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IsOpen.isClopenable α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsOpen s ⊢ IsClopenable s simpa using hs.isClosed_compl.isClopenable.compl ** Qed
PolishSpace.IsClopenable.iUnion α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α hs : ∀ (n : ℕ), IsClopenable (s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) choose m mt m_polish _ m_open using hs α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) obtain ⟨t', t'm, -, t'_polish⟩ : ∃ t' : TopologicalSpace α, (∀ n : ℕ, t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ @PolishSpace α t' := exists_polishSpace_forall_le m mt m_polish case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) have A : IsOpen[t'] (⋃ n, s n) := by apply isOpen_iUnion intro n apply t'm n exact m_open n case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α A : IsOpen (⋃ n, s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) obtain ⟨t'', t''_le, t''_polish, h1, h2⟩ : ∃ t'' : TopologicalSpace α, t'' ≤ t' ∧ @PolishSpace α t'' ∧ IsClosed[t''] (⋃ n, s n) ∧ IsOpen[t''] (⋃ n, s n) := @IsOpen.isClopenable α t' t'_polish _ A case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α A : IsOpen (⋃ n, s n) t'' : TopologicalSpace α t''_le : t'' ≤ t' t''_polish : PolishSpace α h1 : IsClosed (⋃ n, s n) h2 : IsOpen (⋃ n, s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) exact ⟨t'', t''_le.trans ((t'm 0).trans (mt 0)), t''_polish, h1, h2⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α ⊢ IsOpen (⋃ n, s n) apply isOpen_iUnion case h α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α ⊢ ∀ (i : ℕ), IsOpen (s i) intro n case h α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α n : ℕ ⊢ IsOpen (s n) apply t'm n case h.a α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α n : ℕ ⊢ IsOpen (s n) exact m_open n ** Qed
PseudoMetricSpace.dist_ofPreNNDist_le X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x x y : X ⊢ sum (zipWith d [x] ([] ++ [y])) = d x y simp ** Qed
PseudoMetricSpace.le_two_mul_dist_ofPreNNDist ** X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X ⊢ ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y rw [dist_ofPreNNDist, ← NNReal.coe_two, ← NNReal.coe_mul, NNReal.mul_iInf, NNReal.coe_le_coe] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X ⊢ d x y ≤ ⨅ i, 2 * sum (zipWith d (x :: i) (i ++ [y])) refine' le_ciInf fun l => _ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) have hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 := by intro a b c hab hbc rw [← nonpos_iff_eq_zero] simpa only [nonpos_iff_eq_zero, hab, hbc, dist_self c, max_self, mul_zero] using hd a b c c X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) haveI : IsTrans X fun x y => d x y = 0 := ⟨hd₀_trans⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) induction' hn : length l using Nat.strong_induction_on with n ihn generalizing x y l case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn✝ : length l✝ = x✝ n : ℕ ihn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) x y : X l : List X hn : length l = n ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) subst n case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) set L := zipWith d (x::l) (l ++ [y]) case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) ⊢ d x y ≤ 2 * sum L have hL_len : length L = length l + 1 := by simp case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 ⊢ d x y ≤ 2 * sum L cases' eq_or_ne (d x y) 0 with hd₀ hd₀ case h.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum L rsuffices ⟨z, z', hxz, hzz', hz'y⟩ : ∃ z z' : X, d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L ** set s : Set ℕ := { m : ℕ \| 2 * (take m L).sum ≤ L.sum } ** X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hs₀ : 0 ∈ s := by simp X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hsne : s.Nonempty := ⟨0, hs₀⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L obtain ⟨M, hMl, hMs⟩ : ∃ M ≤ length l, IsGreatest s M := by have hs_ub : length l ∈ upperBounds s := by intro m hm rw [← not_lt, Nat.lt_iff_add_one_le, ← hL_len] intro hLm rw [mem_setOf_eq, take_all_of_le hLm, two_mul, add_le_iff_nonpos_left, nonpos_iff_eq_zero, sum_eq_zero_iff, ← all₂_iff_forall, all₂_zipWith, ← chain_append_singleton_iff_forall₂] at hm <;> [skip; simp] exact hd₀ (hm.rel (mem_append.2 <\| Or.inr <\| mem_singleton_self _)) have hs_bdd : BddAbove s := ⟨length l, hs_ub⟩ exact ⟨sSup s, csSup_le hsne hs_ub, ⟨Nat.sSup_mem hsne hs_bdd, fun k => le_csSup hs_bdd⟩⟩ case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hM_lt : M < length L := by rwa [hL_len, Nat.lt_succ_iff] case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hM_ltx : M < length (x::l) := lt_length_left_of_zipWith hM_lt case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hM_lty : M < length (l ++ [y]) := lt_length_right_of_zipWith hM_lt case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L refine' ⟨(x::l).get ⟨M, hM_ltx⟩, (l ++ [y]).get ⟨M, hM_lty⟩, _, _, _⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X ⊢ Transitive fun x y => d x y = 0 intro a b c hab hbc X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X a b c : X hab : d a b = 0 hbc : d b c = 0 ⊢ d a c = 0 rw [← nonpos_iff_eq_zero] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X a b c : X hab : d a b = 0 hbc : d b c = 0 ⊢ d a c ≤ 0 simpa only [nonpos_iff_eq_zero, hab, hbc, dist_self c, max_self, mul_zero] using hd a b c c X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) ⊢ length L = length l + 1 simp case h.inl X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y = 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum L simp only [hd₀, zero_le] case h.inr.intro.intro.intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 z z' : X hxz : d x z ≤ sum L hzz' : d z z' ≤ sum L hz'y : d z' y ≤ sum L ⊢ d x y ≤ 2 * sum L exact (hd x z z' y).trans (mul_le_mul_left' (max_le hxz (max_le hzz' hz'y)) _) X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} ⊢ 0 ∈ s simp X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s ⊢ ∃ M, M ≤ length l ∧ IsGreatest s M have hs_ub : length l ∈ upperBounds s := by intro m hm rw [← not_lt, Nat.lt_iff_add_one_le, ← hL_len] intro hLm rw [mem_setOf_eq, take_all_of_le hLm, two_mul, add_le_iff_nonpos_left, nonpos_iff_eq_zero, sum_eq_zero_iff, ← all₂_iff_forall, all₂_zipWith, ← chain_append_singleton_iff_forall₂] at hm <;> [skip; simp] exact hd₀ (hm.rel (mem_append.2 <\| Or.inr <\| mem_singleton_self _)) X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hs_ub : length l ∈ upperBounds s ⊢ ∃ M, M ≤ length l ∧ IsGreatest s M have hs_bdd : BddAbove s := ⟨length l, hs_ub⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hs_ub : length l ∈ upperBounds s hs_bdd : BddAbove s ⊢ ∃ M, M ≤ length l ∧ IsGreatest s M exact ⟨sSup s, csSup_le hsne hs_ub, ⟨Nat.sSup_mem hsne hs_bdd, fun k => le_csSup hs_bdd⟩⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s ⊢ length l ∈ upperBounds s intro m hm X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : m ∈ s ⊢ m ≤ length l rw [← not_lt, Nat.lt_iff_add_one_le, ← hL_len] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : m ∈ s ⊢ ¬length L ≤ m intro hLm X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : m ∈ s hLm : length L ≤ m ⊢ False rw [mem_setOf_eq, take_all_of_le hLm, two_mul, add_le_iff_nonpos_left, nonpos_iff_eq_zero, sum_eq_zero_iff, ← all₂_iff_forall, all₂_zipWith, ← chain_append_singleton_iff_forall₂] at hm <;> [skip; simp] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : Chain (fun x y => d x y = 0) x (l ++ [y]) hLm : length L ≤ m ⊢ False exact hd₀ (hm.rel (mem_append.2 <\| Or.inr <\| mem_singleton_self _)) X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M ⊢ M < length L rwa [hL_len, Nat.lt_succ_iff] case intro.intro.refine'_1 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L cases M with \| zero => simp [dist_self, List.get] \| succ M => rw [Nat.succ_le_iff] at hMl have hMl' : length (take M l) = M := (length_take _ _).trans (min_eq_left hMl.le) simp only [List.get] refine' (ihn _ hMl _ _ _ hMl').trans _ convert hMs.1.out rw [zipWith_distrib_take, take, take_succ, get?_append hMl, get?_eq_get hMl, ← Option.coe_def, Option.to_list_some, take_append_of_le_length hMl.le] case intro.intro.refine'_1.zero X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hMl : Nat.zero ≤ length l hMs : IsGreatest s Nat.zero hM_lt : Nat.zero < length L hM_ltx : Nat.zero < length (x :: l) hM_lty : Nat.zero < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.zero, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L simp [dist_self, List.get] case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : Nat.succ M ≤ length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.succ M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L rw [Nat.succ_le_iff] at hMl case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.succ M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L have hMl' : length (take M l) = M := (length_take _ _).trans (min_eq_left hMl.le) case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.succ M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L simp only [List.get] case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ d x (List.get l { val := M, isLt := (_ : Nat.succ M ≤ length l) }) ≤ sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) refine' (ihn _ hMl _ _ _ hMl').trans _ case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ 2 * sum (zipWith d (x :: take M l) (take M l ++ [List.get l { val := M, isLt := (_ : Nat.succ M ≤ length l) }])) ≤ sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) convert hMs.1.out case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_4 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ zipWith d (x :: take M l) (take M l ++ [List.get l { val := M, isLt := (_ : Nat.succ M ≤ length l) }]) = take (Nat.succ M) L rw [zipWith_distrib_take, take, take_succ, get?_append hMl, get?_eq_get hMl, ← Option.coe_def, Option.to_list_some, take_append_of_le_length hMl.le] case intro.intro.refine'_2 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ d (List.get (x :: l) { val := M, isLt := hM_ltx }) (List.get (l ++ [y]) { val := M, isLt := hM_lty }) ≤ sum L exact single_le_sum (fun x _ => zero_le x) _ (mem_iff_get.2 ⟨⟨M, hM_lt⟩, get_zipWith⟩) case intro.intro.refine'_3 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ d (List.get (l ++ [y]) { val := M, isLt := hM_lty }) y ≤ sum L rcases hMl.eq_or_lt with (rfl \| hMl) case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l ⊢ d (List.get (l ++ [y]) { val := M, isLt := hM_lty }) y ≤ sum L rw [get_append _ hMl] case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l ⊢ d (List.get l { val := M, isLt := hMl }) y ≤ sum L have hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) := length_drop _ _ case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) ⊢ d (List.get l { val := M, isLt := hMl }) y ≤ sum L have hlen_lt : length l - (M + 1) < length l := Nat.sub_lt_of_pos_le M.succ_pos hMl case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l ⊢ d (List.get l { val := M, isLt := hMl }) y ≤ sum L refine' (ihn _ hlen_lt _ y _ hlen).trans _ case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l ⊢ 2 * sum (zipWith d (List.get l { val := M, isLt := hMl } :: drop (M + 1) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L rw [cons_get_drop_succ] case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l ⊢ 2 * sum (zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L ** have hMs' : L.sum ≤ 2 * (L.take (M + 1)).sum := not_lt.1 fun h => (hMs.2 h.le).not_lt M.lt_succ_self ** case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l hMs' : sum L ≤ 2 * sum (take (M + 1) L) ⊢ 2 * sum (zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L rw [← sum_take_add_sum_drop L (M + 1), two_mul, add_le_add_iff_left, ← add_le_add_iff_right, sum_take_add_sum_drop, ← two_mul] at hMs' case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l hMs'✝ : sum (drop (M + 1) L) ≤ sum (take (M + 1) L) hMs' : 2 * sum (drop (M + 1) L) ≤ sum L ⊢ 2 * sum (zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L convert hMs' case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_4 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l hMs'✝ : sum (drop (M + 1) L) ≤ sum (take (M + 1) L) hMs' : 2 * sum (drop (M + 1) L) ≤ sum L ⊢ zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y]) = drop (M + 1) L rwa [zipWith_distrib_drop, drop, drop_append_of_le_length] case intro.intro.refine'_3.inl X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hMl : length l ≤ length l hMs : IsGreatest s (length l) hM_lt : length l < length L hM_ltx : length l < length (x :: l) hM_lty : length l < length (l ++ [y]) ⊢ d (List.get (l ++ [y]) { val := length l, isLt := hM_lty }) y ≤ sum L simp only [get_append_right' le_rfl, sub_self, get_singleton, dist_self, zero_le] Qed
UniformSpace.metrizable_uniformity X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ obtain ⟨U, hU_symm, hU_comp, hB⟩ : ∃ U : ℕ → Set (X × X), (∀ n, SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ (𝓤 X).HasAntitoneBasis U := by rcases UniformSpace.has_seq_basis X with ⟨V, hB, hV_symm⟩ rcases hB.subbasis_with_rel fun m => hB.tendsto_smallSets.eventually (eventually_uniformity_iterate_comp_subset (hB.mem m) 2) with ⟨φ, -, hφ_comp, hφB⟩ exact ⟨V ∘ φ, fun n => hV_symm _, hφ_comp, hφB⟩ case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ letI := UniformSpace.separationSetoid X case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ set d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, (x, y) ∉ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ have hd_symm : ∀ x y, d x y = d y x := by intro x y simp only [@SymmetricRel.mk_mem_comm _ _ (hU_symm _) x y] case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ have hr : (1 / 2 : ℝ≥0) ∈ Ioo (0 : ℝ≥0) 1 := ⟨half_pos one_pos, NNReal.half_lt_self one_ne_zero⟩ case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ letI I := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (fun x => hd₀.2 (Setoid.refl _)) hd_symm case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ have hdist_le : ∀ x y, dist x y ≤ d x y := PseudoMetricSpace.dist_ofPreNNDist_le _ _ _ ** case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ rw [mem_Ioo, ← NNReal.coe_lt_coe, ← NNReal.coe_lt_coe] at hr case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ refine' ⟨I, UniformSpace.ext <\| (uniformity_basis_dist_pow hr.1 hr.2).ext hB.toHasBasis _ _⟩ X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) ⊢ ∃ U, (∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ HasAntitoneBasis (𝓤 X) U rcases UniformSpace.has_seq_basis X with ⟨V, hB, hV_symm⟩ case intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) V : ℕ → Set (X × X) hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) V hV_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (V n) ⊢ ∃ U, (∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ HasAntitoneBasis (𝓤 X) U rcases hB.subbasis_with_rel fun m => hB.tendsto_smallSets.eventually (eventually_uniformity_iterate_comp_subset (hB.mem m) 2) with ⟨φ, -, hφ_comp, hφB⟩ case intro.intro.intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) V : ℕ → Set (X × X) hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) V hV_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (V n) φ : ℕ → ℕ hφ_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → (fun x => V (φ n) ○ x)^[2] (V (φ n)) ⊆ V (φ m) hφB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) (V ∘ φ) ⊢ ∃ U, (∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ HasAntitoneBasis (𝓤 X) U exact ⟨V ∘ φ, fun n => hV_symm _, hφ_comp, hφB⟩ X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 ⊢ ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y intro x y X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X ⊢ d x y = 0 ↔ x ≈ y refine' Iff.trans _ hB.mem_separationRel.symm X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X ⊢ d x y = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), True → (x, y) ∈ U i simp only [true_imp_iff] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X ⊢ (if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0) = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i split_ifs with h case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ Nat.find h = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i rw [← not_forall] at h case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X h✝ : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n h : ¬∀ (x_1 : ℕ), (x, y) ∈ U x_1 ⊢ (1 / 2) ^ Nat.find h✝ = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i simp [h, pow_eq_zero_iff'] case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X h : ¬∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ 0 = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i simpa only [not_exists, Classical.not_not, eq_self_iff_true, true_iff_iff] using h X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y ⊢ ∀ (x y : X), d x y = d y x intro x y X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y x y : X ⊢ d x y = d y x simp only [@SymmetricRel.mk_mem_comm _ _ (hU_symm _) x y] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) ⊢ ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n intro x y n X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n dsimp only [] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ ⊢ ((1 / 2) ^ n ≤ if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0) ↔ ¬(x, y) ∈ U n split_ifs with h case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ (1 / 2) ^ Nat.find h ↔ ¬(x, y) ∈ U n rw [(strictAnti_pow hr.1 hr.2).le_iff_le, Nat.find_le_iff] case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (∃ m, m ≤ n ∧ ¬(x, y) ∈ U m) ↔ ¬(x, y) ∈ U n exact ⟨fun ⟨m, hmn, hm⟩ hn => hm (hB.antitone hmn hn), fun h => ⟨n, le_rfl, h⟩⟩ case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ¬∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ 0 ↔ ¬(x, y) ∈ U n push_neg at h case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ∀ (n : ℕ), (x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ 0 ↔ ¬(x, y) ∈ U n simp only [h, not_true, (pow_pos hr.1 _).not_le] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n ⊢ ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y refine' PseudoMetricSpace.le_two_mul_dist_ofPreNNDist _ _ _ fun x₁ x₂ x₃ x₄ => _ X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X ⊢ d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) by_cases H : ∃ n, (x₁, x₄) ∉ U n case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) refine' (dif_pos H).trans_le _ case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ Nat.find H ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) rw [← NNReal.div_le_iff' two_ne_zero, ← mul_one_div (_ ^ _), ← pow_succ'] case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ (Nat.find H + 1) ≤ max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) simp only [le_max_iff, hle_d, ← not_and_or] case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ ¬((x₁, x₂) ∈ U (Nat.find H + 1) ∧ (x₂, x₃) ∈ U (Nat.find H + 1) ∧ (x₃, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1)) rintro ⟨h₁₂, h₂₃, h₃₄⟩ case pos.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n h₁₂ : (x₁, x₂) ∈ U (Nat.find H + 1) h₂₃ : (x₂, x₃) ∈ U (Nat.find H + 1) h₃₄ : (x₃, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1) ⊢ False refine' Nat.find_spec H (hU_comp (lt_add_one <\| Nat.find H) _) case pos.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n h₁₂ : (x₁, x₂) ∈ U (Nat.find H + 1) h₂₃ : (x₂, x₃) ∈ U (Nat.find H + 1) h₃₄ : (x₃, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1) ⊢ (x₁, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1) ○ (U (Nat.find H + 1) ○ U (Nat.find H + 1)) exact ⟨x₂, h₁₂, x₃, h₂₃, h₃₄⟩ case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ¬∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) exact (dif_neg H).trans_le (zero_le _) case intro.intro.intro.refine'_1 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∀ (i : ℕ), True → ∃ i', True ∧ U i' ⊆ {p \| dist p.1 p.2 < ↑(1 / 2) ^ i} refine' fun n hn => ⟨n, hn, fun x hx => (hdist_le _ _).trans_lt _⟩ case intro.intro.intro.refine'_1 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ hn : True x : X × X hx : x ∈ U n ⊢ ↑(d x.1 x.2) < ↑(1 / 2) ^ n rwa [← NNReal.coe_pow, NNReal.coe_lt_coe, ← not_le, hle_d, Classical.not_not] case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∀ (i' : ℕ), True → ∃ i, True ∧ {p \| dist p.1 p.2 < ↑(1 / 2) ^ i} ⊆ U i' refine' fun n _ => ⟨n + 1, trivial, fun x hx => _⟩ case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : x ∈ {p \| dist p.1 p.2 < ↑(1 / 2) ^ (n + 1)} ⊢ x ∈ U n rw [mem_setOf_eq] at hx case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : dist x.1 x.2 < ↑(1 / 2) ^ (n + 1) ⊢ x ∈ U n contrapose! hx case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : ¬x ∈ U n ⊢ ↑(1 / 2) ^ (n + 1) ≤ dist x.1 x.2 refine' le_trans _ ((div_le_iff' (zero_lt_two' ℝ)).2 (hd_le x.1 x.2)) case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : ¬x ∈ U n ⊢ ↑(1 / 2) ^ (n + 1) ≤ ↑(d x.1 x.2) / 2 rwa [← NNReal.coe_two, ← NNReal.coe_div, ← NNReal.coe_pow, NNReal.coe_le_coe, pow_succ', mul_one_div, NNReal.div_le_iff two_ne_zero, div_mul_cancel _ (two_ne_zero' ℝ≥0), hle_d] Qed
UniformSpace.metrizableSpace X : Type u_1 inst✝² : UniformSpace X inst✝¹ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) inst✝ : T0Space X ⊢ TopologicalSpace.MetrizableSpace X letI := UniformSpace.metricSpace X X : Type u_1 inst✝² : UniformSpace X inst✝¹ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) inst✝ : T0Space X this : MetricSpace X := UniformSpace.metricSpace X ⊢ TopologicalSpace.MetrizableSpace X infer_instance ** Qed
continuous_thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α ⊢ Continuous (thickenedIndicatorAux δ E) unfold thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α ⊢ Continuous fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ let f := fun x : α => (⟨1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ⟩ : ℝ≥0 × ℝ≥0∞) α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) ⊢ Continuous fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ let sub := fun p : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ => (p.1 : ℝ≥0∞) - p.2 α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ Continuous fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ rw [show (fun x : α => (1 : ℝ≥0∞) - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) = sub ∘ f by rfl] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ Continuous (sub ∘ f) apply (@ENNReal.continuous_nnreal_sub 1).comp α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ Continuous fun x => (f x).2 apply (ENNReal.continuous_div_const (ENNReal.ofReal δ) _).comp continuous_infEdist α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ ENNReal.ofReal δ ≠ 0 norm_num [δ_pos] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ (fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) = sub ∘ f rfl ** Qed
thickenedIndicatorAux_le_one α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α x : α ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1 apply @tsub_le_self _ _ _ _ (1 : ℝ≥0∞) ** Qed
thickenedIndicatorAux_closure_eq α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α ⊢ thickenedIndicatorAux δ (closure E) = thickenedIndicatorAux δ E simp_rw [thickenedIndicatorAux, infEdist_closure] ** Qed
thickenedIndicatorAux_one α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α x : α x_in_E : x ∈ E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 1 simp [thickenedIndicatorAux, infEdist_zero_of_mem x_in_E, tsub_zero] ** Qed
thickenedIndicatorAux_one_of_mem_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α x : α x_mem : x ∈ closure E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 1 rw [← thickenedIndicatorAux_closure_eq, thickenedIndicatorAux_one δ (closure E) x_mem] ** Qed
thickenedIndicatorAux_zero α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ¬x ∈ thickening δ E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0 rw [thickening, mem_setOf_eq, not_lt] at x_out α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0 unfold thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ = 0 apply le_antisymm _ bot_le α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥ have key := tsub_le_tsub (@rfl _ (1 : ℝ≥0∞)).le (ENNReal.div_le_div x_out (@rfl _ (ENNReal.ofReal δ : ℝ≥0∞)).le) α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - ENNReal.ofReal δ / ENNReal.ofReal δ ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥ rw [ENNReal.div_self (ne_of_gt (ENNReal.ofReal_pos.mpr δ_pos)) ofReal_ne_top] at key α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - 1 ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥ simpa using key ** Qed
indicator_le_thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α ⊢ (indicator E fun x => 1) ≤ thickenedIndicatorAux δ E intro a α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α a : α ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ thickenedIndicatorAux δ E a by_cases a ∈ E case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α a : α h : a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ thickenedIndicatorAux δ E a simp only [h, indicator_of_mem, thickenedIndicatorAux_one δ E h, le_refl] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α a : α h : ¬a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ thickenedIndicatorAux δ E a simp only [h, indicator_of_not_mem, not_false_iff, zero_le] ** Qed
thickenedIndicatorAux_tendsto_indicator_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α ⊢ Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) rw [tendsto_pi_nhds] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α ⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) intro x α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) by_cases x_mem_closure : x ∈ closure E case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) simp_rw [thickenedIndicatorAux_one_of_mem_closure _ E x_mem_closure] case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => 1) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) rw [show (indicator (closure E) fun _ => (1 : ℝ≥0∞)) x = 1 by simp only [x_mem_closure, indicator_of_mem]] case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => 1) atTop (𝓝 1) exact tendsto_const_nhds α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x = 1 simp only [x_mem_closure, indicator_of_mem] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) rw [show (closure E).indicator (fun _ => (1 : ℝ≥0∞)) x = 0 by simp only [x_mem_closure, indicator_of_not_mem, not_false_iff]] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) rcases exists_real_pos_lt_infEdist_of_not_mem_closure x_mem_closure with ⟨ε, ⟨ε_pos, ε_lt⟩⟩ case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) rw [Metric.tendsto_nhds] at δseq_lim case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (δseq x) 0 < ε E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) specialize δseq_lim ε ε_pos case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E δseq_lim : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (δseq x) 0 < ε ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) simp only [dist_zero_right, Real.norm_eq_abs, eventually_atTop, ge_iff_le] at δseq_lim case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E δseq_lim : ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → \|δseq b\| < ε ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) rcases δseq_lim with ⟨N, hN⟩ case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) apply @tendsto_atTop_of_eventually_const _ _ _ _ _ _ _ N case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε ⊢ ∀ (i : ℕ), i ≥ N → thickenedIndicatorAux (δseq i) E x = 0 intro n n_large case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N ⊢ thickenedIndicatorAux (δseq n) E x = 0 have key : x ∉ thickening ε E := by simpa only [thickening, mem_setOf_eq, not_lt] using ε_lt.le case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N key : ¬x ∈ thickening ε E ⊢ thickenedIndicatorAux (δseq n) E x = 0 refine' le_antisymm _ bot_le case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N key : ¬x ∈ thickening ε E ⊢ thickenedIndicatorAux (δseq n) E x ≤ 0 apply (thickenedIndicatorAux_mono (lt_of_abs_lt (hN n n_large)).le E x).trans case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N key : ¬x ∈ thickening ε E ⊢ thickenedIndicatorAux ε E x ≤ 0 exact (thickenedIndicatorAux_zero ε_pos E key).le α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x = 0 simp only [x_mem_closure, indicator_of_not_mem, not_false_iff] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N ⊢ ¬x ∈ thickening ε E simpa only [thickening, mem_setOf_eq, not_lt] using ε_lt.le ** Qed
thickenedIndicator_le_one α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α ⊢ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) x ≤ 1 rw [thickenedIndicator.coeFn_eq_comp] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α ⊢ (ENNReal.toNNReal ∘ thickenedIndicatorAux δ E) x ≤ 1 simpa using (toNNReal_le_toNNReal thickenedIndicatorAux_lt_top.ne one_ne_top).mpr (thickenedIndicatorAux_le_one δ E x) ** Qed
thickenedIndicator_one_of_mem_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_mem : x ∈ closure E ⊢ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) x = 1 rw [thickenedIndicator_apply, thickenedIndicatorAux_one_of_mem_closure δ E x_mem, one_toNNReal] ** Qed
thickenedIndicator_zero α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ¬x ∈ thickening δ E ⊢ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) x = 0 rw [thickenedIndicator_apply, thickenedIndicatorAux_zero δ_pos E x_out, zero_toNNReal] ** Qed
indicator_le_thickenedIndicator α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α ⊢ (indicator E fun x => 1) ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) intro a α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α a : α ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) a by_cases a ∈ E case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α a : α h : a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) a simp only [h, indicator_of_mem, thickenedIndicator_one δ_pos E h, le_refl] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α a : α h : ¬a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) a simp only [h, indicator_of_not_mem, not_false_iff, zero_le] ** Qed
thickenedIndicator_mono α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ₁ δ₂ : ℝ δ₁_pos : 0 < δ₁ δ₂_pos : 0 < δ₂ hle : δ₁ ≤ δ₂ E : Set α ⊢ ↑(thickenedIndicator δ₁_pos E) ≤ ↑(thickenedIndicator δ₂_pos E) intro x α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ₁ δ₂ : ℝ δ₁_pos : 0 < δ₁ δ₂_pos : 0 < δ₂ hle : δ₁ ≤ δ₂ E : Set α x : α ⊢ ↑(thickenedIndicator δ₁_pos E) x ≤ ↑(thickenedIndicator δ₂_pos E) x apply (toNNReal_le_toNNReal thickenedIndicatorAux_lt_top.ne thickenedIndicatorAux_lt_top.ne).mpr α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ₁ δ₂ : ℝ δ₁_pos : 0 < δ₁ δ₂_pos : 0 < δ₂ hle : δ₁ ≤ δ₂ E : Set α x : α ⊢ thickenedIndicatorAux δ₁ E x ≤ thickenedIndicatorAux δ₂ E x apply thickenedIndicatorAux_mono hle ** Qed
thickenedIndicator_tendsto_indicator_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α ⊢ Tendsto (fun n => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq n) E)) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) have key := thickenedIndicatorAux_tendsto_indicator_closure δseq_lim E α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) ⊢ Tendsto (fun n => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq n) E)) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) rw [tendsto_pi_nhds] at * α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) ⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq i) E) x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) intro x α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ Tendsto (fun i => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq i) E) x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) rw [show indicator (closure E) (fun _ => (1 : ℝ≥0)) x = (indicator (closure E) (fun _ => (1 : ℝ≥0∞)) x).toNNReal by refine' (congr_fun (comp_indicator_const 1 ENNReal.toNNReal zero_toNNReal) x).symm] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ Tendsto (fun i => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq i) E) x) atTop (𝓝 (ENNReal.toNNReal (indicator (closure E) (fun x => 1) x))) refine' Tendsto.comp (tendsto_toNNReal _) (key x) α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x ≠ ⊤ by_cases x_mem : x ∈ closure E <;> simp [x_mem] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x = ENNReal.toNNReal (indicator (closure E) (fun x => 1) x) refine' (congr_fun (comp_indicator_const 1 ENNReal.toNNReal zero_toNNReal) x).symm ** Qed
isometry_iff_nndist_eq ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β ⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), nndist (f x) (f y) = nndist x y simp only [Isometry, edist_nndist, ENNReal.coe_eq_coe] ** Qed
isometry_iff_dist_eq ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β ⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = dist x y simp only [isometry_iff_nndist_eq, ← coe_nndist, NNReal.coe_eq] ** Qed
Isometry.antilipschitz ** ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α h : Isometry f x y : α ⊢ edist x y ≤ ↑1 * edist (f x) (f y) simp only [h x y, ENNReal.coe_one, one_mul, le_refl] Qed
isometry_subsingleton ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : PseudoEMetricSpace α inst✝² : PseudoEMetricSpace β inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α inst✝ : Subsingleton α x y : α ⊢ edist (f x) (f y) = edist x y rw [Subsingleton.elim x y] ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : PseudoEMetricSpace α inst✝² : PseudoEMetricSpace β inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α inst✝ : Subsingleton α x y : α ⊢ edist (f y) (f y) = edist y y simp ** Qed
Isometry.prod_map ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : PseudoEMetricSpace α inst✝² : PseudoEMetricSpace β inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α δ : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace δ f : α → β g : γ → δ hf : Isometry f hg : Isometry g x y : α × γ ⊢ edist (Prod.map f g x) (Prod.map f g y) = edist x y simp only [Prod.edist_eq, hf.edist_eq, hg.edist_eq, Prod_map] ** Qed
isometry_dcomp ι✝ : Type u_1 α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α✝ inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β✝ inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α✝ → β✝ x✝ y✝ z : α✝ s : Set α✝ ι : Type u_4 inst✝² : Fintype ι α : ι → Type u_2 β : ι → Type u_3 inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i) inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i) f : (i : ι) → α i → β i hf : ∀ (i : ι), Isometry (f i) x y : (i : ι) → α i ⊢ edist ((fun g i => f i (g i)) x) ((fun g i => f i (g i)) y) = edist x y simp only [edist_pi_def, (hf _).edist_eq] ** Qed
Isometry.right_inv ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α f : α → β g : β → α h : Isometry f hg : Function.RightInverse g f x y : β ⊢ edist (g x) (g y) = edist x y rw [← h, hg _, hg _] ** Qed
Isometry.preimage_emetric_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ f ⁻¹' EMetric.closedBall (f x) r = EMetric.closedBall x r ext y case h ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ y : α ⊢ y ∈ f ⁻¹' EMetric.closedBall (f x) r ↔ y ∈ EMetric.closedBall x r simp [h.edist_eq] ** Qed
Isometry.preimage_emetric_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r = EMetric.ball x r ext y case h ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ y : α ⊢ y ∈ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r ↔ y ∈ EMetric.ball x r simp [h.edist_eq] ** Qed
Isometry.ediam_image ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x y z : α s✝ : Set α hf : Isometry f s : Set α d : ℝ≥0∞ ⊢ EMetric.diam (f '' s) ≤ d ↔ EMetric.diam s ≤ d simp only [EMetric.diam_le_iff, ball_image_iff, hf.edist_eq] ** Qed
Isometry.ediam_range ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x y z : α s : Set α hf : Isometry f ⊢ EMetric.diam (range f) = EMetric.diam univ rw [← image_univ] ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x y z : α s : Set α hf : Isometry f ⊢ EMetric.diam (f '' univ) = EMetric.diam univ exact hf.ediam_image univ ** Qed
Isometry.diam_image ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f s : Set α ⊢ Metric.diam (f '' s) = Metric.diam s rw [Metric.diam, Metric.diam, hf.ediam_image] ** Qed
Isometry.diam_range ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f ⊢ Metric.diam (range f) = Metric.diam univ rw [← image_univ] ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f ⊢ Metric.diam (f '' univ) = Metric.diam univ exact hf.diam_image univ ** Qed
Isometry.preimage_setOf_dist ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f x : α p : ℝ → Prop ⊢ f ⁻¹' {y \| p (dist y (f x))} = {y \| p (dist y x)} ext y case h ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f x : α p : ℝ → Prop y : α ⊢ y ∈ f ⁻¹' {y \| p (dist y (f x))} ↔ y ∈ {y \| p (dist y x)} simp [hf.dist_eq] ** Qed
IsometryEquiv.ediam_univ ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β ⊢ EMetric.diam univ = EMetric.diam univ rw [← h.range_eq_univ, h.isometry.ediam_range] ** Qed
IsometryEquiv.ediam_preimage ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β s : Set β ⊢ EMetric.diam (↑h ⁻¹' s) = EMetric.diam s rw [← image_symm, ediam_image] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_emetric_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h ⁻¹' EMetric.ball x r = EMetric.ball (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_emetric_ball (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_emetric_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h ⁻¹' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_emetric_closedBall (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.image_emetric_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h '' EMetric.ball x r = EMetric.ball (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_emetric_ball, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.image_emetric_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h '' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_emetric_closedBall, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.completeSpace_iff ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ e : α ≃ᵢ β ⊢ CompleteSpace α ↔ CompleteSpace β simp only [completeSpace_iff_isComplete_univ, ← e.range_eq_univ, ← image_univ, isComplete_image_iff e.isometry.uniformInducing] ** Qed
IsometryEquiv.diam_preimage ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h : α ≃ᵢ β s : Set β ⊢ Metric.diam (↑h ⁻¹' s) = Metric.diam s rw [← image_symm, diam_image] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ ⊢ ↑h ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_ball (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_sphere ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ ⊢ ↑h ⁻¹' Metric.sphere x r = Metric.sphere (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_sphere (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ ⊢ ↑h ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_closedBall (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.image_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ ⊢ ↑h '' Metric.ball x r = Metric.ball (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_ball, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.image_sphere ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ ⊢ ↑h '' Metric.sphere x r = Metric.sphere (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_sphere, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.image_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ ⊢ ↑h '' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_closedBall, symm_symm] ** Qed
GromovHausdorff.one_le_maxVar ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ 1 = 2 * 0 + 1 + 2 * 0 simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ 2 * 0 + 1 + 2 * 0 ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ gcongr <;> positivity Qed
GromovHausdorff.maxVar_bound X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam univ = diam (range inl ∪ range inr) rw [range_inl_union_range_inr] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam (range inl) + dist (inl default) (inr default) + diam (range inr) = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ rw [isometry_inl.diam_range, isometry_inr.diam_range] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam univ + dist (inl default) (inr default) + diam univ = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.18355 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.19771 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.18355 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.19771 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 rfl ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ = 1 * diam univ + 1 + 1 * diam univ simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ 1 * diam univ + 1 + 1 * diam univ ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ gcongr <;> norm_num Qed
GromovHausdorff.candidates_nonneg X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ 0 ≤ f (x, y) have : 0 ≤ 2 * f (x, y) := calc 0 = f (x, x) := (candidates_refl fA).symm _ ≤ f (x, y) + f (y, x) := (candidates_triangle fA) _ = f (x, y) + f (x, y) := by rw [candidates_symm fA] _ = 2 * f (x, y) := by ring ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y this : 0 ≤ 2 * f (x, y) ⊢ 0 ≤ f (x, y) linarith X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) + f (y, x) = f (x, y) + f (x, y) rw [candidates_symm fA] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) + f (x, y) = 2 * f (x, y) ring Qed
GromovHausdorff.candidates_dist_bound X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ dist x y = dist (inl x) (inl y) rw [@Sum.dist_eq X Y] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ dist x y = Sum.dist (inl x) (inl y) rfl ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ dist (inl x) (inl y) = 1 * dist (inl x) (inl y) ring X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ 1 * dist (inl x) (inl y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inl x) (inl y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) exact one_le_maxVar X Y X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : X y : Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) = ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : X y : Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inl x) (inr y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : X y : Y ⊢ 1 ≤ dist (inl x) (inr y) apply Sum.one_le_dist_inl_inr X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : Y y : X ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) = ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : Y y : X ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inl x) (inr y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : Y y : X ⊢ 1 ≤ dist (inl x) (inr y) apply Sum.one_le_dist_inl_inr X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ dist x y = dist (inr x) (inr y) rw [@Sum.dist_eq X Y] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ dist x y = Sum.dist (inr x) (inr y) rfl X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ dist (inr x) (inr y) = 1 * dist (inr x) (inr y) ring X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ 1 * dist (inr x) (inr y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inr x) (inr y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) exact one_le_maxVar X Y Qed
GromovHausdorff.candidates_lipschitz_aux X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) - f (z, t) ≤ f (x, t) + f (t, y) - f (z, t) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) ≤ f (x, t) + f (t, y) exact candidates_triangle fA X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, t) + f (t, y) - f (z, t) ≤ f (x, z) + f (z, t) + f (t, y) - f (z, t) gcongr case h.bc X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, t) ≤ f (x, z) + f (z, t) exact candidates_triangle fA X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, z) + f (z, t) + f (t, y) - f (z, t) = f (x, z) + f (t, y) simp [sub_eq_add_neg, add_assoc] ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, z) + f (t, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x z + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist t y gcongr <;> apply candidates_dist_bound fA X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x z + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist t y ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) gcongr case h₁.h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ dist x z ≤ max (dist x z) (dist t y) apply le_max_left case h₂.h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ dist t y ≤ max (dist x z) (dist t y) apply le_max_right X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) rw [dist_comm t y] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) ring Qed
GromovHausdorff.candidates_lipschitz ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ LipschitzWith (2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) f apply LipschitzWith.of_dist_le_mul case a X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ∀ (x y : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), dist (f x) (f y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x y rintro ⟨x, y⟩ ⟨z, t⟩ case a.mk.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ dist (f (x, y)) (f (z, t)) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) rw [Real.dist_eq, abs_sub_le_iff] case a.mk.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ f (x, y) - f (z, t) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) ∧ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) use candidates_lipschitz_aux fA case right X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) rw [dist_comm] case right X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (z, t) (x, y) exact candidates_lipschitz_aux fA Qed
GromovHausdorff.dist_mem_candidates X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ (fun p => dist p.1 p.2) ∈ candidates X Y simp_rw [candidates, Set.mem_setOf_eq, dist_comm, dist_triangle, dist_self, maxVar_bound, forall_const, and_true] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ (∀ (x y : X), dist (inl x) (inl y) = dist x y) ∧ ∀ (x y : Y), dist (inr x) (inr y) = dist x y exact ⟨fun x y => rfl, fun x y => rfl⟩ ** Qed
GromovHausdorff.closed_candidatesB X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I1 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (inl x, inl y) = dist x y } := fun x y => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I2 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (inr x, inr y) = dist x y } := fun x y => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I3 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, y) = f (y, x) } := fun x y => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_eval_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I4 : ∀ x y z, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z) } := fun x y z => isClosed_le continuous_eval_const (continuous_eval_const.add continuous_eval_const) X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I5 : ∀ x, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, x) = 0 } := fun x => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I6 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, y) ≤ maxVar X Y } := fun x y => isClosed_le continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have : candidatesB X Y = (((((⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (@inl X Y x, @inl X Y y) = dist x y }) ∩ ⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (@inr X Y x, @inr X Y y) = dist x y }) ∩ ⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (x, y) = f (y, x) }) ∩ ⋂ (x) (y) (z), { f : Cb X Y \| f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z) }) ∩ ⋂ x, { f : Cb X Y \| f (x, x) = 0 }) ∩ ⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (x, y) ≤ maxVar X Y } := by ext simp only [candidatesB, candidates, mem_inter_iff, mem_iInter, mem_setOf_eq] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) rw [this] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed ((((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}) repeat' first \|apply IsClosed.inter _ _ \|apply isClosed_iInter _ \|apply I1 _ _\|apply I2 _ _\|apply I3 _ _\|apply I4 _ _ _\|apply I5 _\|apply I6 _ _\|intro x X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ext case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ : GromovHausdorff.Cb X Y ⊢ x✝ ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ↔ x✝ ∈ (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} simp only [candidatesB, candidates, mem_inter_iff, mem_iInter, mem_setOf_eq] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝, x) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} first \|apply IsClosed.inter _ _ \|apply isClosed_iInter _ \|apply I1 _ _\|apply I2 _ _\|apply I3 _ _\|apply I4 _ _ _\|apply I5 _\|apply I6 _ _\|intro x X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed ((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) apply IsClosed.inter _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed (⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}) apply isClosed_iInter _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊢ IsClosed {f \| ↑f (inl x✝, inl x) = dist x✝ x} apply I1 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (inr x✝, inr x) = dist x✝ x} apply I2 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝, x) = ↑f (x, x✝)} apply I3 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝² y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝¹ x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝¹, x) ≤ ↑f (x✝¹, x✝) + ↑f (x✝, x)} apply I4 _ _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} apply I5 _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝, x) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} apply I6 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x : X ⊕ Y ⊢ ∀ (i : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, i) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} intro x ** Qed
GromovHausdorff.isCompact_candidatesB X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ IsCompact (GromovHausdorff.candidatesB X Y) refine' arzela_ascoli₂ (Icc 0 (maxVar X Y) : Set ℝ) isCompact_Icc (candidatesB X Y) closed_candidatesB _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ ∀ (f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ) (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → ↑f x ∈ Icc 0 ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) rintro f ⟨x1, x2⟩ hf case refine'_1.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ x1 x2 : X ⊕ Y hf : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ ↑f (x1, x2) ∈ Icc 0 ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) simp only [Set.mem_Icc] case refine'_1.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ x1 x2 : X ⊕ Y hf : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ 0 ≤ ↑f (x1, x2) ∧ ↑f (x1, x2) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) exact ⟨candidates_nonneg hf, candidates_le_maxVar hf⟩ case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Equicontinuous fun x => ↑↑x refine' equicontinuous_of_continuity_modulus (fun t => 2 * maxVar X Y * t) _ _ _ ** case refine'_2.refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Tendsto (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (𝓝 0) (𝓝 0) ** have : Tendsto (fun t : ℝ => 2 * (maxVar X Y : ℝ) * t) (𝓝 0) (𝓝 (2 * maxVar X Y * 0)) := tendsto_const_nhds.mul tendsto_id ** case refine'_2.refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y this : Tendsto (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (𝓝 0) (𝓝 (2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 0)) ⊢ Tendsto (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (𝓝 0) (𝓝 0) simpa using this case refine'_2.refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ ∀ (x y : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (i : ↑(GromovHausdorff.candidatesB X Y)), dist (↑↑i x) (↑↑i y) ≤ (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (dist x y) rintro x y ⟨f, hf⟩ case refine'_2.refine'_2.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y x y : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ hf : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ dist (↑↑{ val := f, property := hf } x) (↑↑{ val := f, property := hf } y) ≤ (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (dist x y) exact (candidates_lipschitz hf).dist_le_mul _ _ Qed
GromovHausdorff.HD_bound_aux1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C : ℝ ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) + C) rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).2 with ⟨Cf, hCf⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) + C) refine' ⟨Cf + C, forall_range_iff.2 fun x => _⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) x : X ⊢ ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) + C ≤ Cf + C calc ⨅ y, f (inl x, inr y) + C ≤ f (inl x, inr default) + C := ciInf_le (HD_below_aux1 C) default _ ≤ Cf + C := add_le_add ((fun x => hCf (mem_range_self x)) _) le_rfl ** Qed
GromovHausdorff.HD_bound_aux2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C : ℝ ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) + C) rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).2 with ⟨Cf, hCf⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) + C) refine' ⟨Cf + C, forall_range_iff.2 fun y => _⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) y : Y ⊢ ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) + C ≤ Cf + C calc ⨅ x, f (inl x, inr y) + C ≤ f (inl default, inr y) + C := ciInf_le (HD_below_aux2 C) default _ ≤ Cf + C := add_le_add ((fun x => hCf (mem_range_self x)) _) le_rfl ** Qed
GromovHausdorff.HD_candidatesBDist_le X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ HD (candidatesBDist X Y) ≤ diam univ + 1 + diam univ refine' max_le (ciSup_le fun x => _) (ciSup_le fun y => _) case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X ⊢ ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have A : ⨅ y, candidatesBDist X Y (inl x, inr y) ≤ candidatesBDist X Y (inl x, inr default) := ciInf_le (by simpa using HD_below_aux1 0) default case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X A : ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr default) ⊢ ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have B : dist (inl x) (inr default) ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := calc dist (inl x) (inr (default : Y)) = dist x (default : X) + 1 + dist default default := rfl _ ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := by gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X A : ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr default) B : dist (inl x) (inr default) ≤ diam univ + 1 + diam univ ⊢ ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ exact le_trans A B X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X ⊢ BddBelow (range fun y => ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_below_aux1 0 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X A : ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr default) ⊢ dist x default + 1 + dist default default ≤ diam univ + 1 + diam univ gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y ⊢ ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have A : ⨅ x, candidatesBDist X Y (inl x, inr y) ≤ candidatesBDist X Y (inl default, inr y) := ciInf_le (by simpa using HD_below_aux2 0) default case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y A : ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl default, inr y) ⊢ ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have B : dist (inl default) (inr y) ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := calc dist (inl (default : X)) (inr y) = dist default default + 1 + dist default y := rfl _ ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := by gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y A : ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl default, inr y) B : dist (inl default) (inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ ⊢ ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ exact le_trans A B X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y ⊢ BddBelow (range fun x => ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_below_aux2 0 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y A : ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl default, inr y) ⊢ dist default default + 1 + dist default y ≤ diam univ + 1 + diam univ gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) ** Qed
GromovHausdorff.HD_lipschitz_aux1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 g.isBounded_range).1 with ⟨cg, hcg⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcg : ∀ x, cg ≤ g x := fun x => hcg (mem_range_self x) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).1 with ⟨cf, hcf⟩ case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcf : ∀ x, cf ≤ f x := fun x => hcf (mem_range_self x) case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Z : (⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y)) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g := ciSup_mono (HD_bound_aux1 _ (dist f g)) fun x => ciInf_mono ⟨cf, forall_range_iff.2 fun i => Hcf _⟩ fun y => coe_le_coe_add_dist case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E2 : (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ x, (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g simpa [E2, E1, Function.comp] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g intro x X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x : X ⊢ (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g refine' Monotone.map_ciInf_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x : X ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x✝ : X x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x : X ⊢ BddBelow (range fun y => ↑g (inl x, inr y)) exact ⟨cg, forall_range_iff.2 fun i => Hcg _⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ x, (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g refine' Monotone.map_ciSup_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux1 _ 0 ** Qed
GromovHausdorff.HD_lipschitz_aux2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 g.isBounded_range).1 with ⟨cg, hcg⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcg : ∀ x, cg ≤ g x := fun x => hcg (mem_range_self x) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).1 with ⟨cf, hcf⟩ case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcf : ∀ x, cf ≤ f x := fun x => hcf (mem_range_self x) case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Z : (⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y)) ≤ ⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y) + dist f g := ciSup_mono (HD_bound_aux2 _ (dist f g)) fun y => ciInf_mono ⟨cf, forall_range_iff.2 fun i => Hcf _⟩ fun y => coe_le_coe_add_dist case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E2 : (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ y, (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g simpa [E2, E1] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g intro y X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y : Y ⊢ (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g refine' Monotone.map_ciInf_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y : Y ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝¹ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y✝ : Y x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y : Y ⊢ BddBelow (range fun x => ↑g (inl x, inr y)) exact ⟨cg, forall_range_iff.2 fun i => Hcg _⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ y, (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g refine' Monotone.map_ciSup_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux2 _ 0 ** Qed
GromovHausdorff.optimalGHDist_mem_candidatesB X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y cases Classical.choose_spec (exists_minimizer X Y) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y left✝ : choose (_ : ∃ f, f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ∧ ∀ (g : GromovHausdorff.Cb X Y), g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → HD f ≤ HD g) ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y right✝ : ∀ (g : GromovHausdorff.Cb X Y), g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → HD (choose (_ : ∃ f, f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ∧ ∀ (g : GromovHausdorff.Cb X Y), g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → HD f ≤ HD g)) ≤ HD g ⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y assumption ** Qed
GromovHausdorff.hausdorffDist_optimal_le_HD X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD f refine' le_trans (le_of_forall_le_of_dense fun r hr => _) (HD_optimalGHDist_le X Y f h) X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ r have A : ∀ x ∈ range (optimalGHInjl X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjr X Y), dist x y ≤ r := by rintro _ ⟨z, rfl⟩ have I1 : (⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y)) < r := lt_of_le_of_lt (le_max_left _ _) hr have I2 : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y) := le_csSup (by simpa using HD_bound_aux1 _ 0) (mem_range_self _) have I : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) < r := lt_of_le_of_lt I2 I1 rcases exists_lt_of_csInf_lt (range_nonempty _) I with ⟨r', ⟨z', rfl⟩, hr'⟩ exact ⟨optimalGHInjr X Y z', mem_range_self _, le_of_lt hr'⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ r refine' hausdorffDist_le_of_mem_dist _ A _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r ⊢ ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r rintro _ ⟨z, rfl⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r have I1 : (⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y)) < r := lt_of_le_of_lt (le_max_left _ _) hr case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r have I2 : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y) := le_csSup (by simpa using HD_bound_aux1 _ 0) (mem_range_self _) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r have I : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) < r := lt_of_le_of_lt I2 I1 case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r rcases exists_lt_of_csInf_lt (range_nonempty _) I with ⟨r', ⟨z', rfl⟩, hr'⟩ case intro.intro.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) < r z' : Y hr' : (fun y => ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y)) z' < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r exact ⟨optimalGHInjr X Y z', mem_range_self _, le_of_lt hr'⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux1 _ 0 case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r ⊢ 0 ≤ r inhabit X case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r inhabited_h : Inhabited X ⊢ 0 ≤ r rcases A _ (mem_range_self default) with ⟨y, -, hy⟩ case refine'_1.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r inhabited_h : Inhabited X y : OptimalGHCoupling X Y hy : dist (optimalGHInjl X Y default) y ≤ r ⊢ 0 ≤ r exact le_trans dist_nonneg hy case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r ⊢ ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjr X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist x y ≤ r rintro _ ⟨z, rfl⟩ case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r have I1 : (⨆ y, ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr y)) < r := lt_of_le_of_lt (le_max_right _ _) hr case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r have I2 : ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr y) := le_csSup (by simpa using HD_bound_aux2 _ 0) (mem_range_self _) case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r have I : ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr z) < r := lt_of_le_of_lt I2 I1 case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r rcases exists_lt_of_csInf_lt (range_nonempty _) I with ⟨r', ⟨z', rfl⟩, hr'⟩ case refine'_2.intro.intro.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) < r z' : X hr' : (fun x => ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z)) z' < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r refine' ⟨optimalGHInjl X Y z', mem_range_self _, le_of_lt _⟩ case refine'_2.intro.intro.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) < r z' : X hr' : (fun x => ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z)) z' < r ⊢ dist (optimalGHInjr X Y z) (optimalGHInjl X Y z') < r rwa [dist_comm] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux2 _ 0 ** Qed
Set.le_einfsep_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α d : ℝ≥0∞ ⊢ d ≤ einfsep s ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → d ≤ edist x y simp_rw [einfsep, le_iInf_iff] ** Qed
Set.einfsep_zero α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s = 0 ↔ ∀ (C : ℝ≥0∞), 0 < C → ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y < C simp_rw [einfsep, ← _root_.bot_eq_zero, iInf_eq_bot, iInf_lt_iff] ** Qed
Set.einfsep_pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ 0 < einfsep s ↔ ∃ C _hC, ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → C ≤ edist x y rw [pos_iff_ne_zero, Ne.def, einfsep_zero] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ (¬∀ (C : ℝ≥0∞), 0 < C → ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y < C) ↔ ∃ C _hC, ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → C ≤ edist x y simp only [not_forall, not_exists, not_lt] ** Qed
Set.einfsep_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s = ⊤ ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → edist x y = ⊤ simp_rw [einfsep, iInf_eq_top] ** Qed
Set.einfsep_lt_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s < ⊤ ↔ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y < ⊤ simp_rw [einfsep, iInf_lt_iff] ** Qed
Set.einfsep_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s ≠ ⊤ ↔ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y ≠ ⊤ simp_rw [← lt_top_iff_ne_top, einfsep_lt_top] ** Qed
Set.einfsep_lt_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α d : ℝ≥0∞ ⊢ einfsep s < d ↔ ∃ x x_1 y x_2 _h, edist x y < d simp_rw [einfsep, iInf_lt_iff] ** Qed
Set.nontrivial_of_einfsep_lt_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : einfsep s < ⊤ ⊢ Set.Nontrivial s rcases einfsep_lt_top.1 hs with ⟨_, hx, _, hy, hxy, _⟩ case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : einfsep s < ⊤ w✝¹ : α hx : w✝¹ ∈ s w✝ : α hy : w✝ ∈ s hxy : w✝¹ ≠ w✝ h✝ : edist w✝¹ w✝ < ⊤ ⊢ Set.Nontrivial s exact ⟨_, hx, _, hy, hxy⟩ ** Qed
Set.Subsingleton.einfsep α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ Set.einfsep s = ⊤ rw [einfsep_top] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → edist x y = ⊤ exact fun _ hx _ hy hxy => (hxy <\| hs hx hy).elim ** Qed
Set.le_einfsep_image_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s✝ t : Set α d : ℝ≥0∞ f : β → α s : Set β ⊢ d ≤ einfsep (f '' s) ↔ ∀ (x : β), x ∈ s → ∀ (y : β), y ∈ s → f x ≠ f y → d ≤ edist (f x) (f y) simp_rw [le_einfsep_iff, ball_image_iff] ** Qed
Set.einfsep_iUnion_mem_option α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s✝ t : Set α ι : Type u_3 o : Option ι s : ι → Set α ⊢ einfsep (⋃ i ∈ o, s i) = ⨅ i ∈ o, einfsep (s i) cases o <;> simp ** Qed
Set.einfsep_insert_le α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep (insert x s) ≤ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y simp_rw [le_iInf_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ ∀ (i : α), i ∈ s → x ≠ i → einfsep (insert x s) ≤ edist x i refine' fun _ hy hxy => einfsep_le_edist_of_mem (mem_insert _ _) (mem_insert_of_mem _ hy) hxy ** Qed
Set.le_einfsep_pair α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ edist x y ⊓ edist y x ≤ einfsep {x, y} simp_rw [le_einfsep_iff, inf_le_iff, mem_insert_iff, mem_singleton_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 = y → ∀ (y_1 : α), y_1 = x ∨ y_1 = y → x_1 ≠ y_1 → edist x y ≤ edist x_1 y_1 ∨ edist y x ≤ edist x_1 y_1 rintro a (rfl \| rfl) b (rfl \| rfl) hab <;> (try simp only [le_refl, true_or, or_true]) <;> contradiction case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α s t : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ edist b a ≤ edist a b ∨ edist a b ≤ edist a b try simp only [le_refl, true_or, or_true] case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α s t : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ edist b a ≤ edist a b ∨ edist a b ≤ edist a b simp only [le_refl, true_or, or_true] ** Qed
Set.einfsep_pair_le_right α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {x, y} ≤ edist y x rw [pair_comm] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {y, x} ≤ edist y x exact einfsep_pair_le_left hxy.symm ** Qed
Set.einfsep_eq_iInf α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s = ⨅ d, uncurry edist ↑d refine' eq_of_forall_le_iff fun _ => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α x✝ : ℝ≥0∞ ⊢ x✝ ≤ einfsep s ↔ x✝ ≤ ⨅ d, uncurry edist ↑d simp_rw [le_einfsep_iff, le_iInf_iff, imp_forall_iff, SetCoe.forall, mem_offDiag, Prod.forall, uncurry_apply_pair, and_imp] ** Qed
Set.einfsep_of_fintype α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : EDist α x y : α s t : Set α inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype ↑s ⊢ einfsep s = Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) refine' eq_of_forall_le_iff fun _ => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : EDist α x y : α s t : Set α inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype ↑s x✝ : ℝ≥0∞ ⊢ x✝ ≤ einfsep s ↔ x✝ ≤ Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) simp_rw [le_einfsep_iff, imp_forall_iff, Finset.le_inf_iff, mem_toFinset, mem_offDiag, Prod.forall, uncurry_apply_pair, and_imp] ** Qed
Set.Finite.einfsep α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Finite s ⊢ Set.einfsep s = Finset.inf (Finite.toFinset (_ : Set.Finite (offDiag s))) (uncurry edist) refine' eq_of_forall_le_iff fun _ => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Finite s x✝ : ℝ≥0∞ ⊢ x✝ ≤ Set.einfsep s ↔ x✝ ≤ Finset.inf (Finite.toFinset (_ : Set.Finite (offDiag s))) (uncurry edist) simp_rw [le_einfsep_iff, imp_forall_iff, Finset.le_inf_iff, Finite.mem_toFinset, mem_offDiag, Prod.forall, uncurry_apply_pair, and_imp] ** Qed
Set.Finset.coe_einfsep α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s✝ t : Set α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α ⊢ einfsep ↑s = Finset.inf (Finset.offDiag s) (uncurry edist) simp_rw [einfsep_of_fintype, ← Finset.coe_offDiag, Finset.toFinset_coe] ** Qed
Set.Nontrivial.einfsep_exists_of_finite α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s ⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, einfsep s = edist x y classical cases nonempty_fintype s simp_rw [einfsep_of_fintype] [email protected]_mem_eq_inf _ _ _ _ s.offDiag.toFinset (by simpa) (uncurry edist) with ⟨w, hxy, hed⟩ simp_rw [mem_toFinset] at hxy refine' ⟨w.fst, hxy.1, w.snd, hxy.2.1, hxy.2.2, hed⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s ⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, einfsep s = edist x y cases nonempty_fintype s case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s ⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, einfsep s = edist x y simp_rw [einfsep_of_fintype] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s ⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = edist x y [email protected]_mem_eq_inf _ _ _ _ s.offDiag.toFinset (by simpa) (uncurry edist) with ⟨w, hxy, hed⟩ case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s w : α × α hxy : w ∈ toFinset (offDiag s) hed : Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = uncurry edist w ⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = edist x y simp_rw [mem_toFinset] at hxy case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s w : α × α hed : Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = uncurry edist w hxy : w ∈ offDiag s ⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = edist x y refine' ⟨w.fst, hxy.1, w.snd, hxy.2.1, hxy.2.2, hed⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s ⊢ Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s)) simpa ** Qed
Set.einfsep_pair α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {x, y} = edist x y nth_rw 1 [← min_self (edist x y)] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {x, y} = min (edist x y) (edist x y) convert einfsep_pair_eq_inf hxy using 2 case h.e'_3.h.e'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ edist x y = edist y x rw [edist_comm] ** Qed
Set.einfsep_insert α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α ⊢ einfsep (insert x s) = (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ einfsep s refine' le_antisymm (le_min einfsep_insert_le (einfsep_anti (subset_insert _ _))) _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α ⊢ (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ einfsep s ≤ einfsep (insert x s) simp_rw [le_einfsep_iff, inf_le_iff, mem_insert_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α ⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 ∈ s → ∀ (y : α), y = x ∨ y ∈ s → x_1 ≠ y → ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y ≤ edist x_1 y ∨ einfsep s ≤ edist x_1 y rintro y (rfl \| hy) z (rfl \| hz) hyz case inl.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y z✝ : α s t : Set α z : α hyz : z ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : z ≠ y), edist z y ≤ edist z z ∨ einfsep s ≤ edist z z exact False.elim (hyz rfl) case inl.inr α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y✝ z✝ : α s t : Set α y z : α hz : z ∈ s hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y_1 ∈ s, ⨅ (_ : y ≠ y_1), edist y y_1 ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z exact Or.inl (iInf_le_of_le _ (iInf₂_le hz hyz)) case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y✝ z✝ : α s t : Set α y : α hy : y ∈ s z : α hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : z ≠ y), edist z y ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z rw [edist_comm] case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y✝ z✝ : α s t : Set α y : α hy : y ∈ s z : α hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : z ≠ y), edist z y ≤ edist z y ∨ einfsep s ≤ edist z y exact Or.inl (iInf_le_of_le _ (iInf₂_le hy hyz.symm)) case inr.inr α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y✝ z✝ : α s t : Set α y : α hy : y ∈ s z : α hz : z ∈ s hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z exact Or.inr (einfsep_le_edist_of_mem hy hz hyz) ** Qed
Set.einfsep_triple α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y hyz : y ≠ z hxz : x ≠ z ⊢ einfsep {x, y, z} = edist x y ⊓ edist x z ⊓ edist y z simp_rw [einfsep_insert, iInf_insert, iInf_singleton, einfsep_singleton, inf_top_eq, ciInf_pos hxy, ciInf_pos hyz, ciInf_pos hxz] ** Qed
Set.le_einfsep_pi_of_le α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x y z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) ⊢ c ≤ einfsep (pi univ s) refine' le_einfsep fun x hx y hy hxy => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x✝ y✝ z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) x : (i : β) → π i hx : x ∈ pi univ s y : (i : β) → π i hy : y ∈ pi univ s hxy : x ≠ y ⊢ c ≤ edist x y rw [mem_univ_pi] at hx hy α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x✝ y✝ z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) x : (i : β) → π i hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i y : (i : β) → π i hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i hxy : x ≠ y ⊢ c ≤ edist x y rcases Function.ne_iff.mp hxy with ⟨i, hi⟩ case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x✝ y✝ z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) x : (i : β) → π i hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i y : (i : β) → π i hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i hxy : x ≠ y i : β hi : x i ≠ y i ⊢ c ≤ edist x y exact le_trans (le_einfsep_iff.1 (h i) _ (hx _) _ (hy _) hi) (edist_le_pi_edist _ _ i) ** Qed
Set.subsingleton_of_einfsep_eq_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : einfsep s = ⊤ ⊢ Set.Subsingleton s rw [einfsep_top] at hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → edist x y = ⊤ ⊢ Set.Subsingleton s exact fun _ hx _ hy => of_not_not fun hxy => edist_ne_top _ _ (hs _ hx _ hy hxy) ** Qed
Set.Nontrivial.einfsep_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : Set.Nontrivial s ⊢ einfsep s ≠ ⊤ contrapose! hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : einfsep s = ⊤ ⊢ ¬Set.Nontrivial s rw [not_nontrivial_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : einfsep s = ⊤ ⊢ Set.Subsingleton s exact subsingleton_of_einfsep_eq_top hs ** Qed
Set.Nontrivial.einfsep_lt_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : Set.Nontrivial s ⊢ einfsep s < ⊤ rw [lt_top_iff_ne_top] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : Set.Nontrivial s ⊢ einfsep s ≠ ⊤ exact hs.einfsep_ne_top ** Qed
Set.einfsep_pos_of_finite α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s ⊢ 0 < einfsep s cases nonempty_fintype s case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s ⊢ 0 < einfsep s by_cases hs : s.Nontrivial case pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : Set.Nontrivial s ⊢ 0 < einfsep s rcases hs.einfsep_exists_of_finite with ⟨x, _hx, y, _hy, hxy, hxy'⟩ case pos.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x✝ y✝ z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : Set.Nontrivial s x : α _hx : x ∈ s y : α _hy : y ∈ s hxy : x ≠ y hxy' : einfsep s = edist x y ⊢ 0 < einfsep s exact hxy'.symm ▸ edist_pos.2 hxy case neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : ¬Set.Nontrivial s ⊢ 0 < einfsep s rw [not_nontrivial_iff] at hs case neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : Set.Subsingleton s ⊢ 0 < einfsep s exact hs.einfsep.symm ▸ WithTop.zero_lt_top ** Qed
Set.relatively_discrete_of_finite α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s ⊢ ∃ C _hC, ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → C ≤ edist x y rw [← einfsep_pos] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s ⊢ 0 < einfsep s exact einfsep_pos_of_finite ** Qed
Set.infsep_zero α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α ⊢ infsep s = 0 ↔ einfsep s = 0 ∨ einfsep s = ⊤ rw [infsep, ENNReal.toReal_eq_zero_iff] ** Qed
Set.infsep_pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α ⊢ 0 < infsep s ↔ 0 < einfsep s ∧ einfsep s < ⊤ simp_rw [infsep, ENNReal.toReal_pos_iff] ** Qed
Set.Subsingleton.infsep_zero α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ infsep s = 0 rw [infsep_zero.mpr] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ Set.einfsep s = 0 ∨ Set.einfsep s = ⊤ right case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ Set.einfsep s = ⊤ exact hs.einfsep ** Qed
Set.nontrivial_of_infsep_pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : 0 < infsep s ⊢ Set.Nontrivial s contrapose hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : ¬Set.Nontrivial s ⊢ ¬0 < infsep s rw [not_nontrivial_iff] at hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ ¬0 < infsep s exact hs.infsep_zero ▸ lt_irrefl _ ** Qed
Set.infsep_pair_le_toReal_inf α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hxy : x ≠ y ⊢ infsep {x, y} ≤ ENNReal.toReal (edist x y ⊓ edist y x) simp_rw [infsep, einfsep_pair_eq_inf hxy] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hxy : x ≠ y ⊢ ENNReal.toReal (edist x y ⊓ edist y x) ≤ ENNReal.toReal (edist x y ⊓ edist y x) simp ** Qed
Set.infsep_pair_eq_toReal α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α ⊢ infsep {x, y} = ENNReal.toReal (edist x y) by_cases hxy : x = y case pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α hxy : x = y ⊢ infsep {x, y} = ENNReal.toReal (edist x y) rw [hxy] case pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α hxy : x = y ⊢ infsep {y, y} = ENNReal.toReal (edist y y) simp only [infsep_singleton, pair_eq_singleton, edist_self, ENNReal.zero_toReal] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α hxy : ¬x = y ⊢ infsep {x, y} = ENNReal.toReal (edist x y) rw [infsep, einfsep_pair hxy] ** Qed
Set.Nontrivial.le_infsep_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ d ≤ infsep s ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → d ≤ dist x y simp_rw [infsep, ← ENNReal.ofReal_le_iff_le_toReal hs.einfsep_ne_top, le_einfsep_iff, edist_dist, ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff dist_nonneg] ** Qed
Set.Nontrivial.infsep_lt_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ infsep s < d ↔ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, dist x y < d rw [← not_iff_not] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ ¬infsep s < d ↔ ¬∃ x x_1 y x_2 _hxy, dist x y < d push_neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ d ≤ infsep s ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → d ≤ dist x y exact hs.le_infsep_iff ** Qed

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IsOpen.isClopenable α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : Set α hs : IsOpen s ⊢ IsClopenable s simpa using hs.isClosed_compl.isClopenable.compl ** Qed
PolishSpace.IsClopenable.iUnion α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α hs : ∀ (n : ℕ), IsClopenable (s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) choose m mt m_polish _ m_open using hs α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) obtain ⟨t', t'm, -, t'_polish⟩ : ∃ t' : TopologicalSpace α, (∀ n : ℕ, t' ≤ m n) ∧ t' ≤ t ∧ @PolishSpace α t' := exists_polishSpace_forall_le m mt m_polish case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) have A : IsOpen[t'] (⋃ n, s n) := by apply isOpen_iUnion intro n apply t'm n exact m_open n case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α A : IsOpen (⋃ n, s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) obtain ⟨t'', t''_le, t''_polish, h1, h2⟩ : ∃ t'' : TopologicalSpace α, t'' ≤ t' ∧ @PolishSpace α t'' ∧ IsClosed[t''] (⋃ n, s n) ∧ IsOpen[t''] (⋃ n, s n) := @IsOpen.isClopenable α t' t'_polish _ A case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α A : IsOpen (⋃ n, s n) t'' : TopologicalSpace α t''_le : t'' ≤ t' t''_polish : PolishSpace α h1 : IsClosed (⋃ n, s n) h2 : IsOpen (⋃ n, s n) ⊢ IsClopenable (⋃ n, s n) exact ⟨t'', t''_le.trans ((t'm 0).trans (mt 0)), t''_polish, h1, h2⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α ⊢ IsOpen (⋃ n, s n) apply isOpen_iUnion case h α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α ⊢ ∀ (i : ℕ), IsOpen (s i) intro n case h α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α n : ℕ ⊢ IsOpen (s n) apply t'm n case h.a α : Type u_1 β : Type u_2 t : TopologicalSpace α inst✝ : PolishSpace α s : ℕ → Set α m : ℕ → TopologicalSpace α mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n) m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n) t' : TopologicalSpace α t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n t'_polish : PolishSpace α n : ℕ ⊢ IsOpen (s n) exact m_open n ** Qed
PseudoMetricSpace.dist_ofPreNNDist_le X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x x y : X ⊢ sum (zipWith d [x] ([] ++ [y])) = d x y simp ** Qed
PseudoMetricSpace.le_two_mul_dist_ofPreNNDist ** X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X ⊢ ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y rw [dist_ofPreNNDist, ← NNReal.coe_two, ← NNReal.coe_mul, NNReal.mul_iInf, NNReal.coe_le_coe] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X ⊢ d x y ≤ ⨅ i, 2 * sum (zipWith d (x :: i) (i ++ [y])) refine' le_ciInf fun l => _ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) have hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 := by intro a b c hab hbc rw [← nonpos_iff_eq_zero] simpa only [nonpos_iff_eq_zero, hab, hbc, dist_self c, max_self, mul_zero] using hd a b c c X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) haveI : IsTrans X fun x y => d x y = 0 := ⟨hd₀_trans⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) induction' hn : length l using Nat.strong_induction_on with n ihn generalizing x y l case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn✝ : length l✝ = x✝ n : ℕ ihn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) x y : X l : List X hn : length l = n ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) subst n case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) ⊢ d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) set L := zipWith d (x::l) (l ++ [y]) case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) ⊢ d x y ≤ 2 * sum L have hL_len : length L = length l + 1 := by simp case h X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 ⊢ d x y ≤ 2 * sum L cases' eq_or_ne (d x y) 0 with hd₀ hd₀ case h.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum L rsuffices ⟨z, z', hxz, hzz', hz'y⟩ : ∃ z z' : X, d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L ** set s : Set ℕ := { m : ℕ \| 2 * (take m L).sum ≤ L.sum } ** X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hs₀ : 0 ∈ s := by simp X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hsne : s.Nonempty := ⟨0, hs₀⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L obtain ⟨M, hMl, hMs⟩ : ∃ M ≤ length l, IsGreatest s M := by have hs_ub : length l ∈ upperBounds s := by intro m hm rw [← not_lt, Nat.lt_iff_add_one_le, ← hL_len] intro hLm rw [mem_setOf_eq, take_all_of_le hLm, two_mul, add_le_iff_nonpos_left, nonpos_iff_eq_zero, sum_eq_zero_iff, ← all₂_iff_forall, all₂_zipWith, ← chain_append_singleton_iff_forall₂] at hm <;> [skip; simp] exact hd₀ (hm.rel (mem_append.2 <\| Or.inr <\| mem_singleton_self _)) have hs_bdd : BddAbove s := ⟨length l, hs_ub⟩ exact ⟨sSup s, csSup_le hsne hs_ub, ⟨Nat.sSup_mem hsne hs_bdd, fun k => le_csSup hs_bdd⟩⟩ case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hM_lt : M < length L := by rwa [hL_len, Nat.lt_succ_iff] case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hM_ltx : M < length (x::l) := lt_length_left_of_zipWith hM_lt case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L have hM_lty : M < length (l ++ [y]) := lt_length_right_of_zipWith hM_lt case intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ ∃ z z', d x z ≤ sum L ∧ d z z' ≤ sum L ∧ d z' y ≤ sum L refine' ⟨(x::l).get ⟨M, hM_ltx⟩, (l ++ [y]).get ⟨M, hM_lty⟩, _, _, _⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X ⊢ Transitive fun x y => d x y = 0 intro a b c hab hbc X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X a b c : X hab : d a b = 0 hbc : d b c = 0 ⊢ d a c = 0 rw [← nonpos_iff_eq_zero] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x y : X l : List X a b c : X hab : d a b = 0 hbc : d b c = 0 ⊢ d a c ≤ 0 simpa only [nonpos_iff_eq_zero, hab, hbc, dist_self c, max_self, mul_zero] using hd a b c c X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) ⊢ length L = length l + 1 simp case h.inl X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y = 0 ⊢ d x y ≤ 2 * sum L simp only [hd₀, zero_le] case h.inr.intro.intro.intro.intro X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 z z' : X hxz : d x z ≤ sum L hzz' : d z z' ≤ sum L hz'y : d z' y ≤ sum L ⊢ d x y ≤ 2 * sum L exact (hd x z z' y).trans (mul_le_mul_left' (max_le hxz (max_le hzz' hz'y)) _) X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} ⊢ 0 ∈ s simp X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s ⊢ ∃ M, M ≤ length l ∧ IsGreatest s M have hs_ub : length l ∈ upperBounds s := by intro m hm rw [← not_lt, Nat.lt_iff_add_one_le, ← hL_len] intro hLm rw [mem_setOf_eq, take_all_of_le hLm, two_mul, add_le_iff_nonpos_left, nonpos_iff_eq_zero, sum_eq_zero_iff, ← all₂_iff_forall, all₂_zipWith, ← chain_append_singleton_iff_forall₂] at hm <;> [skip; simp] exact hd₀ (hm.rel (mem_append.2 <\| Or.inr <\| mem_singleton_self _)) X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hs_ub : length l ∈ upperBounds s ⊢ ∃ M, M ≤ length l ∧ IsGreatest s M have hs_bdd : BddAbove s := ⟨length l, hs_ub⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hs_ub : length l ∈ upperBounds s hs_bdd : BddAbove s ⊢ ∃ M, M ≤ length l ∧ IsGreatest s M exact ⟨sSup s, csSup_le hsne hs_ub, ⟨Nat.sSup_mem hsne hs_bdd, fun k => le_csSup hs_bdd⟩⟩ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s ⊢ length l ∈ upperBounds s intro m hm X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : m ∈ s ⊢ m ≤ length l rw [← not_lt, Nat.lt_iff_add_one_le, ← hL_len] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : m ∈ s ⊢ ¬length L ≤ m intro hLm X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : m ∈ s hLm : length L ≤ m ⊢ False rw [mem_setOf_eq, take_all_of_le hLm, two_mul, add_le_iff_nonpos_left, nonpos_iff_eq_zero, sum_eq_zero_iff, ← all₂_iff_forall, all₂_zipWith, ← chain_append_singleton_iff_forall₂] at hm <;> [skip; simp] X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s m : ℕ hm : Chain (fun x y => d x y = 0) x (l ++ [y]) hLm : length L ≤ m ⊢ False exact hd₀ (hm.rel (mem_append.2 <\| Or.inr <\| mem_singleton_self _)) X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M ⊢ M < length L rwa [hL_len, Nat.lt_succ_iff] case intro.intro.refine'_1 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L cases M with \| zero => simp [dist_self, List.get] \| succ M => rw [Nat.succ_le_iff] at hMl have hMl' : length (take M l) = M := (length_take _ _).trans (min_eq_left hMl.le) simp only [List.get] refine' (ihn _ hMl _ _ _ hMl').trans _ convert hMs.1.out rw [zipWith_distrib_take, take, take_succ, get?_append hMl, get?_eq_get hMl, ← Option.coe_def, Option.to_list_some, take_append_of_le_length hMl.le] case intro.intro.refine'_1.zero X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hMl : Nat.zero ≤ length l hMs : IsGreatest s Nat.zero hM_lt : Nat.zero < length L hM_ltx : Nat.zero < length (x :: l) hM_lty : Nat.zero < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.zero, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L simp [dist_self, List.get] case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : Nat.succ M ≤ length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.succ M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L rw [Nat.succ_le_iff] at hMl case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.succ M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L have hMl' : length (take M l) = M := (length_take _ _).trans (min_eq_left hMl.le) case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ d x (List.get (x :: l) { val := Nat.succ M, isLt := hM_ltx }) ≤ sum L simp only [List.get] case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ d x (List.get l { val := M, isLt := (_ : Nat.succ M ≤ length l) }) ≤ sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) refine' (ihn _ hMl _ _ _ hMl').trans _ case intro.intro.refine'_1.succ X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ 2 * sum (zipWith d (x :: take M l) (take M l ++ [List.get l { val := M, isLt := (_ : Nat.succ M ≤ length l) }])) ≤ sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) convert hMs.1.out case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_4 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M < length l hMs : IsGreatest s (Nat.succ M) hM_lt : Nat.succ M < length L hM_ltx : Nat.succ M < length (x :: l) hM_lty : Nat.succ M < length (l ++ [y]) hMl' : length (take M l) = M ⊢ zipWith d (x :: take M l) (take M l ++ [List.get l { val := M, isLt := (_ : Nat.succ M ≤ length l) }]) = take (Nat.succ M) L rw [zipWith_distrib_take, take, take_succ, get?_append hMl, get?_eq_get hMl, ← Option.coe_def, Option.to_list_some, take_append_of_le_length hMl.le] case intro.intro.refine'_2 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ d (List.get (x :: l) { val := M, isLt := hM_ltx }) (List.get (l ++ [y]) { val := M, isLt := hM_lty }) ≤ sum L exact single_le_sum (fun x _ => zero_le x) _ (mem_iff_get.2 ⟨⟨M, hM_lt⟩, get_zipWith⟩) case intro.intro.refine'_3 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) ⊢ d (List.get (l ++ [y]) { val := M, isLt := hM_lty }) y ≤ sum L rcases hMl.eq_or_lt with (rfl \| hMl) case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l ⊢ d (List.get (l ++ [y]) { val := M, isLt := hM_lty }) y ≤ sum L rw [get_append _ hMl] case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l ⊢ d (List.get l { val := M, isLt := hMl }) y ≤ sum L have hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) := length_drop _ _ case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) ⊢ d (List.get l { val := M, isLt := hMl }) y ≤ sum L have hlen_lt : length l - (M + 1) < length l := Nat.sub_lt_of_pos_le M.succ_pos hMl case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l ⊢ d (List.get l { val := M, isLt := hMl }) y ≤ sum L refine' (ihn _ hlen_lt _ y _ hlen).trans _ case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l ⊢ 2 * sum (zipWith d (List.get l { val := M, isLt := hMl } :: drop (M + 1) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L rw [cons_get_drop_succ] case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l ⊢ 2 * sum (zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L ** have hMs' : L.sum ≤ 2 * (L.take (M + 1)).sum := not_lt.1 fun h => (hMs.2 h.le).not_lt M.lt_succ_self ** case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l hMs' : sum L ≤ 2 * sum (take (M + 1) L) ⊢ 2 * sum (zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L rw [← sum_take_add_sum_drop L (M + 1), two_mul, add_le_add_iff_left, ← add_le_add_iff_right, sum_take_add_sum_drop, ← two_mul] at hMs' case intro.intro.refine'_3.inr X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l hMs'✝ : sum (drop (M + 1) L) ≤ sum (take (M + 1) L) hMs' : 2 * sum (drop (M + 1) L) ≤ sum L ⊢ 2 * sum (zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y])) ≤ sum L convert hMs' case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_4 X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s M : ℕ hMl✝ : M ≤ length l hMs : IsGreatest s M hM_lt : M < length L hM_ltx : M < length (x :: l) hM_lty : M < length (l ++ [y]) hMl : M < length l hlen : length (drop (M + 1) l) = length l - (M + 1) hlen_lt : length l - (M + 1) < length l hMs'✝ : sum (drop (M + 1) L) ≤ sum (take (M + 1) L) hMs' : 2 * sum (drop (M + 1) L) ≤ sum L ⊢ zipWith d (drop (↑{ val := M, isLt := hMl }) l) (drop (M + 1) l ++ [y]) = drop (M + 1) L rwa [zipWith_distrib_drop, drop, drop_append_of_le_length] case intro.intro.refine'_3.inl X : Type u_1 d : X → X → ℝ≥0 dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0 dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) x✝¹ y✝ : X l✝ : List X hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0 this : IsTrans X fun x y => d x y = 0 x✝ : ℕ hn : length l✝ = x✝ x y : X l : List X ihn : ∀ (m : ℕ), m < length l → ∀ (x y : X) (l : List X), length l = m → d x y ≤ 2 * sum (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])) L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y]) hL_len : length L = length l + 1 hd₀ : d x y ≠ 0 s : Set ℕ := {m \| 2 * sum (take m L) ≤ sum L} hs₀ : 0 ∈ s hsne : Set.Nonempty s hMl : length l ≤ length l hMs : IsGreatest s (length l) hM_lt : length l < length L hM_ltx : length l < length (x :: l) hM_lty : length l < length (l ++ [y]) ⊢ d (List.get (l ++ [y]) { val := length l, isLt := hM_lty }) y ≤ sum L simp only [get_append_right' le_rfl, sub_self, get_singleton, dist_self, zero_le] Qed
UniformSpace.metrizable_uniformity X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ obtain ⟨U, hU_symm, hU_comp, hB⟩ : ∃ U : ℕ → Set (X × X), (∀ n, SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ (𝓤 X).HasAntitoneBasis U := by rcases UniformSpace.has_seq_basis X with ⟨V, hB, hV_symm⟩ rcases hB.subbasis_with_rel fun m => hB.tendsto_smallSets.eventually (eventually_uniformity_iterate_comp_subset (hB.mem m) 2) with ⟨φ, -, hφ_comp, hφB⟩ exact ⟨V ∘ φ, fun n => hV_symm _, hφ_comp, hφB⟩ case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ letI := UniformSpace.separationSetoid X case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ set d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, (x, y) ∉ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ have hd_symm : ∀ x y, d x y = d y x := by intro x y simp only [@SymmetricRel.mk_mem_comm _ _ (hU_symm _) x y] case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ have hr : (1 / 2 : ℝ≥0) ∈ Ioo (0 : ℝ≥0) 1 := ⟨half_pos one_pos, NNReal.half_lt_self one_ne_zero⟩ case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ letI I := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (fun x => hd₀.2 (Setoid.refl _)) hd_symm case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ have hdist_le : ∀ x y, dist x y ≤ d x y := PseudoMetricSpace.dist_ofPreNNDist_le _ _ _ ** case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ rw [mem_Ioo, ← NNReal.coe_lt_coe, ← NNReal.coe_lt_coe] at hr case intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ refine' ⟨I, UniformSpace.ext <\| (uniformity_basis_dist_pow hr.1 hr.2).ext hB.toHasBasis _ _⟩ X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) ⊢ ∃ U, (∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ HasAntitoneBasis (𝓤 X) U rcases UniformSpace.has_seq_basis X with ⟨V, hB, hV_symm⟩ case intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) V : ℕ → Set (X × X) hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) V hV_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (V n) ⊢ ∃ U, (∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ HasAntitoneBasis (𝓤 X) U rcases hB.subbasis_with_rel fun m => hB.tendsto_smallSets.eventually (eventually_uniformity_iterate_comp_subset (hB.mem m) 2) with ⟨φ, -, hφ_comp, hφB⟩ case intro.intro.intro.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) V : ℕ → Set (X × X) hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) V hV_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (V n) φ : ℕ → ℕ hφ_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → (fun x => V (φ n) ○ x)^[2] (V (φ n)) ⊆ V (φ m) hφB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) (V ∘ φ) ⊢ ∃ U, (∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)) ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m) ∧ HasAntitoneBasis (𝓤 X) U exact ⟨V ∘ φ, fun n => hV_symm _, hφ_comp, hφB⟩ X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 ⊢ ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y intro x y X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X ⊢ d x y = 0 ↔ x ≈ y refine' Iff.trans _ hB.mem_separationRel.symm X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X ⊢ d x y = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), True → (x, y) ∈ U i simp only [true_imp_iff] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X ⊢ (if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0) = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i split_ifs with h case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ Nat.find h = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i rw [← not_forall] at h case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X h✝ : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n h : ¬∀ (x_1 : ℕ), (x, y) ∈ U x_1 ⊢ (1 / 2) ^ Nat.find h✝ = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i simp [h, pow_eq_zero_iff'] case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 x y : X h : ¬∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ 0 = 0 ↔ ∀ (i : ℕ), (x, y) ∈ U i simpa only [not_exists, Classical.not_not, eq_self_iff_true, true_iff_iff] using h X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y ⊢ ∀ (x y : X), d x y = d y x intro x y X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y x y : X ⊢ d x y = d y x simp only [@SymmetricRel.mk_mem_comm _ _ (hU_symm _) x y] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) ⊢ ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n intro x y n X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n dsimp only [] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ ⊢ ((1 / 2) ^ n ≤ if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0) ↔ ¬(x, y) ∈ U n split_ifs with h case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ (1 / 2) ^ Nat.find h ↔ ¬(x, y) ∈ U n rw [(strictAnti_pow hr.1 hr.2).le_iff_le, Nat.find_le_iff] case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (∃ m, m ≤ n ∧ ¬(x, y) ∈ U m) ↔ ¬(x, y) ∈ U n exact ⟨fun ⟨m, hmn, hm⟩ hn => hm (hB.antitone hmn hn), fun h => ⟨n, le_rfl, h⟩⟩ case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ¬∃ n, ¬(x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ 0 ↔ ¬(x, y) ∈ U n push_neg at h case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) x y : X n : ℕ h : ∀ (n : ℕ), (x, y) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ n ≤ 0 ↔ ¬(x, y) ∈ U n simp only [h, not_true, (pow_pos hr.1 _).not_le] X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n ⊢ ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y refine' PseudoMetricSpace.le_two_mul_dist_ofPreNNDist _ _ _ fun x₁ x₂ x₃ x₄ => _ X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X ⊢ d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) by_cases H : ∃ n, (x₁, x₄) ∉ U n case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) refine' (dif_pos H).trans_le _ case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ Nat.find H ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) rw [← NNReal.div_le_iff' two_ne_zero, ← mul_one_div (_ ^ _), ← pow_succ'] case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ (1 / 2) ^ (Nat.find H + 1) ≤ max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) simp only [le_max_iff, hle_d, ← not_and_or] case pos X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ ¬((x₁, x₂) ∈ U (Nat.find H + 1) ∧ (x₂, x₃) ∈ U (Nat.find H + 1) ∧ (x₃, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1)) rintro ⟨h₁₂, h₂₃, h₃₄⟩ case pos.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n h₁₂ : (x₁, x₂) ∈ U (Nat.find H + 1) h₂₃ : (x₂, x₃) ∈ U (Nat.find H + 1) h₃₄ : (x₃, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1) ⊢ False refine' Nat.find_spec H (hU_comp (lt_add_one <\| Nat.find H) _) case pos.intro.intro X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n h₁₂ : (x₁, x₂) ∈ U (Nat.find H + 1) h₂₃ : (x₂, x₃) ∈ U (Nat.find H + 1) h₃₄ : (x₃, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1) ⊢ (x₁, x₄) ∈ U (Nat.find H + 1) ○ (U (Nat.find H + 1) ○ U (Nat.find H + 1)) exact ⟨x₂, h₁₂, x₃, h₂₃, h₃₄⟩ case neg X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : 1 / 2 ∈ Ioo 0 1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n x₁ x₂ x₃ x₄ : X H : ¬∃ n, ¬(x₁, x₄) ∈ U n ⊢ d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) exact (dif_neg H).trans_le (zero_le _) case intro.intro.intro.refine'_1 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∀ (i : ℕ), True → ∃ i', True ∧ U i' ⊆ {p \| dist p.1 p.2 < ↑(1 / 2) ^ i} refine' fun n hn => ⟨n, hn, fun x hx => (hdist_le _ _).trans_lt _⟩ case intro.intro.intro.refine'_1 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ hn : True x : X × X hx : x ∈ U n ⊢ ↑(d x.1 x.2) < ↑(1 / 2) ^ n rwa [← NNReal.coe_pow, NNReal.coe_lt_coe, ← not_le, hle_d, Classical.not_not] case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y ⊢ ∀ (i' : ℕ), True → ∃ i, True ∧ {p \| dist p.1 p.2 < ↑(1 / 2) ^ i} ⊆ U i' refine' fun n _ => ⟨n + 1, trivial, fun x hx => _⟩ case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : x ∈ {p \| dist p.1 p.2 < ↑(1 / 2) ^ (n + 1)} ⊢ x ∈ U n rw [mem_setOf_eq] at hx case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : dist x.1 x.2 < ↑(1 / 2) ^ (n + 1) ⊢ x ∈ U n contrapose! hx case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : ¬x ∈ U n ⊢ ↑(1 / 2) ^ (n + 1) ≤ dist x.1 x.2 refine' le_trans _ ((div_le_iff' (zero_lt_two' ℝ)).2 (hd_le x.1 x.2)) case intro.intro.intro.refine'_2 X✝ : Type u_1 X : Type u_2 inst✝¹ : UniformSpace X inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) U : ℕ → Set (X × X) hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n) hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U this : Setoid X := separationSetoid X d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0 hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ x ≈ y hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1 I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y) hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y n : ℕ x✝ : True x : X × X hx : ¬x ∈ U n ⊢ ↑(1 / 2) ^ (n + 1) ≤ ↑(d x.1 x.2) / 2 rwa [← NNReal.coe_two, ← NNReal.coe_div, ← NNReal.coe_pow, NNReal.coe_le_coe, pow_succ', mul_one_div, NNReal.div_le_iff two_ne_zero, div_mul_cancel _ (two_ne_zero' ℝ≥0), hle_d] Qed
UniformSpace.metrizableSpace X : Type u_1 inst✝² : UniformSpace X inst✝¹ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) inst✝ : T0Space X ⊢ TopologicalSpace.MetrizableSpace X letI := UniformSpace.metricSpace X X : Type u_1 inst✝² : UniformSpace X inst✝¹ : IsCountablyGenerated (𝓤 X) inst✝ : T0Space X this : MetricSpace X := UniformSpace.metricSpace X ⊢ TopologicalSpace.MetrizableSpace X infer_instance ** Qed
continuous_thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α ⊢ Continuous (thickenedIndicatorAux δ E) unfold thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α ⊢ Continuous fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ let f := fun x : α => (⟨1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ⟩ : ℝ≥0 × ℝ≥0∞) α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) ⊢ Continuous fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ let sub := fun p : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ => (p.1 : ℝ≥0∞) - p.2 α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ Continuous fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ rw [show (fun x : α => (1 : ℝ≥0∞) - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) = sub ∘ f by rfl] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ Continuous (sub ∘ f) apply (@ENNReal.continuous_nnreal_sub 1).comp α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ Continuous fun x => (f x).2 apply (ENNReal.continuous_div_const (ENNReal.ofReal δ) _).comp continuous_infEdist α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ ENNReal.ofReal δ ≠ 0 norm_num [δ_pos] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2 ⊢ (fun x => 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ) = sub ∘ f rfl ** Qed
thickenedIndicatorAux_le_one α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α x : α ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1 apply @tsub_le_self _ _ _ _ (1 : ℝ≥0∞) ** Qed
thickenedIndicatorAux_closure_eq α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α ⊢ thickenedIndicatorAux δ (closure E) = thickenedIndicatorAux δ E simp_rw [thickenedIndicatorAux, infEdist_closure] ** Qed
thickenedIndicatorAux_one α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α x : α x_in_E : x ∈ E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 1 simp [thickenedIndicatorAux, infEdist_zero_of_mem x_in_E, tsub_zero] ** Qed
thickenedIndicatorAux_one_of_mem_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α x : α x_mem : x ∈ closure E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 1 rw [← thickenedIndicatorAux_closure_eq, thickenedIndicatorAux_one δ (closure E) x_mem] ** Qed
thickenedIndicatorAux_zero α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ¬x ∈ thickening δ E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0 rw [thickening, mem_setOf_eq, not_lt] at x_out α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E ⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0 unfold thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ = 0 apply le_antisymm _ bot_le α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥ have key := tsub_le_tsub (@rfl _ (1 : ℝ≥0∞)).le (ENNReal.div_le_div x_out (@rfl _ (ENNReal.ofReal δ : ℝ≥0∞)).le) α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - ENNReal.ofReal δ / ENNReal.ofReal δ ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥ rw [ENNReal.div_self (ne_of_gt (ENNReal.ofReal_pos.mpr δ_pos)) ofReal_ne_top] at key α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - 1 ⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥ simpa using key ** Qed
indicator_le_thickenedIndicatorAux α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α ⊢ (indicator E fun x => 1) ≤ thickenedIndicatorAux δ E intro a α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α a : α ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ thickenedIndicatorAux δ E a by_cases a ∈ E case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α a : α h : a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ thickenedIndicatorAux δ E a simp only [h, indicator_of_mem, thickenedIndicatorAux_one δ E h, le_refl] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ E : Set α a : α h : ¬a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ thickenedIndicatorAux δ E a simp only [h, indicator_of_not_mem, not_false_iff, zero_le] ** Qed
thickenedIndicatorAux_tendsto_indicator_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α ⊢ Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) rw [tendsto_pi_nhds] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α ⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) intro x α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) by_cases x_mem_closure : x ∈ closure E case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) simp_rw [thickenedIndicatorAux_one_of_mem_closure _ E x_mem_closure] case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => 1) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) rw [show (indicator (closure E) fun _ => (1 : ℝ≥0∞)) x = 1 by simp only [x_mem_closure, indicator_of_mem]] case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => 1) atTop (𝓝 1) exact tendsto_const_nhds α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : x ∈ closure E ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x = 1 simp only [x_mem_closure, indicator_of_mem] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) rw [show (closure E).indicator (fun _ => (1 : ℝ≥0∞)) x = 0 by simp only [x_mem_closure, indicator_of_not_mem, not_false_iff]] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) rcases exists_real_pos_lt_infEdist_of_not_mem_closure x_mem_closure with ⟨ε, ⟨ε_pos, ε_lt⟩⟩ case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) rw [Metric.tendsto_nhds] at δseq_lim case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (δseq x) 0 < ε E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) specialize δseq_lim ε ε_pos case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E δseq_lim : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (δseq x) 0 < ε ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) simp only [dist_zero_right, Real.norm_eq_abs, eventually_atTop, ge_iff_le] at δseq_lim case neg.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E δseq_lim : ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → \|δseq b\| < ε ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) rcases δseq_lim with ⟨N, hN⟩ case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε ⊢ Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 0) apply @tendsto_atTop_of_eventually_const _ _ _ _ _ _ _ N case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε ⊢ ∀ (i : ℕ), i ≥ N → thickenedIndicatorAux (δseq i) E x = 0 intro n n_large case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N ⊢ thickenedIndicatorAux (δseq n) E x = 0 have key : x ∉ thickening ε E := by simpa only [thickening, mem_setOf_eq, not_lt] using ε_lt.le case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N key : ¬x ∈ thickening ε E ⊢ thickenedIndicatorAux (δseq n) E x = 0 refine' le_antisymm _ bot_le case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N key : ¬x ∈ thickening ε E ⊢ thickenedIndicatorAux (δseq n) E x ≤ 0 apply (thickenedIndicatorAux_mono (lt_of_abs_lt (hN n n_large)).le E x).trans case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N key : ¬x ∈ thickening ε E ⊢ thickenedIndicatorAux ε E x ≤ 0 exact (thickenedIndicatorAux_zero ε_pos E key).le α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x = 0 simp only [x_mem_closure, indicator_of_not_mem, not_false_iff] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ E : Set α x : α x_mem_closure : ¬x ∈ closure E ε : ℝ ε_pos : 0 < ε ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E N : ℕ hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → \|δseq b\| < ε n : ℕ n_large : n ≥ N ⊢ ¬x ∈ thickening ε E simpa only [thickening, mem_setOf_eq, not_lt] using ε_lt.le ** Qed
thickenedIndicator_le_one α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α ⊢ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) x ≤ 1 rw [thickenedIndicator.coeFn_eq_comp] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α ⊢ (ENNReal.toNNReal ∘ thickenedIndicatorAux δ E) x ≤ 1 simpa using (toNNReal_le_toNNReal thickenedIndicatorAux_lt_top.ne one_ne_top).mpr (thickenedIndicatorAux_le_one δ E x) ** Qed
thickenedIndicator_one_of_mem_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_mem : x ∈ closure E ⊢ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) x = 1 rw [thickenedIndicator_apply, thickenedIndicatorAux_one_of_mem_closure δ E x_mem, one_toNNReal] ** Qed
thickenedIndicator_zero α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α x : α x_out : ¬x ∈ thickening δ E ⊢ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) x = 0 rw [thickenedIndicator_apply, thickenedIndicatorAux_zero δ_pos E x_out, zero_toNNReal] ** Qed
indicator_le_thickenedIndicator α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α ⊢ (indicator E fun x => 1) ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) intro a α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α a : α ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) a by_cases a ∈ E case pos α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α a : α h : a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) a simp only [h, indicator_of_mem, thickenedIndicator_one δ_pos E h, le_refl] case neg α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ : ℝ δ_pos : 0 < δ E : Set α a : α h : ¬a ∈ E ⊢ indicator E (fun x => 1) a ≤ ↑(thickenedIndicator δ_pos E) a simp only [h, indicator_of_not_mem, not_false_iff, zero_le] ** Qed
thickenedIndicator_mono α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ₁ δ₂ : ℝ δ₁_pos : 0 < δ₁ δ₂_pos : 0 < δ₂ hle : δ₁ ≤ δ₂ E : Set α ⊢ ↑(thickenedIndicator δ₁_pos E) ≤ ↑(thickenedIndicator δ₂_pos E) intro x α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ₁ δ₂ : ℝ δ₁_pos : 0 < δ₁ δ₂_pos : 0 < δ₂ hle : δ₁ ≤ δ₂ E : Set α x : α ⊢ ↑(thickenedIndicator δ₁_pos E) x ≤ ↑(thickenedIndicator δ₂_pos E) x apply (toNNReal_le_toNNReal thickenedIndicatorAux_lt_top.ne thickenedIndicatorAux_lt_top.ne).mpr α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δ₁ δ₂ : ℝ δ₁_pos : 0 < δ₁ δ₂_pos : 0 < δ₂ hle : δ₁ ≤ δ₂ E : Set α x : α ⊢ thickenedIndicatorAux δ₁ E x ≤ thickenedIndicatorAux δ₂ E x apply thickenedIndicatorAux_mono hle ** Qed
thickenedIndicator_tendsto_indicator_closure α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α ⊢ Tendsto (fun n => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq n) E)) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) have key := thickenedIndicatorAux_tendsto_indicator_closure δseq_lim E α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) ⊢ Tendsto (fun n => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq n) E)) atTop (𝓝 (indicator (closure E) fun x => 1)) rw [tendsto_pi_nhds] at * α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) ⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq i) E) x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) intro x α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ Tendsto (fun i => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq i) E) x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) rw [show indicator (closure E) (fun _ => (1 : ℝ≥0)) x = (indicator (closure E) (fun _ => (1 : ℝ≥0∞)) x).toNNReal by refine' (congr_fun (comp_indicator_const 1 ENNReal.toNNReal zero_toNNReal) x).symm] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ Tendsto (fun i => ↑(thickenedIndicator (_ : 0 < δseq i) E) x) atTop (𝓝 (ENNReal.toNNReal (indicator (closure E) (fun x => 1) x))) refine' Tendsto.comp (tendsto_toNNReal _) (key x) α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x ≠ ⊤ by_cases x_mem : x ∈ closure E <;> simp [x_mem] α : Type u_1 inst✝ : PseudoEMetricSpace α δseq : ℕ → ℝ δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0) E : Set α key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 (indicator (closure E) (fun x => 1) x)) x : α ⊢ indicator (closure E) (fun x => 1) x = ENNReal.toNNReal (indicator (closure E) (fun x => 1) x) refine' (congr_fun (comp_indicator_const 1 ENNReal.toNNReal zero_toNNReal) x).symm ** Qed
isometry_iff_nndist_eq ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β ⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), nndist (f x) (f y) = nndist x y simp only [Isometry, edist_nndist, ENNReal.coe_eq_coe] ** Qed
isometry_iff_dist_eq ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β ⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = dist x y simp only [isometry_iff_nndist_eq, ← coe_nndist, NNReal.coe_eq] ** Qed
Isometry.antilipschitz ** ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α h : Isometry f x y : α ⊢ edist x y ≤ ↑1 * edist (f x) (f y) simp only [h x y, ENNReal.coe_one, one_mul, le_refl] Qed
isometry_subsingleton ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : PseudoEMetricSpace α inst✝² : PseudoEMetricSpace β inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α inst✝ : Subsingleton α x y : α ⊢ edist (f x) (f y) = edist x y rw [Subsingleton.elim x y] ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : PseudoEMetricSpace α inst✝² : PseudoEMetricSpace β inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α inst✝ : Subsingleton α x y : α ⊢ edist (f y) (f y) = edist y y simp ** Qed
Isometry.prod_map ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : PseudoEMetricSpace α inst✝² : PseudoEMetricSpace β inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α δ : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace δ f : α → β g : γ → δ hf : Isometry f hg : Isometry g x y : α × γ ⊢ edist (Prod.map f g x) (Prod.map f g y) = edist x y simp only [Prod.edist_eq, hf.edist_eq, hg.edist_eq, Prod_map] ** Qed
isometry_dcomp ι✝ : Type u_1 α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α✝ inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β✝ inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α✝ → β✝ x✝ y✝ z : α✝ s : Set α✝ ι : Type u_4 inst✝² : Fintype ι α : ι → Type u_2 β : ι → Type u_3 inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i) inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i) f : (i : ι) → α i → β i hf : ∀ (i : ι), Isometry (f i) x y : (i : ι) → α i ⊢ edist ((fun g i => f i (g i)) x) ((fun g i => f i (g i)) y) = edist x y simp only [edist_pi_def, (hf _).edist_eq] ** Qed
Isometry.right_inv ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f✝ : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α f : α → β g : β → α h : Isometry f hg : Function.RightInverse g f x y : β ⊢ edist (g x) (g y) = edist x y rw [← h, hg _, hg _] ** Qed
Isometry.preimage_emetric_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ f ⁻¹' EMetric.closedBall (f x) r = EMetric.closedBall x r ext y case h ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ y : α ⊢ y ∈ f ⁻¹' EMetric.closedBall (f x) r ↔ y ∈ EMetric.closedBall x r simp [h.edist_eq] ** Qed
Isometry.preimage_emetric_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r = EMetric.ball x r ext y case h ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x✝ y✝ z : α s : Set α h : Isometry f x : α r : ℝ≥0∞ y : α ⊢ y ∈ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r ↔ y ∈ EMetric.ball x r simp [h.edist_eq] ** Qed
Isometry.ediam_image ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x y z : α s✝ : Set α hf : Isometry f s : Set α d : ℝ≥0∞ ⊢ EMetric.diam (f '' s) ≤ d ↔ EMetric.diam s ≤ d simp only [EMetric.diam_le_iff, ball_image_iff, hf.edist_eq] ** Qed
Isometry.ediam_range ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x y z : α s : Set α hf : Isometry f ⊢ EMetric.diam (range f) = EMetric.diam univ rw [← image_univ] ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ f : α → β x y z : α s : Set α hf : Isometry f ⊢ EMetric.diam (f '' univ) = EMetric.diam univ exact hf.ediam_image univ ** Qed
Isometry.diam_image ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f s : Set α ⊢ Metric.diam (f '' s) = Metric.diam s rw [Metric.diam, Metric.diam, hf.ediam_image] ** Qed
Isometry.diam_range ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f ⊢ Metric.diam (range f) = Metric.diam univ rw [← image_univ] ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f ⊢ Metric.diam (f '' univ) = Metric.diam univ exact hf.diam_image univ ** Qed
Isometry.preimage_setOf_dist ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f x : α p : ℝ → Prop ⊢ f ⁻¹' {y \| p (dist y (f x))} = {y \| p (dist y x)} ext y case h ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β hf : Isometry f x : α p : ℝ → Prop y : α ⊢ y ∈ f ⁻¹' {y \| p (dist y (f x))} ↔ y ∈ {y \| p (dist y x)} simp [hf.dist_eq] ** Qed
IsometryEquiv.ediam_univ ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β ⊢ EMetric.diam univ = EMetric.diam univ rw [← h.range_eq_univ, h.isometry.ediam_range] ** Qed
IsometryEquiv.ediam_preimage ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β s : Set β ⊢ EMetric.diam (↑h ⁻¹' s) = EMetric.diam s rw [← image_symm, ediam_image] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_emetric_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h ⁻¹' EMetric.ball x r = EMetric.ball (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_emetric_ball (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_emetric_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h ⁻¹' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_emetric_closedBall (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.image_emetric_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h '' EMetric.ball x r = EMetric.ball (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_emetric_ball, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.image_emetric_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ≥0∞ ⊢ ↑h '' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_emetric_closedBall, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.completeSpace_iff ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β inst✝ : PseudoEMetricSpace γ e : α ≃ᵢ β ⊢ CompleteSpace α ↔ CompleteSpace β simp only [completeSpace_iff_isComplete_univ, ← e.range_eq_univ, ← image_univ, isComplete_image_iff e.isometry.uniformInducing] ** Qed
IsometryEquiv.diam_preimage ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h : α ≃ᵢ β s : Set β ⊢ Metric.diam (↑h ⁻¹' s) = Metric.diam s rw [← image_symm, diam_image] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ ⊢ ↑h ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_ball (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_sphere ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ ⊢ ↑h ⁻¹' Metric.sphere x r = Metric.sphere (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_sphere (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.preimage_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : β r : ℝ ⊢ ↑h ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (↑(IsometryEquiv.symm h) x) r rw [← h.isometry.preimage_closedBall (h.symm x) r, h.apply_symm_apply] ** Qed
IsometryEquiv.image_ball ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ ⊢ ↑h '' Metric.ball x r = Metric.ball (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_ball, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.image_sphere ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ ⊢ ↑h '' Metric.sphere x r = Metric.sphere (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_sphere, symm_symm] ** Qed
IsometryEquiv.image_closedBall ι : Type u_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β h✝ h : α ≃ᵢ β x : α r : ℝ ⊢ ↑h '' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (↑h x) r rw [← h.preimage_symm, h.symm.preimage_closedBall, symm_symm] ** Qed
GromovHausdorff.one_le_maxVar ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ 1 = 2 * 0 + 1 + 2 * 0 simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ 2 * 0 + 1 + 2 * 0 ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ gcongr <;> positivity Qed
GromovHausdorff.maxVar_bound X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam univ = diam (range inl ∪ range inr) rw [range_inl_union_range_inr] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam (range inl) + dist (inl default) (inr default) + diam (range inr) = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ rw [isometry_inl.diam_range, isometry_inr.diam_range] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam univ + dist (inl default) (inr default) + diam univ = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.18355 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.19771 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.18355 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.19054 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Type ?u.19771 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Dist ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Inhabited ?m.20470 rfl ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ = 1 * diam univ + 1 + 1 * diam univ simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ 1 * diam univ + 1 + 1 * diam univ ≤ 2 * diam univ + 1 + 2 * diam univ gcongr <;> norm_num Qed
GromovHausdorff.candidates_nonneg X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ 0 ≤ f (x, y) have : 0 ≤ 2 * f (x, y) := calc 0 = f (x, x) := (candidates_refl fA).symm _ ≤ f (x, y) + f (y, x) := (candidates_triangle fA) _ = f (x, y) + f (x, y) := by rw [candidates_symm fA] _ = 2 * f (x, y) := by ring ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y this : 0 ≤ 2 * f (x, y) ⊢ 0 ≤ f (x, y) linarith X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) + f (y, x) = f (x, y) + f (x, y) rw [candidates_symm fA] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) + f (x, y) = 2 * f (x, y) ring Qed
GromovHausdorff.candidates_dist_bound X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ dist x y = dist (inl x) (inl y) rw [@Sum.dist_eq X Y] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ dist x y = Sum.dist (inl x) (inl y) rfl ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ dist (inl x) (inl y) = 1 * dist (inl x) (inl y) ring X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ 1 * dist (inl x) (inl y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inl x) (inl y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : X ⊢ 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) exact one_le_maxVar X Y X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : X y : Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) = ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : X y : Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inl x) (inr y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : X y : Y ⊢ 1 ≤ dist (inl x) (inr y) apply Sum.one_le_dist_inl_inr X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : Y y : X ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) = ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 simp X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : Y y : X ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inl x) (inr y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x : Y y : X ⊢ 1 ≤ dist (inl x) (inr y) apply Sum.one_le_dist_inl_inr X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ dist x y = dist (inr x) (inr y) rw [@Sum.dist_eq X Y] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ dist x y = Sum.dist (inr x) (inr y) rfl X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ dist (inr x) (inr y) = 1 * dist (inr x) (inr y) ring X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ 1 * dist (inr x) (inr y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (inr x) (inr y) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y : Y ⊢ 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) exact one_le_maxVar X Y Qed
GromovHausdorff.candidates_lipschitz_aux X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) - f (z, t) ≤ f (x, t) + f (t, y) - f (z, t) gcongr case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, y) ≤ f (x, t) + f (t, y) exact candidates_triangle fA X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, t) + f (t, y) - f (z, t) ≤ f (x, z) + f (z, t) + f (t, y) - f (z, t) gcongr case h.bc X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, t) ≤ f (x, z) + f (z, t) exact candidates_triangle fA X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, z) + f (z, t) + f (t, y) - f (z, t) = f (x, z) + f (t, y) simp [sub_eq_add_neg, add_assoc] ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ f (x, z) + f (t, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x z + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist t y gcongr <;> apply candidates_dist_bound fA X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x z + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist t y ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) gcongr case h₁.h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ dist x z ≤ max (dist x z) (dist t y) apply le_max_left case h₂.h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ dist t y ≤ max (dist x z) (dist t y) apply le_max_right X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) rw [dist_comm t y] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) ring Qed
GromovHausdorff.candidates_lipschitz ** X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ LipschitzWith (2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) f apply LipschitzWith.of_dist_le_mul case a X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y ⊢ ∀ (x y : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), dist (f x) (f y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x y rintro ⟨x, y⟩ ⟨z, t⟩ case a.mk.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ dist (f (x, y)) (f (z, t)) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) rw [Real.dist_eq, abs_sub_le_iff] case a.mk.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ f (x, y) - f (z, t) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) ∧ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) use candidates_lipschitz_aux fA case right X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) rw [dist_comm] case right X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y fA : f ∈ candidates X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (z, t) (x, y) exact candidates_lipschitz_aux fA Qed
GromovHausdorff.dist_mem_candidates X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ (fun p => dist p.1 p.2) ∈ candidates X Y simp_rw [candidates, Set.mem_setOf_eq, dist_comm, dist_triangle, dist_self, maxVar_bound, forall_const, and_true] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ (∀ (x y : X), dist (inl x) (inl y) = dist x y) ∧ ∀ (x y : Y), dist (inr x) (inr y) = dist x y exact ⟨fun x y => rfl, fun x y => rfl⟩ ** Qed
GromovHausdorff.closed_candidatesB X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I1 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (inl x, inl y) = dist x y } := fun x y => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I2 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (inr x, inr y) = dist x y } := fun x y => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I3 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, y) = f (y, x) } := fun x y => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_eval_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I4 : ∀ x y z, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z) } := fun x y z => isClosed_le continuous_eval_const (continuous_eval_const.add continuous_eval_const) X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I5 : ∀ x, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, x) = 0 } := fun x => isClosed_eq continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have I6 : ∀ x y, IsClosed { f : Cb X Y \| f (x, y) ≤ maxVar X Y } := fun x y => isClosed_le continuous_eval_const continuous_const X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) have : candidatesB X Y = (((((⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (@inl X Y x, @inl X Y y) = dist x y }) ∩ ⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (@inr X Y x, @inr X Y y) = dist x y }) ∩ ⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (x, y) = f (y, x) }) ∩ ⋂ (x) (y) (z), { f : Cb X Y \| f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z) }) ∩ ⋂ x, { f : Cb X Y \| f (x, x) = 0 }) ∩ ⋂ (x) (y), { f : Cb X Y \| f (x, y) ≤ maxVar X Y } := by ext simp only [candidatesB, candidates, mem_inter_iff, mem_iInter, mem_setOf_eq] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y) rw [this] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed ((((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}) repeat' first \|apply IsClosed.inter _ _ \|apply isClosed_iInter _ \|apply I1 _ _\|apply I2 _ _\|apply I3 _ _\|apply I4 _ _ _\|apply I5 _\|apply I6 _ _\|intro x X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ext case h X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ : GromovHausdorff.Cb X Y ⊢ x✝ ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ↔ x✝ ∈ (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} simp only [candidatesB, candidates, mem_inter_iff, mem_iInter, mem_setOf_eq] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝, x) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} first \|apply IsClosed.inter _ _ \|apply isClosed_iInter _ \|apply I1 _ _\|apply I2 _ _\|apply I3 _ _\|apply I4 _ _ _\|apply I5 _\|apply I6 _ _\|intro x X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} ⊢ IsClosed ((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) apply IsClosed.inter _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed (⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}) apply isClosed_iInter _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊢ IsClosed {f \| ↑f (inl x✝, inl x) = dist x✝ x} apply I1 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (inr x✝, inr x) = dist x✝ x} apply I2 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝, x) = ↑f (x, x✝)} apply I3 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝² y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝¹ x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝¹, x) ≤ ↑f (x✝¹, x✝) + ↑f (x✝, x)} apply I4 _ _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} apply I5 _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x✝ x : X ⊕ Y ⊢ IsClosed {f \| ↑f (x✝, x) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} apply I6 _ _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y} I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y} I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)} I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)} I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, x) = 0} I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) = ↑f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f \| ↑f (x, z) ≤ ↑f (x, y) + ↑f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f \| ↑f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f \| ↑f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} x : X ⊕ Y ⊢ ∀ (i : X ⊕ Y), IsClosed {f \| ↑f (x, i) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)} intro x ** Qed
GromovHausdorff.isCompact_candidatesB X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ IsCompact (GromovHausdorff.candidatesB X Y) refine' arzela_ascoli₂ (Icc 0 (maxVar X Y) : Set ℝ) isCompact_Icc (candidatesB X Y) closed_candidatesB _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ ∀ (f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ) (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → ↑f x ∈ Icc 0 ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) rintro f ⟨x1, x2⟩ hf case refine'_1.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ x1 x2 : X ⊕ Y hf : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ ↑f (x1, x2) ∈ Icc 0 ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) simp only [Set.mem_Icc] case refine'_1.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ x1 x2 : X ⊕ Y hf : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ 0 ≤ ↑f (x1, x2) ∧ ↑f (x1, x2) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) exact ⟨candidates_nonneg hf, candidates_le_maxVar hf⟩ case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Equicontinuous fun x => ↑↑x refine' equicontinuous_of_continuity_modulus (fun t => 2 * maxVar X Y * t) _ _ _ ** case refine'_2.refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ Tendsto (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (𝓝 0) (𝓝 0) ** have : Tendsto (fun t : ℝ => 2 * (maxVar X Y : ℝ) * t) (𝓝 0) (𝓝 (2 * maxVar X Y * 0)) := tendsto_const_nhds.mul tendsto_id ** case refine'_2.refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y this : Tendsto (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (𝓝 0) (𝓝 (2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * 0)) ⊢ Tendsto (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (𝓝 0) (𝓝 0) simpa using this case refine'_2.refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ ∀ (x y : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (i : ↑(GromovHausdorff.candidatesB X Y)), dist (↑↑i x) (↑↑i y) ≤ (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (dist x y) rintro x y ⟨f, hf⟩ case refine'_2.refine'_2.mk X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y x y : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ hf : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ dist (↑↑{ val := f, property := hf } x) (↑↑{ val := f, property := hf } y) ≤ (fun t => 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * t) (dist x y) exact (candidates_lipschitz hf).dist_le_mul _ _ Qed
GromovHausdorff.HD_bound_aux1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C : ℝ ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) + C) rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).2 with ⟨Cf, hCf⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) + C) refine' ⟨Cf + C, forall_range_iff.2 fun x => _⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) x : X ⊢ ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) + C ≤ Cf + C calc ⨅ y, f (inl x, inr y) + C ≤ f (inl x, inr default) + C := ciInf_le (HD_below_aux1 C) default _ ≤ Cf + C := add_le_add ((fun x => hCf (mem_range_self x)) _) le_rfl ** Qed
GromovHausdorff.HD_bound_aux2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C : ℝ ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) + C) rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).2 with ⟨Cf, hCf⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) + C) refine' ⟨Cf + C, forall_range_iff.2 fun y => _⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f : GromovHausdorff.Cb X Y C Cf : ℝ hCf : Cf ∈ upperBounds (range ↑f) y : Y ⊢ ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) + C ≤ Cf + C calc ⨅ x, f (inl x, inr y) + C ≤ f (inl default, inr y) + C := ciInf_le (HD_below_aux2 C) default _ ≤ Cf + C := add_le_add ((fun x => hCf (mem_range_self x)) _) le_rfl ** Qed
GromovHausdorff.HD_candidatesBDist_le X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y ⊢ HD (candidatesBDist X Y) ≤ diam univ + 1 + diam univ refine' max_le (ciSup_le fun x => _) (ciSup_le fun y => _) case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X ⊢ ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have A : ⨅ y, candidatesBDist X Y (inl x, inr y) ≤ candidatesBDist X Y (inl x, inr default) := ciInf_le (by simpa using HD_below_aux1 0) default case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X A : ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr default) ⊢ ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have B : dist (inl x) (inr default) ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := calc dist (inl x) (inr (default : Y)) = dist x (default : X) + 1 + dist default default := rfl _ ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := by gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X A : ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr default) B : dist (inl x) (inr default) ≤ diam univ + 1 + diam univ ⊢ ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ exact le_trans A B X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X ⊢ BddBelow (range fun y => ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_below_aux1 0 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y x : X A : ⨅ y, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr default) ⊢ dist x default + 1 + dist default default ≤ diam univ + 1 + diam univ gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y ⊢ ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have A : ⨅ x, candidatesBDist X Y (inl x, inr y) ≤ candidatesBDist X Y (inl default, inr y) := ciInf_le (by simpa using HD_below_aux2 0) default case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y A : ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl default, inr y) ⊢ ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ have B : dist (inl default) (inr y) ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := calc dist (inl (default : X)) (inr y) = dist default default + 1 + dist default y := rfl _ ≤ diam (univ : Set X) + 1 + diam (univ : Set Y) := by gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y A : ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl default, inr y) B : dist (inl default) (inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ ⊢ ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ exact le_trans A B X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y ⊢ BddBelow (range fun x => ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_below_aux2 0 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y y : Y A : ⨅ x, ↑(candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ ↑(candidatesBDist X Y) (inl default, inr y) ⊢ dist default default + 1 + dist default y ≤ diam univ + 1 + diam univ gcongr <;> exact dist_le_diam_of_mem isBounded_of_compactSpace (mem_univ _) (mem_univ _) ** Qed
GromovHausdorff.HD_lipschitz_aux1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 g.isBounded_range).1 with ⟨cg, hcg⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcg : ∀ x, cg ≤ g x := fun x => hcg (mem_range_self x) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).1 with ⟨cf, hcf⟩ case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcf : ∀ x, cf ≤ f x := fun x => hcf (mem_range_self x) case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Z : (⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y)) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g := ciSup_mono (HD_bound_aux1 _ (dist f g)) fun x => ciInf_mono ⟨cf, forall_range_iff.2 fun i => Hcf _⟩ fun y => coe_le_coe_add_dist case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E2 : (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ x, (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g ⊢ ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g simpa [E2, E1, Function.comp] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g intro x X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x : X ⊢ (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g refine' Monotone.map_ciInf_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x : X ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝¹ y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x✝ : X x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x : X ⊢ BddBelow (range fun y => ↑g (inl x, inr y)) exact ⟨cg, forall_range_iff.2 fun i => Hcg _⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ (⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ x, (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g refine' Monotone.map_ciSup_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ x, ⨅ y, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑g (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux1 _ 0 ** Qed
GromovHausdorff.HD_lipschitz_aux2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 g.isBounded_range).1 with ⟨cg, hcg⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcg : ∀ x, cg ≤ g x := fun x => hcg (mem_range_self x) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g rcases (Real.isBounded_iff_bddBelow_bddAbove.1 f.isBounded_range).1 with ⟨cf, hcf⟩ case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Hcf : ∀ x, cf ≤ f x := fun x => hcf (mem_range_self x) case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g have Z : (⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y)) ≤ ⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y) + dist f g := ciSup_mono (HD_bound_aux2 _ (dist f g)) fun y => ciInf_mono ⟨cf, forall_range_iff.2 fun i => Hcf _⟩ fun y => coe_le_coe_add_dist case intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E2 : (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ y, (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g ⊢ ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g simpa [E2, E1] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g intro y X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y : Y ⊢ (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g refine' Monotone.map_ciInf_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y : Y ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝¹ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y✝ : Y x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g y : Y ⊢ BddBelow (range fun x => ↑g (inl x, inr y)) exact ⟨cg, forall_range_iff.2 fun i => Hcg _⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ (⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ y, (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g refine' Monotone.map_ciSup_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) _ _ case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ Monotone fun x => id x + dist f g intro x y hx case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x✝ y✝ z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g x y : ℝ hx : x ≤ y ⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y simpa case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y x y z t : X ⊕ Y f g : GromovHausdorff.Cb X Y cg : ℝ hcg : cg ∈ lowerBounds (range ↑g) Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ ↑g x cf : ℝ hcf : cf ∈ lowerBounds (range ↑f) Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ ↑f x Z : ⨆ y, ⨅ x, ↑f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g E1 : ∀ (y : Y), (⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ x, ↑g (inl x, inr y) + dist f g ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑g (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux2 _ 0 ** Qed
GromovHausdorff.optimalGHDist_mem_candidatesB X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y ⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y cases Classical.choose_spec (exists_minimizer X Y) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y left✝ : choose (_ : ∃ f, f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ∧ ∀ (g : GromovHausdorff.Cb X Y), g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → HD f ≤ HD g) ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y right✝ : ∀ (g : GromovHausdorff.Cb X Y), g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → HD (choose (_ : ∃ f, f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ∧ ∀ (g : GromovHausdorff.Cb X Y), g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → HD f ≤ HD g)) ≤ HD g ⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y assumption ** Qed
GromovHausdorff.hausdorffDist_optimal_le_HD X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD f refine' le_trans (le_of_forall_le_of_dense fun r hr => _) (HD_optimalGHDist_le X Y f h) X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ r have A : ∀ x ∈ range (optimalGHInjl X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjr X Y), dist x y ≤ r := by rintro _ ⟨z, rfl⟩ have I1 : (⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y)) < r := lt_of_le_of_lt (le_max_left _ _) hr have I2 : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y) := le_csSup (by simpa using HD_bound_aux1 _ 0) (mem_range_self _) have I : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) < r := lt_of_le_of_lt I2 I1 rcases exists_lt_of_csInf_lt (range_nonempty _) I with ⟨r', ⟨z', rfl⟩, hr'⟩ exact ⟨optimalGHInjr X Y z', mem_range_self _, le_of_lt hr'⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r ⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ r refine' hausdorffDist_le_of_mem_dist _ A _ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r ⊢ ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r rintro _ ⟨z, rfl⟩ case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r have I1 : (⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y)) < r := lt_of_le_of_lt (le_max_left _ _) hr case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r have I2 : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl x, inr y) := le_csSup (by simpa using HD_bound_aux1 _ 0) (mem_range_self _) case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r have I : ⨅ y, optimalGHDist X Y (inl z, inr y) < r := lt_of_le_of_lt I2 I1 case intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r rcases exists_lt_of_csInf_lt (range_nonempty _) I with ⟨r', ⟨z', rfl⟩, hr'⟩ case intro.intro.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y) < r z' : Y hr' : (fun y => ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl z, inr y)) z' < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist (optimalGHInjl X Y z) y ≤ r exact ⟨optimalGHInjr X Y z', mem_range_self _, le_of_lt hr'⟩ X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r z : X I1 : ⨆ x, ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux1 _ 0 case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r ⊢ 0 ≤ r inhabit X case refine'_1 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r inhabited_h : Inhabited X ⊢ 0 ≤ r rcases A _ (mem_range_self default) with ⟨y, -, hy⟩ case refine'_1.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r inhabited_h : Inhabited X y : OptimalGHCoupling X Y hy : dist (optimalGHInjl X Y default) y ≤ r ⊢ 0 ≤ r exact le_trans dist_nonneg hy case refine'_2 X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r ⊢ ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjr X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist x y ≤ r rintro _ ⟨z, rfl⟩ case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r have I1 : (⨆ y, ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr y)) < r := lt_of_le_of_lt (le_max_right _ _) hr case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r have I2 : ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr y) := le_csSup (by simpa using HD_bound_aux2 _ 0) (mem_range_self _) case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r have I : ⨅ x, optimalGHDist X Y (inl x, inr z) < r := lt_of_le_of_lt I2 I1 case refine'_2.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r rcases exists_lt_of_csInf_lt (range_nonempty _) I with ⟨r', ⟨z', rfl⟩, hr'⟩ case refine'_2.intro.intro.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) < r z' : X hr' : (fun x => ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z)) z' < r ⊢ ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjl X Y) ∧ dist (optimalGHInjr X Y z) y ≤ r refine' ⟨optimalGHInjl X Y z', mem_range_self _, le_of_lt _⟩ case refine'_2.intro.intro.intro.intro X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r I2 : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) ≤ ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) I : ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z) < r z' : X hr' : (fun x => ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr z)) z' < r ⊢ dist (optimalGHInjr X Y z) (optimalGHInjl X Y z') < r rwa [dist_comm] X : Type u Y : Type v inst✝⁵ : MetricSpace X inst✝⁴ : CompactSpace X inst✝³ : Nonempty X inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : CompactSpace Y inst✝ : Nonempty Y f : GromovHausdorff.Cb X Y h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y r : ℝ hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r A : ∀ (x : OptimalGHCoupling X Y), x ∈ range (optimalGHInjl X Y) → ∃ y, y ∈ range (optimalGHInjr X Y) ∧ dist x y ≤ r z : Y I1 : ⨆ y, ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y) < r ⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, ↑(GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) (inl x, inr y)) simpa using HD_bound_aux2 _ 0 ** Qed
Set.le_einfsep_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α d : ℝ≥0∞ ⊢ d ≤ einfsep s ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → d ≤ edist x y simp_rw [einfsep, le_iInf_iff] ** Qed
Set.einfsep_zero α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s = 0 ↔ ∀ (C : ℝ≥0∞), 0 < C → ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y < C simp_rw [einfsep, ← _root_.bot_eq_zero, iInf_eq_bot, iInf_lt_iff] ** Qed
Set.einfsep_pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ 0 < einfsep s ↔ ∃ C _hC, ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → C ≤ edist x y rw [pos_iff_ne_zero, Ne.def, einfsep_zero] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ (¬∀ (C : ℝ≥0∞), 0 < C → ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y < C) ↔ ∃ C _hC, ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → C ≤ edist x y simp only [not_forall, not_exists, not_lt] ** Qed
Set.einfsep_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s = ⊤ ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → edist x y = ⊤ simp_rw [einfsep, iInf_eq_top] ** Qed
Set.einfsep_lt_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s < ⊤ ↔ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y < ⊤ simp_rw [einfsep, iInf_lt_iff] ** Qed
Set.einfsep_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s ≠ ⊤ ↔ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, edist x y ≠ ⊤ simp_rw [← lt_top_iff_ne_top, einfsep_lt_top] ** Qed
Set.einfsep_lt_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α d : ℝ≥0∞ ⊢ einfsep s < d ↔ ∃ x x_1 y x_2 _h, edist x y < d simp_rw [einfsep, iInf_lt_iff] ** Qed
Set.nontrivial_of_einfsep_lt_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : einfsep s < ⊤ ⊢ Set.Nontrivial s rcases einfsep_lt_top.1 hs with ⟨_, hx, _, hy, hxy, _⟩ case intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : einfsep s < ⊤ w✝¹ : α hx : w✝¹ ∈ s w✝ : α hy : w✝ ∈ s hxy : w✝¹ ≠ w✝ h✝ : edist w✝¹ w✝ < ⊤ ⊢ Set.Nontrivial s exact ⟨_, hx, _, hy, hxy⟩ ** Qed
Set.Subsingleton.einfsep α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ Set.einfsep s = ⊤ rw [einfsep_top] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → edist x y = ⊤ exact fun _ hx _ hy hxy => (hxy <\| hs hx hy).elim ** Qed
Set.le_einfsep_image_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s✝ t : Set α d : ℝ≥0∞ f : β → α s : Set β ⊢ d ≤ einfsep (f '' s) ↔ ∀ (x : β), x ∈ s → ∀ (y : β), y ∈ s → f x ≠ f y → d ≤ edist (f x) (f y) simp_rw [le_einfsep_iff, ball_image_iff] ** Qed
Set.einfsep_iUnion_mem_option α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s✝ t : Set α ι : Type u_3 o : Option ι s : ι → Set α ⊢ einfsep (⋃ i ∈ o, s i) = ⨅ i ∈ o, einfsep (s i) cases o <;> simp ** Qed
Set.einfsep_insert_le α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep (insert x s) ≤ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y simp_rw [le_iInf_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ ∀ (i : α), i ∈ s → x ≠ i → einfsep (insert x s) ≤ edist x i refine' fun _ hy hxy => einfsep_le_edist_of_mem (mem_insert _ _) (mem_insert_of_mem _ hy) hxy ** Qed
Set.le_einfsep_pair α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ edist x y ⊓ edist y x ≤ einfsep {x, y} simp_rw [le_einfsep_iff, inf_le_iff, mem_insert_iff, mem_singleton_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 = y → ∀ (y_1 : α), y_1 = x ∨ y_1 = y → x_1 ≠ y_1 → edist x y ≤ edist x_1 y_1 ∨ edist y x ≤ edist x_1 y_1 rintro a (rfl \| rfl) b (rfl \| rfl) hab <;> (try simp only [le_refl, true_or, or_true]) <;> contradiction case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α s t : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ edist b a ≤ edist a b ∨ edist a b ≤ edist a b try simp only [le_refl, true_or, or_true] case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α s t : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ edist b a ≤ edist a b ∨ edist a b ≤ edist a b simp only [le_refl, true_or, or_true] ** Qed
Set.einfsep_pair_le_right α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {x, y} ≤ edist y x rw [pair_comm] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {y, x} ≤ edist y x exact einfsep_pair_le_left hxy.symm ** Qed
Set.einfsep_eq_iInf α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α ⊢ einfsep s = ⨅ d, uncurry edist ↑d refine' eq_of_forall_le_iff fun _ => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α x✝ : ℝ≥0∞ ⊢ x✝ ≤ einfsep s ↔ x✝ ≤ ⨅ d, uncurry edist ↑d simp_rw [le_einfsep_iff, le_iInf_iff, imp_forall_iff, SetCoe.forall, mem_offDiag, Prod.forall, uncurry_apply_pair, and_imp] ** Qed
Set.einfsep_of_fintype α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : EDist α x y : α s t : Set α inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype ↑s ⊢ einfsep s = Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) refine' eq_of_forall_le_iff fun _ => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : EDist α x y : α s t : Set α inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype ↑s x✝ : ℝ≥0∞ ⊢ x✝ ≤ einfsep s ↔ x✝ ≤ Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) simp_rw [le_einfsep_iff, imp_forall_iff, Finset.le_inf_iff, mem_toFinset, mem_offDiag, Prod.forall, uncurry_apply_pair, and_imp] ** Qed
Set.Finite.einfsep α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Finite s ⊢ Set.einfsep s = Finset.inf (Finite.toFinset (_ : Set.Finite (offDiag s))) (uncurry edist) refine' eq_of_forall_le_iff fun _ => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s t : Set α hs : Set.Finite s x✝ : ℝ≥0∞ ⊢ x✝ ≤ Set.einfsep s ↔ x✝ ≤ Finset.inf (Finite.toFinset (_ : Set.Finite (offDiag s))) (uncurry edist) simp_rw [le_einfsep_iff, imp_forall_iff, Finset.le_inf_iff, Finite.mem_toFinset, mem_offDiag, Prod.forall, uncurry_apply_pair, and_imp] ** Qed
Set.Finset.coe_einfsep α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s✝ t : Set α inst✝ : DecidableEq α s : Finset α ⊢ einfsep ↑s = Finset.inf (Finset.offDiag s) (uncurry edist) simp_rw [einfsep_of_fintype, ← Finset.coe_offDiag, Finset.toFinset_coe] ** Qed
Set.Nontrivial.einfsep_exists_of_finite α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s ⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, einfsep s = edist x y classical cases nonempty_fintype s simp_rw [einfsep_of_fintype] [email protected]_mem_eq_inf _ _ _ _ s.offDiag.toFinset (by simpa) (uncurry edist) with ⟨w, hxy, hed⟩ simp_rw [mem_toFinset] at hxy refine' ⟨w.fst, hxy.1, w.snd, hxy.2.1, hxy.2.2, hed⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s ⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, einfsep s = edist x y cases nonempty_fintype s case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s ⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, einfsep s = edist x y simp_rw [einfsep_of_fintype] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s ⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = edist x y [email protected]_mem_eq_inf _ _ _ _ s.offDiag.toFinset (by simpa) (uncurry edist) with ⟨w, hxy, hed⟩ case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s w : α × α hxy : w ∈ toFinset (offDiag s) hed : Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = uncurry edist w ⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = edist x y simp_rw [mem_toFinset] at hxy case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s w : α × α hed : Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = uncurry edist w hxy : w ∈ offDiag s ⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf (toFinset (offDiag s)) (uncurry edist) = edist x y refine' ⟨w.fst, hxy.1, w.snd, hxy.2.1, hxy.2.2, hed⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EDist α x y : α s t : Set α inst✝ : Finite ↑s hs : Set.Nontrivial s val✝ : Fintype ↑s ⊢ Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s)) simpa ** Qed
Set.einfsep_pair α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {x, y} = edist x y nth_rw 1 [← min_self (edist x y)] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ einfsep {x, y} = min (edist x y) (edist x y) convert einfsep_pair_eq_inf hxy using 2 case h.e'_3.h.e'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y ⊢ edist x y = edist y x rw [edist_comm] ** Qed
Set.einfsep_insert α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α ⊢ einfsep (insert x s) = (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ einfsep s refine' le_antisymm (le_min einfsep_insert_le (einfsep_anti (subset_insert _ _))) _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α ⊢ (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ einfsep s ≤ einfsep (insert x s) simp_rw [le_einfsep_iff, inf_le_iff, mem_insert_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α ⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 ∈ s → ∀ (y : α), y = x ∨ y ∈ s → x_1 ≠ y → ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y ≤ edist x_1 y ∨ einfsep s ≤ edist x_1 y rintro y (rfl \| hy) z (rfl \| hz) hyz case inl.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y z✝ : α s t : Set α z : α hyz : z ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : z ≠ y), edist z y ≤ edist z z ∨ einfsep s ≤ edist z z exact False.elim (hyz rfl) case inl.inr α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y✝ z✝ : α s t : Set α y z : α hz : z ∈ s hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y_1 ∈ s, ⨅ (_ : y ≠ y_1), edist y y_1 ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z exact Or.inl (iInf_le_of_le _ (iInf₂_le hz hyz)) case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y✝ z✝ : α s t : Set α y : α hy : y ∈ s z : α hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : z ≠ y), edist z y ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z rw [edist_comm] case inr.inl α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α y✝ z✝ : α s t : Set α y : α hy : y ∈ s z : α hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : z ≠ y), edist z y ≤ edist z y ∨ einfsep s ≤ edist z y exact Or.inl (iInf_le_of_le _ (iInf₂_le hy hyz.symm)) case inr.inr α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y✝ z✝ : α s t : Set α y : α hy : y ∈ s z : α hz : z ∈ s hyz : y ≠ z ⊢ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z exact Or.inr (einfsep_le_edist_of_mem hy hz hyz) ** Qed
Set.einfsep_triple α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y z : α s t : Set α hxy : x ≠ y hyz : y ≠ z hxz : x ≠ z ⊢ einfsep {x, y, z} = edist x y ⊓ edist x z ⊓ edist y z simp_rw [einfsep_insert, iInf_insert, iInf_singleton, einfsep_singleton, inf_top_eq, ciInf_pos hxy, ciInf_pos hyz, ciInf_pos hxz] ** Qed
Set.le_einfsep_pi_of_le α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x y z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) ⊢ c ≤ einfsep (pi univ s) refine' le_einfsep fun x hx y hy hxy => _ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x✝ y✝ z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) x : (i : β) → π i hx : x ∈ pi univ s y : (i : β) → π i hy : y ∈ pi univ s hxy : x ≠ y ⊢ c ≤ edist x y rw [mem_univ_pi] at hx hy α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x✝ y✝ z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) x : (i : β) → π i hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i y : (i : β) → π i hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i hxy : x ≠ y ⊢ c ≤ edist x y rcases Function.ne_iff.mp hxy with ⟨i, hi⟩ case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝² : PseudoEMetricSpace α x✝ y✝ z : α s✝ t : Set α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b) s : (b : β) → Set (π b) c : ℝ≥0∞ h : ∀ (b : β), c ≤ einfsep (s b) x : (i : β) → π i hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i y : (i : β) → π i hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i hxy : x ≠ y i : β hi : x i ≠ y i ⊢ c ≤ edist x y exact le_trans (le_einfsep_iff.1 (h i) _ (hx _) _ (hy _) hi) (edist_le_pi_edist _ _ i) ** Qed
Set.subsingleton_of_einfsep_eq_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : einfsep s = ⊤ ⊢ Set.Subsingleton s rw [einfsep_top] at hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → edist x y = ⊤ ⊢ Set.Subsingleton s exact fun _ hx _ hy => of_not_not fun hxy => edist_ne_top _ _ (hs _ hx _ hy hxy) ** Qed
Set.Nontrivial.einfsep_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : Set.Nontrivial s ⊢ einfsep s ≠ ⊤ contrapose! hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : einfsep s = ⊤ ⊢ ¬Set.Nontrivial s rw [not_nontrivial_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : einfsep s = ⊤ ⊢ Set.Subsingleton s exact subsingleton_of_einfsep_eq_top hs ** Qed
Set.Nontrivial.einfsep_lt_top α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : Set.Nontrivial s ⊢ einfsep s < ⊤ rw [lt_top_iff_ne_top] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α hs : Set.Nontrivial s ⊢ einfsep s ≠ ⊤ exact hs.einfsep_ne_top ** Qed
Set.einfsep_pos_of_finite α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s ⊢ 0 < einfsep s cases nonempty_fintype s case intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s ⊢ 0 < einfsep s by_cases hs : s.Nontrivial case pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : Set.Nontrivial s ⊢ 0 < einfsep s rcases hs.einfsep_exists_of_finite with ⟨x, _hx, y, _hy, hxy, hxy'⟩ case pos.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x✝ y✝ z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : Set.Nontrivial s x : α _hx : x ∈ s y : α _hy : y ∈ s hxy : x ≠ y hxy' : einfsep s = edist x y ⊢ 0 < einfsep s exact hxy'.symm ▸ edist_pos.2 hxy case neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : ¬Set.Nontrivial s ⊢ 0 < einfsep s rw [not_nontrivial_iff] at hs case neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s val✝ : Fintype ↑s hs : Set.Subsingleton s ⊢ 0 < einfsep s exact hs.einfsep.symm ▸ WithTop.zero_lt_top ** Qed
Set.relatively_discrete_of_finite α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s ⊢ ∃ C _hC, ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → C ≤ edist x y rw [← einfsep_pos] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : EMetricSpace α x y z : α s t : Set α C : ℝ≥0∞ sC : Set ℝ≥0∞ inst✝ : Finite ↑s ⊢ 0 < einfsep s exact einfsep_pos_of_finite ** Qed
Set.infsep_zero α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α ⊢ infsep s = 0 ↔ einfsep s = 0 ∨ einfsep s = ⊤ rw [infsep, ENNReal.toReal_eq_zero_iff] ** Qed
Set.infsep_pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α ⊢ 0 < infsep s ↔ 0 < einfsep s ∧ einfsep s < ⊤ simp_rw [infsep, ENNReal.toReal_pos_iff] ** Qed
Set.Subsingleton.infsep_zero α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ infsep s = 0 rw [infsep_zero.mpr] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ Set.einfsep s = 0 ∨ Set.einfsep s = ⊤ right case h α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ Set.einfsep s = ⊤ exact hs.einfsep ** Qed
Set.nontrivial_of_infsep_pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : 0 < infsep s ⊢ Set.Nontrivial s contrapose hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : ¬Set.Nontrivial s ⊢ ¬0 < infsep s rw [not_nontrivial_iff] at hs α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hs : Set.Subsingleton s ⊢ ¬0 < infsep s exact hs.infsep_zero ▸ lt_irrefl _ ** Qed
Set.infsep_pair_le_toReal_inf α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hxy : x ≠ y ⊢ infsep {x, y} ≤ ENNReal.toReal (edist x y ⊓ edist y x) simp_rw [infsep, einfsep_pair_eq_inf hxy] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : EDist α x y : α s : Set α hxy : x ≠ y ⊢ ENNReal.toReal (edist x y ⊓ edist y x) ≤ ENNReal.toReal (edist x y ⊓ edist y x) simp ** Qed
Set.infsep_pair_eq_toReal α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α ⊢ infsep {x, y} = ENNReal.toReal (edist x y) by_cases hxy : x = y case pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α hxy : x = y ⊢ infsep {x, y} = ENNReal.toReal (edist x y) rw [hxy] case pos α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α hxy : x = y ⊢ infsep {y, y} = ENNReal.toReal (edist y y) simp only [infsep_singleton, pair_eq_singleton, edist_self, ENNReal.zero_toReal] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y : α s : Set α hxy : ¬x = y ⊢ infsep {x, y} = ENNReal.toReal (edist x y) rw [infsep, einfsep_pair hxy] ** Qed
Set.Nontrivial.le_infsep_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ d ≤ infsep s ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → d ≤ dist x y simp_rw [infsep, ← ENNReal.ofReal_le_iff_le_toReal hs.einfsep_ne_top, le_einfsep_iff, edist_dist, ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff dist_nonneg] ** Qed
Set.Nontrivial.infsep_lt_iff α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ infsep s < d ↔ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, dist x y < d rw [← not_iff_not] α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ ¬infsep s < d ↔ ¬∃ x x_1 y x_2 _hxy, dist x y < d push_neg α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α s t : Set α d : ℝ hs : Set.Nontrivial s ⊢ d ≤ infsep s ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → x ≠ y → d ≤ dist x y exact hs.le_infsep_iff ** Qed