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Nat.Partrec.Code.fixed_point f : Code → Code hf : Computable f g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← eval (ofNat Code x) x eval (ofNat Code b) y this : Partrec₂ g cg : Code eg : eval cg = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a) ⊢ ∀ (a n : ℕ), eval cg (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n) simp [eg] f : Code → Code hf : Computable f g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← eval (ofNat Code x) x eval (ofNat Code b) y this✝ : Partrec₂ g cg : Code eg : eval cg = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a) eg' : ∀ (a n : ℕ), eval cg (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n) F : ℕ → Code := fun x => f (curry cg x) this : Computable F cF : Code eF : eval cF = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode (↑F a) ⊢ eval cF (encode cF) = Part.some (encode (F (encode cF))) simp [eF] f : Code → Code hf : Computable f g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← eval (ofNat Code x) x eval (ofNat Code b) y this✝ : Partrec₂ g cg : Code eg : eval cg = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a) eg' : ∀ (a n : ℕ), eval cg (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n) F : ℕ → Code := fun x => f (curry cg x) this : Computable F cF : Code eF : eval cF = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode (↑F a) eF' : eval cF (encode cF) = Part.some (encode (F (encode cF))) n : ℕ ⊢ eval (f (curry cg (encode cF))) n = eval (curry cg (encode cF)) n simp [eg', eF', Part.map_id'] ** Qed
AEMeasurable.inner α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g ⊢ AEMeasurable fun x => Inner.inner (f x) (g x) refine' ⟨fun x => ⟪hf.mk f x, hg.mk g x⟫, hf.measurable_mk.inner hg.measurable_mk, _⟩ α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g ⊢ (fun x => Inner.inner (f x) (g x)) =ᶠ[MeasureTheory.Measure.ae μ] fun x => Inner.inner (mk f hf x) (mk g hg x) refine' hf.ae_eq_mk.mp (hg.ae_eq_mk.mono fun x hxg hxf => _) α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g x : α hxg : g x = mk g hg x hxf : f x = mk f hf x ⊢ (fun x => Inner.inner (f x) (g x)) x = (fun x => Inner.inner (mk f hf x) (mk g hg x)) x dsimp only α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g x : α hxg : g x = mk g hg x hxf : f x = mk f hf x ⊢ Inner.inner (f x) (g x) = Inner.inner (mk f hf x) (mk g hg x) congr ** Qed
Vitali.exists_disjoint_subfamily_covering_enlargment_closedBall ** α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases eq_empty_or_nonempty t with (rfl \| _) case inr α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) by_cases ht : ∀ a ∈ t, r a < 0 case neg α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ¬∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) push_neg at ht case neg α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) let t' := { a ∈ t \| 0 ≤ r a } case neg α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases exists_disjoint_subfamily_covering_enlargment (fun a => closedBall (x a) (r a)) t' r 2 one_lt_two (fun a ha => ha.2) R (fun a ha => hr a ha.1) fun a ha => ⟨x a, mem_closedBall_self ha.2⟩ with ⟨u, ut', u_disj, hu⟩ case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) ** have A : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) := by intro a ha rcases hu a ha with ⟨b, bu, hb, rb⟩ refine' ⟨b, bu, _⟩ have : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b := dist_le_add_of_nonempty_closedBall_inter_closedBall hb apply closedBall_subset_closedBall' linarith ** case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) refine' ⟨u, ut'.trans fun a ha => ha.1, u_disj, fun a ha => _⟩ case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases le_or_lt 0 (r a) with (h'a \| h'a) case inl α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → r a ≤ R ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) exact ⟨∅, Subset.refl _, pairwiseDisjoint_empty, by simp⟩ α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → r a ≤ R ⊢ ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → ∃ b, b ∈ ∅ ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) simp case pos α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) exact ⟨t, Subset.rfl, fun a ha b _ _ => by simp only [Function.onFun, closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_disjoint], fun a ha => ⟨a, ha, by simp only [closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_subset]⟩⟩ α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 a : ι ha : a ∈ t b : ι x✝¹ : b ∈ t x✝ : a ≠ b ⊢ (Disjoint on fun a => closedBall (x a) (r a)) a b simp only [Function.onFun, closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_disjoint] α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 a : ι ha : a ∈ t ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x a) (5 * r a) simp only [closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_subset] α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b ⊢ ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) intro a ha α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases hu a ha with ⟨b, bu, hb, rb⟩ case intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) refine' ⟨b, bu, _⟩ case intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) have : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b := dist_le_add_of_nonempty_closedBall_inter_closedBall hb case intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b this : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) apply closedBall_subset_closedBall' case intro.intro.intro.h α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b this : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b ⊢ r a + dist (x a) (x b) ≤ 5 * r b linarith case neg.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : 0 ≤ r a ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) exact A a ⟨ha, h'a⟩ case neg.intro.intro.intro.inr α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases ht with ⟨b, rb⟩ case neg.intro.intro.intro.inr.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 b : ι rb : b ∈ t ∧ 0 ≤ r b ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases A b ⟨rb.1, rb.2⟩ with ⟨c, cu, _⟩ case neg.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 b : ι rb : b ∈ t ∧ 0 ≤ r b c : ι cu : c ∈ u right✝ : closedBall (x b) (r b) ⊆ closedBall (x c) (5 * r c) ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) refine' ⟨c, cu, by simp only [closedBall_eq_empty.2 h'a, empty_subset]⟩ α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 b : ι rb : b ∈ t ∧ 0 ≤ r b c : ι cu : c ∈ u right✝ : closedBall (x b) (r b) ⊆ closedBall (x c) (5 * r c) ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x c) (5 * r c) simp only [closedBall_eq_empty.2 h'a, empty_subset] Qed
measurable_of_re_im α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 inst✝¹ : IsROrC 𝕜 inst✝ : MeasurableSpace α f : α → 𝕜 μ : MeasureTheory.Measure α hre : Measurable fun x => ↑IsROrC.re (f x) him : Measurable fun x => ↑IsROrC.im (f x) ⊢ Measurable f convert Measurable.add (M := 𝕜) (IsROrC.measurable_ofReal.comp hre) ((IsROrC.measurable_ofReal.comp him).mul_const IsROrC.I) ** case h.e'_5.h α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 inst✝¹ : IsROrC 𝕜 inst✝ : MeasurableSpace α f : α → 𝕜 μ : MeasureTheory.Measure α hre : Measurable fun x => ↑IsROrC.re (f x) him : Measurable fun x => ↑IsROrC.im (f x) x✝ : α ⊢ f x✝ = (IsROrC.ofReal ∘ fun x => ↑IsROrC.re (f x)) x✝ + (IsROrC.ofReal ∘ fun x => ↑IsROrC.im (f x)) x✝ * IsROrC.I exact (IsROrC.re_add_im _).symm Qed
MeasureTheory.rnDeriv_ae_eq_condexp α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) =ᵐ[μ] μ[f\|m] refine' ae_eq_condexp_of_forall_set_integral_eq hm hf _ _ _ case refine'_1 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn (SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm)) s exact fun _ _ _ => (integrable_of_integrable_trim hm (SignedMeasure.integrable_rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm))).integrableOn case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ intro s hs _ case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ conv_rhs => rw [← hf.withDensityᵥ_trim_eq_integral hm hs, ← SignedMeasure.withDensityᵥ_rnDeriv_eq ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm) (hf.withDensityᵥ_trim_absolutelyContinuous hm)] case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x ∂μ = ↑(Measure.withDensityᵥ (Measure.trim μ hm) (SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm))) s rw [withDensityᵥ_apply (SignedMeasure.integrable_rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm)) hs, ← set_integral_trim hm _ hs] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ StronglyMeasurable fun x => SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x exact (SignedMeasure.measurable_rnDeriv _ _).stronglyMeasurable case refine'_3 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable' m (SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm)) μ exact StronglyMeasurable.aeStronglyMeasurable' (SignedMeasure.measurable_rnDeriv _ _).stronglyMeasurable ** Qed
MeasureTheory.snorm_one_condexp_le_snorm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ by_cases hf : Integrable f μ case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : ¬Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ by_cases hm : m ≤ m0 case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ by_cases hsig : SigmaFinite (μ.trim hm) case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ calc snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm (μ[(\|f\|)\|m]) 1 μ := by refine' snorm_mono_ae _ filter_upwards [@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => le_abs_self (f x) : ∀ x, f x ≤ \|f x\|)), EventuallyLE.trans (condexp_neg f).symm.le (@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf.neg hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => neg_le_abs_self (f x): ∀ x, -f x ≤ \|f x\|)))] with x hx₁ hx₂ exact abs_le_abs hx₁ hx₂ _ = snorm f 1 μ := by rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← ENNReal.toReal_eq_toReal (ne_of_lt integrable_condexp.2) (ne_of_lt hf.2), ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm (stronglyMeasurable_condexp.mono hm).aestronglyMeasurable, ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm hf.1] simp_rw [Real.norm_eq_abs] rw [← @integral_condexp _ _ _ _ _ m m0 μ _ hm hsig hf.abs] refine' integral_congr_ae _ have : 0 ≤ᵐ[μ] μ[(\|f\|)\|m] := by rw [← @condexp_zero α ℝ _ _ _ m m0 μ] exact condexp_mono (integrable_zero _ _ _) hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => abs_nonneg (f x) : ∀ x, 0 ≤ \|f x\|)) filter_upwards [this] with x hx exact abs_eq_self.2 hx case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : ¬Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ rw [condexp_undef hf, snorm_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ snorm f 1 μ exact zero_le _ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ rw [condexp_of_not_le hm, snorm_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ 0 ≤ snorm f 1 μ exact zero_le _ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ rw [condexp_of_not_sigmaFinite hm hsig, snorm_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ 0 ≤ snorm f 1 μ exact zero_le _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm (μ[\|f\|\|m]) 1 μ refine' snorm_mono_ae _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖(μ[f\|m]) x‖ ≤ ‖(μ[\|f\|\|m]) x‖ filter_upwards [@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => le_abs_self (f x) : ∀ x, f x ≤ \|f x\|)), EventuallyLE.trans (condexp_neg f).symm.le (@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf.neg hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => neg_le_abs_self (f x): ∀ x, -f x ≤ \|f x\|)))] with x hx₁ hx₂ case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) x : α hx₁ : (μ[f\|m]) x ≤ (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x hx₂ : (-μ[f\|m]) x ≤ (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x ⊢ ‖(μ[f\|m]) x‖ ≤ ‖(μ[\|f\|\|m]) x‖ exact abs_le_abs hx₁ hx₂ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[\|f\|\|m]) 1 μ = snorm f 1 μ rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← ENNReal.toReal_eq_toReal (ne_of_lt integrable_condexp.2) (ne_of_lt hf.2), ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm (stronglyMeasurable_condexp.mono hm).aestronglyMeasurable, ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm hf.1] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (x : α), ‖(μ[\|f\|\|m]) x‖ ∂μ = ∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ simp_rw [Real.norm_eq_abs] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[\|f\|\|m]) x\| ∂μ = ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ rw [← @integral_condexp _ _ _ _ _ m m0 μ _ hm hsig hf.abs] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[\|f\|\|m]) x\| ∂μ = ∫ (x : α), (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x ∂μ refine' integral_congr_ae _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ (fun x => \|(μ[\|f\|\|m]) x\|) =ᵐ[μ] fun x => (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x have : 0 ≤ᵐ[μ] μ[(\|f\|)\|m] := by rw [← @condexp_zero α ℝ _ _ _ m m0 μ] exact condexp_mono (integrable_zero _ _ _) hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => abs_nonneg (f x) : ∀ x, 0 ≤ \|f x\|)) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) this : 0 ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] ⊢ (fun x => \|(μ[\|f\|\|m]) x\|) =ᵐ[μ] fun x => (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x filter_upwards [this] with x hx case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) this : 0 ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] x : α hx : OfNat.ofNat 0 x ≤ (μ[\|f\|\|m]) x ⊢ \|(μ[\|f\|\|m]) x\| = (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x exact abs_eq_self.2 hx α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] rw [← @condexp_zero α ℝ _ _ _ m m0 μ] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[0\|m] ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] exact condexp_mono (integrable_zero _ _ _) hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => abs_nonneg (f x) : ∀ x, 0 ≤ \|f x\|)) ** Qed
MeasureTheory.integral_abs_condexp_le α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ by_cases hm : m ≤ m0 case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : ¬m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ by_cases hfint : Integrable f μ case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : ¬Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae, integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : ¬m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ simp_rw [condexp_of_not_le hm, Pi.zero_apply, abs_zero, integral_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : ¬m ≤ m0 ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ exact integral_nonneg fun x => abs_nonneg _ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : ¬Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ simp only [condexp_undef hfint, Pi.zero_apply, abs_zero, integral_const, Algebra.id.smul_eq_mul, mul_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ exact integral_nonneg fun x => abs_nonneg _ case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal \|(μ[f\|m]) a\| ∂μ) ≤ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal \|f a\| ∂μ) rw [ENNReal.toReal_le_toReal] <;> simp_rw [← Real.norm_eq_abs, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(μ[f\|m]) a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ rw [← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ snorm (fun a => (μ[f\|m]) a) 1 μ ≤ snorm (fun a => f a) 1 μ exact snorm_one_condexp_le_snorm _ case pos.ha α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(μ[f\|m]) a‖₊ ∂μ ≠ ⊤ exact ne_of_lt integrable_condexp.2 case pos.hb α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ ≠ ⊤ exact ne_of_lt hfint.2 case pos.hf α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun x => \|f x\| exact eventually_of_forall fun x => abs_nonneg _ case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => \|f x\|) μ simp_rw [← Real.norm_eq_abs] case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ‖f x‖) μ exact hfint.1.norm case pos.hf α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun x => \|(μ[f\|m]) x\| exact eventually_of_forall fun x => abs_nonneg _ case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => \|(μ[f\|m]) x\|) μ simp_rw [← Real.norm_eq_abs] case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ‖(μ[f\|m]) x‖) μ exact (stronglyMeasurable_condexp.mono hm).aestronglyMeasurable.norm ** Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_simpleFunc_mul ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) ⊢ μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m] apply @SimpleFunc.induction _ _ m _ (fun f => _) (fun c s hs => ?_) (fun g₁ g₂ _ h_eq₁ h_eq₂ => ?_) f α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g ⊢ ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) intro s c f α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ ⊢ Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) ext1 x case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α ⊢ (Set.indicator s (Function.const α c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x by_cases hx : x ∈ s case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α hx : x ∈ s ⊢ (Set.indicator s (Function.const α c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x simp only [hx, Pi.mul_apply, Set.indicator_of_mem, Pi.smul_apply, Algebra.id.smul_eq_mul] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α hx : x ∈ s ⊢ Function.const α c x * f x = c * f x rfl case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α hx : ¬x ∈ s ⊢ (Set.indicator s (Function.const α c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x simp only [hx, Pi.mul_apply, Set.indicator_of_not_mem, not_false_iff, zero_mul] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * μ[g\|m] classical simp only [@SimpleFunc.const_zero _ _ m, @SimpleFunc.coe_piecewise _ _ m, @SimpleFunc.coe_const _ _ m, @SimpleFunc.coe_zero _ _ m, Set.piecewise_eq_indicator] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[Set.indicator s (Function.const α c) * g\|m] =ᵐ[μ] Set.indicator s (Function.const α c) * μ[g\|m] rw [this, this] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[Set.indicator s (c • g)\|m] =ᵐ[μ] Set.indicator s (c • μ[g\|m]) refine' (condexp_indicator (hg.smul c) hs).trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ Set.indicator s (μ[c • g\|m]) =ᵐ[μ] Set.indicator s (c • μ[g\|m]) filter_upwards [@condexp_smul α ℝ ℝ _ _ _ _ _ m m0 μ c g] with x hx case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s x : α hx : (μ[c • g\|m]) x = (c • μ[g\|m]) x ⊢ Set.indicator s (μ[c • g\|m]) x = Set.indicator s (c • μ[g\|m]) x classical simp_rw [Set.indicator_apply, hx] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * μ[g\|m] simp only [@SimpleFunc.const_zero _ _ m, @SimpleFunc.coe_piecewise _ _ m, @SimpleFunc.coe_const _ _ m, @SimpleFunc.coe_zero _ _ m, Set.piecewise_eq_indicator] case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s x : α hx : (μ[c • g\|m]) x = (c • μ[g\|m]) x ⊢ Set.indicator s (μ[c • g\|m]) x = Set.indicator s (c • μ[g\|m]) x simp_rw [Set.indicator_apply, hx] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ ⊢ μ[↑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] have h_add := @SimpleFunc.coe_add _ _ m _ g₁ g₂ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[↑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] ** calc μ[⇑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] μ[(⇑g₁ + ⇑g₂) * g\|m] := by refine' condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul _ EventuallyEq.rfl); rw [h_add] _ =ᵐ[μ] μ[⇑g₁ * g\|m] + μ[⇑g₂ * g\|m] := by rw [add_mul]; exact condexp_add (hg.simpleFunc_mul' hm _) (hg.simpleFunc_mul' hm _) _ =ᵐ[μ] ⇑g₁ * μ[g\|m] + ⇑g₂ * μ[g\|m] := (EventuallyEq.add h_eq₁ h_eq₂) _ =ᵐ[μ] ⇑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] := by rw [h_add, add_mul] ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[↑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] μ[(↑g₁ + ↑g₂) * g\|m] refine' condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul _ EventuallyEq.rfl) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ (fun x => ↑(g₁ + g₂) x) =ᵐ[μ] fun x => (↑g₁ + ↑g₂) x rw [h_add] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[(↑g₁ + ↑g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] μ[↑g₁ * g\|m] + μ[↑g₂ * g\|m] rw [add_mul] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[↑g₁ * g + ↑g₂ * g\|m] =ᵐ[μ] μ[↑g₁ * g\|m] + μ[↑g₂ * g\|m] exact condexp_add (hg.simpleFunc_mul' hm _) (hg.simpleFunc_mul' hm _) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ ↑g₁ * μ[g\|m] + ↑g₂ * μ[g\|m] =ᵐ[μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] rw [h_add, add_mul] Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_mul_of_bound₀ ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[hf.mk f * g\|m] := condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl) ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' this.trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] hf.mk f * μ[g\|m] := EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' EventuallyEq.trans _ this.symm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] refine' condexp_stronglyMeasurable_mul_of_bound hm hf.stronglyMeasurable_mk hg c _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖AEStronglyMeasurable'.mk f hf x‖ ≤ c filter_upwards [hf_bound, hf.ae_eq_mk] with x hxc hx_eq case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] x : α hxc : ‖f x‖ ≤ c hx_eq : f x = AEStronglyMeasurable'.mk f hf x ⊢ ‖AEStronglyMeasurable'.mk f hf x‖ ≤ c rw [← hx_eq] case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] x : α hxc : ‖f x‖ ≤ c hx_eq : f x = AEStronglyMeasurable'.mk f hf x ⊢ ‖f x‖ ≤ c exact hxc Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_mul ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] by_cases hm : m ≤ m0 case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] by_cases hμm : SigmaFinite (μ.trim hm) case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] haveI : SigmaFinite (μ.trim hm) := hμm case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] obtain ⟨sets, sets_prop, h_univ⟩ := hf.exists_spanning_measurableSet_norm_le hm μ case pos.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α sets_prop : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n) ∧ ↑↑μ (sets n) < ⊤ ∧ ∀ (x : α), x ∈ sets n → ‖f x‖ ≤ ↑n h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] simp_rw [forall_and] at sets_prop case pos.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ sets_prop : (∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)) ∧ (∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤) ∧ ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] obtain ⟨h_meas, h_finite, h_norm⟩ := sets_prop case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** suffices ∀ n, ∀ᵐ x ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x by rw [← ae_all_iff] at this filter_upwards [this] with x hx rw [Pi.mul_apply] obtain ⟨i, hi⟩ : ∃ i, x ∈ sets i := by have h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i := by rw [h_univ]; exact Set.mem_univ _ simpa using h_mem exact hx i hi ** case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x ⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x refine' fun n => ae_imp_of_ae_restrict _ case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ** suffices (μ.restrict (sets n))[f * g\|m] =ᵐ[μ.restrict (sets n)] f * (μ.restrict (sets n))[g\|m] by simp_rw [← Pi.mul_apply] refine' (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hfg).symm.trans _ exact this.trans (EventuallyEq.rfl.mul (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hg)) ** case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] have : IsFiniteMeasure (μ.restrict (sets n)) := by constructor rw [Measure.restrict_apply_univ] exact h_finite n case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] refine' condexp_stronglyMeasurable_mul_of_bound hm (hf.indicator (h_meas n)) hg.integrableOn n _ case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n refine' eventually_of_forall fun x => _ case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α ⊢ ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n by_cases hxs : x ∈ sets n case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] simp_rw [condexp_of_not_le hm] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : ¬m ≤ m0 ⊢ 0 =ᵐ[μ] f * 0 rw [mul_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] simp_rw [condexp_of_not_sigmaFinite hm hμm] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ 0 =ᵐ[μ] f * 0 rw [mul_zero] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] rw [← ae_all_iff] at this α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] filter_upwards [this] with x hx case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ (μ[f * g\|m]) x = (f * μ[g\|m]) x rw [Pi.mul_apply] case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x obtain ⟨i, hi⟩ : ∃ i, x ∈ sets i := by have h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i := by rw [h_univ]; exact Set.mem_univ _ simpa using h_mem case h.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x i : ℕ hi : x ∈ sets i ⊢ (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x exact hx i hi α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ ∃ i, x ∈ sets i have h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i := by rw [h_univ]; exact Set.mem_univ _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i ⊢ ∃ i, x ∈ sets i simpa using h_mem α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ x ∈ ⋃ i, sets i rw [h_univ] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ x ∈ Set.univ exact Set.mem_univ _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x simp_rw [← Pi.mul_apply] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), (μ[f * g\|m]) x = (f * μ[g\|m]) x refine' (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hfg).symm.trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] fun x => (f * μ[g\|m]) x exact this.trans (EventuallyEq.rfl.mul (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hg)) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] refine' EventuallyEq.trans _ (this.trans _) case refine'_1 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] exact condexp_congr_ae ((indicator_ae_eq_restrict (hm _ (h_meas n))).symm.mul EventuallyEq.rfl) case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] exact (indicator_ae_eq_restrict (hm _ (h_meas n))).mul EventuallyEq.rfl α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) constructor case measure_univ_lt_top α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ ↑↑(Measure.restrict μ (sets n)) Set.univ < ⊤ rw [Measure.restrict_apply_univ] case measure_univ_lt_top α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ ↑↑μ (sets n) < ⊤ exact h_finite n case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α hxs : x ∈ sets n ⊢ ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n simp only [hxs, Set.indicator_of_mem] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α hxs : x ∈ sets n ⊢ ‖f x‖ ≤ ↑n exact h_norm n x hxs case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α hxs : ¬x ∈ sets n ⊢ ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n simp only [hxs, Set.indicator_of_not_mem, not_false_iff, _root_.norm_zero, Nat.cast_nonneg] Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_mul₀ ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[hf.mk f * g\|m] := condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl) ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' this.trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] hf.mk f * μ[g\|m] := EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' EventuallyEq.trans _ this.symm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] refine' condexp_stronglyMeasurable_mul hf.stronglyMeasurable_mk _ hg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ Integrable (AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g) refine' (integrable_congr _).mp hfg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ f * g =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g exact EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl Qed
MeasureTheory.snorm_eq_snorm' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F ⊢ snorm f p μ = snorm' f (ENNReal.toReal p) μ simp [snorm, hp_ne_zero, hp_ne_top] ** Qed
MeasureTheory.snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F ⊢ snorm f p μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) rw [snorm_eq_snorm' hp_ne_zero hp_ne_top, snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm_one_eq_lintegral_nnnorm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm f 1 μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ simp_rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm one_ne_zero ENNReal.coe_ne_top, ENNReal.one_toReal, one_div_one, ENNReal.rpow_one] ** Qed
MeasureTheory.snorm_exponent_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm f ⊤ μ = snormEssSup f μ simp [snorm] ** Qed
MeasureTheory.lintegral_rpow_nnnorm_eq_rpow_snorm' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hq0_lt : 0 < q ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = snorm' f q μ ^ q rw [snorm', ← ENNReal.rpow_mul, one_div, inv_mul_cancel, ENNReal.rpow_one] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hq0_lt : 0 < q ⊢ q ≠ 0 exact (ne_of_lt hq0_lt).symm ** Qed
MeasureTheory.lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hfp : snorm f p μ < ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ apply lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm'_lt_top case hq0_lt α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hfp : snorm f p μ < ⊤ ⊢ 0 < ENNReal.toReal p exact ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top case hfq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hfp : snorm f p μ < ⊤ ⊢ snorm' (fun a => f a) (ENNReal.toReal p) μ < ⊤ simpa [snorm_eq_snorm' hp_ne_zero hp_ne_top] using hfp ** Qed
MeasureTheory.snorm_lt_top_iff_lintegral_rpow_nnnorm_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ → snorm f p μ < ⊤ intro h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ ⊢ snorm f p μ < ⊤ have hp' := ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ hp' : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm f p μ < ⊤ have : 0 < 1 / p.toReal := div_pos zero_lt_one hp' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ hp' : 0 < ENNReal.toReal p this : 0 < 1 / ENNReal.toReal p ⊢ snorm f p μ < ⊤ simpa [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_ne_zero hp_ne_top] using ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg (le_of_lt this) (ne_of_lt h) ** Qed
MeasureTheory.snorm'_exponent_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm' f 0 μ = 1 rw [snorm', _root_.div_zero, ENNReal.rpow_zero] ** Qed
MeasureTheory.snorm_exponent_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm f 0 μ = 0 simp [snorm] ** Qed
MeasureTheory.memℒp_zero_iff_aestronglyMeasurable α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E ⊢ Memℒp f 0 ↔ AEStronglyMeasurable f μ simp [Memℒp, snorm_exponent_zero] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp0_lt : 0 < q ⊢ snorm' 0 q μ = 0 simp [snorm', hp0_lt] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_zero' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq0_ne : q ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 ⊢ snorm' 0 q μ = 0 cases' le_or_lt 0 q with hq0 hq_neg case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq0_ne : q ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 hq0 : 0 ≤ q ⊢ snorm' 0 q μ = 0 exact snorm'_zero (lt_of_le_of_ne hq0 hq0_ne.symm) case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq0_ne : q ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 hq_neg : q < 0 ⊢ snorm' 0 q μ = 0 simp [snorm', ENNReal.rpow_eq_zero_iff, hμ, hq_neg] ** Qed
MeasureTheory.snorm_zero' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ snorm (fun x => 0) p μ = 0 convert snorm_zero (F := F) ** Qed
MeasureTheory.zero_memℒp α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ snorm 0 p μ < ⊤ rw [snorm_zero] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ 0 < ⊤ exact ENNReal.coe_lt_top ** Qed
MeasureTheory.snorm'_measure_zero_of_pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f q 0 = 0 simp [snorm', hq_pos] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_measure_zero_of_exponent_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F ⊢ snorm' f 0 0 = 1 simp [snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_measure_zero_of_neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F hq_neg : q < 0 ⊢ snorm' f q 0 = ⊤ simp [snorm', hq_neg] ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_measure_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F ⊢ snormEssSup f 0 = 0 simp [snormEssSup] ** Qed
MeasureTheory.snorm_measure_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F ⊢ snorm f p 0 = 0 by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p 0 = 0 by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p 0 = 0 rw [← Ne.def] at h0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : p ≠ 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p 0 = 0 simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top, snorm', ENNReal.toReal_pos h0 h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : p = 0 ⊢ snorm f p 0 = 0 simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm f p 0 = 0 simp [h_top] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm' (-f) q μ = snorm' f q μ simp [snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm_neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : p = 0 ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ simp [h_top, snormEssSup] ** Qed
MeasureTheory.Memℒp.neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hf : Memℒp f p ⊢ snorm (-f) p μ < ⊤ simp [hf.right] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [snorm', lintegral_const, ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ (by simp [hq_pos.le] : 0 ≤ 1 / q)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) congr case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ rw [← ENNReal.rpow_mul] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ ** suffices hq_cancel : q * (1 / q) = 1 ** case hq_cancel α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ q * (1 / q) = 1 rw [one_div, mul_inv_cancel (ne_of_lt hq_pos).symm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ 0 ≤ 1 / q simp [hq_pos.le] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q hq_cancel : q * (1 / q) = 1 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ rw [hq_cancel, ENNReal.rpow_one] Qed
MeasureTheory.snorm'_const' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ snorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [snorm', lintegral_const, ENNReal.mul_rpow_of_ne_top _ (measure_ne_top μ Set.univ)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) congr case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ rw [← ENNReal.rpow_mul] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ ** suffices hp_cancel : q * (1 / q) = 1 ** case hp_cancel α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ q * (1 / q) = 1 rw [one_div, mul_inv_cancel hq_ne_zero] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 hp_cancel : q * (1 / q) = 1 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ rw [hp_cancel, ENNReal.rpow_one] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ q ≠ ⊤ rw [Ne.def, ENNReal.rpow_eq_top_iff, not_or, not_and_or, not_and_or] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ (¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0) ∧ (¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q) constructor case left α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0 left case left.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0 rwa [ENNReal.coe_eq_zero, nnnorm_eq_zero] case right α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q exact Or.inl ENNReal.coe_ne_top Qed
MeasureTheory.snormEssSup_const α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hμ : μ ≠ 0 ⊢ snormEssSup (fun x => c) μ = ↑‖c‖₊ rw [snormEssSup, essSup_const _ hμ] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_const_of_isProbabilityMeasure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q inst✝ : IsProbabilityMeasure μ ⊢ snorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ simp [snorm'_const c hq_pos, measure_univ] ** Qed
MeasureTheory.snorm_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top, snorm'_const, ENNReal.toReal_pos h0 h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) simp [h_top, snormEssSup_const c hμ] Qed
MeasureTheory.snorm_const' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 h_top : p ≠ ⊤ ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top, snorm'_const, ENNReal.toReal_pos h0 h_top] Qed
MeasureTheory.memℒp_const α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ ⊢ Memℒp (fun x => c) p refine' ⟨aestronglyMeasurable_const, _⟩ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ by_cases hμ : μ = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ rw [snorm_const c h0 hμ] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) < ⊤ refine' ENNReal.mul_lt_top ENNReal.coe_ne_top _ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≠ ⊤ refine' (ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ (measure_ne_top μ Set.univ)).ne case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ 0 ≤ 1 / ENNReal.toReal p simp case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : p = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ simp [hμ] Qed
MeasureTheory.memℒp_top_const α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E ⊢ Memℒp (fun x => c) ⊤ refine' ⟨aestronglyMeasurable_const, _⟩ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E ⊢ snorm (fun x => c) ⊤ μ < ⊤ by_cases h : μ = 0 case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E h : μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) ⊤ μ < ⊤ simp only [h, snorm_measure_zero, WithTop.zero_lt_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E h : ¬μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) ⊤ μ < ⊤ rw [snorm_const _ ENNReal.top_ne_zero h] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E h : ¬μ = 0 ⊢ ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal ⊤) < ⊤ simp only [ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, ENNReal.rpow_zero, mul_one, ENNReal.coe_lt_top] Qed
MeasureTheory.snorm'_mono_nnnorm_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ snorm' f q μ ≤ snorm' g q μ rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snorm' g q μ refine' ENNReal.rpow_le_rpow _ (one_div_nonneg.2 hq) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ refine' lintegral_mono_ae (h.mono fun x hx => _) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ x : α hx : ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ ↑‖f x‖₊ ^ q ≤ ↑‖g x‖₊ ^ q exact ENNReal.rpow_le_rpow (ENNReal.coe_le_coe.2 hx) hq ** Qed
MeasureTheory.snorm'_congr_nnnorm_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → F hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ ⊢ snorm' f q μ = snorm' g q μ have : (fun x => (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q) =ᵐ[μ] fun x => (‖g x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q := hfg.mono fun x hx => by simp_rw [hx] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → F hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ this : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] fun x => ↑‖g x‖₊ ^ q ⊢ snorm' f q μ = snorm' g q μ simp only [snorm', lintegral_congr_ae this] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → F hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ x : α hx : ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ ⊢ (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) x = (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ q) x simp_rw [hx] ** Qed
MeasureTheory.snorm_mono_nnnorm_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm g p μ simp only [snorm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ (if p = 0 then 0 else if p = ⊤ then snormEssSup f μ else snorm' f (ENNReal.toReal p) μ) ≤ if p = 0 then 0 else if p = ⊤ then snormEssSup g μ else snorm' g (ENNReal.toReal p) μ split_ifs case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ h✝ : p = 0 ⊢ 0 ≤ 0 exact le_rfl case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ h✝¹ : ¬p = 0 h✝ : p = ⊤ ⊢ snormEssSup f μ ≤ snormEssSup g μ exact essSup_mono_ae (h.mono fun x hx => ENNReal.coe_le_coe.mpr hx) case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ h✝¹ : ¬p = 0 h✝ : ¬p = ⊤ ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snorm' g (ENNReal.toReal p) μ exact snorm'_mono_nnnorm_ae ENNReal.toReal_nonneg h ** Qed
MeasureTheory.snorm_le_of_ae_nnnorm_bound α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ rcases eq_zero_or_neZero μ with rfl \| hμ case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ by_cases hp : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : ¬p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ have : ∀ᵐ x ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖(C : ℝ)‖₊ := hfC.mono fun x hx => hx.trans_eq C.nnnorm_eq.symm case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : ¬p = 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊ ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ refine' (snorm_mono_ae this).trans_eq _ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : ¬p = 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊ ⊢ snorm (fun x => ↑C) p μ = C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ rw [snorm_const _ hp (NeZero.ne μ), C.nnnorm_eq, one_div, ENNReal.smul_def, smul_eq_mul] case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂0, ‖f x‖₊ ≤ C ⊢ snorm f p 0 ≤ C • ↑↑0 Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ simp case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ simp [hp] ** Qed
MeasureTheory.snorm_le_of_ae_bound ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C ⊢ snorm f p μ ≤ ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ * ENNReal.ofReal C rw [← mul_comm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C ⊢ snorm f p μ ≤ ENNReal.ofReal C * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ exact snorm_le_of_ae_nnnorm_bound (hfC.mono fun x hx => hx.trans C.le_coe_toNNReal) Qed
MeasureTheory.snorm_indicator_sub_indicator α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G s t : Set α f : α → E x : α ⊢ ‖(Set.indicator s f - Set.indicator t f) x‖ = ‖Set.indicator (s ∆ t) f x‖ simp only [Pi.sub_apply, Set.apply_indicator_symmDiff norm_neg] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_norm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm' (fun a => ‖f a‖) q μ = snorm' f q μ simp [snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_norm_rpow ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p μ = snorm' f (p * q) μ ^ q simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / (p * q))) ^ q rw [← ENNReal.rpow_mul, ← one_div_mul_one_div] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / p * (1 / q) * q) simp_rw [one_div] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (p⁻¹ * q⁻¹ * q) rw [mul_assoc, inv_mul_cancel hq_pos.ne.symm, mul_one] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ p⁻¹ congr case e_a.e_f α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (fun a => ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p) = fun a => ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ext1 x case e_a.e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q x : α ⊢ ↑‖‖f x‖ ^ q‖₊ ^ p = ↑‖f x‖₊ ^ (p * q) simp_rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] case e_a.e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q x : α ⊢ ENNReal.ofReal ‖‖f x‖ ^ q‖ ^ p = ENNReal.ofReal ‖f x‖ ^ (p * q) rw [Real.norm_eq_abs, abs_eq_self.mpr (Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _), mul_comm, ← ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hq_pos.le, ENNReal.rpow_mul] Qed
MeasureTheory.snorm'_mono_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q ⊢ snorm' f q ν ≤ snorm' f q μ simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ^ (1 / q) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) suffices h_integral_mono : (∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂ν) ≤ ∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂μ from ENNReal.rpow_le_rpow h_integral_mono (by simp [hq]) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ exact lintegral_mono' hμν le_rfl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q h_integral_mono : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ 0 ≤ 1 / q simp [hq] ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_mono_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≪ μ ⊢ snormEssSup f ν ≤ snormEssSup f μ simp_rw [snormEssSup] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≪ μ ⊢ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) ν ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ exact essSup_mono_measure hμν ** Qed
MeasureTheory.snorm'_smul_measure ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ hp : 0 ≤ p f : α → F c : ℝ≥0∞ ⊢ snorm' f p (c • μ) = c ^ (1 / p) * snorm' f p μ rw [snorm', lintegral_smul_measure, ENNReal.mul_rpow_of_nonneg, snorm'] case hz α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ hp : 0 ≤ p f : α → F c : ℝ≥0∞ ⊢ 0 ≤ 1 / p simp [hp] Qed
MeasureTheory.snorm_smul_measure_of_ne_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F c : ℝ≥0∞ ⊢ snorm f p (c • μ) = c ^ ENNReal.toReal (1 / p) • snorm f p μ by_cases hp0 : p = 0 case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F c : ℝ≥0∞ hp0 : p = 0 ⊢ snorm f p (c • μ) = c ^ ENNReal.toReal (1 / p) • snorm f p μ simp [hp0] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F c : ℝ≥0∞ hp0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p (c • μ) = c ^ ENNReal.toReal (1 / p) • snorm f p μ exact snorm_smul_measure_of_ne_zero_of_ne_top hp0 hp_ne_top c ** Qed
MeasureTheory.snorm_one_add_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν✝ : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F μ ν : Measure α ⊢ snorm f 1 (μ + ν) = snorm f 1 μ + snorm f 1 ν simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν✝ : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F μ ν : Measure α ⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂(μ + ν) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν rw [lintegral_add_measure _ μ ν] ** Qed
MeasureTheory.Memℒp.norm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E h : Memℒp f p x : α ⊢ ‖‖f x‖‖ ≤ ‖f x‖ simp ** Qed
MeasureTheory.memℒp_norm_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h : Memℒp (fun x => ‖f x‖) p ⊢ snorm f p μ < ⊤ rw [← snorm_norm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h : Memℒp (fun x => ‖f x‖) p ⊢ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ < ⊤ exact h.2 ** Qed
MeasureTheory.snorm'_eq_zero_of_ae_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hq0_lt : 0 < q hf_zero : f =ᵐ[μ] 0 ⊢ snorm' f q μ = 0 rw [snorm'_congr_ae hf_zero, snorm'_zero hq0_lt] ** Qed
MeasureTheory.ae_eq_zero_of_snorm'_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : snorm' f q μ = 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 rw [snorm', ENNReal.rpow_eq_zero_iff] at h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = 0 ∧ 0 < 1 / q ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 cases h with \| inl h => rw [lintegral_eq_zero_iff' (hf.ennnorm.pow_const q)] at h refine' h.left.mono fun x hx => _ rw [Pi.zero_apply, ENNReal.rpow_eq_zero_iff] at hx cases hx with \| inl hx => cases' hx with hx _ rwa [← ENNReal.coe_zero, ENNReal.coe_eq_coe, nnnorm_eq_zero] at hx \| inr hx => exact absurd hx.left ENNReal.coe_ne_top \| inr h => exfalso rw [one_div, inv_lt_zero] at h exact hq0.not_lt h.right case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = 0 ∧ 0 < 1 / q ⊢ f =ᵐ[μ] 0 rw [lintegral_eq_zero_iff' (hf.ennnorm.pow_const q)] at h case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q ⊢ f =ᵐ[μ] 0 refine' h.left.mono fun x hx => _ case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) x = OfNat.ofNat 0 x ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x rw [Pi.zero_apply, ENNReal.rpow_eq_zero_iff] at hx case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = 0 ∧ 0 < q ∨ ↑‖f x‖₊ = ⊤ ∧ q < 0 ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x cases hx with \| inl hx => cases' hx with hx _ rwa [← ENNReal.coe_zero, ENNReal.coe_eq_coe, nnnorm_eq_zero] at hx \| inr hx => exact absurd hx.left ENNReal.coe_ne_top case inl.inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = 0 ∧ 0 < q ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x cases' hx with hx _ case inl.inl.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = 0 right✝ : 0 < q ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x rwa [← ENNReal.coe_zero, ENNReal.coe_eq_coe, nnnorm_eq_zero] at hx case inl.inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = ⊤ ∧ q < 0 ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x exact absurd hx.left ENNReal.coe_ne_top case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 exfalso case inr.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0 ⊢ False rw [one_div, inv_lt_zero] at h case inr.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ q < 0 ⊢ False exact hq0.not_lt h.right ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_eq_zero_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snormEssSup f μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0 simp [EventuallyEq, snormEssSup] ** Qed
MeasureTheory.LpAddConst_of_one_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp : 1 ≤ p ⊢ LpAddConst p = 1 rw [LpAddConst, if_neg] case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp : 1 ≤ p ⊢ ¬p ∈ Set.Ioo 0 1 intro h case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp : 1 ≤ p h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ False exact lt_irrefl _ (h.2.trans_le hp) ** Qed
MeasureTheory.LpAddConst_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ LpAddConst 0 = 1 rw [LpAddConst, if_neg] case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ ¬0 ∈ Set.Ioo 0 1 intro h case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G h : 0 ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ False exact lt_irrefl _ h.1 ** Qed
MeasureTheory.LpAddConst_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ ⊢ LpAddConst p < ⊤ rw [LpAddConst] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ ⊢ (if p ∈ Set.Ioo 0 1 then 2 ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1) else 1) < ⊤ split_ifs with h case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 2 ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1) < ⊤ apply ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ ENNReal.two_ne_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 0 ≤ 1 / ENNReal.toReal p - 1 simp only [one_div, sub_nonneg] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 1 ≤ (ENNReal.toReal p)⁻¹ apply one_le_inv (ENNReal.toReal_pos h.1.ne' (h.2.trans ENNReal.one_lt_top).ne) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ ENNReal.toReal p ≤ 1 simpa using ENNReal.toReal_mono ENNReal.one_ne_top h.2.le case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : ¬p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 1 < ⊤ exact ENNReal.one_lt_top ** Qed
MeasureTheory.exists_Lp_half α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ have : Tendsto (fun η : ℝ≥0∞ => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0))) := (ENNReal.Tendsto.const_mul (tendsto_id.add tendsto_id) (Or.inr (LpAddConst_lt_top p).ne)).mono_left nhdsWithin_le_nhds ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0))) ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ simp only [add_zero, mul_zero] at this α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 0) ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ rcases (((tendsto_order.1 this).2 δ hδ.bot_lt).and self_mem_nhdsWithin).exists with ⟨η, hη, ηpos⟩ case intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 0) η : ℝ≥0∞ hη : LpAddConst p * (η + η) < δ ηpos : 0 < η ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ refine' ⟨η, ηpos, fun f g hf hg Hf Hg => _⟩ case intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 0) η : ℝ≥0∞ hη : LpAddConst p * (η + η) < δ ηpos : 0 < η f g : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hg : AEStronglyMeasurable g μ Hf : snorm f p μ ≤ η Hg : snorm g p μ ≤ η ⊢ snorm (f + g) p μ < δ ** calc snorm (f + g) p μ ≤ LpAddConst p * (snorm f p μ + snorm g p μ) := snorm_add_le' hf hg p _ ≤ LpAddConst p * (η + η) := (mul_le_mul_of_nonneg_left (add_le_add Hf Hg) bot_le) _ < δ := hη ** Qed
MeasureTheory.snorm_sub_le' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hg : AEStronglyMeasurable g μ p : ℝ≥0∞ ⊢ snorm (f - g) p μ ≤ LpAddConst p * (snorm f p μ + snorm g p μ) simpa only [sub_eq_add_neg, snorm_neg] using snorm_add_le' hf hg.neg p Qed
MeasureTheory.snorm_add_lt_top ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ LpAddConst p * (snorm f p μ + snorm g p μ) < ⊤ apply ENNReal.mul_lt_top (LpAddConst_lt_top p).ne α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ snorm f p μ + snorm g p μ ≠ ⊤ exact (ENNReal.add_lt_top.2 ⟨hf.2, hg.2⟩).ne Qed
MeasureTheory.memℒp_map_measure_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g : β → E hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) hf : AEMeasurable f ⊢ Memℒp g p ↔ Memℒp (g ∘ f) p simp [Memℒp, snorm_map_measure hg hf, hg.comp_aemeasurable hf, hg] ** Qed
MeasurableEmbedding.snorm_map_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ by_cases hp_zero : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ by_cases hp : p = ∞ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : p = 0 ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ simp only [hp_zero, snorm_exponent_zero] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : p = ⊤ ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ simp_rw [hp, snorm_exponent_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : p = ⊤ ⊢ snormEssSup g (Measure.map f μ) = snormEssSup (g ∘ f) μ exact hf.essSup_map_measure case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : ¬p = ⊤ ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ simp_rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_zero hp] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : ¬p = ⊤ ⊢ (∫⁻ (x : β), ↑‖g x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂Measure.map f μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) rw [hf.lintegral_map] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : ¬p = ⊤ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g (f a)‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) rfl ** Qed
MeasurableEmbedding.memℒp_map_measure_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f ⊢ Memℒp g p ↔ Memℒp (g ∘ f) p simp_rw [Memℒp, hf.aestronglyMeasurable_map_iff, hf.snorm_map_measure] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_trim α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ snorm' f q (Measure.trim ν hm) = snorm' f q ν simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂Measure.trim ν hm) ^ (1 / q) = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ^ (1 / q) congr 1 case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂Measure.trim ν hm = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν refine' lintegral_trim hm _ case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ Measurable fun a => ↑‖f a‖₊ ^ q refine' @Measurable.pow_const _ _ _ _ _ _ _ m _ (@Measurable.coe_nnreal_ennreal _ m _ _) q case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ Measurable fun a => ‖f a‖₊ apply @StronglyMeasurable.measurable case e_a.hf α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ StronglyMeasurable fun a => ‖f a‖₊ exact @StronglyMeasurable.nnnorm α m _ _ _ hf ** Qed
MeasureTheory.limsup_trim α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ limsup f (Measure.ae (Measure.trim ν hm)) = limsup f (Measure.ae ν) simp_rw [limsup_eq] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} suffices h_set_eq : { a : ℝ≥0∞ \| ∀ᵐ n ∂ν.trim hm, f n ≤ a } = { a : ℝ≥0∞ \| ∀ᵐ n ∂ν, f n ≤ a } case h_set_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} ext1 a case h_set_eq.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} ↔ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} suffices h_meas_eq : ν { x \| ¬f x ≤ a } = ν.trim hm { x \| ¬f x ≤ a } case h_meas_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ ↑↑ν {x \| ¬f x ≤ a} = ↑↑(Measure.trim ν hm) {x \| ¬f x ≤ a} refine' (trim_measurableSet_eq hm _).symm case h_meas_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ MeasurableSet {x \| ¬f x ≤ a} refine' @MeasurableSet.compl _ _ m (@measurableSet_le ℝ≥0∞ _ _ _ _ m _ _ _ _ _ hf _) case h_meas_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ Measurable fun x => a exact @measurable_const _ _ _ m _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f h_set_eq : {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} ⊢ sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} rw [h_set_eq] case h_set_eq.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ h_meas_eq : ↑↑ν {x \| ¬f x ≤ a} = ↑↑(Measure.trim ν hm) {x \| ¬f x ≤ a} ⊢ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} ↔ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} simp_rw [Set.mem_setOf_eq, ae_iff, h_meas_eq] case h_set_eq.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ h_meas_eq : ↑↑ν {x \| ¬f x ≤ a} = ↑↑(Measure.trim ν hm) {x \| ¬f x ≤ a} ⊢ (∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a) ↔ ↑↑(Measure.trim ν hm) {a_1 \| ¬f a_1 ≤ a} = 0 rfl ** Qed
MeasureTheory.snorm_trim_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.trim ν hm) ⊢ snorm f p (Measure.trim ν hm) = snorm f p ν rw [snorm_congr_ae hf.ae_eq_mk, snorm_congr_ae (ae_eq_of_ae_eq_trim hf.ae_eq_mk)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.trim ν hm) ⊢ snorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p (Measure.trim ν hm) = snorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p ν exact snorm_trim hm hf.stronglyMeasurable_mk ** Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snormEssSup_mul_rpow_measure_univ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F ⊢ snorm' f q μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) have h_le : (∫⁻ a : α, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂μ) ≤ ∫⁻ _ : α, snormEssSup f μ ^ q ∂μ := by refine' lintegral_mono_ae _ have h_nnnorm_le_snorm_ess_sup := coe_nnnorm_ae_le_snormEssSup f μ refine' h_nnnorm_le_snorm_ess_sup.mono fun x hx => ENNReal.rpow_le_rpow hx (le_of_lt hq_pos) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ snorm' f q μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [snorm', ← ENNReal.rpow_one (snormEssSup f μ)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snormEssSup f μ ^ 1 * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) nth_rw 2 [← mul_inv_cancel (ne_of_lt hq_pos).symm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snormEssSup f μ ^ (q * q⁻¹) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [ENNReal.rpow_mul, one_div, ← ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ (by simp [hq_pos.le] : 0 ≤ q⁻¹)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ q⁻¹ ≤ (snormEssSup f μ ^ q * ↑↑μ Set.univ) ^ q⁻¹ refine' ENNReal.rpow_le_rpow _ (by simp [hq_pos.le]) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ snormEssSup f μ ^ q * ↑↑μ Set.univ rwa [lintegral_const] at h_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ refine' lintegral_mono_ae _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑‖f a‖₊ ^ q ≤ snormEssSup f μ ^ q have h_nnnorm_le_snorm_ess_sup := coe_nnnorm_ae_le_snormEssSup f μ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_nnnorm_le_snorm_ess_sup : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑‖f x‖₊ ≤ snormEssSup f μ ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑‖f a‖₊ ^ q ≤ snormEssSup f μ ^ q refine' h_nnnorm_le_snorm_ess_sup.mono fun x hx => ENNReal.rpow_le_rpow hx (le_of_lt hq_pos) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ 0 ≤ q⁻¹ simp [hq_pos.le] Qed
MeasureTheory.snorm_le_snorm_mul_rpow_measure_univ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) by_cases hp0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) rw [← Ne.def] at hp0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hp0_lt : 0 < p := lt_of_le_of_ne (zero_le _) hp0.symm case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hq0_lt : 0 < q := lt_of_lt_of_le hp0_lt hpq case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) by_cases hq_top : q = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hp_lt_top : p < ∞ := hpq.trans_lt (lt_top_iff_ne_top.mpr hq_top) case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hp_pos : 0 < p.toReal := ENNReal.toReal_pos hp0_lt.ne' hp_lt_top.ne case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) rw [snorm_eq_snorm' hp0_lt.ne.symm hp_lt_top.ne, snorm_eq_snorm' hq0_lt.ne.symm hq_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snorm' f (ENNReal.toReal q) μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal := by rwa [ENNReal.toReal_le_toReal hp_lt_top.ne hq_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p hpq_real : ENNReal.toReal p ≤ ENNReal.toReal q ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snorm' f (ENNReal.toReal q) μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) exact snorm'_le_snorm'_mul_rpow_measure_univ hp_pos hpq_real hf case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) simp [hp0, zero_le] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) simp only [hq_top, _root_.div_zero, one_div, ENNReal.top_toReal, sub_zero, snorm_exponent_top, GroupWithZero.inv_zero] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ by_cases hp_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ rw [snorm_eq_snorm' hp0 hp_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ have hp_pos : 0 < p.toReal := ENNReal.toReal_pos hp0_lt.ne' hp_top case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ refine' (snorm'_le_snormEssSup_mul_rpow_measure_univ hp_pos).trans (le_of_eq _) case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) = snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ congr case neg.e_a.e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ 1 / ENNReal.toReal p = (ENNReal.toReal p)⁻¹ exact one_div _ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ simp only [hp_top, ENNReal.rpow_zero, mul_one, ENNReal.top_toReal, sub_zero, GroupWithZero.inv_zero, snorm_exponent_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : p = ⊤ ⊢ snormEssSup f μ ≤ snormEssSup f μ exact le_rfl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ ENNReal.toReal p ≤ ENNReal.toReal q rwa [ENNReal.toReal_le_toReal hp_lt_top.ne hq_top] Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snorm'_of_exponent_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m✝ m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α p q : ℝ hp0_lt : 0 < p hpq : p ≤ q μ : Measure α inst✝ : IsProbabilityMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ have h_le_μ := snorm'_le_snorm'_mul_rpow_measure_univ hp0_lt hpq hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m✝ m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α p q : ℝ hp0_lt : 0 < p hpq : p ≤ q μ : Measure α inst✝ : IsProbabilityMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h_le_μ : snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) ⊢ snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ rwa [measure_univ, ENNReal.one_rpow, mul_one] at h_le_μ Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snormEssSup ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F inst✝ : IsProbabilityMeasure μ ⊢ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = snormEssSup f μ simp [measure_univ] Qed
MeasureTheory.snorm'_lt_top_of_snorm'_lt_top_of_exponent_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q ⊢ snorm' f p μ < ⊤ cases' le_or_lt p 0 with hp_nonpos hp_pos case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p ⊢ snorm' f p μ < ⊤ have hq_pos : 0 < q := lt_of_lt_of_le hp_pos hpq case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f p μ < ⊤ calc snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) := snorm'_le_snorm'_mul_rpow_measure_univ hp_pos hpq hf _ < ∞ := by rw [ENNReal.mul_lt_top_iff] refine' Or.inl ⟨hfq_lt_top, ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ (measure_ne_top μ Set.univ)⟩ rwa [le_sub_comm, sub_zero, one_div, one_div, inv_le_inv hq_pos hp_pos] case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_nonpos : p ≤ 0 ⊢ snorm' f p μ < ⊤ rw [le_antisymm hp_nonpos hp_nonneg] case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_nonpos : p ≤ 0 ⊢ snorm' f 0 μ < ⊤ simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) < ⊤ rw [ENNReal.mul_lt_top_iff] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f q μ < ⊤ ∧ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) < ⊤ ∨ snorm' f q μ = 0 ∨ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) = 0 refine' Or.inl ⟨hfq_lt_top, ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ (measure_ne_top μ Set.univ)⟩ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ 0 ≤ 1 / p - 1 / q rwa [le_sub_comm, sub_zero, one_div, one_div, inv_le_inv hq_pos hp_pos] Qed
MeasureTheory.pow_mul_meas_ge_le_snorm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ (ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p}) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ snorm f p μ rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_ne_zero hp_ne_top] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ (ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p}) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) exact ENNReal.rpow_le_rpow (mul_meas_ge_le_lintegral₀ (hf.ennnorm.pow_const _) ε) (one_div_nonneg.2 ENNReal.toReal_nonneg) Qed
MeasureTheory.mul_meas_ge_le_pow_snorm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p} ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p ** have : 1 / p.toReal * p.toReal = 1 := by refine' one_div_mul_cancel _ rw [Ne, ENNReal.toReal_eq_zero_iff] exact not_or_of_not hp_ne_zero hp_ne_top ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ this : 1 / ENNReal.toReal p * ENNReal.toReal p = 1 ⊢ ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p} ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p ** rw [← ENNReal.rpow_one (ε * μ { x \| ε ≤ (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal }), ← this, ENNReal.rpow_mul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ this : 1 / ENNReal.toReal p * ENNReal.toReal p = 1 ⊢ ((ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p}) ^ (1 / ENNReal.toReal p)) ^ ENNReal.toReal p ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p exact ENNReal.rpow_le_rpow (pow_mul_meas_ge_le_snorm μ hp_ne_zero hp_ne_top hf ε) ENNReal.toReal_nonneg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ 1 / ENNReal.toReal p * ENNReal.toReal p = 1 refine' one_div_mul_cancel _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ENNReal.toReal p ≠ 0 rw [Ne, ENNReal.toReal_eq_zero_iff] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ¬(p = 0 ∨ p = ⊤) exact not_or_of_not hp_ne_zero hp_ne_top Qed
MeasureTheory.mul_meas_ge_le_pow_snorm' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ε ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p convert mul_meas_ge_le_pow_snorm μ hp_ne_zero hp_ne_top hf (ε ^ p.toReal) using 4 case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_3.h.e'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ (fun x => ε ≤ ↑‖f x‖₊) = fun x => ε ^ ENNReal.toReal p ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ext x case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_3.h.e'_2.h.a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ x : α ⊢ ε ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ ε ^ ENNReal.toReal p ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p rw [ENNReal.rpow_le_rpow_iff (ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top)] Qed
MeasureTheory.Memℒp.sub α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ Memℒp (f - g) p rw [sub_eq_add_neg] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ Memℒp (f + -g) p exact hf.add hg.neg ** Qed
MeasureTheory.memℒp_finset_sum' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → E hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Memℒp (f i) p ⊢ Memℒp (∑ i in s, f i) p convert memℒp_finset_sum s hf using 1 case h.e'_5 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → E hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Memℒp (f i) p ⊢ ∑ i in s, f i = fun a => ∑ i in s, f i a ext x case h.e'_5.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → E hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Memℒp (f i) p x : α ⊢ Finset.sum s (fun i => f i) x = ∑ i in s, f i x simp ** Qed
MeasureTheory.snorm'_le_nnreal_smul_snorm'_of_ae_le_mul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ snorm' f p μ ≤ c • snorm' g p μ simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ c • (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) rw [← ENNReal.rpow_le_rpow_iff hp, ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ hp.le] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ ↑c ^ p * ((∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p simp_rw [← ENNReal.rpow_mul, one_div, inv_mul_cancel hp.ne.symm, ENNReal.rpow_one, ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ hp.le, ← lintegral_const_mul' _ _ ENNReal.coe_ne_top, ← ENNReal.coe_mul] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ p) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) ∂μ apply lintegral_mono_ae case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(‖f a‖₊ ^ p) ≤ ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) simp_rw [ENNReal.coe_le_coe, ← NNReal.mul_rpow, NNReal.rpow_le_rpow_iff hp] case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖₊ ≤ c * ‖g a‖₊ exact h Qed
MeasureTheory.snormEssSup_le_nnreal_smul_snormEssSup_of_ae_le_mul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ ⊢ essSup (fun x => ↑(c * ‖g x‖₊)) μ = essSup (fun x => ↑c * ↑‖g x‖₊) μ simp_rw [ENNReal.coe_mul] Qed
MeasureTheory.snorm_le_nnreal_smul_snorm_of_ae_le_mul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ simp_rw [snorm_eq_snorm' h0 h_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ c • snorm' g (ENNReal.toReal p) μ exact snorm'_le_nnreal_smul_snorm'_of_ae_le_mul h (ENNReal.toReal_pos h0 h_top) case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ rw [h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm f ⊤ μ ≤ c • snorm g ⊤ μ exact snormEssSup_le_nnreal_smul_snormEssSup_of_ae_le_mul h Qed
MeasureTheory.le_mul_iff_eq_zero_of_nonneg_of_neg_of_nonneg ** α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c ⊢ a ≤ b * c ↔ a = 0 ∧ c = 0 constructor case mp α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c ⊢ a ≤ b * c → a = 0 ∧ c = 0 intro h case mp α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c h : a ≤ b * c ⊢ a = 0 ∧ c = 0 exact ⟨(h.trans (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hb.le hc)).antisymm ha, (nonpos_of_mul_nonneg_right (ha.trans h) hb).antisymm hc⟩ case mpr α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c ⊢ a = 0 ∧ c = 0 → a ≤ b * c rintro ⟨rfl, rfl⟩ case mpr.intro α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α b : α hb : b < 0 ha hc : 0 ≤ 0 ⊢ 0 ≤ b * 0 rw [mul_zero] Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snorm'_mul_snorm' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ snorm' (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ ** calc (∫⁻ a : α, ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ a : α, ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) := (ENNReal.rpow_le_rpow_iff <\| one_div_pos.mpr hp0_lt).mpr <\| lintegral_mono_ae <\| h.mono fun a ha => (ENNReal.rpow_le_rpow_iff hp0_lt).mpr <\| ENNReal.coe_le_coe.mpr <\| ha _ ≤ _ := ?_ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ simp_rw [snorm', ENNReal.coe_mul] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ r ∂μ) ^ (1 / r) exact ENNReal.lintegral_Lp_mul_le_Lq_mul_Lr hp0_lt hpq hpqr μ hf.ennnorm hg.ennnorm Qed
MeasureTheory.snorm_le_snorm_mul_snorm_top ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f p μ * snorm g ⊤ μ rw [← snorm_norm f, ← snorm_norm g] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ * snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ refine' (snorm_mono_ae_real h).trans _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => (fun a => ↑a) (‖f x‖₊ * ‖g x‖₊)) p μ ≤ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ * snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ simp_rw [mul_comm ‖f _‖₊, val_eq_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => ‖g x‖ * ‖f x‖) p μ ≤ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ * snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ rw [mul_comm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => ‖g x‖ * ‖f x‖) p μ ≤ snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ * snorm (fun x => ‖f x‖) p μ refine' snorm_le_snorm_top_mul_snorm p (fun x => ‖g x‖) hf.norm _ (h.mono fun x _ => _) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ x : α x✝ : ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ ‖(fun x => ‖g x‖) x * ‖f x‖‖₊ ≤ ‖(fun x => ‖g x‖) x‖₊ * ‖‖f x‖‖₊ simp_rw [nnnorm_mul] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ x : α x✝ : ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ ‖‖g x‖‖₊ * ‖‖f x‖‖₊ ≤ ‖‖g x‖‖₊ * ‖‖f x‖‖₊ rfl Qed
MeasureTheory.Memℒp.smul_of_top_right α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f p hφ : Memℒp φ ⊤ ⊢ Memℒp (φ • f) p apply hf.smul hφ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f p hφ : Memℒp φ ⊤ ⊢ 1 / p = 1 / ⊤ + 1 / p simp only [ENNReal.div_top, zero_add] ** Qed
MeasureTheory.Memℒp.smul_of_top_left α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f ⊤ hφ : Memℒp φ p ⊢ Memℒp (φ • f) p apply hf.smul hφ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f ⊤ hφ : Memℒp φ p ⊢ 1 / p = 1 / p + 1 / ⊤ simp only [ENNReal.div_top, add_zero] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_const_smul α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • snorm' f q μ obtain rfl \| hc := eq_or_ne c 0 case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q hc : c ≠ 0 ⊢ snorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • snorm' f q μ refine' le_antisymm (snorm'_const_smul_le _ _ hq_pos) _ case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q hc : c ≠ 0 ⊢ ‖c‖₊ • snorm' f q μ ≤ snorm' (c • f) q μ have : snorm' _ q μ ≤ _ := snorm'_const_smul_le c⁻¹ (c • f) hq_pos case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q hc : c ≠ 0 this : snorm' (c⁻¹ • c • f) q μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • snorm' (c • f) q μ ⊢ ‖c‖₊ • snorm' f q μ ≤ snorm' (c • f) q μ rwa [inv_smul_smul₀ hc, nnnorm_inv, ENNReal.le_inv_smul_iff (nnnorm_ne_zero_iff.mpr hc)] at this case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (0 • f) q μ = ‖0‖₊ • snorm' f q μ simp [snorm', hq_pos] ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_const_smul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F ⊢ snormEssSup (c • f) μ = ↑‖c‖₊ * snormEssSup f μ simp_rw [snormEssSup, Pi.smul_apply, nnnorm_smul, ENNReal.coe_mul, ENNReal.essSup_const_mul] Qed
MeasureTheory.snorm_const_smul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F ⊢ snorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * snorm f p μ obtain rfl \| hc := eq_or_ne c 0 case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F hc : c ≠ 0 ⊢ snorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * snorm f p μ refine' le_antisymm (snorm_const_smul_le _ _) _ case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F hc : c ≠ 0 ⊢ ↑‖c‖₊ * snorm f p μ ≤ snorm (c • f) p μ have : snorm _ p μ ≤ _ := snorm_const_smul_le c⁻¹ (c • f) case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F hc : c ≠ 0 this : snorm (c⁻¹ • c • f) p μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • snorm (c • f) p μ ⊢ ↑‖c‖₊ * snorm f p μ ≤ snorm (c • f) p μ rwa [inv_smul_smul₀ hc, nnnorm_inv, ENNReal.le_inv_smul_iff (nnnorm_ne_zero_iff.mpr hc)] at this case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F ⊢ snorm (0 • f) p μ = ↑‖0‖₊ * snorm f p μ simp Qed
MeasureTheory.snorm_indicator_ge_of_bdd_below α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ C • ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ snorm (Set.indicator s f) p μ rw [ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp hp', ENNReal.le_rpow_one_div_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp'), ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ ENNReal.toReal_nonneg, ← ENNReal.rpow_mul, one_div_mul_cancel (ENNReal.toReal_pos hp hp').ne.symm, ENNReal.rpow_one, ← set_lintegral_const, ← lintegral_indicator _ hs] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ ∫⁻ (a : α), Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator s f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ refine' lintegral_mono_ae _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) a ≤ ↑‖Set.indicator s f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p filter_upwards [hf] with x hx case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑‖Set.indicator s f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p rw [nnnorm_indicator_eq_indicator_nnnorm] case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑(Set.indicator s (fun a => ‖f a‖₊) x) ^ ENNReal.toReal p by_cases hxs : x ∈ s case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ hxs : x ∈ s ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑(Set.indicator s (fun a => ‖f a‖₊) x) ^ ENNReal.toReal p simp only [Set.indicator_of_mem hxs] at hx ⊢ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hxs : x ∈ s hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊ ⊢ ↑C ^ ENNReal.toReal p ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p exact ENNReal.rpow_le_rpow (ENNReal.coe_le_coe.2 (hx hxs)) ENNReal.toReal_nonneg case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ hxs : ¬x ∈ s ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑(Set.indicator s (fun a => ‖f a‖₊) x) ^ ENNReal.toReal p simp [Set.indicator_of_not_mem hxs] ** Qed
MeasureTheory.ae_bdd_liminf_atTop_rpow_of_snorm_bdd α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ by_cases hp0 : p.toReal = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ have hp : p ≠ 0 := fun h => by simp [h] at hp0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ have hp' : p ≠ ∞ := fun h => by simp [h] at hp0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ refine' ae_lt_top (measurable_liminf fun n => (hfmeas n).nnnorm.coe_nnreal_ennreal.pow_const p.toReal) (lt_of_le_of_lt (lintegral_liminf_le fun n => (hfmeas n).nnnorm.coe_nnreal_ennreal.pow_const p.toReal) (lt_of_le_of_lt _ (ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg ENNReal.toReal_nonneg ENNReal.coe_ne_top : (R : ℝ≥0∞) ^ p.toReal < ∞))).ne case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ ⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ ENNReal.toReal p simp_rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp hp'] at hbdd case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ ↑R ⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ ENNReal.toReal p simp_rw [liminf_eq, eventually_atTop] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ ↑R ⊢ sSup {a \| ∃ a_1, ∀ (b : ℕ), b ≥ a_1 → a ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f b a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ} ≤ ↑R ^ ENNReal.toReal p exact sSup_le fun b ⟨a, ha⟩ => (ha a le_rfl).trans ((ENNReal.rpow_one_div_le_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp')).1 (hbdd _)) case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ simp only [hp0, ENNReal.rpow_zero] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => 1) atTop < ⊤ refine' eventually_of_forall fun x => _ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 x : α ⊢ liminf (fun n => 1) atTop < ⊤ rw [liminf_const (1 : ℝ≥0∞)] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 x : α ⊢ 1 < ⊤ exact ENNReal.one_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 h : p = 0 ⊢ False simp [h] at hp0 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 h : p = ⊤ ⊢ False simp [h] at hp0 ** Qed
Continuous.memℒp_top_of_hasCompactSupport α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X ⊢ Memℒp f ⊤ borelize E α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E ⊢ Memℒp f ⊤ rcases hf.bounded_above_of_compact_support h'f with ⟨C, hC⟩ case intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E C : ℝ hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C ⊢ Memℒp f ⊤ apply memℒp_top_of_bound ?_ C (Filter.eventually_of_forall hC) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E C : ℝ hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x) μ exact (hf.stronglyMeasurable_of_hasCompactSupport h'f).aestronglyMeasurable ** Qed
IsPiSystem.singleton α : Type u_1 S : Set α ⊢ IsPiSystem {S} intro s h_s t h_t _ α : Type u_1 S s : Set α h_s : s ∈ {S} t : Set α h_t : t ∈ {S} a✝ : Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ s ∩ t ∈ {S} rw [Set.mem_singleton_iff.1 h_s, Set.mem_singleton_iff.1 h_t, Set.inter_self, Set.mem_singleton_iff] ** Qed
IsPiSystem.insert_empty α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S ⊢ IsPiSystem (insert ∅ S) intro s hs t ht hst α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s : Set α hs : s ∈ insert ∅ S t : Set α ht : t ∈ insert ∅ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S cases' hs with hs hs case inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert ∅ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s = ∅ ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S simp [hs] case inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert ∅ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S cases' ht with ht ht case inr.inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t = ∅ ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S simp [ht] case inr.inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S exact Set.mem_insert_of_mem _ (h_pi s hs t ht hst) ** Qed
IsPiSystem.insert_univ α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S ⊢ IsPiSystem (insert univ S) intro s hs t ht hst α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s : Set α hs : s ∈ insert univ S t : Set α ht : t ∈ insert univ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S cases' hs with hs hs case inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert univ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s = univ ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S cases' ht with ht ht <;> simp [hs, ht] case inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert univ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S cases' ht with ht ht case inr.inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t = univ ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S simp [hs, ht] case inr.inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S exact Set.mem_insert_of_mem _ (h_pi s hs t ht hst) ** Qed
IsPiSystem.comap α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β ⊢ IsPiSystem {s \| ∃ t, t ∈ S ∧ f ⁻¹' t = s} rintro _ ⟨s, hs_mem, rfl⟩ _ ⟨t, ht_mem, rfl⟩ hst case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t) ⊢ f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t ∈ {s \| ∃ t, t ∈ S ∧ f ⁻¹' t = s} rw [← Set.preimage_inter] at hst ⊢ case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) ⊢ f ⁻¹' (s ∩ t) ∈ {s \| ∃ t, t ∈ S ∧ f ⁻¹' t = s} refine' ⟨s ∩ t, h_pi s hs_mem t ht_mem _, rfl⟩ case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) ⊢ Set.Nonempty (s ∩ t) by_contra h case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) h : ¬Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ False rw [Set.not_nonempty_iff_eq_empty] at h case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) h : s ∩ t = ∅ ⊢ False rw [h] at hst case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' ∅) h : s ∩ t = ∅ ⊢ False simp at hst ** Qed
isPiSystem_iUnion_of_directed_le α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p ⊢ IsPiSystem (⋃ n, p n) intro t1 ht1 t2 ht2 h α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 : Set α ht1 : t1 ∈ ⋃ n, p n t2 : Set α ht2 : t2 ∈ ⋃ n, p n h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) ⊢ t1 ∩ t2 ∈ ⋃ n, p n rw [Set.mem_iUnion] at ht1 ht2 ⊢ α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 : Set α ht1 : ∃ i, t1 ∈ p i t2 : Set α ht2 : ∃ i, t2 ∈ p i h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i cases' ht1 with n ht1 case intro α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 t2 : Set α ht2 : ∃ i, t2 ∈ p i h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) n : ι ht1 : t1 ∈ p n ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i cases' ht2 with m ht2 case intro.intro α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 t2 : Set α h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) n : ι ht1 : t1 ∈ p n m : ι ht2 : t2 ∈ p m ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i obtain ⟨k, hpnk, hpmk⟩ : ∃ k, p n ≤ p k ∧ p m ≤ p k := hp_directed n m case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 t2 : Set α h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) n : ι ht1 : t1 ∈ p n m : ι ht2 : t2 ∈ p m k : ι hpnk : p n ≤ p k hpmk : p m ≤ p k ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i exact ⟨k, hp_pi k t1 (hpnk ht1) t2 (hpmk ht2) h⟩ ** Qed

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formal stringlengths 41 427k	informal stringclasses 1 value
Nat.Partrec.Code.fixed_point f : Code → Code hf : Computable f g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← eval (ofNat Code x) x eval (ofNat Code b) y this : Partrec₂ g cg : Code eg : eval cg = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a) ⊢ ∀ (a n : ℕ), eval cg (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n) simp [eg] f : Code → Code hf : Computable f g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← eval (ofNat Code x) x eval (ofNat Code b) y this✝ : Partrec₂ g cg : Code eg : eval cg = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a) eg' : ∀ (a n : ℕ), eval cg (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n) F : ℕ → Code := fun x => f (curry cg x) this : Computable F cF : Code eF : eval cF = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode (↑F a) ⊢ eval cF (encode cF) = Part.some (encode (F (encode cF))) simp [eF] f : Code → Code hf : Computable f g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← eval (ofNat Code x) x eval (ofNat Code b) y this✝ : Partrec₂ g cg : Code eg : eval cg = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a) eg' : ∀ (a n : ℕ), eval cg (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n) F : ℕ → Code := fun x => f (curry cg x) this : Computable F cF : Code eF : eval cF = fun n => Part.bind ↑(decode n) fun a => Part.map encode (↑F a) eF' : eval cF (encode cF) = Part.some (encode (F (encode cF))) n : ℕ ⊢ eval (f (curry cg (encode cF))) n = eval (curry cg (encode cF)) n simp [eg', eF', Part.map_id'] ** Qed
AEMeasurable.inner α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g ⊢ AEMeasurable fun x => Inner.inner (f x) (g x) refine' ⟨fun x => ⟪hf.mk f x, hg.mk g x⟫, hf.measurable_mk.inner hg.measurable_mk, _⟩ α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g ⊢ (fun x => Inner.inner (f x) (g x)) =ᶠ[MeasureTheory.Measure.ae μ] fun x => Inner.inner (mk f hf x) (mk g hg x) refine' hf.ae_eq_mk.mp (hg.ae_eq_mk.mono fun x hxg hxf => _) α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g x : α hxg : g x = mk g hg x hxf : f x = mk f hf x ⊢ (fun x => Inner.inner (f x) (g x)) x = (fun x => Inner.inner (mk f hf x) (mk g hg x)) x dsimp only α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E m : MeasurableSpace α inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E inst✝ : TopologicalSpace.SecondCountableTopology E μ : MeasureTheory.Measure α f g : α → E hf : AEMeasurable f hg : AEMeasurable g x : α hxg : g x = mk g hg x hxf : f x = mk f hf x ⊢ Inner.inner (f x) (g x) = Inner.inner (mk f hf x) (mk g hg x) congr ** Qed
Vitali.exists_disjoint_subfamily_covering_enlargment_closedBall ** α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases eq_empty_or_nonempty t with (rfl \| _) case inr α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) by_cases ht : ∀ a ∈ t, r a < 0 case neg α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ¬∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) push_neg at ht case neg α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) let t' := { a ∈ t \| 0 ≤ r a } case neg α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases exists_disjoint_subfamily_covering_enlargment (fun a => closedBall (x a) (r a)) t' r 2 one_lt_two (fun a ha => ha.2) R (fun a ha => hr a ha.1) fun a ha => ⟨x a, mem_closedBall_self ha.2⟩ with ⟨u, ut', u_disj, hu⟩ case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) ** have A : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) := by intro a ha rcases hu a ha with ⟨b, bu, hb, rb⟩ refine' ⟨b, bu, _⟩ have : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b := dist_le_add_of_nonempty_closedBall_inter_closedBall hb apply closedBall_subset_closedBall' linarith ** case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) refine' ⟨u, ut'.trans fun a ha => ha.1, u_disj, fun a ha => _⟩ case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases le_or_lt 0 (r a) with (h'a \| h'a) case inl α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → r a ≤ R ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) exact ⟨∅, Subset.refl _, pairwiseDisjoint_empty, by simp⟩ α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → r a ≤ R ⊢ ∀ (a : ι), a ∈ ∅ → ∃ b, b ∈ ∅ ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) simp case pos α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 ⊢ ∃ u x_1, (PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ (a : ι), a ∈ t → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) exact ⟨t, Subset.rfl, fun a ha b _ _ => by simp only [Function.onFun, closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_disjoint], fun a ha => ⟨a, ha, by simp only [closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_subset]⟩⟩ α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 a : ι ha : a ∈ t b : ι x✝¹ : b ∈ t x✝ : a ≠ b ⊢ (Disjoint on fun a => closedBall (x a) (r a)) a b simp only [Function.onFun, closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_disjoint] α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a < 0 a : ι ha : a ∈ t ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x a) (5 * r a) simp only [closedBall_eq_empty.2 (ht a ha), empty_subset] α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b ⊢ ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) intro a ha α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases hu a ha with ⟨b, bu, hb, rb⟩ case intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) refine' ⟨b, bu, _⟩ case intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) have : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b := dist_le_add_of_nonempty_closedBall_inter_closedBall hb case intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b this : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) apply closedBall_subset_closedBall' case intro.intro.intro.h α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b a : ι ha : a ∈ t' b : ι bu : b ∈ u hb : Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) rb : r a ≤ 2 * r b this : dist (x a) (x b) ≤ r a + r b ⊢ r a + dist (x a) (x b) ≤ 5 * r b linarith case neg.intro.intro.intro.inl α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : 0 ≤ r a ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) exact A a ⟨ha, h'a⟩ case neg.intro.intro.intro.inr α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t ht : ∃ a, a ∈ t ∧ 0 ≤ r a t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases ht with ⟨b, rb⟩ case neg.intro.intro.intro.inr.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 b : ι rb : b ∈ t ∧ 0 ≤ r b ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) rcases A b ⟨rb.1, rb.2⟩ with ⟨c, cu, _⟩ case neg.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 b : ι rb : b ∈ t ∧ 0 ≤ r b c : ι cu : c ∈ u right✝ : closedBall (x b) (r b) ⊆ closedBall (x c) (5 * r c) ⊢ ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) refine' ⟨c, cu, by simp only [closedBall_eq_empty.2 h'a, empty_subset]⟩ α : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : MetricSpace α t : Set ι x : ι → α r : ι → ℝ R : ℝ hr : ∀ (a : ι), a ∈ t → r a ≤ R h✝ : Set.Nonempty t t' : Set ι := {a \| a ∈ t ∧ 0 ≤ r a} u : Set ι ut' : u ⊆ t' u_disj : PairwiseDisjoint u fun a => closedBall (x a) (r a) hu : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ Set.Nonempty (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)) ∧ r a ≤ 2 * r b A : ∀ (a : ι), a ∈ t' → ∃ b, b ∈ u ∧ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (5 * r b) a : ι ha : a ∈ t h'a : r a < 0 b : ι rb : b ∈ t ∧ 0 ≤ r b c : ι cu : c ∈ u right✝ : closedBall (x b) (r b) ⊆ closedBall (x c) (5 * r c) ⊢ closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x c) (5 * r c) simp only [closedBall_eq_empty.2 h'a, empty_subset] Qed
measurable_of_re_im α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 inst✝¹ : IsROrC 𝕜 inst✝ : MeasurableSpace α f : α → 𝕜 μ : MeasureTheory.Measure α hre : Measurable fun x => ↑IsROrC.re (f x) him : Measurable fun x => ↑IsROrC.im (f x) ⊢ Measurable f convert Measurable.add (M := 𝕜) (IsROrC.measurable_ofReal.comp hre) ((IsROrC.measurable_ofReal.comp him).mul_const IsROrC.I) ** case h.e'_5.h α : Type u_1 𝕜 : Type u_2 inst✝¹ : IsROrC 𝕜 inst✝ : MeasurableSpace α f : α → 𝕜 μ : MeasureTheory.Measure α hre : Measurable fun x => ↑IsROrC.re (f x) him : Measurable fun x => ↑IsROrC.im (f x) x✝ : α ⊢ f x✝ = (IsROrC.ofReal ∘ fun x => ↑IsROrC.re (f x)) x✝ + (IsROrC.ofReal ∘ fun x => ↑IsROrC.im (f x)) x✝ * IsROrC.I exact (IsROrC.re_add_im _).symm Qed
MeasureTheory.rnDeriv_ae_eq_condexp α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) =ᵐ[μ] μ[f\|m] refine' ae_eq_condexp_of_forall_set_integral_eq hm hf _ _ _ case refine'_1 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → IntegrableOn (SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm)) s exact fun _ _ _ => (integrable_of_integrable_trim hm (SignedMeasure.integrable_rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm))).integrableOn case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ intro s hs _ case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ conv_rhs => rw [← hf.withDensityᵥ_trim_eq_integral hm hs, ← SignedMeasure.withDensityᵥ_rnDeriv_eq ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm) (hf.withDensityᵥ_trim_absolutelyContinuous hm)] case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ∫ (x : α) in s, SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x ∂μ = ↑(Measure.withDensityᵥ (Measure.trim μ hm) (SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm))) s rw [withDensityᵥ_apply (SignedMeasure.integrable_rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm)) hs, ← set_integral_trim hm _ hs] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f s : Set α hs : MeasurableSet s a✝ : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ StronglyMeasurable fun x => SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm) x exact (SignedMeasure.measurable_rnDeriv _ _).stronglyMeasurable case refine'_3 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable' m (SignedMeasure.rnDeriv (VectorMeasure.trim (Measure.withDensityᵥ μ f) hm) (Measure.trim μ hm)) μ exact StronglyMeasurable.aeStronglyMeasurable' (SignedMeasure.measurable_rnDeriv _ _).stronglyMeasurable ** Qed
MeasureTheory.snorm_one_condexp_le_snorm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ by_cases hf : Integrable f μ case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : ¬Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ by_cases hm : m ≤ m0 case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ by_cases hsig : SigmaFinite (μ.trim hm) case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ calc snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm (μ[(\|f\|)\|m]) 1 μ := by refine' snorm_mono_ae _ filter_upwards [@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => le_abs_self (f x) : ∀ x, f x ≤ \|f x\|)), EventuallyLE.trans (condexp_neg f).symm.le (@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf.neg hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => neg_le_abs_self (f x): ∀ x, -f x ≤ \|f x\|)))] with x hx₁ hx₂ exact abs_le_abs hx₁ hx₂ _ = snorm f 1 μ := by rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← ENNReal.toReal_eq_toReal (ne_of_lt integrable_condexp.2) (ne_of_lt hf.2), ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm (stronglyMeasurable_condexp.mono hm).aestronglyMeasurable, ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm hf.1] simp_rw [Real.norm_eq_abs] rw [← @integral_condexp _ _ _ _ _ m m0 μ _ hm hsig hf.abs] refine' integral_congr_ae _ have : 0 ≤ᵐ[μ] μ[(\|f\|)\|m] := by rw [← @condexp_zero α ℝ _ _ _ m m0 μ] exact condexp_mono (integrable_zero _ _ _) hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => abs_nonneg (f x) : ∀ x, 0 ≤ \|f x\|)) filter_upwards [this] with x hx exact abs_eq_self.2 hx case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : ¬Integrable f ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ rw [condexp_undef hf, snorm_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ snorm f 1 μ exact zero_le _ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ rw [condexp_of_not_le hm, snorm_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : ¬m ≤ m0 ⊢ 0 ≤ snorm f 1 μ exact zero_le _ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm f 1 μ rw [condexp_of_not_sigmaFinite hm hsig, snorm_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ 0 ≤ snorm f 1 μ exact zero_le _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[f\|m]) 1 μ ≤ snorm (μ[\|f\|\|m]) 1 μ refine' snorm_mono_ae _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖(μ[f\|m]) x‖ ≤ ‖(μ[\|f\|\|m]) x‖ filter_upwards [@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => le_abs_self (f x) : ∀ x, f x ≤ \|f x\|)), EventuallyLE.trans (condexp_neg f).symm.le (@condexp_mono _ m m0 _ _ _ _ _ _ _ _ hf.neg hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => neg_le_abs_self (f x): ∀ x, -f x ≤ \|f x\|)))] with x hx₁ hx₂ case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) x : α hx₁ : (μ[f\|m]) x ≤ (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x hx₂ : (-μ[f\|m]) x ≤ (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x ⊢ ‖(μ[f\|m]) x‖ ≤ ‖(μ[\|f\|\|m]) x‖ exact abs_le_abs hx₁ hx₂ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ snorm (μ[\|f\|\|m]) 1 μ = snorm f 1 μ rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← ENNReal.toReal_eq_toReal (ne_of_lt integrable_condexp.2) (ne_of_lt hf.2), ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm (stronglyMeasurable_condexp.mono hm).aestronglyMeasurable, ← integral_norm_eq_lintegral_nnnorm hf.1] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (x : α), ‖(μ[\|f\|\|m]) x‖ ∂μ = ∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ simp_rw [Real.norm_eq_abs] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[\|f\|\|m]) x\| ∂μ = ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ rw [← @integral_condexp _ _ _ _ _ m m0 μ _ hm hsig hf.abs] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[\|f\|\|m]) x\| ∂μ = ∫ (x : α), (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x ∂μ refine' integral_congr_ae _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ (fun x => \|(μ[\|f\|\|m]) x\|) =ᵐ[μ] fun x => (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x have : 0 ≤ᵐ[μ] μ[(\|f\|)\|m] := by rw [← @condexp_zero α ℝ _ _ _ m m0 μ] exact condexp_mono (integrable_zero _ _ _) hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => abs_nonneg (f x) : ∀ x, 0 ≤ \|f x\|)) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) this : 0 ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] ⊢ (fun x => \|(μ[\|f\|\|m]) x\|) =ᵐ[μ] fun x => (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x filter_upwards [this] with x hx case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) this : 0 ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] x : α hx : OfNat.ofNat 0 x ≤ (μ[\|f\|\|m]) x ⊢ \|(μ[\|f\|\|m]) x\| = (μ[fun a => \|f a\|\|m]) x exact abs_eq_self.2 hx α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] rw [← @condexp_zero α ℝ _ _ _ m m0 μ] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hf : Integrable f hm : m ≤ m0 hsig : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[0\|m] ≤ᵐ[μ] μ[\|f\|\|m] exact condexp_mono (integrable_zero _ _ _) hf.abs (@ae_of_all _ m0 _ μ (fun x => abs_nonneg (f x) : ∀ x, 0 ≤ \|f x\|)) ** Qed
MeasureTheory.integral_abs_condexp_le α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ by_cases hm : m ≤ m0 case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : ¬m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ by_cases hfint : Integrable f μ case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : ¬Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae, integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : ¬m ≤ m0 ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ simp_rw [condexp_of_not_le hm, Pi.zero_apply, abs_zero, integral_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : ¬m ≤ m0 ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ exact integral_nonneg fun x => abs_nonneg _ case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : ¬Integrable f ⊢ ∫ (x : α), \|(μ[f\|m]) x\| ∂μ ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ simp only [condexp_undef hfint, Pi.zero_apply, abs_zero, integral_const, Algebra.id.smul_eq_mul, mul_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ ∫ (x : α), \|f x\| ∂μ exact integral_nonneg fun x => abs_nonneg _ case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal \|(μ[f\|m]) a\| ∂μ) ≤ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal \|f a\| ∂μ) rw [ENNReal.toReal_le_toReal] <;> simp_rw [← Real.norm_eq_abs, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(μ[f\|m]) a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ rw [← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, ← snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ snorm (fun a => (μ[f\|m]) a) 1 μ ≤ snorm (fun a => f a) 1 μ exact snorm_one_condexp_le_snorm _ case pos.ha α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(μ[f\|m]) a‖₊ ∂μ ≠ ⊤ exact ne_of_lt integrable_condexp.2 case pos.hb α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ ≠ ⊤ exact ne_of_lt hfint.2 case pos.hf α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun x => \|f x\| exact eventually_of_forall fun x => abs_nonneg _ case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => \|f x\|) μ simp_rw [← Real.norm_eq_abs] case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ‖f x‖) μ exact hfint.1.norm case pos.hf α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun x => \|(μ[f\|m]) x\| exact eventually_of_forall fun x => abs_nonneg _ case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => \|(μ[f\|m]) x\|) μ simp_rw [← Real.norm_eq_abs] case pos.hfm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ hm : m ≤ m0 hfint : Integrable f ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ‖(μ[f\|m]) x‖) μ exact (stronglyMeasurable_condexp.mono hm).aestronglyMeasurable.norm ** Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_simpleFunc_mul ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) ⊢ μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m] apply @SimpleFunc.induction _ _ m _ (fun f => _) (fun c s hs => ?_) (fun g₁ g₂ _ h_eq₁ h_eq₂ => ?_) f α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g ⊢ ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) intro s c f α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ ⊢ Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) ext1 x case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α ⊢ (Set.indicator s (Function.const α c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x by_cases hx : x ∈ s case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α hx : x ∈ s ⊢ (Set.indicator s (Function.const α c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x simp only [hx, Pi.mul_apply, Set.indicator_of_mem, Pi.smul_apply, Algebra.id.smul_eq_mul] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α hx : x ∈ s ⊢ Function.const α c x * f x = c * f x rfl case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f✝ : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g s : Set α c : ℝ f : α → ℝ x : α hx : ¬x ∈ s ⊢ (Set.indicator s (Function.const α c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x simp only [hx, Pi.mul_apply, Set.indicator_of_not_mem, not_false_iff, zero_mul] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * μ[g\|m] classical simp only [@SimpleFunc.const_zero _ _ m, @SimpleFunc.coe_piecewise _ _ m, @SimpleFunc.coe_const _ _ m, @SimpleFunc.coe_zero _ _ m, Set.piecewise_eq_indicator] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[Set.indicator s (Function.const α c) * g\|m] =ᵐ[μ] Set.indicator s (Function.const α c) * μ[g\|m] rw [this, this] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[Set.indicator s (c • g)\|m] =ᵐ[μ] Set.indicator s (c • μ[g\|m]) refine' (condexp_indicator (hg.smul c) hs).trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ Set.indicator s (μ[c • g\|m]) =ᵐ[μ] Set.indicator s (c • μ[g\|m]) filter_upwards [@condexp_smul α ℝ ℝ _ _ _ _ _ m m0 μ c g] with x hx case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s x : α hx : (μ[c • g\|m]) x = (c • μ[g\|m]) x ⊢ Set.indicator s (μ[c • g\|m]) x = Set.indicator s (c • μ[g\|m]) x classical simp_rw [Set.indicator_apply, hx] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ μ[↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * μ[g\|m] simp only [@SimpleFunc.const_zero _ _ m, @SimpleFunc.coe_piecewise _ _ m, @SimpleFunc.coe_const _ _ m, @SimpleFunc.coe_zero _ _ m, Set.piecewise_eq_indicator] case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) c : ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s x : α hx : (μ[c • g\|m]) x = (c • μ[g\|m]) x ⊢ Set.indicator s (μ[c • g\|m]) x = Set.indicator s (c • μ[g\|m]) x simp_rw [Set.indicator_apply, hx] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ ⊢ μ[↑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] have h_add := @SimpleFunc.coe_add _ _ m _ g₁ g₂ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[↑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] ** calc μ[⇑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] μ[(⇑g₁ + ⇑g₂) * g\|m] := by refine' condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul _ EventuallyEq.rfl); rw [h_add] _ =ᵐ[μ] μ[⇑g₁ * g\|m] + μ[⇑g₂ * g\|m] := by rw [add_mul]; exact condexp_add (hg.simpleFunc_mul' hm _) (hg.simpleFunc_mul' hm _) _ =ᵐ[μ] ⇑g₁ * μ[g\|m] + ⇑g₂ * μ[g\|m] := (EventuallyEq.add h_eq₁ h_eq₂) _ =ᵐ[μ] ⇑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] := by rw [h_add, add_mul] ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[↑(g₁ + g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] μ[(↑g₁ + ↑g₂) * g\|m] refine' condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul _ EventuallyEq.rfl) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ (fun x => ↑(g₁ + g₂) x) =ᵐ[μ] fun x => (↑g₁ + ↑g₂) x rw [h_add] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[(↑g₁ + ↑g₂) * g\|m] =ᵐ[μ] μ[↑g₁ * g\|m] + μ[↑g₂ * g\|m] rw [add_mul] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ μ[↑g₁ * g + ↑g₂ * g\|m] =ᵐ[μ] μ[↑g₁ * g\|m] + μ[↑g₂ * g\|m] exact condexp_add (hg.simpleFunc_mul' hm _) (hg.simpleFunc_mul' hm _) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : SimpleFunc α ℝ g : α → ℝ hg : Integrable g this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), Set.indicator s (Function.const α c) * f = Set.indicator s (c • f) g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂) h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₁ h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g\|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g\|m]) g₂ h_add : ↑(g₁ + g₂) = ↑g₁ + ↑g₂ ⊢ ↑g₁ * μ[g\|m] + ↑g₂ * μ[g\|m] =ᵐ[μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g\|m] rw [h_add, add_mul] Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_mul_of_bound₀ ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[hf.mk f * g\|m] := condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl) ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' this.trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] hf.mk f * μ[g\|m] := EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' EventuallyEq.trans _ this.symm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] refine' condexp_stronglyMeasurable_mul_of_bound hm hf.stronglyMeasurable_mk hg c _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖AEStronglyMeasurable'.mk f hf x‖ ≤ c filter_upwards [hf_bound, hf.ae_eq_mk] with x hxc hx_eq case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] x : α hxc : ‖f x‖ ≤ c hx_eq : f x = AEStronglyMeasurable'.mk f hf x ⊢ ‖AEStronglyMeasurable'.mk f hf x‖ ≤ c rw [← hx_eq] case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 inst✝ : IsFiniteMeasure μ f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hg : Integrable g c : ℝ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] x : α hxc : ‖f x‖ ≤ c hx_eq : f x = AEStronglyMeasurable'.mk f hf x ⊢ ‖f x‖ ≤ c exact hxc Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_mul ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] by_cases hm : m ≤ m0 case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] by_cases hμm : SigmaFinite (μ.trim hm) case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] swap case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] haveI : SigmaFinite (μ.trim hm) := hμm case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] obtain ⟨sets, sets_prop, h_univ⟩ := hf.exists_spanning_measurableSet_norm_le hm μ case pos.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α sets_prop : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n) ∧ ↑↑μ (sets n) < ⊤ ∧ ∀ (x : α), x ∈ sets n → ‖f x‖ ≤ ↑n h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] simp_rw [forall_and] at sets_prop case pos.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ sets_prop : (∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)) ∧ (∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤) ∧ ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] obtain ⟨h_meas, h_finite, h_norm⟩ := sets_prop case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** suffices ∀ n, ∀ᵐ x ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x by rw [← ae_all_iff] at this filter_upwards [this] with x hx rw [Pi.mul_apply] obtain ⟨i, hi⟩ : ∃ i, x ∈ sets i := by have h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i := by rw [h_univ]; exact Set.mem_univ _ simpa using h_mem exact hx i hi ** case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x ⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x refine' fun n => ae_imp_of_ae_restrict _ case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ** suffices (μ.restrict (sets n))[f * g\|m] =ᵐ[μ.restrict (sets n)] f * (μ.restrict (sets n))[g\|m] by simp_rw [← Pi.mul_apply] refine' (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hfg).symm.trans _ exact this.trans (EventuallyEq.rfl.mul (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hg)) ** case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] have : IsFiniteMeasure (μ.restrict (sets n)) := by constructor rw [Measure.restrict_apply_univ] exact h_finite n case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] refine' condexp_stronglyMeasurable_mul_of_bound hm (hf.indicator (h_meas n)) hg.integrableOn n _ case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n refine' eventually_of_forall fun x => _ case pos.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α ⊢ ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n by_cases hxs : x ∈ sets n case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : ¬m ≤ m0 ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] simp_rw [condexp_of_not_le hm] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : ¬m ≤ m0 ⊢ 0 =ᵐ[μ] f * 0 rw [mul_zero] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] simp_rw [condexp_of_not_sigmaFinite hm hμm] case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm : ¬SigmaFinite (Measure.trim μ hm) ⊢ 0 =ᵐ[μ] f * 0 rw [mul_zero] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] rw [← ae_all_iff] at this α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] filter_upwards [this] with x hx case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ (μ[f * g\|m]) x = (f * μ[g\|m]) x rw [Pi.mul_apply] case h α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x obtain ⟨i, hi⟩ : ∃ i, x ∈ sets i := by have h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i := by rw [h_univ]; exact Set.mem_univ _ simpa using h_mem case h.intro α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x i : ℕ hi : x ∈ sets i ⊢ (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x exact hx i hi α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ ∃ i, x ∈ sets i have h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i := by rw [h_univ]; exact Set.mem_univ _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x h_mem : x ∈ ⋃ i, sets i ⊢ ∃ i, x ∈ sets i simpa using h_mem α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ x ∈ ⋃ i, sets i rw [h_univ] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), a ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) a = f a * (μ[g\|m]) a x : α hx : ∀ (i : ℕ), x ∈ sets i → (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x ⊢ x ∈ Set.univ exact Set.mem_univ _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), (μ[f * g\|m]) x = f x * (μ[g\|m]) x simp_rw [← Pi.mul_apply] α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (sets n), (μ[f * g\|m]) x = (f * μ[g\|m]) x refine' (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hfg).symm.trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] fun x => (f * μ[g\|m]) x exact this.trans (EventuallyEq.rfl.mul (condexp_restrict_ae_eq_restrict hm (h_meas n) hg)) α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] refine' EventuallyEq.trans _ (this.trans _) case refine'_1 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Measure.restrict μ (sets n)[f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] exact condexp_congr_ae ((indicator_ae_eq_restrict (hm _ (h_meas n))).symm.mul EventuallyEq.rfl) case refine'_2 α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : Measure.restrict μ (sets n)[Set.indicator (sets n) f * g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] ⊢ Set.indicator (sets n) f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] =ᵐ[Measure.restrict μ (sets n)] f * Measure.restrict μ (sets n)[g\|m] exact (indicator_ae_eq_restrict (hm _ (h_meas n))).mul EventuallyEq.rfl α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) constructor case measure_univ_lt_top α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ ↑↑(Measure.restrict μ (sets n)) Set.univ < ⊤ rw [Measure.restrict_apply_univ] case measure_univ_lt_top α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ ⊢ ↑↑μ (sets n) < ⊤ exact h_finite n case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α hxs : x ∈ sets n ⊢ ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n simp only [hxs, Set.indicator_of_mem] case pos α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α hxs : x ∈ sets n ⊢ ‖f x‖ ≤ ↑n exact h_norm n x hxs case neg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : StronglyMeasurable f hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g hm : m ≤ m0 hμm this✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm) sets : ℕ → Set α h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x) h_finite : ∀ (x : ℕ), ↑↑μ (sets x) < ⊤ h_norm : ∀ (x : ℕ) (x_1 : α), x_1 ∈ sets x → ‖f x_1‖ ≤ ↑x n : ℕ this : IsFiniteMeasure (Measure.restrict μ (sets n)) x : α hxs : ¬x ∈ sets n ⊢ ‖Set.indicator (sets n) f x‖ ≤ ↑n simp only [hxs, Set.indicator_of_not_mem, not_false_iff, _root_.norm_zero, Nat.cast_nonneg] Qed
MeasureTheory.condexp_stronglyMeasurable_mul₀ ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[hf.mk f * g\|m] := condexp_congr_ae (EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl) ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' this.trans _ α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] ** have : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] hf.mk f * μ[g\|m] := EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl ** α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] f * μ[g\|m] refine' EventuallyEq.trans _ this.symm α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] refine' condexp_stronglyMeasurable_mul hf.stronglyMeasurable_mk _ hg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ Integrable (AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g) refine' (integrable_congr _).mp hfg α : Type u_1 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ hf : AEStronglyMeasurable' m f μ hfg : Integrable (f * g) hg : Integrable g this✝ : μ[f * g\|m] =ᵐ[μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g\|m] this : f * μ[g\|m] =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g\|m] ⊢ f * g =ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g exact EventuallyEq.mul hf.ae_eq_mk EventuallyEq.rfl Qed
MeasureTheory.snorm_eq_snorm' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F ⊢ snorm f p μ = snorm' f (ENNReal.toReal p) μ simp [snorm, hp_ne_zero, hp_ne_top] ** Qed
MeasureTheory.snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F ⊢ snorm f p μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) rw [snorm_eq_snorm' hp_ne_zero hp_ne_top, snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm_one_eq_lintegral_nnnorm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm f 1 μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ simp_rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm one_ne_zero ENNReal.coe_ne_top, ENNReal.one_toReal, one_div_one, ENNReal.rpow_one] ** Qed
MeasureTheory.snorm_exponent_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm f ⊤ μ = snormEssSup f μ simp [snorm] ** Qed
MeasureTheory.lintegral_rpow_nnnorm_eq_rpow_snorm' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hq0_lt : 0 < q ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = snorm' f q μ ^ q rw [snorm', ← ENNReal.rpow_mul, one_div, inv_mul_cancel, ENNReal.rpow_one] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hq0_lt : 0 < q ⊢ q ≠ 0 exact (ne_of_lt hq0_lt).symm ** Qed
MeasureTheory.lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hfp : snorm f p μ < ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ apply lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm'_lt_top case hq0_lt α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hfp : snorm f p μ < ⊤ ⊢ 0 < ENNReal.toReal p exact ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top case hfq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hfp : snorm f p μ < ⊤ ⊢ snorm' (fun a => f a) (ENNReal.toReal p) μ < ⊤ simpa [snorm_eq_snorm' hp_ne_zero hp_ne_top] using hfp ** Qed
MeasureTheory.snorm_lt_top_iff_lintegral_rpow_nnnorm_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ → snorm f p μ < ⊤ intro h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ ⊢ snorm f p μ < ⊤ have hp' := ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ hp' : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm f p μ < ⊤ have : 0 < 1 / p.toReal := div_pos zero_lt_one hp' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ < ⊤ hp' : 0 < ENNReal.toReal p this : 0 < 1 / ENNReal.toReal p ⊢ snorm f p μ < ⊤ simpa [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_ne_zero hp_ne_top] using ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg (le_of_lt this) (ne_of_lt h) ** Qed
MeasureTheory.snorm'_exponent_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm' f 0 μ = 1 rw [snorm', _root_.div_zero, ENNReal.rpow_zero] ** Qed
MeasureTheory.snorm_exponent_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm f 0 μ = 0 simp [snorm] ** Qed
MeasureTheory.memℒp_zero_iff_aestronglyMeasurable α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E ⊢ Memℒp f 0 ↔ AEStronglyMeasurable f μ simp [Memℒp, snorm_exponent_zero] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp0_lt : 0 < q ⊢ snorm' 0 q μ = 0 simp [snorm', hp0_lt] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_zero' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq0_ne : q ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 ⊢ snorm' 0 q μ = 0 cases' le_or_lt 0 q with hq0 hq_neg case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq0_ne : q ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 hq0 : 0 ≤ q ⊢ snorm' 0 q μ = 0 exact snorm'_zero (lt_of_le_of_ne hq0 hq0_ne.symm) case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq0_ne : q ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 hq_neg : q < 0 ⊢ snorm' 0 q μ = 0 simp [snorm', ENNReal.rpow_eq_zero_iff, hμ, hq_neg] ** Qed
MeasureTheory.snorm_zero' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ snorm (fun x => 0) p μ = 0 convert snorm_zero (F := F) ** Qed
MeasureTheory.zero_memℒp α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ snorm 0 p μ < ⊤ rw [snorm_zero] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ 0 < ⊤ exact ENNReal.coe_lt_top ** Qed
MeasureTheory.snorm'_measure_zero_of_pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f q 0 = 0 simp [snorm', hq_pos] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_measure_zero_of_exponent_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F ⊢ snorm' f 0 0 = 1 simp [snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_measure_zero_of_neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F hq_neg : q < 0 ⊢ snorm' f q 0 = ⊤ simp [snorm', hq_neg] ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_measure_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F ⊢ snormEssSup f 0 = 0 simp [snormEssSup] ** Qed
MeasureTheory.snorm_measure_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F ⊢ snorm f p 0 = 0 by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p 0 = 0 by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p 0 = 0 rw [← Ne.def] at h0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : p ≠ 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p 0 = 0 simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top, snorm', ENNReal.toReal_pos h0 h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : p = 0 ⊢ snorm f p 0 = 0 simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : MeasurableSpace α f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm f p 0 = 0 simp [h_top] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm' (-f) q μ = snorm' f q μ simp [snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm_neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : p = 0 ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm (-f) p μ = snorm f p μ simp [h_top, snormEssSup] ** Qed
MeasureTheory.Memℒp.neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hf : Memℒp f p ⊢ snorm (-f) p μ < ⊤ simp [hf.right] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [snorm', lintegral_const, ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ (by simp [hq_pos.le] : 0 ≤ 1 / q)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) congr case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ rw [← ENNReal.rpow_mul] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ ** suffices hq_cancel : q * (1 / q) = 1 ** case hq_cancel α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ q * (1 / q) = 1 rw [one_div, mul_inv_cancel (ne_of_lt hq_pos).symm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q ⊢ 0 ≤ 1 / q simp [hq_pos.le] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q hq_cancel : q * (1 / q) = 1 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ rw [hq_cancel, ENNReal.rpow_one] Qed
MeasureTheory.snorm'_const' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ snorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [snorm', lintegral_const, ENNReal.mul_rpow_of_ne_top _ (measure_ne_top μ Set.univ)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) congr case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ rw [← ENNReal.rpow_mul] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ ** suffices hp_cancel : q * (1 / q) = 1 ** case hp_cancel α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ q * (1 / q) = 1 rw [one_div, mul_inv_cancel hq_ne_zero] case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 hp_cancel : q * (1 / q) = 1 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊ rw [hp_cancel, ENNReal.rpow_one] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ↑‖c‖₊ ^ q ≠ ⊤ rw [Ne.def, ENNReal.rpow_eq_top_iff, not_or, not_and_or, not_and_or] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ (¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0) ∧ (¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q) constructor case left α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0 left case left.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0 rwa [ENNReal.coe_eq_zero, nnnorm_eq_zero] case right α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G inst✝ : IsFiniteMeasure μ c : F hc_ne_zero : c ≠ 0 hq_ne_zero : q ≠ 0 ⊢ ¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q exact Or.inl ENNReal.coe_ne_top Qed
MeasureTheory.snormEssSup_const α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F hμ : μ ≠ 0 ⊢ snormEssSup (fun x => c) μ = ↑‖c‖₊ rw [snormEssSup, essSup_const _ hμ] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_const_of_isProbabilityMeasure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : F hq_pos : 0 < q inst✝ : IsProbabilityMeasure μ ⊢ snorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ simp [snorm'_const c hq_pos, measure_univ] ** Qed
MeasureTheory.snorm_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top, snorm'_const, ENNReal.toReal_pos h0 h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 hμ : μ ≠ 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) simp [h_top, snormEssSup_const c hμ] Qed
MeasureTheory.snorm_const' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : F h0 : p ≠ 0 h_top : p ≠ ⊤ ⊢ snorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) simp [snorm_eq_snorm' h0 h_top, snorm'_const, ENNReal.toReal_pos h0 h_top] Qed
MeasureTheory.memℒp_const α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ ⊢ Memℒp (fun x => c) p refine' ⟨aestronglyMeasurable_const, _⟩ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ by_cases hμ : μ = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ rw [snorm_const c h0 hμ] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) < ⊤ refine' ENNReal.mul_lt_top ENNReal.coe_ne_top _ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≠ ⊤ refine' (ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ (measure_ne_top μ Set.univ)).ne case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : ¬μ = 0 ⊢ 0 ≤ 1 / ENNReal.toReal p simp case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : p = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G c : E inst✝ : IsFiniteMeasure μ h0 : ¬p = 0 hμ : μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤ simp [hμ] Qed
MeasureTheory.memℒp_top_const α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E ⊢ Memℒp (fun x => c) ⊤ refine' ⟨aestronglyMeasurable_const, _⟩ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E ⊢ snorm (fun x => c) ⊤ μ < ⊤ by_cases h : μ = 0 case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E h : μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) ⊤ μ < ⊤ simp only [h, snorm_measure_zero, WithTop.zero_lt_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E h : ¬μ = 0 ⊢ snorm (fun x => c) ⊤ μ < ⊤ rw [snorm_const _ ENNReal.top_ne_zero h] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G c : E h : ¬μ = 0 ⊢ ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal ⊤) < ⊤ simp only [ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, ENNReal.rpow_zero, mul_one, ENNReal.coe_lt_top] Qed
MeasureTheory.snorm'_mono_nnnorm_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ snorm' f q μ ≤ snorm' g q μ rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snorm' g q μ refine' ENNReal.rpow_le_rpow _ (one_div_nonneg.2 hq) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ refine' lintegral_mono_ae (h.mono fun x hx => _) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G hq : 0 ≤ q h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ x : α hx : ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ ↑‖f x‖₊ ^ q ≤ ↑‖g x‖₊ ^ q exact ENNReal.rpow_le_rpow (ENNReal.coe_le_coe.2 hx) hq ** Qed
MeasureTheory.snorm'_congr_nnnorm_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → F hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ ⊢ snorm' f q μ = snorm' g q μ have : (fun x => (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q) =ᵐ[μ] fun x => (‖g x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q := hfg.mono fun x hx => by simp_rw [hx] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → F hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ this : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] fun x => ↑‖g x‖₊ ^ q ⊢ snorm' f q μ = snorm' g q μ simp only [snorm', lintegral_congr_ae this] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → F hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ x : α hx : ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊ ⊢ (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) x = (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ q) x simp_rw [hx] ** Qed
MeasureTheory.snorm_mono_nnnorm_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm g p μ simp only [snorm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ ⊢ (if p = 0 then 0 else if p = ⊤ then snormEssSup f μ else snorm' f (ENNReal.toReal p) μ) ≤ if p = 0 then 0 else if p = ⊤ then snormEssSup g μ else snorm' g (ENNReal.toReal p) μ split_ifs case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ h✝ : p = 0 ⊢ 0 ≤ 0 exact le_rfl case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ h✝¹ : ¬p = 0 h✝ : p = ⊤ ⊢ snormEssSup f μ ≤ snormEssSup g μ exact essSup_mono_ae (h.mono fun x hx => ENNReal.coe_le_coe.mpr hx) case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊ h✝¹ : ¬p = 0 h✝ : ¬p = ⊤ ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snorm' g (ENNReal.toReal p) μ exact snorm'_mono_nnnorm_ae ENNReal.toReal_nonneg h ** Qed
MeasureTheory.snorm_le_of_ae_nnnorm_bound α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ rcases eq_zero_or_neZero μ with rfl \| hμ case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ by_cases hp : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : ¬p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ have : ∀ᵐ x ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖(C : ℝ)‖₊ := hfC.mono fun x hx => hx.trans_eq C.nnnorm_eq.symm case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : ¬p = 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊ ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ refine' (snorm_mono_ae this).trans_eq _ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : ¬p = 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊ ⊢ snorm (fun x => ↑C) p μ = C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ rw [snorm_const _ hp (NeZero.ne μ), C.nnnorm_eq, one_div, ENNReal.smul_def, smul_eq_mul] case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂0, ‖f x‖₊ ≤ C ⊢ snorm f p 0 ≤ C • ↑↑0 Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ simp case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ≥0 hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C hμ : NeZero μ hp : p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ C • ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ simp [hp] ** Qed
MeasureTheory.snorm_le_of_ae_bound ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C ⊢ snorm f p μ ≤ ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ * ENNReal.ofReal C rw [← mul_comm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F C : ℝ hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C ⊢ snorm f p μ ≤ ENNReal.ofReal C * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ exact snorm_le_of_ae_nnnorm_bound (hfC.mono fun x hx => hx.trans C.le_coe_toNNReal) Qed
MeasureTheory.snorm_indicator_sub_indicator α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G s t : Set α f : α → E x : α ⊢ ‖(Set.indicator s f - Set.indicator t f) x‖ = ‖Set.indicator (s ∆ t) f x‖ simp only [Pi.sub_apply, Set.apply_indicator_symmDiff norm_neg] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_norm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snorm' (fun a => ‖f a‖) q μ = snorm' f q μ simp [snorm'] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_norm_rpow ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p μ = snorm' f (p * q) μ ^ q simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / (p * q))) ^ q rw [← ENNReal.rpow_mul, ← one_div_mul_one_div] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / p * (1 / q) * q) simp_rw [one_div] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (p⁻¹ * q⁻¹ * q) rw [mul_assoc, inv_mul_cancel hq_pos.ne.symm, mul_one] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ p⁻¹ congr case e_a.e_f α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q ⊢ (fun a => ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p) = fun a => ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ext1 x case e_a.e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q x : α ⊢ ↑‖‖f x‖ ^ q‖₊ ^ p = ↑‖f x‖₊ ^ (p * q) simp_rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] case e_a.e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F p q : ℝ hq_pos : 0 < q x : α ⊢ ENNReal.ofReal ‖‖f x‖ ^ q‖ ^ p = ENNReal.ofReal ‖f x‖ ^ (p * q) rw [Real.norm_eq_abs, abs_eq_self.mpr (Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _), mul_comm, ← ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hq_pos.le, ENNReal.rpow_mul] Qed
MeasureTheory.snorm'_mono_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q ⊢ snorm' f q ν ≤ snorm' f q μ simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ^ (1 / q) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) suffices h_integral_mono : (∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂ν) ≤ ∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂μ from ENNReal.rpow_le_rpow h_integral_mono (by simp [hq]) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ exact lintegral_mono' hμν le_rfl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≤ μ hq : 0 ≤ q h_integral_mono : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ⊢ 0 ≤ 1 / q simp [hq] ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_mono_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≪ μ ⊢ snormEssSup f ν ≤ snormEssSup f μ simp_rw [snormEssSup] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hμν : ν ≪ μ ⊢ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) ν ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ exact essSup_mono_measure hμν ** Qed
MeasureTheory.snorm'_smul_measure ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ hp : 0 ≤ p f : α → F c : ℝ≥0∞ ⊢ snorm' f p (c • μ) = c ^ (1 / p) * snorm' f p μ rw [snorm', lintegral_smul_measure, ENNReal.mul_rpow_of_nonneg, snorm'] case hz α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ hp : 0 ≤ p f : α → F c : ℝ≥0∞ ⊢ 0 ≤ 1 / p simp [hp] Qed
MeasureTheory.snorm_smul_measure_of_ne_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F c : ℝ≥0∞ ⊢ snorm f p (c • μ) = c ^ ENNReal.toReal (1 / p) • snorm f p μ by_cases hp0 : p = 0 case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F c : ℝ≥0∞ hp0 : p = 0 ⊢ snorm f p (c • μ) = c ^ ENNReal.toReal (1 / p) • snorm f p μ simp [hp0] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp_ne_top : p ≠ ⊤ f : α → F c : ℝ≥0∞ hp0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p (c • μ) = c ^ ENNReal.toReal (1 / p) • snorm f p μ exact snorm_smul_measure_of_ne_zero_of_ne_top hp0 hp_ne_top c ** Qed
MeasureTheory.snorm_one_add_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν✝ : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F μ ν : Measure α ⊢ snorm f 1 (μ + ν) = snorm f 1 μ + snorm f 1 ν simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν✝ : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F μ ν : Measure α ⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂(μ + ν) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν rw [lintegral_add_measure _ μ ν] ** Qed
MeasureTheory.Memℒp.norm α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E h : Memℒp f p x : α ⊢ ‖‖f x‖‖ ≤ ‖f x‖ simp ** Qed
MeasureTheory.memℒp_norm_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h : Memℒp (fun x => ‖f x‖) p ⊢ snorm f p μ < ⊤ rw [← snorm_norm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h : Memℒp (fun x => ‖f x‖) p ⊢ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ < ⊤ exact h.2 ** Qed
MeasureTheory.snorm'_eq_zero_of_ae_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F hq0_lt : 0 < q hf_zero : f =ᵐ[μ] 0 ⊢ snorm' f q μ = 0 rw [snorm'_congr_ae hf_zero, snorm'_zero hq0_lt] ** Qed
MeasureTheory.ae_eq_zero_of_snorm'_eq_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : snorm' f q μ = 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 rw [snorm', ENNReal.rpow_eq_zero_iff] at h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = 0 ∧ 0 < 1 / q ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 cases h with \| inl h => rw [lintegral_eq_zero_iff' (hf.ennnorm.pow_const q)] at h refine' h.left.mono fun x hx => _ rw [Pi.zero_apply, ENNReal.rpow_eq_zero_iff] at hx cases hx with \| inl hx => cases' hx with hx _ rwa [← ENNReal.coe_zero, ENNReal.coe_eq_coe, nnnorm_eq_zero] at hx \| inr hx => exact absurd hx.left ENNReal.coe_ne_top \| inr h => exfalso rw [one_div, inv_lt_zero] at h exact hq0.not_lt h.right case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = 0 ∧ 0 < 1 / q ⊢ f =ᵐ[μ] 0 rw [lintegral_eq_zero_iff' (hf.ennnorm.pow_const q)] at h case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q ⊢ f =ᵐ[μ] 0 refine' h.left.mono fun x hx => _ case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) x = OfNat.ofNat 0 x ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x rw [Pi.zero_apply, ENNReal.rpow_eq_zero_iff] at hx case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = 0 ∧ 0 < q ∨ ↑‖f x‖₊ = ⊤ ∧ q < 0 ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x cases hx with \| inl hx => cases' hx with hx _ rwa [← ENNReal.coe_zero, ENNReal.coe_eq_coe, nnnorm_eq_zero] at hx \| inr hx => exact absurd hx.left ENNReal.coe_ne_top case inl.inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = 0 ∧ 0 < q ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x cases' hx with hx _ case inl.inl.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = 0 right✝ : 0 < q ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x rwa [← ENNReal.coe_zero, ENNReal.coe_eq_coe, nnnorm_eq_zero] at hx case inl.inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᵐ[μ] 0 ∧ 0 < 1 / q x : α hx : ↑‖f x‖₊ = ⊤ ∧ q < 0 ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x exact absurd hx.left ENNReal.coe_ne_top case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 exfalso case inr.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0 ⊢ False rw [one_div, inv_lt_zero] at h case inr.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hq0 : 0 ≤ q hf : AEStronglyMeasurable f μ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ q < 0 ⊢ False exact hq0.not_lt h.right ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_eq_zero_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F ⊢ snormEssSup f μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0 simp [EventuallyEq, snormEssSup] ** Qed
MeasureTheory.LpAddConst_of_one_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp : 1 ≤ p ⊢ LpAddConst p = 1 rw [LpAddConst, if_neg] case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp : 1 ≤ p ⊢ ¬p ∈ Set.Ioo 0 1 intro h case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ hp : 1 ≤ p h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ False exact lt_irrefl _ (h.2.trans_le hp) ** Qed
MeasureTheory.LpAddConst_zero α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ LpAddConst 0 = 1 rw [LpAddConst, if_neg] case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ⊢ ¬0 ∈ Set.Ioo 0 1 intro h case hnc α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G h : 0 ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ False exact lt_irrefl _ h.1 ** Qed
MeasureTheory.LpAddConst_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ ⊢ LpAddConst p < ⊤ rw [LpAddConst] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ ⊢ (if p ∈ Set.Ioo 0 1 then 2 ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1) else 1) < ⊤ split_ifs with h case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 2 ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1) < ⊤ apply ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ ENNReal.two_ne_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 0 ≤ 1 / ENNReal.toReal p - 1 simp only [one_div, sub_nonneg] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 1 ≤ (ENNReal.toReal p)⁻¹ apply one_le_inv (ENNReal.toReal_pos h.1.ne' (h.2.trans ENNReal.one_lt_top).ne) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ ENNReal.toReal p ≤ 1 simpa using ENNReal.toReal_mono ENNReal.one_ne_top h.2.le case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ h : ¬p ∈ Set.Ioo 0 1 ⊢ 1 < ⊤ exact ENNReal.one_lt_top ** Qed
MeasureTheory.exists_Lp_half α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ have : Tendsto (fun η : ℝ≥0∞ => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0))) := (ENNReal.Tendsto.const_mul (tendsto_id.add tendsto_id) (Or.inr (LpAddConst_lt_top p).ne)).mono_left nhdsWithin_le_nhds ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0))) ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ simp only [add_zero, mul_zero] at this α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 0) ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ rcases (((tendsto_order.1 this).2 δ hδ.bot_lt).and self_mem_nhdsWithin).exists with ⟨η, hη, ηpos⟩ case intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 0) η : ℝ≥0∞ hη : LpAddConst p * (η + η) < δ ηpos : 0 < η ⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → snorm f p μ ≤ η → snorm g p μ ≤ η → snorm (f + g) p μ < δ refine' ⟨η, ηpos, fun f g hf hg Hf Hg => _⟩ case intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p δ : ℝ≥0∞ hδ : δ ≠ 0 this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[Set.Ioi 0] 0) (𝓝 0) η : ℝ≥0∞ hη : LpAddConst p * (η + η) < δ ηpos : 0 < η f g : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hg : AEStronglyMeasurable g μ Hf : snorm f p μ ≤ η Hg : snorm g p μ ≤ η ⊢ snorm (f + g) p μ < δ ** calc snorm (f + g) p μ ≤ LpAddConst p * (snorm f p μ + snorm g p μ) := snorm_add_le' hf hg p _ ≤ LpAddConst p * (η + η) := (mul_le_mul_of_nonneg_left (add_le_add Hf Hg) bot_le) _ < δ := hη ** Qed
MeasureTheory.snorm_sub_le' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hg : AEStronglyMeasurable g μ p : ℝ≥0∞ ⊢ snorm (f - g) p μ ≤ LpAddConst p * (snorm f p μ + snorm g p μ) simpa only [sub_eq_add_neg, snorm_neg] using snorm_add_le' hf hg.neg p Qed
MeasureTheory.snorm_add_lt_top ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ LpAddConst p * (snorm f p μ + snorm g p μ) < ⊤ apply ENNReal.mul_lt_top (LpAddConst_lt_top p).ne α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ snorm f p μ + snorm g p μ ≠ ⊤ exact (ENNReal.add_lt_top.2 ⟨hf.2, hg.2⟩).ne Qed
MeasureTheory.memℒp_map_measure_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g : β → E hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) hf : AEMeasurable f ⊢ Memℒp g p ↔ Memℒp (g ∘ f) p simp [Memℒp, snorm_map_measure hg hf, hg.comp_aemeasurable hf, hg] ** Qed
MeasurableEmbedding.snorm_map_measure α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ by_cases hp_zero : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ by_cases hp : p = ∞ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : p = 0 ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ simp only [hp_zero, snorm_exponent_zero] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : p = ⊤ ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ simp_rw [hp, snorm_exponent_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : p = ⊤ ⊢ snormEssSup g (Measure.map f μ) = snormEssSup (g ∘ f) μ exact hf.essSup_map_measure case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : ¬p = ⊤ ⊢ snorm g p (Measure.map f μ) = snorm (g ∘ f) p μ simp_rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_zero hp] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : ¬p = ⊤ ⊢ (∫⁻ (x : β), ↑‖g x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂Measure.map f μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) rw [hf.lintegral_map] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f hp_zero : ¬p = 0 hp : ¬p = ⊤ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g (f a)‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) rfl ** Qed
MeasurableEmbedding.memℒp_map_measure_iff α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G β : Type u_5 mβ : MeasurableSpace β f : α → β g✝ : β → E g : β → F hf : MeasurableEmbedding f ⊢ Memℒp g p ↔ Memℒp (g ∘ f) p simp_rw [Memℒp, hf.aestronglyMeasurable_map_iff, hf.snorm_map_measure] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_trim α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ snorm' f q (Measure.trim ν hm) = snorm' f q ν simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂Measure.trim ν hm) ^ (1 / q) = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ^ (1 / q) congr 1 case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂Measure.trim ν hm = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν refine' lintegral_trim hm _ case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ Measurable fun a => ↑‖f a‖₊ ^ q refine' @Measurable.pow_const _ _ _ _ _ _ _ m _ (@Measurable.coe_nnreal_ennreal _ m _ _) q case e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ Measurable fun a => ‖f a‖₊ apply @StronglyMeasurable.measurable case e_a.hf α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : StronglyMeasurable f ⊢ StronglyMeasurable fun a => ‖f a‖₊ exact @StronglyMeasurable.nnnorm α m _ _ _ hf ** Qed
MeasureTheory.limsup_trim α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ limsup f (Measure.ae (Measure.trim ν hm)) = limsup f (Measure.ae ν) simp_rw [limsup_eq] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} suffices h_set_eq : { a : ℝ≥0∞ \| ∀ᵐ n ∂ν.trim hm, f n ≤ a } = { a : ℝ≥0∞ \| ∀ᵐ n ∂ν, f n ≤ a } case h_set_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f ⊢ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} ext1 a case h_set_eq.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} ↔ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} suffices h_meas_eq : ν { x \| ¬f x ≤ a } = ν.trim hm { x \| ¬f x ≤ a } case h_meas_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ ↑↑ν {x \| ¬f x ≤ a} = ↑↑(Measure.trim ν hm) {x \| ¬f x ≤ a} refine' (trim_measurableSet_eq hm _).symm case h_meas_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ MeasurableSet {x \| ¬f x ≤ a} refine' @MeasurableSet.compl _ _ m (@measurableSet_le ℝ≥0∞ _ _ _ _ m _ _ _ _ _ hf _) case h_meas_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ ⊢ Measurable fun x => a exact @measurable_const _ _ _ m _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f h_set_eq : {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} ⊢ sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} = sInf {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} rw [h_set_eq] case h_set_eq.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ h_meas_eq : ↑↑ν {x \| ¬f x ≤ a} = ↑↑(Measure.trim ν hm) {x \| ¬f x ≤ a} ⊢ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a} ↔ a ∈ {a \| ∀ᵐ (n : α) ∂ν, f n ≤ a} simp_rw [Set.mem_setOf_eq, ae_iff, h_meas_eq] case h_set_eq.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → ℝ≥0∞ hf : Measurable f a : ℝ≥0∞ h_meas_eq : ↑↑ν {x \| ¬f x ≤ a} = ↑↑(Measure.trim ν hm) {x \| ¬f x ≤ a} ⊢ (∀ᵐ (n : α) ∂Measure.trim ν hm, f n ≤ a) ↔ ↑↑(Measure.trim ν hm) {a_1 \| ¬f a_1 ≤ a} = 0 rfl ** Qed
MeasureTheory.snorm_trim_ae α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.trim ν hm) ⊢ snorm f p (Measure.trim ν hm) = snorm f p ν rw [snorm_congr_ae hf.ae_eq_mk, snorm_congr_ae (ae_eq_of_ae_eq_trim hf.ae_eq_mk)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hm : m ≤ m0 f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.trim ν hm) ⊢ snorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p (Measure.trim ν hm) = snorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p ν exact snorm_trim hm hf.stronglyMeasurable_mk ** Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snormEssSup_mul_rpow_measure_univ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F ⊢ snorm' f q μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) have h_le : (∫⁻ a : α, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂μ) ≤ ∫⁻ _ : α, snormEssSup f μ ^ q ∂μ := by refine' lintegral_mono_ae _ have h_nnnorm_le_snorm_ess_sup := coe_nnnorm_ae_le_snormEssSup f μ refine' h_nnnorm_le_snorm_ess_sup.mono fun x hx => ENNReal.rpow_le_rpow hx (le_of_lt hq_pos) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ snorm' f q μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [snorm', ← ENNReal.rpow_one (snormEssSup f μ)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snormEssSup f μ ^ 1 * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) nth_rw 2 [← mul_inv_cancel (ne_of_lt hq_pos).symm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snormEssSup f μ ^ (q * q⁻¹) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) rw [ENNReal.rpow_mul, one_div, ← ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ (by simp [hq_pos.le] : 0 ≤ q⁻¹)] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ q⁻¹ ≤ (snormEssSup f μ ^ q * ↑↑μ Set.univ) ^ q⁻¹ refine' ENNReal.rpow_le_rpow _ (by simp [hq_pos.le]) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ snormEssSup f μ ^ q * ↑↑μ Set.univ rwa [lintegral_const] at h_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ refine' lintegral_mono_ae _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑‖f a‖₊ ^ q ≤ snormEssSup f μ ^ q have h_nnnorm_le_snorm_ess_sup := coe_nnnorm_ae_le_snormEssSup f μ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_nnnorm_le_snorm_ess_sup : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑‖f x‖₊ ≤ snormEssSup f μ ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑‖f a‖₊ ^ q ≤ snormEssSup f μ ^ q refine' h_nnnorm_le_snorm_ess_sup.mono fun x hx => ENNReal.rpow_le_rpow hx (le_of_lt hq_pos) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), snormEssSup f μ ^ q ∂μ ⊢ 0 ≤ q⁻¹ simp [hq_pos.le] Qed
MeasureTheory.snorm_le_snorm_mul_rpow_measure_univ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) by_cases hp0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) rw [← Ne.def] at hp0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hp0_lt : 0 < p := lt_of_le_of_ne (zero_le _) hp0.symm case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hq0_lt : 0 < q := lt_of_lt_of_le hp0_lt hpq case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) by_cases hq_top : q = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hp_lt_top : p < ∞ := hpq.trans_lt (lt_top_iff_ne_top.mpr hq_top) case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hp_pos : 0 < p.toReal := ENNReal.toReal_pos hp0_lt.ne' hp_lt_top.ne case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) rw [snorm_eq_snorm' hp0_lt.ne.symm hp_lt_top.ne, snorm_eq_snorm' hq0_lt.ne.symm hq_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snorm' f (ENNReal.toReal q) μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) have hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal := by rwa [ENNReal.toReal_le_toReal hp_lt_top.ne hq_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p hpq_real : ENNReal.toReal p ≤ ENNReal.toReal q ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snorm' f (ENNReal.toReal q) μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) exact snorm'_le_snorm'_mul_rpow_measure_univ hp_pos hpq_real hf case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) simp [hp0, zero_le] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snorm f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p - 1 / ENNReal.toReal q) simp only [hq_top, _root_.div_zero, one_div, ENNReal.top_toReal, sub_zero, snorm_exponent_top, GroupWithZero.inv_zero] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ by_cases hp_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ rw [snorm_eq_snorm' hp0 hp_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ have hp_pos : 0 < p.toReal := ENNReal.toReal_pos hp0_lt.ne' hp_top case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ refine' (snorm'_le_snormEssSup_mul_rpow_measure_univ hp_pos).trans (le_of_eq _) case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) = snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ congr case neg.e_a.e_a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : ¬p = ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ 1 / ENNReal.toReal p = (ENNReal.toReal p)⁻¹ exact one_div _ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ simp only [hp_top, ENNReal.rpow_zero, mul_one, ENNReal.top_toReal, sub_zero, GroupWithZero.inv_zero, snorm_exponent_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : q = ⊤ hp_top : p = ⊤ ⊢ snormEssSup f μ ≤ snormEssSup f μ exact le_rfl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ≥0∞ hpq : p ≤ q f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hp0 : p ≠ 0 hp0_lt : 0 < p hq0_lt : 0 < q hq_top : ¬q = ⊤ hp_lt_top : p < ⊤ hp_pos : 0 < ENNReal.toReal p ⊢ ENNReal.toReal p ≤ ENNReal.toReal q rwa [ENNReal.toReal_le_toReal hp_lt_top.ne hq_top] Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snorm'_of_exponent_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m✝ m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α p q : ℝ hp0_lt : 0 < p hpq : p ≤ q μ : Measure α inst✝ : IsProbabilityMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ have h_le_μ := snorm'_le_snorm'_mul_rpow_measure_univ hp0_lt hpq hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m✝ m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α p q : ℝ hp0_lt : 0 < p hpq : p ≤ q μ : Measure α inst✝ : IsProbabilityMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h_le_μ : snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) ⊢ snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ rwa [measure_univ, ENNReal.one_rpow, mul_one] at h_le_μ Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snormEssSup ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G hq_pos : 0 < q f : α → F inst✝ : IsProbabilityMeasure μ ⊢ snormEssSup f μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = snormEssSup f μ simp [measure_univ] Qed
MeasureTheory.snorm'_lt_top_of_snorm'_lt_top_of_exponent_le α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q ⊢ snorm' f p μ < ⊤ cases' le_or_lt p 0 with hp_nonpos hp_pos case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p ⊢ snorm' f p μ < ⊤ have hq_pos : 0 < q := lt_of_lt_of_le hp_pos hpq case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f p μ < ⊤ calc snorm' f p μ ≤ snorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) := snorm'_le_snorm'_mul_rpow_measure_univ hp_pos hpq hf _ < ∞ := by rw [ENNReal.mul_lt_top_iff] refine' Or.inl ⟨hfq_lt_top, ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ (measure_ne_top μ Set.univ)⟩ rwa [le_sub_comm, sub_zero, one_div, one_div, inv_le_inv hq_pos hp_pos] case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_nonpos : p ≤ 0 ⊢ snorm' f p μ < ⊤ rw [le_antisymm hp_nonpos hp_nonneg] case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_nonpos : p ≤ 0 ⊢ snorm' f 0 μ < ⊤ simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f q μ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) < ⊤ rw [ENNReal.mul_lt_top_iff] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' f q μ < ⊤ ∧ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) < ⊤ ∨ snorm' f q μ = 0 ∨ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q) = 0 refine' Or.inl ⟨hfq_lt_top, ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ (measure_ne_top μ Set.univ)⟩ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G p q : ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ hfq_lt_top : snorm' f q μ < ⊤ hp_nonneg : 0 ≤ p hpq : p ≤ q hp_pos : 0 < p hq_pos : 0 < q ⊢ 0 ≤ 1 / p - 1 / q rwa [le_sub_comm, sub_zero, one_div, one_div, inv_le_inv hq_pos hp_pos] Qed
MeasureTheory.pow_mul_meas_ge_le_snorm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ (ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p}) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ snorm f p μ rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_ne_zero hp_ne_top] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ (ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p}) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) exact ENNReal.rpow_le_rpow (mul_meas_ge_le_lintegral₀ (hf.ennnorm.pow_const _) ε) (one_div_nonneg.2 ENNReal.toReal_nonneg) Qed
MeasureTheory.mul_meas_ge_le_pow_snorm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p} ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p ** have : 1 / p.toReal * p.toReal = 1 := by refine' one_div_mul_cancel _ rw [Ne, ENNReal.toReal_eq_zero_iff] exact not_or_of_not hp_ne_zero hp_ne_top ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ this : 1 / ENNReal.toReal p * ENNReal.toReal p = 1 ⊢ ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p} ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p ** rw [← ENNReal.rpow_one (ε * μ { x \| ε ≤ (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal }), ← this, ENNReal.rpow_mul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ this : 1 / ENNReal.toReal p * ENNReal.toReal p = 1 ⊢ ((ε * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p}) ^ (1 / ENNReal.toReal p)) ^ ENNReal.toReal p ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p exact ENNReal.rpow_le_rpow (pow_mul_meas_ge_le_snorm μ hp_ne_zero hp_ne_top hf ε) ENNReal.toReal_nonneg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ 1 / ENNReal.toReal p * ENNReal.toReal p = 1 refine' one_div_mul_cancel _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ENNReal.toReal p ≠ 0 rw [Ne, ENNReal.toReal_eq_zero_iff] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ¬(p = 0 ∨ p = ⊤) exact not_or_of_not hp_ne_zero hp_ne_top Qed
MeasureTheory.mul_meas_ge_le_pow_snorm' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ ε ^ ENNReal.toReal p * ↑↑μ {x \| ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ snorm f p μ ^ ENNReal.toReal p convert mul_meas_ge_le_pow_snorm μ hp_ne_zero hp_ne_top hf (ε ^ p.toReal) using 4 case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_3.h.e'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ ⊢ (fun x => ε ≤ ↑‖f x‖₊) = fun x => ε ^ ENNReal.toReal p ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ext x case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_3.h.e'_2.h.a α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → E hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ hf : AEStronglyMeasurable f μ ε : ℝ≥0∞ x : α ⊢ ε ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ ε ^ ENNReal.toReal p ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p rw [ENNReal.rpow_le_rpow_iff (ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top)] Qed
MeasureTheory.Memℒp.sub α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ Memℒp (f - g) p rw [sub_eq_add_neg] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f g : α → E hf : Memℒp f p hg : Memℒp g p ⊢ Memℒp (f + -g) p exact hf.add hg.neg ** Qed
MeasureTheory.memℒp_finset_sum' α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → E hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Memℒp (f i) p ⊢ Memℒp (∑ i in s, f i) p convert memℒp_finset_sum s hf using 1 case h.e'_5 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → E hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Memℒp (f i) p ⊢ ∑ i in s, f i = fun a => ∑ i in s, f i a ext x case h.e'_5.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → E hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Memℒp (f i) p x : α ⊢ Finset.sum s (fun i => f i) x = ∑ i in s, f i x simp ** Qed
MeasureTheory.snorm'_le_nnreal_smul_snorm'_of_ae_le_mul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ snorm' f p μ ≤ c • snorm' g p μ simp_rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ c • (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) rw [← ENNReal.rpow_le_rpow_iff hp, ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ hp.le] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ ↑c ^ p * ((∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p simp_rw [← ENNReal.rpow_mul, one_div, inv_mul_cancel hp.ne.symm, ENNReal.rpow_one, ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ hp.le, ← lintegral_const_mul' _ _ ENNReal.coe_ne_top, ← ENNReal.coe_mul] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ p) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) ∂μ apply lintegral_mono_ae case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(‖f a‖₊ ^ p) ≤ ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) simp_rw [ENNReal.coe_le_coe, ← NNReal.mul_rpow, NNReal.rpow_le_rpow_iff hp] case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ hp : 0 < p ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖₊ ≤ c * ‖g a‖₊ exact h Qed
MeasureTheory.snormEssSup_le_nnreal_smul_snormEssSup_of_ae_le_mul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ ⊢ essSup (fun x => ↑(c * ‖g x‖₊)) μ = essSup (fun x => ↑c * ↑‖g x‖₊) μ simp_rw [ENNReal.coe_mul] Qed
MeasureTheory.snorm_le_nnreal_smul_snorm_of_ae_le_mul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ by_cases h0 : p = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ by_cases h_top : p = ∞ case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ simp_rw [snorm_eq_snorm' h0 h_top] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ snorm' f (ENNReal.toReal p) μ ≤ c • snorm' g (ENNReal.toReal p) μ exact snorm'_le_nnreal_smul_snorm'_of_ae_le_mul h (ENNReal.toReal_pos h0 h_top) case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : p = 0 ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ simp [h0] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm f p μ ≤ c • snorm g p μ rw [h_top] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G f : α → F g : α → G c : ℝ≥0 h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊ p : ℝ≥0∞ h0 : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ snorm f ⊤ μ ≤ c • snorm g ⊤ μ exact snormEssSup_le_nnreal_smul_snormEssSup_of_ae_le_mul h Qed
MeasureTheory.le_mul_iff_eq_zero_of_nonneg_of_neg_of_nonneg ** α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c ⊢ a ≤ b * c ↔ a = 0 ∧ c = 0 constructor case mp α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c ⊢ a ≤ b * c → a = 0 ∧ c = 0 intro h case mp α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c h : a ≤ b * c ⊢ a = 0 ∧ c = 0 exact ⟨(h.trans (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hb.le hc)).antisymm ha, (nonpos_of_mul_nonneg_right (ha.trans h) hb).antisymm hc⟩ case mpr α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α a b c : α ha : 0 ≤ a hb : b < 0 hc : 0 ≤ c ⊢ a = 0 ∧ c = 0 → a ≤ b * c rintro ⟨rfl, rfl⟩ case mpr.intro α✝ : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α✝ p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α✝ inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedAddCommGroup G α : Type u_5 inst✝ : LinearOrderedSemiring α b : α hb : b < 0 ha hc : 0 ≤ 0 ⊢ 0 ≤ b * 0 rw [mul_zero] Qed
MeasureTheory.snorm'_le_snorm'_mul_snorm' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ snorm' (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ rw [snorm'] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ ** calc (∫⁻ a : α, ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ a : α, ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) := (ENNReal.rpow_le_rpow_iff <\| one_div_pos.mpr hp0_lt).mpr <\| lintegral_mono_ae <\| h.mono fun a ha => (ENNReal.rpow_le_rpow_iff hp0_lt).mpr <\| ENNReal.coe_le_coe.mpr <\| ha _ ≤ _ := ?_ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ (∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ simp_rw [snorm', ENNReal.coe_mul] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q✝ : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p q r : ℝ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F hg : AEStronglyMeasurable g μ b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ hp0_lt : 0 < p hpq : p < q hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r ⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ r ∂μ) ^ (1 / r) exact ENNReal.lintegral_Lp_mul_le_Lq_mul_Lr hp0_lt hpq hpqr μ hf.ennnorm hg.ennnorm Qed
MeasureTheory.snorm_le_snorm_mul_snorm_top ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f p μ * snorm g ⊤ μ rw [← snorm_norm f, ← snorm_norm g] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ * snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ refine' (snorm_mono_ae_real h).trans _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => (fun a => ↑a) (‖f x‖₊ * ‖g x‖₊)) p μ ≤ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ * snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ simp_rw [mul_comm ‖f _‖₊, val_eq_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => ‖g x‖ * ‖f x‖) p μ ≤ snorm (fun x => ‖f x‖) p μ * snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ rw [mul_comm] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ snorm (fun x => ‖g x‖ * ‖f x‖) p μ ≤ snorm (fun x => ‖g x‖) ⊤ μ * snorm (fun x => ‖f x‖) p μ refine' snorm_le_snorm_top_mul_snorm p (fun x => ‖g x‖) hf.norm _ (h.mono fun x _ => _) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ x : α x✝ : ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ ‖(fun x => ‖g x‖) x * ‖f x‖‖₊ ≤ ‖(fun x => ‖g x‖) x‖₊ * ‖‖f x‖‖₊ simp_rw [nnnorm_mul] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G p : ℝ≥0∞ f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ g : α → F b : E → F → G h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ x : α x✝ : ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊ ⊢ ‖‖g x‖‖₊ * ‖‖f x‖‖₊ ≤ ‖‖g x‖‖₊ * ‖‖f x‖‖₊ rfl Qed
MeasureTheory.Memℒp.smul_of_top_right α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f p hφ : Memℒp φ ⊤ ⊢ Memℒp (φ • f) p apply hf.smul hφ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f p hφ : Memℒp φ ⊤ ⊢ 1 / p = 1 / ⊤ + 1 / p simp only [ENNReal.div_top, zero_add] ** Qed
MeasureTheory.Memℒp.smul_of_top_left α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f ⊤ hφ : Memℒp φ p ⊢ Memℒp (φ • f) p apply hf.smul hφ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → E φ : α → 𝕜 hf : Memℒp f ⊤ hφ : Memℒp φ p ⊢ 1 / p = 1 / p + 1 / ⊤ simp only [ENNReal.div_top, add_zero] ** Qed
MeasureTheory.snorm'_const_smul α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • snorm' f q μ obtain rfl \| hc := eq_or_ne c 0 case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q hc : c ≠ 0 ⊢ snorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • snorm' f q μ refine' le_antisymm (snorm'_const_smul_le _ _ hq_pos) _ case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q hc : c ≠ 0 ⊢ ‖c‖₊ • snorm' f q μ ≤ snorm' (c • f) q μ have : snorm' _ q μ ≤ _ := snorm'_const_smul_le c⁻¹ (c • f) hq_pos case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F c : 𝕜 hq_pos : 0 < q hc : c ≠ 0 this : snorm' (c⁻¹ • c • f) q μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • snorm' (c • f) q μ ⊢ ‖c‖₊ • snorm' f q μ ≤ snorm' (c • f) q μ rwa [inv_smul_smul₀ hc, nnnorm_inv, ENNReal.le_inv_smul_iff (nnnorm_ne_zero_iff.mpr hc)] at this case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F hq_pos : 0 < q ⊢ snorm' (0 • f) q μ = ‖0‖₊ • snorm' f q μ simp [snorm', hq_pos] ** Qed
MeasureTheory.snormEssSup_const_smul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F ⊢ snormEssSup (c • f) μ = ↑‖c‖₊ * snormEssSup f μ simp_rw [snormEssSup, Pi.smul_apply, nnnorm_smul, ENNReal.coe_mul, ENNReal.essSup_const_mul] Qed
MeasureTheory.snorm_const_smul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F ⊢ snorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * snorm f p μ obtain rfl \| hc := eq_or_ne c 0 case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F hc : c ≠ 0 ⊢ snorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * snorm f p μ refine' le_antisymm (snorm_const_smul_le _ _) _ case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F hc : c ≠ 0 ⊢ ↑‖c‖₊ * snorm f p μ ≤ snorm (c • f) p μ have : snorm _ p μ ≤ _ := snorm_const_smul_le c⁻¹ (c • f) case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F c : 𝕜 f : α → F hc : c ≠ 0 this : snorm (c⁻¹ • c • f) p μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • snorm (c • f) p μ ⊢ ↑‖c‖₊ * snorm f p μ ≤ snorm (c • f) p μ rwa [inv_smul_smul₀ hc, nnnorm_inv, ENNReal.le_inv_smul_iff (nnnorm_ne_zero_iff.mpr hc)] at this case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G 𝕜 : Type u_5 inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜 inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E inst✝² : Module 𝕜 F inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F f : α → F ⊢ snorm (0 • f) p μ = ↑‖0‖₊ * snorm f p μ simp Qed
MeasureTheory.snorm_indicator_ge_of_bdd_below α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ C • ↑↑μ s ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ snorm (Set.indicator s f) p μ rw [ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp hp', ENNReal.le_rpow_one_div_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp'), ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ ENNReal.toReal_nonneg, ← ENNReal.rpow_mul, one_div_mul_cancel (ENNReal.toReal_pos hp hp').ne.symm, ENNReal.rpow_one, ← set_lintegral_const, ← lintegral_indicator _ hs] α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ ∫⁻ (a : α), Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖Set.indicator s f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ refine' lintegral_mono_ae _ α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) a ≤ ↑‖Set.indicator s f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p filter_upwards [hf] with x hx case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑‖Set.indicator s f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p rw [nnnorm_indicator_eq_indicator_nnnorm] case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑(Set.indicator s (fun a => ‖f a‖₊) x) ^ ENNReal.toReal p by_cases hxs : x ∈ s case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ hxs : x ∈ s ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑(Set.indicator s (fun a => ‖f a‖₊) x) ^ ENNReal.toReal p simp only [Set.indicator_of_mem hxs] at hx ⊢ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hxs : x ∈ s hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊ ⊢ ↑C ^ ENNReal.toReal p ≤ ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p exact ENNReal.rpow_le_rpow (ENNReal.coe_le_coe.2 (hx hxs)) ENNReal.toReal_nonneg case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedAddCommGroup G hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ f : α → F C : ℝ≥0 s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ x : α hx : x ∈ s → C ≤ ‖Set.indicator s f x‖₊ hxs : ¬x ∈ s ⊢ Set.indicator s (fun x => ↑C ^ ENNReal.toReal p) x ≤ ↑(Set.indicator s (fun a => ‖f a‖₊) x) ^ ENNReal.toReal p simp [Set.indicator_of_not_mem hxs] ** Qed
MeasureTheory.ae_bdd_liminf_atTop_rpow_of_snorm_bdd α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ by_cases hp0 : p.toReal = 0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ have hp : p ≠ 0 := fun h => by simp [h] at hp0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ have hp' : p ≠ ∞ := fun h => by simp [h] at hp0 case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ refine' ae_lt_top (measurable_liminf fun n => (hfmeas n).nnnorm.coe_nnreal_ennreal.pow_const p.toReal) (lt_of_le_of_lt (lintegral_liminf_le fun n => (hfmeas n).nnnorm.coe_nnreal_ennreal.pow_const p.toReal) (lt_of_le_of_lt _ (ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg ENNReal.toReal_nonneg ENNReal.coe_ne_top : (R : ℝ≥0∞) ^ p.toReal < ∞))).ne case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ ⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ ENNReal.toReal p simp_rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp hp'] at hbdd case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ ↑R ⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ ENNReal.toReal p simp_rw [liminf_eq, eventually_atTop] case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 hp' : p ≠ ⊤ hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≤ ↑R ⊢ sSup {a \| ∃ a_1, ∀ (b : ℕ), b ≥ a_1 → a ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f b a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ} ≤ ↑R ^ ENNReal.toReal p exact sSup_le fun b ⟨a, ha⟩ => (ha a le_rfl).trans ((ENNReal.rpow_one_div_le_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp')).1 (hbdd _)) case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ ENNReal.toReal p) atTop < ⊤ simp only [hp0, ENNReal.rpow_zero] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => 1) atTop < ⊤ refine' eventually_of_forall fun x => _ case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 x : α ⊢ liminf (fun n => 1) atTop < ⊤ rw [liminf_const (1 : ℝ≥0∞)] case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ENNReal.toReal p = 0 x : α ⊢ 1 < ⊤ exact ENNReal.one_lt_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 h : p = 0 ⊢ False simp [h] at hp0 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p✝ : ℝ≥0∞ q : ℝ μ ν : Measure α inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : MeasurableSpace E inst✝ : OpensMeasurableSpace E R : ℝ≥0 p : ℝ≥0∞ f : ℕ → α → E hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n) hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R hp0 : ¬ENNReal.toReal p = 0 hp : p ≠ 0 h : p = ⊤ ⊢ False simp [h] at hp0 ** Qed
Continuous.memℒp_top_of_hasCompactSupport α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X ⊢ Memℒp f ⊤ borelize E α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E ⊢ Memℒp f ⊤ rcases hf.bounded_above_of_compact_support h'f with ⟨C, hC⟩ case intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E C : ℝ hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C ⊢ Memℒp f ⊤ apply memℒp_top_of_bound ?_ C (Filter.eventually_of_forall hC) α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 G : Type u_4 m m0 : MeasurableSpace α p : ℝ≥0∞ q : ℝ μ✝ ν : Measure α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedAddCommGroup G X : Type u_5 inst✝² : TopologicalSpace X inst✝¹ : MeasurableSpace X inst✝ : OpensMeasurableSpace X f : X → E hf : Continuous f h'f : HasCompactSupport f μ : Measure X this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E C : ℝ hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C ⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x) μ exact (hf.stronglyMeasurable_of_hasCompactSupport h'f).aestronglyMeasurable ** Qed
IsPiSystem.singleton α : Type u_1 S : Set α ⊢ IsPiSystem {S} intro s h_s t h_t _ α : Type u_1 S s : Set α h_s : s ∈ {S} t : Set α h_t : t ∈ {S} a✝ : Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ s ∩ t ∈ {S} rw [Set.mem_singleton_iff.1 h_s, Set.mem_singleton_iff.1 h_t, Set.inter_self, Set.mem_singleton_iff] ** Qed
IsPiSystem.insert_empty α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S ⊢ IsPiSystem (insert ∅ S) intro s hs t ht hst α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s : Set α hs : s ∈ insert ∅ S t : Set α ht : t ∈ insert ∅ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S cases' hs with hs hs case inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert ∅ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s = ∅ ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S simp [hs] case inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert ∅ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S cases' ht with ht ht case inr.inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t = ∅ ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S simp [ht] case inr.inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert ∅ S exact Set.mem_insert_of_mem _ (h_pi s hs t ht hst) ** Qed
IsPiSystem.insert_univ α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S ⊢ IsPiSystem (insert univ S) intro s hs t ht hst α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s : Set α hs : s ∈ insert univ S t : Set α ht : t ∈ insert univ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S cases' hs with hs hs case inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert univ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s = univ ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S cases' ht with ht ht <;> simp [hs, ht] case inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α ht : t ∈ insert univ S hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S cases' ht with ht ht case inr.inl α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t = univ ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S simp [hs, ht] case inr.inr α : Type u_1 S : Set (Set α) h_pi : IsPiSystem S s t : Set α hst : Set.Nonempty (s ∩ t) hs : s ∈ S ht : t ∈ S ⊢ s ∩ t ∈ insert univ S exact Set.mem_insert_of_mem _ (h_pi s hs t ht hst) ** Qed
IsPiSystem.comap α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β ⊢ IsPiSystem {s \| ∃ t, t ∈ S ∧ f ⁻¹' t = s} rintro _ ⟨s, hs_mem, rfl⟩ _ ⟨t, ht_mem, rfl⟩ hst case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t) ⊢ f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t ∈ {s \| ∃ t, t ∈ S ∧ f ⁻¹' t = s} rw [← Set.preimage_inter] at hst ⊢ case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) ⊢ f ⁻¹' (s ∩ t) ∈ {s \| ∃ t, t ∈ S ∧ f ⁻¹' t = s} refine' ⟨s ∩ t, h_pi s hs_mem t ht_mem _, rfl⟩ case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) ⊢ Set.Nonempty (s ∩ t) by_contra h case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) h : ¬Set.Nonempty (s ∩ t) ⊢ False rw [Set.not_nonempty_iff_eq_empty] at h case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' (s ∩ t)) h : s ∩ t = ∅ ⊢ False rw [h] at hst case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 S : Set (Set β) h_pi : IsPiSystem S f : α → β s : Set β hs_mem : s ∈ S t : Set β ht_mem : t ∈ S hst : Set.Nonempty (f ⁻¹' ∅) h : s ∩ t = ∅ ⊢ False simp at hst ** Qed
isPiSystem_iUnion_of_directed_le α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p ⊢ IsPiSystem (⋃ n, p n) intro t1 ht1 t2 ht2 h α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 : Set α ht1 : t1 ∈ ⋃ n, p n t2 : Set α ht2 : t2 ∈ ⋃ n, p n h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) ⊢ t1 ∩ t2 ∈ ⋃ n, p n rw [Set.mem_iUnion] at ht1 ht2 ⊢ α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 : Set α ht1 : ∃ i, t1 ∈ p i t2 : Set α ht2 : ∃ i, t2 ∈ p i h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i cases' ht1 with n ht1 case intro α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 t2 : Set α ht2 : ∃ i, t2 ∈ p i h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) n : ι ht1 : t1 ∈ p n ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i cases' ht2 with m ht2 case intro.intro α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 t2 : Set α h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) n : ι ht1 : t1 ∈ p n m : ι ht2 : t2 ∈ p m ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i obtain ⟨k, hpnk, hpmk⟩ : ∃ k, p n ≤ p k ∧ p m ≤ p k := hp_directed n m case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 ι : Sort u_2 p : ι → Set (Set α) hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n) hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p t1 t2 : Set α h : Set.Nonempty (t1 ∩ t2) n : ι ht1 : t1 ∈ p n m : ι ht2 : t2 ∈ p m k : ι hpnk : p n ≤ p k hpmk : p m ≤ p k ⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i exact ⟨k, hp_pi k t1 (hpnk ht1) t2 (hpmk ht2) h⟩ ** Qed