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|---|---|
MeasureTheory.ofReal_average ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α f : α → ℝ hf : Integrable f hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f ⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / ↑↑μ univ ** obtain rfl | hμ := eq_or_ne μ 0 ** case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F ν : Measure α s t : Set α f : α → ℝ hf : Integrable f hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae 0] f ⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂0) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂0) / ↑↑0 univ ** simp ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α f : α → ℝ hf : Integrable f hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f hμ : μ ≠ 0 ⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / ↑↑μ univ ** rw [average_eq, smul_eq_mul, ← toReal_inv, ofReal_mul toReal_nonneg,
ofReal_toReal (inv_ne_top.2 <| measure_univ_ne_zero.2 hμ),
ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal hf hf₀, ENNReal.div_eq_inv_mul] ** Qed
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MeasureTheory.toReal_laverage ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α f : α → ℝ≥0∞ hf : AEMeasurable f hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤ ⊢ ENNReal.toReal (⨍⁻ (x : α), f x ∂μ) = ⨍ (x : α), ENNReal.toReal (f x) ∂μ ** rw [average_eq, laverage_eq, smul_eq_mul, toReal_div, div_eq_inv_mul, ←
integral_toReal hf (hf'.mono fun _ => lt_top_iff_ne_top.2)] ** Qed
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MeasureTheory.toReal_setLaverage ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α f : α → ℝ≥0∞ hf : AEMeasurable f hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, f x ≠ ⊤ ⊢ ENNReal.toReal (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) = ⨍ (x : α) in s, ENNReal.toReal (f x) ∂μ ** simpa [laverage_eq] using toReal_laverage hf hf' ** Qed
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MeasureTheory.measure_setAverage_le_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : IntegrableOn f s ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** simpa [integral_neg, neg_div] using measure_le_setAverage_pos hμ hμ₁ hf.neg ** Qed
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MeasureTheory.measure_le_average_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : Integrable f ⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} ** simpa using measure_le_setAverage_pos (Measure.measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _)
hf.integrableOn ** Qed
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MeasureTheory.measure_average_le_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : Integrable f ⊢ 0 < ↑↑μ {x | ⨍ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} ** simpa using measure_setAverage_le_pos (Measure.measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _)
hf.integrableOn ** Qed
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MeasureTheory.exists_not_mem_null_le_average ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : Integrable f hN : ↑↑μ N = 0 ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ ** have := measure_le_average_pos hμ hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : Integrable f hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ ** rw [← measure_diff_null hN] at this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : Integrable f hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N) ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ ** obtain ⟨x, hx, hxN⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero this.ne' ** case intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : Integrable f hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N) x : α hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} hxN : ¬x ∈ N ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ ** exact ⟨x, hxN, hx⟩ ** Qed
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MeasureTheory.exists_not_mem_null_average_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : Integrable f hN : ↑↑μ N = 0 ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍ (a : α), f a ∂μ ≤ f x ** simpa [integral_neg, neg_div] using exists_not_mem_null_le_average hμ hf.neg hN ** Qed
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MeasureTheory.measure_le_integral_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsProbabilityMeasure μ hf : Integrable f ⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ} ** simpa only [average_eq_integral] using
measure_le_average_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf ** Qed
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MeasureTheory.measure_integral_le_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsProbabilityMeasure μ hf : Integrable f ⊢ 0 < ↑↑μ {x | ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} ** simpa only [average_eq_integral] using
measure_average_le_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf ** Qed
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MeasureTheory.exists_not_mem_null_le_integral ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ inst✝ : IsProbabilityMeasure μ hf : Integrable f hN : ↑↑μ N = 0 ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ ** simpa only [average_eq_integral] using
exists_not_mem_null_le_average (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf hN ** Qed
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MeasureTheory.measure_le_setLaverage_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** obtain h | h := eq_or_ne (∫⁻ a in s, f a ∂μ) ∞ ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** have := measure_le_setAverage_pos hμ hμ₁ (integrable_toReal_of_lintegral_ne_top hf h) ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** rw [←setOf_inter_eq_sep, ←Measure.restrict_apply₀
(hf.aestronglyMeasurable.nullMeasurableSet_le aestronglyMeasurable_const)] ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} ⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** rw [←setOf_inter_eq_sep, ←Measure.restrict_apply₀
(hf.ennreal_toReal.aestronglyMeasurable.nullMeasurableSet_le aestronglyMeasurable_const),
←measure_diff_null (measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hf h)] at this ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤}) ⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** refine' this.trans_le (measure_mono _) ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤}) ⊢ {a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤} ⊆ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** rintro x ⟨hfx, hx⟩ ** case inr.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤}) x : α hfx : x ∈ {a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤} ⊢ x ∈ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** dsimp at hfx ** case inr.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤}) x : α hfx : ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤} ⊢ x ∈ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** rwa [←toReal_laverage hf, toReal_le_toReal hx (setLaverage_lt_top h).ne] at hfx ** case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⊤ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ} ** simpa [mul_top, hμ₁, laverage, h, top_div_of_ne_top hμ₁, pos_iff_ne_zero] using hμ ** case inr.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤}) x : α hfx : ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤} ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, f x ≠ ⊤ ** simp_rw [ae_iff, not_ne_iff] ** case inr.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : AEMeasurable f h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ENNReal.toReal (f a) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ} \ {x | f x = ⊤}) x : α hfx : ENNReal.toReal (f x) ≤ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (f a) ∂μ hx : ¬x ∈ {x | f x = ⊤} ⊢ ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | f a = ⊤} = 0 ** exact measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hf h ** Qed
| |
MeasureTheory.measure_setLaverage_le_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** obtain hμ₁ | hμ₁ := eq_or_ne (μ s) ∞ ** case inr α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** obtain ⟨g, hg, hgf, hfg⟩ := exists_measurable_le_lintegral_eq (μ.restrict s) f ** case inr.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** have hfg' : ⨍⁻ a in s, f a ∂μ = ⨍⁻ a in s, g a ∂μ := by simp_rw [laverage_eq, hfg] ** case inr.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** rw [hfg] at hint ** case inr.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** have :=
measure_setAverage_le_pos hμ hμ₁ (integrable_toReal_of_lintegral_ne_top hg.aemeasurable hint) ** case inr.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)} ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** simp_rw [←setOf_inter_eq_sep, ←Measure.restrict_apply₀' hs, hfg'] ** case inr.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x)} ⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a} ** rw [←setOf_inter_eq_sep, ←Measure.restrict_apply₀' hs, ←
measure_diff_null (measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hg.aemeasurable hint)] at this ** case inr.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) ⊢ 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a} ** refine' this.trans_le (measure_mono _) ** case inr.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) ⊢ {a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤} ⊆ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a} ** rintro x ⟨hfx, hx⟩ ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) x : α hfx : x ∈ {a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤} ⊢ x ∈ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a} ** dsimp at hfx ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) x : α hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x) hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤} ⊢ x ∈ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a} ** rw [←toReal_laverage hg.aemeasurable, toReal_le_toReal (setLaverage_lt_top hint).ne hx] at hfx ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) x : α hfx : ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ ≤ g x hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤} ⊢ x ∈ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a} case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) x : α hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x) hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤} ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, g x ≠ ⊤ ** exact hfx.trans (hgf _) ** case inl α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ hμ₁ : ↑↑μ s = ⊤ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x} ** simp [setLaverage_eq, hμ₁] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤ hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ⊢ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ** simp_rw [laverage_eq, hfg] ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) x : α hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x) hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤} ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, g x ≠ ⊤ ** simp_rw [ae_iff, not_ne_iff] ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : ↑↑μ s ≠ 0 hs : NullMeasurableSet s hμ₁ : ↑↑μ s ≠ ⊤ g : α → ℝ≥0∞ hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤ hg : Measurable g hgf : g ≤ f hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ this : 0 < ↑↑(Measure.restrict μ s) ({a | ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g a)} \ {x | g x = ⊤}) x : α hfx : ⨍ (a : α) in s, ENNReal.toReal (g a) ∂μ ≤ ENNReal.toReal (g x) hx : ¬x ∈ {x | g x = ⊤} ⊢ ↑↑(Measure.restrict μ s) {a | g a = ⊤} = 0 ** exact measure_eq_top_of_lintegral_ne_top hg.aemeasurable hint ** Qed
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MeasureTheory.measure_laverage_le_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : μ ≠ 0 hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} ** simpa [hint] using
@measure_setLaverage_le_pos _ _ _ _ f (measure_univ_ne_zero.2 hμ) nullMeasurableSet_univ ** Qed
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MeasureTheory.exists_not_mem_null_laverage_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : μ ≠ 0 hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤ hN : ↑↑μ N = 0 ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x ** have := measure_laverage_le_pos hμ hint ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : μ ≠ 0 hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤ hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x ** rw [←measure_diff_null hN] at this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : μ ≠ 0 hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤ hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N) ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x ** obtain ⟨x, hx, hxN⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero this.ne' ** case intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ hμ : μ ≠ 0 hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤ hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N) x : α hx : x ∈ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} hxN : ¬x ∈ N ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x ** exact ⟨x, hxN, hx⟩ ** Qed
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MeasureTheory.measure_le_laverage_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : AEMeasurable f ⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} ** simpa using
measure_le_setLaverage_pos (measure_univ_ne_zero.2 hμ) (measure_ne_top _ _) hf.restrict ** Qed
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MeasureTheory.exists_not_mem_null_le_laverage ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : AEMeasurable f hN : ↑↑μ N = 0 ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ** have := measure_le_laverage_pos hμ hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : AEMeasurable f hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ** rw [←measure_diff_null hN] at this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : AEMeasurable f hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N) ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ** obtain ⟨x, hx, hxN⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero this.ne' ** case intro.intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ inst✝ : IsFiniteMeasure μ hμ : μ ≠ 0 hf : AEMeasurable f hN : ↑↑μ N = 0 this : 0 < ↑↑μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N) x : α hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} hxN : ¬x ∈ N ⊢ ∃ x, ¬x ∈ N ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ** exact ⟨x, hxN, hx⟩ ** Qed
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MeasureTheory.measure_le_lintegral_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ inst✝ : IsProbabilityMeasure μ hf : AEMeasurable f ⊢ 0 < ↑↑μ {x | f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ} ** simpa only [laverage_eq_lintegral] using
measure_le_laverage_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf ** Qed
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MeasureTheory.measure_lintegral_le_pos ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E inst✝⁴ : CompleteSpace E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace ℝ F inst✝¹ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t N : Set α f : α → ℝ≥0∞ inst✝ : IsProbabilityMeasure μ hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤ ⊢ 0 < ↑↑μ {x | ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} ** simpa only [laverage_eq_lintegral] using
measure_laverage_le_pos (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hint ** Qed
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MeasureTheory.tendsto_integral_smul_of_tendsto_average_norm_sub ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c) ** have g_int : ∀ᶠ i in l, Integrable (g i) μ := by
filter_upwards [(tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one] with i hi
contrapose hi
simp only [integral_undef hi, lt_self_iff_false, not_false_eq_true] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c) ** have := L0.add (hg.smul_const c) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0) this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 (0 + 1 • c)) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c) ** simp only [one_smul, zero_add] at this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0) this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 c) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c) ** exact Tendsto.congr' I this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) ** filter_upwards [(tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one] with i hi ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) i : ι hi : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ ⊢ Integrable (g i) ** contrapose hi ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) i : ι hi : ¬Integrable (g i) ⊢ ¬0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ ** simp only [integral_undef hi, lt_self_iff_false, not_false_eq_true] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) ⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ ** filter_upwards [f_int, g_int, g_supp, g_bound] with i hif hig hisupp hibound ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ ** rw [← integral_smul_const, ← integral_add] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ ∫ (a : α), g i a • (f a - c) + g i a • c ∂μ = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ ** simp only [smul_sub, sub_add_cancel] ** case h.hf α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ Integrable fun y => g i y • (f y - c) ** simp_rw [smul_sub] ** case h.hf α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ Integrable fun y => g i y • f y - g i y • c ** apply Integrable.sub _ (hig.smul_const _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ Integrable fun y => g i y • f y ** have A : Function.support (fun y ↦ g i y • f y) ⊆ a i := by
apply Subset.trans _ hisupp
exact Function.support_smul_subset_left _ _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i ⊢ Integrable fun y => g i y • f y ** rw [← integrableOn_iff_integrable_of_support_subset A] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i ⊢ IntegrableOn (fun y => g i y • f y) (a i) ** apply Integrable.smul_of_top_right hif ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i ⊢ Memℒp (fun y => g i y) ⊤ ** exact memℒp_top_of_bound hig.aestronglyMeasurable.restrict
(K / (μ (a i)).toReal) (eventually_of_forall hibound) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i ** apply Subset.trans _ hisupp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ (support fun y => g i y • f y) ⊆ support (g i) ** exact Function.support_smul_subset_left _ _ ** case h.hg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) i : ι hif : IntegrableOn f (a i) hig : Integrable (g i) hisupp : support (g i) ⊆ a i hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) ⊢ Integrable fun x => g i x • c ** exact hig.smul_const _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0) ** have := hf.const_mul K ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 (K * 0)) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0) ** simp only [mul_zero] at this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0) ** refine' squeeze_zero_norm' _ this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, ‖∫ (y : α), g n y • (f y - c) ∂μ‖ ≤ K * ⨍ (y : α) in a n, ‖f y - c‖ ∂μ ** filter_upwards [g_supp, g_bound, f_int, (tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one]
with i hi h'i h''i hi_int ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ ⊢ ‖∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ‖ ≤ K * ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ ** have mu_ai : μ (a i) < ∞ := by
rw [lt_top_iff_ne_top]
intro h
simp only [h, ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, abs_nonpos_iff] at h'i
have : ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ := by congr; ext y; exact h'i y
simp [this] at hi_int ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ ⊢ ‖∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ‖ ≤ K * ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ ** apply (norm_integral_le_integral_norm _).trans ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ ⊢ ∫ (a : α), ‖g i a • (f a - c)‖ ∂μ ≤ K * ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ ** simp_rw [average_eq, smul_eq_mul, ← integral_mul_left, norm_smul, ← mul_assoc, ← div_eq_mul_inv] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ ⊢ ∫ (a : α), ‖g i a‖ * ‖f a - c‖ ∂μ ≤ ∫ (a_1 : α) in a i, K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖ ∂μ ** have : ∀ x, x ∉ a i → ‖g i x‖ * ‖(f x - c)‖ = 0 := by
intro x hx
have : g i x = 0 := by rw [← Function.nmem_support]; exact fun h ↦ hx (hi h)
simp [this] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ⊢ ∫ (a : α), ‖g i a‖ * ‖f a - c‖ ∂μ ≤ ∫ (a_1 : α) in a i, K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖ ∂μ ** rw [← set_integral_eq_integral_of_forall_compl_eq_zero this (μ := μ)] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ⊢ ∫ (x : α) in a i, ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ ∂μ ≤ ∫ (a_1 : α) in a i, K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖ ∂μ ** refine' integral_mono_of_nonneg (eventually_of_forall (fun x ↦ by positivity)) _
(eventually_of_forall (fun x ↦ _)) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ ⊢ ↑↑μ (a i) < ⊤ ** rw [lt_top_iff_ne_top] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ ⊢ ↑↑μ (a i) ≠ ⊤ ** intro h ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ h : ↑↑μ (a i) = ⊤ ⊢ False ** simp only [h, ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, abs_nonpos_iff] at h'i ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ h : ↑↑μ (a i) = ⊤ h'i : ∀ (x : α), g i x = 0 ⊢ False ** have : ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ := by congr; ext y; exact h'i y ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ h : ↑↑μ (a i) = ⊤ h'i : ∀ (x : α), g i x = 0 this : ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ ⊢ False ** simp [this] at hi_int ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ h : ↑↑μ (a i) = ⊤ h'i : ∀ (x : α), g i x = 0 ⊢ ∫ (y : α), g i y ∂μ = ∫ (y : α), 0 ∂μ ** congr ** case e_f α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ h : ↑↑μ (a i) = ⊤ h'i : ∀ (x : α), g i x = 0 ⊢ (fun y => g i y) = fun y => 0 ** ext y ** case e_f.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ h : ↑↑μ (a i) = ⊤ h'i : ∀ (x : α), g i x = 0 y : α ⊢ g i y = 0 ** exact h'i y ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ ⊢ ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ** intro x hx ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ x : α hx : ¬x ∈ a i ⊢ ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ** have : g i x = 0 := by rw [← Function.nmem_support]; exact fun h ↦ hx (hi h) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ x : α hx : ¬x ∈ a i this : g i x = 0 ⊢ ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ** simp [this] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ x : α hx : ¬x ∈ a i ⊢ g i x = 0 ** rw [← Function.nmem_support] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ x : α hx : ¬x ∈ a i ⊢ ¬x ∈ support (g i) ** exact fun h ↦ hx (hi h) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 x : α ⊢ OfNat.ofNat 0 x ≤ (fun x => ‖g i x‖ * ‖f x - c‖) x ** positivity ** case h.refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ⊢ Integrable fun a_1 => K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖ ** apply (Integrable.sub h''i _).norm.const_mul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ⊢ Integrable fun x => c ** change IntegrableOn (fun _ ↦ c) (a i) μ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 ⊢ IntegrableOn (fun x => c) (a i) ** simp [integrableOn_const, mu_ai] ** case h.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 x : α ⊢ (fun x => ‖g i x‖ * ‖f x - c‖) x ≤ (fun a_1 => K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f a_1 - c‖) x ** dsimp ** case h.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 x : α ⊢ |g i x| * ‖f x - c‖ ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) * ‖f x - c‖ ** gcongr ** case h.refine'_2.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 m0 : MeasurableSpace α inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝³ : CompleteSpace E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F μ ν : Measure α s t : Set α ι : Type u_4 a : ι → Set α l : Filter ι f : α → E c : E g : ι → α → ℝ K : ℝ hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1) g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0) i : ι hi : support (g i) ⊆ a i h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑μ (a i)) h''i : IntegrableOn f (a i) hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ mu_ai : ↑↑μ (a i) < ⊤ this : ∀ (x : α), ¬x ∈ a i → ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0 x : α ⊢ |g i x| ≤ K / ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ (a i)) univ) ** simpa using h'i x ** Qed
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MeasureTheory.aemeasurable_of_exist_almost_disjoint_supersets ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 ⊢ AEMeasurable f ** haveI : Encodable s := s_count.toEncodable ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s h' : ∀ (p q : β), ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u ∩ v) = 0) ⊢ AEMeasurable f ** choose! u v huv using h' ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) ⊢ AEMeasurable f ** let u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q ⊢ AEMeasurable f ** have u'_meas : ∀ i, MeasurableSet (u' i) := by
intro i
exact MeasurableSet.biInter (s_count.mono (inter_subset_left _ _)) fun b _ => (huv i b).1 ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) ⊢ AEMeasurable f ** let f' : α → β := fun x => ⨅ i : s, piecewise (u' i) (fun _ => (i : β)) (fun _ => (⊤ : β)) x ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ⊢ AEMeasurable f ** have f'_meas : Measurable f' := by
apply measurable_iInf
exact fun i => Measurable.piecewise (u'_meas i) measurable_const measurable_const ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' ⊢ AEMeasurable f ** let t := ⋃ (p : s) (q : ↥(s ∩ Ioi p)), u' p ∩ v p q ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊢ AEMeasurable f ** have μt : μ t ≤ 0 :=
calc
μ t ≤ ∑' (p : s) (q : ↥(s ∩ Ioi p)), μ (u' p ∩ v p q) := by
refine (measure_iUnion_le _).trans ?_
refine ENNReal.tsum_le_tsum fun p => ?_
refine @measure_iUnion_le _ _ _ _ ?_ _
exact (s_count.mono (inter_subset_left _ _)).to_subtype
_ ≤ ∑' (p : s) (q : ↥(s ∩ Ioi p)), μ (u p q ∩ v p q) := by
refine ENNReal.tsum_le_tsum fun p => ?_
refine ENNReal.tsum_le_tsum fun q => measure_mono ?_
exact inter_subset_inter_left _ (biInter_subset_of_mem q.2)
_ = ∑' (p : s) (_ : ↥(s ∩ Ioi p)), (0 : ℝ≥0∞) := by
congr
ext1 p
congr
ext1 q
exact (huv p q).2.2.2.2 p.2 q.2.1 q.2.2
_ = 0 := by simp only [tsum_zero] ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 ff' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = f' x ⊢ AEMeasurable f ** exact ⟨f', f'_meas, ff'⟩ ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s ⊢ ∀ (p q : β), ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u ∩ v) = 0) ** intro p q ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s p q : β ⊢ ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u ∩ v) = 0) ** by_cases H : p ∈ s ∧ q ∈ s ∧ p < q ** case pos α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s p q : β H : p ∈ s ∧ q ∈ s ∧ p < q ⊢ ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u ∩ v) = 0) ** rcases h p H.1 q H.2.1 H.2.2 with ⟨u, v, hu, hv, h'u, h'v, hμ⟩ ** case pos.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s p q : β H : p ∈ s ∧ q ∈ s ∧ p < q u v : Set α hu : MeasurableSet u hv : MeasurableSet v h'u : {x | f x < p} ⊆ u h'v : {x | q < f x} ⊆ v hμ : ↑↑μ (u ∩ v) = 0 ⊢ ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u ∩ v) = 0) ** exact ⟨u, v, hu, hv, h'u, h'v, fun _ _ _ => hμ⟩ ** case neg α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s p q : β H : ¬(p ∈ s ∧ q ∈ s ∧ p < q) ⊢ ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u ∩ v) = 0) ** refine'
⟨univ, univ, MeasurableSet.univ, MeasurableSet.univ, subset_univ _, subset_univ _,
fun ps qs pq => _⟩ ** case neg α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s p q : β H : ¬(p ∈ s ∧ q ∈ s ∧ p < q) ps : p ∈ s qs : q ∈ s pq : p < q ⊢ ↑↑μ (univ ∩ univ) = 0 ** simp only [not_and] at H ** case neg α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s p q : β ps : p ∈ s qs : q ∈ s pq : p < q H : p ∈ s → q ∈ s → ¬p < q ⊢ ↑↑μ (univ ∩ univ) = 0 ** exact (H ps qs pq).elim ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q ⊢ ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) ** intro i ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q i : β ⊢ MeasurableSet (u' i) ** exact MeasurableSet.biInter (s_count.mono (inter_subset_left _ _)) fun b _ => (huv i b).1 ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ⊢ Measurable f' ** apply measurable_iInf ** case hf α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ⊢ ∀ (i : ↑s), Measurable fun b => piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) b ** exact fun i => Measurable.piecewise (u'_meas i) measurable_const measurable_const ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊢ ↑↑μ t ≤ ∑' (p : ↑s) (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u' ↑p ∩ v ↑p ↑q) ** refine (measure_iUnion_le _).trans ?_ ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊢ ∑' (i : ↑s), ↑↑μ (⋃ q, u' ↑i ∩ v ↑i ↑q) ≤ ∑' (p : ↑s) (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u' ↑p ∩ v ↑p ↑q) ** refine ENNReal.tsum_le_tsum fun p => ?_ ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q p : ↑s ⊢ ↑↑μ (⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q) ≤ ∑' (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u' ↑p ∩ v ↑p ↑q) ** refine @measure_iUnion_le _ _ _ _ ?_ _ ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q p : ↑s ⊢ Countable ↑(s ∩ Ioi ↑p) ** exact (s_count.mono (inter_subset_left _ _)).to_subtype ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊢ ∑' (p : ↑s) (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u' ↑p ∩ v ↑p ↑q) ≤ ∑' (p : ↑s) (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q) ** refine ENNReal.tsum_le_tsum fun p => ?_ ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q p : ↑s ⊢ ∑' (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u' ↑p ∩ v ↑p ↑q) ≤ ∑' (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q) ** refine ENNReal.tsum_le_tsum fun q => measure_mono ?_ ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q p : ↑s q : ↑(s ∩ Ioi ↑p) ⊢ u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊆ u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q ** exact inter_subset_inter_left _ (biInter_subset_of_mem q.2) ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊢ ∑' (p : ↑s) (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q) = ∑' (p : ↑s) (x : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), 0 ** congr ** case e_f α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊢ (fun p => ∑' (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q)) = fun p => ∑' (x : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), 0 ** ext1 p ** case e_f.h α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q p : ↑s ⊢ ∑' (q : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), ↑↑μ (u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q) = ∑' (x : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), 0 ** congr ** case e_f.h.e_f α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q p : ↑s ⊢ (fun q => ↑↑μ (u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q)) = fun x => 0 ** ext1 q ** case e_f.h.e_f.h α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q p : ↑s q : ↑(s ∩ Ioi ↑p) ⊢ ↑↑μ (u ↑p ↑q ∩ v ↑p ↑q) = 0 ** exact (huv p q).2.2.2.2 p.2 q.2.1 q.2.2 ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q ⊢ ∑' (p : ↑s) (x : ↑(s ∩ Ioi ↑p)), 0 = 0 ** simp only [tsum_zero] ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = f' x ** have : ∀ᵐ x ∂μ, x ∉ t := by
have : μ t = 0 := le_antisymm μt bot_le
change μ _ = 0
convert this
ext y
simp only [not_exists, exists_prop, mem_setOf_eq, mem_compl_iff, not_not_mem] ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = f' x ** filter_upwards [this] with x hx ** case h α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t ⊢ f x = f' x ** apply (iInf_eq_of_forall_ge_of_forall_gt_exists_lt _ _).symm ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t ** have : μ t = 0 := le_antisymm μt bot_le ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ↑↑μ t = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t ** change μ _ = 0 ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ↑↑μ t = 0 ⊢ ↑↑μ {x | (fun x => ¬x ∈ t) x}ᶜ = 0 ** convert this ** case h.e'_2.h.e'_3 α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ↑↑μ t = 0 ⊢ {x | (fun x => ¬x ∈ t) x}ᶜ = t ** ext y ** case h.e'_2.h.e'_3.h α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ↑↑μ t = 0 y : α ⊢ y ∈ {x | (fun x => ¬x ∈ t) x}ᶜ ↔ y ∈ t ** simp only [not_exists, exists_prop, mem_setOf_eq, mem_compl_iff, not_not_mem] ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t ⊢ ∀ (i : ↑s), f x ≤ piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ** intro i ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t i : ↑s ⊢ f x ≤ piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ** by_cases H : x ∈ u' i ** case pos α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t i : ↑s H : x ∈ u' ↑i ⊢ f x ≤ piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x case neg α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t i : ↑s H : ¬x ∈ u' ↑i ⊢ f x ≤ piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ** swap ** case pos α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t i : ↑s H : x ∈ u' ↑i ⊢ f x ≤ piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ** simp only [H, piecewise_eq_of_mem] ** case pos α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t i : ↑s H : x ∈ u' ↑i ⊢ f x ≤ ↑i ** contrapose! hx ** case pos α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α i : ↑s H : x ∈ u' ↑i hx : ↑i < f x ⊢ x ∈ t ** obtain ⟨r, ⟨xr, rq⟩, rs⟩ : ∃ r, r ∈ Ioo (i : β) (f x) ∩ s :=
dense_iff_inter_open.1 s_dense (Ioo i (f x)) isOpen_Ioo (nonempty_Ioo.2 hx) ** case pos.intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α i : ↑s H : x ∈ u' ↑i hx : ↑i < f x r : β rs : r ∈ s xr : ↑i < r rq : r < f x ⊢ x ∈ t ** have A : x ∈ v i r := (huv i r).2.2.2.1 rq ** case pos.intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α i : ↑s H : x ∈ u' ↑i hx : ↑i < f x r : β rs : r ∈ s xr : ↑i < r rq : r < f x A : x ∈ v (↑i) r ⊢ x ∈ t ** refine mem_iUnion.2 ⟨i, ?_⟩ ** case pos.intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α i : ↑s H : x ∈ u' ↑i hx : ↑i < f x r : β rs : r ∈ s xr : ↑i < r rq : r < f x A : x ∈ v (↑i) r ⊢ x ∈ ⋃ q, u' ↑i ∩ v ↑i ↑q ** refine mem_iUnion.2 ⟨⟨r, ⟨rs, xr⟩⟩, ?_⟩ ** case pos.intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α i : ↑s H : x ∈ u' ↑i hx : ↑i < f x r : β rs : r ∈ s xr : ↑i < r rq : r < f x A : x ∈ v (↑i) r ⊢ x ∈ u' ↑i ∩ v ↑i ↑{ val := r, property := (_ : r ∈ s ∧ r ∈ Ioi ↑i) } ** exact ⟨H, A⟩ ** case neg α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t i : ↑s H : ¬x ∈ u' ↑i ⊢ f x ≤ piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x ** simp only [H, le_top, not_false_iff, piecewise_eq_of_not_mem] ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t ⊢ ∀ (w : β), f x < w → ∃ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x < w ** intro q hq ** α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t q : β hq : f x < q ⊢ ∃ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x < q ** obtain ⟨r, ⟨xr, rq⟩, rs⟩ : ∃ r, r ∈ Ioo (f x) q ∩ s :=
dense_iff_inter_open.1 s_dense (Ioo (f x) q) isOpen_Ioo (nonempty_Ioo.2 hq) ** case intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t q : β hq : f x < q r : β rs : r ∈ s xr : f x < r rq : r < q ⊢ ∃ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x < q ** refine' ⟨⟨r, rs⟩, _⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t q : β hq : f x < q r : β rs : r ∈ s xr : f x < r rq : r < q ⊢ piecewise (u' ↑{ val := r, property := rs }) (fun x => ↑{ val := r, property := rs }) (fun x => ⊤) x < q ** have A : x ∈ u' r := mem_biInter fun i _ => (huv r i).2.2.1 xr ** case intro.intro.intro α : Type u_1 m : MeasurableSpace α μ : Measure α β : Type u_2 inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β inst✝⁵ : DenselyOrdered β inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : SecondCountableTopology β inst✝¹ : MeasurableSpace β inst✝ : BorelSpace β s : Set β s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s f : α → β h : ∀ (p : β), p ∈ s → ∀ (q : β), q ∈ s → p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ ↑↑μ (u ∩ v) = 0 this✝ : Encodable ↑s u v : β → β → Set α huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → ↑↑μ (u p q ∩ v p q) = 0) u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i) f' : α → β := fun x => ⨅ i, piecewise (u' ↑i) (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x f'_meas : Measurable f' t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q μt : ↑↑μ t ≤ 0 this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ t x : α hx : ¬x ∈ t q : β hq : f x < q r : β rs : r ∈ s xr : f x < r rq : r < q A : x ∈ u' r ⊢ piecewise (u' ↑{ val := r, property := rs }) (fun x => ↑{ val := r, property := rs }) (fun x => ⊤) x < q ** simp only [A, rq, piecewise_eq_of_mem, Subtype.coe_mk] ** Qed
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torusMap_sub_center ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝ : NormedAddCommGroup E c : Fin n → ℂ R θ : Fin n → ℝ ⊢ torusMap c R θ - c = torusMap 0 R θ ** ext1 i ** case h n : ℕ E : Type u_1 inst✝ : NormedAddCommGroup E c : Fin n → ℂ R θ : Fin n → ℝ i : Fin n ⊢ (torusMap c R θ - c) i = torusMap 0 R θ i ** simp [torusMap] ** Qed
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torusMap_eq_center_iff ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝ : NormedAddCommGroup E c : Fin n → ℂ R θ : Fin n → ℝ ⊢ torusMap c R θ = c ↔ R = 0 ** simp [funext_iff, torusMap, exp_ne_zero] ** Qed
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TorusIntegrable.torusIntegrable_const ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝ : NormedAddCommGroup E f g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ a : E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ ⊢ TorusIntegrable (fun x => a) c R ** simp [TorusIntegrable, measure_Icc_lt_top] ** Qed
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TorusIntegrable.function_integrable ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ inst✝ : NormedSpace ℂ E hf : TorusIntegrable f c R ⊢ IntegrableOn (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (Icc 0 fun x => 2 * π) ** refine' (hf.norm.const_mul (∏ i, |R i|)).mono' _ _ ** case refine'_2 n : ℕ E : Type u_1 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ inst✝ : NormedSpace ℂ E hf : TorusIntegrable f c R ⊢ ∀ᵐ (a : Fin n → ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc 0 fun x => 2 * π), ‖(∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(a i) * I) * I) • f (torusMap c R a)‖ ≤ (∏ i : Fin n, |R i|) * ‖f (torusMap c R a)‖ ** simp [norm_smul, map_prod] ** case refine'_1 n : ℕ E : Type u_1 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ inst✝ : NormedSpace ℂ E hf : TorusIntegrable f c R ⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (Measure.restrict volume (Icc 0 fun x => 2 * π)) ** refine (Continuous.aestronglyMeasurable ?_).smul hf.1 ** case refine'_1 n : ℕ E : Type u_1 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ inst✝ : NormedSpace ℂ E hf : TorusIntegrable f c R ⊢ Continuous fun θ => ∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I ** continuity ** Qed
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torusIntegral_radius_zero ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ hn : n ≠ 0 f : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ ⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, 0), f x) = 0 ** simp only [torusIntegral, Pi.zero_apply, ofReal_zero, mul_zero, zero_mul, Fin.prod_const,
zero_pow' n hn, zero_smul, integral_zero] ** Qed
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torusIntegral_neg ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ ⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), -f x) = -∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x ** simp [torusIntegral, integral_neg] ** Qed
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torusIntegral_add ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f g : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ hf : TorusIntegrable f c R hg : TorusIntegrable g c R ⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x + g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) + ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x ** simpa only [torusIntegral, smul_add, Pi.add_apply] using
integral_add hf.function_integrable hg.function_integrable ** Qed
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torusIntegral_smul ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E inst✝³ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ 𝕜 : Type u_2 inst✝² : IsROrC 𝕜 inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝ : SMulCommClass 𝕜 ℂ E a : 𝕜 f : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ ⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), a • f x) = a • ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x ** simp only [torusIntegral, integral_smul, ← smul_comm a (_ : ℂ) (_ : E)] ** Qed
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norm_torusIntegral_le_of_norm_le_const ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f g : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ C : ℝ hf : ∀ (θ : Fin n → ℝ), ‖f (torusMap c R θ)‖ ≤ C θ : Fin n → ℝ x✝ : θ ∈ Icc 0 fun x => 2 * π ⊢ ‖(∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)‖ = (∏ i : Fin n, |R i|) * ‖f (torusMap c R θ)‖ ** simp [norm_smul] ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f g : (Fin n → ℂ) → E c : Fin n → ℂ R : Fin n → ℝ C : ℝ hf : ∀ (θ : Fin n → ℝ), ‖f (torusMap c R θ)‖ ≤ C ⊢ (∏ i : Fin n, |R i|) * C * ENNReal.toReal (↑↑volume (Icc 0 fun x => 2 * π)) = ((2 * π) ^ n * ∏ i : Fin n, |R i|) * C ** simp only [Pi.zero_def, Real.volume_Icc_pi_toReal fun _ => Real.two_pi_pos.le, sub_zero,
Fin.prod_const, mul_assoc, mul_comm ((2 * π) ^ (n : ℕ))] ** Qed
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torusIntegral_dim1 ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin 1 → ℂ) → E c : Fin 1 → ℂ R : Fin 1 → ℝ ⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z ** have H₁ : (((MeasurableEquiv.funUnique _ _).symm) ⁻¹' Icc 0 fun _ => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) :=
(OrderIso.funUnique (Fin 1) ℝ).symm.preimage_Icc _ _ ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin 1 → ℂ) → E c : Fin 1 → ℂ R : Fin 1 → ℝ H₁ : (↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z ** have H₂ : torusMap c R = fun θ _ ↦ circleMap (c 0) (R 0) (θ 0) := by
ext θ i : 2
rw [Subsingleton.elim i 0]; rfl ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin 1 → ℂ) → E c : Fin 1 → ℂ R : Fin 1 → ℝ H₁ : (↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) H₂ : torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0) ⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z ** rw [torusIntegral, circleIntegral, intervalIntegral.integral_of_le Real.two_pi_pos.le,
Measure.restrict_congr_set Ioc_ae_eq_Icc,
← ((volume_preserving_funUnique (Fin 1) ℝ).symm _).set_integral_preimage_emb
(MeasurableEquiv.measurableEmbedding _), H₁, H₂] ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin 1 → ℂ) → E c : Fin 1 → ℂ R : Fin 1 → ℝ H₁ : (↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) H₂ : torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0) ⊢ ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (∏ i : Fin 1, ↑(R i) * cexp (↑(↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) x i) * I) * I) • f ((fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)) (↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) x)) = ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap (c 0) (R 0)) x • f fun x_1 => circleMap (c 0) (R 0) x ** simp [circleMap_zero] ** n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin 1 → ℂ) → E c : Fin 1 → ℂ R : Fin 1 → ℝ H₁ : (↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ⊢ torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0) ** ext θ i : 2 ** case h.h n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin 1 → ℂ) → E c : Fin 1 → ℂ R : Fin 1 → ℝ H₁ : (↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) θ : Fin 1 → ℝ i : Fin 1 ⊢ torusMap c R θ i = circleMap (c 0) (R 0) (θ 0) ** rw [Subsingleton.elim i 0] ** case h.h n : ℕ E : Type u_1 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace ℂ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ g : (Fin n → ℂ) → E c✝ : Fin n → ℂ R✝ : Fin n → ℝ f : (Fin 1 → ℂ) → E c : Fin 1 → ℂ R : Fin 1 → ℝ H₁ : (↑(MeasurableEquiv.symm (MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ)) ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) θ : Fin 1 → ℝ i : Fin 1 ⊢ torusMap c R θ 0 = circleMap (c 0) (R 0) (θ 0) ** rfl ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_congr_set_ae ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hst : s =ᵐ[μ] t ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ ** rw [Measure.restrict_congr_set hst] ** Qed
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MeasureTheory.integral_union_ae ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hst : AEDisjoint μ s t ht : NullMeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s hft : IntegrableOn f t ⊢ ∫ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ + ∫ (x : α) in t, f x ∂μ ** simp only [IntegrableOn, Measure.restrict_union₀ hst ht, integral_add_measure hfs hft] ** Qed
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MeasureTheory.integral_diff ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : MeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s hts : t ⊆ s ⊢ ∫ (x : α) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ - ∫ (x : α) in t, f x ∂μ ** rw [eq_sub_iff_add_eq, ← integral_union, diff_union_of_subset hts] ** case hst α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : MeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s hts : t ⊆ s ⊢ Disjoint (s \ t) t case ht α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : MeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s hts : t ⊆ s ⊢ MeasurableSet t case hfs α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : MeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s hts : t ⊆ s ⊢ IntegrableOn (fun x => f x) (s \ t) case hft α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : MeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s hts : t ⊆ s ⊢ IntegrableOn (fun x => f x) t ** exacts [disjoint_sdiff_self_left, ht, hfs.mono_set (diff_subset _ _), hfs.mono_set hts] ** Qed
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MeasureTheory.integral_inter_add_diff₀ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : NullMeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s ⊢ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ + ∫ (x : α) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** rw [← Measure.restrict_inter_add_diff₀ s ht, integral_add_measure] ** case hμ α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : NullMeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s ⊢ Integrable fun x => f x ** exact Integrable.mono_measure hfs (Measure.restrict_mono (inter_subset_left _ _) le_rfl) ** case hν α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : NullMeasurableSet t hfs : IntegrableOn f s ⊢ Integrable fun x => f x ** exact Integrable.mono_measure hfs (Measure.restrict_mono (diff_subset _ _) le_rfl) ** Qed
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MeasureTheory.integral_finset_biUnion ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t : Finset ι s : ι → Set α hs : ∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i) h's : Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) hf : ∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i) ⊢ ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ ** induction' t using Finset.induction_on with a t hat IH hs h's ** case empty α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t : Finset ι s : ι → Set α hs✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i) h's✝ : Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i) hs : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → MeasurableSet (s i) h's : Set.Pairwise (↑∅) (Disjoint on s) hf : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → IntegrableOn f (s i) ⊢ ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ ∅, s i, f x ∂μ = ∑ i in ∅, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ ** simp ** case insert α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝¹ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t✝ : Finset ι s : ι → Set α hs✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → MeasurableSet (s i) h's✝ : Set.Pairwise (↑t✝) (Disjoint on s) hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → IntegrableOn f (s i) a : ι t : Finset ι hat : ¬a ∈ t IH : (∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i)) → Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) → (∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i)) → ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ hs : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → MeasurableSet (s i) h's : Set.Pairwise (↑(insert a t)) (Disjoint on s) hf : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → IntegrableOn f (s i) ⊢ ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ insert a t, s i, f x ∂μ = ∑ i in insert a t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ ** simp only [Finset.coe_insert, Finset.forall_mem_insert, Set.pairwise_insert,
Finset.set_biUnion_insert] at hs hf h's ⊢ ** case insert α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝¹ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t✝ : Finset ι s : ι → Set α hs✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → MeasurableSet (s i) h's✝ : Set.Pairwise (↑t✝) (Disjoint on s) hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → IntegrableOn f (s i) a : ι t : Finset ι hat : ¬a ∈ t IH : (∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i)) → Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) → (∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i)) → ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ hs : MeasurableSet (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → MeasurableSet (s x) hf : IntegrableOn f (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → IntegrableOn f (s x) h's : Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) ∧ ∀ (b : ι), b ∈ ↑t → a ≠ b → (Disjoint on s) a b ∧ (Disjoint on s) b a ⊢ ∫ (x : α) in s a ∪ ⋃ x ∈ t, s x, f x ∂μ = ∑ i in insert a t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ ** rw [integral_union _ _ hf.1 (integrableOn_finset_iUnion.2 hf.2)] ** case insert α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝¹ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t✝ : Finset ι s : ι → Set α hs✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → MeasurableSet (s i) h's✝ : Set.Pairwise (↑t✝) (Disjoint on s) hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → IntegrableOn f (s i) a : ι t : Finset ι hat : ¬a ∈ t IH : (∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i)) → Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) → (∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i)) → ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ hs : MeasurableSet (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → MeasurableSet (s x) hf : IntegrableOn f (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → IntegrableOn f (s x) h's : Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) ∧ ∀ (b : ι), b ∈ ↑t → a ≠ b → (Disjoint on s) a b ∧ (Disjoint on s) b a ⊢ ∫ (x : α) in s a, f x ∂μ + ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in insert a t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ ** rw [Finset.sum_insert hat, IH hs.2 h's.1 hf.2] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝¹ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t✝ : Finset ι s : ι → Set α hs✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → MeasurableSet (s i) h's✝ : Set.Pairwise (↑t✝) (Disjoint on s) hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → IntegrableOn f (s i) a : ι t : Finset ι hat : ¬a ∈ t IH : (∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i)) → Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) → (∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i)) → ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ hs : MeasurableSet (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → MeasurableSet (s x) hf : IntegrableOn f (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → IntegrableOn f (s x) h's : Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) ∧ ∀ (b : ι), b ∈ ↑t → a ≠ b → (Disjoint on s) a b ∧ (Disjoint on s) b a ⊢ Disjoint (s a) (⋃ i ∈ t, s i) ** simp only [disjoint_iUnion_right] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝¹ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t✝ : Finset ι s : ι → Set α hs✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → MeasurableSet (s i) h's✝ : Set.Pairwise (↑t✝) (Disjoint on s) hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → IntegrableOn f (s i) a : ι t : Finset ι hat : ¬a ∈ t IH : (∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i)) → Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) → (∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i)) → ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ hs : MeasurableSet (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → MeasurableSet (s x) hf : IntegrableOn f (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → IntegrableOn f (s x) h's : Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) ∧ ∀ (b : ι), b ∈ ↑t → a ≠ b → (Disjoint on s) a b ∧ (Disjoint on s) b a ⊢ ∀ (i : ι), i ∈ t → Disjoint (s a) (s i) ** exact fun i hi => (h's.2 i hi (ne_of_mem_of_not_mem hi hat).symm).1 ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t✝¹ : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 t✝ : Finset ι s : ι → Set α hs✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → MeasurableSet (s i) h's✝ : Set.Pairwise (↑t✝) (Disjoint on s) hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ t✝ → IntegrableOn f (s i) a : ι t : Finset ι hat : ¬a ∈ t IH : (∀ (i : ι), i ∈ t → MeasurableSet (s i)) → Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) → (∀ (i : ι), i ∈ t → IntegrableOn f (s i)) → ∫ (x : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i in t, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ hs : MeasurableSet (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → MeasurableSet (s x) hf : IntegrableOn f (s a) ∧ ∀ (x : ι), x ∈ t → IntegrableOn f (s x) h's : Set.Pairwise (↑t) (Disjoint on s) ∧ ∀ (b : ι), b ∈ ↑t → a ≠ b → (Disjoint on s) a b ∧ (Disjoint on s) b a ⊢ MeasurableSet (⋃ i ∈ t, s i) ** exact Finset.measurableSet_biUnion _ hs.2 ** Qed
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MeasureTheory.integral_fintype_iUnion ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 inst✝ : Fintype ι s : ι → Set α hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i) h's : Pairwise (Disjoint on s) hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) ⊢ ∫ (x : α) in ⋃ i, s i, f x ∂μ = ∑ i : ι, ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ ** convert integral_finset_biUnion Finset.univ (fun i _ => hs i) _ fun i _ => hf i ** case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_4.h.e'_3.h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 inst✝ : Fintype ι s : ι → Set α hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i) h's : Pairwise (Disjoint on s) hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) x✝ : ι ⊢ s x✝ = ⋃ (_ : x✝ ∈ Finset.univ), s x✝ ** simp ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 inst✝ : Fintype ι s : ι → Set α hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i) h's : Pairwise (Disjoint on s) hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) ⊢ Set.Pairwise (↑Finset.univ) (Disjoint on fun i => s i) ** simp [pairwise_univ, h's] ** Qed
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MeasureTheory.integral_empty ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ⊢ ∫ (x : α) in ∅, f x ∂μ = 0 ** rw [Measure.restrict_empty, integral_zero_measure] ** Qed
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MeasureTheory.integral_univ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ⊢ ∫ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ** rw [Measure.restrict_univ] ** Qed
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MeasureTheory.integral_add_compl₀ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hs : NullMeasurableSet s hfi : Integrable f ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ** rw [← integral_union_ae (@disjoint_compl_right (Set α) _ _).aedisjoint hs.compl hfi.integrableOn
hfi.integrableOn,
union_compl_self, integral_univ] ** Qed
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MeasureTheory.integral_indicator ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hs : MeasurableSet s ⊢ ∫ (x : α), indicator s f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** by_cases hfi : IntegrableOn f s μ ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hs : MeasurableSet s hfi : IntegrableOn f s ⊢ ∫ (x : α), indicator s f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hs : MeasurableSet s hfi : ¬IntegrableOn f s ⊢ ∫ (x : α), indicator s f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** swap ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hs : MeasurableSet s hfi : ¬IntegrableOn f s ⊢ ∫ (x : α), indicator s f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** rwa [integral_undef, integral_undef] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hs : MeasurableSet s hfi : ¬IntegrableOn f s ⊢ ¬Integrable fun x => indicator s f x ** rwa [integrable_indicator_iff hs] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hs : MeasurableSet s hfi : IntegrableOn f s ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** simp ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_indicator ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht : MeasurableSet t ⊢ ∫ (x : α) in s, indicator t f x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ ** rw [integral_indicator ht, Measure.restrict_restrict ht, Set.inter_comm] ** Qed
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MeasureTheory.ofReal_set_integral_one_of_measure_ne_top ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α✝ → E s✝ t : Set α✝ μ✝ ν : Measure α✝ l l' : Filter α✝ inst✝ : NormedSpace ℝ E α : Type u_5 m : MeasurableSpace α μ : Measure α s : Set α hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α) in s, 1 ∂μ) = ENNReal.ofReal (∫ (x : α) in s, ‖1‖ ∂μ) ** simp only [norm_one] ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α✝ → E s✝ t : Set α✝ μ✝ ν : Measure α✝ l l' : Filter α✝ inst✝ : NormedSpace ℝ E α : Type u_5 m : MeasurableSpace α μ : Measure α s : Set α hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α) in s, ‖1‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂μ ** rw [ofReal_integral_norm_eq_lintegral_nnnorm (integrableOn_const.2 (Or.inr hs.lt_top))] ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α✝ → E s✝ t : Set α✝ μ✝ ν : Measure α✝ l l' : Filter α✝ inst✝ : NormedSpace ℝ E α : Type u_5 m : MeasurableSpace α μ : Measure α s : Set α hs : ↑↑μ s ≠ ⊤ ⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖1‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂μ ** simp only [nnnorm_one, ENNReal.coe_one] ** Qed
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MeasureTheory.hasSum_integral_iUnion_ae ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 inst✝ : Countable ι s : ι → Set α hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s) hfi : IntegrableOn f (⋃ i, s i) ⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α) in s n, f a ∂μ) (∫ (a : α) in ⋃ n, s n, f a ∂μ) ** simp only [IntegrableOn, Measure.restrict_iUnion_ae hd hm] at hfi ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E ι : Type u_5 inst✝ : Countable ι s : ι → Set α hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s) hfi : Integrable f ⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α) in s n, f a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum fun i => Measure.restrict μ (s i)) ** exact hasSum_integral_measure hfi ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_eq_zero_of_ae_eq_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = 0 ** by_cases hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t) ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = 0 case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : ¬AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = 0 ** swap ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = 0 ** have : ∫ x in t, hf.mk f x ∂μ = 0 := by
refine' integral_eq_zero_of_ae _
rw [EventuallyEq,
ae_restrict_iff (hf.stronglyMeasurable_mk.measurableSet_eq_fun stronglyMeasurable_zero)]
filter_upwards [ae_imp_of_ae_restrict hf.ae_eq_mk, ht_eq] with x hx h'x h''x
rw [← hx h''x]
exact h'x h''x ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) this : ∫ (x : α) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0 ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = 0 ** rw [← this] ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) this : ∫ (x : α) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0 ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ ** exact integral_congr_ae hf.ae_eq_mk ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : ¬AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = 0 ** rw [integral_undef] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : ¬AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ ¬Integrable fun x => f x ** contrapose! hf ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : Integrable fun x => f x ⊢ AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ** exact hf.1 ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ ∫ (x : α) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0 ** refine' integral_eq_zero_of_ae _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ (fun x => AEStronglyMeasurable.mk f hf x) =ᵐ[Measure.restrict μ t] 0 ** rw [EventuallyEq,
ae_restrict_iff (hf.stronglyMeasurable_mk.measurableSet_eq_fun stronglyMeasurable_zero)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → AEStronglyMeasurable.mk f hf x = OfNat.ofNat 0 x ** filter_upwards [ae_imp_of_ae_restrict hf.ae_eq_mk, ht_eq] with x hx h'x h''x ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) x : α hx : x ∈ t → f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x h'x : x ∈ t → f x = 0 h''x : x ∈ t ⊢ AEStronglyMeasurable.mk f hf x = OfNat.ofNat 0 x ** rw [← hx h''x] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t → f x = 0 hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ t) x : α hx : x ∈ t → f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x h'x : x ∈ t → f x = 0 h''x : x ∈ t ⊢ f x = OfNat.ofNat 0 x ** exact h'x h''x ** Qed
| |
MeasureTheory.integral_union_eq_left_of_ae_aux ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) ⊢ ∫ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** let k := f ⁻¹' {0} ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} ⊢ ∫ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** have hk : MeasurableSet k := by borelize E; exact haux.measurable (measurableSet_singleton _) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k ⊢ ∫ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** have h's : IntegrableOn f s μ := H.mono (subset_union_left _ _) le_rfl ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k h's : IntegrableOn f s ⊢ ∫ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** have A : ∀ u : Set α, ∫ x in u ∩ k, f x ∂μ = 0 := fun u =>
set_integral_eq_zero_of_forall_eq_zero fun x hx => hx.2 ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k h's : IntegrableOn f s A : ∀ (u : Set α), ∫ (x : α) in u ∩ k, f x ∂μ = 0 ⊢ ∫ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** rw [← integral_inter_add_diff hk h's, ← integral_inter_add_diff hk H, A, A, zero_add, zero_add,
union_diff_distrib, union_comm] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k h's : IntegrableOn f s A : ∀ (u : Set α), ∫ (x : α) in u ∩ k, f x ∂μ = 0 ⊢ ∫ (x : α) in t \ k ∪ s \ k, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s \ k, f x ∂μ ** apply set_integral_congr_set_ae ** case hst α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k h's : IntegrableOn f s A : ∀ (u : Set α), ∫ (x : α) in u ∩ k, f x ∂μ = 0 ⊢ t \ k ∪ s \ k =ᵐ[μ] s \ k ** rw [union_ae_eq_right] ** case hst α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k h's : IntegrableOn f s A : ∀ (u : Set α), ∫ (x : α) in u ∩ k, f x ∂μ = 0 ⊢ ↑↑μ ((t \ k) \ (s \ k)) = 0 ** apply measure_mono_null (diff_subset _ _) ** case hst α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k h's : IntegrableOn f s A : ∀ (u : Set α), ∫ (x : α) in u ∩ k, f x ∂μ = 0 ⊢ ↑↑μ (t \ k) = 0 ** rw [measure_zero_iff_ae_nmem] ** case hst α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k h's : IntegrableOn f s A : ∀ (u : Set α), ∫ (x : α) in u ∩ k, f x ∂μ = 0 ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ¬a ∈ t \ k ** filter_upwards [ae_imp_of_ae_restrict ht_eq] with x hx h'x using h'x.2 (hx h'x.1) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} ⊢ MeasurableSet k ** borelize E ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E ht_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x = 0 haux : StronglyMeasurable f H : IntegrableOn f (s ∪ t) k : Set α := f ⁻¹' {0} this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E ⊢ MeasurableSet k ** exact haux.measurable (measurableSet_singleton _) ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_eq_of_subset_of_ae_diff_eq_zero_aux ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** let k := f ⁻¹' {0} ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** have hk : MeasurableSet k := by borelize E; exact haux.measurable (measurableSet_singleton _) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} ⊢ MeasurableSet k ** borelize E ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E this✝ : BorelSpace E ⊢ MeasurableSet k ** exact haux.measurable (measurableSet_singleton _) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k ⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t ∩ k, f x ∂μ + ∫ (x : α) in t \ k, f x ∂μ ** rw [integral_inter_add_diff hk h'aux] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k ⊢ ∫ (x : α) in t ∩ k, f x ∂μ + ∫ (x : α) in t \ k, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t \ k, f x ∂μ ** rw [set_integral_eq_zero_of_forall_eq_zero fun x hx => ?_, zero_add] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t ∩ k ⊢ f x = 0 ** exact hx.2 ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k ⊢ ∫ (x : α) in t \ k, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s \ k, f x ∂μ ** apply set_integral_congr_set_ae ** case hst α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k ⊢ t \ k =ᵐ[μ] s \ k ** filter_upwards [h't] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 ⊢ (t \ k) x = (s \ k) x ** change (x ∈ t \ k) = (x ∈ s \ k) ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 ⊢ (x ∈ t \ k) = (x ∈ s \ k) ** simp only [mem_preimage, mem_singleton_iff, eq_iff_iff, and_congr_left_iff, mem_diff] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 ⊢ ¬f x = 0 → (x ∈ t ↔ x ∈ s) ** intro h'x ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 h'x : ¬f x = 0 ⊢ x ∈ t ↔ x ∈ s ** by_cases xs : x ∈ s ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 h'x : ¬f x = 0 xs : x ∈ s ⊢ x ∈ t ↔ x ∈ s ** simp only [xs, hts xs] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 h'x : ¬f x = 0 xs : ¬x ∈ s ⊢ x ∈ t ↔ x ∈ s ** simp only [xs, iff_false_iff] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 h'x : ¬f x = 0 xs : ¬x ∈ s ⊢ ¬x ∈ t ** intro xt ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k x : α hx : x ∈ t \ s → f x = 0 h'x : ¬f x = 0 xs : ¬x ∈ s xt : x ∈ t ⊢ False ** exact h'x (hx ⟨xt, xs⟩) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k ⊢ ∫ (x : α) in s \ k, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ k, f x ∂μ + ∫ (x : α) in s \ k, f x ∂μ ** have : ∀ x ∈ s ∩ k, f x = 0 := fun x hx => hx.2 ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k this : ∀ (x : α), x ∈ s ∩ k → f x = 0 ⊢ ∫ (x : α) in s \ k, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ k, f x ∂μ + ∫ (x : α) in s \ k, f x ∂μ ** rw [set_integral_eq_zero_of_forall_eq_zero this, zero_add] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E hts : s ⊆ t h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0 haux : StronglyMeasurable f h'aux : IntegrableOn f t k : Set α := f ⁻¹' {0} hk : MeasurableSet k ⊢ ∫ (x : α) in s ∩ k, f x ∂μ + ∫ (x : α) in s \ k, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** rw [integral_inter_add_diff hk (h'aux.mono hts le_rfl)] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_eq_integral_of_ae_compl_eq_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ s → f x = 0 ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ** symm ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ s → f x = 0 ⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** nth_rw 1 [← integral_univ] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ s → f x = 0 ⊢ ∫ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** apply set_integral_eq_of_subset_of_ae_diff_eq_zero nullMeasurableSet_univ (subset_univ _) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬x ∈ s → f x = 0 ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ univ \ s → f x = 0 ** filter_upwards [h] with x hx h'x using hx h'x.2 ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_neg_eq_set_integral_nonpos ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ∫ (x : α) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ ** have h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} := by
ext; simp_rw [Set.mem_union, Set.mem_setOf_eq]; exact le_iff_lt_or_eq ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} ⊢ ∫ (x : α) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ ** rw [h_union] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} ⊢ ∫ (x : α) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : α) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ ** have B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} μ :=
hf.nullMeasurableSet_eq_fun aestronglyMeasurable_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} ⊢ ∫ (x : α) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : α) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ ** symm ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} ⊢ ∫ (x : α) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ = ∫ (x : α) in {x | f x < 0}, f x ∂μ ** refine' integral_union_eq_left_of_ae _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ {x | f x = 0}, f x = 0 ** filter_upwards [ae_restrict_mem₀ B] with x hx using hx ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} ** ext ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ x✝ : α ⊢ x✝ ∈ {x | f x ≤ 0} ↔ x✝ ∈ {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0} ** simp_rw [Set.mem_union, Set.mem_setOf_eq] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : LinearOrder E f : α → E hf : AEStronglyMeasurable f μ x✝ : α ⊢ f x✝ ≤ 0 ↔ f x✝ < 0 ∨ f x✝ = 0 ** exact le_iff_lt_or_eq ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_const ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E c : E ⊢ ∫ (x : α) in s, c ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ s) • c ** rw [integral_const, Measure.restrict_apply_univ] ** Qed
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MeasureTheory.integral_indicator_const ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s✝ t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E e : E s : Set α s_meas : MeasurableSet s ⊢ ∫ (a : α), indicator s (fun x => e) a ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ s) • e ** rw [integral_indicator s_meas, ← set_integral_const] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_indicatorConstLp ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hs : MeasurableSet s ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : E ⊢ ∫ (a : α) in s, ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt x) a ∂μ = ∫ (a : α) in s, indicator t (fun x_1 => x) a ∂μ ** rw [set_integral_congr_ae hs (indicatorConstLp_coeFn.mono fun x hx _ => hx)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ hs : MeasurableSet s ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : E ⊢ ∫ (a : α) in s, indicator t (fun x_1 => x) a ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s)) • x ** rw [integral_indicator_const _ ht, Measure.restrict_apply ht] ** Qed
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MeasureTheory.integral_indicatorConstLp ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : E ⊢ ∫ (a : α), ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt x) a ∂μ = ∫ (a : α) in univ, ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt x) a ∂μ ** rw [integral_univ] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝³ : MeasurableSpace α inst✝² : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : CompleteSpace E p : ℝ≥0∞ ht : MeasurableSet t hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤ x : E ⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ univ)) • x = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • x ** rw [inter_univ] ** Qed
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MeasurableEmbedding.set_integral_map ** α : Type u_1 β✝ : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g✝ : α → E s✝ t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E β : Type u_5 x✝ : MeasurableSpace β f : α → β hf : MeasurableEmbedding f g : β → E s : Set β ⊢ ∫ (y : β) in s, g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α) in f ⁻¹' s, g (f x) ∂μ ** rw [hf.restrict_map, hf.integral_map] ** Qed
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MeasureTheory.norm_set_integral_le_of_norm_le_const_ae' ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) ⊢ ‖∫ (x : α) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s) ** apply norm_set_integral_le_of_norm_le_const_ae hs ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ C ** have A : ∀ᵐ x : α ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C := by
filter_upwards [hC, hfm.ae_mem_imp_eq_mk] with _ h1 h2 h3
rw [← h2 h3]
exact h1 h3 ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ C ** have B : MeasurableSet {x | ‖(hfm.mk f) x‖ ≤ C} :=
hfm.stronglyMeasurable_mk.norm.measurable measurableSet_Iic ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C B : MeasurableSet {x | ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C} ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ C ** filter_upwards [hfm.ae_eq_mk, (ae_restrict_iff B).2 A] with _ h1 _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C B : MeasurableSet {x | ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C} a✝¹ : α h1 : f a✝¹ = AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹ a✝ : ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹‖ ≤ C ⊢ ‖f a✝¹‖ ≤ C ** rwa [h1] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C ** filter_upwards [hC, hfm.ae_mem_imp_eq_mk] with _ h1 h2 h3 ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) a✝ : α h1 : a✝ ∈ s → ‖f a✝‖ ≤ C h2 : a✝ ∈ s → f a✝ = AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝ h3 : a✝ ∈ s ⊢ ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝‖ ≤ C ** rw [← h2 h3] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) a✝ : α h1 : a✝ ∈ s → ‖f a✝‖ ≤ C h2 : a✝ ∈ s → f a✝ = AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝ h3 : a✝ ∈ s ⊢ ‖f a✝‖ ≤ C ** exact h1 h3 ** Qed
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MeasureTheory.norm_set_integral_le_of_norm_le_const_ae'' ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E C : ℝ hs : ↑↑μ s < ⊤ hsm : MeasurableSet s hC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ‖f x‖ ≤ C ** rwa [ae_restrict_eq hsm, eventually_inf_principal] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_gt_gt ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ {x | R < f x}) * R < ∫ (x : α) in {x | R < f x}, f x ∂μ ** rw [← sub_pos, ← smul_eq_mul, ← set_integral_const, ← integral_sub hfint this,
set_integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 ⊢ IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ** refine' ⟨aestronglyMeasurable_const, lt_of_le_of_lt _ hfint.2⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 ⊢ ∫⁻ (a : α) in {x | R < f x}, ↑‖(fun x => R) a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in {x | R < f x}, ↑‖f a‖₊ ∂μ ** refine'
set_lintegral_mono (Measurable.nnnorm _).coe_nnreal_ennreal hfm.nnnorm.coe_nnreal_ennreal
fun x hx => _ ** case refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 ⊢ Measurable fun a => (fun x => R) a ** exact measurable_const ** case refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 x : α hx : x ∈ {x | R < f x} ⊢ ↑‖(fun x => R) x‖₊ ≤ ↑‖f x‖₊ ** simp only [ENNReal.coe_le_coe, Real.nnnorm_of_nonneg hR,
Real.nnnorm_of_nonneg (hR.trans <| le_of_lt hx), Subtype.mk_le_mk] ** case refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 x : α hx : x ∈ {x | R < f x} ⊢ { val := R, property := hR } ≤ { val := f x, property := (_ : 0 ≤ f x) } ** exact le_of_lt hx ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ 0 < ↑↑μ ((support fun a => f a - R) ∩ {x | R < f x}) ** rw [← zero_lt_iff] at hμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : 0 < ↑↑μ {x | R < f x} this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ 0 < ↑↑μ ((support fun a => f a - R) ∩ {x | R < f x}) ** rwa [Set.inter_eq_self_of_subset_right] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : 0 < ↑↑μ {x | R < f x} this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ {x | R < f x} ⊆ support fun a => f a - R ** exact fun x hx => Ne.symm (ne_of_lt <| sub_pos.2 hx) ** case hf α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ {x | R < f x}] fun a => f a - R ** change ∀ᵐ x ∂μ.restrict _, _ ** case hf α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ {x | R < f x}, OfNat.ofNat 0 x ≤ (fun a => f a - R) x ** rw [ae_restrict_iff] ** case hf α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | R < f x} → OfNat.ofNat 0 x ≤ (fun a => f a - R) x ** exact eventually_of_forall fun x hx => sub_nonneg.2 <| le_of_lt hx ** case hf α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ MeasurableSet {x | OfNat.ofNat 0 x ≤ (fun a => f a - R) x} ** exact measurableSet_le measurable_zero (hfm.sub measurable_const) ** case hfi α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α → E s t : Set α μ ν : Measure α l l' : Filter α inst✝ : NormedSpace ℝ E R : ℝ f : α → ℝ hR : 0 ≤ R hfm : Measurable f hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} hμ : ↑↑μ {x | R < f x} ≠ 0 this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} ⊢ IntegrableOn (fun a => f a - R) {x | R < f x} ** exact Integrable.sub hfint this ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_trim ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ g : α✝ → E s✝ t : Set α✝ μ✝ ν : Measure α✝ l l' : Filter α✝ inst✝ : NormedSpace ℝ E α : Type u_5 m m0 : MeasurableSpace α μ : Measure α hm : m ≤ m0 f : α → E hf_meas : StronglyMeasurable f s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.trim μ hm ** rwa [integral_trim hm hf_meas, restrict_trim hm μ] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_mono_on ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ s t : Set α hf : IntegrableOn f s hg : IntegrableOn g s hs : MeasurableSet s h : ∀ (x : α), x ∈ s → f x ≤ g x ⊢ (fun a => f a) ≤ᵐ[Measure.restrict μ s] fun a => g a ** simp [hs, EventuallyLE, eventually_inf_principal, ae_of_all _ h] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_mono_on_ae ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ s t : Set α hf : IntegrableOn f s hg : IntegrableOn g s hs : MeasurableSet s h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x ⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫ (a : α) in s, g a ∂μ ** refine' set_integral_mono_ae_restrict hf hg _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ s t : Set α hf : IntegrableOn f s hg : IntegrableOn g s hs : MeasurableSet s h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x ⊢ (fun a => f a) ≤ᵐ[Measure.restrict μ s] fun a => g a ** rwa [EventuallyLE, ae_restrict_iff' hs] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_ge_of_const_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ s t : Set α hf✝ : IntegrableOn f s hg : IntegrableOn g s c : ℝ hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : ∀ (x : α), x ∈ s → c ≤ f x hfint : IntegrableOn (fun x => f x) s ⊢ c * ENNReal.toReal (↑↑μ s) ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** rw [mul_comm, ← smul_eq_mul, ← set_integral_const c] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f g : α → ℝ s t : Set α hf✝ : IntegrableOn f s hg : IntegrableOn g s c : ℝ hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ hf : ∀ (x : α), x ∈ s → c ≤ f x hfint : IntegrableOn (fun x => f x) s ⊢ ∫ (x : α) in s, c ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ** exact set_integral_mono_on (integrableOn_const.2 (Or.inr hμs.lt_top)) hfint hs hf ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_nonneg_ae ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s → 0 ≤ f a ⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.restrict μ s] fun a => f a ** rwa [EventuallyLE, ae_restrict_iff' hs] ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_le_nonneg ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ s✝ s : Set α hs : MeasurableSet s hf : StronglyMeasurable f hfi : Integrable f ⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in {y | 0 ≤ f y}, f x ∂μ ** rw [← integral_indicator hs, ←
integral_indicator (stronglyMeasurable_const.measurableSet_le hf)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ s✝ s : Set α hs : MeasurableSet s hf : StronglyMeasurable f hfi : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), indicator s (fun x => f x) x ∂μ ≤ ∫ (x : α), indicator {a | 0 ≤ f a} (fun x => f x) x ∂μ ** exact
integral_mono (hfi.indicator hs)
(hfi.indicator (stronglyMeasurable_const.measurableSet_le hf))
(indicator_le_indicator_nonneg s f) ** Qed
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MeasureTheory.set_integral_nonpos_ae ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝ : MeasurableSpace α μ : Measure α f : α → ℝ s : Set α hs : MeasurableSet s hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s → f a ≤ 0 ⊢ (fun a => f a) ≤ᵐ[Measure.restrict μ s] 0 ** rwa [EventuallyLE, ae_restrict_iff' hs] ** Qed
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Antitone.tendsto_set_integral ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ)) ** let bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ)) ** have h_int_eq : (fun i => ∫ a in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ a, (s i).indicator f a ∂μ :=
funext fun i => (integral_indicator (hsm i)).symm ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ)) ** rw [h_int_eq] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ)) ** rw [← integral_indicator (MeasurableSet.iInter hsm)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), indicator (⋂ b, s b) (fun a => f a) x ∂μ)) ** refine' tendsto_integral_of_dominated_convergence bound _ _ _ _ ** case refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun a => indicator (s n) f a) μ ** intro n ** case refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ n : ℕ ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => indicator (s n) f a) μ ** rw [aestronglyMeasurable_indicator_iff (hsm n)] ** case refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ n : ℕ ⊢ AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ (s n)) ** exact (IntegrableOn.mono_set hfi (h_anti (zero_le n))).1 ** case refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ Integrable bound ** rw [integrable_indicator_iff (hsm 0)] ** case refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ IntegrableOn (fun a => ‖f a‖) (s 0) ** exact hfi.norm ** case refine'_3 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖indicator (s n) f a‖ ≤ bound a ** simp_rw [norm_indicator_eq_indicator_norm] ** case refine'_3 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, indicator (s n) (fun a => ‖f a‖) a ≤ indicator (s 0) (fun a => ‖f a‖) a ** refine' fun n => eventually_of_forall fun x => _ ** case refine'_3 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ n : ℕ x : α ⊢ indicator (s n) (fun a => ‖f a‖) x ≤ indicator (s 0) (fun a => ‖f a‖) x ** exact indicator_le_indicator_of_subset (h_anti (zero_le n)) (fun a => norm_nonneg _) _ ** case refine'_4 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝² : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E s : ℕ → Set α f : α → E hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i) h_anti : Antitone s hfi : IntegrableOn f (s 0) bound : α → ℝ := indicator (s 0) fun a => ‖f a‖ h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), indicator (s i) f a ∂μ ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => indicator (s n) f a) atTop (𝓝 (indicator (⋂ b, s b) (fun a => f a) a)) ** filter_upwards [] with a using le_trans (h_anti.tendsto_indicator _ _ _) (pure_le_nhds _) ** Qed
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MeasureTheory.Lp_toLp_restrict_add ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α f g : { x // x ∈ Lp E p } s : Set α ⊢ Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p) = Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p) ** ext1 ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α f g : { x // x ∈ Lp E p } s : Set α ⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p)) =ᵐ[Measure.restrict μ s] ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) ** refine' (ae_restrict_of_ae (Lp.coeFn_add f g)).mp _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α f g : { x // x ∈ Lp E p } s : Set α ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p)) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x ** refine'
(Lp.coeFn_add (Memℒp.toLp f ((Lp.memℒp f).restrict s))
(Memℒp.toLp g ((Lp.memℒp g).restrict s))).mp _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α f g : { x // x ∈ Lp E p } s : Set α ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p))) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p)) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x ** refine' (Memℒp.coeFn_toLp ((Lp.memℒp f).restrict s)).mp _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α f g : { x // x ∈ Lp E p } s : Set α ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p))) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p)) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x ** refine' (Memℒp.coeFn_toLp ((Lp.memℒp g).restrict s)).mp _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α f g : { x // x ∈ Lp E p } s : Set α ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x = ↑↑g x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p))) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p)) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x ** refine' (Memℒp.coeFn_toLp ((Lp.memℒp (f + g)).restrict s)).mono fun x hx1 hx2 hx3 hx4 hx5 => _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α f g : { x // x ∈ Lp E p } s : Set α x : α hx1 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p)) x = ↑↑(f + g) x hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x = ↑↑g x hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x hx4 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p))) x hx5 : ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x ⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) (_ : Memℒp (↑↑(f + g)) p)) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) + Memℒp.toLp ↑↑g (_ : Memℒp (↑↑g) p)) x ** rw [hx4, hx1, Pi.add_apply, hx2, hx3, hx5, Pi.add_apply] ** Qed
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MeasureTheory.Lp_toLp_restrict_smul ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp F p } s : Set α ⊢ Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p) = c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p) ** ext1 ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp F p } s : Set α ⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) =ᵐ[Measure.restrict μ s] ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) ** refine' (ae_restrict_of_ae (Lp.coeFn_smul c f)).mp _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp F p } s : Set α ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x ** refine' (Memℒp.coeFn_toLp ((Lp.memℒp f).restrict s)).mp _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp F p } s : Set α ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x ** refine' (Memℒp.coeFn_toLp ((Lp.memℒp (c • f)).restrict s)).mp _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp F p } s : Set α ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x ** refine'
(Lp.coeFn_smul c (Memℒp.toLp f ((Lp.memℒp f).restrict s))).mono fun x hx1 hx2 hx3 hx4 => _ ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp F p } s : Set α x : α hx1 : ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = (c • ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p))) x hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • f) x hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x = ↑↑f x hx4 : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x ⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) (_ : Memℒp (↑↑(c • f)) p)) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)) x ** rw [hx2, hx1, Pi.smul_apply, hx3, hx4, Pi.smul_apply] ** Qed
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MeasureTheory.norm_Lp_toLp_restrict_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α s : Set α f : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ ‖Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p)‖ ≤ ‖f‖ ** rw [Lp.norm_def, Lp.norm_def, ENNReal.toReal_le_toReal (Lp.snorm_ne_top _) (Lp.snorm_ne_top _)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α s : Set α f : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ snorm (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p))) p (Measure.restrict μ s) ≤ snorm (↑↑f) p μ ** refine' (le_of_eq _).trans (snorm_mono_measure _ Measure.restrict_le_self) ** case refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α s : Set α f : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ snorm (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f (_ : Memℒp (↑↑f) p))) p (Measure.restrict μ s) = snorm (↑↑f) p (Measure.restrict μ ?refine'_2) case refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α inst✝³ : NormedAddCommGroup E 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ μ : Measure α s : Set α f : { x // x ∈ Lp E p } ⊢ Set α ** exact snorm_congr_ae (Memℒp.coeFn_toLp _) ** Qed
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Filter.Tendsto.integral_sub_linear_isLittleO_ae ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ⊢ (fun i => ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ - m i • b) =o[li] m ** suffices
(fun s => (∫ x in s, f x ∂μ) - (μ s).toReal • b) =o[l.smallSets] fun s => (μ s).toReal from
(this.comp_tendsto hs).congr'
(hsμ.mono fun a ha => by dsimp only [Function.comp_apply] at ha ⊢; rw [ha]) hsμ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ⊢ (fun s => ∫ (x : α) in s, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ s) • b) =o[smallSets l] fun s => ENNReal.toReal (↑↑μ s) ** refine' isLittleO_iff.2 fun ε ε₀ => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ε : ℝ ε₀ : 0 < ε ⊢ ∀ᶠ (x : Set α) in smallSets l, ‖∫ (x : α) in x, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ x) • b‖ ≤ ε * ‖ENNReal.toReal (↑↑μ x)‖ ** have : ∀ᶠ s in l.smallSets, ∀ᶠ x in μ.ae, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε :=
eventually_smallSets_eventually.2 (h.eventually <| closedBall_mem_nhds _ ε₀) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ε : ℝ ε₀ : 0 < ε this : ∀ᶠ (s : Set α) in smallSets l, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε ⊢ ∀ᶠ (x : Set α) in smallSets l, ‖∫ (x : α) in x, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ x) • b‖ ≤ ε * ‖ENNReal.toReal (↑↑μ x)‖ ** filter_upwards [hμ.eventually, (hμ.integrableAtFilter_of_tendsto_ae hfm h).eventually,
hfm.eventually, this] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ε : ℝ ε₀ : 0 < ε this : ∀ᶠ (s : Set α) in smallSets l, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε ⊢ ∀ (a : Set α), ↑↑μ a < ⊤ → IntegrableOn f a → AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ a) → (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ a → f x ∈ closedBall b ε) → ‖∫ (x : α) in a, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ a) • b‖ ≤ ε * ‖ENNReal.toReal (↑↑μ a)‖ ** simp only [mem_closedBall, dist_eq_norm] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ε : ℝ ε₀ : 0 < ε this : ∀ᶠ (s : Set α) in smallSets l, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε ⊢ ∀ (a : Set α), ↑↑μ a < ⊤ → IntegrableOn f a → AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ a) → (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ a → ‖f x - b‖ ≤ ε) → ‖∫ (x : α) in a, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ a) • b‖ ≤ ε * ‖ENNReal.toReal (↑↑μ a)‖ ** intro s hμs h_integrable hfm h_norm ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s✝ : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s✝ li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s✝ i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s✝ i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ε : ℝ ε₀ : 0 < ε this : ∀ᶠ (s : Set α) in smallSets l, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε s : Set α hμs : ↑↑μ s < ⊤ h_integrable : IntegrableOn f s hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) h_norm : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x - b‖ ≤ ε ⊢ ‖∫ (x : α) in s, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ s) • b‖ ≤ ε * ‖ENNReal.toReal (↑↑μ s)‖ ** rw [← set_integral_const, ← integral_sub h_integrable (integrableOn_const.2 <| Or.inr hμs),
Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg ENNReal.toReal_nonneg] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s✝ : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s✝ li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s✝ i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s✝ i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ ε : ℝ ε₀ : 0 < ε this : ∀ᶠ (s : Set α) in smallSets l, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε s : Set α hμs : ↑↑μ s < ⊤ h_integrable : IntegrableOn f s hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ s) h_norm : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x - b‖ ≤ ε ⊢ ‖∫ (a : α) in s, f a - b ∂μ‖ ≤ ε * ENNReal.toReal (↑↑μ s) ** exact norm_set_integral_le_of_norm_le_const_ae' hμs h_norm (hfm.sub aestronglyMeasurable_const) ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ this : (fun s => ∫ (x : α) in s, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ s) • b) =o[smallSets l] fun s => ENNReal.toReal (↑↑μ s) a : ι ha : (fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) a = m a ⊢ ((fun s => ∫ (x : α) in s, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ s) • b) ∘ s) a = (fun i => ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ - m i • b) a ** dsimp only [Function.comp_apply] at ha ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁴ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝³ : NormedAddCommGroup E inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : CompleteSpace E μ : Measure α l : Filter α inst✝ : IsMeasurablyGenerated l f : α → E b : E h : Tendsto f (l ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 b) hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l hμ : Measure.FiniteAtFilter μ l s : ι → Set α li : Filter ι hs : Tendsto s li (smallSets l) m : optParam (ι → ℝ) fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i)) hsμ : autoParam ((fun i => ENNReal.toReal (↑↑μ (s i))) =ᶠ[li] m) _auto✝ this : (fun s => ∫ (x : α) in s, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ s) • b) =o[smallSets l] fun s => ENNReal.toReal (↑↑μ s) a : ι ha : ENNReal.toReal (↑↑μ (s a)) = m a ⊢ ∫ (x : α) in s a, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (s a)) • b = ∫ (x : α) in s a, f x ∂μ - m a • b ** rw [ha] ** Qed
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ContinuousLinearMap.continuous_integral_comp_L1 ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedSpace ℝ F L : E →L[𝕜] F ⊢ Continuous fun φ => ∫ (a : α), ↑L (↑↑φ a) ∂μ ** rw [← funext L.integral_compLp] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁴ : IsROrC 𝕜 inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E inst✝² : NormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝ : NormedSpace ℝ F L : E →L[𝕜] F ⊢ Continuous fun x => ∫ (a : α), ↑↑(compLp L x) a ∂μ ** exact continuous_integral.comp (L.compLpL 1 μ).continuous ** Qed
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ContinuousLinearMap.integral_comp_comm ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ ⊢ ∫ (a : α), ↑L (φ a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), φ a ∂μ) ** apply Integrable.induction (P := fun φ => (∫ a, L (φ a) ∂μ) = L (∫ a, φ a ∂μ)) ** case a α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ ⊢ Integrable fun a => φ a ** all_goals assumption ** case h_ind α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ ⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑↑?m.414671 s < ⊤ → ∫ (a : α), ↑L (indicator s (fun x => c) a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), indicator s (fun x => c) a ∂μ) ** intro e s s_meas _ ** case h_ind α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ e : E s : Set α s_meas : MeasurableSet s a✝ : ↑↑?m.414671 s < ⊤ ⊢ ∫ (a : α), ↑L (indicator s (fun x => e) a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), indicator s (fun x => e) a ∂μ) ** rw [integral_indicator_const e s_meas, ← @smul_one_smul E ℝ 𝕜 _ _ _ _ _ (μ s).toReal e,
ContinuousLinearMap.map_smul, @smul_one_smul F ℝ 𝕜 _ _ _ _ _ (μ s).toReal (L e), ←
integral_indicator_const (L e) s_meas] ** case h_ind α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ e : E s : Set α s_meas : MeasurableSet s a✝ : ↑↑?m.414671 s < ⊤ ⊢ ∫ (a : α), ↑L (indicator s (fun x => e) a) ∂μ = ∫ (a : α), indicator s (fun x => ↑L e) a ∂μ ** congr 1 with a ** case h_ind.e_f.h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ e : E s : Set α s_meas : MeasurableSet s a✝ : ↑↑?m.414671 s < ⊤ a : α ⊢ ↑L (indicator s (fun x => e) a) = indicator s (fun x => ↑L e) a ** erw [Set.indicator_comp_of_zero L.map_zero] ** case h_ind.e_f.h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ e : E s : Set α s_meas : MeasurableSet s a✝ : ↑↑?m.414671 s < ⊤ a : α ⊢ ↑L (indicator s (fun x => e) a) = (↑L ∘ indicator s fun x => e) a ** rfl ** case h_add α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ ⊢ ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f → Integrable g → ∫ (a : α), ↑L (f a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), f a ∂μ) → ∫ (a : α), ↑L (g a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), g a ∂μ) → ∫ (a : α), ↑L ((f + g) a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), (f + g) a ∂μ) ** intro f g _ f_int g_int hf hg ** case h_add α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ f g : α → E a✝ : Disjoint (support f) (support g) f_int : Integrable f g_int : Integrable g hf : ∫ (a : α), ↑L (f a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), f a ∂μ) hg : ∫ (a : α), ↑L (g a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), g a ∂μ) ⊢ ∫ (a : α), ↑L ((f + g) a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), (f + g) a ∂μ) ** simp [L.map_add, integral_add (μ := μ) f_int g_int,
integral_add (μ := μ) (L.integrable_comp f_int) (L.integrable_comp g_int), hf, hg] ** case h_closed α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ ⊢ IsClosed {f | ∫ (a : α), ↑L (↑↑f a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ)} ** exact isClosed_eq L.continuous_integral_comp_L1 (L.continuous.comp continuous_integral) ** case h_ae α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ ⊢ ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → Integrable f → ∫ (a : α), ↑L (f a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), f a ∂μ) → ∫ (a : α), ↑L (g a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), g a ∂μ) ** intro f g hfg _ hf ** case h_ae α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ f g : α → E hfg : f =ᵐ[μ] g a✝ : Integrable f hf : ∫ (a : α), ↑L (f a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), f a ∂μ) ⊢ ∫ (a : α), ↑L (g a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), g a ∂μ) ** convert hf using 1 <;> clear hf ** case h.e'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ f g : α → E hfg : f =ᵐ[μ] g a✝ : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), ↑L (g a) ∂μ = ∫ (a : α), ↑L (f a) ∂μ ** exact integral_congr_ae (hfg.fun_comp L).symm ** case h.e'_3 α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ f g : α → E hfg : f =ᵐ[μ] g a✝ : Integrable f ⊢ ↑L (∫ (a : α), g a ∂μ) = ↑L (∫ (a : α), f a ∂μ) ** rw [integral_congr_ae hfg.symm] ** case a α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁷ : IsROrC 𝕜 inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝³ : NormedSpace ℝ F inst✝² : CompleteSpace E inst✝¹ : CompleteSpace F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E →L[𝕜] F φ : α → E φ_int : Integrable φ ⊢ Integrable fun a => φ a ** assumption ** Qed
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ContinuousLinearEquiv.integral_comp_comm ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E ≃L[𝕜] F φ : α → E ⊢ ∫ (a : α), ↑L (φ a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), φ a ∂μ) ** have : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F :=
completeSpace_congr (e := L.toEquiv) L.uniformEmbedding ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E ≃L[𝕜] F φ : α → E this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F ⊢ ∫ (a : α), ↑L (φ a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), φ a ∂μ) ** by_cases hE : CompleteSpace E ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E ≃L[𝕜] F φ : α → E this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F hE : CompleteSpace E ⊢ ∫ (a : α), ↑L (φ a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), φ a ∂μ) ** have : CompleteSpace F := this.1 hE ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E ≃L[𝕜] F φ : α → E this✝ : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F hE : CompleteSpace E this : CompleteSpace F ⊢ ∫ (a : α), ↑L (φ a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), φ a ∂μ) ** exact L.toContinuousLinearMap.integral_comp_comm' L.antilipschitz _ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E ≃L[𝕜] F φ : α → E this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F hE : ¬CompleteSpace E ⊢ ∫ (a : α), ↑L (φ a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), φ a ∂μ) ** have := this.not.1 hE ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : NormedSpace ℝ E L : E ≃L[𝕜] F φ : α → E this✝ : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F hE : ¬CompleteSpace E this : ¬CompleteSpace F ⊢ ∫ (a : α), ↑L (φ a) ∂μ = ↑L (∫ (a : α), φ a ∂μ) ** simp [integral, *] ** Qed
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integral_coe_re_add_coe_im ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁵ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → 𝕜 hf : Integrable f ⊢ ∫ (x : α), ↑(↑IsROrC.re (f x)) ∂μ + (∫ (x : α), ↑(↑IsROrC.im (f x)) ∂μ) * IsROrC.I = ∫ (x : α), f x ∂μ ** rw [mul_comm, ← smul_eq_mul, ← integral_smul, ← integral_add] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁵ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → 𝕜 hf : Integrable f ⊢ ∫ (a : α), ↑(↑IsROrC.re (f a)) + IsROrC.I • ↑(↑IsROrC.im (f a)) ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ ** congr ** case e_f α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁵ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → 𝕜 hf : Integrable f ⊢ (fun a => ↑(↑IsROrC.re (f a)) + IsROrC.I • ↑(↑IsROrC.im (f a))) = fun x => f x ** ext1 x ** case e_f.h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁵ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → 𝕜 hf : Integrable f x : α ⊢ ↑(↑IsROrC.re (f x)) + IsROrC.I • ↑(↑IsROrC.im (f x)) = f x ** rw [smul_eq_mul, mul_comm, IsROrC.re_add_im] ** case hf α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁵ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → 𝕜 hf : Integrable f ⊢ Integrable fun x => ↑(↑IsROrC.re (f x)) ** exact hf.re.ofReal ** case hg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁵ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝³ : IsROrC 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedAddCommGroup F inst✝ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ f : α → 𝕜 hf : Integrable f ⊢ Integrable fun a => IsROrC.I • ↑(↑IsROrC.im (f a)) ** exact hf.im.ofReal.smul (𝕜 := 𝕜) (β := 𝕜) IsROrC.I ** Qed
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fst_integral ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁸ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F f : α → E × F hf : Integrable f ⊢ (∫ (x : α), f x ∂μ).1 = ∫ (x : α), (f x).1 ∂μ ** by_cases hE : CompleteSpace E ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁸ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F f : α → E × F hf : Integrable f hE : CompleteSpace E ⊢ (∫ (x : α), f x ∂μ).1 = ∫ (x : α), (f x).1 ∂μ ** exact ((ContinuousLinearMap.fst ℝ E F).integral_comp_comm hf).symm ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁸ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F f : α → E × F hf : Integrable f hE : ¬CompleteSpace E ⊢ (∫ (x : α), f x ∂μ).1 = ∫ (x : α), (f x).1 ∂μ ** have : ¬(CompleteSpace (E × F)) := fun h ↦ hE <| .fst_of_prod (β := F) ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁸ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁶ : IsROrC 𝕜 inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝² : NormedSpace ℝ E inst✝¹ : NormedSpace ℝ F inst✝ : CompleteSpace F f : α → E × F hf : Integrable f hE : ¬CompleteSpace E this : ¬CompleteSpace (E × F) ⊢ (∫ (x : α), f x ∂μ).1 = ∫ (x : α), (f x).1 ∂μ ** simp [integral, *] ** Qed
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integral_withDensity_eq_integral_smul₀ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E ⊢ (∫ (a : α), g a ∂Measure.withDensity μ fun x => ↑(f x)) = ∫ (a : α), f a • g a ∂μ ** let f' := hf.mk _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf ⊢ (∫ (a : α), g a ∂Measure.withDensity μ fun x => ↑(f x)) = ∫ (a : α), f a • g a ∂μ ** calc
∫ a, g a ∂μ.withDensity (fun x => f x) = ∫ a, g a ∂μ.withDensity fun x => f' x := by
congr 1
apply withDensity_congr_ae
filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with x hx
rw [hx]
_ = ∫ a, f' a • g a ∂μ := (integral_withDensity_eq_integral_smul hf.measurable_mk _)
_ = ∫ a, f a • g a ∂μ := by
apply integral_congr_ae
filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with x hx
rw [hx] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf ⊢ (∫ (a : α), g a ∂Measure.withDensity μ fun x => ↑(f x)) = ∫ (a : α), g a ∂Measure.withDensity μ fun x => ↑(f' x) ** congr 1 ** case e_μ α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf ⊢ (Measure.withDensity μ fun x => ↑(f x)) = Measure.withDensity μ fun x => ↑(f' x) ** apply withDensity_congr_ae ** case e_μ.h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf ⊢ (fun x => ↑(f x)) =ᵐ[μ] fun x => ↑(f' x) ** filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf x : α hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x ⊢ ↑(f x) = ↑(f' x) ** rw [hx] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf ⊢ ∫ (a : α), f' a • g a ∂μ = ∫ (a : α), f a • g a ∂μ ** apply integral_congr_ae ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf ⊢ (fun a => f' a • g a) =ᵐ[μ] fun a => f a • g a ** filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E f' : α → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf x : α hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x ⊢ f' x • g x = f x • g x ** rw [hx] ** Qed
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set_integral_withDensity_eq_set_integral_smul ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁷ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E μ : Measure α 𝕜 : Type u_6 inst✝⁵ : IsROrC 𝕜 inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E inst✝³ : NormedAddCommGroup F inst✝² : NormedSpace 𝕜 F p : ℝ≥0∞ inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : α → ℝ≥0 f_meas : Measurable f g : α → E s : Set α hs : MeasurableSet s ⊢ (∫ (a : α) in s, g a ∂Measure.withDensity μ fun x => ↑(f x)) = ∫ (a : α) in s, f a • g a ∂μ ** rw [restrict_withDensity hs, integral_withDensity_eq_integral_smul f_meas] ** Qed
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MeasureTheory.Integrable.simpleFunc_mul ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f ⊢ Integrable (↑g * f) ** refine'
SimpleFunc.induction (fun c s hs => _)
(fun g₁ g₂ _ h_int₁ h_int₂ =>
(h_int₁.add h_int₂).congr (by rw [SimpleFunc.coe_add, add_mul]))
g ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f c : ℝ s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ Integrable (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const β c) (SimpleFunc.const β 0)) * f) ** simp only [SimpleFunc.const_zero, SimpleFunc.coe_piecewise, SimpleFunc.coe_const,
SimpleFunc.coe_zero, Set.piecewise_eq_indicator] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f c : ℝ s : Set β hs : MeasurableSet s this : Set.indicator s (const β c) * f = Set.indicator s (c • f) ⊢ Integrable (Set.indicator s (const β c) * f) ** rw [this, integrable_indicator_iff hs] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f c : ℝ s : Set β hs : MeasurableSet s this : Set.indicator s (const β c) * f = Set.indicator s (c • f) ⊢ IntegrableOn (c • f) s ** exact (hf.smul c).integrableOn ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f g₁ g₂ : SimpleFunc β ℝ x✝ : Disjoint (support ↑g₁) (support ↑g₂) h_int₁ : Integrable (↑g₁ * f) h_int₂ : Integrable (↑g₂ * f) ⊢ ↑g₁ * f + ↑g₂ * f =ᵐ[μ] ↑(g₁ + g₂) * f ** rw [SimpleFunc.coe_add, add_mul] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f c : ℝ s : Set β hs : MeasurableSet s ⊢ Set.indicator s (const β c) * f = Set.indicator s (c • f) ** ext1 x ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f c : ℝ s : Set β hs : MeasurableSet s x : β ⊢ (Set.indicator s (const β c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x ** by_cases hx : x ∈ s ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f c : ℝ s : Set β hs : MeasurableSet s x : β hx : x ∈ s ⊢ (Set.indicator s (const β c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x ** simp only [hx, Pi.mul_apply, Set.indicator_of_mem, Pi.smul_apply, Algebra.id.smul_eq_mul,
← Function.const_def] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f c : ℝ s : Set β hs : MeasurableSet s x : β hx : ¬x ∈ s ⊢ (Set.indicator s (const β c) * f) x = Set.indicator s (c • f) x ** simp only [hx, Pi.mul_apply, Set.indicator_of_not_mem, not_false_iff, zero_mul] ** Qed
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MeasureTheory.Integrable.simpleFunc_mul' ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f ⊢ Integrable (↑g * f) ** rw [← SimpleFunc.coe_toLargerSpace_eq hm g] ** α : Type u_1 β : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝¹ : MeasurableSpace α ι : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : β → ℝ m m0 : MeasurableSpace β μ : Measure β hm : m ≤ m0 g : SimpleFunc β ℝ hf : Integrable f ⊢ Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm g) * f) ** exact hf.simpleFunc_mul (g.toLargerSpace hm) ** Qed
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intervalIntegrable_iff ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ ⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ι a b) ** rw [uIoc_eq_union, integrableOn_union, IntervalIntegrable] ** Qed
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intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hab : a ≤ b ⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ioc a b) ** rw [intervalIntegrable_iff, uIoc_of_le hab] ** Qed
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intervalIntegrable_iff' ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ inst✝ : NoAtoms μ ⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f [[a, b]] ** rw [intervalIntegrable_iff, ← Icc_min_max, uIoc, integrableOn_Icc_iff_integrableOn_Ioc] ** Qed
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intervalIntegrable_iff_integrable_Icc_of_le ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E f✝ : ℝ → E a✝ b✝ : ℝ μ✝ : Measure ℝ f : ℝ → E a b : ℝ hab : a ≤ b μ : Measure ℝ inst✝ : NoAtoms μ ⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Icc a b) ** rw [intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le hab, integrableOn_Icc_iff_integrableOn_Ioc] ** Qed
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intervalIntegrable_const_iff ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ c : E ⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) μ a b ↔ c = 0 ∨ ↑↑μ (Ι a b) < ⊤ ** simp only [intervalIntegrable_iff, integrableOn_const] ** Qed
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IntervalIntegrable.refl ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a b c d : ℝ μ ν : Measure ℝ ⊢ IntervalIntegrable f μ a a ** constructor <;> simp ** Qed
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IntervalIntegrable.trans_iterate_Ico ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a✝ b c d : ℝ μ ν : Measure ℝ a : ℕ → ℝ m n : ℕ hmn : m ≤ n hint : ∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m n → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1)) ⊢ IntervalIntegrable f μ (a m) (a n) ** revert hint ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a✝ b c d : ℝ μ ν : Measure ℝ a : ℕ → ℝ m n : ℕ hmn : m ≤ n ⊢ (∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m n → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a n) ** refine' Nat.le_induction _ _ n hmn ** case refine'_1 ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a✝ b c d : ℝ μ ν : Measure ℝ a : ℕ → ℝ m n : ℕ hmn : m ≤ n ⊢ (∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m m → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a m) ** simp ** case refine'_2 ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a✝ b c d : ℝ μ ν : Measure ℝ a : ℕ → ℝ m n : ℕ hmn : m ≤ n ⊢ ∀ (n : ℕ), m ≤ n → ((∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m n → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a n)) → (∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m (n + 1) → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a (n + 1)) ** intro p hp IH h ** case refine'_2 ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a✝ b c d : ℝ μ ν : Measure ℝ a : ℕ → ℝ m n : ℕ hmn : m ≤ n p : ℕ hp : m ≤ p IH : (∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m p → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a p) h : ∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m (p + 1) → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1)) ⊢ IntervalIntegrable f μ (a m) (a (p + 1)) ** exact (IH fun k hk => h k (Ico_subset_Ico_right p.le_succ hk)).trans (h p (by simp [hp])) ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f : ℝ → E a✝ b c d : ℝ μ ν : Measure ℝ a : ℕ → ℝ m n : ℕ hmn : m ≤ n p : ℕ hp : m ≤ p IH : (∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m p → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a p) h : ∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m (p + 1) → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1)) ⊢ p ∈ Ico m (p + 1) ** simp [hp] ** Qed
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IntervalIntegrable.intervalIntegrable_norm_iff ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f✝ : ℝ → E a✝ b✝ c d : ℝ μ✝ ν : Measure ℝ f : ℝ → E μ : Measure ℝ a b : ℝ hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ (Ι a b)) ⊢ IntervalIntegrable (fun t => ‖f t‖) μ a b ↔ IntervalIntegrable f μ a b ** simp_rw [intervalIntegrable_iff, IntegrableOn] ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup E f✝ : ℝ → E a✝ b✝ c d : ℝ μ✝ ν : Measure ℝ f : ℝ → E μ : Measure ℝ a b : ℝ hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict μ (Ι a b)) ⊢ (Integrable fun t => ‖f t‖) ↔ Integrable f ** exact integrable_norm_iff hf ** Qed
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IntervalIntegrable.mul_continuousOn ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f✝ g✝ : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ f g : ℝ → A hf : IntervalIntegrable f μ a b hg : ContinuousOn g [[a, b]] ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x * g x) μ a b ** rw [intervalIntegrable_iff] at hf ⊢ ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f✝ g✝ : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ f g : ℝ → A hf : IntegrableOn f (Ι a b) hg : ContinuousOn g [[a, b]] ⊢ IntegrableOn (fun x => f x * g x) (Ι a b) ** exact hf.mul_continuousOn_of_subset hg measurableSet_Ioc isCompact_uIcc Ioc_subset_Icc_self ** Qed
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IntervalIntegrable.continuousOn_mul ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f✝ g✝ : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ f g : ℝ → A hf : IntervalIntegrable f μ a b hg : ContinuousOn g [[a, b]] ⊢ IntervalIntegrable (fun x => g x * f x) μ a b ** rw [intervalIntegrable_iff] at hf ⊢ ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f✝ g✝ : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ f g : ℝ → A hf : IntegrableOn f (Ι a b) hg : ContinuousOn g [[a, b]] ⊢ IntegrableOn (fun x => g x * f x) (Ι a b) ** exact hf.continuousOn_mul_of_subset hg isCompact_uIcc measurableSet_Ioc Ioc_subset_Icc_self ** Qed
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IntervalIntegrable.comp_mul_left ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c) ** rcases eq_or_ne c 0 with (hc | hc) ** case inr ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ hc : c ≠ 0 ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c) ** rw [intervalIntegrable_iff'] at hf ⊢ ** case inr ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 ⊢ IntegrableOn (fun x => f (c * x)) [[a / c, b / c]] ** have A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ :=
(Homeomorph.mulRight₀ _ (inv_ne_zero hc)).closedEmbedding.measurableEmbedding ** case inr ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ ⊢ IntegrableOn (fun x => f (c * x)) [[a / c, b / c]] ** rw [← Real.smul_map_volume_mul_right (inv_ne_zero hc), IntegrableOn, Measure.restrict_smul,
integrable_smul_measure (by simpa : ENNReal.ofReal |c⁻¹| ≠ 0) ENNReal.ofReal_ne_top,
← IntegrableOn, MeasurableEmbedding.integrableOn_map_iff A] ** case inr ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ ⊢ IntegrableOn ((fun x => f (c * x)) ∘ fun x => x * c⁻¹) ((fun x => x * c⁻¹) ⁻¹' [[a / c, b / c]]) ** convert hf using 1 ** case inl ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ hc : c = 0 ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c) ** rw [hc] ** case inl ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ hc : c = 0 ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (0 * x)) volume (a / 0) (b / 0) ** simp ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ ⊢ ENNReal.ofReal |c⁻¹| ≠ 0 ** simpa ** case h.e'_5 ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ ⊢ ((fun x => f (c * x)) ∘ fun x => x * c⁻¹) = f ** ext ** case h.e'_5.h ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ x✝ : ℝ ⊢ ((fun x => f (c * x)) ∘ fun x => x * c⁻¹) x✝ = f x✝ ** simp only [comp_apply] ** case h.e'_5.h ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ x✝ : ℝ ⊢ f (c * (x✝ * c⁻¹)) = f x✝ ** congr 1 ** case h.e'_5.h.e_a ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ x✝ : ℝ ⊢ c * (x✝ * c⁻¹) = x✝ ** field_simp ** case h.e'_5.h.e_a ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ x✝ : ℝ ⊢ c * x✝ = x✝ * c ** ring ** case h.e'_6 ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ ⊢ (fun x => x * c⁻¹) ⁻¹' [[a / c, b / c]] = [[a, b]] ** rw [preimage_mul_const_uIcc (inv_ne_zero hc)] ** case h.e'_6 ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A✝ : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A✝ f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntegrableOn f [[a, b]] c : ℝ hc : c ≠ 0 A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹ ⊢ [[a / c / c⁻¹, b / c / c⁻¹]] = [[a, b]] ** field_simp [hc] ** Qed
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IntervalIntegrable.comp_mul_left_iff ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ c : ℝ hc : c ≠ 0 h : IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c) ⊢ IntervalIntegrable f volume a b ** simpa [hc] using h.comp_mul_left c⁻¹ ** Qed
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IntervalIntegrable.comp_mul_right ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (x * c)) volume (a / c) (b / c) ** simpa only [mul_comm] using comp_mul_left hf c ** Qed
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IntervalIntegrable.comp_add_left ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c + x)) volume (a - c) (b - c) ** simpa only [add_comm] using IntervalIntegrable.comp_add_right hf c ** Qed
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IntervalIntegrable.comp_sub_right ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (x - c)) volume (a + c) (b + c) ** simpa only [sub_neg_eq_add] using IntervalIntegrable.comp_add_right hf (-c) ** Qed
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IntervalIntegrable.comp_sub_left ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedRing A f g : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ hf : IntervalIntegrable f volume a b c : ℝ ⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c - x)) volume (c - a) (c - b) ** simpa only [neg_sub, ← sub_eq_add_neg] using iff_comp_neg.mp (hf.comp_add_left c) ** Qed
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MonotoneOn.intervalIntegrable ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure ℝ inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder E inst✝¹ : OrderTopology E inst✝ : SecondCountableTopology E u : ℝ → E a b : ℝ hu : MonotoneOn u [[a, b]] ⊢ IntervalIntegrable u μ a b ** rw [intervalIntegrable_iff] ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E μ : Measure ℝ inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder E inst✝¹ : OrderTopology E inst✝ : SecondCountableTopology E u : ℝ → E a b : ℝ hu : MonotoneOn u [[a, b]] ⊢ IntegrableOn u (Ι a b) ** exact (hu.integrableOn_isCompact isCompact_uIcc).mono_set Ioc_subset_Icc_self ** Qed
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intervalIntegral.integral_zero ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : NormedSpace ℝ E a b : ℝ f g : ℝ → E μ : Measure ℝ ⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 0 ∂μ = 0 ** simp [intervalIntegral] ** Qed
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intervalIntegral.integral_of_le ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : NormedSpace ℝ E a b : ℝ f g : ℝ → E μ : Measure ℝ h : a ≤ b ⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ ** simp [intervalIntegral, h] ** Qed
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intervalIntegral.integral_symm ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : NormedSpace ℝ E a✝ b✝ : ℝ f g : ℝ → E μ : Measure ℝ a b : ℝ ⊢ ∫ (x : ℝ) in b..a, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ** simp only [intervalIntegral, neg_sub] ** Qed
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intervalIntegral.integral_of_ge ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : NormedSpace ℝ E a b : ℝ f g : ℝ → E μ : Measure ℝ h : b ≤ a ⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ ** simp only [integral_symm b, integral_of_le h] ** Qed
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intervalIntegral.intervalIntegral_eq_integral_uIoc ** ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : NormedSpace ℝ E a✝ b✝ : ℝ f✝ g : ℝ → E μ✝ : Measure ℝ f : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ ⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ** split_ifs with h ** case pos ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : NormedSpace ℝ E a✝ b✝ : ℝ f✝ g : ℝ → E μ✝ : Measure ℝ f : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ h : a ≤ b ⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ** simp only [integral_of_le h, uIoc_of_le h, one_smul] ** case neg ι : Type u_1 𝕜 : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 A : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : CompleteSpace E inst✝ : NormedSpace ℝ E a✝ b✝ : ℝ f✝ g : ℝ → E μ✝ : Measure ℝ f : ℝ → E a b : ℝ μ : Measure ℝ h : ¬a ≤ b ⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ** simp only [integral_of_ge (not_le.1 h).le, uIoc_of_lt (not_le.1 h), neg_one_smul] ** Qed
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Subsets and Splits
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