formal
stringlengths 41
427k
| informal
stringclasses 1
value |
|---|---|
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_setToL1S_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 E T : Set α → E →L[ℝ] F C : ℝ hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s) f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ } ⊢ ‖setToL1S T f‖ ≤ C * ‖f‖ ** rw [setToL1S, norm_eq_sum_mul f] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 E T : Set α → E →L[ℝ] F C : ℝ hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s) f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ } ⊢ ‖SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)‖ ≤ C * ∑ x in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖ ** exact
SimpleFunc.norm_setToSimpleFunc_le_sum_mul_norm_of_integrable T hT_norm _
(SimpleFunc.integrable f) ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM_congr_left ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F' inst✝³ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : NormedField 𝕜 inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E inst✝ : NormedSpace 𝕜 F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' h : T = T' f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ } x✝² : Set α x✝¹ : MeasurableSet x✝² x✝ : ↑↑μ x✝² < ⊤ ⊢ T x✝² = T' x✝² ** rw [h] ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.setToL1_smul ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑(setToL1 hT) (c • f) = c • ↑(setToL1 hT) f ** rw [setToL1_eq_setToL1' hT h_smul, setToL1_eq_setToL1' hT h_smul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x c : 𝕜 f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑(setToL1' 𝕜 hT h_smul) (c • f) = c • ↑(setToL1' 𝕜 hT h_smul) f ** exact ContinuousLinearMap.map_smul _ _ _ ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.setToL1_simpleFunc_indicatorConst ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ x : E ⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x ** rw [setToL1_eq_setToL1SCLM] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ x : E ⊢ ↑(setToL1SCLM α E μ hT) (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x ** exact setToL1S_indicatorConst (fun s => hT.eq_zero_of_measure_zero) hT.1 hs hμs x ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.setToL1_indicatorConstLp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E ⊢ ↑(setToL1 hT) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = ↑(T s) x ** rw [← Lp.simpleFunc.coe_indicatorConst hs hμs x] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E ⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs hμs x) = ↑(T s) x ** exact setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs.lt_top x ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.setToL1_mono_left' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f ** induction f using Lp.induction with
| hp_ne_top h => exact one_ne_top h
| @h_ind c s hs hμs =>
rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs]
exact hTT' s hs hμs c
| @h_add f g hf hg _ hf_le hg_le =>
rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add]
exact add_le_add hf_le hg_le
| h_closed => exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous ** case hp_ne_top α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x h : 1 = ⊤ ⊢ False ** exact one_ne_top h ** case h_ind α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x c : E s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ≤ ↑(setToL1 hT') ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ** rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs] ** case h_ind α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x c : E s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s < ⊤ ⊢ ↑(T s) c ≤ ↑(T' s) c ** exact hTT' s hs hμs c ** case h_add α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f g : α → E hf : Memℒp f 1 hg : Memℒp g 1 a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g) hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf) hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg) ⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg) ** rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add] ** case h_add α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f g : α → E hf : Memℒp f 1 hg : Memℒp g 1 a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g) hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf) hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg) ⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg) ** exact add_le_add hf_le hg_le ** case h_closed α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x ⊢ IsClosed {f | ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f} ** exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.setToL1_mono ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f g : { x // x ∈ Lp G' 1 } hfg : f ≤ g ⊢ ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT) g ** rw [← sub_nonneg] at hfg ⊢ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f g : { x // x ∈ Lp G' 1 } hfg✝ : f ≤ g hfg : 0 ≤ g - f ⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) g - ↑(setToL1 hT) f ** rw [← (setToL1 hT).map_sub] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F inst✝¹² : NormedSpace ℝ F inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F' inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f g : { x // x ∈ Lp G' 1 } hfg✝ : f ≤ g hfg : 0 ≤ g - f ⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) (g - f) ** exact setToL1_nonneg hT hT_nonneg hfg ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_finset_sum' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s : Finset ι f : ι → α → E hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i) ⊢ setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) ** revert hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s : Finset ι f : ι → α → E ⊢ (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) ** refine' Finset.induction_on s _ _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s : Finset ι f : ι → α → E ⊢ (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in ∅, f i) = ∑ i in ∅, setToFun μ T hT (f i) ** intro _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s : Finset ι f : ι → α → E hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → Integrable (f i) ⊢ setToFun μ T hT (∑ i in ∅, f i) = ∑ i in ∅, setToFun μ T hT (f i) ** simp only [setToFun_zero, Finset.sum_empty] ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s : Finset ι f : ι → α → E ⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, ¬a ∈ s → ((∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)) → (∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in insert a s, f i) = ∑ i in insert a s, setToFun μ T hT (f i) ** intro i s his ih hf ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s✝ : Finset ι f : ι → α → E i : ι s : Finset ι his : ¬i ∈ s ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1) ⊢ setToFun μ T hT (∑ i in insert i s, f i) = ∑ i in insert i s, setToFun μ T hT (f i) ** simp only [his, Finset.sum_insert, not_false_iff] ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s✝ : Finset ι f : ι → α → E i : ι s : Finset ι his : ¬i ∈ s ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1) ⊢ setToFun μ T hT (f i + ∑ i in s, f i) = setToFun μ T hT (f i) + ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) ** rw [setToFun_add hT (hf i (Finset.mem_insert_self i s)) _] ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s✝ : Finset ι f : ι → α → E i : ι s : Finset ι his : ¬i ∈ s ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1) ⊢ setToFun μ T hT (f i) + setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = setToFun μ T hT (f i) + ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) ** rw [ih fun i hi => hf i (Finset.mem_insert_of_mem hi)] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s✝ : Finset ι f : ι → α → E i : ι s : Finset ι his : ¬i ∈ s ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1) ⊢ Integrable (∑ i in s, f i) ** convert integrable_finset_sum s fun i hi => hf i (Finset.mem_insert_of_mem hi) with x ** case h.e'_5.h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 s✝ : Finset ι f : ι → α → E i : ι s : Finset ι his : ¬i ∈ s ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1) x : α ⊢ Finset.sum s (fun i => f i) x = ∑ i in s, f i x ** simp ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_sub ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ setToFun μ T hT (f - g) = setToFun μ T hT f - setToFun μ T hT g ** rw [sub_eq_add_neg, sub_eq_add_neg, setToFun_add hT hf hg.neg, setToFun_neg hT g] ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_measure_zero ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C h : μ = 0 ⊢ setToFun μ T hT f = 0 ** have : f =ᵐ[μ] 0 := by simp [h, EventuallyEq] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C h : μ = 0 this : f =ᵐ[μ] 0 ⊢ setToFun μ T hT f = 0 ** rw [setToFun_congr_ae hT this, setToFun_zero] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C h : μ = 0 ⊢ f =ᵐ[μ] 0 ** simp [h, EventuallyEq] ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_indicator_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E ⊢ setToFun μ T hT (indicator s fun x_1 => x) = ↑(T s) x ** rw [setToFun_congr_ae hT (@indicatorConstLp_coeFn _ _ _ 1 _ _ _ hs hμs x).symm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E ⊢ setToFun μ T hT ↑↑(indicatorConstLp 1 hs hμs x) = ↑(T s) x ** rw [L1.setToFun_eq_setToL1 hT] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C s : Set α hs : MeasurableSet s hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤ x : E ⊢ ↑(L1.setToL1 hT) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = ↑(T s) x ** exact L1.setToL1_indicatorConstLp hT hs hμs x ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_const ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E inst✝ : IsFiniteMeasure μ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C x : E ⊢ (setToFun μ T hT fun x_1 => x) = ↑(T Set.univ) x ** have : (fun _ : α => x) = Set.indicator univ fun _ => x := (indicator_univ _).symm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E inst✝ : IsFiniteMeasure μ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C x : E this : (fun x_1 => x) = indicator Set.univ fun x_1 => x ⊢ (setToFun μ T hT fun x_1 => x) = ↑(T Set.univ) x ** rw [this] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E inst✝ : IsFiniteMeasure μ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C x : E this : (fun x_1 => x) = indicator Set.univ fun x_1 => x ⊢ setToFun μ T hT (indicator Set.univ fun x_1 => x) = ↑(T Set.univ) x ** exact setToFun_indicator_const hT MeasurableSet.univ (measure_ne_top _ _) x ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_mono_left' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f : α → E ⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f ** by_cases hf : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f : α → E hf : Integrable f ⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f ** simp_rw [setToFun_eq _ hf] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f : α → E hf : Integrable f ⊢ ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf) ≤ ↑(L1.setToL1 hT') (Integrable.toL1 f hf) ** exact L1.setToL1_mono_left' hT hT' hTT' _ ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f : α → E hf : ¬Integrable f ⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f ** simp_rw [setToFun_undef _ hf] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C'✝ C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T T' : Set α → E →L[ℝ] G'' C C' : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C' hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x f : α → E hf : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ 0 ** rfl ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_nonneg ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f ** by_cases hfi : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f ** simp_rw [setToFun_eq _ hfi] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ 0 ≤ ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hfi) ** refine' L1.setToL1_nonneg hT hT_nonneg _ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ 0 ≤ Integrable.toL1 f hfi ** rw [← Lp.coeFn_le] ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f ⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) ** have h0 := Lp.coeFn_zero G' 1 μ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0 ⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) ** have h := Integrable.coeFn_toL1 hfi ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0 h : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) =ᵐ[μ] f ⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) ** filter_upwards [h0, h, hf] with _ h0a ha hfa ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0 h : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) =ᵐ[μ] f a✝ : α h0a : ↑↑0 a✝ = OfNat.ofNat 0 a✝ ha : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) a✝ = f a✝ hfa : OfNat.ofNat 0 a✝ ≤ f a✝ ⊢ ↑↑0 a✝ ≤ ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) a✝ ** rw [h0a, ha] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : Integrable f h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0 h : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) =ᵐ[μ] f a✝ : α h0a : ↑↑0 a✝ = OfNat.ofNat 0 a✝ ha : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) a✝ = f a✝ hfa : OfNat.ofNat 0 a✝ ≤ f a✝ ⊢ OfNat.ofNat 0 a✝ ≤ f a✝ ** exact hfa ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f ** simp_rw [setToFun_undef _ hfi] ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f : α → G' hf : 0 ≤ᵐ[μ] f hfi : ¬Integrable f ⊢ 0 ≤ 0 ** rfl ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_mono ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g✝ : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f g : α → G' hf : Integrable f hg : Integrable g hfg : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T hT g ** rw [← sub_nonneg, ← setToFun_sub hT hg hf] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g✝ : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f g : α → G' hf : Integrable f hg : Integrable g hfg : f ≤ᵐ[μ] g ⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT (g - f) ** refine' setToFun_nonneg hT hT_nonneg (hfg.mono fun a ha => _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g✝ : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f g : α → G' hf : Integrable f hg : Integrable g hfg : f ≤ᵐ[μ] g a : α ha : f a ≤ g a ⊢ OfNat.ofNat 0 a ≤ (g - f) a ** rw [Pi.sub_apply, Pi.zero_apply, sub_nonneg] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹² : NormedAddCommGroup E inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝⁵ : CompleteSpace F T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C✝ C' C'' : ℝ f✝ g✝ : α → E G' : Type u_7 G'' : Type u_8 inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G'' inst✝³ : NormedSpace ℝ G'' inst✝² : CompleteSpace G'' inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G' inst✝ : NormedSpace ℝ G' T : Set α → G' →L[ℝ] G'' C : ℝ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x f g : α → G' hf : Integrable f hg : Integrable g hfg : f ≤ᵐ[μ] g a : α ha : f a ≤ g a ⊢ f a ≤ g a ** exact ha ** Qed
| |
MeasureTheory.continuous_setToFun ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ⊢ Continuous fun f => setToFun μ T hT ↑↑f ** simp_rw [L1.setToFun_eq_setToL1 hT] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ⊢ Continuous fun f => ↑(L1.setToL1 hT) f ** exact ContinuousLinearMap.continuous _ ** Qed
| |
MeasureTheory.tendsto_setToFun_of_L1 ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** classical
let f_lp := hfi.toL1 f
let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0
have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) := by
rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
filter_upwards [hfsi] with i hi
refine' lintegral_congr_ae _
filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf]
suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) by
refine' (tendsto_congr' _).mp this
filter_upwards [hfsi] with i hi
suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i; exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
simp_rw [dif_pos hi]
exact hi.coeFn_toL1
rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm]
exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1 ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** let f_lp := hfi.toL1 f ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0 ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) := by
rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
filter_upwards [hfsi] with i hi
refine' lintegral_congr_ae _
filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) by
refine' (tendsto_congr' _).mp this
filter_upwards [hfsi] with i hi
suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i; exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
simp_rw [dif_pos hi]
exact hi.coeFn_toL1 ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT ↑↑(Integrable.toL1 f hfi))) ** exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1 ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 ⊢ Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) ** rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp'] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 ⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑↑(F_lp n) - ↑↑f_lp) 1 μ) l (𝓝 0) ** simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 ⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs n) then Integrable.toL1 (fs n) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) ** refine' (tendsto_congr' _).mp hfs ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 ⊢ (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) =ᶠ[l] fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs n) then Integrable.toL1 (fs n) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ ** filter_upwards [hfsi] with i hi ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 i : ι hi : Integrable (fs i) ⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ ** refine' lintegral_congr_ae _ ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 i : ι hi : Integrable (fs i) ⊢ (fun x => ↑‖fs i x - f x‖₊) =ᵐ[μ] fun x => ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ** filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 i : ι hi : Integrable (fs i) x : α hxi : ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) x = fs i x hxf : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x = f x ⊢ ↑‖fs i x - f x‖₊ = ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ** simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** refine' (tendsto_congr' _).mp this ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ⊢ (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) =ᶠ[l] fun i => setToFun μ T hT (fs i) ** filter_upwards [hfsi] with i hi ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) i : ι hi : Integrable (fs i) ⊢ setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i) = setToFun μ T hT (fs i) ** suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) i : ι hi : Integrable (fs i) h_ae_eq : ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i ⊢ setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i) = setToFun μ T hT (fs i) case h_ae_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) i : ι hi : Integrable (fs i) ⊢ ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i ** exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq ** case h_ae_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) i : ι hi : Integrable (fs i) ⊢ ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i ** simp_rw [dif_pos hi] ** case h_ae_eq α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 f : α → E hfi : Integrable f fs : ι → α → E l : Filter ι hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0) f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0 tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) i : ι hi : Integrable (fs i) ⊢ ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) =ᵐ[μ] fs i ** exact hi.coeFn_toL1 ** Qed
| |
MeasureTheory.tendsto_setToFun_approxOn_of_measurable_of_range_subset ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s n : ℕ ⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0} ** simp ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s ⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT ↑(SimpleFunc.approxOn f fmeas s 0 (_ : 0 ∈ s) n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** refine tendsto_setToFun_approxOn_of_measurable hT hf fmeas ?_ _ (integrable_zero _ _ _) ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F' inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝³ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C inst✝² : MeasurableSpace E inst✝¹ : BorelSpace E f : α → E fmeas : Measurable f hf : Integrable f s : Set E inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s ⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s ** exact eventually_of_forall fun x => subset_closure (hs (Set.mem_union_left _ (mem_range_self _))) ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_congr_measure ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α c c' : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ hc' : c' ≠ ⊤ hμ_le : μ ≤ c • μ' hμ'_le : μ' ≤ c' • μ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C' f : α → E ⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f ** by_cases hf : Integrable f μ ** case pos α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α c c' : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ hc' : c' ≠ ⊤ hμ_le : μ ≤ c • μ' hμ'_le : μ' ≤ c' • μ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C' f : α → E hf : Integrable f ⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f ** exact setToFun_congr_measure_of_integrable c' hc' hμ'_le hT hT' f hf ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α c c' : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ hc' : c' ≠ ⊤ hμ_le : μ ≤ c • μ' hμ'_le : μ' ≤ c' • μ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C' f : α → E hf : ¬Integrable f ⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f ** have h_int : ∀ g : α → E, ¬Integrable g μ → ¬Integrable g μ' := fun g =>
mt fun h => h.of_measure_le_smul _ hc hμ_le ** case neg α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α c c' : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ hc' : c' ≠ ⊤ hμ_le : μ ≤ c • μ' hμ'_le : μ' ≤ c' • μ hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C' f : α → E hf : ¬Integrable f h_int : ∀ (g : α → E), ¬Integrable g → ¬Integrable g ⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f ** simp_rw [setToFun_undef _ hf, setToFun_undef _ (h_int f hf)] ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_congr_measure_of_add_right ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ T hT f ** refine' setToFun_congr_measure_of_integrable 1 one_ne_top _ hT_add hT f hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ μ ≤ 1 • (μ + μ') ** rw [one_smul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ μ ≤ μ + μ' ** nth_rw 1 [← add_zero μ] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ μ + 0 ≤ μ + μ' ** exact add_le_add le_rfl bot_le ** Qed
| |
MeasureTheory.setToFun_congr_measure_of_add_left ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ' T hT f ** refine' setToFun_congr_measure_of_integrable 1 one_ne_top _ hT_add hT f hf ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ μ' ≤ 1 • (μ + μ') ** rw [one_smul] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ μ' ≤ μ + μ' ** nth_rw 1 [← zero_add μ'] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E μ' : Measure α hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C' hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C f : α → E hf : Integrable f ⊢ 0 + μ' ≤ μ + μ' ** exact add_le_add bot_le le_rfl ** Qed
| |
MeasureTheory.norm_setToFun_le_mul_norm ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : { x // x ∈ Lp E 1 } hC : 0 ≤ C ⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ C * ‖f‖ ** rw [L1.setToFun_eq_setToL1] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : { x // x ∈ Lp E 1 } hC : 0 ≤ C ⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ C * ‖f‖ ** exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm hT hC f ** Qed
| |
MeasureTheory.norm_setToFun_le_mul_norm' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖ ** rw [L1.setToFun_eq_setToL1] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C f : { x // x ∈ Lp E 1 } ⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖ ** exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm' hT f ** Qed
| |
MeasureTheory.norm_setToFun_le ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hf : Integrable f hC : 0 ≤ C ⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖ ** rw [setToFun_eq hT hf] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hf : Integrable f hC : 0 ≤ C ⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖ ** exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm hT hC _ ** Qed
| |
MeasureTheory.norm_setToFun_le' ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hf : Integrable f ⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖ ** rw [setToFun_eq hT hf] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F inst✝³ : NormedAddCommGroup F' inst✝² : NormedSpace ℝ F' inst✝¹ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C hf : Integrable f ⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖ ** exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm' hT _ ** Qed
| |
MeasureTheory.tendsto_setToFun_filter_of_dominated_convergence ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) ⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** rw [tendsto_iff_seq_tendsto] ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) ⊢ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** intro x xl ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l ⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** have hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s := by rwa [tendsto_atTop'] at xl ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s ⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** have h :
{ x : ι | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x } ∩
{ x : ι | (fun n => ∀ᵐ a ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x } ∈ l :=
inter_mem hfs_meas h_bound ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l ⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** obtain ⟨k, h⟩ := hxl _ h ** case intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** rw [← tendsto_add_atTop_iff_nat k] ** case intro α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ⊢ Tendsto (fun n => ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) (n + k)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f)) ** refine' tendsto_setToFun_of_dominated_convergence hT bound _ bound_integrable _ _ ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l ⊢ ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s ** rwa [tendsto_atTop'] at xl ** case intro.refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs (x (n + k))) μ ** exact fun n => (h _ (self_le_add_left _ _)).1 ** case intro.refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs (x (n + k)) a‖ ≤ bound a ** exact fun n => (h _ (self_le_add_left _ _)).2 ** case intro.refine'_3 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a)) ** filter_upwards [h_lim] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ⊢ ∀ (a : α), Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) → Tendsto (fun n => fs (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a)) ** refine' fun a h_lin => @Tendsto.comp _ _ _ (fun n => x (n + k)) (fun n => fs n a) _ _ _ h_lin _ ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} a : α h_lin : Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) ⊢ Tendsto (fun n => x (n + k)) atTop l ** rw [tendsto_add_atTop_iff_nat] ** case h α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F' inst✝³ : NormedSpace ℝ F' inst✝² : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝¹ : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f✝ g : α → E hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C ι : Type u_7 l : Filter ι inst✝ : IsCountablyGenerated l fs : ι → α → E f : α → E bound : α → ℝ hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) x : ℕ → ι xl : Tendsto x atTop l hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l k : ℕ h : ∀ (b : ℕ), b ≥ k → x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} a : α h_lin : Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) ⊢ Tendsto x atTop l ** assumption ** Qed
| |
MeasureTheory.continuousOn_setToFun_of_dominated ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F' inst✝³ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E X : Type u_7 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C fs : X → α → E bound : α → ℝ s : Set X hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s ⊢ ContinuousOn (fun x => setToFun μ T hT (fs x)) s ** intro x hx ** α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F' inst✝³ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E X : Type u_7 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C fs : X → α → E bound : α → ℝ s : Set X hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s x : X hx : x ∈ s ⊢ ContinuousWithinAt (fun x => setToFun μ T hT (fs x)) s x ** refine' continuousWithinAt_setToFun_of_dominated hT _ _ bound_integrable _ ** case refine'_1 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F' inst✝³ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E X : Type u_7 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C fs : X → α → E bound : α → ℝ s : Set X hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s x : X hx : x ∈ s ⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fs x) μ ** filter_upwards [self_mem_nhdsWithin] with x hx using hfs_meas x hx ** case refine'_2 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F' inst✝³ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E X : Type u_7 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C fs : X → α → E bound : α → ℝ s : Set X hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s x : X hx : x ∈ s ⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a ** filter_upwards [self_mem_nhdsWithin] with x hx using h_bound x hx ** case refine'_3 α : Type u_1 E : Type u_2 F : Type u_3 F' : Type u_4 G : Type u_5 𝕜 : Type u_6 p : ℝ≥0∞ inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F' inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F' inst✝³ : NormedAddCommGroup G m : MeasurableSpace α μ : Measure α inst✝² : CompleteSpace F T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F C C' C'' : ℝ f g : α → E X : Type u_7 inst✝¹ : TopologicalSpace X inst✝ : FirstCountableTopology X hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C fs : X → α → E bound : α → ℝ s : Set X hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a bound_integrable : Integrable bound h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s x : X hx : x ∈ s ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => fs x a) s x ** filter_upwards [h_cont] with a ha using ha x hx ** Qed
| |
MeasureTheory.lintegral_nnnorm_eq_lintegral_edist ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ ** simp only [edist_eq_coe_nnnorm] ** Qed
| |
MeasureTheory.lintegral_norm_eq_lintegral_edist ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ ** simp only [ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, edist_eq_coe_nnnorm] ** Qed
| |
MeasureTheory.lintegral_edist_triangle ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g h : α → β hf : AEStronglyMeasurable f μ hh : AEStronglyMeasurable h μ ⊢ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (h a) ∂μ + ∫⁻ (a : α), edist (g a) (h a) ∂μ ** rw [← lintegral_add_left' (hf.edist hh)] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g h : α → β hf : AEStronglyMeasurable f μ hh : AEStronglyMeasurable h μ ⊢ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (h a) + edist (g a) (h a) ∂μ ** refine' lintegral_mono fun a => _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g h : α → β hf : AEStronglyMeasurable f μ hh : AEStronglyMeasurable h μ a : α ⊢ edist (f a) (g a) ≤ edist (f a) (h a) + edist (g a) (h a) ** apply edist_triangle_right ** Qed
| |
MeasureTheory.lintegral_nnnorm_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ ⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖0‖₊ ∂μ = 0 ** simp ** Qed
| |
MeasureTheory.lintegral_nnnorm_neg ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(-f) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ ** simp only [Pi.neg_apply, nnnorm_neg] ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_iff_norm ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β ⊢ HasFiniteIntegral f ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ < ⊤ ** simp only [HasFiniteIntegral, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm] ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_iff_edist ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β ⊢ HasFiniteIntegral f ↔ ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ < ⊤ ** simp only [hasFiniteIntegral_iff_norm, edist_dist, dist_zero_right] ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_iff_ofReal ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ h : 0 ≤ᵐ[μ] f ⊢ HasFiniteIntegral f ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ < ⊤ ** rw [HasFiniteIntegral, lintegral_nnnorm_eq_of_ae_nonneg h] ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_iff_ofNNReal ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0 ⊢ (HasFiniteIntegral fun x => ↑(f x)) ↔ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤ ** simp [hasFiniteIntegral_iff_norm] ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.mono ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β g : α → γ hg : HasFiniteIntegral g h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖ ⊢ HasFiniteIntegral f ** simp only [hasFiniteIntegral_iff_norm] at * ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β g : α → γ h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖ hg : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖g a‖ ∂μ < ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ < ⊤ ** calc
(∫⁻ a, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ) ≤ ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal ‖g a‖ ∂μ :=
lintegral_mono_ae (h.mono fun a h => ofReal_le_ofReal h)
_ < ∞ := hg ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_const_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ c : β ⊢ (HasFiniteIntegral fun x => c) ↔ c = 0 ∨ ↑↑μ univ < ⊤ ** simp [HasFiniteIntegral, lintegral_const, lt_top_iff_ne_top, ENNReal.mul_eq_top,
or_iff_not_imp_left] ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.add_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hμ : HasFiniteIntegral f hν : HasFiniteIntegral f ⊢ HasFiniteIntegral f ** simp only [HasFiniteIntegral, lintegral_add_measure] at * ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hμ : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ hν : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ + ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ⊤ ** exact add_lt_top.2 ⟨hμ, hν⟩ ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.smul_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : HasFiniteIntegral f c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ ⊢ HasFiniteIntegral f ** simp only [HasFiniteIntegral, lintegral_smul_measure] at * ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ⊢ c * ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ** exact mul_lt_top hc h.ne ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_zero_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m✝ : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ m : MeasurableSpace α f : α → β ⊢ HasFiniteIntegral f ** simp only [HasFiniteIntegral, lintegral_zero_measure, WithTop.zero_lt_top] ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ ⊢ HasFiniteIntegral fun x => 0 ** simp [HasFiniteIntegral] ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.neg ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hfi : HasFiniteIntegral f ⊢ HasFiniteIntegral (-f) ** simpa [HasFiniteIntegral] using hfi ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.norm ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hfi : HasFiniteIntegral f ⊢ HasFiniteIntegral fun a => ‖f a‖ ** have eq : (fun a => (nnnorm ‖f a‖ : ℝ≥0∞)) = fun a => (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) := by
funext
rw [nnnorm_norm] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hfi : HasFiniteIntegral f eq : (fun a => ↑‖‖f a‖‖₊) = fun a => ↑‖f a‖₊ ⊢ HasFiniteIntegral fun a => ‖f a‖ ** rwa [HasFiniteIntegral, eq] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hfi : HasFiniteIntegral f ⊢ (fun a => ↑‖‖f a‖‖₊) = fun a => ↑‖f a‖₊ ** funext ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hfi : HasFiniteIntegral f x✝ : α ⊢ ↑‖‖f x✝‖‖₊ = ↑‖f x✝‖₊ ** rw [nnnorm_norm] ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_toReal_of_lintegral_ne_top ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ ⊢ HasFiniteIntegral fun x => ENNReal.toReal (f x) ** have :
∀ x, (‖(f x).toReal‖₊ : ℝ≥0∞) = ENNReal.some ⟨(f x).toReal, ENNReal.toReal_nonneg⟩ := by
intro x
rw [Real.nnnorm_of_nonneg] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ this : ∀ (x : α), ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } ⊢ HasFiniteIntegral fun x => ENNReal.toReal (f x) ** simp_rw [HasFiniteIntegral, this] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ this : ∀ (x : α), ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑{ val := ENNReal.toReal (f a), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f a)) } ∂μ < ⊤ ** refine' lt_of_le_of_lt (lintegral_mono fun x => _) (lt_top_iff_ne_top.2 hf) ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ this : ∀ (x : α), ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } x : α ⊢ ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } ≤ f x ** by_cases hfx : f x = ∞ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ ⊢ ∀ (x : α), ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } ** intro x ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ x : α ⊢ ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } ** rw [Real.nnnorm_of_nonneg] ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ this : ∀ (x : α), ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } x : α hfx : f x = ⊤ ⊢ ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } ≤ f x ** simp [hfx] ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ this : ∀ (x : α), ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } x : α hfx : ¬f x = ⊤ ⊢ ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } ≤ f x ** lift f x to ℝ≥0 using hfx with fx h ** case neg.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤ this : ∀ (x : α), ↑‖ENNReal.toReal (f x)‖₊ = ↑{ val := ENNReal.toReal (f x), property := (_ : 0 ≤ ENNReal.toReal (f x)) } x : α fx : ℝ≥0 h : ↑fx = f x ⊢ ↑{ val := ENNReal.toReal ↑fx, property := (_ : (fun r => 0 ≤ r) (ENNReal.toReal ↑fx)) } ≤ ↑fx ** simp [← h, ← NNReal.coe_le_coe] ** Qed
| |
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_of_dominated_convergence ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ F✝ : ℕ → α → β f✝ : α → β bound✝ : α → ℝ F : ℕ → α → β f : α → β bound : α → ℝ bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) ⊢ HasFiniteIntegral f ** rw [hasFiniteIntegral_iff_norm] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ F✝ : ℕ → α → β f✝ : α → β bound✝ : α → ℝ F : ℕ → α → β f : α → β bound : α → ℝ bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (bound a) ∂μ < ⊤ ** rw [← hasFiniteIntegral_iff_ofReal] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ F✝ : ℕ → α → β f✝ : α → β bound✝ : α → ℝ F : ℕ → α → β f : α → β bound : α → ℝ bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) ⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => bound a ** exact (h_bound 0).mono fun a h => le_trans (norm_nonneg _) h ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ F✝ : ℕ → α → β f✝ : α → β bound✝ : α → ℝ F : ℕ → α → β f : α → β bound : α → ℝ bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a)) ⊢ HasFiniteIntegral fun a => bound a ** exact bound_hasFiniteIntegral ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.max_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : HasFiniteIntegral f x : α ⊢ ‖max (f x) 0‖ ≤ ‖f x‖ ** simp [abs_le, le_abs_self] ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.min_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : HasFiniteIntegral f x : α ⊢ ‖min (f x) 0‖ ≤ ‖f x‖ ** simp [abs_le, neg_le, neg_le_abs_self, abs_eq_max_neg, le_total] ** Qed
| |
MeasureTheory.HasFiniteIntegral.smul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β ⊢ HasFiniteIntegral f → HasFiniteIntegral (c • f) ** simp only [HasFiniteIntegral] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ → ∫⁻ (a : α), ↑‖(c • f) a‖₊ ∂μ < ⊤ ** intro hfi ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(c • f) a‖₊ ∂μ < ⊤ ** calc
(∫⁻ a : α, ‖c • f a‖₊ ∂μ) ≤ ∫⁻ a : α, ‖c‖₊ * ‖f a‖₊ ∂μ := by
refine' lintegral_mono _
intro i
exact_mod_cast (nnnorm_smul_le c (f i))
_ < ∞ := by
rw [lintegral_const_mul']
exacts [mul_lt_top coe_ne_top hfi.ne, coe_ne_top] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖c • f a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖c‖₊ * ↑‖f a‖₊ ∂μ ** refine' lintegral_mono _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ⊢ (fun a => ↑‖c • f a‖₊) ≤ fun a => ↑‖c‖₊ * ↑‖f a‖₊ ** intro i ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ i : α ⊢ (fun a => ↑‖c • f a‖₊) i ≤ (fun a => ↑‖c‖₊ * ↑‖f a‖₊) i ** exact_mod_cast (nnnorm_smul_le c (f i)) ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖c‖₊ * ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ** rw [lintegral_const_mul'] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ⊢ ↑‖c‖₊ * ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ case hr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜 inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β c : 𝕜 f : α → β hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ⊢ ↑‖c‖₊ ≠ ⊤ ** exacts [mul_lt_top coe_ne_top hfi.ne, coe_ne_top] ** Qed
| |
MeasureTheory.memℒp_one_iff_integrable ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β ⊢ Memℒp f 1 ↔ Integrable f ** simp_rw [Integrable, HasFiniteIntegral, Memℒp, snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_const_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ c : β ⊢ (Integrable fun x => c) ↔ c = 0 ∨ ↑↑μ univ < ⊤ ** have : AEStronglyMeasurable (fun _ : α => c) μ := aestronglyMeasurable_const ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ c : β this : AEStronglyMeasurable (fun x => c) μ ⊢ (Integrable fun x => c) ↔ c = 0 ∨ ↑↑μ univ < ⊤ ** rw [Integrable, and_iff_right this, hasFiniteIntegral_const_iff] ** Qed
| |
MeasureTheory.Memℒp.integrable_norm_rpow ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β p : ℝ≥0∞ hf : Memℒp f p hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ ⊢ Integrable fun x => ‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β p : ℝ≥0∞ hf : Memℒp f p hp_ne_zero : p ≠ 0 hp_ne_top : p ≠ ⊤ ⊢ Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p) 1 ** exact hf.norm_rpow hp_ne_zero hp_ne_top ** Qed
| |
MeasureTheory.Memℒp.integrable_norm_rpow' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → β p : ℝ≥0∞ hf : Memℒp f p ⊢ Integrable fun x => ‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p ** by_cases h_zero : p = 0 ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → β p : ℝ≥0∞ hf : Memℒp f p h_zero : ¬p = 0 ⊢ Integrable fun x => ‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p ** by_cases h_top : p = ∞ ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → β p : ℝ≥0∞ hf : Memℒp f p h_zero : ¬p = 0 h_top : ¬p = ⊤ ⊢ Integrable fun x => ‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p ** exact hf.integrable_norm_rpow h_zero h_top ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → β p : ℝ≥0∞ hf : Memℒp f p h_zero : p = 0 ⊢ Integrable fun x => ‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p ** simp [h_zero, integrable_const] ** case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → β p : ℝ≥0∞ hf : Memℒp f p h_zero : ¬p = 0 h_top : p = ⊤ ⊢ Integrable fun x => ‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p ** simp [h_top, integrable_const] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.of_measure_le_smul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ μ' : Measure α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ hμ'_le : μ' ≤ c • μ f : α → β hf : Integrable f ⊢ Integrable f ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ μ' : Measure α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ hμ'_le : μ' ≤ c • μ f : α → β hf : Memℒp f 1 ⊢ Memℒp f 1 ** exact hf.of_measure_le_smul c hc hμ'_le ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.left_of_add_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Integrable f ⊢ Integrable f ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at h ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Memℒp f 1 ⊢ Memℒp f 1 ** exact h.left_of_add_measure ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.right_of_add_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Integrable f ⊢ Integrable f ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at h ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Memℒp f 1 ⊢ Memℒp f 1 ** exact h.right_of_add_measure ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_finset_sum_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m✝ : MeasurableSpace α μ✝ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ ι : Type u_5 m : MeasurableSpace α f : α → β μ : ι → Measure α s : Finset ι ⊢ Integrable f ↔ ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable f ** induction s using Finset.induction_on <;> simp [*] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.smul_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Integrable f c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ ⊢ Integrable f ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at h ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Memℒp f 1 c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ ⊤ ⊢ Memℒp f 1 ** exact h.smul_measure hc ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_smul_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β c : ℝ≥0∞ h₁ : c ≠ 0 h₂ : c ≠ ⊤ h : Integrable f ⊢ Integrable f ** simpa only [smul_smul, ENNReal.inv_mul_cancel h₁ h₂, one_smul] using
h.smul_measure (ENNReal.inv_ne_top.2 h₁) ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_inv_smul_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β c : ℝ≥0∞ h₁ : c ≠ 0 h₂ : c ≠ ⊤ ⊢ c⁻¹ ≠ 0 ** simpa using h₂ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β c : ℝ≥0∞ h₁ : c ≠ 0 h₂ : c ≠ ⊤ ⊢ c⁻¹ ≠ ⊤ ** simpa using h₁ ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.to_average ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Integrable f ⊢ Integrable f ** rcases eq_or_ne μ 0 with (rfl | hne) ** case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Integrable f ⊢ Integrable f ** rwa [smul_zero] ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Integrable f hne : μ ≠ 0 ⊢ Integrable f ** apply h.smul_measure ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β h : Integrable f hne : μ ≠ 0 ⊢ (↑↑μ univ)⁻¹ ≠ ⊤ ** simpa ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_average ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ inst✝ : IsFiniteMeasure μ f : α → β h : μ = 0 ⊢ Integrable f ↔ Integrable f ** simp [h] ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_map_measure ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → δ g : δ → β hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) hf : AEMeasurable f ⊢ Integrable g ↔ Integrable (g ∘ f) ** simp_rw [← memℒp_one_iff_integrable] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → δ g : δ → β hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) hf : AEMeasurable f ⊢ Memℒp g 1 ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 ** exact memℒp_map_measure_iff hg hf ** Qed
| |
MeasurableEmbedding.integrable_map_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → δ hf : MeasurableEmbedding f g : δ → β ⊢ Integrable g ↔ Integrable (g ∘ f) ** simp_rw [← memℒp_one_iff_integrable] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → δ hf : MeasurableEmbedding f g : δ → β ⊢ Memℒp g 1 ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 ** exact hf.memℒp_map_measure_iff ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_map_equiv ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α ≃ᵐ δ g : δ → β ⊢ Integrable g ↔ Integrable (g ∘ ↑f) ** simp_rw [← memℒp_one_iff_integrable] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α ≃ᵐ δ g : δ → β ⊢ Memℒp g 1 ↔ Memℒp (g ∘ ↑f) 1 ** exact f.memℒp_map_measure_iff ** Qed
| |
MeasureTheory.MeasurePreserving.integrable_comp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν✝ : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ ν : Measure δ g : δ → β f : α → δ hf : MeasurePreserving f hg : AEStronglyMeasurable g ν ⊢ Integrable (g ∘ f) ↔ Integrable g ** rw [← hf.map_eq] at hg ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν✝ : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ ν : Measure δ g : δ → β f : α → δ hf : MeasurePreserving f hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) ⊢ Integrable (g ∘ f) ↔ Integrable g ** exact (integrable_map_measure hg hf.measurable.aemeasurable).symm ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_zero ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ ⊢ Integrable fun x => 0 ** simp [Integrable, aestronglyMeasurable_const] ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_finset_sum ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ ι : Type u_5 s : Finset ι f : ι → α → β hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i) ⊢ Integrable fun a => ∑ i in s, f i a ** simpa only [← Finset.sum_apply] using integrable_finset_sum' s hf ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.sub ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : α → β hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ Integrable (f - g) ** simpa only [sub_eq_add_neg] using hf.add hg.neg ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.inf ** α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ β : Type u_5 inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β f g : α → β hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ Integrable (f ⊓ g) ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf hg ⊢ ** α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ β : Type u_5 inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β f g : α → β hf : Memℒp f 1 hg : Memℒp g 1 ⊢ Memℒp (f ⊓ g) 1 ** exact hf.inf hg ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.sup ** α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ β : Type u_5 inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β f g : α → β hf : Integrable f hg : Integrable g ⊢ Integrable (f ⊔ g) ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf hg ⊢ ** α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ β : Type u_5 inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β f g : α → β hf : Memℒp f 1 hg : Memℒp g 1 ⊢ Memℒp (f ⊔ g) 1 ** exact hf.sup hg ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.abs ** α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ β : Type u_5 inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β f : α → β hf : Integrable f ⊢ Integrable fun a => |f a| ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf ⊢ ** α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β✝ inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ β : Type u_5 inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β f : α → β hf : Memℒp f 1 ⊢ Memℒp (fun a => |f a|) 1 ** exact hf.abs ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.essSup_smul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 β f : α → β hf : Integrable f g : α → 𝕜 g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ Integrable fun x => g x • f x ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at * ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 β f : α → β hf : Memℒp f 1 g : α → 𝕜 g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ Memℒp (fun x => g x • f x) 1 ** refine' ⟨g_aestronglyMeasurable.smul hf.1, _⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 β f : α → β hf : Memℒp f 1 g : α → 𝕜 g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ snorm (fun x => g x • f x) 1 μ < ⊤ ** have h : (1 : ℝ≥0∞) / 1 = 1 / ∞ + 1 / 1 := by norm_num ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 β f : α → β hf : Memℒp f 1 g : α → 𝕜 g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ h : 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1 ⊢ snorm (fun x => g x • f x) 1 μ < ⊤ ** have hg' : snorm g ∞ μ ≠ ∞ := by rwa [snorm_exponent_top] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 β f : α → β hf : Memℒp f 1 g : α → 𝕜 g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ h : 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1 hg' : snorm g ⊤ μ ≠ ⊤ ⊢ snorm (fun x => g x • f x) 1 μ < ⊤ ** calc
snorm (fun x : α => g x • f x) 1 μ ≤ _ :=
MeasureTheory.snorm_smul_le_mul_snorm hf.1 g_aestronglyMeasurable h
_ < ∞ := ENNReal.mul_lt_top hg' hf.2.ne ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 β f : α → β hf : Memℒp f 1 g : α → 𝕜 g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1 ** norm_num ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝¹ : NormedField 𝕜 inst✝ : NormedSpace 𝕜 β f : α → β hf : Memℒp f 1 g : α → 𝕜 g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ h : 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1 ⊢ snorm g ⊤ μ ≠ ⊤ ** rwa [snorm_exponent_top] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.smul_essSup ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → 𝕜 hf : Integrable f g : α → β g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ Integrable fun x => f x • g x ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at * ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 g : α → β g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ Memℒp (fun x => f x • g x) 1 ** refine' ⟨hf.1.smul g_aestronglyMeasurable, _⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 g : α → β g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ snorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤ ** have h : (1 : ℝ≥0∞) / 1 = 1 / 1 + 1 / ∞ := by norm_num ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 g : α → β g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤ ⊢ snorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤ ** have hg' : snorm g ∞ μ ≠ ∞ := by rwa [snorm_exponent_top] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 g : α → β g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤ hg' : snorm g ⊤ μ ≠ ⊤ ⊢ snorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤ ** calc
snorm (fun x : α => f x • g x) 1 μ ≤ _ :=
MeasureTheory.snorm_smul_le_mul_snorm g_aestronglyMeasurable hf.1 h
_ < ∞ := ENNReal.mul_lt_top hf.2.ne hg' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 g : α → β g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ ⊢ 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤ ** norm_num ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 g : α → β g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤ h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤ ⊢ snorm g ⊤ μ ≠ ⊤ ** rwa [snorm_exponent_top] ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_norm_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ (Integrable fun a => ‖f a‖) ↔ Integrable f ** simp_rw [Integrable, and_iff_right hf, and_iff_right hf.norm, hasFiniteIntegral_norm_iff] ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_of_norm_sub_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f₀ f₁ : α → β g : α → ℝ hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ hf₀_i : Integrable f₀ hg_i : Integrable g h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + g a ** apply h.mono ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f₀ f₁ : α → β g : α → ℝ hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ hf₀_i : Integrable f₀ hg_i : Integrable g h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a ⊢ ∀ (x : α), ‖f₀ x - f₁ x‖ ≤ g x → ‖f₁ x‖ ≤ ‖f₀ x‖ + g x ** intro a ha ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f₀ f₁ : α → β g : α → ℝ hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ hf₀_i : Integrable f₀ hg_i : Integrable g h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a a : α ha : ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a ⊢ ‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + g a ** calc
‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + ‖f₀ a - f₁ a‖ := norm_le_insert _ _
_ ≤ ‖f₀ a‖ + g a := add_le_add_left ha _ ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.measure_norm_ge_lt_top ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ↑↑μ {x | ε ≤ ‖f x‖} < ⊤ ** rw [show { x | ε ≤ ‖f x‖ } = { x | ENNReal.ofReal ε ≤ ‖f x‖₊ } by
simp only [ENNReal.ofReal, Real.toNNReal_le_iff_le_coe, ENNReal.coe_le_coe, coe_nnnorm]] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ↑↑μ {x | ENNReal.ofReal ε ≤ ↑‖f x‖₊} < ⊤ ** refine' (meas_ge_le_mul_pow_snorm μ one_ne_zero ENNReal.one_ne_top hf.1 _).trans_lt _ ** case refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 * snorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 < ⊤ ** apply ENNReal.mul_lt_top ** case refine'_2.a α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ snorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤ ** simpa only [ENNReal.one_toReal, ENNReal.rpow_one] using
(memℒp_one_iff_integrable.2 hf).snorm_ne_top ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ {x | ε ≤ ‖f x‖} = {x | ENNReal.ofReal ε ≤ ↑‖f x‖₊} ** simp only [ENNReal.ofReal, Real.toNNReal_le_iff_le_coe, ENNReal.coe_le_coe, coe_nnnorm] ** case refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ENNReal.ofReal ε ≠ 0 ** simpa only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hε ** case refine'_2.a α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤ ** simpa only [ENNReal.one_toReal, ENNReal.rpow_one, Ne.def, ENNReal.inv_eq_top,
ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hε ** Qed
| |
MeasureTheory.LipschitzWith.integrable_comp_iff_of_antilipschitz ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ K K' : ℝ≥0 f : α → β g : β → γ hg : LipschitzWith K g hg' : AntilipschitzWith K' g g0 : g 0 = 0 ⊢ Integrable (g ∘ f) ↔ Integrable f ** simp [← memℒp_one_iff_integrable, hg.memℒp_comp_iff_of_antilipschitz hg' g0] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.real_toNNReal ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ Integrable fun x => ↑(Real.toNNReal (f x)) ** refine'
⟨hf.aestronglyMeasurable.aemeasurable.real_toNNReal.coe_nnreal_real.aestronglyMeasurable, _⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ HasFiniteIntegral fun x => ↑(Real.toNNReal (f x)) ** rw [hasFiniteIntegral_iff_norm] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑(Real.toNNReal (f a))‖ ∂μ < ⊤ ** refine' lt_of_le_of_lt _ ((hasFiniteIntegral_iff_norm _).1 hf.hasFiniteIntegral) ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑(Real.toNNReal (f a))‖ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ ** apply lintegral_mono ** case hfg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal ‖↑(Real.toNNReal (f a))‖) ≤ fun a => ENNReal.ofReal ‖f a‖ ** intro x ** case hfg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ hf : Integrable f x : α ⊢ (fun a => ENNReal.ofReal ‖↑(Real.toNNReal (f a))‖) x ≤ (fun a => ENNReal.ofReal ‖f a‖) x ** simp [ENNReal.ofReal_le_ofReal, abs_le, le_abs_self] ** Qed
| |
MeasureTheory.ofReal_toReal_ae_eq ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ (fun x => ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f x))) =ᵐ[μ] f ** filter_upwards [hf] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ ∀ (a : α), f a < ⊤ → ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f a)) = f a ** intro x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ x : α hx : f x < ⊤ ⊢ ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (f x)) = f x ** simp only [hx.ne, ofReal_toReal, Ne.def, not_false_iff] ** Qed
| |
MeasureTheory.coe_toNNReal_ae_eq ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ (fun x => ↑(ENNReal.toNNReal (f x))) =ᵐ[μ] f ** filter_upwards [hf] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ ⊢ ∀ (a : α), f a < ⊤ → ↑(ENNReal.toNNReal (f a)) = f a ** intro x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤ x : α hx : f x < ⊤ ⊢ ↑(ENNReal.toNNReal (f x)) = f x ** simp only [hx.ne, Ne.def, not_false_iff, coe_toNNReal] ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_withDensity_iff_integrable_coe_smul₀ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E ⊢ Integrable g ↔ Integrable g ** suffices (fun x => (f x : ℝ≥0∞)) =ᵐ[μ] (fun x => (hf.mk f x : ℝ≥0)) by
rw [withDensity_congr_ae this] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E ⊢ (fun x => ↑(f x)) =ᵐ[μ] fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) ** filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E x : α hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x ⊢ ↑(f x) = ↑(AEMeasurable.mk f hf x) ** simp [hx] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E this : (fun x => ↑(f x)) =ᵐ[μ] fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) ⊢ Integrable g ↔ Integrable g ** rw [withDensity_congr_ae this] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E ⊢ (Integrable fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x) ↔ Integrable fun x => ↑(f x) • g x ** apply integrable_congr ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E ⊢ (fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x) =ᵐ[μ] fun x => ↑(f x) • g x ** filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : NormedSpace ℝ E f : α → ℝ≥0 hf : AEMeasurable f g : α → E x : α hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x ⊢ ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x = ↑(f x) • g x ** simp [hx] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.smul_of_top_left ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → β φ : α → 𝕜 hφ : Integrable φ hf : Memℒp f ⊤ ⊢ Integrable (φ • f) ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hφ ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁵ : MeasurableSpace δ inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β inst✝³ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝² : NormedRing 𝕜 inst✝¹ : Module 𝕜 β inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β f : α → β φ : α → 𝕜 hφ : Memℒp φ 1 hf : Memℒp f ⊤ ⊢ Memℒp (φ • f) 1 ** exact Memℒp.smul_of_top_left hf hφ ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.bdd_mul' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : NormedRing 𝕜 f✝ f g : α → 𝕜 c : ℝ hg : Integrable g hf : AEStronglyMeasurable f μ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c ⊢ Integrable fun x => f x * g x ** refine' Integrable.mono' (hg.norm.smul c) (hf.mul hg.1) _ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : NormedRing 𝕜 f✝ f g : α → 𝕜 c : ℝ hg : Integrable g hf : AEStronglyMeasurable f μ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c ⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a * g a‖ ≤ (c • fun a => ‖g a‖) a ** filter_upwards [hf_bound] with x hx ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : NormedRing 𝕜 f✝ f g : α → 𝕜 c : ℝ hg : Integrable g hf : AEStronglyMeasurable f μ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c x : α hx : ‖f x‖ ≤ c ⊢ ‖f x * g x‖ ≤ (c • fun a => ‖g a‖) x ** rw [Pi.smul_apply, smul_eq_mul] ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : NormedRing 𝕜 f✝ f g : α → 𝕜 c : ℝ hg : Integrable g hf : AEStronglyMeasurable f μ hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c x : α hx : ‖f x‖ ≤ c ⊢ ‖f x * g x‖ ≤ c * ‖g x‖ ** exact (norm_mul_le _ _).trans (mul_le_mul_of_nonneg_right hx (norm_nonneg _)) ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.div_const ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜 f✝ f : α → 𝕜 h : Integrable f c : 𝕜 ⊢ Integrable fun x => f x / c ** simp_rw [div_eq_mul_inv, h.mul_const] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.ofReal ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f✝ : α → 𝕜 f : α → ℝ hf : Integrable f ⊢ Integrable fun x => ↑(f x) ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f✝ : α → 𝕜 f : α → ℝ hf : Memℒp f 1 ⊢ Memℒp (fun x => ↑(f x)) 1 ** exact hf.ofReal ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.re_im_iff ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f : α → 𝕜 ⊢ ((Integrable fun x => ↑IsROrC.re (f x)) ∧ Integrable fun x => ↑IsROrC.im (f x)) ↔ Integrable f ** simp_rw [← memℒp_one_iff_integrable] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f : α → 𝕜 ⊢ Memℒp (fun x => ↑IsROrC.re (f x)) 1 ∧ Memℒp (fun x => ↑IsROrC.im (f x)) 1 ↔ Memℒp f 1 ** exact memℒp_re_im_iff ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.re ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f : α → 𝕜 hf : Integrable f ⊢ Integrable fun x => ↑IsROrC.re (f x) ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 ⊢ Memℒp (fun x => ↑IsROrC.re (f x)) 1 ** exact hf.re ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.im ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f : α → 𝕜 hf : Integrable f ⊢ Integrable fun x => ↑IsROrC.im (f x) ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hf ⊢ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ 𝕜 : Type u_5 inst✝ : IsROrC 𝕜 f : α → 𝕜 hf : Memℒp f 1 ⊢ Memℒp (fun x => ↑IsROrC.im (f x)) 1 ** exact hf.im ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.trim ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ H : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup H m0 : MeasurableSpace α μ' : Measure α f : α → H hm : m ≤ m0 hf_int : Integrable f hf : StronglyMeasurable f ⊢ Integrable f ** refine' ⟨hf.aestronglyMeasurable, _⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ H : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup H m0 : MeasurableSpace α μ' : Measure α f : α → H hm : m ≤ m0 hf_int : Integrable f hf : StronglyMeasurable f ⊢ HasFiniteIntegral f ** rw [HasFiniteIntegral, lintegral_trim hm _] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ H : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup H m0 : MeasurableSpace α μ' : Measure α f : α → H hm : m ≤ m0 hf_int : Integrable f hf : StronglyMeasurable f ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ' < ⊤ ** exact hf_int.2 ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝³ : MeasurableSpace δ inst✝² : NormedAddCommGroup β inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ H : Type u_5 inst✝ : NormedAddCommGroup H m0 : MeasurableSpace α μ' : Measure α f : α → H hm : m ≤ m0 hf_int : Integrable f hf : StronglyMeasurable f ⊢ Measurable fun a => ↑‖f a‖₊ ** exact @StronglyMeasurable.ennnorm _ m _ _ f hf ** Qed
| |
MeasureTheory.integrable_of_forall_fin_meas_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝⁴ : MeasurableSpace δ inst✝³ : NormedAddCommGroup β inst✝² : NormedAddCommGroup γ E : Type u_5 m0 : MeasurableSpace α inst✝¹ : NormedAddCommGroup E inst✝ : SigmaFinite μ C : ℝ≥0∞ hC : C < ⊤ f : α → E hf_meas : AEStronglyMeasurable f μ hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ C ⊢ SigmaFinite (Measure.trim μ (_ : m ≤ m)) ** rwa [@trim_eq_self _ m] ** Qed
| |
MeasureTheory.AEEqFun.integrable_mk ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ Integrable (mk f hf) ↔ MeasureTheory.Integrable f ** simp only [Integrable] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ MeasureTheory.Integrable ↑(mk f hf) ↔ MeasureTheory.Integrable f ** apply integrable_congr ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : AEStronglyMeasurable f μ ⊢ ↑(mk f hf) =ᵐ[μ] f ** exact coeFn_mk f hf ** Qed
| |
MeasureTheory.AEEqFun.integrable_coeFn ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α →ₘ[μ] β ⊢ MeasureTheory.Integrable ↑f ↔ Integrable f ** rw [← integrable_mk, mk_coeFn] ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.integrable_coeFn ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ Integrable ↑↑f ** rw [← memℒp_one_iff_integrable] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ Memℒp (↑↑f) 1 ** exact Lp.memℒp f ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.edist_def ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ edist f g = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ ** simp only [Lp.edist_def, snorm, one_ne_zero, snorm', Pi.sub_apply, one_toReal, ENNReal.rpow_one,
ne_eq, not_false_eq_true, div_self, ite_false] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ ** simp [edist_eq_coe_nnnorm_sub] ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.dist_def ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ dist f g = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ) ** simp only [Lp.dist_def, snorm, one_ne_zero, snorm', Pi.sub_apply, one_toReal, ENNReal.rpow_one,
ne_eq, not_false_eq_true, div_self, ite_false] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ) ** simp [edist_eq_coe_nnnorm_sub] ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.norm_def ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ ‖f‖ = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ) ** simp [Lp.norm_def, snorm, snorm'] ** Qed
| |
MeasureTheory.L1.norm_sub_eq_lintegral ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ ‖f - g‖ = ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ) ** rw [norm_def] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(f - g) a‖₊ ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ) ** congr 1 ** case e_a α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(f - g) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ ** rw [lintegral_congr_ae] ** case e_a α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } ⊢ (fun a => ↑‖↑↑(f - g) a‖₊) =ᵐ[μ] fun a => ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ** filter_upwards [Lp.coeFn_sub f g] with _ ha ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f g : { x // x ∈ Lp β 1 } a✝ : α ha : ↑↑(f - g) a✝ = (↑↑f - ↑↑g) a✝ ⊢ ↑‖↑↑(f - g) a✝‖₊ = ↑‖↑↑f a✝ - ↑↑g a✝‖₊ ** simp only [ha, Pi.sub_apply] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.toL1_coeFn ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : { x // x ∈ Lp β 1 } hf : Integrable ↑↑f ⊢ toL1 (↑↑f) hf = f ** simp [Integrable.toL1] ** Qed
| |
MeasureTheory.Integrable.norm_toL1 ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ⊢ ‖toL1 f hf‖ = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ) ** simp only [toL1, Lp.norm_toLp, snorm, one_ne_zero, snorm', one_toReal, ENNReal.rpow_one, ne_eq,
not_false_eq_true, div_self, ite_false] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 δ : Type u_4 m : MeasurableSpace α μ ν : Measure α inst✝² : MeasurableSpace δ inst✝¹ : NormedAddCommGroup β inst✝ : NormedAddCommGroup γ f : α → β hf : Integrable f ⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ) ** simp [edist_eq_coe_nnnorm] ** Qed
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.