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|---|---|
LipschitzWith.of_le_add_mul ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K✝ : ℝ≥0 f✝ : α → β x y : α r : ℝ f : α → ℝ K : ℝ≥0 h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑K * dist x y ⊢ LipschitzWith K f ** simpa only [Real.toNNReal_coe] using LipschitzWith.of_le_add_mul' K h ** Qed
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LipschitzWith.of_le_add ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 f✝ : α → β x y : α r : ℝ f : α → ℝ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + dist x y ⊢ ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑1 * dist x y ** simpa only [NNReal.coe_one, one_mul] ** Qed
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LipschitzWith.dist_le_mul_of_le ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 f : α → β x y : α r : ℝ hf : LipschitzWith K f hr : dist x y ≤ r ⊢ ↑K * dist x y ≤ ↑K * r ** gcongr ** Qed
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LipschitzWith.dist ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 f : α → β x y : α r : ℝ ⊢ LipschitzWith 2 (uncurry dist) ** rw [← one_add_one_eq_two] ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 f : α → β x y : α r : ℝ ⊢ LipschitzWith (1 + 1) (uncurry dist) ** exact LipschitzWith.uncurry LipschitzWith.dist_left LipschitzWith.dist_right ** Qed
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LipschitzWith.dist_iterate_succ_le_geometric ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 f✝ : α → β x✝ y : α r : ℝ f : α → α hf : LipschitzWith K f x : α n : ℕ ⊢ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) ≤ dist x (f x) * ↑K ^ n ** rw [iterate_succ, mul_comm] ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 f✝ : α → β x✝ y : α r : ℝ f : α → α hf : LipschitzWith K f x : α n : ℕ ⊢ dist (f^[n] x) ((f^[n] ∘ f) x) ≤ ↑K ^ n * dist x (f x) ** simpa only [NNReal.coe_pow] using (hf.iterate n).dist_le_mul x (f x) ** Qed
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LipschitzWith.max_const ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoEMetricSpace α f g : α → ℝ Kf Kg : ℝ≥0 hf : LipschitzWith Kf f a : ℝ ⊢ LipschitzWith Kf fun x => max (f x) a ** simpa only [max_eq_left (zero_le Kf)] using hf.max (LipschitzWith.const a) ** Qed
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LipschitzWith.const_max ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoEMetricSpace α f g : α → ℝ Kf Kg : ℝ≥0 hf : LipschitzWith Kf f a : ℝ ⊢ LipschitzWith Kf fun x => max a (f x) ** simpa only [max_comm] using hf.max_const a ** Qed
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LipschitzWith.min_const ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoEMetricSpace α f g : α → ℝ Kf Kg : ℝ≥0 hf : LipschitzWith Kf f a : ℝ ⊢ LipschitzWith Kf fun x => min (f x) a ** simpa only [max_eq_left (zero_le Kf)] using hf.min (LipschitzWith.const a) ** Qed
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LipschitzWith.const_min ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoEMetricSpace α f g : α → ℝ Kf Kg : ℝ≥0 hf : LipschitzWith Kf f a : ℝ ⊢ LipschitzWith Kf fun x => min a (f x) ** simpa only [min_comm] using hf.min_const a ** Qed
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LipschitzOnWith.prod ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ K : ℝ≥0 s : Set α f : α → β g : α → γ Kf Kg : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith Kf f s hg : LipschitzOnWith Kg g s ⊢ LipschitzOnWith (max Kf Kg) (fun x => (f x, g x)) s ** intro _ hx _ hy ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ K : ℝ≥0 s : Set α f : α → β g : α → γ Kf Kg : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith Kf f s hg : LipschitzOnWith Kg g s x✝ : α hx : x✝ ∈ s y✝ : α hy : y✝ ∈ s ⊢ edist ((fun x => (f x, g x)) x✝) ((fun x => (f x, g x)) y✝) ≤ ↑(max Kf Kg) * edist x✝ y✝ ** rw [ENNReal.coe_mono.map_max, Prod.edist_eq, ENNReal.max_mul] ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ K : ℝ≥0 s : Set α f : α → β g : α → γ Kf Kg : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith Kf f s hg : LipschitzOnWith Kg g s x✝ : α hx : x✝ ∈ s y✝ : α hy : y✝ ∈ s ⊢ max (edist ((fun x => (f x, g x)) x✝).1 ((fun x => (f x, g x)) y✝).1) (edist ((fun x => (f x, g x)) x✝).2 ((fun x => (f x, g x)) y✝).2) ≤ max (↑Kf * edist x✝ y✝) (↑Kg * edist x✝ y✝) ** exact max_le_max (hf hx hy) (hg hx hy) ** Qed
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LipschitzOnWith.of_dist_le' ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K✝ : ℝ≥0 s : Set α f : α → β K : ℝ h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ s ⊢ K * dist x y ≤ ↑(Real.toNNReal K) * dist x y ** gcongr ** case h α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K✝ : ℝ≥0 s : Set α f : α → β K : ℝ h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y x : α hx : x ∈ s y : α hy : y ∈ s ⊢ K ≤ ↑(Real.toNNReal K) ** apply Real.le_coe_toNNReal ** Qed
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LipschitzOnWith.mk_one ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 s : Set α f : α → β h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → dist (f x) (f y) ≤ dist x y ⊢ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → dist (f x) (f y) ≤ ↑1 * dist x y ** simpa only [NNReal.coe_one, one_mul] using h ** Qed
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LipschitzOnWith.of_le_add_mul ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K✝ : ℝ≥0 s : Set α f✝ : α → β f : α → ℝ K : ℝ≥0 h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f x ≤ f y + ↑K * dist x y ⊢ LipschitzOnWith K f s ** simpa only [Real.toNNReal_coe] using LipschitzOnWith.of_le_add_mul' K h ** Qed
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LipschitzOnWith.of_le_add ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : PseudoMetricSpace β inst✝ : PseudoMetricSpace γ K : ℝ≥0 s : Set α f✝ : α → β f : α → ℝ h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f x ≤ f y + dist x y ⊢ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f x ≤ f y + ↑1 * dist x y ** simpa only [NNReal.coe_one, one_mul] ** Qed
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LocallyLipschitz.continuous ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ f : α → β hf : LocallyLipschitz f ⊢ Continuous f ** apply continuous_iff_continuousAt.mpr ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ f : α → β hf : LocallyLipschitz f ⊢ ∀ (x : α), ContinuousAt f x ** intro x ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ f : α → β hf : LocallyLipschitz f x : α ⊢ ContinuousAt f x ** rcases (hf x) with ⟨K, t, ht, hK⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ f : α → β hf : LocallyLipschitz f x : α K : ℝ≥0 t : Set α ht : t ∈ 𝓝 x hK : LipschitzOnWith K f t ⊢ ContinuousAt f x ** exact (hK.continuousOn).continuousAt ht ** Qed
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LocallyLipschitz.iterate ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f : α → α hf : LocallyLipschitz f ⊢ LocallyLipschitz f^[0] ** simpa only [pow_zero] using LocallyLipschitz.id ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f : α → α hf : LocallyLipschitz f n : ℕ ⊢ LocallyLipschitz f^[n + 1] ** rw [iterate_add, iterate_one] ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f : α → α hf : LocallyLipschitz f n : ℕ ⊢ LocallyLipschitz (f^[n] ∘ f) ** exact (hf.iterate n).comp hf ** Qed
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LocallyLipschitz.pow_end ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f : Function.End α h : LocallyLipschitz f ⊢ LocallyLipschitz (f ^ 0) ** simpa only [pow_zero] using LocallyLipschitz.id ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f : Function.End α h : LocallyLipschitz f n : ℕ ⊢ LocallyLipschitz (f ^ (n + 1)) ** rw [pow_succ] ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f : Function.End α h : LocallyLipschitz f n : ℕ ⊢ LocallyLipschitz (f * f ^ n) ** exact h.mul_end (h.pow_end n) ** Qed
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LocallyLipschitz.const_max ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f g : α → ℝ hf : LocallyLipschitz f a : ℝ ⊢ LocallyLipschitz fun x => max a (f x) ** simpa [max_comm] using (hf.max_const a) ** Qed
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LocallyLipschitz.const_min ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β f g : α → ℝ hf : LocallyLipschitz f a : ℝ ⊢ LocallyLipschitz fun x => min a (f x) ** simpa [min_comm] using (hf.min_const a) ** Qed
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continuousOn_prod_of_subset_closure_continuousOn_lipschitzOnWith ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s ⊢ ContinuousOn f (s ×ˢ t) ** rintro ⟨x, y⟩ ⟨hx : x ∈ s, hy : y ∈ t⟩ ** case mk.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ⊢ ContinuousWithinAt f (s ×ˢ t) (x, y) ** refine' EMetric.nhds_basis_closed_eball.tendsto_right_iff.2 fun ε (ε0 : 0 < ε) => _ ** case mk.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε ** replace ε0 : 0 < ε / 2 := ENNReal.half_pos ε0.ne' ** case mk.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε ** obtain ⟨δ, δpos, hδ⟩ : ∃ δ : ℝ≥0, 0 < δ ∧ (δ : ℝ≥0∞) * ↑(3 * K) < ε / 2 :=
ENNReal.exists_nnreal_pos_mul_lt ENNReal.coe_ne_top ε0.ne' ** case mk.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε ** rw [← ENNReal.coe_pos] at δpos ** case mk.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε ** rcases EMetric.mem_closure_iff.1 (hss' hx) δ δpos with ⟨x', hx', hxx'⟩ ** case mk.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε ** have A : s ∩ EMetric.ball x δ ∈ 𝓝[s] x :=
inter_mem_nhdsWithin _ (EMetric.ball_mem_nhds _ δpos) ** case mk.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε ** have B : t ∩ { b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2 } ∈ 𝓝[t] y :=
inter_mem self_mem_nhdsWithin (ha x' hx' y hy (EMetric.closedBall_mem_nhds (f (x', y)) ε0)) ** case mk.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε ** filter_upwards [nhdsWithin_prod A B] with ⟨a, b⟩ ⟨⟨has, hax⟩, ⟨hbt, hby⟩⟩ ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ edist (f (a, b)) (f (x', b)) + edist (f (x', b)) (f (x', y)) + edist (f (x', y)) (f (x, y)) ≤ ↑K * (↑δ + ↑δ) + ε / 2 + ↑K * ↑δ ** gcongr ** case h₁.h₁ α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ edist (f (a, b)) (f (x', b)) ≤ ↑K * (↑δ + ↑δ) ** refine (hb b hbt).edist_le_mul_of_le has (hs' hx') ?_ ** case h₁.h₁ α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ edist a x' ≤ ↑δ + ↑δ ** refine (edist_triangle _ _ _).trans (add_le_add (le_of_lt hax) hxx'.le) ** case h₁.h₂ α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2 ** exact hby ** case h₂ α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ edist (f (x', y)) (f (x, y)) ≤ ↑K * ↑δ ** exact (hb y hy).edist_le_mul_of_le (hs' hx') hx ((edist_comm _ _).trans_le hxx'.le) ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ ↑K * (↑δ + ↑δ) + ε / 2 + ↑K * ↑δ = ↑δ * ↑(3 * K) + ε / 2 ** push_cast ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ ↑K * (↑δ + ↑δ) + ε / 2 + ↑K * ↑δ = ↑δ * (3 * ↑K) + ε / 2 ** ring ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ s s' : Set α t : Set β hs' : s' ⊆ s hss' : s ⊆ closure s' K : ℝ≥0 ha : ∀ (a : α), a ∈ s' → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t hb : ∀ (b : β), b ∈ t → LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s x : α y : β hx : x ∈ s hy : y ∈ t ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε / 2 δ : ℝ≥0 δpos : 0 < ↑δ hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2 x' : α hx' : x' ∈ s' hxx' : edist x x' < ↑δ A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y a : α b : β has : (a, b).1 ∈ s hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ hbt : (a, b).2 ∈ t hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ⊢ ↑δ * ↑(3 * K) + ε / 2 ≤ ε / 2 + ε / 2 ** gcongr ** Qed
| |
continuous_prod_of_dense_continuous_lipschitzWith ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ K : ℝ≥0 s : Set α hs : Dense s ha : ∀ (a : α), a ∈ s → Continuous fun y => f (a, y) hb : ∀ (b : β), LipschitzWith K fun x => f (x, b) ⊢ Continuous f ** simp only [continuous_iff_continuousOn_univ, ← univ_prod_univ, ← lipschitzOn_univ] at * ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α × β → γ K : ℝ≥0 s : Set α hs : Dense s ha : ∀ (a : α), a ∈ s → ContinuousOn (fun y => f (a, y)) univ hb : ∀ (b : β), LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) univ ⊢ ContinuousOn f (univ ×ˢ univ) ** exact continuousOn_prod_of_subset_closure_continuousOn_lipschitzOnWith f (subset_univ _)
hs.closure_eq.ge K ha fun b _ => hb b ** Qed
| |
continuousAt_of_locally_lipschitz ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β x : α r : ℝ hr : 0 < r K : ℝ h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x ⊢ ContinuousAt f x ** refine tendsto_iff_dist_tendsto_zero.2 (squeeze_zero' (eventually_of_forall fun _ => dist_nonneg)
(mem_of_superset (ball_mem_nhds _ hr) h) ?_) ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β x : α r : ℝ hr : 0 < r K : ℝ h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x ⊢ Tendsto (fun a => K * dist a x) (𝓝 x) (𝓝 0) ** refine (continuous_const.mul (continuous_id.dist continuous_const)).tendsto' _ _ ?_ ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β x : α r : ℝ hr : 0 < r K : ℝ h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x ⊢ K * dist (id x) x = 0 ** simp ** Qed
| |
LipschitzOnWith.extend_real ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** rcases eq_empty_or_nonempty s with (rfl | hs) ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** have : Nonempty s := by simp only [hs, nonempty_coe_sort] ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** let g := fun y : α => iInf fun x : s => f x + K * dist y x ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** have B : ∀ y : α, BddBelow (range fun x : s => f x + K * dist y x) := fun y => by
rcases hs with ⟨z, hz⟩
refine' ⟨f z - K * dist y z, _⟩
rintro w ⟨t, rfl⟩
dsimp
rw [sub_le_iff_le_add, add_assoc, ← mul_add, add_comm (dist y t)]
calc
f z ≤ f t + K * dist z t := hf.le_add_mul hz t.2
_ ≤ f t + K * (dist y z + dist y t) := by gcongr; apply dist_triangle_left ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** have E : EqOn f g s := fun x hx => by
refine' le_antisymm (le_ciInf fun y => hf.le_add_mul hx y.2) _
simpa only [add_zero, Subtype.coe_mk, mul_zero, dist_self] using ciInf_le (B x) ⟨x, hx⟩ ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** refine' ⟨g, LipschitzWith.of_le_add_mul K fun x y => _, E⟩ ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s x y : α ⊢ g x ≤ g y + ↑K * dist x y ** rw [← sub_le_iff_le_add] ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s x y : α ⊢ g x - ↑K * dist x y ≤ g y ** refine' le_ciInf fun z => _ ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s x y : α z : ↑s ⊢ g x - ↑K * dist x y ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z ** rw [sub_le_iff_le_add] ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s x y : α z : ↑s ⊢ g x ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z + ↑K * dist x y ** calc
g x ≤ f z + K * dist x z := ciInf_le (B x) _
_ ≤ f z + K * dist y z + K * dist x y := by
rw [add_assoc, ← mul_add, add_comm (dist y z)]
gcongr
apply dist_triangle ** case inl α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f ∅ ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g ∅ ** exact ⟨fun _ => 0, (LipschitzWith.const _).weaken (zero_le _), eqOn_empty _ _⟩ ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s ⊢ Nonempty ↑s ** simp only [hs, nonempty_coe_sort] ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y : α ⊢ BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) ** rcases hs with ⟨z, hz⟩ ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y z : α hz : z ∈ s ⊢ BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) ** refine' ⟨f z - K * dist y z, _⟩ ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y z : α hz : z ∈ s ⊢ f z - ↑K * dist y z ∈ lowerBounds (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) ** rintro w ⟨t, rfl⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y z : α hz : z ∈ s t : ↑s ⊢ f z - ↑K * dist y z ≤ (fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) t ** dsimp ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y z : α hz : z ∈ s t : ↑s ⊢ f z - ↑K * dist y z ≤ f ↑t + ↑K * dist y ↑t ** rw [sub_le_iff_le_add, add_assoc, ← mul_add, add_comm (dist y t)] ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y z : α hz : z ∈ s t : ↑s ⊢ f z ≤ f ↑t + ↑K * (dist y z + dist y ↑t) ** calc
f z ≤ f t + K * dist z t := hf.le_add_mul hz t.2
_ ≤ f t + K * (dist y z + dist y t) := by gcongr; apply dist_triangle_left ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y z : α hz : z ∈ s t : ↑s ⊢ f ↑t + ↑K * dist z ↑t ≤ f ↑t + ↑K * (dist y z + dist y ↑t) ** gcongr ** case bc.h α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x y z : α hz : z ∈ s t : ↑s ⊢ dist z ↑t ≤ dist y z + dist y ↑t ** apply dist_triangle_left ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) x : α hx : x ∈ s ⊢ f x = g x ** refine' le_antisymm (le_ciInf fun y => hf.le_add_mul hx y.2) _ ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) x : α hx : x ∈ s ⊢ g x ≤ f x ** simpa only [add_zero, Subtype.coe_mk, mul_zero, dist_self] using ciInf_le (B x) ⟨x, hx⟩ ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s x y : α z : ↑s ⊢ f ↑z + ↑K * dist x ↑z ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z + ↑K * dist x y ** rw [add_assoc, ← mul_add, add_comm (dist y z)] ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s x y : α z : ↑s ⊢ f ↑z + ↑K * dist x ↑z ≤ f ↑z + ↑K * (dist x y + dist y ↑z) ** gcongr ** case bc.h α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s hs : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x) E : EqOn f g s x y : α z : ↑s ⊢ dist x ↑z ≤ dist x y + dist y ↑z ** apply dist_triangle ** Qed
| |
LipschitzOnWith.extend_pi ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** have : ∀ i, ∃ g : α → ℝ, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s := fun i => by
have : LipschitzOnWith K (fun x : α => f x i) s :=
LipschitzOnWith.of_dist_le_mul fun x hx y hy =>
(dist_le_pi_dist _ _ i).trans (hf.dist_le_mul x hx y hy)
exact this.extend_real ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s this : ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** choose g hg using this ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s g : ι → α → ℝ hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) ∧ EqOn (fun x => f x i) (g i) s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** refine' ⟨fun x i => g i x, LipschitzWith.of_dist_le_mul fun x y => _, _⟩ ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s i : ι ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s ** have : LipschitzOnWith K (fun x : α => f x i) s :=
LipschitzOnWith.of_dist_le_mul fun x hx y hy =>
(dist_le_pi_dist _ _ i).trans (hf.dist_le_mul x hx y hy) ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s i : ι this : LipschitzOnWith K (fun x => f x i) s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s ** exact this.extend_real ** case refine'_1 α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s g : ι → α → ℝ hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) ∧ EqOn (fun x => f x i) (g i) s x y : α ⊢ (dist (fun i => g i x) fun i => g i y) ≤ ↑K * dist x y ** exact (dist_pi_le_iff (mul_nonneg K.2 dist_nonneg)).2 fun i => (hg i).1.dist_le_mul x y ** case refine'_2 α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s g : ι → α → ℝ hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) ∧ EqOn (fun x => f x i) (g i) s ⊢ EqOn f (fun x i => g i x) s ** intro x hx ** case refine'_2 α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s g : ι → α → ℝ hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) ∧ EqOn (fun x => f x i) (g i) s x : α hx : x ∈ s ⊢ f x = (fun x i => g i x) x ** ext1 i ** case refine'_2.h α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type x inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : Fintype ι f : α → ι → ℝ s : Set α K : ℝ≥0 hf : LipschitzOnWith K f s g : ι → α → ℝ hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) ∧ EqOn (fun x => f x i) (g i) s x : α hx : x ∈ s i : ι ⊢ f x i = (fun x i => g i x) x i ** exact (hg i).2 hx ** Qed
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CantorScheme.map_mem ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ↑(inducedMap A).fst n : ℕ ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) x ∈ A (res (↑x) n) ** have := x.property.some_mem ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ↑(inducedMap A).fst n : ℕ this : Set.Nonempty.some (_ : ↑x ∈ (inducedMap A).fst) ∈ ⋂ n, A (res (↑x) n) ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) x ∈ A (res (↑x) n) ** rw [mem_iInter] at this ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ↑(inducedMap A).fst n : ℕ this : ∀ (i : ℕ), Set.Nonempty.some (_ : ↑x ∈ (inducedMap A).fst) ∈ A (res (↑x) i) ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) x ∈ A (res (↑x) n) ** exact this n ** Qed
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CantorScheme.Disjoint.map_injective ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A ⊢ Injective (inducedMap A).snd ** rintro ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩ hxy ** case mk.mk β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } ⊢ { val := x, property := hx } = { val := y, property := hy } ** refine' Subtype.coe_injective (res_injective _) ** case mk.mk β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } ⊢ res ((fun a => ↑a) { val := x, property := hx }) = res ((fun a => ↑a) { val := y, property := hy }) ** dsimp ** case mk.mk β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } ⊢ res x = res y ** ext n : 1 ** case mk.mk.h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ⊢ res x n = res y n ** induction' n with n ih ** case mk.mk.h.succ β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n ⊢ res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n) ** simp only [res_succ, cons.injEq] ** case mk.mk.h.succ β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n ⊢ x n = y n ∧ res x n = res y n ** refine' ⟨_, ih⟩ ** case mk.mk.h.succ β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n ⊢ x n = y n ** contrapose hA ** case mk.mk.h.succ β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ ¬CantorScheme.Disjoint A ** simp only [CantorScheme.Disjoint, _root_.Pairwise, Ne.def, not_forall, exists_prop] ** case mk.mk.h.succ β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ ∃ x x_1 x_2, ¬x_1 = x_2 ∧ ¬_root_.Disjoint (A (x_1 :: x)) (A (x_2 :: x)) ** refine' ⟨res x n, _, _, hA, _⟩ ** case mk.mk.h.succ β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ ¬_root_.Disjoint (A (x n :: res x n)) (A (y n :: res x n)) ** rw [not_disjoint_iff] ** case mk.mk.h.succ β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ ∃ x_1, x_1 ∈ A (x n :: res x n) ∧ x_1 ∈ A (y n :: res x n) ** refine' ⟨(inducedMap A).2 ⟨x, hx⟩, _, _⟩ ** case mk.mk.h.succ.refine'_2 β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } ∈ A (y n :: res x n) ** rw [hxy, ih, ← res_succ] ** case mk.mk.h.succ.refine'_2 β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } ∈ A (res y (Nat.succ n)) ** apply map_mem ** case mk.mk.h.zero β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α hA : CantorScheme.Disjoint A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } ⊢ res x Nat.zero = res y Nat.zero ** simp ** case mk.mk.h.succ.refine'_1 β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } ∈ A (x n :: res x n) ** rw [← res_succ] ** case mk.mk.h.succ.refine'_1 β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hxy : Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } = Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } n : ℕ ih : res x n = res y n hA : ¬x n = y n ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } ∈ A (res x (Nat.succ n)) ** apply map_mem ** Qed
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CantorScheme.VanishingDiam.dist_lt ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α hA : VanishingDiam A ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β ⊢ ∃ n, ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ** specialize hA x ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : Tendsto (fun n => EMetric.diam (A (res x n))) atTop (𝓝 0) ⊢ ∃ n, ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ** rw [ENNReal.tendsto_atTop_zero] at hA ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε ⊢ ∃ n, ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ** cases' hA (ENNReal.ofReal (ε / 2)) (by
simp only [gt_iff_lt, ENNReal.ofReal_pos]
linarith) with n hn ** case intro β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) ⊢ ∃ n, ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ** use n ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) ⊢ ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ** intro y hy z hz ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) y : α hy : y ∈ A (res x n) z : α hz : z ∈ A (res x n) ⊢ dist y z < ε ** rw [← ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff ε_pos, ← edist_dist] ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) y : α hy : y ∈ A (res x n) z : α hz : z ∈ A (res x n) ⊢ edist y z < ENNReal.ofReal ε ** apply lt_of_le_of_lt (EMetric.edist_le_diam_of_mem hy hz) ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) y : α hy : y ∈ A (res x n) z : α hz : z ∈ A (res x n) ⊢ EMetric.diam (A (res x n)) < ENNReal.ofReal ε ** apply lt_of_le_of_lt (hn _ (le_refl _)) ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) y : α hy : y ∈ A (res x n) z : α hz : z ∈ A (res x n) ⊢ ENNReal.ofReal (ε / 2) < ENNReal.ofReal ε ** rw [ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff ε_pos] ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) y : α hy : y ∈ A (res x n) z : α hz : z ∈ A (res x n) ⊢ ε / 2 < ε ** linarith ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε ⊢ ENNReal.ofReal (ε / 2) > 0 ** simp only [gt_iff_lt, ENNReal.ofReal_pos] ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝ : PseudoMetricSpace α ε : ℝ ε_pos : 0 < ε x : ℕ → β hA : ∀ (ε : ENNReal), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε ⊢ 0 < ε / 2 ** linarith ** Qed
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CantorScheme.VanishingDiam.map_continuous ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A ⊢ Continuous (inducedMap A).snd ** rw [Metric.continuous_iff'] ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A ⊢ ∀ (a : ↑(inducedMap A).fst) (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 a, dist (Sigma.snd (inducedMap A) x) (Sigma.snd (inducedMap A) a) < ε ** rintro ⟨x, hx⟩ ε ε_pos ** case mk β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 { val := x, property := hx }, dist (Sigma.snd (inducedMap A) x_1) (Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx }) < ε ** cases' hA.dist_lt _ ε_pos x with n hn ** case mk.intro β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ ∀ᶠ (x_1 : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 { val := x, property := hx }, dist (Sigma.snd (inducedMap A) x_1) (Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx }) < ε ** rw [_root_.eventually_nhds_iff] ** case mk.intro β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ ∃ t, (∀ (x_1 : ↑(inducedMap A).fst), x_1 ∈ t → dist (Sigma.snd (inducedMap A) x_1) (Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx }) < ε) ∧ IsOpen t ∧ { val := x, property := hx } ∈ t ** refine' ⟨(↑)⁻¹' cylinder x n, _, _, by simp⟩ ** case mk.intro.refine'_2 β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ IsOpen (Subtype.val ⁻¹' cylinder x n) ** apply continuous_subtype_val.isOpen_preimage ** case mk.intro.refine'_2.a β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ IsOpen (cylinder x n) ** apply isOpen_cylinder ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ { val := x, property := hx } ∈ Subtype.val ⁻¹' cylinder x n ** simp ** case mk.intro.refine'_1 β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ ∀ (x_1 : ↑(inducedMap A).fst), x_1 ∈ Subtype.val ⁻¹' cylinder x n → dist (Sigma.snd (inducedMap A) x_1) (Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx }) < ε ** rintro ⟨y, hy⟩ hyx ** case mk.intro.refine'_1.mk β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hyx : { val := y, property := hy } ∈ Subtype.val ⁻¹' cylinder x n ⊢ dist (Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy }) (Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx }) < ε ** rw [mem_preimage, Subtype.coe_mk, cylinder_eq_res, mem_setOf] at hyx ** case mk.intro.refine'_1.mk β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hyx : res y n = res x n ⊢ dist (Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy }) (Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx }) < ε ** apply hn ** case mk.intro.refine'_1.mk.x β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hyx : res y n = res x n ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) { val := x, property := hx } ∈ A (res x n) ** apply map_mem ** case mk.intro.refine'_1.mk.x β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hyx : res y n = res x n ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } ∈ A (res x n) ** rw [← hyx] ** case mk.intro.refine'_1.mk.x β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : DiscreteTopology β hA : VanishingDiam A x : ℕ → β hx : x ∈ (inducedMap A).fst ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε y : ℕ → β hy : y ∈ (inducedMap A).fst hyx : res y n = res x n ⊢ Sigma.snd (inducedMap A) { val := y, property := hy } ∈ A (res y n) ** apply map_mem ** Qed
| |
CantorScheme.ClosureAntitone.map_of_vanishingDiam ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) ⊢ (inducedMap A).fst = univ ** rw [eq_univ_iff_forall] ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) ⊢ ∀ (x : ℕ → β), x ∈ (inducedMap A).fst ** intro x ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β ⊢ x ∈ (inducedMap A).fst ** choose u hu using fun n => hnonempty (res x n) ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) ⊢ x ∈ (inducedMap A).fst ** have umem : ∀ n m : ℕ, n ≤ m → u m ∈ A (res x n) := by
have : Antitone fun n : ℕ => A (res x n) := by
refine' antitone_nat_of_succ_le _
intro n
apply hanti.antitone
intro n m hnm
exact this hnm (hu _) ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ⊢ x ∈ (inducedMap A).fst ** have : CauchySeq u := by
rw [Metric.cauchySeq_iff]
intro ε ε_pos
cases' hdiam.dist_lt _ ε_pos x with n hn
use n
intro m₀ hm₀ m₁ hm₁
apply hn <;> apply umem <;> assumption ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u ⊢ x ∈ (inducedMap A).fst ** cases' cauchySeq_tendsto_of_complete this with y hy ** case intro β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u y : α hy : Tendsto u atTop (𝓝 y) ⊢ x ∈ (inducedMap A).fst ** use y ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u y : α hy : Tendsto u atTop (𝓝 y) ⊢ y ∈ ⋂ n, A (res x n) ** rw [mem_iInter] ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u y : α hy : Tendsto u atTop (𝓝 y) ⊢ ∀ (i : ℕ), y ∈ A (res x i) ** intro n ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u y : α hy : Tendsto u atTop (𝓝 y) n : ℕ ⊢ y ∈ A (res x n) ** apply hanti _ (x n) ** case h.a β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u y : α hy : Tendsto u atTop (𝓝 y) n : ℕ ⊢ y ∈ closure (A (x n :: res x n)) ** apply mem_closure_of_tendsto hy ** case h.a β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u y : α hy : Tendsto u atTop (𝓝 y) n : ℕ ⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, u x_1 ∈ A (x n :: res x n) ** rw [eventually_atTop] ** case h.a β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) this : CauchySeq u y : α hy : Tendsto u atTop (𝓝 y) n : ℕ ⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → u b ∈ A (x n :: res x n) ** exact ⟨n.succ, umem _⟩ ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) ⊢ ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ** have : Antitone fun n : ℕ => A (res x n) := by
refine' antitone_nat_of_succ_le _
intro n
apply hanti.antitone ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) this : Antitone fun n => A (res x n) ⊢ ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ** intro n m hnm ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) this : Antitone fun n => A (res x n) n m : ℕ hnm : n ≤ m ⊢ u m ∈ A (res x n) ** exact this hnm (hu _) ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) ⊢ Antitone fun n => A (res x n) ** refine' antitone_nat_of_succ_le _ ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) ⊢ ∀ (n : ℕ), A (res x (n + 1)) ≤ A (res x n) ** intro n ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) n : ℕ ⊢ A (res x (n + 1)) ≤ A (res x n) ** apply hanti.antitone ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ⊢ CauchySeq u ** rw [Metric.cauchySeq_iff] ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : ℕ), m ≥ N → ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u m) (u n) < ε ** intro ε ε_pos ** β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ε : ℝ ε_pos : ε > 0 ⊢ ∃ N, ∀ (m : ℕ), m ≥ N → ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u m) (u n) < ε ** cases' hdiam.dist_lt _ ε_pos x with n hn ** case intro β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ ∃ N, ∀ (m : ℕ), m ≥ N → ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u m) (u n) < ε ** use n ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε ⊢ ∀ (m : ℕ), m ≥ n → ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u m) (u n_1) < ε ** intro m₀ hm₀ m₁ hm₁ ** case h β : Type u_1 α : Type u_2 A : List β → Set α inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : CompleteSpace α hdiam : VanishingDiam A hanti : ClosureAntitone A hnonempty : ∀ (l : List β), Set.Nonempty (A l) x : ℕ → β u : ℕ → α hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n) umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n) ε : ℝ ε_pos : ε > 0 n : ℕ hn : ∀ (y : α), y ∈ A (res x n) → ∀ (z : α), z ∈ A (res x n) → dist y z < ε m₀ : ℕ hm₀ : m₀ ≥ n m₁ : ℕ hm₁ : m₁ ≥ n ⊢ dist (u m₀) (u m₁) < ε ** apply hn <;> apply umem <;> assumption ** Qed
| |
exists_Ioo_extr_on_Icc ** X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** have ne : (Icc a b).Nonempty := nonempty_Icc.2 (le_of_lt hab) ** X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** obtain ⟨c, cmem, cle⟩ : ∃ c ∈ Icc a b, ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x :=
isCompact_Icc.exists_forall_le ne hfc ** case intro.intro X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** obtain ⟨C, Cmem, Cge⟩ : ∃ C ∈ Icc a b, ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ f C :=
isCompact_Icc.exists_forall_ge ne hfc ** case intro.intro.intro.intro X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** by_cases hc : f c = f a ** case pos X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** by_cases hC : f C = f a ** case pos X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : f C = f a ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** have : ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a := fun x hx => le_antisymm (hC ▸ Cge x hx) (hc ▸ cle x hx) ** case pos X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : f C = f a this : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x = f a ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** rcases nonempty_Ioo.2 hab with ⟨c', hc'⟩ ** case pos.intro X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : f C = f a this : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x = f a c' : X hc' : c' ∈ Ioo a b ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** refine ⟨c', hc', Or.inl fun x hx ↦ ?_⟩ ** case pos.intro X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : f C = f a this : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x = f a c' : X hc' : c' ∈ Ioo a b x : X hx : x ∈ Icc a b ⊢ x ∈ {x | (fun x => f c' ≤ f x) x} ** simp only [mem_setOf_eq, this x hx, this c' (Ioo_subset_Icc_self hc'), le_rfl] ** case neg X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : ¬f C = f a ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** refine' ⟨C, ⟨lt_of_le_of_ne Cmem.1 <| mt _ hC, lt_of_le_of_ne Cmem.2 <| mt _ hC⟩, Or.inr Cge⟩ ** case neg.refine'_1 X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : ¬f C = f a ⊢ a = C → f C = f a case neg.refine'_2 X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : ¬f C = f a ⊢ C = b → f C = f a ** exacts [fun h => by rw [h], fun h => by rw [h, hfI]] ** X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : ¬f C = f a h : a = C ⊢ f C = f a ** rw [h] ** X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : f c = f a hC : ¬f C = f a h : C = b ⊢ f C = f a ** rw [h, hfI] ** case neg X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : ¬f c = f a ⊢ ∃ c, c ∈ Ioo a b ∧ IsExtrOn f (Icc a b) c ** refine' ⟨c, ⟨lt_of_le_of_ne cmem.1 <| mt _ hc, lt_of_le_of_ne cmem.2 <| mt _ hc⟩, Or.inl cle⟩ ** case neg.refine'_1 X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : ¬f c = f a ⊢ a = c → f c = f a case neg.refine'_2 X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : ¬f c = f a ⊢ c = b → f c = f a ** exacts [fun h => by rw [h], fun h => by rw [h, hfI]] ** X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : ¬f c = f a h : a = c ⊢ f c = f a ** rw [h] ** X : Type u_1 Y : Type u_2 inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X inst✝⁵ : DenselyOrdered X inst✝⁴ : TopologicalSpace X inst✝³ : OrderTopology X inst✝² : LinearOrder Y inst✝¹ : TopologicalSpace Y inst✝ : OrderTopology Y f : X → Y a b : X l : Y hab : a < b hfc : ContinuousOn f (Icc a b) hfI : f a = f b ne : Set.Nonempty (Icc a b) c : X cmem : c ∈ Icc a b cle : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f c ≤ f x C : X Cmem : C ∈ Icc a b Cge : ∀ (x : X), x ∈ Icc a b → f x ≤ f C hc : ¬f c = f a h : c = b ⊢ f c = f a ** rw [h, hfI] ** Qed
| |
ContractingWith.one_sub_K_pos' ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f ⊢ 0 < 1 - ↑K ** simp [hf.1] ** Qed
| |
ContractingWith.one_sub_K_ne_top ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α ⊢ 1 - ↑K ≠ ⊤ ** norm_cast ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α ⊢ ¬1 - ↑K = ⊤ ** exact ENNReal.coe_ne_top ** Qed
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ContractingWith.edist_inequality ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x y : α h : edist x y ≠ ⊤ this : edist x y ≤ edist x (f x) + edist y (f y) + ↑K * edist x y ⊢ edist x y ≤ (edist x (f x) + edist y (f y)) / (1 - ↑K) ** rwa [ENNReal.le_div_iff_mul_le (Or.inl hf.one_sub_K_ne_zero) (Or.inl one_sub_K_ne_top),
mul_comm, ENNReal.sub_mul fun _ _ ↦ h, one_mul, tsub_le_iff_right] ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x y : α h : edist x y ≠ ⊤ ⊢ edist x (f x) + edist (f x) (f y) + edist (f y) y = edist x (f x) + edist y (f y) + edist (f x) (f y) ** rw [edist_comm y, add_right_comm] ** Qed
| |
ContractingWith.edist_le_of_fixedPoint ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x y : α h : edist x y ≠ ⊤ hy : IsFixedPt f y ⊢ edist x y ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K) ** simpa only [hy.eq, edist_self, add_zero] using hf.edist_inequality h ** Qed
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ContractingWith.eq_or_edist_eq_top_of_fixedPoints ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x y : α hx : IsFixedPt f x hy : IsFixedPt f y ⊢ x = y ∨ edist x y = ⊤ ** refine' or_iff_not_imp_right.2 fun h ↦ edist_le_zero.1 _ ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x y : α hx : IsFixedPt f x hy : IsFixedPt f y h : ¬edist x y = ⊤ ⊢ edist x y ≤ 0 ** simpa only [hx.eq, edist_self, add_zero, ENNReal.zero_div] using hf.edist_le_of_fixedPoint h hy ** Qed
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ContractingWith.edist_efixedPoint_le ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ ⊢ edist x (efixedPoint f hf x hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K) ** convert hf.apriori_edist_iterate_efixedPoint_le hx 0 ** case h.e'_4.h.e'_5 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ ⊢ edist x (f x) = edist x (f x) * ↑K ^ 0 ** simp only [pow_zero, mul_one] ** Qed
| |
ContractingWith.efixedPoint_eq_of_edist_lt_top ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ ⊢ efixedPoint f hf x hx = efixedPoint f hf y hy ** refine' (hf.eq_or_edist_eq_top_of_fixedPoints _ _).elim id fun h' ↦ False.elim (ne_of_lt _ h')
<;> try apply efixedPoint_isFixedPt ** case refine'_3 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤ ⊢ edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) < ⊤ ** change edistLtTopSetoid.Rel _ _ ** case refine'_3 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) ** trans x ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid x (efixedPoint f hf y hy) ** trans y ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid x y α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid y (efixedPoint f hf y hy) ** exacts [lt_top_iff_ne_top.2 h, hf.edist_efixedPoint_lt_top hy] ** case refine'_2 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ ⊢ IsFixedPt f (efixedPoint f hf y hy) ** apply efixedPoint_isFixedPt ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid (efixedPoint f hf x hx) x ** apply Setoid.symm' ** case a α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x : α hx : edist x (f x) ≠ ⊤ y : α hy : edist y (f y) ≠ ⊤ h : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid x (efixedPoint f hf x hx) ** exact hf.edist_efixedPoint_lt_top hx ** Qed
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ContractingWith.exists_fixedPoint' ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ IsFixedPt f y ∧ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y) ∧ ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) ** haveI := hsc.completeSpace_coe ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ this : CompleteSpace ↑s ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ IsFixedPt f y ∧ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y) ∧ ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) ** rcases hf.exists_fixedPoint ⟨x, hxs⟩ hx with ⟨y, hfy, h_tendsto, hle⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ this : CompleteSpace ↑s y : ↑s hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) atTop (𝓝 y) hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) y ≤ edist { val := x, property := hxs } (MapsTo.restrict f s s hsf { val := x, property := hxs }) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ IsFixedPt f y ∧ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y) ∧ ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) ** refine' ⟨y, y.2, Subtype.ext_iff_val.1 hfy, _, fun n ↦ _⟩ ** case intro.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ this : CompleteSpace ↑s y : ↑s hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) atTop (𝓝 y) hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) y ≤ edist { val := x, property := hxs } (MapsTo.restrict f s s hsf { val := x, property := hxs }) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) ⊢ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 ↑y) ** convert (continuous_subtype_val.tendsto _).comp h_tendsto ** case intro.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ this : CompleteSpace ↑s y : ↑s hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) atTop (𝓝 y) hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) y ≤ edist { val := x, property := hxs } (MapsTo.restrict f s s hsf { val := x, property := hxs }) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) n : ℕ ⊢ edist (f^[n] x) ↑y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) ** convert hle n ** case h.e'_3 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ this : CompleteSpace ↑s y : ↑s hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) atTop (𝓝 y) hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) y ≤ edist { val := x, property := hxs } (MapsTo.restrict f s s hsf { val := x, property := hxs }) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) n : ℕ ⊢ edist (f^[n] x) ↑y = edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) y ** rw [MapsTo.iterate_restrict] ** case h.e'_3 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ this : CompleteSpace ↑s y : ↑s hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) atTop (𝓝 y) hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] { val := x, property := hxs }) y ≤ edist { val := x, property := hxs } (MapsTo.restrict f s s hsf { val := x, property := hxs }) * ↑K ^ n / (1 - ↑K) n : ℕ ⊢ edist (f^[n] x) ↑y = edist (MapsTo.restrict f^[n] s s (_ : MapsTo f^[n] s s) { val := x, property := hxs }) y ** rfl ** Qed
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ContractingWith.edist_efixedPoint_le' ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ ⊢ edist x (efixedPoint' f hsc hsf hf x hxs hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K) ** convert hf.apriori_edist_iterate_efixedPoint_le' hsc hsf hxs hx 0 ** case h.e'_4.h.e'_5 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ ⊢ edist x (f x) = edist x (f x) * ↑K ^ 0 ** rw [pow_zero, mul_one] ** Qed
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ContractingWith.efixedPoint_eq_of_edist_lt_top' ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ ⊢ efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx = efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy ** refine' (hf.eq_or_edist_eq_top_of_fixedPoints _ _).elim id fun h' ↦ False.elim (ne_of_lt _ h')
<;> try apply efixedPoint_isFixedPt' ** case refine'_3 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) < ⊤ ** change edistLtTopSetoid.Rel _ _ ** case refine'_3 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) ** trans x ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid x (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) ** trans y ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid x y α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid y (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) ** exact lt_top_iff_ne_top.2 hxy ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid y (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) ** apply edist_efixedPoint_lt_top' ** case refine'_2 α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ ⊢ IsFixedPt f (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) ** apply efixedPoint_isFixedPt' ** α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) x ** apply Setoid.symm' ** case a α : Type u_1 inst✝ : EMetricSpace α cs : CompleteSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f s : Set α hsc : IsComplete s hsf : MapsTo f s s hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf) x : α hxs : x ∈ s hx : edist x (f x) ≠ ⊤ t : Set α htc : IsComplete t htf : MapsTo f t t hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf) y : α hyt : y ∈ t hy : edist y (f y) ≠ ⊤ hxy : edist x y ≠ ⊤ h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤ ⊢ Setoid.Rel edistLtTopSetoid x (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) ** apply edist_efixedPoint_lt_top' ** Qed
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ContractingWith.dist_inequality ** α : Type u_1 inst✝ : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x y : α this : dist x y ≤ dist x (f x) + dist y (f y) + ↑K * dist x y ⊢ dist x y ≤ (dist x (f x) + dist y (f y)) / (1 - ↑K) ** rwa [le_div_iff hf.one_sub_K_pos, mul_comm, _root_.sub_mul, one_mul, sub_le_iff_le_add] ** Qed
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ContractingWith.dist_le_of_fixedPoint ** α : Type u_1 inst✝ : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f x y : α hy : IsFixedPt f y ⊢ dist x y ≤ dist x (f x) / (1 - ↑K) ** simpa only [hy.eq, dist_self, add_zero] using hf.dist_inequality x y ** Qed
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ContractingWith.dist_fixedPoint_fixedPoint_of_dist_le' ** α : Type u_1 inst✝ : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f g : α → α x y : α hx : IsFixedPt f x hy : IsFixedPt g y C : ℝ hfg : ∀ (z : α), dist (f z) (g z) ≤ C ⊢ dist y (f y) / (1 - ↑K) = dist (f y) (g y) / (1 - ↑K) ** rw [hy.eq, dist_comm] ** Qed
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ContractingWith.aposteriori_dist_iterate_fixedPoint_le ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α x : α n : ℕ ⊢ dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) / (1 - ↑K) ** rw [iterate_succ'] ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α x : α n : ℕ ⊢ dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) ((f ∘ f^[n]) x) / (1 - ↑K) ** apply hf.dist_fixedPoint_le ** Qed
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ContractingWith.tendsto_iterate_fixedPoint ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α x : α ⊢ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 (fixedPoint f hf)) ** convert tendsto_iterate_efixedPoint hf (edist_ne_top x _) ** case h.e'_5.h.e'_3 α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α x : α ⊢ fixedPoint f hf = efixedPoint f hf x (_ : edist x (f x) ≠ ⊤) ** refine' (fixedPoint_unique _ _).symm ** case h.e'_5.h.e'_3 α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α x : α ⊢ IsFixedPt f (efixedPoint f hf x (_ : edist x (f x) ≠ ⊤)) ** apply efixedPoint_isFixedPt ** Qed
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ContractingWith.isFixedPt_fixedPoint_iterate ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] ⊢ IsFixedPt f (fixedPoint f^[n] hf) ** set x := hf.fixedPoint f^[n] ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf ⊢ IsFixedPt f x ** have hx : f^[n] x = x := hf.fixedPoint_isFixedPt ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf hx : f^[n] x = x ⊢ IsFixedPt f x ** have := hf.toLipschitzWith.dist_le_mul x (f x) ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf hx : f^[n] x = x this : dist (f^[n] x) (f^[n] (f x)) ≤ ↑K * dist x (f x) ⊢ IsFixedPt f x ** rw [← iterate_succ_apply, iterate_succ_apply', hx] at this ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf hx : f^[n] x = x this : dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x) ⊢ IsFixedPt f x ** revert this ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf hx : f^[n] x = x ⊢ dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x) → IsFixedPt f x ** contrapose! ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf hx : f^[n] x = x ⊢ ¬IsFixedPt f x → ↑K * dist x (f x) < dist x (f x) ** intro this ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf hx : f^[n] x = x this : ¬IsFixedPt f x ⊢ ↑K * dist x (f x) < dist x (f x) ** have := dist_pos.2 (Ne.symm this) ** α : Type u_1 inst✝² : MetricSpace α K : ℝ≥0 f : α → α hf✝ : ContractingWith K f inst✝¹ : Nonempty α inst✝ : CompleteSpace α n : ℕ hf : ContractingWith K f^[n] x : α := fixedPoint f^[n] hf hx : f^[n] x = x this✝ : ¬IsFixedPt f x this : 0 < dist x (f x) ⊢ ↑K * dist x (f x) < dist x (f x) ** simpa only [NNReal.coe_one, one_mul, NNReal.val_eq_coe] using (mul_lt_mul_right this).mpr hf.left ** Qed
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GromovHausdorff.eq_toGHSpace_iff ** X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X ↔ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p ** simp only [toGHSpace, Quotient.eq] ** X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } ⊢ p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ↔ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p ** refine' ⟨fun h => _, _⟩ ** case refine'_1 X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } h : p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ⊢ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p ** rcases Setoid.symm h with ⟨e⟩ ** case refine'_1.intro X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } h : p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ p } ⊢ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p ** have f := (kuratowskiEmbedding.isometry X).isometryEquivOnRange.trans e ** case refine'_1.intro X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } h : p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ p } f : X ≃ᵢ { x // x ∈ p } ⊢ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p ** use fun x => f x, isometry_subtype_coe.comp f.isometry ** case right X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } h : p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ p } f : X ≃ᵢ { x // x ∈ p } ⊢ (range fun x => ↑(↑f x)) = ↑p ** erw [range_comp, f.range_eq_univ, Set.image_univ, Subtype.range_coe] ** case refine'_2 X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } ⊢ (∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p) → p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ** rintro ⟨Ψ, ⟨isomΨ, rangeΨ⟩⟩ ** case refine'_2.intro.intro X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } isomΨ : Isometry Ψ rangeΨ : range Ψ = ↑p ⊢ p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ** have f :=
((kuratowskiEmbedding.isometry X).isometryEquivOnRange.symm.trans
isomΨ.isometryEquivOnRange).symm ** case refine'_2.intro.intro X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } isomΨ : Isometry Ψ rangeΨ : range Ψ = ↑p f : ↑(range Ψ) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ⊢ p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ** have E :
(range Ψ ≃ᵢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) = (p ≃ᵢ range (kuratowskiEmbedding X)) :=
by dsimp only [NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding]; rw [rangeΨ]; rfl ** case refine'_2.intro.intro X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } isomΨ : Isometry Ψ rangeΨ : range Ψ = ↑p f : ↑(range Ψ) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) E : (↑(range Ψ) ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X }) = ({ x // x ∈ p } ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))) ⊢ p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ** exact ⟨cast E f⟩ ** X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } isomΨ : Isometry Ψ rangeΨ : range Ψ = ↑p f : ↑(range Ψ) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ⊢ (↑(range Ψ) ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X }) = ({ x // x ∈ p } ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))) ** dsimp only [NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding] ** X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } isomΨ : Isometry Ψ rangeΨ : range Ψ = ↑p f : ↑(range Ψ) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ⊢ (↑(range Ψ) ≃ᵢ { x // x ∈ { toCompacts := { carrier := range (kuratowskiEmbedding X), isCompact' := (_ : IsCompact (range (kuratowskiEmbedding X))) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty (range fun y => kuratowskiEmbedding X y)) } }) = ({ x // x ∈ p } ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))) ** rw [rangeΨ] ** X : Type u inst✝² : MetricSpace X inst✝¹ : CompactSpace X inst✝ : Nonempty X p : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } isomΨ : Isometry Ψ rangeΨ : range Ψ = ↑p f : ↑(range Ψ) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ⊢ (↑↑p ≃ᵢ { x // x ∈ { toCompacts := { carrier := range (kuratowskiEmbedding X), isCompact' := (_ : IsCompact (range (kuratowskiEmbedding X))) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty (range fun y => kuratowskiEmbedding X y)) } }) = ({ x // x ∈ p } ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))) ** rfl ** Qed
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GromovHausdorff.GHSpace.toGHSpace_rep ** p : GHSpace ⊢ toGHSpace (Rep p) = p ** change toGHSpace (Quot.out p : NonemptyCompacts ℓ_infty_ℝ) = p ** p : GHSpace ⊢ toGHSpace { x // x ∈ Quot.out p } = p ** rw [← eq_toGHSpace] ** p : GHSpace ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid (Quot.out p) = p ** exact Quot.out_eq p ** Qed
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GromovHausdorff.toGHSpace_eq_toGHSpace_iff_isometryEquiv ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ toGHSpace X = toGHSpace Y → Nonempty (X ≃ᵢ Y) ** simp only [toGHSpace] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) = Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y) → Nonempty (X ≃ᵢ Y) ** rw [Quotient.eq] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y → Nonempty (X ≃ᵢ Y) ** rintro ⟨e⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y } ⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y) ** have I :
(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≃ᵢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y) =
(range (kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ range (kuratowskiEmbedding Y)) :=
by dsimp only [NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding]; rfl ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y } I : ({ x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y }) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) ⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y) ** have f := (kuratowskiEmbedding.isometry X).isometryEquivOnRange ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y } I : ({ x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y }) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) f : X ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y) ** have g := (kuratowskiEmbedding.isometry Y).isometryEquivOnRange.symm ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y } I : ({ x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y }) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) f : X ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) g : ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) ≃ᵢ Y ⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y) ** exact ⟨f.trans <| (cast I e).trans g⟩ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y } ⊢ ({ x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y }) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) ** dsimp only [NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y } ⊢ ({ x // x ∈ { toCompacts := { carrier := range (kuratowskiEmbedding X), isCompact' := (_ : IsCompact (range (kuratowskiEmbedding X))) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty (range fun y => kuratowskiEmbedding X y)) } } ≃ᵢ { x // x ∈ { toCompacts := { carrier := range (kuratowskiEmbedding Y), isCompact' := (_ : IsCompact (range (kuratowskiEmbedding Y))) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty (range fun y => kuratowskiEmbedding Y y)) } }) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) ** rfl ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y) → toGHSpace X = toGHSpace Y ** rintro ⟨e⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y ⊢ toGHSpace X = toGHSpace Y ** simp only [toGHSpace, Quotient.eq'] ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) = Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y) ** have f := (kuratowskiEmbedding.isometry X).isometryEquivOnRange.symm ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) = Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y) ** have g := (kuratowskiEmbedding.isometry Y).isometryEquivOnRange ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) = Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y) ** have I :
(range (kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ range (kuratowskiEmbedding Y)) =
(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≃ᵢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y) :=
by dsimp only [NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding]; rfl ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) I : (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = ({ x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y }) ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) = Quotient.mk IsometryRel.setoid (NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y) ** rw [Quotient.eq] ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) I : (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = ({ x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y }) ⊢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y ** exact ⟨cast I ((f.trans e).trans g)⟩ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) ⊢ (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = ({ x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X } ≃ᵢ { x // x ∈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y }) ** dsimp only [NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y e : X ≃ᵢ Y f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) ⊢ (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = ({ x // x ∈ { toCompacts := { carrier := range (kuratowskiEmbedding X), isCompact' := (_ : IsCompact (range (kuratowskiEmbedding X))) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty (range fun y => kuratowskiEmbedding X y)) } } ≃ᵢ { x // x ∈ { toCompacts := { carrier := range (kuratowskiEmbedding Y), isCompact' := (_ : IsCompact (range (kuratowskiEmbedding Y))) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty (range fun y => kuratowskiEmbedding Y y)) } }) ** rfl ** Qed
| |
GromovHausdorff.dist_ghDist ** p q : GHSpace ⊢ dist p q = ghDist (GHSpace.Rep p) (GHSpace.Rep q) ** rw [ghDist, p.toGHSpace_rep, q.toGHSpace_rep] ** Qed
| |
GromovHausdorff.ghDist_le_hausdorffDist ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** rcases exists_mem_of_nonempty X with ⟨xX, _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** let s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** let Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, mem_union_left _ (mem_range_self _)⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** let Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, mem_union_right _ (mem_range_self _)⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** have IΦ' : Isometry Φ' := fun x y => ha x y ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** have IΨ' : Isometry Ψ' := fun x y => hb x y ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** have : IsCompact s := (isCompact_range ha.continuous).union (isCompact_range hb.continuous) ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this : IsCompact s ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** letI : MetricSpace (Subtype s) := by infer_instance ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝ : IsCompact s this : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** haveI : CompactSpace (Subtype s) := ⟨isCompact_iff_isCompact_univ.1 ‹IsCompact s›⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝¹ : IsCompact s this✝ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this : CompactSpace (Subtype s) ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** haveI : Nonempty (Subtype s) := ⟨Φ' xX⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** have ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' := by funext; rfl ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** have ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' := by funext; rfl ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** have : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') := by
rw [ΦΦ', ΨΨ', range_comp, range_comp]
exact hausdorffDist_image isometry_subtype_coe ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝³ : IsCompact s this✝² : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝¹ : CompactSpace (Subtype s) this✝ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** rw [this] ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝³ : IsCompact s this✝² : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝¹ : CompactSpace (Subtype s) this✝ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ** let F := kuratowskiEmbedding (Subtype s) ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝³ : IsCompact s this✝² : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝¹ : CompactSpace (Subtype s) this✝ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ** have : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') :=
hausdorffDist_image (kuratowskiEmbedding.isometry _) ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ** rw [← this] ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ** let A : NonemptyCompacts ℓ_infty_ℝ :=
⟨⟨F '' range Φ',
(isCompact_range IΦ'.continuous).image (kuratowskiEmbedding.isometry _).continuous⟩,
(range_nonempty _).image _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ** let B : NonemptyCompacts ℓ_infty_ℝ :=
⟨⟨F '' range Ψ',
(isCompact_range IΨ'.continuous).image (kuratowskiEmbedding.isometry _).continuous⟩,
(range_nonempty _).image _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ** have AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X := by
rw [eq_toGHSpace_iff]
exact ⟨fun x => F (Φ' x), (kuratowskiEmbedding.isometry _).comp IΦ', range_comp _ _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ** have BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y := by
rw [eq_toGHSpace_iff]
exact ⟨fun x => F (Ψ' x), (kuratowskiEmbedding.isometry _).comp IΨ', range_comp _ _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X BY : Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ** refine' csInf_le ⟨0, _⟩ _ ** case intro.refine'_2 X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X BY : Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y ⊢ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ∈ (fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | Quotient.mk IsometryRel.setoid a = toGHSpace X} ×ˢ {b | Quotient.mk IsometryRel.setoid b = toGHSpace Y} ** apply (mem_image _ _ _).2 ** case intro.refine'_2 X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X BY : Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y ⊢ ∃ x, x ∈ {a | Quotient.mk IsometryRel.setoid a = toGHSpace X} ×ˢ {b | Quotient.mk IsometryRel.setoid b = toGHSpace Y} ∧ hausdorffDist ↑x.1 ↑x.2 = hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ** exists (⟨A, B⟩ : NonemptyCompacts ℓ_infty_ℝ × NonemptyCompacts ℓ_infty_ℝ) ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this : IsCompact s ⊢ MetricSpace (Subtype s) ** infer_instance ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ⊢ Φ = Subtype.val ∘ Φ' ** funext ** case h X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) x✝ : X ⊢ Φ x✝ = (Subtype.val ∘ Φ') x✝ ** rfl ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ⊢ Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' ** funext ** case h X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' x✝ : Y ⊢ Ψ x✝ = (Subtype.val ∘ Ψ') x✝ ** rfl ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' ⊢ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ** rw [ΦΦ', ΨΨ', range_comp, range_comp] ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝² : IsCompact s this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝ : CompactSpace (Subtype s) this : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' ⊢ hausdorffDist (Subtype.val '' range Φ') (Subtype.val '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') ** exact hausdorffDist_image isometry_subtype_coe ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X ** rw [eq_toGHSpace_iff] ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } ⊢ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑A ** exact ⟨fun x => F (Φ' x), (kuratowskiEmbedding.isometry _).comp IΦ', range_comp _ _⟩ ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X ⊢ Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y ** rw [eq_toGHSpace_iff] ** X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X ⊢ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑B ** exact ⟨fun x => F (Ψ' x), (kuratowskiEmbedding.isometry _).comp IΨ', range_comp _ _⟩ ** case intro.refine'_1 X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X BY : Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y ⊢ 0 ∈ lowerBounds ((fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | Quotient.mk IsometryRel.setoid a = toGHSpace X} ×ˢ {b | Quotient.mk IsometryRel.setoid b = toGHSpace Y}) ** simp only [lowerBounds, mem_image, mem_prod, mem_setOf_eq, Prod.exists, and_imp,
forall_exists_index] ** case intro.refine'_1 X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X BY : Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y ⊢ ∀ ⦃a : ℝ⦄ (x x_1 : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid x = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid x_1 = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑x ↑x_1 = a → 0 ≤ a ** intro t _ _ _ _ ht ** case intro.refine'_1 X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X BY : Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y t : ℝ x✝¹ x✝ : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } a✝¹ : Quotient.mk IsometryRel.setoid x✝¹ = toGHSpace X a✝ : Quotient.mk IsometryRel.setoid x✝ = toGHSpace Y ht : hausdorffDist ↑x✝¹ ↑x✝ = t ⊢ 0 ≤ t ** rw [← ht] ** case intro.refine'_1 X : Type u inst✝⁶ : MetricSpace X inst✝⁵ : CompactSpace X inst✝⁴ : Nonempty X Y : Type v inst✝³ : MetricSpace Y inst✝² : CompactSpace Y inst✝¹ : Nonempty Y γ : Type w inst✝ : MetricSpace γ Φ : X → γ Ψ : Y → γ ha : Isometry Φ hb : Isometry Ψ xX : X h✝ : xX ∈ univ s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ Φ' : X → Subtype s := fun y => { val := Φ y, property := (_ : Φ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } Ψ' : Y → Subtype s := fun y => { val := Ψ y, property := (_ : Ψ y ∈ range Φ ∪ range Ψ) } IΦ' : Isometry Φ' IΨ' : Isometry Ψ' this✝⁴ : IsCompact s this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance this✝² : CompactSpace (Subtype s) this✝¹ : Nonempty (Subtype s) ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ' ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ' this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') F : Subtype s → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (Subtype s) this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ') A : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Φ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Φ')) } B : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := { toCompacts := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := (_ : IsCompact (F '' range Ψ')) }, nonempty' := (_ : Set.Nonempty ((fun a => F a) '' range Ψ')) } AX : Quotient.mk IsometryRel.setoid A = toGHSpace X BY : Quotient.mk IsometryRel.setoid B = toGHSpace Y t : ℝ x✝¹ x✝ : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } a✝¹ : Quotient.mk IsometryRel.setoid x✝¹ = toGHSpace X a✝ : Quotient.mk IsometryRel.setoid x✝ = toGHSpace Y ht : hausdorffDist ↑x✝¹ ↑x✝ = t ⊢ 0 ≤ hausdorffDist ↑x✝¹ ↑x✝ ** exact hausdorffDist_nonneg ** Qed
| |
GromovHausdorff.hausdorffDist_optimal ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) = ghDist X Y ** inhabit X ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h : Inhabited X ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) = ghDist X Y ** inhabit Y ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q B : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) = ghDist X Y ** refine' le_antisymm _ _ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y ⊢ ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** intro p q hp hq bound ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** rcases eq_toGHSpace_iff.1 hp with ⟨Φ, ⟨Φisom, Φrange⟩⟩ ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** rcases eq_toGHSpace_iff.1 hq with ⟨Ψ, ⟨Ψisom, Ψrange⟩⟩ ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** have I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam (univ : Set X) + 1 + 2 * diam (univ : Set Y) := by
rcases exists_mem_of_nonempty X with ⟨xX, _⟩
have : ∃ y ∈ range Ψ, dist (Φ xX) y < diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := by
rw [Ψrange]
have : Φ xX ∈ ↑p := Φrange.subst (mem_range_self _)
exact
exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt this bound
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty
p.isCompact.isBounded q.isCompact.isBounded)
rcases this with ⟨y, hy, dy⟩
rcases mem_range.1 hy with ⟨z, hzy⟩
rw [← hzy] at dy
have DΦ : diam (range Φ) = diam (univ : Set X) := Φisom.diam_range
have DΨ : diam (range Ψ) = diam (univ : Set Y) := Ψisom.diam_range
calc
diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ diam (range Φ) + dist (Φ xX) (Ψ z) + diam (range Ψ) :=
diam_union (mem_range_self _) (mem_range_self _)
_ ≤
diam (univ : Set X) + (diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y)) +
diam (univ : Set Y) := by
rw [DΦ, DΨ]
gcongr
_ = 2 * diam (univ : Set X) + 1 + 2 * diam (univ : Set Y) := by ring ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** let f : Sum X Y → ℓ_infty_ℝ := fun x =>
match x with
| inl y => Φ y
| inr z => Ψ z ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** let F : Sum X Y × Sum X Y → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** let Fb := candidatesBOfCandidates F Fgood ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** have : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb :=
hausdorffDist_optimal_le_HD _ _ (candidatesBOfCandidates_mem F Fgood) ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** refine' le_trans this (le_of_forall_le_of_dense fun r hr => _) ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r ⊢ HD Fb ≤ r ** have I1 : ∀ x : X, (⨅ y, Fb (inl x, inr y)) ≤ r := by
intro x
have : f (inl x) ∈ ↑p := Φrange.subst (mem_range_self _)
rcases exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt this hr
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty p.isCompact.isBounded
q.isCompact.isBounded) with
⟨z, zq, hz⟩
have : z ∈ range Ψ := by rwa [← Ψrange] at zq
rcases mem_range.1 this with ⟨y, hy⟩
calc
(⨅ y, Fb (inl x, inr y)) ≤ Fb (inl x, inr y) :=
ciInf_le (by simpa only [add_zero] using HD_below_aux1 0) y
_ = dist (Φ x) (Ψ y) := rfl
_ = dist (f (inl x)) z := by rw [hy]
_ ≤ r := le_of_lt hz ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ⊢ HD Fb ≤ r ** have I2 : ∀ y : Y, (⨅ x, Fb (inl x, inr y)) ≤ r := by
intro y
have : f (inr y) ∈ ↑q := Ψrange.subst (mem_range_self _)
rcases exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt' this hr
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty p.isCompact.isBounded
q.isCompact.isBounded) with
⟨z, zq, hz⟩
have : z ∈ range Φ := by rwa [← Φrange] at zq
rcases mem_range.1 this with ⟨x, hx⟩
calc
(⨅ x, Fb (inl x, inr y)) ≤ Fb (inl x, inr y) :=
ciInf_le (by simpa only [add_zero] using HD_below_aux2 0) x
_ = dist (Φ x) (Ψ y) := rfl
_ = dist z (f (inr y)) := by rw [hx]
_ ≤ r := le_of_lt hz ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r I2 : ∀ (y : Y), ⨅ x, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ⊢ HD Fb ≤ r ** simp only [HD, ciSup_le I1, ciSup_le I2, max_le_iff, and_self_iff] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** rcases exists_mem_of_nonempty X with ⟨xX, _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** have : ∃ y ∈ range Ψ, dist (Φ xX) y < diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := by
rw [Ψrange]
have : Φ xX ∈ ↑p := Φrange.subst (mem_range_self _)
exact
exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt this bound
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty
p.isCompact.isBounded q.isCompact.isBounded) ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ this : ∃ y, y ∈ range Ψ ∧ dist (Φ xX) y < diam univ + 1 + diam univ ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** rcases this with ⟨y, hy, dy⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ dy : dist (Φ xX) y < diam univ + 1 + diam univ ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** rcases mem_range.1 hy with ⟨z, hzy⟩ ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ dy : dist (Φ xX) y < diam univ + 1 + diam univ z : Y hzy : Ψ z = y ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** rw [← hzy] at dy ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ z : Y dy : dist (Φ xX) (Ψ z) < diam univ + 1 + diam univ hzy : Ψ z = y ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** have DΦ : diam (range Φ) = diam (univ : Set X) := Φisom.diam_range ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ z : Y dy : dist (Φ xX) (Ψ z) < diam univ + 1 + diam univ hzy : Ψ z = y DΦ : diam (range Φ) = diam univ ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** have DΨ : diam (range Ψ) = diam (univ : Set Y) := Ψisom.diam_range ** case intro.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ z : Y dy : dist (Φ xX) (Ψ z) < diam univ + 1 + diam univ hzy : Ψ z = y DΦ : diam (range Φ) = diam univ DΨ : diam (range Ψ) = diam univ ⊢ diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** calc
diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ diam (range Φ) + dist (Φ xX) (Ψ z) + diam (range Ψ) :=
diam_union (mem_range_self _) (mem_range_self _)
_ ≤
diam (univ : Set X) + (diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y)) +
diam (univ : Set Y) := by
rw [DΦ, DΨ]
gcongr
_ = 2 * diam (univ : Set X) + 1 + 2 * diam (univ : Set Y) := by ring ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ ⊢ ∃ y, y ∈ range Ψ ∧ dist (Φ xX) y < diam univ + 1 + diam univ ** rw [Ψrange] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ ⊢ ∃ y, y ∈ ↑q ∧ dist (Φ xX) y < diam univ + 1 + diam univ ** have : Φ xX ∈ ↑p := Φrange.subst (mem_range_self _) ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ this : Φ xX ∈ ↑p ⊢ ∃ y, y ∈ ↑q ∧ dist (Φ xX) y < diam univ + 1 + diam univ ** exact
exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt this bound
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty
p.isCompact.isBounded q.isCompact.isBounded) ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ z : Y dy : dist (Φ xX) (Ψ z) < diam univ + 1 + diam univ hzy : Ψ z = y DΦ : diam (range Φ) = diam univ DΨ : diam (range Ψ) = diam univ ⊢ diam (range Φ) + dist (Φ xX) (Ψ z) + diam (range Ψ) ≤ diam univ + (diam univ + 1 + diam univ) + diam univ ** rw [DΦ, DΨ] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ z : Y dy : dist (Φ xX) (Ψ z) < diam univ + 1 + diam univ hzy : Ψ z = y DΦ : diam (range Φ) = diam univ DΨ : diam (range Ψ) = diam univ ⊢ diam univ + dist (Φ xX) (Ψ z) + diam univ ≤ diam univ + (diam univ + 1 + diam univ) + diam univ ** gcongr ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q xX : X h✝ : xX ∈ univ y : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hy : y ∈ range Ψ z : Y dy : dist (Φ xX) (Ψ z) < diam univ + 1 + diam univ hzy : Ψ z = y DΦ : diam (range Φ) = diam univ DΨ : diam (range Ψ) = diam univ ⊢ diam univ + (diam univ + 1 + diam univ) + diam univ = 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ ** ring ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ⊢ F ∈ candidates X Y ** simp only [candidates, forall_const, and_true_iff, add_comm, eq_self_iff_true, dist_eq_zero,
and_self_iff, Set.mem_setOf_eq] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ⊢ ((((∀ (x y : X), dist (Φ x) (Φ y) = dist x y) ∧ ∀ (x y : Y), dist (Ψ x) (Ψ y) = dist x y) ∧ ∀ (x y : X ⊕ Y), dist (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) = dist (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z)) ∧ ∀ (x y z : X ⊕ Y), dist (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match z with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) ≤ dist (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) + dist (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match z with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z)) ∧ ∀ (x y : X ⊕ Y), dist (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) ** repeat' constructor ** case left.left.left X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ⊢ (∀ (x y : X), dist (Φ x) (Φ y) = dist x y) ∧ ∀ (x y : Y), dist (Ψ x) (Ψ y) = dist x y ** constructor ** case left.left.left.left X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ⊢ ∀ (x y : X), dist (Φ x) (Φ y) = dist x y ** exact fun x y =>
calc
F (inl x, inl y) = dist (Φ x) (Φ y) := rfl
_ = dist x y := Φisom.dist_eq x y ** case left.left.left.right X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ⊢ ∀ (x y : Y), dist (Ψ x) (Ψ y) = dist x y ** exact fun x y =>
calc
F (inr x, inr y) = dist (Ψ x) (Ψ y) := rfl
_ = dist x y := Ψisom.dist_eq x y ** case left.left.right X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ⊢ ∀ (x y : X ⊕ Y), dist (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) = dist (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) ** exact fun x y => dist_comm _ _ ** case left.right X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) ⊢ ∀ (x y z : X ⊕ Y), dist (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match z with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) ≤ dist (match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) + dist (match y with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) (match z with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z) ** exact fun x y z => dist_triangle _ _ _ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y A : ∀ (z : X ⊕ Y), f z ∈ range Φ ∪ range Ψ ⊢ F (x, y) ≤ diam (range Φ ∪ range Ψ) ** refine' dist_le_diam_of_mem _ (A _) (A _) ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y A : ∀ (z : X ⊕ Y), f z ∈ range Φ ∪ range Ψ ⊢ Bornology.IsBounded (range Φ ∪ range Ψ) ** rw [Φrange, Ψrange] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y A : ∀ (z : X ⊕ Y), f z ∈ range Φ ∪ range Ψ ⊢ Bornology.IsBounded (↑p ∪ ↑q) ** exact (p ⊔ q).isCompact.isBounded ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y ⊢ ∀ (z : X ⊕ Y), f z ∈ range Φ ∪ range Ψ ** intro z ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y z : X ⊕ Y ⊢ f z ∈ range Φ ∪ range Ψ ** cases z ** case inl X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y val✝ : X ⊢ f (inl val✝) ∈ range Φ ∪ range Ψ ** apply mem_union_left ** case inl.a X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y val✝ : X ⊢ f (inl val✝) ∈ range Φ ** apply mem_range_self ** case inr X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y val✝ : Y ⊢ f (inr val✝) ∈ range Φ ∪ range Ψ ** apply mem_union_right ** case inr.a X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) x y : X ⊕ Y val✝ : Y ⊢ f (inr val✝) ∈ range Ψ ** apply mem_range_self ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r ⊢ ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** intro x ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X ⊢ ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** have : f (inl x) ∈ ↑p := Φrange.subst (mem_range_self _) ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X this : f (inl x) ∈ ↑p ⊢ ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** rcases exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt this hr
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty p.isCompact.isBounded
q.isCompact.isBounded) with
⟨z, zq, hz⟩ ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X this : f (inl x) ∈ ↑p z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑q hz : dist (f (inl x)) z < r ⊢ ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** have : z ∈ range Ψ := by rwa [← Ψrange] at zq ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X this✝ : f (inl x) ∈ ↑p z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑q hz : dist (f (inl x)) z < r this : z ∈ range Ψ ⊢ ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** rcases mem_range.1 this with ⟨y, hy⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X this✝ : f (inl x) ∈ ↑p z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑q hz : dist (f (inl x)) z < r this : z ∈ range Ψ y : Y hy : Ψ y = z ⊢ ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** calc
(⨅ y, Fb (inl x, inr y)) ≤ Fb (inl x, inr y) :=
ciInf_le (by simpa only [add_zero] using HD_below_aux1 0) y
_ = dist (Φ x) (Ψ y) := rfl
_ = dist (f (inl x)) z := by rw [hy]
_ ≤ r := le_of_lt hz ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X this : f (inl x) ∈ ↑p z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑q hz : dist (f (inl x)) z < r ⊢ z ∈ range Ψ ** rwa [← Ψrange] at zq ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X this✝ : f (inl x) ∈ ↑p z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑q hz : dist (f (inl x)) z < r this : z ∈ range Ψ y : Y hy : Ψ y = z ⊢ BddBelow (range fun y => ↑Fb (inl x, inr y)) ** simpa only [add_zero] using HD_below_aux1 0 ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r x : X this✝ : f (inl x) ∈ ↑p z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑q hz : dist (f (inl x)) z < r this : z ∈ range Ψ y : Y hy : Ψ y = z ⊢ dist (Φ x) (Ψ y) = dist (f (inl x)) z ** rw [hy] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ⊢ ∀ (y : Y), ⨅ x, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** intro y ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y ⊢ ⨅ x, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** have : f (inr y) ∈ ↑q := Ψrange.subst (mem_range_self _) ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y this : f (inr y) ∈ ↑q ⊢ ⨅ x, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** rcases exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt' this hr
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty p.isCompact.isBounded
q.isCompact.isBounded) with
⟨z, zq, hz⟩ ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y this : f (inr y) ∈ ↑q z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑p hz : dist z (f (inr y)) < r ⊢ ⨅ x, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** have : z ∈ range Φ := by rwa [← Φrange] at zq ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y this✝ : f (inr y) ∈ ↑q z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑p hz : dist z (f (inr y)) < r this : z ∈ range Φ ⊢ ⨅ x, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** rcases mem_range.1 this with ⟨x, hx⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y this✝ : f (inr y) ∈ ↑q z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑p hz : dist z (f (inr y)) < r this : z ∈ range Φ x : X hx : Φ x = z ⊢ ⨅ x, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r ** calc
(⨅ x, Fb (inl x, inr y)) ≤ Fb (inl x, inr y) :=
ciInf_le (by simpa only [add_zero] using HD_below_aux2 0) x
_ = dist (Φ x) (Ψ y) := rfl
_ = dist z (f (inr y)) := by rw [hx]
_ ≤ r := le_of_lt hz ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y this : f (inr y) ∈ ↑q z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑p hz : dist z (f (inr y)) < r ⊢ z ∈ range Φ ** rwa [← Φrange] at zq ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y this✝ : f (inr y) ∈ ↑q z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑p hz : dist z (f (inr y)) < r this : z ∈ range Φ x : X hx : Φ x = z ⊢ BddBelow (range fun x => ↑Fb (inl x, inr y)) ** simpa only [add_zero] using HD_below_aux2 0 ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y bound : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ Φ : X → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Φisom : Isometry Φ Φrange : range Φ = ↑p Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } Ψisom : Isometry Ψ Ψrange : range Ψ = ↑q I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ f : X ⊕ Y → { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } := fun x => match x with | inl y => Φ y | inr z => Ψ z F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun p => dist (f p.1) (f p.2) Fgood : F ∈ candidates X Y Fb : GromovHausdorff.Cb X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood this✝¹ : hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb r : ℝ hr : hausdorffDist ↑p ↑q < r I1 : ∀ (x : X), ⨅ y, ↑Fb (inl x, inr y) ≤ r y : Y this✝ : f (inr y) ∈ ↑q z : { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } zq : z ∈ ↑p hz : dist z (f (inr y)) < r this : z ∈ range Φ x : X hx : Φ x = z ⊢ dist (Φ x) (Ψ y) = dist z (f (inr y)) ** rw [hx] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ⊢ ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** intro p q hp hq ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** by_cases h :
hausdorffDist (p : Set ℓ_infty_ℝ) q < diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) ** case pos X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y h : hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** exact A p q hp hq h ** case neg X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X hq : Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y h : ¬hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ** calc
hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤
HD (candidatesBDist X Y) :=
hausdorffDist_optimal_le_HD _ _ candidatesBDist_mem_candidatesB
_ ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := HD_candidatesBDist_le
_ ≤ hausdorffDist (p : Set ℓ_infty_ℝ) q := not_lt.1 h ** case refine'_1 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q B : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ ghDist X Y ** apply le_csInf ** case refine'_1.h₁ X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q B : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ⊢ Set.Nonempty ((fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | Quotient.mk IsometryRel.setoid a = toGHSpace X} ×ˢ {b | Quotient.mk IsometryRel.setoid b = toGHSpace Y}) ** refine' (Set.Nonempty.prod _ _).image _ <;> exact ⟨_, rfl⟩ ** case refine'_1.h₂ X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q B : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ⊢ ∀ (b : ℝ), b ∈ (fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | Quotient.mk IsometryRel.setoid a = toGHSpace X} ×ˢ {b | Quotient.mk IsometryRel.setoid b = toGHSpace Y} → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ b ** rintro b ⟨⟨p, q⟩, ⟨hp, hq⟩, rfl⟩ ** case refine'_1.h₂.intro.mk.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q B : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ } hp : (p, q).1 ∈ {a | Quotient.mk IsometryRel.setoid a = toGHSpace X} hq : (p, q).2 ∈ {b | Quotient.mk IsometryRel.setoid b = toGHSpace Y} ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ (fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) (p, q) ** exact B p q hp hq ** case refine'_2 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y inhabited_h✝ : Inhabited X inhabited_h : Inhabited Y A : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q B : ∀ (p q : NonemptyCompacts { x // x ∈ lp (fun n => ℝ) ⊤ }), Quotient.mk IsometryRel.setoid p = toGHSpace X → Quotient.mk IsometryRel.setoid q = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q ⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ** exact ghDist_le_hausdorffDist (isometry_optimalGHInjl X Y) (isometry_optimalGHInjr X Y) ** Qed
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GromovHausdorff.ghDist_eq_hausdorffDist ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ ∃ Φ Ψ, Isometry Φ ∧ Isometry Ψ ∧ ghDist X Y = hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** let F := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y F : OptimalGHCoupling X Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) ⊢ ∃ Φ Ψ, Isometry Φ ∧ Isometry Ψ ∧ ghDist X Y = hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** let Φ := F ∘ optimalGHInjl X Y ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y F : OptimalGHCoupling X Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) Φ : X → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjl X Y ⊢ ∃ Φ Ψ, Isometry Φ ∧ Isometry Ψ ∧ ghDist X Y = hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** let Ψ := F ∘ optimalGHInjr X Y ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y F : OptimalGHCoupling X Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) Φ : X → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjl X Y Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjr X Y ⊢ ∃ Φ Ψ, Isometry Φ ∧ Isometry Ψ ∧ ghDist X Y = hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** refine' ⟨Φ, Ψ, _, _, _⟩ ** case refine'_1 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y F : OptimalGHCoupling X Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) Φ : X → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjl X Y Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjr X Y ⊢ Isometry Φ ** exact (kuratowskiEmbedding.isometry _).comp (isometry_optimalGHInjl X Y) ** case refine'_2 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y F : OptimalGHCoupling X Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) Φ : X → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjl X Y Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjr X Y ⊢ Isometry Ψ ** exact (kuratowskiEmbedding.isometry _).comp (isometry_optimalGHInjr X Y) ** case refine'_3 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y F : OptimalGHCoupling X Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) Φ : X → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjl X Y Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjr X Y ⊢ ghDist X Y = hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) ** rw [← image_univ, ← image_univ, image_comp F, image_univ, image_comp F (optimalGHInjr X Y),
image_univ, ← hausdorffDist_optimal] ** case refine'_3 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y F : OptimalGHCoupling X Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := kuratowskiEmbedding (OptimalGHCoupling X Y) Φ : X → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjl X Y Ψ : Y → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := F ∘ optimalGHInjr X Y ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) = hausdorffDist (F '' range (optimalGHInjl X Y)) (F '' range (optimalGHInjr X Y)) ** exact (hausdorffDist_image (kuratowskiEmbedding.isometry _)).symm ** Qed
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GromovHausdorff.ghDist_le_nonemptyCompacts_dist ** X : Type u inst✝ : MetricSpace X p q : NonemptyCompacts X ⊢ dist (NonemptyCompacts.toGHSpace p) (NonemptyCompacts.toGHSpace q) ≤ dist p q ** have ha : Isometry ((↑) : p → X) := isometry_subtype_coe ** X : Type u inst✝ : MetricSpace X p q : NonemptyCompacts X ha : Isometry Subtype.val ⊢ dist (NonemptyCompacts.toGHSpace p) (NonemptyCompacts.toGHSpace q) ≤ dist p q ** have hb : Isometry ((↑) : q → X) := isometry_subtype_coe ** X : Type u inst✝ : MetricSpace X p q : NonemptyCompacts X ha : Isometry Subtype.val hb : Isometry Subtype.val ⊢ dist (NonemptyCompacts.toGHSpace p) (NonemptyCompacts.toGHSpace q) ≤ dist p q ** have A : dist p q = hausdorffDist (p : Set X) q := rfl ** X : Type u inst✝ : MetricSpace X p q : NonemptyCompacts X ha : Isometry Subtype.val hb : Isometry Subtype.val A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q ⊢ dist (NonemptyCompacts.toGHSpace p) (NonemptyCompacts.toGHSpace q) ≤ dist p q ** have I : ↑p = range ((↑) : p → X) := Subtype.range_coe_subtype.symm ** X : Type u inst✝ : MetricSpace X p q : NonemptyCompacts X ha : Isometry Subtype.val hb : Isometry Subtype.val A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q I : ↑p = range Subtype.val ⊢ dist (NonemptyCompacts.toGHSpace p) (NonemptyCompacts.toGHSpace q) ≤ dist p q ** have J : ↑q = range ((↑) : q → X) := Subtype.range_coe_subtype.symm ** X : Type u inst✝ : MetricSpace X p q : NonemptyCompacts X ha : Isometry Subtype.val hb : Isometry Subtype.val A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q I : ↑p = range Subtype.val J : ↑q = range Subtype.val ⊢ dist (NonemptyCompacts.toGHSpace p) (NonemptyCompacts.toGHSpace q) ≤ dist p q ** rw [A, I, J] ** X : Type u inst✝ : MetricSpace X p q : NonemptyCompacts X ha : Isometry Subtype.val hb : Isometry Subtype.val A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q I : ↑p = range Subtype.val J : ↑q = range Subtype.val ⊢ dist (NonemptyCompacts.toGHSpace p) (NonemptyCompacts.toGHSpace q) ≤ hausdorffDist (range Subtype.val) (range Subtype.val) ** exact ghDist_le_hausdorffDist ha hb ** Qed
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GromovHausdorff.ghDist_le_of_approx_subsets ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ ** refine' le_of_forall_pos_le_add fun δ δ0 => _ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** rcases exists_mem_of_nonempty X with ⟨xX, _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** rcases hs xX with ⟨xs, hxs, Dxs⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have sne : s.Nonempty := ⟨xs, hxs⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** letI : Nonempty s := sne.to_subtype ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have : 0 ≤ ε₂ := le_trans (abs_nonneg _) (H ⟨xs, hxs⟩ ⟨xs, hxs⟩) ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this : 0 ≤ ε₂ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have : ∀ p q : s, |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) := fun p q =>
calc
|dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ ε₂ := H p q
_ ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) := by linarith ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝¹ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝ : 0 ≤ ε₂ this : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** letI : MetricSpace (Sum X Y) :=
glueMetricApprox (fun x : s => (x : X)) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (by linarith) this ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝¹ : 0 ≤ ε₂ this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** let Fl := @Sum.inl X Y ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝¹ : 0 ≤ ε₂ this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝ Fl : X → X ⊕ Y := inl ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** let Fr := @Sum.inr X Y ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝¹ : 0 ≤ ε₂ this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have Il : Isometry Fl := Isometry.of_dist_eq fun x y => rfl ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝¹ : 0 ≤ ε₂ this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have Ir : Isometry Fr := Isometry.of_dist_eq fun x y => rfl ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝¹ : 0 ≤ ε₂ this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) := ghDist_le_hausdorffDist Il Ir ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝³ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝² : 0 ≤ ε₂ this✝¹ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝¹ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have :
hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤
hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) :=
have B : IsBounded (range Fl) := (isCompact_range Il.continuous).isBounded
hausdorffDist_triangle
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded (range_nonempty _) (sne.image _) B
(B.subset (image_subset_range _ _))) ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁴ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝³ : 0 ≤ ε₂ this✝² : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝¹ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝² Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have :
hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤
hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) :=
have B : IsBounded (range Fr) := (isCompact_range Ir.continuous).isBounded
hausdorffDist_triangle'
(hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded ((range_nonempty _).image _) (range_nonempty _)
(B.subset (image_subset_range _ _)) B) ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁵ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁴ : 0 ≤ ε₂ this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝² : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝³ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝¹ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ := by
rw [← image_univ, hausdorffDist_image Il]
have : 0 ≤ ε₁ := le_trans dist_nonneg Dxs
refine' hausdorffDist_le_of_mem_dist this (fun x _ => hs x) fun x _ =>
⟨x, mem_univ _, by simpa only [dist_self]⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁶ : 0 ≤ ε₂ this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** have : hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ≤ ε₃ := by
rw [← @image_univ _ _ Fr, hausdorffDist_image Ir]
rcases exists_mem_of_nonempty Y with ⟨xY, _⟩
rcases hs' xY with ⟨xs', Dxs'⟩
have : 0 ≤ ε₃ := le_trans dist_nonneg Dxs'
refine hausdorffDist_le_of_mem_dist this
(fun x _ => ⟨x, mem_univ _, by simpa only [dist_self]⟩)
fun x _ => ?_
rcases hs' x with ⟨y, Dy⟩
exact ⟨Φ y, mem_range_self _, Dy⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁷ : 0 ≤ ε₂ this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁶ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ this : hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ≤ ε₃ ⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ ** linarith ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this : 0 ≤ ε₂ p q : ↑s ⊢ ε₂ ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) ** linarith ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝¹ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝ : 0 ≤ ε₂ this : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) ⊢ 0 < ε₂ / 2 + δ ** linarith ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁵ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁴ : 0 ≤ ε₂ this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝² : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝³ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝¹ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ⊢ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ ** rw [← image_univ, hausdorffDist_image Il] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁵ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁴ : 0 ≤ ε₂ this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝² : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝³ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝¹ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ⊢ hausdorffDist univ s ≤ ε₁ ** have : 0 ≤ ε₁ := le_trans dist_nonneg Dxs ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : 0 ≤ ε₁ ⊢ hausdorffDist univ s ≤ ε₁ ** refine' hausdorffDist_le_of_mem_dist this (fun x _ => hs x) fun x _ =>
⟨x, mem_univ _, by simpa only [dist_self]⟩ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : 0 ≤ ε₁ x : X x✝ : x ∈ s ⊢ dist x x ≤ ε₁ ** simpa only [dist_self] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ ⊢ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ ** refine' hausdorffDist_le_of_mem_dist (by linarith) _ _ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ ⊢ 0 ≤ ε₂ / 2 + δ ** linarith ** case refine'_1 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ ⊢ ∀ (x : X ⊕ Y), x ∈ Fl '' s → ∃ y, y ∈ Fr '' range Φ ∧ dist x y ≤ ε₂ / 2 + δ ** intro x' hx' ** case refine'_1 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fl '' s ⊢ ∃ y, y ∈ Fr '' range Φ ∧ dist x' y ≤ ε₂ / 2 + δ ** rcases (Set.mem_image _ _ _).1 hx' with ⟨x, ⟨x_in_s, xx'⟩⟩ ** case refine'_1.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fl '' s x : X x_in_s : x ∈ s xx' : Fl x = x' ⊢ ∃ y, y ∈ Fr '' range Φ ∧ dist x' y ≤ ε₂ / 2 + δ ** rw [← xx'] ** case refine'_1.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fl '' s x : X x_in_s : x ∈ s xx' : Fl x = x' ⊢ ∃ y, y ∈ Fr '' range Φ ∧ dist (Fl x) y ≤ ε₂ / 2 + δ ** use Fr (Φ ⟨x, x_in_s⟩), mem_image_of_mem Fr (mem_range_self _) ** case right X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fl '' s x : X x_in_s : x ∈ s xx' : Fl x = x' ⊢ dist (Fl x) (Fr (Φ { val := x, property := x_in_s })) ≤ ε₂ / 2 + δ ** exact le_of_eq (glueDist_glued_points (fun x : s => (x : X)) Φ (ε₂ / 2 + δ) ⟨x, x_in_s⟩) ** case refine'_2 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ ⊢ ∀ (x : X ⊕ Y), x ∈ Fr '' range Φ → ∃ y, y ∈ Fl '' s ∧ dist x y ≤ ε₂ / 2 + δ ** intro x' hx' ** case refine'_2 X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fr '' range Φ ⊢ ∃ y, y ∈ Fl '' s ∧ dist x' y ≤ ε₂ / 2 + δ ** rcases (Set.mem_image _ _ _).1 hx' with ⟨y, ⟨y_in_s', yx'⟩⟩ ** case refine'_2.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fr '' range Φ y : Y y_in_s' : y ∈ range Φ yx' : Fr y = x' ⊢ ∃ y, y ∈ Fl '' s ∧ dist x' y ≤ ε₂ / 2 + δ ** rcases mem_range.1 y_in_s' with ⟨x, xy⟩ ** case refine'_2.intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fr '' range Φ y : Y y_in_s' : y ∈ range Φ yx' : Fr y = x' x : ↑s xy : Φ x = y ⊢ ∃ y, y ∈ Fl '' s ∧ dist x' y ≤ ε₂ / 2 + δ ** use Fl x, mem_image_of_mem _ x.2 ** case right X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fr '' range Φ y : Y y_in_s' : y ∈ range Φ yx' : Fr y = x' x : ↑s xy : Φ x = y ⊢ dist x' (Fl ↑x) ≤ ε₂ / 2 + δ ** rw [← yx', ← xy, dist_comm] ** case right X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁵ : 0 ≤ ε₂ this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ x' : X ⊕ Y hx' : x' ∈ Fr '' range Φ y : Y y_in_s' : y ∈ range Φ yx' : Fr y = x' x : ↑s xy : Φ x = y ⊢ dist (Fl ↑x) (Fr (Φ x)) ≤ ε₂ / 2 + δ ** exact le_of_eq (glueDist_glued_points (Z := s) (@Subtype.val X s) Φ (ε₂ / 2 + δ) x) ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁶ : 0 ≤ ε₂ this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ ⊢ hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ≤ ε₃ ** rw [← @image_univ _ _ Fr, hausdorffDist_image Ir] ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁶ : 0 ≤ ε₂ this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ ⊢ hausdorffDist (range Φ) univ ≤ ε₃ ** rcases exists_mem_of_nonempty Y with ⟨xY, _⟩ ** case intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝¹ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁶ : 0 ≤ ε₂ this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ xY : Y h✝ : xY ∈ univ ⊢ hausdorffDist (range Φ) univ ≤ ε₃ ** rcases hs' xY with ⟨xs', Dxs'⟩ ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝¹ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁶ : 0 ≤ ε₂ this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ xY : Y h✝ : xY ∈ univ xs' : ↑s Dxs' : dist xY (Φ xs') ≤ ε₃ ⊢ hausdorffDist (range Φ) univ ≤ ε₃ ** have : 0 ≤ ε₃ := le_trans dist_nonneg Dxs' ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝¹ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁷ : 0 ≤ ε₂ this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁶ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ xY : Y h✝ : xY ∈ univ xs' : ↑s Dxs' : dist xY (Φ xs') ≤ ε₃ this : 0 ≤ ε₃ ⊢ hausdorffDist (range Φ) univ ≤ ε₃ ** refine hausdorffDist_le_of_mem_dist this
(fun x _ => ⟨x, mem_univ _, by simpa only [dist_self]⟩)
fun x _ => ?_ ** case intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝¹ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁷ : 0 ≤ ε₂ this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁶ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ xY : Y h✝ : xY ∈ univ xs' : ↑s Dxs' : dist xY (Φ xs') ≤ ε₃ this : 0 ≤ ε₃ x : Y x✝ : x ∈ univ ⊢ ∃ y, y ∈ range Φ ∧ dist x y ≤ ε₃ ** rcases hs' x with ⟨y, Dy⟩ ** case intro.intro.intro X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝¹ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁷ : 0 ≤ ε₂ this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁶ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ xY : Y h✝ : xY ∈ univ xs' : ↑s Dxs' : dist xY (Φ xs') ≤ ε₃ this : 0 ≤ ε₃ x : Y x✝ : x ∈ univ y : ↑s Dy : dist x (Φ y) ≤ ε₃ ⊢ ∃ y, y ∈ range Φ ∧ dist x y ≤ ε₃ ** exact ⟨Φ y, mem_range_self _, Dy⟩ ** X : Type u inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X Y : Type v inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y s : Set X Φ : ↑s → Y ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ hs : ∀ (x : X), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε₁ hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃ H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂ δ : ℝ δ0 : 0 < δ xX : X h✝¹ : xX ∈ univ xs : X hxs : xs ∈ s Dxs : dist xX xs ≤ ε₁ sne : Set.Nonempty s this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne this✝⁷ : 0 ≤ ε₂ this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ) this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) (_ : 0 < ε₂ / 2 + δ) this✝⁶ Fl : X → X ⊕ Y := inl Fr : Y → X ⊕ Y := inr Il : Isometry Fl Ir : Isometry Fr this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr) this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁ this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ xY : Y h✝ : xY ∈ univ xs' : ↑s Dxs' : dist xY (Φ xs') ≤ ε₃ this : 0 ≤ ε₃ x : Y x✝ : x ∈ range Φ ⊢ dist x x ≤ ε₃ ** simpa only [dist_self] ** Qed
| |
GromovHausdorff.totallyBounded ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ⊢ TotallyBounded t ** refine' Metric.totallyBounded_of_finite_discretization fun δ δpos => _ ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** let ε := 1 / 5 * δ ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** have εpos : 0 < ε := mul_pos (by norm_num) δpos ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** rcases Metric.tendsto_atTop.1 ulim ε εpos with ⟨n, hn⟩ ** case intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** have u_le_ε : u n ≤ ε := by
have := hn n le_rfl
simp only [Real.dist_eq, add_zero, sub_eq_add_neg, neg_zero] at this
exact le_of_lt (lt_of_le_of_lt (le_abs_self _) this) ** case intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε this : ∀ (p : GHSpace), ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** choose s N hN E hs using this ** case intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** let M := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ ** case intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** let F : GHSpace → Σ k : Fin (K n).succ, Fin k → Fin k → Fin M.succ := fun p =>
⟨⟨N p, lt_of_le_of_lt (hN p) (Nat.lt_succ_self _)⟩, fun a b =>
⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊,
(min_le_left _ _).trans_lt (Nat.lt_succ_self _)⟩⟩ ** case intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } ⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ ** refine' ⟨_, _, fun p => F p, _⟩ ** case intro.refine'_1 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } ⊢ Fintype ((k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M))) case intro.refine'_2 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } ⊢ ∀ (x y : ↑t), (fun p => F ↑p) x = (fun p => F ↑p) y → dist ↑x ↑y < δ ** infer_instance ** case intro.refine'_2 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } ⊢ ∀ (x y : ↑t), (fun p => F ↑p) x = (fun p => F ↑p) y → dist ↑x ↑y < δ ** rintro ⟨p, pt⟩ ⟨q, qt⟩ hpq ** case intro.refine'_2.mk.mk t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } ⊢ dist ↑{ val := p, property := pt } ↑{ val := q, property := qt } < δ ** have Npq : N p = N q := Fin.ext_iff.1 (Sigma.mk.inj_iff.1 hpq).1 ** case intro.refine'_2.mk.mk t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q ⊢ dist ↑{ val := p, property := pt } ↑{ val := q, property := qt } < δ ** let Ψ : s p → s q := fun x => (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x)) ** case intro.refine'_2.mk.mk t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) ⊢ dist ↑{ val := p, property := pt } ↑{ val := q, property := qt } < δ ** let Φ : s p → q.Rep := fun x => Ψ x ** case intro.refine'_2.mk.mk t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) main : ghDist (GHSpace.Rep p) (GHSpace.Rep q) ≤ ε + ε / 2 + ε ⊢ dist ↑{ val := p, property := pt } ↑{ val := q, property := qt } < δ ** calc
dist p q = ghDist p.Rep q.Rep := dist_ghDist p q
_ ≤ ε + ε / 2 + ε := main
_ = δ / 2 := by simp only [one_div]; ring
_ < δ := half_lt_self δpos ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ ⊢ 0 < 1 / 5 ** norm_num ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε ⊢ u n ≤ ε ** have := hn n le_rfl ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε this : dist (u n) 0 < ε ⊢ u n ≤ ε ** simp only [Real.dist_eq, add_zero, sub_eq_add_neg, neg_zero] at this ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε this : |u n| < 1 / 5 * δ ⊢ u n ≤ ε ** exact le_of_lt (lt_of_le_of_lt (le_abs_self _) this) ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε ⊢ ∀ (p : GHSpace), ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** intro p ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** by_cases hp : p ∉ t ** case pos t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬p ∈ t ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** have : Nonempty (Equiv (∅ : Set p.Rep) (Fin 0)) := by
rw [← Fintype.card_eq];
simp only [empty_card', Fintype.card_fin] ** case pos t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬p ∈ t this : Nonempty (↑∅ ≃ Fin 0) ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** use ∅, 0, bot_le, choice this ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬p ∈ t this : Nonempty (↑∅ ≃ Fin 0) ⊢ p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ ∅, ball x (u n) ** exact fun hp' => (hp hp').elim ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬p ∈ t ⊢ Nonempty (↑∅ ≃ Fin 0) ** rw [← Fintype.card_eq] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬p ∈ t ⊢ Fintype.card ↑∅ = Fintype.card (Fin 0) ** simp only [empty_card', Fintype.card_fin] ** case neg t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** rcases hcov _ (Set.not_not_mem.1 hp) n with ⟨s, ⟨scard, scover⟩⟩ ** case neg.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t s : Set (GHSpace.Rep p) scard : #↑s ≤ ↑(K n) scover : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** rcases Cardinal.lt_aleph0.1 (lt_of_le_of_lt scard (Cardinal.nat_lt_aleph0 _)) with ⟨N, hN⟩ ** case neg.intro.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t s : Set (GHSpace.Rep p) scard : #↑s ≤ ↑(K n) scover : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) N : ℕ hN : #↑s = ↑N ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** rw [hN, Cardinal.natCast_le] at scard ** case neg.intro.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t s : Set (GHSpace.Rep p) scover : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) N : ℕ scard : N ≤ K n hN : #↑s = ↑N ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** have : #s = #(Fin N) := by rw [hN, Cardinal.mk_fin] ** case neg.intro.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t s : Set (GHSpace.Rep p) scover : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) N : ℕ scard : N ≤ K n hN : #↑s = ↑N this : #↑s = #(Fin N) ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** cases' Quotient.exact this with E ** case neg.intro.intro.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t s : Set (GHSpace.Rep p) scover : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) N : ℕ scard : N ≤ K n hN : #↑s = ↑N this : #↑s = #(Fin N) E : ↑s ≃ Fin N ⊢ ∃ s N, N ≤ K n ∧ ∃ x, p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** use s, N, scard, E ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t s : Set (GHSpace.Rep p) scover : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) N : ℕ scard : N ≤ K n hN : #↑s = ↑N this : #↑s = #(Fin N) E : ↑s ≃ Fin N ⊢ p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) ** simp only [scover, imp_true_iff] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε p : GHSpace hp : ¬¬p ∈ t s : Set (GHSpace.Rep p) scover : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) N : ℕ scard : N ≤ K n hN : #↑s = ↑N ⊢ #↑s = #(Fin N) ** rw [hN, Cardinal.mk_fin] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) ⊢ ghDist (GHSpace.Rep p) (GHSpace.Rep q) ≤ ε + ε / 2 + ε ** refine' ghDist_le_of_approx_subsets Φ _ _ _ ** case refine'_2 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) ⊢ ∀ (x : GHSpace.Rep q), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) ⊢ ∀ (x y : ↑(s p)), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε ** show ∀ x : q.Rep, ∃ z : s p, dist x (Φ z) ≤ ε ** case refine'_1 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) ⊢ ∀ (x : GHSpace.Rep p), ∃ y, y ∈ s p ∧ dist x y ≤ ε ** intro x ** case refine'_1 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep p ⊢ ∃ y, y ∈ s p ∧ dist x y ≤ ε ** have : x ∈ ⋃ y ∈ s p, ball y (u n) := (hs p pt) (mem_univ _) ** case refine'_1 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep p this : x ∈ ⋃ y ∈ s p, ball y (u n) ⊢ ∃ y, y ∈ s p ∧ dist x y ≤ ε ** rcases mem_iUnion₂.1 this with ⟨y, ys, hy⟩ ** case refine'_1.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep p this : x ∈ ⋃ y ∈ s p, ball y (u n) y : GHSpace.Rep p ys : y ∈ s p hy : x ∈ ball y (u n) ⊢ ∃ y, y ∈ s p ∧ dist x y ≤ ε ** exact ⟨y, ys, le_trans (le_of_lt hy) u_le_ε⟩ ** case refine'_2 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) ⊢ ∀ (x : GHSpace.Rep q), ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** intro x ** case refine'_2 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** have : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) := (hs q qt) (mem_univ _) ** case refine'_2 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** rcases mem_iUnion₂.1 this with ⟨y, ys, hy⟩ ** case refine'_2.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** let i : ℕ := E q ⟨y, ys⟩ ** case refine'_2.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** let hi := ((E q) ⟨y, ys⟩).2 ** case refine'_2.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** have ihi_eq : (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q) ⟨y, ys⟩ := by rw [Fin.ext_iff, Fin.val_mk] ** case refine'_2.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** have hiq : i < N q := hi ** case refine'_2.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** have hip : i < N p := by rwa [Npq.symm] at hiq ** case refine'_2.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** let z := (E p).symm ⟨i, hip⟩ ** case refine'_2.intro.intro t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } ⊢ ∃ z, dist x (Φ z) ≤ ε ** use z ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } ⊢ dist x (Φ z) ≤ ε ** have C1 : (E p) z = ⟨i, hip⟩ := (E p).apply_symm_apply ⟨i, hip⟩ ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } ⊢ dist x (Φ z) ≤ ε ** have C2 : Fin.cast Npq ⟨i, hip⟩ = ⟨i, hi⟩ := rfl ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } ⊢ dist x (Φ z) ≤ ε ** have C3 : (E q).symm ⟨i, hi⟩ = ⟨y, ys⟩ := by
rw [ihi_eq]; exact (E q).symm_apply_apply ⟨y, ys⟩ ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } C3 : ↑(E q).symm { val := i, isLt := hi } = { val := y, property := ys } ⊢ dist x (Φ z) ≤ ε ** have : Φ z = y := by simp only; rw [C1, C2, C3] ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this✝ : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } C3 : ↑(E q).symm { val := i, isLt := hi } = { val := y, property := ys } this : Φ z = y ⊢ dist x (Φ z) ≤ ε ** rw [this] ** case h t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this✝ : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } C3 : ↑(E q).symm { val := i, isLt := hi } = { val := y, property := ys } this : Φ z = y ⊢ dist x y ≤ ε ** exact le_trans (le_of_lt hy) u_le_ε ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ⊢ { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } ** rw [Fin.ext_iff, Fin.val_mk] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q ⊢ i < N p ** rwa [Npq.symm] at hiq ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : 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q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } ⊢ ↑(E q).symm { val := i, isLt := hi } = { val := y, property := ys } ** rw [ihi_eq] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } ⊢ ↑(E q).symm (↑(E q) { val := y, property := ys }) = { val := y, property := ys } ** exact (E q).symm_apply_apply ⟨y, ys⟩ ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } C3 : ↑(E q).symm { val := i, isLt := hi } = { val := y, property := ys } ⊢ Φ z = y ** simp only ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x : GHSpace.Rep q this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) y : GHSpace.Rep q ys : y ∈ s q hy : x ∈ ball y (u n) i : ℕ := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) hi : ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }) < N q := (↑(E q) { val := y, property := ys }).isLt ihi_eq : { val := i, isLt := hi } = ↑(E q) { val := y, property := ys } hiq : i < N q hip : i < N p z : (fun x => ↑(s p)) { val := i, isLt := hip } := ↑(E p).symm { val := i, isLt := hip } C1 : ↑(E p) z = { val := i, isLt := hip } C2 : Fin.cast Npq { val := i, isLt := hip } = { val := i, isLt := hi } C3 : ↑(E q).symm { val := i, isLt := hi } = { val := y, property := ys } ⊢ ↑(↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) (↑(E p).symm { val := ↑(↑(E q) { val := y, property := ys }), isLt := hip })))) = y ** rw [C1, C2, C3] ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) ⊢ ∀ (x y : ↑(s p)), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε ** intro x y ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) ⊢ |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε ** have : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) := rfl ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) ⊢ |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε ** rw [this] ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** let i : ℕ := E p x ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have hip : i < N p := ((E p) x).2 ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have hiq : i < N q := by rwa [Npq] at hip ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have i' : i = (E q) (Ψ x) := by simp only [Equiv.apply_symm_apply, Fin.coe_cast] ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** let j : ℕ := E p y ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have hjp : j < N p := ((E p) y).2 ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have hjq : j < N q := by rwa [Npq] at hjp ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have j' : j = (E q) (Ψ y) := by simp only [Equiv.apply_symm_apply, Fin.coe_cast] ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have Ap : ((F p).2 ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩).1 = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ :=
calc
((F p).2 ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩).1 = ((F p).2 ((E p) x) ((E p) y)).1 := by
congr
_ = min M ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ := by simp only [(E p).symm_apply_apply]
_ = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ := by
refine' min_eq_right (Nat.floor_mono _)
refine' mul_le_mul_of_nonneg_left (le_trans _ (le_max_left _ _)) (inv_pos.2 εpos).le
change dist (x : p.Rep) y ≤ C
refine' (dist_le_diam_of_mem isCompact_univ.isBounded (mem_univ _) (mem_univ _)).trans _
exact hdiam p pt ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have : ((F p).2 ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩).1 = ((F q).2 ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩).1 := by
have hpq' : HEq (F p).snd (F q).snd := (Sigma.mk.inj_iff.1 hpq).2
rw [Fin.heq_fun₂_iff Npq Npq] at hpq'
rw [← hpq'] ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ := by
rw [Ap, Aq] at this
have D : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ :=
floor_nonneg.2 (mul_nonneg (le_of_lt (inv_pos.2 εpos)) dist_nonneg)
have D' : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ :=
floor_nonneg.2 (mul_nonneg (le_of_lt (inv_pos.2 εpos)) dist_nonneg)
rw [← Int.toNat_of_nonneg D, ← Int.toNat_of_nonneg D', Int.floor_toNat, Int.floor_toNat,
this] ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this✝ : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** have I :=
calc
|ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = |ε⁻¹ * (dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y))| :=
(abs_mul _ _).symm
_ = |ε⁻¹ * dist x y - ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)| := by congr; ring
_ ≤ 1 := le_of_lt (abs_sub_lt_one_of_floor_eq_floor this) ** case refine'_3 t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this✝ : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ I : |ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ 1 ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε ** calc
|dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = ε * ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| := by
rw [mul_inv_cancel (ne_of_gt εpos), one_mul]
_ = ε * (|ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|) := by
rw [abs_of_nonneg (le_of_lt (inv_pos.2 εpos)), mul_assoc]
_ ≤ ε * 1 := (mul_le_mul_of_nonneg_left I (le_of_lt εpos))
_ = ε := mul_one _ ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p ⊢ i < N q ** rwa [Npq] at hip ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q ⊢ i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) ** simp only [Equiv.apply_symm_apply, Fin.coe_cast] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p ⊢ j < N q ** rwa [Npq] at hjp ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q ⊢ j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ** simp only [Equiv.apply_symm_apply, Fin.coe_cast] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : 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↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ⊢ ↑(Sigma.snd (F p) (↑(E p) x) (↑(E p) y)) = min M ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ** simp only [(E p).symm_apply_apply] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ⊢ min M ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ** refine' min_eq_right (Nat.floor_mono _) ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ⊢ ε⁻¹ * dist x y ≤ ε⁻¹ * max C 0 ** refine' mul_le_mul_of_nonneg_left (le_trans _ (le_max_left _ _)) (inv_pos.2 εpos).le ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ⊢ dist x y ≤ C ** change dist (x : p.Rep) y ≤ C ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ⊢ dist ↑x ↑y ≤ C ** refine' (dist_le_diam_of_mem isCompact_univ.isBounded (mem_univ _) (mem_univ _)).trans _ ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) ⊢ diam univ ≤ C ** exact hdiam p pt ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ⊢ ↑(Sigma.snd (F q) (↑(E q) (Ψ x)) (↑(E q) (Ψ y))) = min M ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ ** simp only [(E q).symm_apply_apply] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ⊢ min M ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ ** refine' min_eq_right (Nat.floor_mono _) ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ⊢ ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y) ≤ ε⁻¹ * max C 0 ** refine' mul_le_mul_of_nonneg_left (le_trans _ (le_max_left _ _)) (inv_pos.2 εpos).le ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ⊢ dist (Ψ x) (Ψ y) ≤ C ** change dist (Ψ x : q.Rep) (Ψ y) ≤ C ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ⊢ dist ↑(Ψ x) ↑(Ψ y) ≤ C ** refine (dist_le_diam_of_mem isCompact_univ.isBounded (mem_univ _) (mem_univ _)).trans ?_ ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ ⊢ diam univ ≤ C ** exact hdiam q qt ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ ⊢ ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) ** have hpq' : HEq (F p).snd (F q).snd := (Sigma.mk.inj_iff.1 hpq).2 ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ hpq' : HEq (F p).snd (F q).snd ⊢ ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) ** rw [Fin.heq_fun₂_iff Npq Npq] at hpq' ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ hpq' : ∀ (i j : Fin (N p)), Sigma.snd (F p) i j = Sigma.snd (F q) { val := ↑i, isLt := (_ : ↑i < N q) } { val := ↑j, isLt := (_ : ↑j < N q) } ⊢ ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) ** rw [← hpq'] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) ⊢ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ** rw [Ap, Aq] at this ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ ⊢ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ** have D : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ :=
floor_nonneg.2 (mul_nonneg (le_of_lt (inv_pos.2 εpos)) dist_nonneg) ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ D : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ ⊢ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ** have D' : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ :=
floor_nonneg.2 (mul_nonneg (le_of_lt (inv_pos.2 εpos)) dist_nonneg) ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ D : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ D' : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ⊢ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ** rw [← Int.toNat_of_nonneg D, ← Int.toNat_of_nonneg D', Int.floor_toNat, Int.floor_toNat,
this] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this✝ : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ⊢ |ε⁻¹ * (dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y))| = |ε⁻¹ * dist x y - ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)| ** congr ** case e_a t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this✝ : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ ⊢ ε⁻¹ * (dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)) = ε⁻¹ * dist x y - ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y) ** ring ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this✝ : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ I : |ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ 1 ⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = ε * ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ** rw [mul_inv_cancel (ne_of_gt εpos), one_mul] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) x y : ↑(s p) this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y) i : ℕ := ↑(↑(E p) x) hip : i < N p hiq : i < N q i' : i = ↑(↑(E q) (Ψ x)) j : ℕ := ↑(↑(E p) y) hjp : j < N p hjq : j < N q j' : j = ↑(↑(E q) (Ψ y)) Ap : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ Aq : ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ this✝ : ↑(Sigma.snd (F p) { val := i, isLt := hip } { val := j, isLt := hjp }) = ↑(Sigma.snd (F q) { val := i, isLt := hiq } { val := j, isLt := hjq }) this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋ I : |ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ 1 ⊢ ε * ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = ε * (|ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|) ** rw [abs_of_nonneg (le_of_lt (inv_pos.2 εpos)), mul_assoc] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) main : ghDist (GHSpace.Rep p) (GHSpace.Rep q) ≤ ε + ε / 2 + ε ⊢ ε + ε / 2 + ε = δ / 2 ** simp only [one_div] ** t : Set GHSpace C : ℝ u : ℕ → ℝ K : ℕ → ℕ ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0) hdiam : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → diam univ ≤ C hcov : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) δ : ℝ δpos : δ > 0 ε : ℝ := 1 / 5 * δ εpos : 0 < ε n : ℕ hn : ∀ (n_1 : ℕ), n_1 ≥ n → dist (u n_1) 0 < ε u_le_ε : u n ≤ ε s : (p : GHSpace) → Set (GHSpace.Rep p) N : GHSpace → ℕ hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p) hs : ∀ (p : GHSpace), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n) M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊ F : GHSpace → (k : Fin (Nat.succ (K n))) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin (Nat.succ M)) := fun p => { fst := { val := N p, isLt := (_ : N p < Nat.succ (K n)) }, snd := fun a b => { val := min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊, isLt := (_ : min M ⌊ε⁻¹ * dist (↑(E p).symm a) (↑(E p).symm b)⌋₊ < Nat.succ M) } } p : GHSpace pt : p ∈ t q : GHSpace qt : q ∈ t hpq : (fun p => F ↑p) { val := p, property := pt } = (fun p => F ↑p) { val := q, property := qt } Npq : N p = N q Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => ↑(E q).symm (Fin.cast Npq (↑(E p) x)) Φ : ↑(s p) → GHSpace.Rep q := fun x => ↑(Ψ x) main : ghDist (GHSpace.Rep p) (GHSpace.Rep q) ≤ ε + ε / 2 + ε ⊢ 5⁻¹ * δ + 5⁻¹ * δ / 2 + 5⁻¹ * δ = δ / 2 ** ring ** Qed
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holderOnWith_singleton ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y x : X ⊢ HolderOnWith C r f {x} ** rintro a (rfl : a = x) b (rfl : b = a) ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y b : X ⊢ edist (f b) (f b) ≤ ↑C * edist b b ^ ↑r ** rw [edist_self] ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y b : X ⊢ 0 ≤ ↑C * edist b b ^ ↑r ** exact zero_le _ ** Qed
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holderOnWith_univ ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y ⊢ HolderOnWith C r f univ ↔ HolderWith C r f ** simp only [HolderOnWith, HolderWith, mem_univ, true_imp_iff] ** Qed
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holderOnWith_one ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C : ℝ≥0 f : X → Y s : Set X ⊢ HolderOnWith C 1 f s ↔ LipschitzOnWith C f s ** simp only [HolderOnWith, LipschitzOnWith, NNReal.coe_one, ENNReal.rpow_one] ** Qed
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HolderOnWith.comp ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f✝ : X → Y s t✝ : Set X Cg rg : ℝ≥0 g : Y → Z t : Set Y hg : HolderOnWith Cg rg g t Cf rf : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderOnWith Cf rf f s hst : MapsTo f s t ⊢ HolderOnWith (Cg * NNReal.rpow Cf ↑rg) (rg * rf) (g ∘ f) s ** intro x hx y hy ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f✝ : X → Y s t✝ : Set X Cg rg : ℝ≥0 g : Y → Z t : Set Y hg : HolderOnWith Cg rg g t Cf rf : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderOnWith Cf rf f s hst : MapsTo f s t x : X hx : x ∈ s y : X hy : y ∈ s ⊢ edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y) ≤ ↑(Cg * NNReal.rpow Cf ↑rg) * edist x y ^ ↑(rg * rf) ** rw [ENNReal.coe_mul, mul_comm rg, NNReal.coe_mul, ENNReal.rpow_mul, mul_assoc, NNReal.rpow_eq_pow,
← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ rg.coe_nonneg, ← ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ rg.coe_nonneg] ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f✝ : X → Y s t✝ : Set X Cg rg : ℝ≥0 g : Y → Z t : Set Y hg : HolderOnWith Cg rg g t Cf rf : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderOnWith Cf rf f s hst : MapsTo f s t x : X hx : x ∈ s y : X hy : y ∈ s ⊢ edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y) ≤ ↑Cg * (↑Cf * edist x y ^ ↑rf) ^ ↑rg ** exact hg.edist_le_of_le (hst hx) (hst hy) (hf.edist_le hx hy) ** Qed
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HolderOnWith.uniformContinuousOn ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y s t : Set X hf : HolderOnWith C r f s h0 : 0 < r ⊢ UniformContinuousOn f s ** refine' EMetric.uniformContinuousOn_iff.2 fun ε εpos => _ ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y s t : Set X hf : HolderOnWith C r f s h0 : 0 < r ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 ⊢ ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε ** have : Tendsto (fun d : ℝ≥0∞ => (C : ℝ≥0∞) * d ^ (r : ℝ)) (𝓝 0) (𝓝 0) :=
ENNReal.tendsto_const_mul_rpow_nhds_zero_of_pos ENNReal.coe_ne_top h0 ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y s t : Set X hf : HolderOnWith C r f s h0 : 0 < r ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0) ⊢ ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε ** rcases ENNReal.nhds_zero_basis.mem_iff.1 (this (gt_mem_nhds εpos)) with ⟨δ, δ0, H⟩ ** case intro.intro X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace X inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y inst✝ : PseudoEMetricSpace Z C r : ℝ≥0 f : X → Y s t : Set X hf : HolderOnWith C r f s h0 : 0 < r ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0) δ : ℝ≥0∞ δ0 : 0 < δ H : Iio δ ⊆ (fun d => ↑C * d ^ ↑r) ⁻¹' {x | (fun x => x < ε) x} ⊢ ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε ** exact ⟨δ, δ0, fun hx y hy h => (hf.edist_le hx hy).trans_lt (H h)⟩ ** Qed
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HolderWith.nndist_le_of_le ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ≥0 hd : nndist x y ≤ d ⊢ ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r ** norm_cast ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ≥0 hd : nndist x y ≤ d ⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * d ^ ↑r ** rw [← ENNReal.coe_le_coe, ← edist_nndist, ENNReal.coe_mul, ←
ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ r.coe_nonneg] ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ≥0 hd : nndist x y ≤ d ⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r ** apply hf.edist_le_of_le ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ≥0 hd : nndist x y ≤ d ⊢ edist x y ≤ ↑d ** rwa [edist_nndist, ENNReal.coe_le_coe] ** Qed
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HolderWith.dist_le_of_le ** X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ hd : dist x y ≤ d ⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * d ^ ↑r ** lift d to ℝ≥0 using dist_nonneg.trans hd ** case intro X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ≥0 hd : dist x y ≤ ↑d ⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r ** rw [dist_nndist] at hd ⊢ ** case intro X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ≥0 hd : ↑(nndist x y) ≤ ↑d ⊢ ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r ** norm_cast at hd ⊢ ** case intro X : Type u_1 Y : Type u_2 Z : Type u_3 inst✝¹ : PseudoMetricSpace X inst✝ : PseudoMetricSpace Y C r : ℝ≥0 f : X → Y hf : HolderWith C r f x y : X d : ℝ≥0 hd : nndist x y ≤ d ⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * d ^ ↑r ** exact hf.nndist_le_of_le hd ** Qed
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EMetric.continuous_infEdist_hausdorffEdist ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α ⊢ Continuous fun p => infEdist p.1 ↑p.2 ** refine' continuous_of_le_add_edist 2 (by simp) _ ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α ⊢ ∀ (x y : α × Closeds α), infEdist x.1 ↑x.2 ≤ infEdist y.1 ↑y.2 + 2 * edist x y ** rintro ⟨x, s⟩ ⟨y, t⟩ ** case mk.mk α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s✝ : Set α x : α s : Closeds α y : α t : Closeds α ⊢ infEdist (x, s).1 ↑(x, s).2 ≤ infEdist (y, t).1 ↑(y, t).2 + 2 * edist (x, s) (y, t) ** calc
infEdist x s ≤ infEdist x t + hausdorffEdist (t : Set α) s :=
infEdist_le_infEdist_add_hausdorffEdist
_ ≤ infEdist y t + edist x y + hausdorffEdist (t : Set α) s :=
(add_le_add_right infEdist_le_infEdist_add_edist _)
_ = infEdist y t + (edist x y + hausdorffEdist (s : Set α) t) := by
rw [add_assoc, hausdorffEdist_comm]
_ ≤ infEdist y t + (edist (x, s) (y, t) + edist (x, s) (y, t)) :=
(add_le_add_left (add_le_add (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) _)
_ = infEdist y t + 2 * edist (x, s) (y, t) := by rw [← mul_two, mul_comm] ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α ⊢ 2 ≠ ⊤ ** simp ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s✝ : Set α x : α s : Closeds α y : α t : Closeds α ⊢ infEdist y ↑t + edist x y + hausdorffEdist ↑t ↑s = infEdist y ↑t + (edist x y + hausdorffEdist ↑s ↑t) ** rw [add_assoc, hausdorffEdist_comm] ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s✝ : Set α x : α s : Closeds α y : α t : Closeds α ⊢ infEdist y ↑t + (edist (x, s) (y, t) + edist (x, s) (y, t)) = infEdist y ↑t + 2 * edist (x, s) (y, t) ** rw [← mul_two, mul_comm] ** Qed
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EMetric.isClosed_subsets_of_isClosed ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α hs : IsClosed s ⊢ IsClosed {t | ↑t ⊆ s} ** refine' isClosed_of_closure_subset fun t ht x hx => _ ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α hs : IsClosed s t : Closeds α ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s} x : α hx : x ∈ ↑t ⊢ x ∈ s ** have : x ∈ closure s := by
refine' mem_closure_iff.2 fun ε εpos => _
rcases mem_closure_iff.1 ht ε εpos with ⟨u, hu, Dtu⟩
rcases exists_edist_lt_of_hausdorffEdist_lt hx Dtu with ⟨y, hy, Dxy⟩
exact ⟨y, hu hy, Dxy⟩ ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α hs : IsClosed s t : Closeds α ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s} x : α hx : x ∈ ↑t this : x ∈ closure s ⊢ x ∈ s ** rwa [hs.closure_eq] at this ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α hs : IsClosed s t : Closeds α ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s} x : α hx : x ∈ ↑t ⊢ x ∈ closure s ** refine' mem_closure_iff.2 fun ε εpos => _ ** α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α hs : IsClosed s t : Closeds α ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s} x : α hx : x ∈ ↑t ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ edist x y < ε ** rcases mem_closure_iff.1 ht ε εpos with ⟨u, hu, Dtu⟩ ** case intro.intro α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α hs : IsClosed s t : Closeds α ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s} x : α hx : x ∈ ↑t ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 u : Closeds α hu : u ∈ {t | ↑t ⊆ s} Dtu : edist t u < ε ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ edist x y < ε ** rcases exists_edist_lt_of_hausdorffEdist_lt hx Dtu with ⟨y, hy, Dxy⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u inst✝ : EMetricSpace α s : Set α hs : IsClosed s t : Closeds α ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s} x : α hx : x ∈ ↑t ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 u : Closeds α hu : u ∈ {t | ↑t ⊆ s} Dtu : edist t u < ε y : α hy : y ∈ ↑u Dxy : edist x y < ε ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ edist x y < ε ** exact ⟨y, hu hy, Dxy⟩ ** Qed
| |
EMetric.NonemptyCompacts.isClosed_in_closeds ** α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s : Set α inst✝ : CompleteSpace α ⊢ IsClosed (range NonemptyCompacts.toCloseds) ** have :
range NonemptyCompacts.toCloseds =
{ s : Closeds α | (s : Set α).Nonempty ∧ IsCompact (s : Set α) } := by
ext s
refine' ⟨_, fun h => ⟨⟨⟨s, h.2⟩, h.1⟩, Closeds.ext rfl⟩⟩
rintro ⟨s, hs, rfl⟩
exact ⟨s.nonempty, s.isCompact⟩ ** α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ⊢ IsClosed (range NonemptyCompacts.toCloseds) ** rw [this] ** α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ⊢ IsClosed {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ** refine' isClosed_of_closure_subset fun s hs => ⟨_, _⟩ ** α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s : Set α inst✝ : CompleteSpace α ⊢ range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ** ext s ** case h α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α s : Closeds α ⊢ s ∈ range NonemptyCompacts.toCloseds ↔ s ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ** refine' ⟨_, fun h => ⟨⟨⟨s, h.2⟩, h.1⟩, Closeds.ext rfl⟩⟩ ** case h α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α s : Closeds α ⊢ s ∈ range NonemptyCompacts.toCloseds → s ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ** rintro ⟨s, hs, rfl⟩ ** case h.intro.refl α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α s : NonemptyCompacts α ⊢ NonemptyCompacts.toCloseds s ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ** exact ⟨s.nonempty, s.isCompact⟩ ** case refine'_1 α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ⊢ Set.Nonempty ↑s ** rcases mem_closure_iff.1 hs ⊤ ENNReal.coe_lt_top with ⟨t, ht, Dst⟩ ** case refine'_1.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist s t < ⊤ ⊢ Set.Nonempty ↑s ** rw [edist_comm] at Dst ** case refine'_1.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist t s < ⊤ ⊢ Set.Nonempty ↑s ** exact nonempty_of_hausdorffEdist_ne_top ht.1 (ne_of_lt Dst) ** case refine'_2 α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ⊢ IsCompact ↑s ** refine' isCompact_iff_totallyBounded_isComplete.2 ⟨_, s.closed.isComplete⟩ ** case refine'_2 α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ⊢ TotallyBounded ↑s ** refine' totallyBounded_iff.2 fun ε (εpos : 0 < ε) => _ ** case refine'_2 α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ε : ℝ≥0∞ εpos : 0 < ε ⊢ ∃ t, Set.Finite t ∧ ↑s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** rcases mem_closure_iff.1 hs (ε / 2) (ENNReal.half_pos εpos.ne') with ⟨t, ht, Dst⟩ ** case refine'_2.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ε : ℝ≥0∞ εpos : 0 < ε t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist s t < ε / 2 ⊢ ∃ t, Set.Finite t ∧ ↑s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** rcases totallyBounded_iff.1 (isCompact_iff_totallyBounded_isComplete.1 ht.2).1 (ε / 2)
(ENNReal.half_pos εpos.ne') with
⟨u, fu, ut⟩ ** case refine'_2.intro.intro.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ε : ℝ≥0∞ εpos : 0 < ε t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist s t < ε / 2 u : Set α fu : Set.Finite u ut : ↑t ⊆ ⋃ y ∈ u, ball y (ε / 2) ⊢ ∃ t, Set.Finite t ∧ ↑s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** refine' ⟨u, ⟨fu, fun x hx => _⟩⟩ ** case refine'_2.intro.intro.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ε : ℝ≥0∞ εpos : 0 < ε t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist s t < ε / 2 u : Set α fu : Set.Finite u ut : ↑t ⊆ ⋃ y ∈ u, ball y (ε / 2) x : α hx : x ∈ ↑s ⊢ x ∈ ⋃ y ∈ u, ball y ε ** rcases exists_edist_lt_of_hausdorffEdist_lt hx Dst with ⟨z, hz, Dxz⟩ ** case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ε : ℝ≥0∞ εpos : 0 < ε t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist s t < ε / 2 u : Set α fu : Set.Finite u ut : ↑t ⊆ ⋃ y ∈ u, ball y (ε / 2) x : α hx : x ∈ ↑s z : α hz : z ∈ ↑t Dxz : edist x z < ε / 2 ⊢ x ∈ ⋃ y ∈ u, ball y ε ** rcases mem_iUnion₂.1 (ut hz) with ⟨y, hy, Dzy⟩ ** case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ε : ℝ≥0∞ εpos : 0 < ε t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist s t < ε / 2 u : Set α fu : Set.Finite u ut : ↑t ⊆ ⋃ y ∈ u, ball y (ε / 2) x : α hx : x ∈ ↑s z : α hz : z ∈ ↑t Dxz : edist x z < ε / 2 y : α hy : y ∈ u Dzy : z ∈ ball y (ε / 2) ⊢ x ∈ ⋃ y ∈ u, ball y ε ** have : edist x y < ε :=
calc
edist x y ≤ edist x z + edist z y := edist_triangle _ _ _
_ < ε / 2 + ε / 2 := (ENNReal.add_lt_add Dxz Dzy)
_ = ε := ENNReal.add_halves _ ** case refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u inst✝¹ : EMetricSpace α s✝ : Set α inst✝ : CompleteSpace α this✝ : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} s : Closeds α hs : s ∈ closure {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} ε : ℝ≥0∞ εpos : 0 < ε t : Closeds α ht : t ∈ {s | Set.Nonempty ↑s ∧ IsCompact ↑s} Dst : edist s t < ε / 2 u : Set α fu : Set.Finite u ut : ↑t ⊆ ⋃ y ∈ u, ball y (ε / 2) x : α hx : x ∈ ↑s z : α hz : z ∈ ↑t Dxz : edist x z < ε / 2 y : α hy : y ∈ u Dzy : z ∈ ball y (ε / 2) this : edist x y < ε ⊢ x ∈ ⋃ y ∈ u, ball y ε ** exact mem_biUnion hy this ** Qed
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Metric.lipschitz_infDist_set ** α : Type u inst✝ : MetricSpace α x : α s t : NonemptyCompacts α ⊢ infDist x ↑s ≤ infDist x ↑t + dist s t ** rw [dist_comm] ** α : Type u inst✝ : MetricSpace α x : α s t : NonemptyCompacts α ⊢ infDist x ↑s ≤ infDist x ↑t + dist t s ** exact infDist_le_infDist_add_hausdorffDist (edist_ne_top t s) ** Qed
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Metric.lipschitz_infDist ** α : Type u inst✝ : MetricSpace α ⊢ LipschitzWith 2 fun p => infDist p.1 ↑p.2 ** convert @LipschitzWith.uncurry α (NonemptyCompacts α) ℝ _ _ _
(fun (x : α) (s : NonemptyCompacts α) => infDist x s) 1 1
(fun s => lipschitz_infDist_pt ↑s) lipschitz_infDist_set ** case h.e'_5 α : Type u inst✝ : MetricSpace α ⊢ 2 = 1 + 1 ** norm_num ** Qed
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EReal.embedding_coe ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ OrdConnected (range Real.toEReal) ** rw [range_coe_eq_Ioo] ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ OrdConnected (Ioo ⊥ ⊤) ** exact ordConnected_Ioo ** Qed
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EReal.openEmbedding_coe ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ IsOpen (range Real.toEReal) ** simp only [range_coe_eq_Ioo, isOpen_Ioo] ** Qed
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EReal.tendsto_toReal ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a : EReal ha : a ≠ ⊤ h'a : a ≠ ⊥ ⊢ Tendsto toReal (𝓝 a) (𝓝 (toReal a)) ** lift a to ℝ using ⟨ha, h'a⟩ ** case intro α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a : ℝ ha : ↑a ≠ ⊤ h'a : ↑a ≠ ⊥ ⊢ Tendsto toReal (𝓝 ↑a) (𝓝 (toReal ↑a)) ** rw [nhds_coe, tendsto_map'_iff] ** case intro α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a : ℝ ha : ↑a ≠ ⊤ h'a : ↑a ≠ ⊥ ⊢ Tendsto (toReal ∘ Real.toEReal) (𝓝 a) (𝓝 (toReal ↑a)) ** exact tendsto_id ** Qed
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EReal.embedding_coe_ennreal ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ OrdConnected (range ENNReal.toEReal) ** rw [range_coe_ennreal] ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ OrdConnected (Ici 0) ** exact ordConnected_Ici ** Qed
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EReal.closedEmbedding_coe_ennreal ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ IsClosed (range ENNReal.toEReal) ** rw [range_coe_ennreal] ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ IsClosed (Ici 0) ** exact isClosed_Ici ** Qed
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EReal.nhds_top ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊤), 𝓟 (Ioi a) ** simp only [lt_top_iff_ne_top] ** Qed
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EReal.nhds_top_basis ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ HasBasis (𝓝 ⊤) (fun x => True) fun x => Ioi ↑x ** refine nhds_top_basis.to_hasBasis (fun x hx => ?_) fun _ _ ↦ ⟨_, coe_lt_top _, Subset.rfl⟩ ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α x : EReal hx : x < ⊤ ⊢ ∃ i', True ∧ Ioi ↑i' ⊆ Ioi x ** rcases exists_rat_btwn_of_lt hx with ⟨y, hxy, -⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α x : EReal hx : x < ⊤ y : ℚ hxy : x < ↑↑y ⊢ ∃ i', True ∧ Ioi ↑i' ⊆ Ioi x ** exact ⟨_, trivial, Ioi_subset_Ioi hxy.le⟩ ** Qed
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EReal.mem_nhds_top_iff ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α s : Set EReal ⊢ (∃ i, True ∧ Ioi ↑i ⊆ s) ↔ ∃ y, Ioi ↑y ⊆ s ** simp only [true_and] ** Qed
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EReal.tendsto_nhds_top_iff_real ** α✝ : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α✝ α : Type u_2 m : α → EReal f : Filter α ⊢ (∀ (i : ℝ), True → ∀ᶠ (x : α) in f, m x ∈ Ioi ↑i) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a ** simp only [true_implies, mem_Ioi] ** Qed
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EReal.nhds_bot ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊥), 𝓟 (Iio a) ** simp only [bot_lt_iff_ne_bot] ** Qed
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EReal.nhds_bot_basis ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ HasBasis (𝓝 ⊥) (fun x => True) fun x => Iio ↑x ** refine nhds_bot_basis.to_hasBasis (fun x hx => ?_) fun _ _ ↦ ⟨_, bot_lt_coe _, Subset.rfl⟩ ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α x : EReal hx : ⊥ < x ⊢ ∃ i', True ∧ Iio ↑i' ⊆ Iio x ** rcases exists_rat_btwn_of_lt hx with ⟨y, -, hxy⟩ ** case intro.intro α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α x : EReal hx : ⊥ < x y : ℚ hxy : ↑↑y < x ⊢ ∃ i', True ∧ Iio ↑i' ⊆ Iio x ** exact ⟨_, trivial, Iio_subset_Iio hxy.le⟩ ** Qed
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EReal.mem_nhds_bot_iff ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α s : Set EReal ⊢ (∃ i, True ∧ Iio ↑i ⊆ s) ↔ ∃ y, Iio ↑y ⊆ s ** simp only [true_and] ** Qed
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EReal.tendsto_nhds_bot_iff_real ** α✝ : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α✝ α : Type u_2 m : α → EReal f : Filter α ⊢ (∀ (i : ℝ), True → ∀ᶠ (x : α) in f, m x ∈ Iio ↑i) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, m a < ↑x ** simp only [true_implies, mem_Iio] ** Qed
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EReal.continuousAt_add_top_coe ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a : ℝ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ↑a) ** simp only [ContinuousAt, tendsto_nhds_top_iff_real, top_add_coe] ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a : ℝ ⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 + a.2 ** refine fun r ↦ ((lt_mem_nhds (coe_lt_top (r - (a - 1)))).prod_nhds
(lt_mem_nhds <| EReal.coe_lt_coe_iff.2 <| sub_one_lt _)).mono fun _ h ↦ ?_ ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a r : ℝ x✝ : EReal × EReal h : ↑(r - (a - 1)) < x✝.1 ∧ ↑(a - 1) < x✝.2 ⊢ ↑r < x✝.1 + x✝.2 ** simpa only [← coe_add, sub_add_cancel] using add_lt_add h.1 h.2 ** Qed
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EReal.continuousAt_add_top_top ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ⊤) ** simp only [ContinuousAt, tendsto_nhds_top_iff_real, top_add_top] ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 + a.2 ** refine fun r ↦ ((lt_mem_nhds (coe_lt_top 0)).prod_nhds
(lt_mem_nhds <| coe_lt_top r)).mono fun _ h ↦ ?_ ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α r : ℝ x✝ : EReal × EReal h : ↑0 < x✝.1 ∧ ↑r < x✝.2 ⊢ ↑r < x✝.1 + x✝.2 ** simpa only [coe_zero, zero_add] using add_lt_add h.1 h.2 ** Qed
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EReal.continuousAt_add_bot_coe ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a : ℝ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ↑a) ** simp only [ContinuousAt, tendsto_nhds_bot_iff_real, bot_add] ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a : ℝ ⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊥, ↑a), a.1 + a.2 < ↑x ** refine fun r ↦ ((gt_mem_nhds (bot_lt_coe (r - (a + 1)))).prod_nhds
(gt_mem_nhds <| EReal.coe_lt_coe_iff.2 <| lt_add_one _)).mono fun _ h ↦ ?_ ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a r : ℝ x✝ : EReal × EReal h : x✝.1 < ↑(r - (a + 1)) ∧ x✝.2 < ↑(a + 1) ⊢ x✝.1 + x✝.2 < ↑r ** simpa only [← coe_add, sub_add_cancel] using add_lt_add h.1 h.2 ** Qed
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EReal.continuousAt_add_bot_bot ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ⊥) ** simp only [ContinuousAt, tendsto_nhds_bot_iff_real, bot_add] ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α ⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊥, ⊥), a.1 + a.2 < ↑x ** refine fun r ↦ ((gt_mem_nhds (bot_lt_coe 0)).prod_nhds
(gt_mem_nhds <| bot_lt_coe r)).mono fun _ h ↦ ?_ ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α r : ℝ x✝ : EReal × EReal h : x✝.1 < ↑0 ∧ x✝.2 < ↑r ⊢ x✝.1 + x✝.2 < ↑r ** simpa only [coe_zero, zero_add] using add_lt_add h.1 h.2 ** Qed
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EReal.continuousAt_add ** α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α p : EReal × EReal h : p.1 ≠ ⊤ ∨ p.2 ≠ ⊥ h' : p.1 ≠ ⊥ ∨ p.2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) p ** rcases p with ⟨x, y⟩ ** case mk α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α x y : EReal h : (x, y).1 ≠ ⊤ ∨ (x, y).2 ≠ ⊥ h' : (x, y).1 ≠ ⊥ ∨ (x, y).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (x, y) ** induction x using EReal.rec <;> induction y using EReal.rec ** case mk.h_bot.h_bot α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α h : (⊥, ⊥).1 ≠ ⊤ ∨ (⊥, ⊥).2 ≠ ⊥ h' : (⊥, ⊥).1 ≠ ⊥ ∨ (⊥, ⊥).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ⊥) ** exact continuousAt_add_bot_bot ** case mk.h_bot.h_real α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a✝ : ℝ h : (⊥, ↑a✝).1 ≠ ⊤ ∨ (⊥, ↑a✝).2 ≠ ⊥ h' : (⊥, ↑a✝).1 ≠ ⊥ ∨ (⊥, ↑a✝).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ↑a✝) ** exact continuousAt_add_bot_coe _ ** case mk.h_bot.h_top α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α h : (⊥, ⊤).1 ≠ ⊤ ∨ (⊥, ⊤).2 ≠ ⊥ h' : (⊥, ⊤).1 ≠ ⊥ ∨ (⊥, ⊤).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ⊤) ** simp at h' ** case mk.h_real.h_bot α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a✝ : ℝ h : (↑a✝, ⊥).1 ≠ ⊤ ∨ (↑a✝, ⊥).2 ≠ ⊥ h' : (↑a✝, ⊥).1 ≠ ⊥ ∨ (↑a✝, ⊥).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (↑a✝, ⊥) ** exact continuousAt_add_coe_bot _ ** case mk.h_real.h_real α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a✝¹ a✝ : ℝ h : (↑a✝¹, ↑a✝).1 ≠ ⊤ ∨ (↑a✝¹, ↑a✝).2 ≠ ⊥ h' : (↑a✝¹, ↑a✝).1 ≠ ⊥ ∨ (↑a✝¹, ↑a✝).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (↑a✝¹, ↑a✝) ** exact continuousAt_add_coe_coe _ _ ** case mk.h_real.h_top α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a✝ : ℝ h : (↑a✝, ⊤).1 ≠ ⊤ ∨ (↑a✝, ⊤).2 ≠ ⊥ h' : (↑a✝, ⊤).1 ≠ ⊥ ∨ (↑a✝, ⊤).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (↑a✝, ⊤) ** exact continuousAt_add_coe_top _ ** case mk.h_top.h_bot α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α h : (⊤, ⊥).1 ≠ ⊤ ∨ (⊤, ⊥).2 ≠ ⊥ h' : (⊤, ⊥).1 ≠ ⊥ ∨ (⊤, ⊥).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ⊥) ** simp at h ** case mk.h_top.h_real α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α a✝ : ℝ h : (⊤, ↑a✝).1 ≠ ⊤ ∨ (⊤, ↑a✝).2 ≠ ⊥ h' : (⊤, ↑a✝).1 ≠ ⊥ ∨ (⊤, ↑a✝).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ↑a✝) ** exact continuousAt_add_top_coe _ ** case mk.h_top.h_top α : Type u_1 inst✝ : TopologicalSpace α h : (⊤, ⊤).1 ≠ ⊤ ∨ (⊤, ⊤).2 ≠ ⊥ h' : (⊤, ⊤).1 ≠ ⊥ ∨ (⊤, ⊤).2 ≠ ⊤ ⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ⊤) ** exact continuousAt_add_top_top ** Qed
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Rat.not_countably_generated_cocompact ** p q : ℚ s t : Set ℚ ⊢ ¬IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) ** intro H ** p q : ℚ s t : Set ℚ H : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) ⊢ False ** rcases exists_seq_tendsto (cocompact ℚ ⊓ 𝓝 0) with ⟨x, hx⟩ ** case intro p q : ℚ s t : Set ℚ H : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) x : ℕ → ℚ hx : Tendsto x atTop (cocompact ℚ ⊓ 𝓝 0) ⊢ False ** rw [tendsto_inf] at hx ** case intro p q : ℚ s t : Set ℚ H : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) x : ℕ → ℚ hx : Tendsto x atTop (cocompact ℚ) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 0) ⊢ False ** rcases hx with ⟨hxc, hx0⟩ ** case intro.intro p q : ℚ s t : Set ℚ H : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) x : ℕ → ℚ hxc : Tendsto x atTop (cocompact ℚ) hx0 : Tendsto x atTop (𝓝 0) ⊢ False ** obtain ⟨n, hn⟩ : ∃ n : ℕ, x n ∉ insert (0 : ℚ) (range x) ** p q : ℚ s t : Set ℚ H : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) x : ℕ → ℚ hxc : Tendsto x atTop (cocompact ℚ) hx0 : Tendsto x atTop (𝓝 0) ⊢ ∃ n, ¬x n ∈ insert 0 (range x) case intro.intro.intro p q : ℚ s t : Set ℚ H : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) x : ℕ → ℚ hxc : Tendsto x atTop (cocompact ℚ) hx0 : Tendsto x atTop (𝓝 0) n : ℕ hn : ¬x n ∈ insert 0 (range x) ⊢ False ** exact (hxc.eventually hx0.isCompact_insert_range.compl_mem_cocompact).exists ** case intro.intro.intro p q : ℚ s t : Set ℚ H : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) x : ℕ → ℚ hxc : Tendsto x atTop (cocompact ℚ) hx0 : Tendsto x atTop (𝓝 0) n : ℕ hn : ¬x n ∈ insert 0 (range x) ⊢ False ** exact hn (Or.inr ⟨n, rfl⟩) ** Qed
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Rat.not_countably_generated_nhds_infty_opc ** p q : ℚ s t : Set ℚ ⊢ ¬IsCountablyGenerated (𝓝 ∞) ** intro ** p q : ℚ s t : Set ℚ a✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 ∞) ⊢ False ** have : IsCountablyGenerated (comap (OnePoint.some : ℚ → ℚ∞) (𝓝 ∞)) := by infer_instance ** p q : ℚ s t : Set ℚ a✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 ∞) this : IsCountablyGenerated (comap OnePoint.some (𝓝 ∞)) ⊢ False ** rw [OnePoint.comap_coe_nhds_infty, coclosedCompact_eq_cocompact] at this ** p q : ℚ s t : Set ℚ a✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 ∞) this : IsCountablyGenerated (cocompact ℚ) ⊢ False ** exact not_countably_generated_cocompact this ** p q : ℚ s t : Set ℚ a✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 ∞) ⊢ IsCountablyGenerated (comap OnePoint.some (𝓝 ∞)) ** infer_instance ** Qed
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Rat.not_firstCountableTopology_opc ** p q : ℚ s t : Set ℚ ⊢ ¬FirstCountableTopology ℚ∞ ** intro ** p q : ℚ s t : Set ℚ a✝ : FirstCountableTopology ℚ∞ ⊢ False ** exact not_countably_generated_nhds_infty_opc inferInstance ** Qed
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Rat.not_secondCountableTopology_opc ** p q : ℚ s t : Set ℚ ⊢ ¬SecondCountableTopology ℚ∞ ** intro ** p q : ℚ s t : Set ℚ a✝ : SecondCountableTopology ℚ∞ ⊢ False ** exact not_firstCountableTopology_opc inferInstance ** Qed
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KuratowskiEmbedding.embeddingOfSubset_dist_le ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ a b : α ⊢ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) ≤ dist a b ** refine' lp.norm_le_of_forall_le dist_nonneg fun n => _ ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ a b : α n : ℕ ⊢ ‖↑(embeddingOfSubset x a - embeddingOfSubset x b) n‖ ≤ dist a b ** simp only [lp.coeFn_sub, Pi.sub_apply, embeddingOfSubset_coe, Real.dist_eq] ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ a b : α n : ℕ ⊢ ‖dist a (x n) - dist (x 0) (x n) - (dist b (x n) - dist (x 0) (x n))‖ ≤ dist a b ** convert abs_dist_sub_le a b (x n) using 2 ** case h.e'_3.h.e'_1 α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ a b : α n : ℕ ⊢ dist a (x n) - dist (x 0) (x n) - (dist b (x n) - dist (x 0) (x n)) = dist a (x n) - dist b (x n) ** ring ** Qed
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KuratowskiEmbedding.embeddingOfSubset_isometry ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a b : α H : DenseRange x ⊢ Isometry (embeddingOfSubset x) ** refine' Isometry.of_dist_eq fun a b => _ ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α ⊢ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) = dist a b ** refine' (embeddingOfSubset_dist_le x a b).antisymm (le_of_forall_pos_le_add fun e epos => _) ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e ⊢ dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e ** rcases Metric.mem_closure_range_iff.1 (H a) (e / 2) (half_pos epos) with ⟨n, hn⟩ ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 ⊢ dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e ** have C : dist b (x n) - dist a (x n) = embeddingOfSubset x b n - embeddingOfSubset x a n := by
simp only [embeddingOfSubset_coe, sub_sub_sub_cancel_right] ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e ** have :=
calc
dist a b ≤ dist a (x n) + dist (x n) b := dist_triangle _ _ _
_ = 2 * dist a (x n) + (dist b (x n) - dist a (x n)) := by simp [dist_comm]; ring
_ ≤ 2 * dist a (x n) + |dist b (x n) - dist a (x n)| := by
apply_rules [add_le_add_left, le_abs_self]
_ ≤ 2 * (e / 2) + |embeddingOfSubset x b n - embeddingOfSubset x a n| := by
rw [C]
apply_rules [add_le_add, mul_le_mul_of_nonneg_left, hn.le, le_refl]
norm_num
_ ≤ 2 * (e / 2) + dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) := by
have : |embeddingOfSubset x b n - embeddingOfSubset x a n| ≤
dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) := by
simp only [dist_eq_norm]
exact lp.norm_apply_le_norm ENNReal.top_ne_zero
(embeddingOfSubset x b - embeddingOfSubset x a) n
nlinarith
_ = dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) + e := by ring ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n this : dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) + e ⊢ dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e ** simpa [dist_comm] using this ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 ⊢ dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ** simp only [embeddingOfSubset_coe, sub_sub_sub_cancel_right] ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ dist a (x n) + dist (x n) b = 2 * dist a (x n) + (dist b (x n) - dist a (x n)) ** simp [dist_comm] ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ dist a (x n) + dist b (x n) = 2 * dist a (x n) + (dist b (x n) - dist a (x n)) ** ring ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ 2 * dist a (x n) + (dist b (x n) - dist a (x n)) ≤ 2 * dist a (x n) + |dist b (x n) - dist a (x n)| ** apply_rules [add_le_add_left, le_abs_self] ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ 2 * dist a (x n) + |dist b (x n) - dist a (x n)| ≤ 2 * (e / 2) + |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ** rw [C] ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ 2 * dist a (x n) + |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ≤ 2 * (e / 2) + |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ** apply_rules [add_le_add, mul_le_mul_of_nonneg_left, hn.le, le_refl] ** case h₁.a0 α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n C_symm : ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n = dist b (x n) - dist a (x n) ⊢ 0 ≤ 2 ** norm_num ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ 2 * (e / 2) + |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ≤ 2 * (e / 2) + dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) ** have : |embeddingOfSubset x b n - embeddingOfSubset x a n| ≤
dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) := by
simp only [dist_eq_norm]
exact lp.norm_apply_le_norm ENNReal.top_ne_zero
(embeddingOfSubset x b - embeddingOfSubset x a) n ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n this : |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ≤ dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) ⊢ 2 * (e / 2) + |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ≤ 2 * (e / 2) + dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) ** nlinarith ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ≤ dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) ** simp only [dist_eq_norm] ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ |↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n| ≤ ‖embeddingOfSubset x b - embeddingOfSubset x a‖ ** exact lp.norm_apply_le_norm ENNReal.top_ne_zero
(embeddingOfSubset x b - embeddingOfSubset x a) n ** α : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n✝ : ℕ C✝ : ℝ inst✝ : MetricSpace α x : ℕ → α a✝ b✝ : α H : DenseRange x a b : α e : ℝ epos : 0 < e n : ℕ hn : dist a (x n) < e / 2 C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n ⊢ 2 * (e / 2) + dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) = dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) + e ** ring ** Qed
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KuratowskiEmbedding.exists_isometric_embedding ** α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α ⊢ ∃ f, Isometry f ** cases' (univ : Set α).eq_empty_or_nonempty with h h ** case inl α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α h : univ = ∅ ⊢ ∃ f, Isometry f ** use fun _ => 0 ** case h α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α h : univ = ∅ ⊢ Isometry fun x => 0 ** intro x ** case h α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x✝ : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α h : univ = ∅ x : α ⊢ ∀ (x2 : α), edist ((fun x => 0) x) ((fun x => 0) x2) = edist x x2 ** exact absurd h (Nonempty.ne_empty ⟨x, mem_univ x⟩) ** case inr α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α h : Set.Nonempty univ ⊢ ∃ f, Isometry f ** rcases h with ⟨basepoint⟩ ** case inr.intro α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α basepoint : α h✝ : basepoint ∈ univ ⊢ ∃ f, Isometry f ** haveI : Inhabited α := ⟨basepoint⟩ ** case inr.intro α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α basepoint : α h✝ : basepoint ∈ univ this : Inhabited α ⊢ ∃ f, Isometry f ** have : ∃ s : Set α, s.Countable ∧ Dense s := exists_countable_dense α ** case inr.intro α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α basepoint : α h✝ : basepoint ∈ univ this✝ : Inhabited α this : ∃ s, Set.Countable s ∧ Dense s ⊢ ∃ f, Isometry f ** rcases this with ⟨S, ⟨S_countable, S_dense⟩⟩ ** case inr.intro.intro.intro α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α basepoint : α h✝ : basepoint ∈ univ this : Inhabited α S : Set α S_countable : Set.Countable S S_dense : Dense S ⊢ ∃ f, Isometry f ** rcases Set.countable_iff_exists_subset_range.1 S_countable with ⟨x, x_range⟩ ** case inr.intro.intro.intro.intro α✝ : Type u β : Type v γ : Type w f g : { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } n : ℕ C : ℝ inst✝² : MetricSpace α✝ x✝ : ℕ → α✝ a b : α✝ α : Type u inst✝¹ : MetricSpace α inst✝ : SeparableSpace α basepoint : α h✝ : basepoint ∈ univ this : Inhabited α S : Set α S_countable : Set.Countable S S_dense : Dense S x : ℕ → α x_range : S ⊆ range x ⊢ ∃ f, Isometry f ** exact ⟨embeddingOfSubset x, embeddingOfSubset_isometry x (S_dense.mono x_range)⟩ ** Qed
| |
LipschitzOnWith.extend_lp_infty ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : LipschitzOnWith K f s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** rw [LipschitzOnWith.coordinate] at hfl ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** have : ∀ i : ι, ∃ g : α → ℝ, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s this : ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => ↑(f x) i) g s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** choose g hgl hgeq using this ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** rcases s.eq_empty_or_nonempty with rfl | ⟨a₀, ha₀_in_s⟩ ** case this α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s ⊢ ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => ↑(f x) i) g s ** intro i ** case this α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s i : ι ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => ↑(f x) i) g s ** exact LipschitzOnWith.extend_real (hfl i) ** case inl α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) ∅ hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) ∅ ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g ∅ ** exact ⟨0, LipschitzWith.const' 0, by simp⟩ ** α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) ∅ hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) ∅ ⊢ EqOn f 0 ∅ ** simp ** case inr.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** have hf_extb : ∀ a : α, Memℓp (swap g a) ∞ ** case inr.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s hf_extb : ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** let f_ext' : α → ℓ^∞(ι) := fun i ↦ ⟨swap g i, hf_extb i⟩ ** case inr.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s hf_extb : ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ f_ext' : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := fun i => { val := swap g i, property := (_ : Memℓp (swap g i) ⊤) } ⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s ** refine ⟨f_ext', ?_, ?_⟩ ** case hf_extb α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s ⊢ ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ ** apply LipschitzWith.uniformly_bounded (swap g) hgl a₀ ** case hf_extb α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s ⊢ Memℓp (swap g a₀) ⊤ ** use ‖f a₀‖ ** case h α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s ⊢ ‖f a₀‖ ∈ upperBounds (range fun i => ‖swap g a₀ i‖) ** rintro - ⟨i, rfl⟩ ** case h.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s i : ι ⊢ (fun i => ‖swap g a₀ i‖) i ≤ ‖f a₀‖ ** simp_rw [←hgeq i ha₀_in_s] ** case h.intro α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s i : ι ⊢ ‖↑(f a₀) i‖ ≤ ‖f a₀‖ ** exact lp.norm_apply_le_norm top_ne_zero (f a₀) i ** case inr.intro.refine_1 α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s hf_extb : ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ f_ext' : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := fun i => { val := swap g i, property := (_ : Memℓp (swap g i) ⊤) } ⊢ LipschitzWith K f_ext' ** rw [LipschitzWith.coordinate] ** case inr.intro.refine_1 α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s hf_extb : ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ f_ext' : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := fun i => { val := swap g i, property := (_ : Memℓp (swap g i) ⊤) } ⊢ ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun a => ↑(f_ext' a) i ** exact hgl ** case inr.intro.refine_2 α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s hf_extb : ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ f_ext' : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := fun i => { val := swap g i, property := (_ : Memℓp (swap g i) ⊤) } ⊢ EqOn f f_ext' s ** intro a hyp ** case inr.intro.refine_2 α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s hf_extb : ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ f_ext' : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := fun i => { val := swap g i, property := (_ : Memℓp (swap g i) ⊤) } a : α hyp : a ∈ s ⊢ f a = f_ext' a ** ext i ** case inr.intro.refine_2.h.h α : Type u β : Type v γ : Type w ι : Type u_1 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α f : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } K : ℝ≥0 hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s g : ι → α → ℝ hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i) hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s a₀ : α ha₀_in_s : a₀ ∈ s hf_extb : ∀ (a : α), Memℓp (swap g a) ⊤ f_ext' : α → { x // x ∈ lp (fun i => ℝ) ⊤ } := fun i => { val := swap g i, property := (_ : Memℓp (swap g i) ⊤) } a : α hyp : a ∈ s i : ι ⊢ ↑(f a) i = ↑(f_ext' a) i ** exact (hgeq i) hyp ** Qed
| |
complete_polishSpaceMetric ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ht : TopologicalSpace α h : PolishSpace α ⊢ CompleteSpace α ** convert h.complete.choose_spec.2 ** case h.e'_2.h.e'_2.h.e'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ht : TopologicalSpace α h : PolishSpace α ⊢ polishSpaceMetric α = Exists.choose (_ : ∃ m, UniformSpace.toTopologicalSpace = ht ∧ CompleteSpace α) ** exact MetricSpace.replaceTopology_eq _ _ ** Qed
| |
ClosedEmbedding.polishSpace ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PolishSpace β f : α → β hf : ClosedEmbedding f ⊢ PolishSpace α ** letI := upgradePolishSpace β ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PolishSpace β f : α → β hf : ClosedEmbedding f this : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β ⊢ PolishSpace α ** letI : MetricSpace α := hf.toEmbedding.comapMetricSpace f ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PolishSpace β f : α → β hf : ClosedEmbedding f this✝ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β this : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f (_ : _root_.Embedding f) ⊢ PolishSpace α ** haveI : SecondCountableTopology α := hf.toEmbedding.secondCountableTopology ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PolishSpace β f : α → β hf : ClosedEmbedding f this✝¹ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β this✝ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f (_ : _root_.Embedding f) this : SecondCountableTopology α ⊢ PolishSpace α ** have : CompleteSpace α := by
rw [completeSpace_iff_isComplete_range hf.toEmbedding.to_isometry.uniformInducing]
exact hf.closed_range.isComplete ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PolishSpace β f : α → β hf : ClosedEmbedding f this✝² : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β this✝¹ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f (_ : _root_.Embedding f) this✝ : SecondCountableTopology α this : CompleteSpace α ⊢ PolishSpace α ** infer_instance ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PolishSpace β f : α → β hf : ClosedEmbedding f this✝¹ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β this✝ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f (_ : _root_.Embedding f) this : SecondCountableTopology α ⊢ CompleteSpace α ** rw [completeSpace_iff_isComplete_range hf.toEmbedding.to_isometry.uniformInducing] ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : PolishSpace β f : α → β hf : ClosedEmbedding f this✝¹ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β this✝ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f (_ : _root_.Embedding f) this : SecondCountableTopology α ⊢ IsComplete (range f) ** exact hf.closed_range.isComplete ** Qed
| |
PolishSpace.exists_polishSpace_forall_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** rcases isEmpty_or_nonempty ι with (hι | hι) ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** inhabit ι ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** letI : ∀ n : ι, TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** haveI : ∀ n : ι, PolishSpace (AuxCopy α n) := fun n => h'm n ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** letI T : TopologicalSpace (∀ n : ι, AuxCopy α n) := inferInstance ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** let f : α → ∀ n : ι, AuxCopy α n := fun x _ => x ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** have T_le_m : ∀ n, T.induced f ≤ m n := fun n ↦ by
rw [induced_to_pi]
exact iInf_le_of_le n (@induced_id _ (m n)).le ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** refine' ⟨T.induced f, fun n => T_le_m n, (T_le_m default).trans (hm default), _⟩ ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} ⊢ PolishSpace α ** have f_closed : IsClosed (range f) := by
rw [A]
refine isClosed_iInter fun n => ?_
have C : ∀ i : ι, Continuous fun x : ∀ n, AuxCopy α n => (id (x i) : α) := fun i ↦
have : Continuous (show AuxCopy α i → α from id) := continuous_id_of_le (hm i)
this.comp (continuous_apply i)
apply isClosed_eq (C n) (C default) ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) ⊢ PolishSpace α ** have K : @_root_.Embedding _ _ (T.induced f) T f := by
refine Function.Injective.embedding_induced fun x y hxy ↦ ?_
have : f x default = f y default := by rw [hxy]
exact this ** case inr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) K : _root_.Embedding f L : ClosedEmbedding f ⊢ PolishSpace α ** exact @ClosedEmbedding.polishSpace _ _ (T.induced f) T (by infer_instance) _ L ** case inl α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : IsEmpty ι ⊢ ∃ t', (∀ (n : ι), t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ PolishSpace α ** exact ⟨t, fun i => (IsEmpty.elim hι i : _), le_rfl, p⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x n : ι ⊢ induced f T ≤ m n ** rw [induced_to_pi] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x n : ι ⊢ ⨅ i, induced (fun x => f x i) inferInstance ≤ m n ** exact iInf_le_of_le n (@induced_id _ (m n)).le ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n ⊢ range f = ⋂ n, {x | x n = x default} ** ext x ** case h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n x : (n : ι) → AuxCopy α n ⊢ x ∈ range f ↔ x ∈ ⋂ n, {x | x n = x default} ** constructor ** case h.mp α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n x : (n : ι) → AuxCopy α n ⊢ x ∈ range f → x ∈ ⋂ n, {x | x n = x default} ** rintro ⟨y, rfl⟩ ** case h.mp.intro α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n y : α ⊢ f y ∈ ⋂ n, {x | x n = x default} ** exact mem_iInter.2 fun n => by simp only [mem_setOf_eq] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n y : α n : ι ⊢ f y ∈ {x | x n = x default} ** simp only [mem_setOf_eq] ** case h.mpr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n x : (n : ι) → AuxCopy α n ⊢ x ∈ ⋂ n, {x | x n = x default} → x ∈ range f ** refine fun hx ↦ ⟨x default, ?_⟩ ** case h.mpr α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n x : (n : ι) → AuxCopy α n hx : x ∈ ⋂ n, {x | x n = x default} ⊢ f (x default) = x ** ext1 n ** case h.mpr.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n x : (n : ι) → AuxCopy α n hx : x ∈ ⋂ n, {x | x n = x default} n : ι ⊢ f (x default) n = x n ** symm ** case h.mpr.h α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n x : (n : ι) → AuxCopy α n hx : x ∈ ⋂ n, {x | x n = x default} n : ι ⊢ x n = f (x default) n ** exact mem_iInter.1 hx n ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} ⊢ IsClosed (range f) ** rw [A] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} ⊢ IsClosed (⋂ n, {x | x n = x default}) ** refine isClosed_iInter fun n => ?_ ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} n : ι ⊢ IsClosed {x | x n = x default} ** have C : ∀ i : ι, Continuous fun x : ∀ n, AuxCopy α n => (id (x i) : α) := fun i ↦
have : Continuous (show AuxCopy α i → α from id) := continuous_id_of_le (hm i)
this.comp (continuous_apply i) ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} n : ι C : ∀ (i : ι), Continuous fun x => id (x i) ⊢ IsClosed {x | x n = x default} ** apply isClosed_eq (C n) (C default) ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) ⊢ _root_.Embedding f ** refine Function.Injective.embedding_induced fun x y hxy ↦ ?_ ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) x y : α hxy : f x = f y ⊢ x = y ** have : f x default = f y default := by rw [hxy] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝¹ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this✝ : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) x y : α hxy : f x = f y this : f x default = f y default ⊢ x = y ** exact this ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) x y : α hxy : f x = f y ⊢ f x default = f y default ** rw [hxy] ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) K : _root_.Embedding f ⊢ ClosedEmbedding f ** refine @ClosedEmbedding.mk _ _ (T.induced f) T f ?_ ?_ ** case refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) K : _root_.Embedding f ⊢ _root_.Embedding f ** exact K ** case refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) K : _root_.Embedding f ⊢ IsClosed (range f) ** exact f_closed ** α : Type u_1 β : Type u_2 ι : Type u_3 inst✝ : Countable ι t : TopologicalSpace α p : PolishSpace α m : ι → TopologicalSpace α hm : ∀ (n : ι), m n ≤ t h'm : ∀ (n : ι), PolishSpace α hι : Nonempty ι inhabited_h : Inhabited ι this✝ : (n : ι) → TopologicalSpace (AuxCopy α n) := fun n => m n this : ∀ (n : ι), PolishSpace (AuxCopy α n) T : TopologicalSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) := inferInstance f : α → (n : ι) → AuxCopy α n := fun x x_1 => x T_le_m : ∀ (n : ι), induced f T ≤ m n A : range f = ⋂ n, {x | x n = x default} f_closed : IsClosed (range f) K : _root_.Embedding f L : ClosedEmbedding f ⊢ PolishSpace ((n : ι) → AuxCopy α n) ** infer_instance ** Qed
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IsOpen.polishSpace ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : MetricSpace α✝ s✝ : Opens α✝ α : Type u_3 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsOpen s ⊢ PolishSpace ↑s ** letI := upgradePolishSpace α ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : MetricSpace α✝ s✝ : Opens α✝ α : Type u_3 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsOpen s this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α ⊢ PolishSpace ↑s ** lift s to Opens α using hs ** case intro α✝ : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : MetricSpace α✝ s✝ : Opens α✝ α : Type u_3 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α s : Opens α ⊢ PolishSpace ↑↑s ** have : SecondCountableTopology s.CompleteCopy := inferInstanceAs (SecondCountableTopology s) ** case intro α✝ : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : MetricSpace α✝ s✝ : Opens α✝ α : Type u_3 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α this✝ : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α s : Opens α this : SecondCountableTopology (CompleteCopy s) ⊢ PolishSpace ↑↑s ** exact inferInstanceAs (PolishSpace s.CompleteCopy) ** Qed
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IsClosed.isClopenable ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s ⊢ IsClopenable s ** haveI : PolishSpace s := hs.polishSpace ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this : PolishSpace ↑s ⊢ IsClopenable s ** let t : Set α := sᶜ ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ ⊢ IsClopenable s ** haveI : PolishSpace t := hs.isOpen_compl.polishSpace ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t ⊢ IsClopenable s ** let f : s ⊕ t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t f : ↑s ⊕ ↑t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s ⊢ IsClopenable s ** have hle : TopologicalSpace.coinduced f instTopologicalSpaceSum ≤ ‹_› ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t f : ↑s ⊕ ↑t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s hle : coinduced (↑f) instTopologicalSpaceSum ≤ inst✝¹ ⊢ IsClopenable s ** refine ⟨.coinduced f instTopologicalSpaceSum, hle, ?_, hs.mono hle, ?_⟩ ** case hle α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t f : ↑s ⊕ ↑t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s ⊢ coinduced (↑f) instTopologicalSpaceSum ≤ inst✝¹ ** simp only [instTopologicalSpaceSum, coinduced_sup, coinduced_compose, sup_le_iff,
← continuous_iff_coinduced_le] ** case hle α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t f : ↑s ⊕ ↑t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s ⊢ Continuous (↑(Equiv.Set.sumCompl s) ∘ Sum.inl) ∧ Continuous (↑(Equiv.Set.sumCompl s) ∘ Sum.inr) ** exact ⟨continuous_subtype_val, continuous_subtype_val⟩ ** case refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t f : ↑s ⊕ ↑t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s hle : coinduced (↑f) instTopologicalSpaceSum ≤ inst✝¹ ⊢ PolishSpace α ** exact f.symm.polishSpace_induced ** case refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t f : ↑s ⊕ ↑t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s hle : coinduced (↑f) instTopologicalSpaceSum ≤ inst✝¹ ⊢ IsOpen s ** rw [isOpen_coinduced, isOpen_sum_iff] ** case refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsClosed s this✝ : PolishSpace ↑s t : Set α := sᶜ this : PolishSpace ↑t f : ↑s ⊕ ↑t ≃ α := Equiv.Set.sumCompl s hle : coinduced (↑f) instTopologicalSpaceSum ≤ inst✝¹ ⊢ IsOpen (Sum.inl ⁻¹' (↑f ⁻¹' s)) ∧ IsOpen (Sum.inr ⁻¹' (↑f ⁻¹' s)) ** convert And.intro (isOpen_univ (α := s)) (isOpen_empty (α := (sᶜ : Set α)))
<;> ext ⟨x, hx⟩ <;> simpa using hx ** Qed
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PolishSpace.IsClopenable.compl ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : TopologicalSpace α s : Set α hs : IsClopenable s ⊢ IsClopenable sᶜ ** rcases hs with ⟨t, t_le, t_polish, h, h'⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : TopologicalSpace α s : Set α t : TopologicalSpace α t_le : t ≤ inst✝ t_polish : PolishSpace α h : IsClosed s h' : IsOpen s ⊢ IsClopenable sᶜ ** exact ⟨t, t_le, t_polish, @IsOpen.isClosed_compl α t s h', @IsClosed.isOpen_compl α t s h⟩ ** Qed
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