).2 ** rw [toJordanDecomposition_eq_of_eq_add_withDensity hf hfi htμ' hadd] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ Measure.HaveLebesgueDecomposition (toJordanDecomposition s).negPart μ ** use ⟨t.toJordanDecomposition.negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)⟩ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ Measurable ((toJordanDecomposition t).negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).2 ∧ ((toJordanDecomposition t).negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).1 ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition s).negPart = ((toJordanDecomposition t).negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).1 + withDensity μ ((toJordanDecomposition t).negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).2 ** refine' ⟨hf.neg.ennreal_ofReal, htμ.2, _⟩ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ (toJordanDecomposition s).negPart = ((toJordanDecomposition t).negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).1 + withDensity μ ((toJordanDecomposition t).negPart, fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).2 ** rw [toJordanDecomposition_eq_of_eq_add_withDensity hf hfi htμ' hadd] ** Qed
| |
MeasureTheory.SignedMeasure.haveLebesgueDecomposition_mk ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** by_cases hfi : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f hfi : Integrable f ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** exact haveLebesgueDecomposition_mk' μ hf hfi htμ hadd ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f hfi : ¬Integrable f ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** rw [withDensityᵥ, dif_neg hfi, add_zero] at hadd ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t hfi : ¬Integrable f ⊢ HaveLebesgueDecomposition s μ ** refine' haveLebesgueDecomposition_mk' μ measurable_zero (integrable_zero _ _ μ) htμ _ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s t : SignedMeasure α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Measurable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t hfi : ¬Integrable f ⊢ s = t + withDensityᵥ μ 0 ** rwa [withDensityᵥ_zero, add_zero] ** Qed
| |
MeasureTheory.SignedMeasure.eq_singularPart' ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f ⊢ t = singularPart s μ ** have htμ' := htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ ⊢ t = singularPart s μ ** rw [mutuallySingular_ennreal_iff, totalVariation_mutuallySingular_iff] at htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ VectorMeasure.ennrealToMeasure (toENNRealVectorMeasure μ) ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ VectorMeasure.ennrealToMeasure (toENNRealVectorMeasure μ) hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ ⊢ t = singularPart s μ ** change
_ ⟂ₘ VectorMeasure.equivMeasure.toFun (VectorMeasure.equivMeasure.invFun μ) ∧
_ ⟂ₘ VectorMeasure.equivMeasure.toFun (VectorMeasure.equivMeasure.invFun μ) at htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ Equiv.toFun VectorMeasure.equivMeasure (Equiv.invFun VectorMeasure.equivMeasure μ) ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ Equiv.toFun VectorMeasure.equivMeasure (Equiv.invFun VectorMeasure.equivMeasure μ) ⊢ t = singularPart s μ ** rw [VectorMeasure.equivMeasure.right_inv] at htμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ t = singularPart s μ ** rw [singularPart, ← t.toSignedMeasure_toJordanDecomposition,
JordanDecomposition.toSignedMeasure] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ toSignedMeasure (toJordanDecomposition t).posPart - toSignedMeasure (toJordanDecomposition t).negPart = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).posPart μ) - toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ) ** congr ** case e_a.e_μ α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ (toJordanDecomposition t).posPart = Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).posPart μ ** have hfpos : Measurable fun x => ENNReal.ofReal (f x) := by measurability ** case e_a.e_μ α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ hfpos : Measurable fun x => ENNReal.ofReal (f x) ⊢ (toJordanDecomposition t).posPart = Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).posPart μ ** refine' eq_singularPart hfpos htμ.1 _ ** case e_a.e_μ α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ hfpos : Measurable fun x => ENNReal.ofReal (f x) ⊢ (toJordanDecomposition s).posPart = (toJordanDecomposition t).posPart + withDensity μ fun x => ENNReal.ofReal (f x) ** rw [toJordanDecomposition_eq_of_eq_add_withDensity hf hfi htμ' hadd] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ Measurable fun x => ENNReal.ofReal (f x) ** measurability ** case e_a.e_μ α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ (toJordanDecomposition t).negPart = Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ ** have hfneg : Measurable fun x => ENNReal.ofReal (-f x) := by measurability ** case e_a.e_μ α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ hfneg : Measurable fun x => ENNReal.ofReal (-f x) ⊢ (toJordanDecomposition t).negPart = Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ ** refine' eq_singularPart hfneg htμ.2 _ ** case e_a.e_μ α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ hfneg : Measurable fun x => ENNReal.ofReal (-f x) ⊢ (toJordanDecomposition s).negPart = (toJordanDecomposition t).negPart + withDensity μ fun x => ENNReal.ofReal (-f x) ** rw [toJordanDecomposition_eq_of_eq_add_withDensity hf hfi htμ' hadd] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ hf : Measurable f hfi : Integrable f hadd : s = t + withDensityᵥ μ f htμ' : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ htμ : (toJordanDecomposition t).posPart ⟂ₘ μ ∧ (toJordanDecomposition t).negPart ⟂ₘ μ ⊢ Measurable fun x => ENNReal.ofReal (-f x) ** measurability ** Qed
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MeasureTheory.SignedMeasure.eq_singularPart ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f ⊢ t = singularPart s μ ** by_cases hfi : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f hfi : Integrable f ⊢ t = singularPart s μ ** refine' eq_singularPart' t hfi.1.measurable_mk (hfi.congr hfi.1.ae_eq_mk) htμ _ ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f hfi : Integrable f ⊢ s = t + withDensityᵥ μ (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) ** convert hadd using 2 ** case h.e'_3.h.e'_6 α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f hfi : Integrable f ⊢ withDensityᵥ μ (AEStronglyMeasurable.mk f (_ : AEStronglyMeasurable f μ)) = withDensityᵥ μ f ** exact WithDensityᵥEq.congr_ae hfi.1.ae_eq_mk.symm ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t + withDensityᵥ μ f hfi : ¬Integrable f ⊢ t = singularPart s μ ** rw [withDensityᵥ, dif_neg hfi, add_zero] at hadd ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t hfi : ¬Integrable f ⊢ t = singularPart s μ ** refine' eq_singularPart' t measurable_zero (integrable_zero _ _ μ) htμ _ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α s t✝ t : SignedMeasure α f : α → ℝ htμ : t ⟂ᵥ toENNRealVectorMeasure μ hadd : s = t hfi : ¬Integrable f ⊢ s = t + withDensityᵥ μ 0 ** rwa [withDensityᵥ_zero, add_zero] ** Qed
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MeasureTheory.SignedMeasure.singularPart_neg ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α ⊢ singularPart (-s) μ = -singularPart s μ ** have h₁ :
((-s).toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure =
(s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure := by
refine' toSignedMeasure_congr _
rw [toJordanDecomposition_neg, JordanDecomposition.neg_posPart] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α h₁ : toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).posPart μ) = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ) ⊢ singularPart (-s) μ = -singularPart s μ ** have h₂ :
((-s).toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure =
(s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure := by
refine' toSignedMeasure_congr _
rw [toJordanDecomposition_neg, JordanDecomposition.neg_negPart] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α h₁ : toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).posPart μ) = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ) h₂ : toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).negPart μ) = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).posPart μ) ⊢ singularPart (-s) μ = -singularPart s μ ** rw [singularPart, singularPart, neg_sub, h₁, h₂] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α ⊢ toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).posPart μ) = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ) ** refine' toSignedMeasure_congr _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α ⊢ Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).posPart μ = Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ ** rw [toJordanDecomposition_neg, JordanDecomposition.neg_posPart] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α h₁ : toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).posPart μ) = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ) ⊢ toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).negPart μ) = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).posPart μ) ** refine' toSignedMeasure_congr _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α h₁ : toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).posPart μ) = toSignedMeasure (Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).negPart μ) ⊢ Measure.singularPart (toJordanDecomposition (-s)).negPart μ = Measure.singularPart (toJordanDecomposition s).posPart μ ** rw [toJordanDecomposition_neg, JordanDecomposition.neg_negPart] ** Qed
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MeasureTheory.SignedMeasure.singularPart_smul_nnreal ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α r : ℝ≥0 ⊢ singularPart (r • s) μ = r • singularPart s μ ** rw [singularPart, singularPart, smul_sub, ← toSignedMeasure_smul, ← toSignedMeasure_smul] ** Qed
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MeasureTheory.SignedMeasure.singularPart_add ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t✝ s t : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝¹ : HaveLebesgueDecomposition s μ inst✝ : HaveLebesgueDecomposition t μ ⊢ singularPart (s + t) μ = singularPart s μ + singularPart t μ ** refine'
(eq_singularPart _ (s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ)
((mutuallySingular_singularPart s μ).add_left (mutuallySingular_singularPart t μ))
_).symm ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t✝ s t : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝¹ : HaveLebesgueDecomposition s μ inst✝ : HaveLebesgueDecomposition t μ ⊢ s + t = singularPart s μ + singularPart t μ + withDensityᵥ μ (rnDeriv s μ + rnDeriv t μ) ** erw [withDensityᵥ_add (integrable_rnDeriv s μ) (integrable_rnDeriv t μ)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t✝ s t : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝¹ : HaveLebesgueDecomposition s μ inst✝ : HaveLebesgueDecomposition t μ ⊢ s + t = singularPart s μ + singularPart t μ + (withDensityᵥ μ (rnDeriv s μ) + withDensityᵥ μ (rnDeriv t μ)) ** rw [add_assoc, add_comm (t.singularPart μ), add_assoc, add_comm _ (t.singularPart μ),
singularPart_add_withDensity_rnDeriv_eq, ← add_assoc,
singularPart_add_withDensity_rnDeriv_eq] ** Qed
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MeasureTheory.SignedMeasure.singularPart_sub ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t✝ s t : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝¹ : HaveLebesgueDecomposition s μ inst✝ : HaveLebesgueDecomposition t μ ⊢ singularPart (s - t) μ = singularPart s μ - singularPart t μ ** rw [sub_eq_add_neg, sub_eq_add_neg, singularPart_add, singularPart_neg] ** Qed
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MeasureTheory.SignedMeasure.rnDeriv_neg ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝ : HaveLebesgueDecomposition s μ ⊢ rnDeriv (-s) μ =ᶠ[ae μ] -rnDeriv s μ ** refine'
Integrable.ae_eq_of_withDensityᵥ_eq (integrable_rnDeriv _ _) (integrable_rnDeriv _ _).neg _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t s : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝ : HaveLebesgueDecomposition s μ ⊢ withDensityᵥ μ (rnDeriv (-s) μ) = withDensityᵥ μ (-rnDeriv s μ) ** rw [withDensityᵥ_neg, ← add_right_inj ((-s).singularPart μ),
singularPart_add_withDensity_rnDeriv_eq, singularPart_neg, ← neg_add,
singularPart_add_withDensity_rnDeriv_eq] ** Qed
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MeasureTheory.SignedMeasure.rnDeriv_add ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t✝ s t : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝² : HaveLebesgueDecomposition s μ inst✝¹ : HaveLebesgueDecomposition t μ inst✝ : HaveLebesgueDecomposition (s + t) μ ⊢ rnDeriv (s + t) μ =ᶠ[ae μ] rnDeriv s μ + rnDeriv t μ ** refine'
Integrable.ae_eq_of_withDensityᵥ_eq (integrable_rnDeriv _ _)
((integrable_rnDeriv _ _).add (integrable_rnDeriv _ _)) _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α s✝ t✝ s t : SignedMeasure α μ : Measure α inst✝² : HaveLebesgueDecomposition s μ inst✝¹ : HaveLebesgueDecomposition t μ inst✝ : HaveLebesgueDecomposition (s + t) μ ⊢ withDensityᵥ μ (rnDeriv (s + t) μ) = withDensityᵥ μ (rnDeriv s μ + rnDeriv t μ) ** rw [← add_right_inj ((s + t).singularPart μ), singularPart_add_withDensity_rnDeriv_eq,
withDensityᵥ_add (integrable_rnDeriv _ _) (integrable_rnDeriv _ _), singularPart_add,
add_assoc, add_comm (t.singularPart μ), add_assoc, add_comm _ (t.singularPart μ),
singularPart_add_withDensity_rnDeriv_eq, ← add_assoc,
singularPart_add_withDensity_rnDeriv_eq] ** Qed
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MeasureTheory.ComplexMeasure.integrable_rnDeriv ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α c✝ c : ComplexMeasure α μ : Measure α ⊢ Integrable (rnDeriv c μ) ** rw [← memℒp_one_iff_integrable, ← memℒp_re_im_iff] ** α : Type u_1 β : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α c✝ c : ComplexMeasure α μ : Measure α ⊢ Memℒp (fun x => ↑IsROrC.re (rnDeriv c μ x)) 1 ∧ Memℒp (fun x => ↑IsROrC.im (rnDeriv c μ x)) 1 ** exact
⟨memℒp_one_iff_integrable.2 (SignedMeasure.integrable_rnDeriv _ _),
memℒp_one_iff_integrable.2 (SignedMeasure.integrable_rnDeriv _ _)⟩ ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_zero_of_forall_inner ** α : Type u_1 E : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝ : SecondCountableTopology E f : α → E hf : ∀ (c : E), (fun x => inner c (f x)) =ᵐ[μ] 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** let s := denseSeq E ** α : Type u_1 E : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝ : SecondCountableTopology E f : α → E hf : ∀ (c : E), (fun x => inner c (f x)) =ᵐ[μ] 0 s : ℕ → E := denseSeq E ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** have hs : DenseRange s := denseRange_denseSeq E ** α : Type u_1 E : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝ : SecondCountableTopology E f : α → E hf : ∀ (c : E), (fun x => inner c (f x)) =ᵐ[μ] 0 s : ℕ → E := denseSeq E hs : DenseRange s ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** have hf' : ∀ᵐ x ∂μ, ∀ n : ℕ, inner (s n) (f x) = (0 : 𝕜) := ae_all_iff.mpr fun n => hf (s n) ** α : Type u_1 E : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝ : SecondCountableTopology E f : α → E hf : ∀ (c : E), (fun x => inner c (f x)) =ᵐ[μ] 0 s : ℕ → E := denseSeq E hs : DenseRange s hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), inner (s n) (f x) = 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** refine' hf'.mono fun x hx => _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝ : SecondCountableTopology E f : α → E hf : ∀ (c : E), (fun x => inner c (f x)) =ᵐ[μ] 0 s : ℕ → E := denseSeq E hs : DenseRange s hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), inner (s n) (f x) = 0 x : α hx : ∀ (n : ℕ), inner (s n) (f x) = 0 ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x ** rw [Pi.zero_apply, ← @inner_self_eq_zero 𝕜] ** α : Type u_1 E : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝ : SecondCountableTopology E f : α → E hf : ∀ (c : E), (fun x => inner c (f x)) =ᵐ[μ] 0 s : ℕ → E := denseSeq E hs : DenseRange s hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), inner (s n) (f x) = 0 x : α hx : ∀ (n : ℕ), inner (s n) (f x) = 0 ⊢ inner (f x) (f x) = 0 ** have h_closed : IsClosed {c : E | inner c (f x) = (0 : 𝕜)} :=
isClosed_eq (continuous_id.inner continuous_const) continuous_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝ : SecondCountableTopology E f : α → E hf : ∀ (c : E), (fun x => inner c (f x)) =ᵐ[μ] 0 s : ℕ → E := denseSeq E hs : DenseRange s hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), inner (s n) (f x) = 0 x : α hx : ∀ (n : ℕ), inner (s n) (f x) = 0 h_closed : IsClosed {c | inner c (f x) = 0} ⊢ inner (f x) (f x) = 0 ** exact @isClosed_property ℕ E _ s (fun c => inner c (f x) = (0 : 𝕜)) hs h_closed (fun n => hx n) _ ** Qed
| |
MeasureTheory.ae_const_le_iff_forall_lt_measure_zero ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β ⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, c ≤ f x) ↔ ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 ** rw [ae_iff] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β ⊢ ↑↑μ {a | ¬c ≤ f a} = 0 ↔ ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 ** push_neg ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ↔ ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 ** constructor ** case mpr α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β ⊢ (∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0) → ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** intro hc ** case mpr α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** by_cases h : ∀ b, c ≤ b ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ¬∀ (b : β), c ≤ b ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** by_cases H : ¬IsLUB (Set.Iio c) c ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ¬∀ (b : β), c ≤ b H : ¬¬IsLUB (Set.Iio c) c ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** push_neg at H h ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** obtain ⟨u, _, u_lt, u_lim, -⟩ :
∃ u : ℕ → β,
StrictMono u ∧ (∀ n : ℕ, u n < c) ∧ Tendsto u atTop (nhds c) ∧ ∀ n : ℕ, u n ∈ Set.Iio c :=
H.exists_seq_strictMono_tendsto_of_not_mem (lt_irrefl c) h ** case neg.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) h_Union : {x | f x < c} = ⋃ n, {x | f x ≤ u n} ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** rw [h_Union, measure_iUnion_null_iff] ** case neg.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) h_Union : {x | f x < c} = ⋃ n, {x | f x ≤ u n} ⊢ ∀ (i : ℕ), ↑↑μ {x | f x ≤ u i} = 0 ** intro n ** case neg.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) h_Union : {x | f x < c} = ⋃ n, {x | f x ≤ u n} n : ℕ ⊢ ↑↑μ {x | f x ≤ u n} = 0 ** exact hc _ (u_lt n) ** case mp α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 → ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 ** intro h b hb ** case mp α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β h : ↑↑μ {a | f a < c} = 0 b : β hb : b < c ⊢ ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 ** exact measure_mono_null (fun y hy => (lt_of_le_of_lt hy hb : _)) h ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ∀ (b : β), c ≤ b ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** have : {a : α | f a < c} = ∅ := by
apply Set.eq_empty_iff_forall_not_mem.2 fun x hx => ?_
exact (lt_irrefl _ (lt_of_lt_of_le hx (h (f x)))).elim ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ∀ (b : β), c ≤ b this : {a | f a < c} = ∅ ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** simp [this] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ∀ (b : β), c ≤ b ⊢ {a | f a < c} = ∅ ** apply Set.eq_empty_iff_forall_not_mem.2 fun x hx => ?_ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ∀ (b : β), c ≤ b x : α hx : x ∈ {a | f a < c} ⊢ False ** exact (lt_irrefl _ (lt_of_lt_of_le hx (h (f x)))).elim ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ¬∀ (b : β), c ≤ b H : ¬IsLUB (Set.Iio c) c ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** have : c ∈ upperBounds (Set.Iio c) := fun y hy => le_of_lt hy ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ¬∀ (b : β), c ≤ b H : ¬IsLUB (Set.Iio c) c this : c ∈ upperBounds (Set.Iio c) ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** obtain ⟨b, b_up, bc⟩ : ∃ b : β, b ∈ upperBounds (Set.Iio c) ∧ b < c := by
simpa [IsLUB, IsLeast, this, lowerBounds] using H ** case pos.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ¬∀ (b : β), c ≤ b H : ¬IsLUB (Set.Iio c) c this : c ∈ upperBounds (Set.Iio c) b : β b_up : b ∈ upperBounds (Set.Iio c) bc : b < c ⊢ ↑↑μ {a | f a < c} = 0 ** exact measure_mono_null (fun x hx => b_up hx) (hc b bc) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 h : ¬∀ (b : β), c ≤ b H : ¬IsLUB (Set.Iio c) c this : c ∈ upperBounds (Set.Iio c) ⊢ ∃ b, b ∈ upperBounds (Set.Iio c) ∧ b < c ** simpa [IsLUB, IsLeast, this, lowerBounds] using H ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) ⊢ {x | f x < c} = ⋃ n, {x | f x ≤ u n} ** ext1 x ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) x : α ⊢ x ∈ {x | f x < c} ↔ x ∈ ⋃ n, {x | f x ≤ u n} ** simp_rw [Set.mem_iUnion, Set.mem_setOf_eq] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) x : α ⊢ f x < c ↔ ∃ i, f x ≤ u i ** constructor <;> intro h ** case h.mp α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h✝ : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) x : α h : f x < c ⊢ ∃ i, f x ≤ u i ** obtain ⟨n, hn⟩ := ((tendsto_order.1 u_lim).1 _ h).exists ** case h.mp.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h✝ : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) x : α h : f x < c n : ℕ hn : f x < u n ⊢ ∃ i, f x ≤ u i ** exact ⟨n, hn.le⟩ ** case h.mpr α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h✝ : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) x : α h : ∃ i, f x ≤ u i ⊢ f x < c ** obtain ⟨n, hn⟩ := h ** case h.mpr.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ β : Type u_3 inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderTopology β inst✝ : FirstCountableTopology β f : α → β c : β hc : ∀ (b : β), b < c → ↑↑μ {x | f x ≤ b} = 0 H : IsLUB (Set.Iio c) c h : ∃ b, b < c u : ℕ → β left✝ : StrictMono u u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c) x : α n : ℕ hn : f x ≤ u n ⊢ f x < c ** exact hn.trans_lt (u_lt _) ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_of_forall_set_lintegral_eq_of_sigmaFinite ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f hg : Measurable g h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ ⊢ f =ᵐ[μ] g ** have A : f ≤ᵐ[μ] g :=
ae_le_of_forall_set_lintegral_le_of_sigmaFinite hf hg fun s hs h's => le_of_eq (h s hs h's) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f hg : Measurable g h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ A : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ f =ᵐ[μ] g ** have B : g ≤ᵐ[μ] f :=
ae_le_of_forall_set_lintegral_le_of_sigmaFinite hg hf fun s hs h's => ge_of_eq (h s hs h's) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f hg : Measurable g h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ A : f ≤ᵐ[μ] g B : g ≤ᵐ[μ] f ⊢ f =ᵐ[μ] g ** filter_upwards [A, B] with x using le_antisymm ** Qed
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MeasureTheory.ae_le_of_forall_set_integral_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ ⊢ f ≤ᵐ[μ] g ** rw [← eventually_sub_nonneg] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] g - f ** refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg (hg.sub hf) fun s hs => _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (g - f) x ∂μ ** rw [integral_sub' hg.integrableOn hf.integrableOn, sub_nonneg] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f g : α → ℝ hf : Integrable f hg : Integrable g hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫ (a : α) in s, g a ∂μ ** exact hf_le s hs ** Qed
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MeasureTheory.ae_nonneg_restrict_of_forall_set_integral_nonneg_inter ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ t : Set α hf : IntegrableOn f t hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ ⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] f ** refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg hf fun s hs h's => _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ t : Set α hf : IntegrableOn f t hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ s : Set α hs : MeasurableSet s h's : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.restrict μ t ** simp_rw [Measure.restrict_restrict hs] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ t : Set α hf : IntegrableOn f t hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ s : Set α hs : MeasurableSet s h's : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ ** apply hf_zero s hs ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ t : Set α hf : IntegrableOn f t hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ s : Set α hs : MeasurableSet s h's : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ** rwa [Measure.restrict_apply hs] at h's ** Qed
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MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable.ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] f ** let t := hf.sigmaFiniteSet ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] f ** suffices 0 ≤ᵐ[μ.restrict t] f from
ae_of_ae_restrict_of_ae_restrict_compl _ this hf.ae_eq_zero_compl.symm.le ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf ⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] f ** haveI : SigmaFinite (μ.restrict t) := hf.sigmaFinite_restrict ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) ⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] f ** refine'
ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite (fun s hs hμts => _) fun s hs hμts => _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμts : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ IntegrableOn f s ** rw [IntegrableOn, Measure.restrict_restrict hs] ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμts : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ Integrable f ** rw [Measure.restrict_apply hs] at hμts ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμts : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ Integrable f ** exact hf_int_finite (s ∩ t) (hs.inter hf.measurableSet) hμts ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμts : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.restrict μ t ** rw [Measure.restrict_restrict hs] ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμts : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ ** rw [Measure.restrict_apply hs] at hμts ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμts : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ ** exact hf_zero (s ∩ t) (hs.inter hf.measurableSet) hμts ** Qed
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MeasureTheory.ae_nonneg_restrict_of_forall_set_integral_nonneg ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] f ** refine'
ae_nonneg_restrict_of_forall_set_integral_nonneg_inter
(hf_int_finite t ht (lt_top_iff_ne_top.mpr hμt)) fun s hs _ => _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s x✝ : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ ** refine' hf_zero (s ∩ t) (hs.inter ht) _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s x✝ : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ** exact (measure_mono (Set.inter_subset_right s t)).trans_lt (lt_top_iff_ne_top.mpr hμt) ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_zero_restrict_of_forall_set_integral_eq_zero_real ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** suffices h_and : f ≤ᵐ[μ.restrict t] 0 ∧ 0 ≤ᵐ[μ.restrict t] f ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ h_and : f ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ∧ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] f ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 case h_and α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ f ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ∧ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] f ** exact h_and.1.mp (h_and.2.mono fun x hx1 hx2 => le_antisymm hx2 hx1) ** case h_and α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ f ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ∧ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] f ** refine'
⟨_,
ae_nonneg_restrict_of_forall_set_integral_nonneg hf_int_finite
(fun s hs hμs => (hf_zero s hs hμs).symm.le) ht hμt⟩ ** case h_and α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ f ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** suffices h_neg : 0 ≤ᵐ[μ.restrict t] -f ** case h_neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] -f ** refine'
ae_nonneg_restrict_of_forall_set_integral_nonneg (fun s hs hμs => (hf_int_finite s hs hμs).neg)
(fun s hs hμs => _) ht hμt ** case h_neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (-f) x ∂μ ** simp_rw [Pi.neg_apply] ** case h_neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, -f x ∂μ ** rw [integral_neg, neg_nonneg] ** case h_neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ 0 ** exact (hf_zero s hs hμs).le ** case h_and α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ h_neg : 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] -f ⊢ f ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** refine' h_neg.mono fun x hx => _ ** case h_and α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ h_neg : 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] -f x : α hx : OfNat.ofNat 0 x ≤ (-f) x ⊢ f x ≤ OfNat.ofNat 0 x ** rw [Pi.neg_apply] at hx ** case h_and α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f✝ f : α → ℝ hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ h_neg : 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ t] -f x : α hx : OfNat.ofNat 0 x ≤ -f x ⊢ f x ≤ OfNat.ofNat 0 x ** simpa using hx ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_restrict_of_forall_set_integral_eq ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ t] g ** rw [← sub_ae_eq_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ f - g =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** have hfg' : ∀ s : Set α, MeasurableSet s → μ s < ∞ → (∫ x in s, (f - g) x ∂μ) = 0 := by
intro s hs hμs
rw [integral_sub' (hf_int_finite s hs hμs) (hg_int_finite s hs hμs)]
exact sub_eq_zero.mpr (hfg_zero s hs hμs) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ⊢ f - g =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** have hfg_int : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn (f - g) s μ := fun s hs hμs =>
(hf_int_finite s hs hμs).sub (hg_int_finite s hs hμs) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s ⊢ f - g =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** exact ae_eq_zero_restrict_of_forall_set_integral_eq_zero hfg_int hfg' ht hμt ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ** intro s hs hμs ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ** rw [integral_sub' (hf_int_finite s hs hμs) (hg_int_finite s hs hμs)] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ - ∫ (a : α) in s, g a ∂μ = 0 ** exact sub_eq_zero.mpr (hfg_zero s hs hμs) ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_zero_of_forall_set_integral_eq_of_sigmaFinite ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** let S := spanningSets μ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 S : ℕ → Set α := spanningSets μ ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** rw [← @Measure.restrict_univ _ _ μ, ← iUnion_spanningSets μ, EventuallyEq, ae_iff,
Measure.restrict_apply' (MeasurableSet.iUnion (measurable_spanningSets μ))] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 S : ℕ → Set α := spanningSets μ ⊢ ↑↑μ ({a | ¬f a = OfNat.ofNat 0 a} ∩ ⋃ b, spanningSets μ b) = 0 ** rw [Set.inter_iUnion, measure_iUnion_null_iff] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 S : ℕ → Set α := spanningSets μ ⊢ ∀ (i : ℕ), ↑↑μ ({a | ¬f a = OfNat.ofNat 0 a} ∩ spanningSets μ i) = 0 ** intro n ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 S : ℕ → Set α := spanningSets μ n : ℕ ⊢ ↑↑μ ({a | ¬f a = OfNat.ofNat 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0 ** have h_meas_n : MeasurableSet (S n) := measurable_spanningSets μ n ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 S : ℕ → Set α := spanningSets μ n : ℕ h_meas_n : MeasurableSet (S n) ⊢ ↑↑μ ({a | ¬f a = OfNat.ofNat 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0 ** have hμn : μ (S n) < ∞ := measure_spanningSets_lt_top μ n ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 S : ℕ → Set α := spanningSets μ n : ℕ h_meas_n : MeasurableSet (S n) hμn : ↑↑μ (S n) < ⊤ ⊢ ↑↑μ ({a | ¬f a = OfNat.ofNat 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0 ** rw [← Measure.restrict_apply' h_meas_n] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 S : ℕ → Set α := spanningSets μ n : ℕ h_meas_n : MeasurableSet (S n) hμn : ↑↑μ (S n) < ⊤ ⊢ ↑↑(Measure.restrict μ (S n)) {a | ¬f a = OfNat.ofNat 0 a} = 0 ** exact ae_eq_zero_restrict_of_forall_set_integral_eq_zero hf_int_finite hf_zero h_meas_n hμn.ne ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_of_forall_set_integral_eq_of_sigmaFinite ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ ⊢ f =ᵐ[μ] g ** rw [← sub_ae_eq_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ ⊢ f - g =ᵐ[μ] 0 ** have hfg : ∀ s : Set α, MeasurableSet s → μ s < ∞ → (∫ x in s, (f - g) x ∂μ) = 0 := by
intro s hs hμs
rw [integral_sub' (hf_int_finite s hs hμs) (hg_int_finite s hs hμs),
sub_eq_zero.mpr (hfg_eq s hs hμs)] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ⊢ f - g =ᵐ[μ] 0 ** have hfg_int : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn (f - g) s μ := fun s hs hμs =>
(hf_int_finite s hs hμs).sub (hg_int_finite s hs hμs) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s ⊢ f - g =ᵐ[μ] 0 ** exact ae_eq_zero_of_forall_set_integral_eq_of_sigmaFinite hfg_int hfg ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ** intro s hs hμs ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t : Set α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ inst✝ : SigmaFinite μ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ** rw [integral_sub' (hf_int_finite s hs hμs) (hg_int_finite s hs hμs),
sub_eq_zero.mpr (hfg_eq s hs hμs)] ** Qed
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MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable.ae_eq_zero_of_forall_set_integral_eq_zero ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** let t := hf.sigmaFiniteSet ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** suffices f =ᵐ[μ.restrict t] 0 from
ae_of_ae_restrict_of_ae_restrict_compl _ this hf.ae_eq_zero_compl ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** haveI : SigmaFinite (μ.restrict t) := hf.sigmaFinite_restrict ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** refine' ae_eq_zero_of_forall_set_integral_eq_of_sigmaFinite _ _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ → IntegrableOn f s ** intro s hs hμs ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ IntegrableOn f s ** rw [IntegrableOn, Measure.restrict_restrict hs] ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ Integrable f ** rw [Measure.restrict_apply hs] at hμs ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ Integrable f ** exact hf_int_finite _ (hs.inter hf.measurableSet) hμs ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.restrict μ t = 0 ** intro s hs hμs ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.restrict μ t = 0 ** rw [Measure.restrict_restrict hs] ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.restrict μ t) s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ = 0 ** rw [Measure.restrict_apply hs] at hμs ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : AEFinStronglyMeasurable f μ t : Set α := sigmaFiniteSet hf this : SigmaFinite (Measure.restrict μ t) s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ = 0 ** exact hf_zero _ (hs.inter hf.measurableSet) hμs ** Qed
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MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable.ae_eq_of_forall_set_integral_eq ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hg : AEFinStronglyMeasurable g μ ⊢ f =ᵐ[μ] g ** rw [← sub_ae_eq_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hg : AEFinStronglyMeasurable g μ ⊢ f - g =ᵐ[μ] 0 ** have hfg : ∀ s : Set α, MeasurableSet s → μ s < ∞ → (∫ x in s, (f - g) x ∂μ) = 0 := by
intro s hs hμs
rw [integral_sub' (hf_int_finite s hs hμs) (hg_int_finite s hs hμs),
sub_eq_zero.mpr (hfg_eq s hs hμs)] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hg : AEFinStronglyMeasurable g μ hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ⊢ f - g =ᵐ[μ] 0 ** have hfg_int : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn (f - g) s μ := fun s hs hμs =>
(hf_int_finite s hs hμs).sub (hg_int_finite s hs hμs) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hg : AEFinStronglyMeasurable g μ hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s ⊢ f - g =ᵐ[μ] 0 ** exact (hf.sub hg).ae_eq_zero_of_forall_set_integral_eq_zero hfg_int hfg ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hg : AEFinStronglyMeasurable g μ ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ** intro s hs hμs ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ f g : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ hf : AEFinStronglyMeasurable f μ hg : AEFinStronglyMeasurable g μ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0 ** rw [integral_sub' (hf_int_finite s hs hμs) (hg_int_finite s hs hμs),
sub_eq_zero.mpr (hfg_eq s hs hμs)] ** Qed
| |
MeasureTheory.ae_eq_zero_of_forall_set_integral_eq_of_finStronglyMeasurable_trim ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** obtain ⟨t, ht_meas, htf_zero, htμ⟩ := hf.exists_set_sigmaFinite ** case intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** haveI : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm) := by rwa [restrict_trim hm μ ht_meas] at htμ ** case intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** have htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0 := by
rw [EventuallyEq, ae_restrict_iff' (MeasurableSet.compl (hm _ ht_meas))]
exact eventually_of_forall htf_zero ** case intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** have hf_meas_m : StronglyMeasurable[m] f := hf.stronglyMeasurable ** case intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** suffices : f =ᵐ[μ.restrict t] 0 ** case intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this✝ : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f this : f =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 case this α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** exact ae_of_ae_restrict_of_ae_restrict_compl _ this htf_zero ** case this α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** refine' measure_eq_zero_of_trim_eq_zero hm _ ** case this α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f ⊢ ↑↑(Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) {x | (fun x => f x = OfNat.ofNat 0 x) x}ᶜ = 0 ** refine' ae_eq_zero_of_forall_set_integral_eq_of_sigmaFinite _ _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) ⊢ SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) ** rwa [restrict_trim hm μ ht_meas] at htμ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) ⊢ f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 ** rw [EventuallyEq, ae_restrict_iff' (MeasurableSet.compl (hm _ ht_meas))] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ tᶜ → f x = OfNat.ofNat 0 x ** exact eventually_of_forall htf_zero ** case this.refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑(Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) s < ⊤ → IntegrableOn (fun x => f x) s ** intro s hs hμs ** case this.refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) s < ⊤ ⊢ IntegrableOn (fun x => f x) s ** unfold IntegrableOn ** case this.refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) s < ⊤ ⊢ Integrable fun x => f x ** rw [← restrict_trim hm μ ht_meas, Measure.restrict_apply hs,
trim_measurableSet_eq hm (hs.inter ht_meas)] at hμs ** case this.refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ Integrable fun x => f x ** exact hf_int_finite _ (hs.inter ht_meas) hμs ** case this.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑(Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm = 0 ** intro s hs hμs ** case this.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm = 0 ** rw [restrict_trim hm (μ.restrict t) hs, Measure.restrict_restrict (hm s hs)] ** case this.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.trim (Measure.restrict μ (s ∩ t)) hm = 0 ** rw [← restrict_trim hm μ ht_meas, Measure.restrict_apply hs,
trim_measurableSet_eq hm (hs.inter ht_meas)] at hμs ** case this.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.trim (Measure.restrict μ (s ∩ t)) hm = 0 ** rw [← integral_trim hm hf_meas_m] ** case this.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t✝ : Set α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hm : m ≤ m0 f : α → E hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn f s hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0 hf : FinStronglyMeasurable f (Measure.trim μ hm) t : Set α ht_meas : MeasurableSet t htf_zero✝ : ∀ (x : α), x ∈ tᶜ → f x = 0 htμ : SigmaFinite (Measure.restrict (Measure.trim μ hm) t) this : SigmaFinite (Measure.trim (Measure.restrict μ t) hm) htf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ tᶜ] 0 hf_meas_m : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ (s ∩ t) < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ = 0 ** exact hf_zero _ (hs.inter ht_meas) hμs ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.congr ** α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : TopologicalSpace β f g : α → β hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : f =ᵐ[μ] g ⊢ AEStronglyMeasurable' m g μ ** obtain ⟨f', hf'_meas, hff'⟩ := hf ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : TopologicalSpace β f g : α → β hfg : f =ᵐ[μ] g f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hff' : f =ᵐ[μ] f' ⊢ AEStronglyMeasurable' m g μ ** exact ⟨f', hf'_meas, hfg.symm.trans hff'⟩ ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.mono ** α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : TopologicalSpace β f g : α → β m' : MeasurableSpace α hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hm : m ≤ m' ⊢ AEStronglyMeasurable' m' f μ ** obtain ⟨f', hf'_meas, hff'⟩ := hf ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : TopologicalSpace β f g : α → β m' : MeasurableSpace α hm : m ≤ m' f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hff' : f =ᵐ[μ] f' ⊢ AEStronglyMeasurable' m' f μ ** exact ⟨f', hf'_meas.mono hm, hff'⟩ ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.add ** α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f g : α → β inst✝¹ : Add β inst✝ : ContinuousAdd β hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : AEStronglyMeasurable' m g μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (f + g) μ ** rcases hf with ⟨f', h_f'_meas, hff'⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f g : α → β inst✝¹ : Add β inst✝ : ContinuousAdd β hg : AEStronglyMeasurable' m g μ f' : α → β h_f'_meas : StronglyMeasurable f' hff' : f =ᵐ[μ] f' ⊢ AEStronglyMeasurable' m (f + g) μ ** rcases hg with ⟨g', h_g'_meas, hgg'⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f g : α → β inst✝¹ : Add β inst✝ : ContinuousAdd β f' : α → β h_f'_meas : StronglyMeasurable f' hff' : f =ᵐ[μ] f' g' : α → β h_g'_meas : StronglyMeasurable g' hgg' : g =ᵐ[μ] g' ⊢ AEStronglyMeasurable' m (f + g) μ ** exact ⟨f' + g', h_f'_meas.add h_g'_meas, hff'.add hgg'⟩ ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.neg ** α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f : α → β hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (-f) μ ** rcases hfm with ⟨f', hf'_meas, hf_ae⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hf_ae : f =ᵐ[μ] f' ⊢ AEStronglyMeasurable' m (-f) μ ** refine' ⟨-f', hf'_meas.neg, hf_ae.mono fun x hx => _⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hf_ae : f =ᵐ[μ] f' x : α hx : f x = f' x ⊢ (-f) x = (-f') x ** simp_rw [Pi.neg_apply] ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hf_ae : f =ᵐ[μ] f' x : α hx : f x = f' x ⊢ -f x = -f' x ** rw [hx] ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.sub ** α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g✝ : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f g : α → β hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (f - g) μ ** rcases hfm with ⟨f', hf'_meas, hf_ae⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g✝ : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f g : α → β hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hf_ae : f =ᵐ[μ] f' ⊢ AEStronglyMeasurable' m (f - g) μ ** rcases hgm with ⟨g', hg'_meas, hg_ae⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g✝ : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f g f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hf_ae : f =ᵐ[μ] f' g' : α → β hg'_meas : StronglyMeasurable g' hg_ae : g =ᵐ[μ] g' ⊢ AEStronglyMeasurable' m (f - g) μ ** refine' ⟨f' - g', hf'_meas.sub hg'_meas, hf_ae.mp (hg_ae.mono fun x hx1 hx2 => _)⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g✝ : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f g f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hf_ae : f =ᵐ[μ] f' g' : α → β hg'_meas : StronglyMeasurable g' hg_ae : g =ᵐ[μ] g' x : α hx1 : g x = g' x hx2 : f x = f' x ⊢ (f - g) x = (f' - g') x ** simp_rw [Pi.sub_apply] ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f✝ g✝ : α → β inst✝¹ : AddGroup β inst✝ : TopologicalAddGroup β f g f' : α → β hf'_meas : StronglyMeasurable f' hf_ae : f =ᵐ[μ] f' g' : α → β hg'_meas : StronglyMeasurable g' hg_ae : g =ᵐ[μ] g' x : α hx1 : g x = g' x hx2 : f x = f' x ⊢ f x - g x = f' x - g' x ** rw [hx1, hx2] ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.const_smul ** α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f g : α → β inst✝¹ : SMul 𝕜 β inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β c : 𝕜 hf : AEStronglyMeasurable' m f μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (c • f) μ ** rcases hf with ⟨f', h_f'_meas, hff'⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f g : α → β inst✝¹ : SMul 𝕜 β inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β c : 𝕜 f' : α → β h_f'_meas : StronglyMeasurable f' hff' : f =ᵐ[μ] f' ⊢ AEStronglyMeasurable' m (c • f) μ ** refine' ⟨c • f', h_f'_meas.const_smul c, _⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : TopologicalSpace β f g : α → β inst✝¹ : SMul 𝕜 β inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β c : 𝕜 f' : α → β h_f'_meas : StronglyMeasurable f' hff' : f =ᵐ[μ] f' ⊢ c • f =ᵐ[μ] c • f' ** exact EventuallyEq.fun_comp hff' fun x => c • x ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.continuous_comp ** α : Type u_1 β : Type u_2 𝕜 : Type u_3 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace β f✝ g✝ : α → β γ : Type u_4 inst✝ : TopologicalSpace γ f : α → β g : β → γ hg : Continuous g hf : AEStronglyMeasurable' m f μ x : α hx : f x = mk f hf x ⊢ (g ∘ f) x = (fun x => g (mk f hf x)) x ** rw [Function.comp_apply, hx] ** Qed
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MeasureTheory.aeStronglyMeasurable'_of_aeStronglyMeasurable'_trim ** α : Type u_1 β : Type u_2 m m0 m0' : MeasurableSpace α inst✝ : TopologicalSpace β hm0 : m0 ≤ m0' μ : Measure α f : α → β hf : AEStronglyMeasurable' m f (Measure.trim μ hm0) ⊢ AEStronglyMeasurable' m f μ ** obtain ⟨g, hg_meas, hfg⟩ := hf ** case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 m m0 m0' : MeasurableSpace α inst✝ : TopologicalSpace β hm0 : m0 ≤ m0' μ : Measure α f g : α → β hg_meas : StronglyMeasurable g hfg : f =ᵐ[Measure.trim μ hm0] g ⊢ AEStronglyMeasurable' m f μ ** exact ⟨g, hg_meas, ae_eq_of_ae_eq_trim hfg⟩ ** Qed
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MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.aeStronglyMeasurable'_of_measurableSpace_le_on ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 h_ind_eq : Set.indicator s (mk f hf) =ᵐ[μ] f ⊢ AEStronglyMeasurable' m₂ f μ ** suffices : StronglyMeasurable[m₂] (s.indicator (hf.mk f)) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 h_ind_eq : Set.indicator s (mk f hf) =ᵐ[μ] f this : StronglyMeasurable (Set.indicator s (mk f hf)) ⊢ AEStronglyMeasurable' m₂ f μ case this α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 h_ind_eq : Set.indicator s (mk f hf) =ᵐ[μ] f ⊢ StronglyMeasurable (Set.indicator s (mk f hf)) ** exact AEStronglyMeasurable'.congr this.aeStronglyMeasurable' h_ind_eq ** case this α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 h_ind_eq : Set.indicator s (mk f hf) =ᵐ[μ] f ⊢ StronglyMeasurable (Set.indicator s (mk f hf)) ** have hf_ind : StronglyMeasurable[m] (s.indicator (hf.mk f)) :=
hf.stronglyMeasurable_mk.indicator hs_m ** case this α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 h_ind_eq : Set.indicator s (mk f hf) =ᵐ[μ] f hf_ind : StronglyMeasurable (Set.indicator s (mk f hf)) ⊢ StronglyMeasurable (Set.indicator s (mk f hf)) ** exact
hf_ind.stronglyMeasurable_of_measurableSpace_le_on hs_m hs fun x hxs =>
Set.indicator_of_not_mem hxs _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 ⊢ Set.indicator s (mk f hf) =ᵐ[μ] f ** refine'
Filter.EventuallyEq.trans _ (indicator_ae_eq_of_restrict_compl_ae_eq_zero (hm _ hs_m) hf_zero) ** α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 ⊢ Set.indicator s (mk f hf) =ᵐ[μ] Set.indicator s f ** filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with x hx ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 x : α hx : f x = mk f hf x ⊢ Set.indicator s (mk f hf) x = Set.indicator s f x ** by_cases hxs : x ∈ s ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 x : α hx : f x = mk f hf x hxs : x ∈ s ⊢ Set.indicator s (mk f hf) x = Set.indicator s f x ** simp [hxs, hx] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 m m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : TopologicalSpace E inst✝ : Zero E hm : m ≤ m0 s : Set α f : α → E hs_m : MeasurableSet s hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t) hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hf_zero : f =ᵐ[Measure.restrict μ sᶜ] 0 x : α hx : f x = mk f hf x hxs : ¬x ∈ s ⊢ Set.indicator s (mk f hf) x = Set.indicator s f x ** simp [hxs] ** Qed
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MeasureTheory.mem_lpMeasSubgroup_iff_aeStronglyMeasurable' ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : { x // x ∈ Lp F p } ⊢ f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ ↔ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ ** rw [← AddSubgroup.mem_carrier, lpMeasSubgroup, Set.mem_setOf_eq] ** Qed
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MeasureTheory.mem_lpMeas_iff_aeStronglyMeasurable' ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : { x // x ∈ Lp F p } ⊢ f ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ ↔ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ ** rw [← SetLike.mem_coe, ← Submodule.mem_carrier, lpMeas, Set.mem_setOf_eq] ** Qed
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MeasureTheory.memℒp_trim_of_mem_lpMeasSubgroup ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ ⊢ Memℒp (Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ)) p ** have hf : AEStronglyMeasurable' m f μ :=
mem_lpMeasSubgroup_iff_aeStronglyMeasurable'.mp hf_meas ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ ⊢ Memℒp (Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ)) p ** let g := hf.choose ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf ⊢ Memℒp (Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ)) p ** obtain ⟨hg, hfg⟩ := hf.choose_spec ** case intro α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf) hfg : ↑↑f =ᵐ[μ] Exists.choose hf ⊢ Memℒp (Exists.choose (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ)) p ** change Memℒp g p (μ.trim hm) ** case intro α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf) hfg : ↑↑f =ᵐ[μ] Exists.choose hf ⊢ Memℒp g p ** refine' ⟨hg.aestronglyMeasurable, _⟩ ** case intro α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf) hfg : ↑↑f =ᵐ[μ] Exists.choose hf ⊢ snorm g p (Measure.trim μ hm) < ⊤ ** have h_snorm_fg : snorm g p (μ.trim hm) = snorm f p μ := by
rw [snorm_trim hm hg]
exact snorm_congr_ae hfg.symm ** case intro α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf) hfg : ↑↑f =ᵐ[μ] Exists.choose hf h_snorm_fg : snorm g p (Measure.trim μ hm) = snorm (↑↑f) p μ ⊢ snorm g p (Measure.trim μ hm) < ⊤ ** rw [h_snorm_fg] ** case intro α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf) hfg : ↑↑f =ᵐ[μ] Exists.choose hf h_snorm_fg : snorm g p (Measure.trim μ hm) = snorm (↑↑f) p μ ⊢ snorm (↑↑f) p μ < ⊤ ** exact Lp.snorm_lt_top f ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf) hfg : ↑↑f =ᵐ[μ] Exists.choose hf ⊢ snorm g p (Measure.trim μ hm) = snorm (↑↑f) p μ ** rw [snorm_trim hm hg] ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ g : α → F := Exists.choose hf hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf) hfg : ↑↑f =ᵐ[μ] Exists.choose hf ⊢ snorm (Exists.choose hf) p μ = snorm (↑↑f) p μ ** exact snorm_congr_ae hfg.symm ** Qed
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MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim_right_inv ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 ⊢ Function.RightInverse (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm) (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm) ** intro f ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } ⊢ lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f) = f ** ext1 ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } ⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f)) =ᵐ[Measure.trim μ hm] ↑↑f ** refine'
ae_eq_trim_of_stronglyMeasurable hm (Lp.stronglyMeasurable _) (Lp.stronglyMeasurable _) _ ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp F p } ⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f)) =ᵐ[μ] ↑↑f ** exact (lpMeasSubgroupToLpTrim_ae_eq hm _).trans (lpTrimToLpMeasSubgroup_ae_eq hm _) ** Qed
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MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim_left_inv ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 ⊢ Function.LeftInverse (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm) (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm) ** intro f ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ lpMeasSubgroup F m p μ } ⊢ lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) = f ** ext1 ** case a α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ lpMeasSubgroup F m p μ } ⊢ ↑(lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)) = ↑f ** ext1 ** case a.h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ lpMeasSubgroup F m p μ } ⊢ ↑↑↑(lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)) =ᵐ[μ] ↑↑↑f ** exact (lpTrimToLpMeasSubgroup_ae_eq hm _).trans (lpMeasSubgroupToLpTrim_ae_eq hm _) ** Qed
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MeasureTheory.lpMeasToLpTrim_smul ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } ⊢ lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f) = c • lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f ** ext1 ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } ⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᵐ[Measure.trim μ hm] ↑↑(c • lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) ** refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } ⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᵐ[Measure.trim μ hm] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) ** refine' ae_eq_trim_of_stronglyMeasurable hm (Lp.stronglyMeasurable _) _ _ ** case h.refine'_2 α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } ⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᵐ[μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) ** refine' (lpMeasToLpTrim_ae_eq hm _).trans _ ** case h.refine'_2 α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } ⊢ ↑↑↑(c • f) =ᵐ[μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) ** refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _ ** case h.refine'_2 α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } ⊢ c • ↑↑↑f =ᵐ[μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) ** refine' (lpMeasToLpTrim_ae_eq hm f).mono fun x hx => _ ** case h.refine'_2 α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } x : α hx : ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) x = ↑↑↑f x ⊢ (c • ↑↑↑f) x = (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)) x ** rw [Pi.smul_apply, Pi.smul_apply, hx] ** case h.refine'_1 α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 c : 𝕜 f : { x // x ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ } ⊢ StronglyMeasurable (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)) ** exact (Lp.stronglyMeasurable _).const_smul c ** Qed
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MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim_norm_map ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hp : Fact (1 ≤ p) hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ lpMeasSubgroup F m p μ } ⊢ ‖lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f‖ = ‖f‖ ** rw [Lp.norm_def, snorm_trim hm (Lp.stronglyMeasurable _),
snorm_congr_ae (lpMeasSubgroupToLpTrim_ae_eq hm _), lpMeasSubgroup_coe, ← Lp.norm_def] ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hp : Fact (1 ≤ p) hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ lpMeasSubgroup F m p μ } ⊢ ‖↑f‖ = ‖f‖ ** congr ** Qed
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MeasureTheory.isComplete_aeStronglyMeasurable' ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hp : Fact (1 ≤ p) inst✝ : CompleteSpace F hm : m ≤ m0 ⊢ IsComplete {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ} ** rw [← completeSpace_coe_iff_isComplete] ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hp : Fact (1 ≤ p) inst✝ : CompleteSpace F hm : m ≤ m0 ⊢ CompleteSpace ↑{f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ} ** haveI : Fact (m ≤ m0) := ⟨hm⟩ ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hp : Fact (1 ≤ p) inst✝ : CompleteSpace F hm : m ≤ m0 this : Fact (m ≤ m0) ⊢ CompleteSpace ↑{f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ} ** change CompleteSpace (lpMeasSubgroup F m p μ) ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' ι : Type u_6 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hp : Fact (1 ≤ p) inst✝ : CompleteSpace F hm : m ≤ m0 this : Fact (m ≤ m0) ⊢ CompleteSpace { x // x ∈ lpMeasSubgroup F m p μ } ** infer_instance ** Qed
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MeasureTheory.lpMeasToLpTrimLie_symm_indicator ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α one_le_p : Fact (1 ≤ p) inst✝ : NormedSpace ℝ F hm : m ≤ m0 s : Set α μ : Measure α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim μ hm) s ≠ ⊤ c : F ⊢ ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm)) (indicatorConstLp p hs hμs c)) = indicatorConstLp p (_ : MeasurableSet s) (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c ** ext1 ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α one_le_p : Fact (1 ≤ p) inst✝ : NormedSpace ℝ F hm : m ≤ m0 s : Set α μ : Measure α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim μ hm) s ≠ ⊤ c : F ⊢ ↑↑↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm)) (indicatorConstLp p hs hμs c)) =ᵐ[μ] ↑↑(indicatorConstLp p (_ : MeasurableSet s) (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ** change
lpTrimToLpMeas F ℝ p μ hm (indicatorConstLp p hs hμs c) =ᵐ[μ]
(indicatorConstLp p _ _ c : α → F) ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α one_le_p : Fact (1 ≤ p) inst✝ : NormedSpace ℝ F hm : m ≤ m0 s : Set α μ : Measure α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim μ hm) s ≠ ⊤ c : F ⊢ ↑↑↑(lpTrimToLpMeas F ℝ p μ hm (indicatorConstLp p hs hμs c)) =ᵐ[μ] ↑↑(indicatorConstLp p (_ : MeasurableSet s) (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ** refine' (lpTrimToLpMeas_ae_eq hm _).trans _ ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α one_le_p : Fact (1 ≤ p) inst✝ : NormedSpace ℝ F hm : m ≤ m0 s : Set α μ : Measure α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑(Measure.trim μ hm) s ≠ ⊤ c : F ⊢ ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c) =ᵐ[μ] ↑↑(indicatorConstLp p (_ : MeasurableSet s) (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ** exact (ae_eq_of_ae_eq_trim indicatorConstLp_coeFn).trans indicatorConstLp_coeFn.symm ** Qed
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MeasureTheory.lpMeasToLpTrimLie_symm_toLp ** α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α one_le_p : Fact (1 ≤ p) inst✝ : NormedSpace ℝ F hm : m ≤ m0 f : α → F hf : Memℒp f p ⊢ ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm)) (Memℒp.toLp f hf)) = Memℒp.toLp f (_ : Memℒp f p) ** ext1 ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α one_le_p : Fact (1 ≤ p) inst✝ : NormedSpace ℝ F hm : m ≤ m0 f : α → F hf : Memℒp f p ⊢ ↑↑↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm)) (Memℒp.toLp f hf)) =ᵐ[μ] ↑↑(Memℒp.toLp f (_ : Memℒp f p)) ** refine' (lpTrimToLpMeas_ae_eq hm _).trans _ ** case h α : Type u_1 E' : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 𝕜 : Type u_5 p : ℝ≥0∞ inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁸ : CompleteSpace E' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α one_le_p : Fact (1 ≤ p) inst✝ : NormedSpace ℝ F hm : m ≤ m0 f : α → F hf : Memℒp f p ⊢ ↑↑(Memℒp.toLp f hf) =ᵐ[μ] ↑↑(Memℒp.toLp f (_ : Memℒp f p)) ** exact (ae_eq_of_ae_eq_trim (Memℒp.coeFn_toLp hf)).trans (Memℒp.coeFn_toLp _).symm ** Qed
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DomMulAct.smul_Lp_add ** M : Type u_1 N : Type u_2 α : Type u_3 E : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace M inst✝⁵ : MeasurableSpace N inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : SMul M α inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ inst✝ : MeasurableSMul M α c : Mᵈᵐᵃ ⊢ ∀ (f g : { x // x ∈ Lp E p }), c • (f + g) = c • f + c • g ** rintro ⟨⟨⟩, _⟩ ⟨⟨⟩, _⟩ ** case mk.mk.mk.mk M : Type u_1 N : Type u_2 α : Type u_3 E : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace M inst✝⁵ : MeasurableSpace N inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : SMul M α inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ inst✝ : MeasurableSMul M α c : Mᵈᵐᵃ val✝¹ : α →ₘ[μ] E a✝¹ : { f // AEStronglyMeasurable f μ } property✝¹ : Quot.mk Setoid.r a✝¹ ∈ Lp E p val✝ : α →ₘ[μ] E a✝ : { f // AEStronglyMeasurable f μ } property✝ : Quot.mk Setoid.r a✝ ∈ Lp E p ⊢ c • ({ val := Quot.mk Setoid.r a✝¹, property := property✝¹ } + { val := Quot.mk Setoid.r a✝, property := property✝ }) = c • { val := Quot.mk Setoid.r a✝¹, property := property✝¹ } + c • { val := Quot.mk Setoid.r a✝, property := property✝ } ** rfl ** Qed
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DomMulAct.smul_Lp_neg ** M : Type u_1 N : Type u_2 α : Type u_3 E : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace M inst✝⁵ : MeasurableSpace N inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : SMul M α inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ inst✝ : MeasurableSMul M α c : Mᵈᵐᵃ f : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ c • -f = -(c • f) ** rcases f with ⟨⟨_⟩, _⟩ ** case mk.mk M : Type u_1 N : Type u_2 α : Type u_3 E : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace M inst✝⁵ : MeasurableSpace N inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : SMul M α inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ inst✝ : MeasurableSMul M α c : Mᵈᵐᵃ val✝ : α →ₘ[μ] E a✝ : { f // AEStronglyMeasurable f μ } property✝ : Quot.mk Setoid.r a✝ ∈ Lp E p ⊢ c • -{ val := Quot.mk Setoid.r a✝, property := property✝ } = -(c • { val := Quot.mk Setoid.r a✝, property := property✝ }) ** rfl ** Qed
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DomMulAct.smul_Lp_sub ** M : Type u_1 N : Type u_2 α : Type u_3 E : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace M inst✝⁵ : MeasurableSpace N inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : SMul M α inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ inst✝ : MeasurableSMul M α c : Mᵈᵐᵃ ⊢ ∀ (f g : { x // x ∈ Lp E p }), c • (f - g) = c • f - c • g ** rintro ⟨⟨⟩, _⟩ ⟨⟨⟩, _⟩ ** case mk.mk.mk.mk M : Type u_1 N : Type u_2 α : Type u_3 E : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace M inst✝⁵ : MeasurableSpace N inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝² : SMul M α inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ inst✝ : MeasurableSMul M α c : Mᵈᵐᵃ val✝¹ : α →ₘ[μ] E a✝¹ : { f // AEStronglyMeasurable f μ } property✝¹ : Quot.mk Setoid.r a✝¹ ∈ Lp E p val✝ : α →ₘ[μ] E a✝ : { f // AEStronglyMeasurable f μ } property✝ : Quot.mk Setoid.r a✝ ∈ Lp E p ⊢ c • ({ val := Quot.mk Setoid.r a✝¹, property := property✝¹ } - { val := Quot.mk Setoid.r a✝, property := property✝ }) = c • { val := Quot.mk Setoid.r a✝¹, property := property✝¹ } - c • { val := Quot.mk Setoid.r a✝, property := property✝ } ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.condexp_of_not_le ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm_not : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[f|m] = 0 ** rw [condexp, dif_neg hm_not] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_of_not_sigmaFinite ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm_not : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f|m] = 0 ** rw [condexp, dif_pos hm, dif_neg] ** case hnc α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm_not : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ¬(SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ∧ Integrable f) ** push_neg ** case hnc α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm_not : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ SigmaFinite (Measure.trim μ hm) → ¬Integrable f ** exact fun h => absurd h hμm_not ** Qed
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MeasureTheory.condexp_of_sigmaFinite ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f|m] = if Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0 ** rw [condexp, dif_pos hm] ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ (if h : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ∧ Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0) = if Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0 ** simp only [hμm, Ne.def, true_and_iff] ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ (if h : Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0) = if Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0 ** by_cases hf : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : Integrable f ⊢ (if h : Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0) = if Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0 ** rw [dif_pos hf, if_pos hf] ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : ¬Integrable f ⊢ (if h : Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0) = if Integrable f then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) (_ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ) else 0 ** rw [dif_neg hf, if_neg hf] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_of_stronglyMeasurable ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → F' hf : StronglyMeasurable f hfi : Integrable f ⊢ μ[f|m] = f ** rw [condexp_of_sigmaFinite hm, if_pos hfi, if_pos hf] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_ae_eq_condexpL1Clm ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : Integrable f ⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ] ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf)) ** refine' (condexp_ae_eq_condexpL1 hm f).trans (eventually_of_forall fun x => _) ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : Integrable f x : α ⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) x = ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf)) x ** rw [condexpL1_eq hf] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_undef ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f ⊢ μ[f|m] = 0 ** by_cases hm : m ≤ m0 ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : m ≤ m0 ⊢ μ[f|m] = 0 case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[f|m] = 0 ** swap ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : m ≤ m0 ⊢ μ[f|m] = 0 ** by_cases hμm : SigmaFinite (μ.trim hm) ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f|m] = 0 case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f|m] = 0 ** swap ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f|m] = 0 ** haveI : SigmaFinite (μ.trim hm) := hμm ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f|m] = 0 ** rw [condexp_of_sigmaFinite, if_neg hf] ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[f|m] = 0 ** rw [condexp_of_not_le hm] ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : ¬Integrable f hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f|m] = 0 ** rw [condexp_of_not_sigmaFinite hm hμm] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_zero ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α ⊢ μ[0|m] = 0 ** by_cases hm : m ≤ m0 ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 ⊢ μ[0|m] = 0 case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[0|m] = 0 ** swap ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 ⊢ μ[0|m] = 0 ** by_cases hμm : SigmaFinite (μ.trim hm) ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[0|m] = 0 case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[0|m] = 0 ** swap ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[0|m] = 0 ** haveI : SigmaFinite (μ.trim hm) := hμm ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[0|m] = 0 ** exact
condexp_of_stronglyMeasurable hm (@stronglyMeasurable_zero _ _ m _ _) (integrable_zero _ _ _) ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[0|m] = 0 ** rw [condexp_of_not_le hm] ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[0|m] = 0 ** rw [condexp_of_not_sigmaFinite hm hμm] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_of_aestronglyMeasurable' ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → F' hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfi : Integrable f ⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ] f ** refine' ((condexp_congr_ae hf.ae_eq_mk).trans _).trans hf.ae_eq_mk.symm ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → F' hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfi : Integrable f ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf ** rw [condexp_of_stronglyMeasurable hm hf.stronglyMeasurable_mk
((integrable_congr hf.ae_eq_mk).mp hfi)] ** Qed
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MeasureTheory.integral_condexp ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ** suffices ∫ x in Set.univ, (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ x in Set.univ, f x ∂μ by
simp_rw [integral_univ] at this; exact this ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : Integrable f ⊢ ∫ (x : α) in Set.univ, (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in Set.univ, f x ∂μ ** exact set_integral_condexp hm hf (@MeasurableSet.univ _ m) ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : Integrable f this : ∫ (x : α) in Set.univ, (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in Set.univ, f x ∂μ ⊢ ∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ** simp_rw [integral_univ] at this ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hf : Integrable f this : ∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ⊢ ∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ** exact this ** Qed
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MeasureTheory.ae_eq_condexp_of_forall_set_integral_eq ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g✝ : α → F' s : Set α hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f g : α → F' hf : Integrable f hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ ⊢ g =ᵐ[μ] μ[f|m] ** refine' ae_eq_of_forall_set_integral_eq_of_sigmaFinite' hm hg_int_finite
(fun s _ _ => integrable_condexp.integrableOn) (fun s hs hμs => _) hgm
(StronglyMeasurable.aeStronglyMeasurable' stronglyMeasurable_condexp) ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g✝ : α → F' s✝ : Set α hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f g : α → F' hf : Integrable f hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn g s hg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m]) x ∂μ ** rw [hg_eq s hs hμs, set_integral_condexp hm hf hs] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_bot_ae_eq ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α f : α → F' ⊢ μ[f|⊥] =ᵐ[μ] fun x => (ENNReal.toReal (↑↑μ Set.univ))⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ ** rcases eq_zero_or_neZero μ with rfl | hμ ** case inl α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α f✝ g : α → F' s : Set α f : α → F' ⊢ 0[f|⊥] =ᵐ[0] fun x => (ENNReal.toReal (↑↑0 Set.univ))⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂0 ** rw [ae_zero] ** case inl α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α f✝ g : α → F' s : Set α f : α → F' ⊢ 0[f|⊥] =ᶠ[⊥] fun x => (ENNReal.toReal (↑↑0 Set.univ))⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂0 ** exact eventually_bot ** case inr α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α f : α → F' hμ : NeZero μ ⊢ μ[f|⊥] =ᵐ[μ] fun x => (ENNReal.toReal (↑↑μ Set.univ))⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ ** exact eventually_of_forall <| congr_fun (condexp_bot' f) ** Qed
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MeasureTheory.condexp_bot ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α inst✝ : IsProbabilityMeasure μ f : α → F' ⊢ μ[f|⊥] = fun x => ∫ (x : α), f x ∂μ ** refine' (condexp_bot' f).trans _ ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α inst✝ : IsProbabilityMeasure μ f : α → F' ⊢ (fun x => (ENNReal.toReal (↑↑μ Set.univ))⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ) = fun x => ∫ (x : α), f x ∂μ ** rw [measure_univ, ENNReal.one_toReal, inv_one, one_smul] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_finset_sum ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s✝ : Set α ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → F' hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i) ⊢ μ[∑ i in s, f i|m] =ᵐ[μ] ∑ i in s, μ[f i|m] ** induction' s using Finset.induction_on with i s his heq hf ** case empty α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s✝ : Set α ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → F' hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i) hf : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → Integrable (f i) ⊢ μ[∑ i in ∅, f i|m] =ᵐ[μ] ∑ i in ∅, μ[f i|m] ** rw [Finset.sum_empty, Finset.sum_empty, condexp_zero] ** case insert α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s✝¹ : Set α ι : Type u_5 s✝ : Finset ι f : ι → α → F' hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Integrable (f i) i : ι s : Finset ι his : ¬i ∈ s heq : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → μ[∑ i in s, f i|m] =ᵐ[μ] ∑ i in s, μ[f i|m] hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1) ⊢ μ[∑ i in insert i s, f i|m] =ᵐ[μ] ∑ i in insert i s, μ[f i|m] ** rw [Finset.sum_insert his, Finset.sum_insert his] ** case insert α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s✝¹ : Set α ι : Type u_5 s✝ : Finset ι f : ι → α → F' hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Integrable (f i) i : ι s : Finset ι his : ¬i ∈ s heq : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → μ[∑ i in s, f i|m] =ᵐ[μ] ∑ i in s, μ[f i|m] hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1) ⊢ μ[f i + ∑ x in s, f x|m] =ᵐ[μ] μ[f i|m] + ∑ x in s, μ[f x|m] ** exact (condexp_add (hf i <| Finset.mem_insert_self i s) <|
integrable_finset_sum' _ fun j hmem => hf j <| Finset.mem_insert_of_mem hmem).trans
((EventuallyEq.refl _ _).add (heq fun j hmem => hf j <| Finset.mem_insert_of_mem hmem)) ** Qed
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MeasureTheory.condexp_neg ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α f : α → F' ⊢ μ[-f|m] =ᵐ[μ] -μ[f|m] ** letI : Module ℝ (α → F') := @Pi.module α (fun _ => F') ℝ _ _ fun _ => inferInstance ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α f : α → F' this : Module ℝ (α → F') := Pi.module α (fun x => F') ℝ ⊢ μ[-f|m] =ᵐ[μ] -μ[f|m] ** calc
μ[-f|m] = μ[(-1 : ℝ) • f|m] := by rw [neg_one_smul ℝ f]
_ =ᵐ[μ] (-1 : ℝ) • μ[f|m] := (condexp_smul (-1) f)
_ = -μ[f|m] := neg_one_smul ℝ (μ[f|m]) ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α f : α → F' this : Module ℝ (α → F') := Pi.module α (fun x => F') ℝ ⊢ μ[-f|m] = μ[-1 • f|m] ** rw [neg_one_smul ℝ f] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_sub ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ μ[f - g|m] =ᵐ[μ] μ[f|m] - μ[g|m] ** simp_rw [sub_eq_add_neg] ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace 𝕜 F' inst✝¹ : NormedSpace ℝ F' inst✝ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → F' s : Set α hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ μ[f + -g|m] =ᵐ[μ] μ[f|m] + -μ[g|m] ** exact (condexp_add hf hg.neg).trans (EventuallyEq.rfl.add (condexp_neg g)) ** Qed
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MeasureTheory.condexp_condexp_of_le ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** by_cases hμm₁ : SigmaFinite (μ.trim (hm₁₂.trans hm₂)) ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** swap ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** haveI : SigmaFinite (μ.trim (hm₁₂.trans hm₂)) := hμm₁ ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** by_cases hf : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : Integrable f ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : ¬Integrable f ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** swap ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : Integrable f ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** refine' ae_eq_of_forall_set_integral_eq_of_sigmaFinite' (hm₁₂.trans hm₂)
(fun s _ _ => integrable_condexp.integrableOn)
(fun s _ _ => integrable_condexp.integrableOn) _
(StronglyMeasurable.aeStronglyMeasurable' stronglyMeasurable_condexp)
(StronglyMeasurable.aeStronglyMeasurable' stronglyMeasurable_condexp) ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : Integrable f ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ ** intro s hs _ ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s✝ : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ ** rw [set_integral_condexp (hm₁₂.trans hm₂) integrable_condexp hs] ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s✝ : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₂]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ ** rw [set_integral_condexp (hm₁₂.trans hm₂) hf hs, set_integral_condexp hm₂ hf (hm₁₂ s hs)] ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** simp_rw [condexp_of_not_sigmaFinite (hm₁₂.trans hm₂) hμm₁] ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) ⊢ 0 =ᵐ[μ] 0 ** rfl ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : ¬Integrable f ⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᵐ[μ] μ[f|m₁] ** simp_rw [condexp_undef hf, condexp_zero] ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : CompleteSpace F' m m0✝ : MeasurableSpace α μ✝ : Measure α f g : α → F' s : Set α m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm₁₂ : m₁ ≤ m₂ hm₂ : m₂ ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm₂) hμm₁ this : SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m₁ ≤ m0)) hf : ¬Integrable f ⊢ 0 =ᵐ[μ] 0 ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.condexp_nonneg ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] μ[f|m] ** by_cases hfint : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfint : Integrable f ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] μ[f|m] ** rw [(condexp_zero.symm : (0 : α → E) = μ[0|m])] ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfint : Integrable f ⊢ μ[0|m] ≤ᵐ[μ] μ[f|m] ** exact condexp_mono (integrable_zero _ _ _) hfint hf ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfint : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] μ[f|m] ** rw [condexp_undef hfint] ** Qed
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MeasureTheory.condexp_nonpos ** α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : f ≤ᵐ[μ] 0 ⊢ μ[f|m] ≤ᵐ[μ] 0 ** by_cases hfint : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : f ≤ᵐ[μ] 0 hfint : Integrable f ⊢ μ[f|m] ≤ᵐ[μ] 0 ** rw [(condexp_zero.symm : (0 : α → E) = μ[0|m])] ** case pos α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : f ≤ᵐ[μ] 0 hfint : Integrable f ⊢ μ[f|m] ≤ᵐ[μ] μ[0|m] ** exact condexp_mono hfint (integrable_zero _ _ _) hf ** case neg α : Type u_1 F : Type u_2 F' : Type u_3 𝕜 : Type u_4 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : CompleteSpace F' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f✝ g : α → F' s : Set α E : Type u_5 inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : OrderedSMul ℝ E f : α → E hf : f ≤ᵐ[μ] 0 hfint : ¬Integrable f ⊢ μ[f|m] ≤ᵐ[μ] 0 ** rw [condexp_undef hfint] ** Qed
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MeasureTheory.inner_condexpL2_eq_inner_fun ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 f g : { x // x ∈ Lp E 2 } hg : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ ⊢ inner (↑(↑(condexpL2 E 𝕜 hm) f)) g = inner f g ** symm ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 f g : { x // x ∈ Lp E 2 } hg : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ ⊢ inner f g = inner (↑(↑(condexpL2 E 𝕜 hm) f)) g ** rw [← sub_eq_zero, ← inner_sub_left, condexpL2] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 f g : { x // x ∈ Lp E 2 } hg : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ ⊢ inner (f - ↑(↑(orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) f)) g = 0 ** simp only [mem_lpMeas_iff_aeStronglyMeasurable'.mpr hg, orthogonalProjection_inner_eq_zero f g] ** Qed
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MeasureTheory.integral_condexpL2_eq_of_fin_meas_real ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp 𝕜 2 } hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ ** rw [← L2.inner_indicatorConstLp_one (𝕜 := 𝕜) (hm s hs) hμs f] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp 𝕜 2 } hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = inner (indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) f ** have h_eq_inner : ∫ x in s, (condexpL2 𝕜 𝕜 hm f : α → 𝕜) x ∂μ =
inner (indicatorConstLp 2 (hm s hs) hμs (1 : 𝕜)) (condexpL2 𝕜 𝕜 hm f) := by
rw [L2.inner_indicatorConstLp_one (hm s hs) hμs] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp 𝕜 2 } hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ h_eq_inner : ∫ (x : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = inner (indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) ↑(↑(condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) ⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = inner (indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) f ** rw [h_eq_inner, ← inner_condexpL2_left_eq_right, condexpL2_indicator_of_measurable hm hs hμs] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 f : { x // x ∈ Lp 𝕜 2 } hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = inner (indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) ↑(↑(condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) ** rw [L2.inner_indicatorConstLp_one (hm s hs) hμs] ** Qed
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MeasureTheory.condexpL2_ae_eq_zero_of_ae_eq_zero ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ** suffices h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ x in s, ‖(condexpL2 ℝ ℝ hm f : α → ℝ) x‖₊ ∂μ = 0 ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0 ** refine' le_antisymm _ (zero_le _) ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ 0 ** refine' (lintegral_nnnorm_condexpL2_le hs hμs f).trans (le_of_eq _) ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ = 0 ** rw [lintegral_eq_zero_iff] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0 ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ** rw [lintegral_eq_zero_iff] at h_nnnorm_eq_zero ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : (fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0 ⊢ Measurable fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ** refine' h_nnnorm_eq_zero.mono fun x hx => _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : (fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 x : α hx : (fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊) x = OfNat.ofNat 0 x ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x = OfNat.ofNat 0 x α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0 ⊢ Measurable fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ** dsimp only at hx ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : (fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 x : α hx : ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ = OfNat.ofNat 0 x ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x = OfNat.ofNat 0 x α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0 ⊢ Measurable fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ** rw [Pi.zero_apply] at hx ⊢ ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : (fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 x : α hx : ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ = 0 ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x = 0 ** rwa [ENNReal.coe_eq_zero, nnnorm_eq_zero] at hx ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0 ⊢ Measurable fun x => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ** refine' Measurable.coe_nnreal_ennreal (Measurable.nnnorm _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0 ⊢ Measurable fun x => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x ** exact (Lp.stronglyMeasurable _).measurable ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ⊢ (fun x => ↑‖↑↑f x‖₊) =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ** refine' hf.mono fun x hx => _ ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 x : α hx : ↑↑f x = OfNat.ofNat 0 x ⊢ (fun x => ↑‖↑↑f x‖₊) x = OfNat.ofNat 0 x ** dsimp only ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 x : α hx : ↑↑f x = OfNat.ofNat 0 x ⊢ ↑‖↑↑f x‖₊ = OfNat.ofNat 0 x ** rw [hx] ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 x : α hx : ↑↑f x = OfNat.ofNat 0 x ⊢ ↑‖OfNat.ofNat 0 x‖₊ = OfNat.ofNat 0 x ** simp ** case h_nnnorm_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ f : { x // x ∈ Lp ℝ 2 } hf : ↑↑f =ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ⊢ Measurable fun x => ↑‖↑↑f x‖₊ ** exact (Lp.stronglyMeasurable _).ennnorm ** Qed
| |
MeasureTheory.lintegral_nnnorm_condexpL2_indicator_le_real ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ (s ∩ t) ** refine' (lintegral_nnnorm_condexpL2_le ht hμt _).trans (le_of_eq _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ↑↑μ (s ∩ t) ** have h_eq :
∫⁻ x in t, ‖(indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ)) x‖₊ ∂μ =
∫⁻ x in t, s.indicator (fun _ => (1 : ℝ≥0∞)) x ∂μ := by
refine' lintegral_congr_ae (ae_restrict_of_ae _)
refine' (@indicatorConstLp_coeFn _ _ _ 2 _ _ _ hs hμs (1 : ℝ)).mono fun x hx => _
dsimp only
rw [hx]
classical
simp_rw [Set.indicator_apply]
split_ifs <;> simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ h_eq : ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, Set.indicator s (fun x => 1) x ∂μ ⊢ ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ↑↑μ (s ∩ t) ** rw [h_eq, lintegral_indicator _ hs, lintegral_const, Measure.restrict_restrict hs] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ h_eq : ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, Set.indicator s (fun x => 1) x ∂μ ⊢ 1 * ↑↑(Measure.restrict μ (s ∩ t)) Set.univ = ↑↑μ (s ∩ t) ** simp only [one_mul, Set.univ_inter, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, Set.indicator s (fun x => 1) x ∂μ ** refine' lintegral_congr_ae (ae_restrict_of_ae _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (fun x => ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊) x = (fun x => Set.indicator s (fun x => 1) x) x ** refine' (@indicatorConstLp_coeFn _ _ _ 2 _ _ _ hs hμs (1 : ℝ)).mono fun x hx => _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : α hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x ⊢ (fun x => ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊) x = (fun x => Set.indicator s (fun x => 1) x) x ** dsimp only ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : α hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x ⊢ ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ = Set.indicator s (fun x => 1) x ** rw [hx] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : α hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x ⊢ ↑‖Set.indicator s (fun x => 1) x‖₊ = Set.indicator s (fun x => 1) x ** classical
simp_rw [Set.indicator_apply]
split_ifs <;> simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : α hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x ⊢ ↑‖Set.indicator s (fun x => 1) x‖₊ = Set.indicator s (fun x => 1) x ** simp_rw [Set.indicator_apply] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹³ : IsROrC 𝕜 inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E' inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝⁷ : CompleteSpace E' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F inst✝³ : NormedAddCommGroup G inst✝² : NormedAddCommGroup G' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G' inst✝ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : α hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x ⊢ ↑‖if x ∈ s then 1 else 0‖₊ = if x ∈ s then 1 else 0 ** split_ifs <;> simp ** Qed
| |
MeasureTheory.condexpL2_comp_continuousLinearMap ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 E'' 𝕜' hm) (compLp T f)) =ᵐ[μ] ↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) ** refine' Lp.ae_eq_of_forall_set_integral_eq' 𝕜' hm _ _ two_ne_zero ENNReal.coe_ne_top
(fun s _ hμs => integrableOn_condexpL2_of_measure_ne_top hm hμs.ne _) (fun s _ hμs =>
integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne) _ _ _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 E'' 𝕜' hm) (compLp T f)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) x ∂μ ** intro s hs hμs ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s✝ t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 E'' 𝕜' hm) (compLp T f)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) x ∂μ ** rw [T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
T.integral_comp_comm
(integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne),
← lpMeas_coe, ← lpMeas_coe, integral_condexpL2_eq hm f hs hμs.ne,
integral_condexpL2_eq hm (T.compLp f) hs hμs.ne, T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
T.integral_comp_comm
(integrableOn_Lp_of_measure_ne_top f fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne)] ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑(↑(condexpL2 E'' 𝕜' hm) (compLp T f))) μ ** exact lpMeas.aeStronglyMeasurable' _ ** case refine'_3 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ ** have h_coe := T.coeFn_compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E') ** case refine'_3 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } h_coe : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) a = ↑T (↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a) ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ ** rw [← EventuallyEq] at h_coe ** case refine'_3 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } h_coe : (fun a => ↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) a) =ᵐ[μ] fun a => ↑T (↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a) ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ ** refine' AEStronglyMeasurable'.congr _ h_coe.symm ** case refine'_3 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 T : E' →L[ℝ] E'' f : { x // x ∈ Lp E' 2 } h_coe : (fun a => ↑↑(compLp T ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) a) =ᵐ[μ] fun a => ↑T (↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a) ⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun a => ↑T (↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a)) μ ** exact (lpMeas.aeStronglyMeasurable' (condexpL2 E' 𝕜 hm f)).continuous_comp T.continuous ** Qed
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MeasureTheory.condexpL2_indicator_eq_toSpanSingleton_comp ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' ⊢ ↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) = compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) ** ext1 ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' ⊢ ↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᵐ[μ] ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) ** refine' (condexpL2_indicator_ae_eq_smul 𝕜 hm hs hμs x).trans _ ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' ⊢ (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᵐ[μ] ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) ** have h_comp := (toSpanSingleton ℝ x).coeFn_compLp
(condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α →₂[μ] ℝ) ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' h_comp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) a = ↑(toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a) ⊢ (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᵐ[μ] ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) ** rw [← EventuallyEq] at h_comp ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' h_comp : (fun a => ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) a) =ᵐ[μ] fun a => ↑(toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a) ⊢ (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᵐ[μ] ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) ** refine' EventuallyEq.trans _ h_comp.symm ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' h_comp : (fun a => ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) a) =ᵐ[μ] fun a => ↑(toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a) ⊢ (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᵐ[μ] fun a => ↑(toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a) ** refine' eventually_of_forall fun y => _ ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' h_comp : (fun a => ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) a) =ᵐ[μ] fun a => ↑(toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a) y : α ⊢ (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) y = (fun a => ↑(toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)) y ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.set_lintegral_nnnorm_condexpL2_indicator_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ a : α ha : ↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a = (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) a x✝ : a ∈ t ⊢ ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ = ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x‖₊ ** rw [ha] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊ ** simp_rw [nnnorm_smul, ENNReal.coe_mul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ * ↑‖x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊ ** rw [lintegral_mul_const, lpMeas_coe] ** case hf α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁵ : CompleteSpace E inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹² : CompleteSpace E' inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁵ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜' inst✝³ : NormedAddCommGroup E'' inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝¹ : CompleteSpace E'' inst✝ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ Measurable fun a => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ** exact (Lp.stronglyMeasurable _).ennnorm ** Qed
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MeasureTheory.lintegral_nnnorm_condexpL2_indicator_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** refine' lintegral_le_of_forall_fin_meas_le' hm (μ s * ‖x‖₊) _ fun t ht hμt => _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** refine' (set_lintegral_nnnorm_condexpL2_indicator_le hm hs hμs x ht hμt).trans _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ↑↑μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** exact mul_le_mul_right' (measure_mono (Set.inter_subset_left _ _)) _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ AEMeasurable fun a => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ** exact (Lp.aestronglyMeasurable _).ennnorm ** Qed
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MeasureTheory.integrable_condexpL2_indicator ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' ⊢ Integrable ↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) ** refine' integrable_of_forall_fin_meas_le' hm (μ s * ‖x‖₊)
(ENNReal.mul_lt_top hμs ENNReal.coe_ne_top) _ _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' ⊢ AEStronglyMeasurable (↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ ** exact Lp.aestronglyMeasurable _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' ⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → ↑↑μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** refine' fun t ht hμt =>
(set_lintegral_nnnorm_condexpL2_indicator_le hm hs hμs x ht hμt).trans _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E' t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ↑↑μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** exact mul_le_mul_right' (measure_mono (Set.inter_subset_left _ _)) _ ** Qed
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MeasureTheory.aeStronglyMeasurable'_condexpIndSMul ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ ** have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ ** rw [condexpIndSMul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))) μ ** suffices AEStronglyMeasurable' m
(toSpanSingleton ℝ x ∘ condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) μ by
refine' AEStronglyMeasurable'.congr this _
refine' EventuallyEq.trans _ (coeFn_compLpL _ _).symm
rfl ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ ** exact AEStronglyMeasurable'.continuous_comp (toSpanSingleton ℝ x).continuous h ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ this : AEStronglyMeasurable' m (↑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ ⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))) μ ** refine' AEStronglyMeasurable'.congr this _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ this : AEStronglyMeasurable' m (↑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ ⊢ ↑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᵐ[μ] ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) ** refine' EventuallyEq.trans _ (coeFn_compLpL _ _).symm ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ this : AEStronglyMeasurable' m (↑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ ⊢ ↑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᵐ[μ] fun a => ↑(toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a) ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.condexpIndSMul_smul' ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²¹ : IsROrC 𝕜 inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁸ : CompleteSpace E inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁵ : CompleteSpace E' inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁹ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁸ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝⁴ : CompleteSpace E'' inst✝³ : NormedSpace ℝ E'' inst✝² : NormedSpace ℝ G hm : m ≤ m0 inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ c : 𝕜 x : F ⊢ condexpIndSMul hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndSMul hm hs hμs x ** rw [condexpIndSMul, condexpIndSMul, toSpanSingleton_smul',
(toSpanSingleton ℝ x).smul_compLpL c, smul_apply] ** Qed
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MeasureTheory.set_lintegral_nnnorm_condexpIndSMul_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ a : α ha : ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a = (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) a x✝ : a ∈ t ⊢ ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ = ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x‖₊ ** rw [ha] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊ ** simp_rw [nnnorm_smul, ENNReal.coe_mul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ * ↑‖x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊ ** rw [lintegral_mul_const, lpMeas_coe] ** case hf α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ Measurable fun a => ↑‖↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ** exact (Lp.stronglyMeasurable _).ennnorm ** Qed
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MeasureTheory.lintegral_nnnorm_condexpIndSMul_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** refine' lintegral_le_of_forall_fin_meas_le' hm (μ s * ‖x‖₊) _ fun t ht hμt => _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** refine' (set_lintegral_nnnorm_condexpIndSMul_le hm hs hμs x ht hμt).trans _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ↑↑μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** exact mul_le_mul_right' (measure_mono (Set.inter_subset_left _ _)) _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ AEMeasurable fun a => ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ** exact (Lp.aestronglyMeasurable _).ennnorm ** Qed
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MeasureTheory.integrable_condexpIndSMul ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G ⊢ Integrable ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) ** refine'
integrable_of_forall_fin_meas_le' hm (μ s * ‖x‖₊) (ENNReal.mul_lt_top hμs ENNReal.coe_ne_top) _
_ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G ⊢ AEStronglyMeasurable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ ** exact Lp.aestronglyMeasurable _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G ⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → ↑↑μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** refine' fun t ht hμt => (set_lintegral_nnnorm_condexpIndSMul_le hm hs hμs x ht hμt).trans _ ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁷ : CompleteSpace E inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹⁴ : CompleteSpace E' inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E' inst✝¹² : NormedAddCommGroup F inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁷ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t✝ : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜' inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'' inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝³ : CompleteSpace E'' inst✝² : NormedSpace ℝ E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ G hm✝ hm : m ≤ m0 inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : G t : Set α ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ↑↑μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊ ** exact mul_le_mul_right' (measure_mono (Set.inter_subset_left _ _)) _ ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_condexpL2_indicator ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s ht : MeasurableSet t hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ ⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s)) • 1 = ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s)) ** rw [smul_eq_mul, mul_one] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_condexpIndSMul ** α : Type u_1 E : Type u_2 E' : Type u_3 F : Type u_4 G : Type u_5 G' : Type u_6 𝕜 : Type u_7 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜 inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹⁶ : CompleteSpace E inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E' inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E' inst✝¹³ : CompleteSpace E' inst✝¹² : NormedSpace ℝ E' inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G' inst✝⁶ : CompleteSpace G' m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α s t : Set α E'' : Type u_8 𝕜' : Type u_9 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'' inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E'' inst✝² : CompleteSpace E'' inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'' inst✝ : NormedSpace ℝ G hm : m ≤ m0 hs : MeasurableSet s ht : MeasurableSet t hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : G' ⊢ (∫ (a : α) in s, ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)) a ∂μ) • x = ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s)) • x ** rw [set_integral_condexpL2_indicator hs ht hμs hμt] ** Qed
| |
MeasureTheory.Lp.coeFn_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E f g : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ ↑↑f ≤ᵐ[μ] ↑↑g ↔ f ≤ g ** rw [← Subtype.coe_le_coe, ← AEEqFun.coeFn_le] ** Qed
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MeasureTheory.Lp.coeFn_nonneg ** α : Type u_1 E : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E f : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ↔ 0 ≤ f ** rw [← coeFn_le] ** α : Type u_1 E : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E f : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ** have h0 := Lp.coeFn_zero E p μ ** α : Type u_1 E : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E f : { x // x ∈ Lp E p } h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0 ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ** constructor <;> intro h <;> filter_upwards [h, h0] with _ _ h2 ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E f : { x // x ∈ Lp E p } h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0 h : 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f a✝¹ : α a✝ : OfNat.ofNat 0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹ h2 : ↑↑0 a✝¹ = OfNat.ofNat 0 a✝¹ ⊢ ↑↑0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹ ** rwa [h2] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 m : MeasurableSpace α μ : Measure α p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E f : { x // x ∈ Lp E p } h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0 h : ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f a✝¹ : α a✝ : ↑↑0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹ h2 : ↑↑0 a✝¹ = OfNat.ofNat 0 a✝¹ ⊢ OfNat.ofNat 0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹ ** rwa [← h2] ** Qed
| |
Nat.Partrec.rfind' ** f : ℕ →. ℕ hf : Partrec f ⊢ Partrec₂ fun a m => Part.map (fun x => x + m) (Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + m))) ** refine'
Partrec.map
((@Partrec₂.unpaired' fun a b : ℕ =>
Nat.rfind fun n => (fun m => m = 0) <$> f (Nat.pair a (n + b))).1
_)
(Primrec.nat_add.comp Primrec.snd <| Primrec.snd.comp Primrec.fst).to_comp.to₂ ** f : ℕ →. ℕ hf : Partrec f ⊢ Partrec (unpaired fun a b => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + b))) ** have : Nat.Partrec (fun a => Nat.rfind (fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$>
Nat.unpaired (fun a b => f (Nat.pair (Nat.unpair a).1 (b + (Nat.unpair a).2)))
(Nat.pair a n))) :=
rfind
(Partrec₂.unpaired'.2
((Partrec.nat_iff.2 hf).comp
(Primrec₂.pair.comp (Primrec.fst.comp <| Primrec.unpair.comp Primrec.fst)
(Primrec.nat_add.comp Primrec.snd
(Primrec.snd.comp <| Primrec.unpair.comp Primrec.fst))).to_comp)) ** f : ℕ →. ℕ hf : Partrec f this : Partrec fun a => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> unpaired (fun a b => f (Nat.pair (unpair a).1 (b + (unpair a).2))) (Nat.pair a n) ⊢ Partrec (unpaired fun a b => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + b))) ** simp at this ** f : ℕ →. ℕ hf : Partrec f this : Partrec fun a => Nat.rfind fun n => Part.map (fun m => decide (m = 0)) (f (Nat.pair (unpair a).1 (n + (unpair a).2))) ⊢ Partrec (unpaired fun a b => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + b))) ** exact this ** Qed
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Nat.Partrec.Code.const_inj ** x✝ : Code.const 0 = Code.const 0 ⊢ 0 = 0 ** simp ** n₁ n₂ : ℕ h : Code.const (n₁ + 1) = Code.const (n₂ + 1) ⊢ n₁ + 1 = n₂ + 1 ** dsimp [Nat.add_one, Nat.Partrec.Code.const] at h ** n₁ n₂ : ℕ h : comp succ (Code.const n₁) = comp succ (Code.const n₂) ⊢ n₁ + 1 = n₂ + 1 ** injection h with h₁ h₂ ** n₁ n₂ : ℕ h₁ : succ = succ h₂ : Code.const n₁ = Code.const n₂ ⊢ n₁ + 1 = n₂ + 1 ** simp only [const_inj h₂] ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.encode_lt_comp ** cf cg : Code ⊢ encode cf < encode (comp cf cg) ∧ encode cg < encode (comp cf cg) ** suffices ** cf cg : Code this : ?m.334464 ⊢ encode cf < encode (comp cf cg) ∧ encode cg < encode (comp cf cg) case this cf cg : Code ⊢ ?m.334464 ** exact (encode_lt_pair cf cg).imp (fun h => lt_trans h this) fun h => lt_trans h this ** case this cf cg : Code ⊢ encode (pair cf cg) < encode (comp cf cg) ** simp [encodeCode_eq, encodeCode] ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.encode_lt_prec ** cf cg : Code ⊢ encode cf < encode (prec cf cg) ∧ encode cg < encode (prec cf cg) ** suffices ** cf cg : Code this : ?m.337085 ⊢ encode cf < encode (prec cf cg) ∧ encode cg < encode (prec cf cg) case this cf cg : Code ⊢ ?m.337085 ** exact (encode_lt_pair cf cg).imp (fun h => lt_trans h this) fun h => lt_trans h this ** case this cf cg : Code ⊢ encode (pair cf cg) < encode (prec cf cg) ** simp [encodeCode_eq, encodeCode] ** Qed
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Nat.Partrec.Code.encode_lt_rfind' ** cf : Code ⊢ encode cf < encode (rfind' cf) ** simp only [encodeCode_eq, encodeCode] ** cf : Code ⊢ encodeCode cf < 2 * (2 * encodeCode cf + 1) + 1 + 4 ** have := Nat.mul_le_mul_right cf.encodeCode (by decide : 1 ≤ 2 * 2) ** cf : Code this : 1 * encodeCode cf ≤ 2 * 2 * encodeCode cf ⊢ encodeCode cf < 2 * (2 * encodeCode cf + 1) + 1 + 4 ** rw [one_mul, mul_assoc] at this ** cf : Code this : encodeCode cf ≤ 2 * (2 * encodeCode cf) ⊢ encodeCode cf < 2 * (2 * encodeCode cf + 1) + 1 + 4 ** refine' lt_of_le_of_lt (le_trans this _) (lt_add_of_pos_right _ (by decide : 0 < 4)) ** cf : Code this : encodeCode cf ≤ 2 * (2 * encodeCode cf) ⊢ 2 * (2 * encodeCode cf) ≤ 2 * (2 * encodeCode cf + 1) + 1 ** exact le_of_lt (Nat.lt_succ_of_le <| Nat.mul_le_mul_left _ <| le_of_lt <|
Nat.lt_succ_of_le <| Nat.mul_le_mul_left _ <| le_rfl) ** cf : Code ⊢ 1 ≤ 2 * 2 ** decide ** cf : Code this : encodeCode cf ≤ 2 * (2 * encodeCode cf) ⊢ 0 < 4 ** decide ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.rec_prim' ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf ⊢ let PR := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg); let CO := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg); let PC := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg); let RF := fun a cf hf => rf a (cf, hf); let F := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR a) (CO a) (PC a) (RF a); Primrec fun a => F a (c a) ** intros _ _ _ _ F ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** let G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p =>
let a := p.1.1
let IH := p.1.2
let n := p.2.1
let m := p.2.2
(IH.get? m).bind fun s =>
(IH.get? m.unpair.1).bind fun s₁ =>
(IH.get? m.unpair.2).map fun s₂ =>
cond n.bodd
(cond n.div2.bodd (rf a (ofNat Code m, s))
(pc a (ofNat Code m.unpair.1, ofNat Code m.unpair.2, s₁, s₂)))
(cond n.div2.bodd (co a (ofNat Code m.unpair.1, ofNat Code m.unpair.2, s₁, s₂))
(pr a (ofNat Code m.unpair.1, ofNat Code m.unpair.2, s₁, s₂))) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** have : Primrec G₁ := by
refine' option_bind (list_get?.comp (snd.comp fst) (snd.comp snd)) _
unfold Primrec₂
refine'
option_bind
((list_get?.comp (snd.comp fst)
(fst.comp <| Primrec.unpair.comp (snd.comp snd))).comp fst) _
unfold Primrec₂
refine'
option_map
((list_get?.comp (snd.comp fst)
(snd.comp <| Primrec.unpair.comp (snd.comp snd))).comp <| fst.comp fst) _
have a : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.1.1) :=
fst.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
have n : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.1) :=
fst.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
have m : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.2) :=
snd.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
have m₁ := fst.comp (Primrec.unpair.comp m)
have m₂ := snd.comp (Primrec.unpair.comp m)
have s : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.2) :=
snd.comp (fst.comp fst)
have s₁ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.2) :=
snd.comp fst
have s₂ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.2) :=
snd
unfold Primrec₂
exact
(nat_bodd.comp n).cond
((nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n).cond (hrf.comp a (((Primrec.ofNat Code).comp m).pair s))
(hpc.comp a
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂)))
(Primrec.cond (nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n)
(hco.comp a
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂))
(hpr.comp a
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂))) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** let G : α → List σ → Option σ := fun a IH =>
IH.length.casesOn (some (z a)) fun n =>
n.casesOn (some (s a)) fun n =>
n.casesOn (some (l a)) fun n =>
n.casesOn (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** have : Primrec₂ G := by
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn
(list_length.comp snd) (option_some_iff.2 (hz.comp fst)) ?_
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hs.comp (fst.comp fst))) ?_
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hl.comp (fst.comp <| fst.comp fst))) ?_
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hr.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst))) ?_
unfold Primrec₂
exact this.comp <|
((fst.pair snd).comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst).pair <|
snd.pair <| nat_div2.comp <| nat_div2.comp snd ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** refine'
((nat_strong_rec (fun a n => F a (ofNat Code n)) this.to₂ fun a n => _).comp
_root_.Primrec.id <| encode_iff.2 hc).of_eq fun a => by simp ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ G (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).1 (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).2 = some ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a n) ** simp (config := { zeta := false }) ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) = some (F a (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** simp only [] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (div2 (div2 n_4))) fun s_1 => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n_4 then bif bodd (div2 n_4) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n_4)), s_1) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n_4) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂)) (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).2)) n_3) n_2) n_1) (List.length (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n))))))) = some (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** rw [List.length_map, List.length_range] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (div2 (div2 n_4))) fun s_1 => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n_4 then bif bodd (div2 n_4) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n_4)), s_1) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n_4) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂)) (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).2)) n_3) n_2) n_1) (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))) = some (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** let m := n.div2.div2 ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (div2 (div2 n_4))) fun s_1 => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n_4 then bif bodd (div2 n_4) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n_4)), s_1) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n_4) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2, s₁, s₂)) (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).2)) n_3) n_2) n_1) (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))) = some (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** show
G₁ ((a, (List.range (n + 4)).map fun n => F a (ofNat Code n)), n, m) =
some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** have hm : m < n + 4 := by
simp only [div2_val]
exact
lt_of_le_of_lt (le_trans (Nat.div_le_self _ _) (Nat.div_le_self _ _))
(Nat.succ_le_succ (Nat.le_add_right _ _)) ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** have m1 : m.unpair.1 < n + 4 := lt_of_le_of_lt m.unpair_left_le hm ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** have m2 : m.unpair.2 < n + 4 := lt_of_le_of_lt m.unpair_right_le hm ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** simp [List.get?_map, List.get?_range, hm, m1, m2] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ (bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n)), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (div2 (div2 n)))) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2))) = rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (n + 4)) ** rw [show ofNat Code (n + 4) = ofNatCode (n + 4) from rfl] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ (bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n)), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (div2 (div2 n)))) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2))) = rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNatCode (n + 4)) ** simp [ofNatCode] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ (bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n)), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (div2 (div2 n)))) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1, ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2, rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1), rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2))) = rec (z a) (s a) (l a) (r a) (fun cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)) (fun cf hf => rf a (cf, hf)) (match bodd n, bodd (div2 n) with | false, false => pair (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).2) | false, true => comp (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).2) | true, false => prec (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).2) | true, true => rfind' (ofNatCode (div2 (div2 n)))) ** cases n.bodd <;> cases n.div2.bodd <;> rfl ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec G₁ ** refine' option_bind (list_get?.comp (snd.comp fst) (snd.comp snd)) _ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec₂ fun p s => Option.bind (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.2.1 then bif bodd (div2 p.2.1) then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 p.2.1) then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).2) ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec fun p => (fun p s => Option.bind (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.2.1 then bif bodd (div2 p.2.1) then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 p.2.1) then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).2)) p.1 p.2 ** refine'
option_bind
((list_get?.comp (snd.comp fst)
(fst.comp <| Primrec.unpair.comp (snd.comp snd))).comp fst) _ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec₂ fun p s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.2.1) then rf p.1.1.1 (ofNat Code p.1.2.2, p.2) else pc p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 p.1.2.1) then co p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂)) (List.get? p.1.1.2 (unpair p.1.2.2).2) ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec fun p => (fun p s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.2.1) then rf p.1.1.1 (ofNat Code p.1.2.2, p.2) else pc p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 p.1.2.1) then co p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂)) (List.get? p.1.1.2 (unpair p.1.2.2).2)) p.1 p.2 ** refine'
option_map
((list_get?.comp (snd.comp fst)
(snd.comp <| Primrec.unpair.comp (snd.comp snd))).comp <| fst.comp fst) _ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have a : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.1.1) :=
fst.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have n : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.1) :=
fst.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have m : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.2) :=
snd.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have m₁ := fst.comp (Primrec.unpair.comp m) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have m₂ := snd.comp (Primrec.unpair.comp m) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have s : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.2) :=
snd.comp (fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have s₁ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.2) :=
snd.comp fst ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** have s₂ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.2) :=
snd ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 ⊢ Primrec fun p => (fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2) else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂) else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂)) p.1 p.2 ** exact
(nat_bodd.comp n).cond
((nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n).cond (hrf.comp a (((Primrec.ofNat Code).comp m).pair s))
(hpc.comp a
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂)))
(Primrec.cond (nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n)
(hco.comp a
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂))
(hpr.comp a
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂))) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ G ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => G p.1 p.2 ** refine nat_casesOn
(list_length.comp snd) (option_some_iff.2 (hz.comp fst)) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (s p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1)) fun n => G₁ ((p.1, p.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (s p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1)) fun n => G₁ ((p.1, p.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hs.comp (fst.comp fst))) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1, p.1.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1, p.1.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hl.comp (fst.comp <| fst.comp fst))) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1.1, p.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1.1, p.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hr.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst))) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => G₁ ((p.1.1.1.1, p.1.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => G₁ ((p.1.1.1.1, p.1.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** exact this.comp <|
((fst.pair snd).comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst).pair <|
snd.pair <| nat_div2.comp <| nat_div2.comp snd ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α ⊢ F (id a) (ofNat Code (encode (c a))) = F a (c a) ** simp ** case succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n))))) = some (F a (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n))))) ** cases' n with n ** case succ.succ.succ.zero α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ Nat.zero))))) = some (F a (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ Nat.zero))))) ** simp (config := { zeta := false }) [ofNatCode_eq, ofNatCode] ** case succ.succ.succ.zero α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNatCode n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ 0))))) = some (F a right) ** rfl ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ m < n + 4 ** simp only [div2_val] ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code × Code × σ × σ → σ hpr : Primrec₂ pr co : α → Code × Code × σ × σ → σ hco : Primrec₂ co pc : α → Code × Code × σ × σ → σ hpc : Primrec₂ pc rf : α → Code × σ → σ hrf : Primrec₂ rf PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg) CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg) PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg) RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf) F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m, s) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, s₁, s₂)) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ n / 2 / 2 < n + 4 ** exact
lt_of_le_of_lt (le_trans (Nat.div_le_self _ _) (Nat.div_le_self _ _))
(Nat.succ_le_succ (Nat.le_add_right _ _)) ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.rec_prim ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 ⊢ let F := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a); Primrec fun a => F a (c a) ** intros F ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** let G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p =>
let a := p.1.1
let IH := p.1.2
let n := p.2.1
let m := p.2.2
(IH.get? m).bind fun s =>
(IH.get? m.unpair.1).bind fun s₁ =>
(IH.get? m.unpair.2).map fun s₂ =>
cond n.bodd
(cond n.div2.bodd (rf a (ofNat Code m) s)
(pc a (ofNat Code m.unpair.1) (ofNat Code m.unpair.2) s₁ s₂))
(cond n.div2.bodd (co a (ofNat Code m.unpair.1) (ofNat Code m.unpair.2) s₁ s₂)
(pr a (ofNat Code m.unpair.1) (ofNat Code m.unpair.2) s₁ s₂)) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** have : Primrec G₁ := by
refine' option_bind (list_get?.comp (snd.comp fst) (snd.comp snd)) _
unfold Primrec₂
refine' option_bind ((list_get?.comp (snd.comp fst) (fst.comp <| Primrec.unpair.comp
(snd.comp snd))).comp fst) _
unfold Primrec₂
refine'
option_map
((list_get?.comp (snd.comp fst) (snd.comp <| Primrec.unpair.comp (snd.comp snd))).comp <|
fst.comp fst)
_
have a : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.1.1) :=
fst.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
have n : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.1) :=
fst.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
have m : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.2) :=
snd.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
have m₁ := fst.comp (Primrec.unpair.comp m)
have m₂ := snd.comp (Primrec.unpair.comp m)
have s : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.2) :=
snd.comp (fst.comp fst)
have s₁ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.2) :=
snd.comp fst
have s₂ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.2) :=
snd
have h₁ := hrf.comp <| a.pair (((Primrec.ofNat Code).comp m).pair s)
have h₂ := hpc.comp <| a.pair (((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂)
have h₃ := hco.comp <| a.pair
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <| ((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂)
have h₄ := hpr.comp <| a.pair
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <| ((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂)
unfold Primrec₂
exact
(nat_bodd.comp n).cond
((nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n).cond h₁ h₂)
(cond (nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n) h₃ h₄) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** let G : α → List σ → Option σ := fun a IH =>
IH.length.casesOn (some (z a)) fun n =>
n.casesOn (some (s a)) fun n =>
n.casesOn (some (l a)) fun n =>
n.casesOn (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** have : Primrec₂ G := by
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn (list_length.comp snd) (option_some_iff.2 (hz.comp fst)) ?_
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hs.comp (fst.comp fst))) ?_
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hl.comp (fst.comp <| fst.comp fst))) ?_
unfold Primrec₂
refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hr.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst))) ?_
unfold Primrec₂
exact this.comp <|
((fst.pair snd).comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst).pair <|
snd.pair <| nat_div2.comp <| nat_div2.comp snd ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G ⊢ Primrec fun a => F a (c a) ** refine'
((nat_strong_rec (fun a n => F a (ofNat Code n)) this.to₂ fun a n => _).comp
_root_.Primrec.id <| encode_iff.2 hc).of_eq
fun a => by simp ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ G (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).1 (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).2 = some ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a n) ** simp (config := { zeta := false }) ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) = some (F a (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** simp only [] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (div2 (div2 n_4))) fun s_1 => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n_4 then bif bodd (div2 n_4) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n_4))) s_1 else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n_4) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂) (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).2)) n_3) n_2) n_1) (List.length (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n))))))) = some (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** rw [List.length_map, List.length_range] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (div2 (div2 n_4))) fun s_1 => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n_4 then bif bodd (div2 n_4) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n_4))) s_1 else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n_4) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂) (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).2)) n_3) n_2) n_1) (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))) = some (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** let m := n.div2.div2 ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (div2 (div2 n_4))) fun s_1 => Option.bind (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n_4 then bif bodd (div2 n_4) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n_4))) s_1 else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n_4) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n_4))).2) s₁ s₂) (List.get? (List.map (fun n => rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) (unpair (div2 (div2 n_4))).2)) n_3) n_2) n_1) (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))) = some (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n)))))) ** show
G₁ ((a, (List.range (n + 4)).map fun n => F a (ofNat Code n)), n, m) =
some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** have hm : m < n + 4 := by
simp only [div2_val]
exact
lt_of_le_of_lt (le_trans (Nat.div_le_self _ _) (Nat.div_le_self _ _))
(Nat.succ_le_succ (Nat.le_add_right _ _)) ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** have m1 : m.unpair.1 < n + 4 := lt_of_le_of_lt m.unpair_left_le hm ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** have m2 : m.unpair.2 < n + 4 := lt_of_le_of_lt m.unpair_right_le hm ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4))) ** simp [List.get?_map, List.get?_range, hm, m1, m2] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ (bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n))) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (div2 (div2 n)))) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2))) = rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (n + 4)) ** rw [show ofNat Code (n + 4) = ofNatCode (n + 4) from rfl] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ (bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n))) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (div2 (div2 n)))) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2))) = rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNatCode (n + 4)) ** simp [ofNatCode] ** case succ.succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) hm : m < n + 4 m1 : (unpair m).1 < n + 4 m2 : (unpair m).2 < n + 4 ⊢ (bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code (div2 (div2 n))) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (div2 (div2 n)))) else pc a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2)) else pr a (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).1)) (rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (ofNat Code (unpair (div2 (div2 n))).2))) = rec (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) (match bodd n, bodd (div2 n) with | false, false => pair (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).2) | false, true => comp (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).2) | true, false => prec (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).1) (ofNatCode (unpair (div2 (div2 n))).2) | true, true => rfind' (ofNatCode (div2 (div2 n)))) ** cases n.bodd <;> cases n.div2.bodd <;> rfl ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec G₁ ** refine' option_bind (list_get?.comp (snd.comp fst) (snd.comp snd)) _ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec₂ fun p s => Option.bind (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.2.1 then bif bodd (div2 p.2.1) then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2) s else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.2.2).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 p.2.1) then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.2.2).2) s₁ s₂ else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.2.2).2) s₁ s₂) (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).2) ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec fun p => (fun p s => Option.bind (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.2.1 then bif bodd (div2 p.2.1) then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2) s else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.2.2).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 p.2.1) then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.2.2).2) s₁ s₂ else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.2.2).2) s₁ s₂) (List.get? p.1.2 (unpair p.2.2).2)) p.1 p.2 ** refine' option_bind ((list_get?.comp (snd.comp fst) (fst.comp <| Primrec.unpair.comp
(snd.comp snd))).comp fst) _ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec₂ fun p s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.2.1) then rf p.1.1.1 (ofNat Code p.1.2.2) p.2 else pc p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.2.2).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 p.1.2.1) then co p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.2.2).2) s₁ s₂ else pr p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.2.2).2) s₁ s₂) (List.get? p.1.1.2 (unpair p.1.2.2).2) ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec fun p => (fun p s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd p.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.2.1) then rf p.1.1.1 (ofNat Code p.1.2.2) p.2 else pc p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.2.2).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 p.1.2.1) then co p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.2.2).2) s₁ s₂ else pr p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.2.2).2) s₁ s₂) (List.get? p.1.1.2 (unpair p.1.2.2).2)) p.1 p.2 ** refine'
option_map
((list_get?.comp (snd.comp fst) (snd.comp <| Primrec.unpair.comp (snd.comp snd))).comp <|
fst.comp fst)
_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have a : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.1.1) :=
fst.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have n : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.1) :=
fst.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have m : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.1.2.2) :=
snd.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have m₁ := fst.comp (Primrec.unpair.comp m) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have m₂ := snd.comp (Primrec.unpair.comp m) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have s : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.1.2) :=
snd.comp (fst.comp fst) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have s₁ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.1.2) :=
snd.comp fst ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have s₂ : Primrec (fun p : ((((α × List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) × σ => p.2) :=
snd ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have h₁ := hrf.comp <| a.pair (((Primrec.ofNat Code).comp m).pair s) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 h₁ : Primrec fun a => rf (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have h₂ := hpc.comp <| a.pair (((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <|
((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 h₁ : Primrec fun a => rf (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.2 h₂ : Primrec fun a => pc (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have h₃ := hco.comp <| a.pair
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <| ((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 h₁ : Primrec fun a => rf (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.2 h₂ : Primrec fun a => pc (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 h₃ : Primrec fun a => co (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** have h₄ := hpr.comp <| a.pair
(((Primrec.ofNat Code).comp m₁).pair <| ((Primrec.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 h₁ : Primrec fun a => rf (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.2 h₂ : Primrec fun a => pc (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 h₃ : Primrec fun a => co (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 h₄ : Primrec fun a => pr (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 ⊢ Primrec₂ fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s✝ : α → σ hs : Primrec s✝ l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s✝ a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) a : Primrec fun p => p.1.1.1.1.1 n : Primrec fun p => p.1.1.1.2.1 m : Primrec fun p => p.1.1.1.2.2 m₁ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).1 m₂ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2.2).2 s : Primrec fun p => p.1.1.2 s₁ : Primrec fun p => p.1.2 s₂ : Primrec fun p => p.2 h₁ : Primrec fun a => rf (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code a.1.1.1.2.2, a.1.1.2).2.2 h₂ : Primrec fun a => pc (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 h₃ : Primrec fun a => co (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 h₄ : Primrec fun a => pr (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.1 (a.1.1.1.1.1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair a.1.1.1.2.2).2, a.1.2, a.2).2.2.2.2 ⊢ Primrec fun p => (fun p s₂ => bif bodd p.1.1.2.1 then bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2) p.1.2 else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else bif bodd (div2 p.1.1.2.1) then co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂ else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1) (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2) p.2 s₂) p.1 p.2 ** exact
(nat_bodd.comp n).cond
((nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n).cond h₁ h₂)
(cond (nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n) h₃ h₄) ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ G ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => G p.1 p.2 ** refine nat_casesOn (list_length.comp snd) (option_some_iff.2 (hz.comp fst)) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (s p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1)) fun n => G₁ ((p.1, p.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (s p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1)) fun n => G₁ ((p.1, p.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hs.comp (fst.comp fst))) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1, p.1.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? 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IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (l p.1.1)) fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1, p.1.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hl.comp (fst.comp <| fst.comp fst))) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? 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IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1.1, p.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => Nat.casesOn n (some (r p.1.1.1)) fun n => G₁ ((p.1.1.1, p.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** refine nat_casesOn snd (option_some_iff.2 (hr.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst))) ?_ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec₂ fun p n => (fun n => G₁ ((p.1.1.1.1, p.1.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n ** unfold Primrec₂ ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) ⊢ Primrec fun p => (fun p n => (fun n => G₁ ((p.1.1.1.1, p.1.1.1.2), n, div2 (div2 n))) n) p.1 p.2 ** exact this.comp <|
((fst.pair snd).comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst.comp <| fst).pair <|
snd.pair <| nat_div2.comp <| nat_div2.comp snd ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α ⊢ F (id a) (ofNat Code (encode (c a))) = F a (c a) ** simp ** case succ.succ.succ α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n))))) = some (F a (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ n))))) ** cases' n with n ** case succ.succ.succ.zero α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ Nat.zero))))) = some (F a (ofNat Code (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ Nat.zero))))) ** simp (config := { zeta := false }) [ofNatCode_eq, ofNatCode] ** case succ.succ.succ.zero α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α ⊢ G a (List.map (fun n => F a (ofNatCode n)) (List.range (Nat.succ (Nat.succ (Nat.succ 0))))) = some (F a right) ** rfl ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ m < n + 4 ** simp only [div2_val] ** α : Type u_1 σ : Type u_2 inst✝¹ : Primcodable α inst✝ : Primcodable σ c : α → Code hc : Primrec c z : α → σ hz : Primrec z s : α → σ hs : Primrec s l : α → σ hl : Primrec l r : α → σ hr : Primrec r pr : α → Code → Code → σ → σ → σ hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 co : α → Code → Code → σ → σ → σ hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 pc : α → Code → Code → σ → σ → σ hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2 rf : α → Code → σ → σ hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2 F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a) G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => let a := p.1.1; let IH := p.1.2; let n := p.2.1; let m := p.2.2; Option.bind (List.get? IH m) fun s => Option.bind (List.get? IH (unpair m).1) fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif bodd n then bif bodd (div2 n) then rf a (ofNat Code m) s else pc a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else bif bodd (div2 n) then co a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂ else pr a (ofNat Code (unpair m).1) (ofNat Code (unpair m).2) s₁ s₂) (List.get? IH (unpair m).2) this✝ : Primrec G₁ G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn (List.length IH) (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, div2 (div2 n)) this : Primrec₂ G a : α n : ℕ m : ℕ := div2 (div2 n) ⊢ n / 2 / 2 < n + 4 ** exact
lt_of_le_of_lt (le_trans (Nat.div_le_self _ _) (Nat.div_le_self _ _))
(Nat.succ_le_succ (Nat.le_add_right _ _)) ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.eval_prec_succ ** cf cg : Code a k : ℕ ⊢ eval (prec cf cg) (Nat.pair a (Nat.succ k)) = do let ih ← eval (prec cf cg) (Nat.pair a k) eval cg (Nat.pair a (Nat.pair k ih)) ** rw [eval, Nat.unpaired, Part.bind_eq_bind, Nat.unpair_pair] ** cf cg : Code a k : ℕ ⊢ Nat.rec (eval cf (a, Nat.succ k).1) (fun y IH => do let i ← IH eval cg (Nat.pair (a, Nat.succ k).1 (Nat.pair y i))) (a, Nat.succ k).2 = Part.bind (unpaired (fun a n => Nat.rec (eval cf a) (fun y IH => do let i ← IH eval cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) (Nat.pair a k)) fun ih => eval cg (Nat.pair a (Nat.pair k ih)) ** simp ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.eval_const ** n m : ℕ ⊢ eval (Code.const (n + 1)) m = Part.some (n + 1) ** simp! [eval_const n m] ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.eval_id ** n : ℕ ⊢ eval Code.id n = Part.some n ** simp! [Seq.seq] ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.eval_curry ** c : Code n x : ℕ ⊢ eval (curry c n) x = eval c (Nat.pair n x) ** simp! [Seq.seq] ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.const_prim ** n : ℕ ⊢ (fun b => comp succ (n, b).2)^[id n] zero = Code.const n ** simp ** n : ℕ ⊢ (fun b => comp succ b)^[n] zero = Code.const n ** induction n <;>
simp [*, Code.const, Function.iterate_succ', -Function.iterate_succ] ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.evaln_bound ** c : Code n x : ℕ h : x ∈ evaln 0 c n ⊢ n < 0 ** simp [evaln] at h ** k : ℕ c : Code n x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n ⊢ n < k + 1 ** suffices ∀ {o : Option ℕ}, x ∈ do { guard (n ≤ k); o } → n < k + 1 by
cases c <;> rw [evaln] at h <;> exact this h ** k : ℕ c : Code n x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n ⊢ ∀ {o : Option ℕ}, (x ∈ do guard (n ≤ k) o) → n < k + 1 ** simpa [Bind.bind] using Nat.lt_succ_of_le ** k : ℕ c : Code n x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n this : ∀ {o : Option ℕ}, (x ∈ do guard (n ≤ k) o) → n < k + 1 ⊢ n < k + 1 ** cases c <;> rw [evaln] at h <;> exact this h ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.evaln_mono ** k₂ : ℕ c : Code n x : ℕ x✝ : 0 ≤ k₂ h : x ∈ evaln 0 c n ⊢ x ∈ evaln k₂ c n ** simp [evaln] at h ** k k₂ : ℕ c : Code n x : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 h : x ∈ evaln (k + 1) c n ⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n ** have hl' := Nat.le_of_succ_le_succ hl ** k k₂ : ℕ c : Code n x : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 h : x ∈ evaln (k + 1) c n hl' : k ≤ k₂ ⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n ** have :
∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},
k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →
x ∈ do { guard (n ≤ k); o₁ } → x ∈ do { guard (n ≤ k₂); o₂ } := by
simp only [Option.mem_def, bind, Option.bind_eq_some, Option.guard_eq_some', exists_and_left,
exists_const, and_imp]
introv h h₁ h₂ h₃
exact ⟨le_trans h₂ h, h₁ h₃⟩ ** k k₂ : ℕ c : Code n x : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 h : x ∈ evaln (k + 1) c n hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ ⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n ** simp at h ⊢ ** k k₂ : ℕ c : Code n x : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h : evaln (k + 1) c n = some x ⊢ evaln (k₂ + 1) c n = some x ** induction' c with cf cg hf hg cf cg hf hg cf cg hf hg cf hf generalizing x n <;>
rw [evaln] at h ⊢ <;> refine' this hl' (fun h => _) h ** case zero k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) pure 0) n = some x h : x ∈ pure 0 ⊢ x ∈ pure 0 case succ k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) pure (Nat.succ n)) n = some x h : x ∈ pure (Nat.succ n) ⊢ x ∈ pure (Nat.succ n) case left k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) pure (unpair n).1) n = some x h : x ∈ pure (unpair n).1 ⊢ x ∈ pure (unpair n).1 case right k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) pure (unpair n).2) n = some x h : x ∈ pure (unpair n).2 ⊢ x ∈ pure (unpair n).2 case pair k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n) n = some x h : x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n ⊢ x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k₂ + 1) cf n) fun x => evaln (k₂ + 1) cg n case comp k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) let x ← evaln (k + 1) cg n evaln (k + 1) cf x) n = some x h : x ∈ do let x ← evaln (k + 1) cg n evaln (k + 1) cf x ⊢ x ∈ do let x ← evaln (k₂ + 1) cg n evaln (k₂ + 1) cf x case prec k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) n = some x h : x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n ⊢ x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k₂ + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k₂ (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n case rfind' k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n) n = some x h : x ∈ unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n ⊢ x ∈ unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k₂ + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k₂ (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n ** iterate 4 exact h ** k k₂ : ℕ c : Code n x : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 h : x ∈ evaln (k + 1) c n hl' : k ≤ k₂ ⊢ ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ ** simp only [Option.mem_def, bind, Option.bind_eq_some, Option.guard_eq_some', exists_and_left,
exists_const, and_imp] ** k k₂ : ℕ c : Code n x : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 h : x ∈ evaln (k + 1) c n hl' : k ≤ k₂ ⊢ ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (o₁ = some x → o₂ = some x) → n ≤ k → o₁ = some x → n ≤ k₂ ∧ o₂ = some x ** introv h h₁ h₂ h₃ ** k✝ k₂✝ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k✝ + 1 ≤ k₂✝ + 1 h✝ : x✝ ∈ evaln (k✝ + 1) c n✝ hl' : k✝ ≤ k₂✝ k k₂ n x : ℕ o₁ o₂ : Option ℕ h : k ≤ k₂ h₁ : o₁ = some x → o₂ = some x h₂ : n ≤ k h₃ : o₁ = some x ⊢ n ≤ k₂ ∧ o₂ = some x ** exact ⟨le_trans h₂ h, h₁ h₃⟩ ** case right k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) pure (unpair n).2) n = some x h : x ∈ pure (unpair n).2 ⊢ x ∈ pure (unpair n).2 case pair k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n) n = some x h : x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n ⊢ x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k₂ + 1) cf n) fun x => evaln (k₂ + 1) cg n case comp k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) let x ← evaln (k + 1) cg n evaln (k + 1) cf x) n = some x h : x ∈ do let x ← evaln (k + 1) cg n evaln (k + 1) cf x ⊢ x ∈ do let x ← evaln (k₂ + 1) cg n evaln (k₂ + 1) cf x case prec k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) n = some x h : x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n ⊢ x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k₂ + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k₂ (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n case rfind' k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n) n = some x h : x ∈ unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n ⊢ x ∈ unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k₂ + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k₂ (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n ** exact h ** case pair k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n) n = some x h : x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n ⊢ x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k₂ + 1) cf n) fun x => evaln (k₂ + 1) cg n ** simp [Seq.seq] at h ⊢ ** case pair k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n) n = some x h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x ⊢ ∃ a, evaln (k₂ + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k₂ + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x ** exact h.imp fun a => And.imp (hf _ _) <| Exists.imp fun b => And.imp_left (hg _ _) ** case comp k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) let x ← evaln (k + 1) cg n evaln (k + 1) cf x) n = some x h : x ∈ do let x ← evaln (k + 1) cg n evaln (k + 1) cf x ⊢ x ∈ do let x ← evaln (k₂ + 1) cg n evaln (k₂ + 1) cf x ** simp [Bind.bind] at h ⊢ ** case comp k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) let x ← evaln (k + 1) cg n evaln (k + 1) cf x) n = some x h : ∃ a, evaln (k + 1) cg n = some a ∧ evaln (k + 1) cf a = some x ⊢ ∃ a, evaln (k₂ + 1) cg n = some a ∧ evaln (k₂ + 1) cf a = some x ** exact h.imp fun a => And.imp (hg _ _) (hf _ _) ** case prec k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) n = some x h : x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n ⊢ x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k₂ + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k₂ (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n ** revert h ** case prec k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) n = some x ⊢ x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n → x ∈ unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k₂ + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k₂ (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n ** simp only [unpaired, bind, Option.mem_def] ** case prec k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) n = some x ⊢ Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x → Nat.rec (evaln (k₂ + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k₂ (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x ** induction n.unpair.2 <;> simp ** case prec.zero k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) n = some x ⊢ evaln (k + 1) cf (unpair n).1 = some x → evaln (k₂ + 1) cf (unpair n).1 = some x ** apply hf ** case prec.succ k k₂ : ℕ c : Code n✝¹ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝ : evaln (k + 1) c n✝¹ = some x✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x hg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x n x : ℕ h : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a n => Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do let i ← evaln k (prec cf cg) (Nat.pair a y) evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) n = some x n✝ : ℕ n_ih✝ : Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) n✝ = some x → Nat.rec (evaln (k₂ + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k₂ (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) n✝ = some x ⊢ ∀ (x_1 : ℕ), evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n✝) = some x_1 → evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n✝ x_1)) = some x → ∃ a, evaln k₂ (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n✝) = some a ∧ evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n✝ a)) = some x ** exact fun y h₁ h₂ => ⟨y, evaln_mono hl' h₁, hg _ _ h₂⟩ ** case rfind' k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n) n = some x h : x ∈ unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n ⊢ x ∈ unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k₂ + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k₂ (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n ** simp [Bind.bind] at h ⊢ ** case rfind' k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x n x : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n) n = some x h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x ⊢ ∃ a, evaln (k₂ + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k₂ (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x ** refine' h.imp fun x => And.imp (hf _ _) _ ** case rfind' k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝¹ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x n x✝ : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n) n = some x✝ h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x✝ x : ℕ ⊢ (if x = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x✝ → (if x = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k₂ (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x✝ ** by_cases x0 : x = 0 <;> simp [x0] ** case neg k k₂ : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ hl : k + 1 ≤ k₂ + 1 hl' : k ≤ k₂ this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂ h✝¹ : evaln (k + 1) c n✝ = some x✝¹ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x n x✝ : ℕ h✝ : (fun n => do guard (n ≤ k) unpaired (fun a m => do let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m) if x = 0 then pure m else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair a (m + 1))) n) n = some x✝ h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x✝ x : ℕ x0 : ¬x = 0 ⊢ evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some x✝ → evaln k₂ (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some x✝ ** exact evaln_mono hl' ** Qed
| |
Nat.Partrec.Code.evaln_sound ** x✝ : Code n x : ℕ h : x ∈ evaln 0 x✝ n ⊢ x ∈ eval x✝ n ** simp [evaln] at h ** k : ℕ c : Code n x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n ⊢ x ∈ eval c n ** induction' c with cf cg hf hg cf cg hf hg cf cg hf hg cf hf generalizing x n <;>
simp [eval, evaln, Bind.bind, Seq.seq] at h ⊢ <;>
cases' h with _ h ** case zero.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : pure 0 = some x ⊢ x ∈ pure 0 n case succ.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : pure (Nat.succ n) = some x ⊢ x = Nat.succ n case left.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : pure (unpair n).1 = some x ⊢ x = (unpair n).1 case right.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : pure (unpair n).2 = some x ⊢ x = (unpair n).2 case pair.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf n ∧ ∃ a_1, a_1 ∈ eval cg n ∧ Nat.pair a a_1 = x case comp.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cg n = some a ∧ evaln (k + 1) cf a = some x ⊢ ∃ a, a ∈ eval cg n ∧ x ∈ eval cf a case prec.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x ⊢ x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) (unpair n).2 case rfind'.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** iterate 4 simpa [pure, PFun.pure, eq_comm] using h ** case right.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : pure (unpair n).2 = some x ⊢ x = (unpair n).2 case pair.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf n ∧ ∃ a_1, a_1 ∈ eval cg n ∧ Nat.pair a a_1 = x case comp.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cg n = some a ∧ evaln (k + 1) cf a = some x ⊢ ∃ a, a ∈ eval cg n ∧ x ∈ eval cf a case prec.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x ⊢ x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) (unpair n).2 case rfind'.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** simpa [pure, PFun.pure, eq_comm] using h ** case pair.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf n ∧ ∃ a_1, a_1 ∈ eval cg n ∧ Nat.pair a a_1 = x ** rcases h with ⟨y, ef, z, eg, rfl⟩ ** case pair.intro.intro.intro.intro.intro k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n : ℕ left✝ : n ≤ k y : ℕ ef : evaln (k + 1) cf n = some y z : ℕ eg : evaln (k + 1) cg n = some z ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf n ∧ ∃ a_1, a_1 ∈ eval cg n ∧ Nat.pair a a_1 = Nat.pair y z ** exact ⟨_, hf _ _ ef, _, hg _ _ eg, rfl⟩ ** case comp.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cg n = some a ∧ evaln (k + 1) cf a = some x ⊢ ∃ a, a ∈ eval cg n ∧ x ∈ eval cf a ** rcases h with ⟨y, eg, ef⟩ ** case comp.intro.intro.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k y : ℕ eg : evaln (k + 1) cg n = some y ef : evaln (k + 1) cf y = some x ⊢ ∃ a, a ∈ eval cg n ∧ x ∈ eval cf a ** exact ⟨_, hg _ _ eg, hf _ _ ef⟩ ** case prec.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x ⊢ x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) (unpair n).2 ** revert h ** case prec.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x : ℕ left✝ : n ≤ k ⊢ Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x → x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) (unpair n).2 ** induction' n.unpair.2 with m IH generalizing x <;> simp ** case prec.intro.zero k : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ h : x✝¹ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x✝ : ℕ left✝ : n ≤ k x : ℕ ⊢ evaln (k + 1) cf (unpair n).1 = some x → x ∈ eval cf (unpair n).1 ** apply hf ** case prec.intro.succ k : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ h : x✝¹ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x✝ : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ IH : ∀ (x : ℕ), Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some x → x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) m x : ℕ ⊢ ∀ (x_1 : ℕ), evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 m) = some x_1 → evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair m x_1)) = some x → ∃ a, a ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) m ∧ x ∈ eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair m a)) ** refine' fun y h₁ h₂ => ⟨y, IH _ _, _⟩ ** case prec.intro.succ.refine'_1 k : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ h : x✝¹ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x✝ : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ IH : ∀ (x : ℕ), Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some x → x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) m x y : ℕ h₁ : evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 m) = some y h₂ : evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair m y)) = some x ⊢ Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some y ** have := evaln_mono k.le_succ h₁ ** case prec.intro.succ.refine'_1 k : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ h : x✝¹ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x✝ : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ IH : ∀ (x : ℕ), Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some x → x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) m x y : ℕ h₁ : evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 m) = some y h₂ : evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair m y)) = some x this : y ∈ evaln (Nat.succ k) (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 m) ⊢ Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some y ** simp [evaln, Bind.bind] at this ** case prec.intro.succ.refine'_1 k : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ h : x✝¹ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x✝ : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ IH : ∀ (x : ℕ), Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some x → x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) m x y : ℕ h₁ : evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 m) = some y h₂ : evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair m y)) = some x this : Nat.pair (unpair n).1 m ≤ k ∧ Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some y ⊢ Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some y ** exact this.2 ** case prec.intro.succ.refine'_2 k : ℕ c : Code n✝ x✝¹ : ℕ h : x✝¹ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf cg : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ eval cg n n x✝ : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ IH : ∀ (x : ℕ), Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => Option.bind (evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)) fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) m = some x → x ∈ Nat.rec (eval cf (unpair n).1) (fun y IH => Part.bind IH fun i => eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) m x y : ℕ h₁ : evaln k (prec cf cg) (Nat.pair (unpair n).1 m) = some y h₂ : evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair m y)) = some x ⊢ x ∈ eval cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair m y)) ** exact hg _ _ h₂ ** case rfind'.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h✝ : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** rcases h with ⟨m, h₁, h₂⟩ ** case rfind'.intro.intro.intro k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m h₂ : (if m = 0 then pure (unpair n).2 else evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** by_cases m0 : m = 0 <;> simp [m0] at h₂ ** case pos k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : m = 0 h₂ : pure (unpair n).2 = some x ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** exact
⟨0, ⟨by simpa [m0] using hf _ _ h₁, fun {m} => (Nat.not_lt_zero _).elim⟩, by
injection h₂ with h₂; simp [h₂]⟩ ** k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : m = 0 h₂ : pure (unpair n).2 = some x ⊢ 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (0 + (unpair n).2)) ** simpa [m0] using hf _ _ h₁ ** k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : m = 0 h₂ : pure (unpair n).2 = some x ⊢ 0 + (unpair n).2 = x ** injection h₂ with h₂ ** k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : m = 0 h₂ : (unpair n).2 = x ⊢ 0 + (unpair n).2 = x ** simp [h₂] ** case neg k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some x ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** have := evaln_sound h₂ ** case neg k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some x this : x ∈ eval (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** simp [eval] at this ** case neg k : ℕ c : Code n✝ x✝ : ℕ h : x✝ ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n x : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some x this : ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0) ∧ a + ((unpair n).2 + 1) = x ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x ** rcases this with ⟨y, ⟨hy₁, hy₂⟩, rfl⟩ ** case neg.intro.intro.intro k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) ⊢ ∃ a, (0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = y + ((unpair n).2 + 1) ** refine'
⟨y + 1, ⟨by simpa [add_comm, add_left_comm] using hy₁, fun {i} im => _⟩, by
simp [add_comm, add_left_comm]⟩ ** case neg.intro.intro.intro k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) i : ℕ im : i < y + 1 ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (i + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0 ** cases' i with i ** k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) ⊢ 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + (unpair n).2)) ** simpa [add_comm, add_left_comm] using hy₁ ** k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) ⊢ y + 1 + (unpair n).2 = y + ((unpair n).2 + 1) ** simp [add_comm, add_left_comm] ** case neg.intro.intro.intro.zero k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) im : Nat.zero < y + 1 ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.zero + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0 ** exact ⟨m, by simpa using hf _ _ h₁, m0⟩ ** k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) im : Nat.zero < y + 1 ⊢ m ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.zero + (unpair n).2)) ** simpa using hf _ _ h₁ ** case neg.intro.intro.intro.succ k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) i : ℕ im : Nat.succ i < y + 1 ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.succ i + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0 ** rcases hy₂ (Nat.lt_of_succ_lt_succ im) with ⟨z, hz, z0⟩ ** case neg.intro.intro.intro.succ.intro.intro k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) i : ℕ im : Nat.succ i < y + 1 z : ℕ hz : z ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (i + ((unpair n).2 + 1))) z0 : ¬z = 0 ⊢ ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.succ i + (unpair n).2)) ∧ ¬a = 0 ** exact ⟨z, by simpa [Nat.succ_eq_add_one, add_comm, add_left_comm] using hz, z0⟩ ** k : ℕ c : Code n✝ x : ℕ h : x ∈ evaln (k + 1) c n✝ cf : Code hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ eval cf n n : ℕ left✝ : n ≤ k m : ℕ h₁ : evaln (k + 1) cf n = some m m0 : ¬m = 0 y : ℕ hy₁ : 0 ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (y + ((unpair n).2 + 1))) hy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a, a ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (m + ((unpair n).2 + 1))) ∧ ¬a = 0 h₂ : evaln k (rfind' cf) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1)) = some (y + ((unpair n).2 + 1)) i : ℕ im : Nat.succ i < y + 1 z : ℕ hz : z ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (i + ((unpair n).2 + 1))) z0 : ¬z = 0 ⊢ z ∈ eval cf (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.succ i + (unpair n).2)) ** simpa [Nat.succ_eq_add_one, add_comm, add_left_comm] using hz ** Qed
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Nat.Partrec.Code.evaln_map ** k : ℕ c : Code n : ℕ ⊢ (Option.bind (Option.map (evaln k c) (List.get? (List.range k) n)) fun b => b) = evaln k c n ** by_cases kn : n < k ** case pos k : ℕ c : Code n : ℕ kn : n < k ⊢ (Option.bind (Option.map (evaln k c) (List.get? (List.range k) n)) fun b => b) = evaln k c n ** simp [List.get?_range kn] ** case neg k : ℕ c : Code n : ℕ kn : ¬n < k ⊢ (Option.bind (Option.map (evaln k c) (List.get? (List.range k) n)) fun b => b) = evaln k c n ** rw [List.get?_len_le] ** case neg k : ℕ c : Code n : ℕ kn : ¬n < k ⊢ List.length (List.range k) ≤ n ** simpa using kn ** case neg k : ℕ c : Code n : ℕ kn : ¬n < k ⊢ (Option.bind (Option.map (evaln k c) Option.none) fun b => b) = evaln k c n ** cases e : evaln k c n ** case neg.some k : ℕ c : Code n : ℕ kn : ¬n < k val✝ : ℕ e : evaln k c n = some val✝ ⊢ (Option.bind (Option.map (evaln k c) Option.none) fun b => b) = some val✝ ** exact kn.elim (evaln_bound e) ** case neg.none k : ℕ c : Code n : ℕ kn : ¬n < k e : evaln k c n = Option.none ⊢ (Option.bind (Option.map (evaln k c) Option.none) fun b => b) = Option.none ** rfl ** Qed
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Nat.Partrec.Code.eval_part ** a : Code × ℕ ⊢ (rfindOpt fun b => evaln (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).1.1 (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).1.2 (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).2) = eval a.1 a.2 ** simp [eval_eq_rfindOpt] ** Qed
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