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formal stringlengths 41 427k	informal stringclasses 1 value
ENNReal.hasBasis_nhds_of_ne_top' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε) rcases (zero_le x).eq_or_gt with rfl \| x0 case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : 0 ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 0) (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (0 - ε) (0 + ε) simp_rw [zero_tsub, zero_add, ← bot_eq_zero, Icc_bot, ← bot_lt_iff_ne_bot] case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : 0 ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 ⊥) (fun x => ⊥ < x) fun ε => Iic ε exact nhds_bot_basis_Iic case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x ⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε) refine (nhds_basis_Ioo' ⟨_, x0⟩ ⟨_, xt.lt_top⟩).to_hasBasis ?_ fun ε ε0 => ?_ case inr.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x ⊢ ∀ (i : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞), i.1 < x ∧ x < i.2 → ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo i.1 i.2 rintro ⟨a, b⟩ ⟨ha, hb⟩ case inr.refine_1.mk.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ⊢ ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo (a, b).1 (a, b).2 rcases exists_between (tsub_pos_of_lt ha) with ⟨ε, ε0, hε⟩ case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 ⊢ ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo (a, b).1 (a, b).2 rcases lt_iff_exists_add_pos_lt.1 hb with ⟨δ, δ0, hδ⟩ case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 δ : ℝ≥0 δ0 : 0 < δ hδ : x + ↑δ < (a, b).2 ⊢ ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo (a, b).1 (a, b).2 refine ⟨min ε δ, (lt_min ε0 (coe_pos.2 δ0)).ne', Icc_subset_Ioo ?_ ?_⟩ case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 δ : ℝ≥0 δ0 : 0 < δ hδ : x + ↑δ < (a, b).2 ⊢ (a, b).1 < x - min ε ↑δ exact lt_tsub_comm.2 ((min_le_left _ _).trans_lt hε) case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 δ : ℝ≥0 δ0 : 0 < δ hδ : x + ↑δ < (a, b).2 ⊢ x + min ε ↑δ < (a, b).2 exact (add_le_add_left (min_le_right _ _) _).trans_lt hδ case inr.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε ≠ 0 ⊢ ∃ i, (i.1 < x ∧ x < i.2) ∧ Ioo i.1 i.2 ⊆ Icc (x - ε) (x + ε) exact ⟨(x - ε, x + ε), ⟨ENNReal.sub_lt_self xt x0.ne' ε0, lt_add_right xt ε0⟩, Ioo_subset_Icc_self⟩ ** Qed
ENNReal.hasBasis_nhds_of_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun x => 0 < x) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε) simpa only [pos_iff_ne_zero] using hasBasis_nhds_of_ne_top' xt ** Qed
ENNReal.biInf_le_nhds α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ 𝓟 (Icc (⊤ - 1) (⊤ + 1)) ≤ 𝓝 ⊤ simpa only [← coe_one, top_sub_coe, top_add, Icc_self, principal_singleton] using pure_le_nhds _ ** Qed
ENNReal.tendsto_nhds_of_Icc α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α u : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε) ⊢ Tendsto u f (𝓝 a) refine Tendsto.mono_right ?_ (biInf_le_nhds _) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α u : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε) ⊢ Tendsto u f (⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 (Icc (a - ε) (a + ε))) simpa only [tendsto_iInf, tendsto_principal] ** Qed
ENNReal.tendsto_nhds α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α u : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ha : a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto u f (𝓝 a) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε) simp only [nhds_of_ne_top ha, tendsto_iInf, tendsto_principal] ** Qed
ENNReal.tendsto_atTop α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ha : a ≠ ⊤ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε) simp only [true_and] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ha : a ≠ ⊤ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε) rfl ** Qed
ENNReal.tendsto_atTop_zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ≤ ε simp only [true_and] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ≤ ε rfl ** Qed
ENNReal.tendsto_sub α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ h : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ⊤)) (𝓝 (⊤ - ⊤)) simp only at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ↑b)) (𝓝 (⊤ - ↑b)) rw [top_sub_coe, tendsto_nhds_top_iff_nnreal] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ ⊢ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, ↑b), ↑x < a.1 - a.2 refine fun x => ((lt_mem_nhds <\| @coe_lt_top (b + 1 + x)).prod_nhds (ge_mem_nhds <\| coe_lt_coe.2 <\| lt_add_one b)).mono fun y hy => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ x : ℝ≥0 y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1) ⊢ ↑x < y.1 - y.2 rw [lt_tsub_iff_left] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ x : ℝ≥0 y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1) ⊢ y.2 + ↑x < y.1 calc y.2 + x ≤ ↑(b + 1) + x := add_le_add_right hy.2 _ _ < y.1 := hy.1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 (↑a - ⊤)) rw [sub_top] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 0) refine (tendsto_pure.2 ?_).mono_right (pure_le_nhds _) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ ∀ᶠ (x : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (↑a, ⊤), x.1 - x.2 = 0 exact ((gt_mem_nhds <\| coe_lt_coe.2 <\| lt_add_one a).prod_nhds (lt_mem_nhds <\| @coe_lt_top (a + 1))).mono fun x hx => tsub_eq_zero_iff_le.2 (hx.1.trans hx.2).le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun a => a.1 - a.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a - b)) exact continuous_sub.tendsto (a, b) ** Qed
ENNReal.tendsto_mul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b)) ** have ht : ∀ b : ℝ≥0∞, b ≠ 0 → Tendsto (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.1 * p.2) (𝓝 ((⊤ : ℝ≥0∞), b)) (𝓝 ⊤) := fun b hb => by refine' tendsto_nhds_top_iff_nnreal.2 fun n => _ rcases lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 (pos_iff_ne_zero.2 hb) with ⟨ε, hε, hεb⟩ have : ∀ᶠ c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ in 𝓝 (∞, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 := (lt_mem_nhds <\| div_lt_top coe_ne_top hε.ne').prod_nhds (lt_mem_nhds hεb) refine' this.mono fun c hc => _ exact (ENNReal.div_mul_cancel hε.ne' coe_ne_top).symm.trans_lt (mul_lt_mul hc.1 hc.2) ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) refine' tendsto_nhds_top_iff_nnreal.2 fun n => _ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n < a.1 * a.2 rcases lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 (pos_iff_ne_zero.2 hb) with ⟨ε, hε, hεb⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n ε : ℝ≥0 hε : 0 < ↑ε hεb : ↑ε < b ⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n < a.1 * a.2 have : ∀ᶠ c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ in 𝓝 (∞, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 := (lt_mem_nhds <\| div_lt_top coe_ne_top hε.ne').prod_nhds (lt_mem_nhds hεb) case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n ε : ℝ≥0 hε : 0 < ↑ε hεb : ↑ε < b this : ∀ᶠ (c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 ⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n < a.1 * a.2 refine' this.mono fun c hc => _ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n ε : ℝ≥0 hε : 0 < ↑ε hεb : ↑ε < b this : ∀ᶠ (c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ hc : ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 ⊢ ↑n < c.1 * c.2 exact (ENNReal.div_mul_cancel hε.ne' coe_ne_top).symm.trans_lt (mul_lt_mul hc.1 hc.2) case top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) ha : ⊤ ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ hb : b ≠ 0 ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 (⊤ * b)) simp only [ne_eq, or_false] at hb case top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) ha : ⊤ ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ hb : ¬b = 0 ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 (⊤ * b)) simp [ht b hb, top_mul hb] case coe.top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) a : ℝ≥0 ha : ↑a ≠ 0 ∨ ⊤ ≠ ⊤ hb : ⊤ ≠ 0 ∨ ↑a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 (↑a * ⊤)) simp only [ne_eq, or_false] at ha Qed
ENNReal.Tendsto.const_mul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 b) hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ this : a = 0 ⊢ Tendsto (fun b => a * m b) f (𝓝 (a * b)) simp [this, tendsto_const_nhds] Qed
ENNReal.Tendsto.mul_const ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun x => m x * b) f (𝓝 (a * b)) simpa only [mul_comm] using ENNReal.Tendsto.const_mul hm ha Qed
ENNReal.tendsto_finset_prod_of_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a : ι → ℝ≥0∞ s : Finset ι h : ∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ s → a i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a c)) induction' s using Finset.induction with a s has IH case insert α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => ∏ c in insert a s, f c b) x (𝓝 (∏ c in insert a s, a✝ c)) simp only [Finset.prod_insert has] ** case insert α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => f a b * ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (a✝ a * ∏ c in s, a✝ c)) apply Tendsto.mul (h _ (Finset.mem_insert_self _ _)) case empty α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a : ι → ℝ≥0∞ s : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s → a i ≠ ⊤ h : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → a i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => ∏ c in ∅, f c b) x (𝓝 (∏ c in ∅, a c)) simp [tendsto_const_nhds] case insert.ha α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ a✝ a ≠ 0 ∨ ∏ c in s, a✝ c ≠ ⊤ right case insert.ha.h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ ∏ c in s, a✝ c ≠ ⊤ exact (prod_lt_top fun i hi => h' _ (Finset.mem_insert_of_mem hi)).ne case insert.hmb α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun a => ∏ c in s, f c a) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) exact IH (fun i hi => h _ (Finset.mem_insert_of_mem hi)) fun i hi => h' _ (Finset.mem_insert_of_mem hi) case insert.hb α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ ∏ c in s, a✝ c ≠ 0 ∨ a✝ a ≠ ⊤ exact Or.inr (h' _ (Finset.mem_insert_self _ _)) Qed
ENNReal.continuous_div_const α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_zero : c ≠ 0 ⊢ Continuous fun x => x / c simp_rw [div_eq_mul_inv, continuous_iff_continuousAt] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_zero : c ≠ 0 ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun x => x * c⁻¹) x intro x α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_zero : c ≠ 0 x : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousAt (fun x => x * c⁻¹) x exact ENNReal.continuousAt_mul_const (Or.intro_left _ (inv_ne_top.mpr c_ne_zero)) Qed
ENNReal.continuous_pow α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ ⊢ Continuous fun a => a ^ n induction' n with n IH case succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n ⊢ Continuous fun a => a ^ Nat.succ n simp_rw [Nat.succ_eq_add_one, pow_add, pow_one, continuous_iff_continuousAt] ** case succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun a => a ^ n * a) x intro x case succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ n * a) x refine' ENNReal.Tendsto.mul (IH.tendsto _) _ tendsto_id _ <;> by_cases H : x = 0 case zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ Continuous fun a => a ^ Nat.zero simp [continuous_const] case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : x = 0 ⊢ x ^ n ≠ 0 ∨ x ≠ ⊤ simp only [H, zero_ne_top, Ne.def, or_true_iff, not_false_iff] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : ¬x = 0 ⊢ x ^ n ≠ 0 ∨ x ≠ ⊤ exact Or.inl fun h => H (pow_eq_zero h) case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : x = 0 ⊢ x ≠ 0 ∨ x ^ n ≠ ⊤ simp only [H, pow_eq_top_iff, zero_ne_top, false_or_iff, eq_self_iff_true, not_true, Ne.def, not_false_iff, false_and_iff] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : ¬x = 0 ⊢ x ≠ 0 ∨ x ^ n ≠ ⊤ simp only [H, true_or_iff, Ne.def, not_false_iff] Qed
ENNReal.continuousOn_sub α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousOn (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} rw [ContinuousOn] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞), x ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} → ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} x rintro ⟨x, y⟩ hp case mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ hp : (x, y) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} ⊢ ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y) simp only [Ne.def, Set.mem_setOf_eq, Prod.mk.inj_iff] at hp case mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ hp : ¬(x = ⊤ ∧ y = ⊤) ⊢ ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y) refine' tendsto_nhdsWithin_of_tendsto_nhds (tendsto_sub (not_and_or.mp hp)) ** Qed
ENNReal.continuous_sub_left α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_ne_top : a ≠ ⊤ ⊢ Continuous (uncurry Sub.sub ∘ fun x => (a, x)) refine continuousOn_sub.comp_continuous (Continuous.Prod.mk a) fun x => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_ne_top : a ≠ ⊤ x : ℝ≥0∞ ⊢ (a, x) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} simp only [a_ne_top, Ne.def, mem_setOf_eq, Prod.mk.inj_iff, false_and_iff, not_false_iff] ** Qed
ENNReal.continuousOn_sub_left α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousOn (fun x => a - x) {x \| x ≠ ⊤} rw [show (fun x => a - x) = (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.fst - p.snd) ∘ fun x => ⟨a, x⟩ by rfl] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousOn ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (a, x)) {x \| x ≠ ⊤} apply ContinuousOn.comp continuousOn_sub (Continuous.continuousOn (Continuous.Prod.mk a)) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ MapsTo (fun b => (a, b)) {x \| x ≠ ⊤} {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} rintro _ h (_ \| _) case refl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ h : ⊤ ∈ {x \| x ≠ ⊤} ⊢ False exact h none_eq_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ (fun x => a - x) = (fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (a, x) rfl ** Qed
ENNReal.continuous_sub_right α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ Continuous fun x => x - a by_cases a_infty : a = ∞ case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : a = ⊤ ⊢ Continuous fun x => x - a simp [a_infty, continuous_const] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ Continuous fun x => x - a rw [show (fun x => x - a) = (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.fst - p.snd) ∘ fun x => ⟨x, a⟩ by rfl] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ Continuous ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (x, a)) apply ContinuousOn.comp_continuous continuousOn_sub (continuous_id'.prod_mk continuous_const) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), (x, a) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} intro x case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ x : ℝ≥0∞ ⊢ (x, a) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} simp only [a_infty, Ne.def, mem_setOf_eq, Prod.mk.inj_iff, and_false_iff, not_false_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ (fun x => x - a) = (fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (x, a) rfl ** Qed
ENNReal.le_of_forall_lt_one_mul_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ h : ∀ (a : ℝ≥0∞), a < 1 → a * x ≤ y this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[Iio 1] 1) (𝓝 (1 * x)) ⊢ x ≤ y rw [one_mul] at this α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ h : ∀ (a : ℝ≥0∞), a < 1 → a * x ≤ y this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[Iio 1] 1) (𝓝 x) ⊢ x ≤ y exact le_of_tendsto this (eventually_nhdsWithin_iff.2 <\| eventually_of_forall h) Qed
ENNReal.iInf_mul_left' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i by_cases H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rcases h H.1 H.2 with ⟨i, hi⟩ case pos.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 i : ι hi : f i = 0 ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rw [H.2, mul_zero, ← bot_eq_zero, iInf_eq_bot] case pos.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 i : ι hi : f i = 0 ⊢ ∀ (b : ℝ≥0∞), b > ⊥ → ∃ i, a * f i < b exact fun b hb => ⟨i, by rwa [hi, mul_zero, ← bot_eq_zero]⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 i : ι hi : f i = 0 b : ℝ≥0∞ hb : b > ⊥ ⊢ a * f i < b rwa [hi, mul_zero, ← bot_eq_zero] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬(a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0) ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rw [not_and_or] at H case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i cases isEmpty_or_nonempty ι case neg.inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 h✝ : IsEmpty ι ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rw [iInf_of_empty, iInf_of_empty, mul_top] case neg.inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 h✝ : IsEmpty ι ⊢ a ≠ 0 exact mt h0 (not_nonempty_iff.2 ‹_›) case neg.inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 h✝ : Nonempty ι ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i exact (ENNReal.mul_left_mono.map_iInf_of_continuousAt' (ENNReal.continuousAt_const_mul H)).symm Qed
ENNReal.iInf_mul_right' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι ⊢ ⨅ i, f i * a = (⨅ i, f i) * a simpa only [mul_comm a] using iInf_mul_left' h h0 Qed
ENNReal.tendsto_inv_iff α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun x => (m x)⁻¹) f (𝓝 a⁻¹) ⊢ Tendsto m f (𝓝 a) simpa only [inv_inv] using Tendsto.inv h ** Qed
ENNReal.Tendsto.div α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α ma mb : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hma : Tendsto ma f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 hmb : Tendsto mb f (𝓝 b) hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun a => ma a / mb a) f (𝓝 (a / b)) apply Tendsto.mul hma _ (ENNReal.tendsto_inv_iff.2 hmb) _ <;> simp [ha, hb] ** Qed
ENNReal.Tendsto.const_div α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 b) hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => a / m b) f (𝓝 (a / b)) apply Tendsto.const_mul (ENNReal.tendsto_inv_iff.2 hm) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 b) hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤ ⊢ b⁻¹ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ simp [hb] ** Qed
ENNReal.Tendsto.div_const α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⊢ Tendsto (fun x => m x / b) f (𝓝 (a / b)) apply Tendsto.mul_const hm α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⊢ a ≠ 0 ∨ b⁻¹ ≠ ⊤ simp [ha] ** Qed
ENNReal.biSup_add' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 p : ι → Prop h : ∃ i, p i f : ι → ℝ≥0∞ ⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + a = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i + a haveI : Nonempty { i // p i } := nonempty_subtype.2 h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 p : ι → Prop h : ∃ i, p i f : ι → ℝ≥0∞ this : Nonempty { i // p i } ⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + a = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i + a simp only [iSup_subtype', iSup_add] ** Qed
ENNReal.add_biSup' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 p : ι → Prop h : ∃ i, p i f : ι → ℝ≥0∞ ⊢ a + ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), a + f i simp only [add_comm a, biSup_add' h] ** Qed
ENNReal.sSup_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ hs : Set.Nonempty s ⊢ sSup s + a = ⨆ b ∈ s, b + a rw [sSup_eq_iSup, biSup_add hs] ** Qed
ENNReal.add_iSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 s : ι → ℝ≥0∞ inst✝ : Nonempty ι ⊢ a + iSup s = ⨆ b, a + s b rw [add_comm, iSup_add] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 s : ι → ℝ≥0∞ inst✝ : Nonempty ι ⊢ ⨆ b, s b + a = ⨆ b, a + s b simp [add_comm] ** Qed
ENNReal.iSup_add_iSup_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 inst✝¹ : Nonempty ι inst✝ : Nonempty ι' f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a ⊢ iSup f + iSup g ≤ a simp_rw [iSup_add, add_iSup] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 inst✝¹ : Nonempty ι inst✝ : Nonempty ι' f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a ⊢ ⨆ b, ⨆ b_1, f b + g b_1 ≤ a exact iSup₂_le h ** Qed
ENNReal.biSup_add_biSup_le' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q✝ : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 p : ι → Prop q : ι' → Prop hp : ∃ i, p i hq : ∃ j, q j f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a ⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + ⨆ j, ⨆ (_ : q j), g j ≤ a simp_rw [biSup_add' hp, add_biSup' hq] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q✝ : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 p : ι → Prop q : ι' → Prop hp : ∃ i, p i hq : ∃ j, q j f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a ⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨆ i_1, ⨆ (_ : q i_1), f i + g i_1 ≤ a exact iSup₂_le fun i hi => iSup₂_le (h i hi) ** Qed
ENNReal.iSup_add_iSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k ⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a cases isEmpty_or_nonempty ι case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : IsEmpty ι ⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a simp only [iSup_of_empty, bot_eq_zero, zero_add] case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι ⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a refine' le_antisymm _ (iSup_le fun a => add_le_add (le_iSup _ _) (le_iSup _ _)) case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι ⊢ iSup f + iSup g ≤ ⨆ a, f a + g a refine' iSup_add_iSup_le fun i j => _ case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι i j : ι ⊢ f i + g j ≤ ⨆ a, f a + g a rcases h i j with ⟨k, hk⟩ case inr.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι i j k : ι hk : f i + g j ≤ f k + g k ⊢ f i + g j ≤ ⨆ a, f a + g a exact le_iSup_of_le k hk ** Qed
ENNReal.finset_sum_iSup_nat α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) ⊢ ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n refine' Finset.induction_on s _ _ case refine'_1 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) ⊢ ∑ a in ∅, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in ∅, f a n simp case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) ⊢ ∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α}, ¬a ∈ s → ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n → ∑ a in insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in insert a s, f a n intro a s has ih case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n ⊢ ∑ a in insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in insert a s, f a n simp only [Finset.sum_insert has] case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n ⊢ iSup (f a) + ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, f a n + ∑ a in s, f a n rw [ih, iSup_add_iSup_of_monotone (hf a)] case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n ⊢ Monotone fun n => ∑ a in s, f a n intro i j h case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n i j : ι h : i ≤ j ⊢ (fun n => ∑ a in s, f a n) i ≤ (fun n => ∑ a in s, f a n) j exact Finset.sum_le_sum fun a _ => hf a h ** Qed
ENNReal.mul_iSup ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ a * iSup f = ⨆ i, a * f i by_cases hf : ∀ i, f i = 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ a * iSup f = ⨆ i, a * f i obtain rfl : f = fun _ => 0 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ f = fun x => 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), (fun x => 0) i = 0 ⊢ a * ⨆ x, 0 = ⨆ i, a * (fun x => 0) i exact funext hf case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), (fun x => 0) i = 0 ⊢ a * ⨆ x, 0 = ⨆ i, a * (fun x => 0) i simp only [iSup_zero_eq_zero, mul_zero] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ a * iSup f = ⨆ i, a * f i refine' (monotone_id.const_mul' _).map_iSup_of_continuousAt _ (mul_zero a) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ ContinuousAt (fun x => a * id x) (⨆ i, f i) refine' ENNReal.Tendsto.const_mul tendsto_id (Or.inl _) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ id (⨆ i, f i) ≠ 0 exact mt iSup_eq_zero.1 hf Qed
ENNReal.mul_sSup ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ a * sSup s = ⨆ i ∈ s, a * i simp only [sSup_eq_iSup, mul_iSup] Qed
ENNReal.iSup_mul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ iSup f * a = ⨆ i, f i * a rw [mul_comm, mul_iSup] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ ⨆ i, a * f i = ⨆ i, f i * a congr case e_s α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ (fun i => a * f i) = fun i => f i * a funext case e_s.h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ x✝ : ι ⊢ a * f x✝ = f x✝ * a rw [mul_comm] Qed
ENNReal.smul_iSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 R : Type u_5 inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞ inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞ f : ι → ℝ≥0∞ c : R ⊢ c • ⨆ i, f i = ⨆ i, c • f i simp only [← smul_one_mul c (f _), ← smul_one_mul c (iSup f), ENNReal.mul_iSup] ** Qed
ENNReal.smul_sSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ R : Type u_4 inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞ inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : R ⊢ c • sSup s = ⨆ i ∈ s, c • i simp_rw [← smul_one_mul c (sSup s), ENNReal.mul_sSup, smul_one_mul] ** Qed
ENNReal.exists_countable_dense_no_zero_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ ∃ s, Set.Countable s ∧ Dense s ∧ ¬0 ∈ s ∧ ¬⊤ ∈ s obtain ⟨s, s_count, s_dense, hs⟩ : ∃ s : Set ℝ≥0∞, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ x, IsBot x → x ∉ s) ∧ ∀ x, IsTop x → x ∉ s := exists_countable_dense_no_bot_top ℝ≥0∞ case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → ¬x ∈ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → ¬x ∈ s ⊢ ∃ s, Set.Countable s ∧ Dense s ∧ ¬0 ∈ s ∧ ¬⊤ ∈ s exact ⟨s, s_count, s_dense, fun h => hs.1 0 (by simp) h, fun h => hs.2 ∞ (by simp) h⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → ¬x ∈ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → ¬x ∈ s h : 0 ∈ s ⊢ IsBot 0 simp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → ¬x ∈ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → ¬x ∈ s h : ⊤ ∈ s ⊢ IsTop ⊤ simp ** Qed
ENNReal.exists_lt_add_of_lt_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' have : NeZero y := ⟨hy⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this : NeZero y ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' have : NeZero z := ⟨hz⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' have A : Tendsto (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z)) := by apply Tendsto.mono_left _ (Filter.prod_mono nhdsWithin_le_nhds nhdsWithin_le_nhds) rw [← nhds_prod_eq] exact tendsto_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z)) ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' rcases ((A.eventually (lt_mem_nhds h)).and (Filter.prod_mem_prod self_mem_nhdsWithin self_mem_nhdsWithin)).exists with ⟨⟨y', z'⟩, hx, hy', hz'⟩ case intro.mk.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z)) y' z' : ℝ≥0∞ hx : x < (y', z').1 + (y', z').2 hy' : (y', z').1 ∈ Iio y hz' : (y', z').2 ∈ Iio z ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' exact ⟨y', z', hy', hz', hx⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z)) apply Tendsto.mono_left _ (Filter.prod_mono nhdsWithin_le_nhds nhdsWithin_le_nhds) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝 y ×ˢ 𝓝 z) (𝓝 (y + z)) rw [← nhds_prod_eq] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝 (y, z)) (𝓝 (y + z)) exact tendsto_add ** Qed
ENNReal.exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ ⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R by_contra h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R ⊢ False simp_rw [not_exists, not_frequently, not_lt] at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 ⊢ False refine hx (ENNReal.eq_top_of_forall_nnreal_le fun r => le_limsInf_of_le (by isBoundedDefault) ?_) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n simp only [eventually_map, ENNReal.coe_le_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, r ≤ ↑Real.nnabs (x a) filter_upwards [h r] with i hi using hi.trans (le_abs_self (x i)) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 r : ℝ≥0 ⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l) isBoundedDefault ** Qed
ENNReal.exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ ⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n by_contra h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n ⊢ False simp_rw [not_exists, not_frequently, not_lt] at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 ⊢ False refine hx (ENNReal.eq_top_of_forall_nnreal_le fun r => le_limsInf_of_le (by isBoundedDefault) ?_) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n simp only [eventually_map, ENNReal.coe_le_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, r ≤ ↑Real.nnabs (x a) filter_upwards [h (-r)] with i hi using(le_neg.1 hi).trans (neg_le_abs_self _) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 r : ℝ≥0 ⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l) isBoundedDefault ** Qed
ENNReal.exists_upcrossings_of_not_bounded_under α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => \|x i\| ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i rw [isBoundedUnder_le_abs, not_and_or] at hbdd α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : (¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i) ∨ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain hbdd \| hbdd := hbdd case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨R, hR⟩ := exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top hf case inl.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨q, hq⟩ := exists_rat_gt R case inl.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i refine' ⟨q, q + 1, (lt_add_iff_pos_right _).2 zero_lt_one, _, _⟩ case inl.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑q refine' fun hcon => hR _ case inl.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => x i < ↑q) x_1 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun n => x n < R) x_1 filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.2 (lt_of_lt_of_le hq (not_lt.1 hx)).le case inl.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑(q + 1) < x i simp only [IsBoundedUnder, IsBounded, eventually_map, eventually_atTop, ge_iff_le, not_exists, not_forall, not_le, exists_prop] at hbdd case inl.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x a ≤ x_1 ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑(q + 1) < x i refine' fun hcon => hbdd ↑(q + 1) _ case inl.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x a ≤ x_1 hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => ↑(q + 1) < x i) x_1 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, x a ≤ ↑(q + 1) filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.1 hx case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨R, hR⟩ := exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top' hf case inr.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨q, hq⟩ := exists_rat_lt R case inr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i refine' ⟨q - 1, q, (sub_lt_self_iff _).2 zero_lt_one, _, _⟩ case inr.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑(q - 1) simp only [IsBoundedUnder, IsBounded, eventually_map, eventually_atTop, ge_iff_le, not_exists, not_forall, not_le, exists_prop] at hbdd case inr.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x_1 ≤ x a ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑(q - 1) refine' fun hcon => hbdd ↑(q - 1) _ case inr.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x_1 ≤ x a hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => x i < ↑(q - 1)) x_1 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, ↑(q - 1) ≤ x a filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.1 hx case inr.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑q < x i refine' fun hcon => hR _ case inr.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => ↑q < x i) x_1 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun n => R < x n) x_1 filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.2 ((not_lt.1 hx).trans hq.le) ** Qed
ENNReal.hasSum_coe α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r simp only [HasSum, ← coe_finset_sum, tendsto_coe] ** Qed
ENNReal.coe_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 r : ℝ≥0 hr : HasSum f r ⊢ ↑(tsum f) = ∑' (a : α), ↑(f a) rw [hr.tsum_eq, ENNReal.tsum_coe_eq hr] ** Qed
ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 ⊢ ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤ ↔ Summable f refine ⟨fun h => ?_, fun h => ENNReal.coe_tsum h ▸ ENNReal.coe_ne_top⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 h : ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤ ⊢ Summable f lift ∑' b, (f b : ℝ≥0∞) to ℝ≥0 using h with a ha case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 a : ℝ≥0 ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b) ⊢ Summable f refine' ⟨a, ENNReal.hasSum_coe.1 _⟩ case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 a : ℝ≥0 ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b) ⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑a rw [ha] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 a : ℝ≥0 ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b) ⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) (∑' (b : β), ↑(f b)) exact ENNReal.summable.hasSum ** Qed
ENNReal.tsum_eq_iSup_sum' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ∑' (a : α), f a = ⨆ i, ∑ a in s i, f a rw [ENNReal.tsum_eq_iSup_sum] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ⨆ s, ∑ a in s, f a = ⨆ i, ∑ a in s i, f a symm α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ⨆ i, ∑ a in s i, f a = ⨆ s, ∑ a in s, f a change ⨆ i : ι, (fun t : Finset α => ∑ a in t, f a) (s i) = ⨆ s : Finset α, ∑ a in s, f a α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ⨆ i, (fun t => ∑ a in t, f a) (s i) = ⨆ s, ∑ a in s, f a exact (Finset.sum_mono_set f).iSup_comp_eq hs ** Qed
ENNReal.lt_top_of_tsum_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g a : α → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : α), a i ≠ ⊤ j : α ⊢ a j < ⊤ contrapose! tsum_ne_top with h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g a : α → ℝ≥0∞ j : α h : ⊤ ≤ a j ⊢ ∑' (i : α), a i = ⊤ exact ENNReal.tsum_eq_top_of_eq_top ⟨j, top_unique h⟩ ** Qed
ENNReal.tsum_const_eq_top_of_ne_zero α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ ∑' (x : α), c = ⊤ have A : Tendsto (fun n : ℕ => (n : ℝ≥0∞) * c) atTop (𝓝 (∞ * c)) := by apply ENNReal.Tendsto.mul_const tendsto_nat_nhds_top simp only [true_or_iff, top_ne_zero, Ne.def, not_false_iff] ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) ⊢ ∑' (x : α), c = ⊤ ** have B : ∀ n : ℕ, (n : ℝ≥0∞) * c ≤ ∑' _ : α, c := fun n => by rcases Infinite.exists_subset_card_eq α n with ⟨s, hs⟩ simpa [hs] using @ENNReal.sum_le_tsum α (fun _ => c) s ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) B : ∀ (n : ℕ), ↑n * c ≤ ∑' (x : α), c ⊢ ∑' (x : α), c = ⊤ simpa [hc] using le_of_tendsto' A B α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) apply ENNReal.Tendsto.mul_const tendsto_nat_nhds_top α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ ⊤ ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤ simp only [true_or_iff, top_ne_zero, Ne.def, not_false_iff] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) n : ℕ ⊢ ↑n * c ≤ ∑' (x : α), c rcases Infinite.exists_subset_card_eq α n with ⟨s, hs⟩ case intro α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) n : ℕ s : Finset α hs : Finset.card s = n ⊢ ↑n * c ≤ ∑' (x : α), c simpa [hs] using @ENNReal.sum_le_tsum α (fun _ => c) s Qed
ENNReal.tsum_mul_left ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i by_cases hf : ∀ i, f i = 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : α), f i = 0 ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i simp [hf] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : α), f i = 0 ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i rw [← ENNReal.tsum_eq_zero] at hf case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i ** have : Tendsto (fun s : Finset α => ∑ j in s, a * f j) atTop (𝓝 (a * ∑' i, f i)) := by simp only [← Finset.mul_sum] exact ENNReal.Tendsto.const_mul ENNReal.summable.hasSum (Or.inl hf) ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 this : Tendsto (fun s => ∑ j in s, a * f j) atTop (𝓝 (a * ∑' (i : α), f i)) ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i exact HasSum.tsum_eq this α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 ⊢ Tendsto (fun s => ∑ j in s, a * f j) atTop (𝓝 (a * ∑' (i : α), f i)) simp only [← Finset.mul_sum] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 ⊢ Tendsto (fun s => a * ∑ x in s, f x) atTop (𝓝 (a * ∑' (x : α), f x)) exact ENNReal.Tendsto.const_mul ENNReal.summable.hasSum (Or.inl hf) Qed
ENNReal.tsum_mul_right ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ⊢ ∑' (i : α), f i * a = (∑' (i : α), f i) * a simp [mul_comm, ENNReal.tsum_mul_left] Qed
ENNReal.tsum_const_smul α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ R : Type u_4 inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞ inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞ a : R ⊢ ∑' (i : α), a • f i = a • ∑' (i : α), f i simpa only [smul_one_mul] using @ENNReal.tsum_mul_left _ (a • (1 : ℝ≥0∞)) _ ** Qed
ENNReal.tsum_iSup_eq α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 a : α f : α → ℝ≥0∞ x✝ : α h : x✝ ≠ a ⊢ ⨆ (_ : a = x✝), f x✝ = 0 simp [h.symm] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 a : α f : α → ℝ≥0∞ ⊢ ⨆ (_ : a = a), f a = f a simp ** Qed
ENNReal.hasSum_iff_tendsto_nat α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ ⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) refine' ⟨HasSum.tendsto_sum_nat, fun h => _⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) ⊢ HasSum f r rw [← iSup_eq_of_tendsto _ h, ← ENNReal.tsum_eq_iSup_nat] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) ⊢ HasSum f (∑' (i : ℕ), f i) exact ENNReal.summable.hasSum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) ⊢ Monotone fun n => ∑ i in Finset.range n, f i exact fun s t hst => Finset.sum_le_sum_of_subset (Finset.range_subset.2 hst) ** Qed
ENNReal.tendsto_nat_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n)) rw [← hasSum_iff_tendsto_nat] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ ⊢ HasSum (fun i => f i) (∑' (n : ℕ), f n) exact ENNReal.summable.hasSum ** Qed
ENNReal.summable_toNNReal_of_tsum_ne_top α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤ ⊢ Summable (ENNReal.toNNReal ∘ f) simpa only [← tsum_coe_ne_top_iff_summable, toNNReal_apply_of_tsum_ne_top hf] using hf ** Qed
ENNReal.tendsto_cofinite_zero_of_tsum_ne_top α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) have f_ne_top : ∀ n, f n ≠ ∞ := ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hf α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) have h_f_coe : f = fun n => ((f n).toNNReal : ENNReal) := funext fun n => (coe_toNNReal (f_ne_top n)).symm α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤ h_f_coe : f = fun n => ↑(ENNReal.toNNReal (f n)) ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) rw [h_f_coe, ← @coe_zero, tendsto_coe] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤ h_f_coe : f = fun n => ↑(ENNReal.toNNReal (f n)) ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toNNReal (f n)) cofinite (𝓝 0) exact NNReal.tendsto_cofinite_zero_of_summable (summable_toNNReal_of_tsum_ne_top hf) ** Qed
ENNReal.tendsto_atTop_zero_of_tsum_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0) rw [← Nat.cofinite_eq_atTop] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) exact tendsto_cofinite_zero_of_tsum_ne_top hf ** Qed
ENNReal.tendsto_tsum_compl_atTop_zero α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0) lift f to α → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hf case intro α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0 hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), (fun i => ↑(f i)) ↑b) atTop (𝓝 0) convert ENNReal.tendsto_coe.2 (NNReal.tendsto_tsum_compl_atTop_zero f) case h.e'_3.h α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0 hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ x✝ : Finset α ⊢ ∑' (b : { x // ¬x ∈ x✝ }), (fun i => ↑(f i)) ↑b = ↑(∑' (b : { x // ¬x ∈ x✝ }), f ↑b) rw [ENNReal.coe_tsum] case h.e'_3.h α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0 hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ x✝ : Finset α ⊢ Summable fun b => f ↑b exact NNReal.summable_comp_injective (tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 hf) Subtype.coe_injective ** Qed
ENNReal.tsum_sub α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞ f g : ℕ → ℝ≥0∞ h₁ : ∑' (i : ℕ), g i ≠ ⊤ h₂ : g ≤ f this : ∀ (i : ℕ), f i - g i + g i = f i ⊢ ∑' (i : ℕ), (f i - g i) + ∑' (i : ℕ), g i = ∑' (i : ℕ), f i simp only [← ENNReal.tsum_add, this] ** Qed
ENNReal.tsum_le_tsum_comp_of_surjective α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞ f : α → β hf : Surjective f g : β → ℝ≥0∞ ⊢ ∑' (y : β), g y = ∑' (y : β), g (f (surjInv hf y)) simp only [surjInv_eq hf] ** Qed
ENNReal.tsum_biUnion_le_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ s : Set ι t : ι → Set α ⊢ ⋃ i ∈ s, t i = ⋃ i, t ↑i simp ** Qed
ENNReal.tsum_iUnion_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 inst✝ : Fintype ι f : α → ℝ≥0∞ t : ι → Set α ⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑ i : ι, ∑' (x : ↑(t i)), f ↑x rw [← tsum_fintype] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 inst✝ : Fintype ι f : α → ℝ≥0∞ t : ι → Set α ⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑' (b : ι) (x : ↑(t b)), f ↑x exact tsum_iUnion_le_tsum f t ** Qed
ENNReal.tsum_add_one_eq_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (n : ℕ), f n = ⊤ hf0 : f 0 ≠ ⊤ ⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤ rw [tsum_eq_zero_add' ENNReal.summable, add_eq_top] at hf α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : f 0 = ⊤ ∨ ∑' (b : ℕ), f (b + 1) = ⊤ hf0 : f 0 ≠ ⊤ ⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤ exact hf.resolve_left hf0 ** Qed
ENNReal.finite_const_le_of_tsum_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 ⊢ Set.Finite {i \| ε ≤ a i} by_contra h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 h : ¬Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ False have := Infinite.to_subtype h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 h : ¬Set.Finite {i \| ε ≤ a i} this : Infinite ↑{i \| ε ≤ a i} ⊢ False refine tsum_ne_top (top_unique ?_) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 h : ¬Set.Finite {i \| ε ≤ a i} this : Infinite ↑{i \| ε ≤ a i} ⊢ ⊤ ≤ ∑' (i : ι), a i calc ⊤ = ∑' _ : { i \| ε ≤ a i }, ε := (tsum_const_eq_top_of_ne_zero ε_ne_zero).symm _ ≤ ∑' i, a i := tsum_le_tsum_of_inj (↑) Subtype.val_injective (fun _ _ => zero_le _) (fun i => i.2) ENNReal.summable ENNReal.summable ** Qed
ENNReal.finset_card_const_le_le_of_tsum_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 ⊢ ∃ hf, ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) ≤ c / ε have hf : { i : ι \| ε ≤ a i }.Finite := finite_const_le_of_tsum_ne_top (ne_top_of_le_ne_top c_ne_top tsum_le_c) ε_ne_zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 hf : Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ ∃ hf, ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) ≤ c / ε refine ⟨hf, (ENNReal.le_div_iff_mul_le (.inl ε_ne_zero) (.inr c_ne_top)).2 ?_⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 hf : Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) * ε ≤ c ** calc ↑hf.toFinset.card * ε = ∑ _i in hf.toFinset, ε := by rw [Finset.sum_const, nsmul_eq_mul] _ ≤ ∑ i in hf.toFinset, a i := Finset.sum_le_sum fun i => hf.mem_toFinset.1 _ ≤ ∑' i, a i := ENNReal.sum_le_tsum _ _ ≤ c := tsum_le_c ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 hf : Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) * ε = ∑ _i in Finite.toFinset hf, ε rw [Finset.sum_const, nsmul_eq_mul] Qed
ENNReal.tendsto_toReal_iff α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 fi : Filter ι f : ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤ x : ℝ≥0∞ hx : x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (f n)) fi (𝓝 (ENNReal.toReal x)) ↔ Tendsto f fi (𝓝 x) lift f to ι → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 fi : Filter ι x : ℝ≥0∞ hx : x ≠ ⊤ f : ι → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) n)) fi (𝓝 (ENNReal.toReal x)) ↔ Tendsto (fun i => ↑(f i)) fi (𝓝 x) lift x to ℝ≥0 using hx case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 fi : Filter ι f : ι → ℝ≥0 x : ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) n)) fi (𝓝 (ENNReal.toReal ↑x)) ↔ Tendsto (fun i => ↑(f i)) fi (𝓝 ↑x) simp [tendsto_coe] ** Qed
ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable_coe α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 ⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable fun a => ↑(f a) rw [NNReal.summable_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 ⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable fun a => f a exact tsum_coe_ne_top_iff_summable ** Qed
ENNReal.hasSum_toReal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0∞ hsum : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ ⊢ HasSum (fun x => ENNReal.toReal (f x)) (∑' (x : α), ENNReal.toReal (f x)) lift f to α → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hsum case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ ⊢ HasSum (fun x => ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) x)) (∑' (x : α), ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) x)) simp only [coe_toReal, ← NNReal.coe_tsum, NNReal.hasSum_coe] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ ⊢ HasSum (fun a => f a) (∑' (a : α), f a) exact (tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 hsum).hasSum ** Qed
NNReal.tsum_eq_toNNReal_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) by_cases h : Summable f case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 h : Summable f ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) rw [← ENNReal.coe_tsum h, ENNReal.toNNReal_coe] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) have A := tsum_eq_zero_of_not_summable h case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 h : ¬Summable f A : ∑' (b : β), f b = 0 ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) simp only [← ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable, Classical.not_not] at h case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 A : ∑' (b : β), f b = 0 h : ∑' (b : β), ↑(f b) = ⊤ ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) simp only [h, ENNReal.top_toNNReal, A] ** Qed
NNReal.exists_le_hasSum_of_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : β → ℝ≥0 r : ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b hfr : HasSum f r ⊢ ∑' (b : β), ↑(g b) ≤ ↑r refine hasSum_le (fun b => ?_) ENNReal.summable.hasSum (ENNReal.hasSum_coe.2 hfr) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : β → ℝ≥0 r : ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b hfr : HasSum f r b : β ⊢ ↑(g b) ≤ ↑(f b) exact ENNReal.coe_le_coe.2 (hgf _) ** Qed
Summable.countable_support_nnreal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 h : Summable f ⊢ Set.Countable (support f) rw [← NNReal.summable_coe] at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 h : Summable fun a => ↑(f a) ⊢ Set.Countable (support f) simpa [support] using h.countable_support ** Qed
NNReal.hasSum_iff_tendsto_nat α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) rw [← ENNReal.hasSum_coe, ENNReal.hasSum_iff_tendsto_nat] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) simp only [← ENNReal.coe_finset_sum] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ↑(∑ a in Finset.range n, f a)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ a in Finset.range n, f a) atTop (𝓝 r) exact ENNReal.tendsto_coe ** Qed
NNReal.not_summable_iff_tendsto_nat_atTop α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ ¬Summable f ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop constructor case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ ¬Summable f → Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop intro h case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop refine' ((tendsto_of_monotone _).resolve_right h).comp _ case mp.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ Monotone fun s => ∑ b in s, f b case mp.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ Tendsto (fun n => Finset.range n) atTop atTop exacts [Finset.sum_mono_set _, tendsto_finset_range] case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop → ¬Summable f rintro hnat ⟨r, hr⟩ case mpr.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hnat : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop r : ℝ≥0 hr : HasSum f r ⊢ False exact not_tendsto_nhds_of_tendsto_atTop hnat _ (hasSum_iff_tendsto_nat.1 hr) ** Qed
NNReal.summable_iff_not_tendsto_nat_atTop α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop rw [← not_iff_not, Classical.not_not, not_summable_iff_tendsto_nat_atTop] ** Qed
NNReal.summable_of_sum_range_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 c : ℝ≥0 h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c ⊢ Summable f refine summable_iff_not_tendsto_nat_atTop.2 fun H => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 c : ℝ≥0 h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop ⊢ False rcases exists_lt_of_tendsto_atTop H 0 c with ⟨n, -, hn⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 c : ℝ≥0 h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop n : ℕ hn : c < ∑ i in Finset.range n, f i ⊢ False exact lt_irrefl _ (hn.trans_le (h n)) ** Qed
NNReal.summable_sigma α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ Summable f ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } constructor case mp α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ Summable f → (∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } simp only [← NNReal.summable_coe, NNReal.coe_tsum] case mp α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ (Summable fun a => ↑(f a)) → (∀ (x : α), Summable fun a => ↑(f { fst := x, snd := a })) ∧ Summable fun a => ∑' (a_1 : β a), ↑(f { fst := a, snd := a_1 }) exact fun h => ⟨h.sigma_factor, h.sigma⟩ case mpr α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ ((∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y }) → Summable f rintro ⟨h₁, h₂⟩ case mpr.intro α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 h₁ : ∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y } h₂ : Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } ⊢ Summable f simpa only [← ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable, ENNReal.tsum_sigma', ENNReal.coe_tsum (h₁ _)] using h₂ ** Qed
NNReal.indicator_summable α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α ⊢ Summable (indicator s f) refine' NNReal.summable_of_le (fun a => le_trans (le_of_eq (s.indicator_apply f a)) _) hf α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α ⊢ (if a ∈ s then f a else 0) ≤ f a split_ifs case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α h✝ : a ∈ s ⊢ f a ≤ f a case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α h✝ : ¬a ∈ s ⊢ 0 ≤ f a exact le_refl (f a) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α h✝ : ¬a ∈ s ⊢ 0 ≤ f a exact zero_le_coe ** Qed
NNReal.tendsto_sum_nat_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0) rw [← tendsto_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun a => ↑(∑' (k : ℕ), f (k + a))) atTop (𝓝 ↑0) convert _root_.tendsto_sum_nat_add fun i => (f i : ℝ) case h.e'_3.h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 x✝ : ℕ ⊢ ↑(∑' (k : ℕ), f (k + x✝)) = ∑' (k : ℕ), ↑(f (k + x✝)) norm_cast ** Qed
NNReal.hasSum_lt α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0 sf sg : ℝ≥0 i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg ⊢ sf < sg have A : ∀ a : α, (f a : ℝ) ≤ g a := fun a => NNReal.coe_le_coe.2 (h a) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0 sf sg : ℝ≥0 i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a) ⊢ sf < sg have : (sf : ℝ) < sg := hasSum_lt A (NNReal.coe_lt_coe.2 hi) (hasSum_coe.2 hf) (hasSum_coe.2 hg) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0 sf sg : ℝ≥0 i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a) this : ↑sf < ↑sg ⊢ sf < sg exact NNReal.coe_lt_coe.1 this ** Qed
NNReal.tsum_pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0 hg : Summable g i : α hi : 0 < g i ⊢ 0 < ∑' (b : α), g b rw [← tsum_zero] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0 hg : Summable g i : α hi : 0 < g i ⊢ ∑' (x : ?m.346396), 0 < ∑' (b : α), g b α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0 hg : Summable g i : α hi : 0 < g i ⊢ Type ?u.346394 exact tsum_lt_tsum (fun a => zero_le _) hi hg ** Qed
NNReal.tsum_eq_add_tsum_ite α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f i : α ⊢ ∑' (x : α), f x = f i + ∑' (x : α), if x = i then 0 else f x refine' tsum_eq_add_tsum_ite' i (NNReal.summable_of_le (fun i' => _) hf) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f i i' : α ⊢ update (fun x => f x) i 0 i' ≤ f i' rw [Function.update_apply] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f i i' : α ⊢ (if i' = i then 0 else f i') ≤ f i' split_ifs <;> simp only [zero_le', le_rfl] ** Qed
ENNReal.tsum_toReal_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), f a ≠ ⊤ ⊢ ENNReal.toReal (∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ENNReal.toReal (f a) simp only [ENNReal.toReal, tsum_toNNReal_eq hf, NNReal.coe_tsum] ** Qed
ENNReal.tendsto_sum_nat_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (i : ℕ), f i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0) lift f to ℕ → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hf : ∑' (i : ℕ), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), (fun i => ↑(f i)) (k + i)) atTop (𝓝 0) replace hf : Summable f := tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hf : Summable f ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), (fun i => ↑(f i)) (k + i)) atTop (𝓝 0) simp only [← ENNReal.coe_tsum, NNReal.summable_nat_add _ hf, ← ENNReal.coe_zero] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hf : Summable f ⊢ Tendsto (fun i => ↑(∑' (a : ℕ), f (a + i))) atTop (𝓝 ↑0) exact_mod_cast NNReal.tendsto_sum_nat_add f ** Qed
ENNReal.hasSum_lt α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg ⊢ sf < sg by_cases hsg : sg = ⊤ case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg hsg : sg = ⊤ ⊢ sf < sg exact hsg.symm ▸ lt_of_le_of_ne le_top hsf case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg hsg : ¬sg = ⊤ ⊢ sf < sg have hg' : ∀ x, g x ≠ ⊤ := ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top (hg.tsum_eq.symm ▸ hsg) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg hsg : ¬sg = ⊤ hg' : ∀ (x : α), g x ≠ ⊤ ⊢ sf < sg lift f to α → ℝ≥0 using fun x => ne_of_lt (lt_of_le_of_lt (h x) <\| lt_of_le_of_ne le_top (hg' x)) case neg.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α hsf : sf ≠ ⊤ hg : HasSum g sg hsg : ¬sg = ⊤ hg' : ∀ (x : α), g x ≠ ⊤ f : α → ℝ≥0 h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ g a hi : (fun i => ↑(f i)) i < g i hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) sf ⊢ sf < sg lift g to α → ℝ≥0 using hg' case neg.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 sf sg : ℝ≥0∞ i : α hsf : sf ≠ ⊤ hsg : ¬sg = ⊤ f : α → ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) sf g : α → ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) sg h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ (fun i => ↑(g i)) a hi : (fun i => ↑(f i)) i < (fun i => ↑(g i)) i ⊢ sf < sg lift sf to ℝ≥0 using hsf case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 sg : ℝ≥0∞ i : α hsg : ¬sg = ⊤ f g : α → ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) sg h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ (fun i => ↑(g i)) a hi : (fun i => ↑(f i)) i < (fun i => ↑(g i)) i sf : ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑sf ⊢ ↑sf < sg lift sg to ℝ≥0 using hsg case neg.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 i : α f g : α → ℝ≥0 h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ (fun i => ↑(g i)) a hi : (fun i => ↑(f i)) i < (fun i => ↑(g i)) i sf : ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑sf sg : ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) ↑sg ⊢ ↑sf < ↑sg simp only [coe_le_coe, coe_lt_coe] at h hi ⊢ case neg.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 i : α f g : α → ℝ≥0 sf : ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑sf sg : ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) ↑sg h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i ⊢ sf < sg exact NNReal.hasSum_lt h hi (ENNReal.hasSum_coe.1 hf) (ENNReal.hasSum_coe.1 hg) ** Qed
tsum_comp_le_tsum_of_inj α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : Type u_4 f : α → ℝ hf : Summable f hn : ∀ (a : α), 0 ≤ f a i : β → α hi : Injective i ⊢ tsum (f ∘ i) ≤ tsum f lift f to α → ℝ≥0 using hn case intro α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : Type u_4 i : β → α hi : Injective i f : α → ℝ≥0 hf : Summable fun i => ↑(f i) ⊢ tsum ((fun i => ↑(f i)) ∘ i) ≤ ∑' (i : α), ↑(f i) rw [NNReal.summable_coe] at hf ** Qed
summable_of_nonneg_of_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : β → ℝ hg : ∀ (b : β), 0 ≤ g b hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b hf : Summable f ⊢ Summable g lift f to β → ℝ≥0 using fun b => (hg b).trans (hgf b) case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : β → ℝ hg : ∀ (b : β), 0 ≤ g b f : β → ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), g b ≤ (fun i => ↑(f i)) b hf : Summable fun i => ↑(f i) ⊢ Summable g lift g to β → ℝ≥0 using hg case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 hf : Summable fun i => ↑(f i) g : β → ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b ⊢ Summable fun i => ↑(g i) rw [NNReal.summable_coe] at hf ⊢ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 hf : Summable fun i => f i g : β → ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b ⊢ Summable fun i => g i exact NNReal.summable_of_le (fun b => NNReal.coe_le_coe.1 (hgf b)) hf ** Qed
Summable.toNNReal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf : Summable f ⊢ Summable fun n => Real.toNNReal (f n) apply NNReal.summable_coe.1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf : Summable f ⊢ Summable fun a => ↑(Real.toNNReal (f a)) refine' summable_of_nonneg_of_le (fun n => NNReal.coe_nonneg _) (fun n => _) hf.abs α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf : Summable f n : α ⊢ ↑(Real.toNNReal (f n)) ≤ \|f n\| simp only [le_abs_self, Real.coe_toNNReal', max_le_iff, abs_nonneg, and_self_iff] ** Qed
Summable.countable_support_ennreal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0∞ h : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤ ⊢ Set.Countable (support f) lift f to α → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top h case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 h : ∑' (i : α), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤ ⊢ Set.Countable (support fun i => ↑(f i)) simpa [support] using (ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 h).countable_support_nnreal ** Qed
hasSum_iff_tendsto_nat_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ f i r : ℝ ⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) lift f to ℕ → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : ℝ f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ HasSum (fun i => ↑(f i)) r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop (𝓝 r) simp only [HasSum, ← NNReal.coe_sum, NNReal.tendsto_coe'] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : ℝ f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ (∃ hx, Tendsto (fun a => ∑ a in a, f a) atTop (𝓝 { val := r, property := hx })) ↔ ∃ hx, Tendsto (fun a => ∑ a in Finset.range a, f a) atTop (𝓝 { val := r, property := hx }) exact exists_congr fun hr => NNReal.hasSum_iff_tendsto_nat ** Qed
ENNReal.ofReal_tsum_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf_nonneg : ∀ (n : α), 0 ≤ f n hf : Summable f ⊢ ENNReal.ofReal (∑' (n : α), f n) = ∑' (n : α), ENNReal.ofReal (f n) simp_rw [ENNReal.ofReal, ENNReal.tsum_coe_eq (NNReal.hasSum_real_toNNReal_of_nonneg hf_nonneg hf)] ** Qed
not_summable_iff_tendsto_nat_atTop_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n ⊢ ¬Summable f ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop lift f to ℕ → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ (¬Summable fun i => ↑(f i)) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop atTop exact_mod_cast NNReal.not_summable_iff_tendsto_nat_atTop ** Qed
summable_iff_not_tendsto_nat_atTop_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n ⊢ Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop rw [← not_iff_not, Classical.not_not, not_summable_iff_tendsto_nat_atTop_of_nonneg hf] ** Qed
summable_sigma_of_nonneg α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ hf : ∀ (x : (x : α) × β x), 0 ≤ f x ⊢ Summable f ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } lift f to (Σx, β x) → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ (Summable fun i => ↑(f i)) ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => (fun i => ↑(f i)) { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), (fun i => ↑(f i)) { fst := x, snd := y } exact_mod_cast NNReal.summable_sigma ** Qed
summable_of_sum_range_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ c : ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c ⊢ Summable f refine (summable_iff_not_tendsto_nat_atTop_of_nonneg hf).2 fun H => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ c : ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop ⊢ False rcases exists_lt_of_tendsto_atTop H 0 c with ⟨n, -, hn⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ c : ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop n : ℕ hn : c < ∑ i in Finset.range n, f i ⊢ False exact lt_irrefl _ (hn.trans_le (h n)) ** Qed
edist_ne_top_of_mem_ball α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : EMetricSpace β a : β r : ℝ≥0∞ x y : ↑(EMetric.ball a r) ⊢ edist a ↑x + edist a ↑y < r + r rw [edist_comm a x, edist_comm a y] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : EMetricSpace β a : β r : ℝ≥0∞ x y : ↑(EMetric.ball a r) ⊢ edist (↑x) a + edist (↑y) a < r + r exact add_lt_add x.2 y.2 ** Qed
tendsto_iff_edist_tendsto_0 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α l : Filter β f : β → α y : α ⊢ Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (fun x => edist (f x) y) l (𝓝 0) simp only [EMetric.nhds_basis_eball.tendsto_right_iff, EMetric.mem_ball, @tendsto_order ℝ≥0∞ β _ _, forall_prop_of_false ENNReal.not_lt_zero, forall_const, true_and_iff] ** Qed
EMetric.cauchySeq_iff_le_tendsto_0 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α ⊢ (∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε) ↔ ∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) constructor case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α ⊢ (∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε) → ∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) intro hs case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ⊢ ∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) refine ⟨fun N => EMetric.diam (s '' Ici N), fun n m N hn hm => ?_, ?_⟩ case mp.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε n m N : β hn : N ≤ n hm : N ≤ m ⊢ edist (s n) (s m) ≤ (fun N => diam (s '' Ici N)) N exact EMetric.edist_le_diam_of_mem (mem_image_of_mem _ hn) (mem_image_of_mem _ hm) case mp.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ⊢ Tendsto (fun N => diam (s '' Ici N)) atTop (𝓝 0) refine ENNReal.tendsto_nhds_zero.2 fun ε ε0 => ?_ case mp.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x : β) in atTop, diam (s '' Ici x) ≤ ε rcases hs ε ε0 with ⟨N, hN⟩ case mp.refine_2.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 N : β hN : ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ⊢ ∀ᶠ (x : β) in atTop, diam (s '' Ici x) ≤ ε refine (eventually_ge_atTop N).mono fun n hn => EMetric.diam_le ?_ case mp.refine_2.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 N : β hN : ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε n : β hn : N ≤ n ⊢ ∀ (x : α), x ∈ s '' Ici n → ∀ (y : α), y ∈ s '' Ici n → edist x y ≤ ε rintro _ ⟨k, hk, rfl⟩ _ ⟨l, hl, rfl⟩ case mp.refine_2.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 N : β hN : ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε n : β hn : N ≤ n k : β hk : k ∈ Ici n l : β hl : l ∈ Ici n ⊢ edist (s k) (s l) ≤ ε exact (hN _ (hn.trans hk) _ (hn.trans hl)).le case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α ⊢ (∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)) → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε rintro ⟨b, ⟨b_bound, b_lim⟩⟩ ε εpos case mpr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε have : ∀ᶠ n in atTop, b n < ε := b_lim.eventually (gt_mem_nhds εpos) case mpr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : ∀ᶠ (n : β) in atTop, b n < ε ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε rcases this.exists with ⟨N, hN⟩ case mpr.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : ∀ᶠ (n : β) in atTop, b n < ε N : β hN : b N < ε ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε refine ⟨N, fun m hm n hn => ?_⟩ case mpr.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : ∀ᶠ (n : β) in atTop, b n < ε N : β hN : b N < ε m : β hm : N ≤ m n : β hn : N ≤ n ⊢ edist (s m) (s n) < ε calc edist (s m) (s n) ≤ b N := b_bound m n N hm hn _ < ε := hN ** Qed
continuous_of_le_add_edist ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y ⊢ Continuous f refine continuous_iff_continuousAt.2 fun x => ENNReal.tendsto_nhds_of_Icc fun ε ε0 => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) rcases ENNReal.exists_nnreal_pos_mul_lt hC ε0.ne' with ⟨δ, δ0, hδ⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : ↑δ * C < ε ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) rw [mul_comm] at hδ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) filter_upwards [EMetric.closedBall_mem_nhds x (ENNReal.coe_pos.2 δ0)] with y hy case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε y : α hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ ⊢ f y ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) refine ⟨tsub_le_iff_right.2 <\| (h x y).trans ?_, (h y x).trans ?_⟩ <;> refine add_le_add_left (le_trans (mul_le_mul_left' ?_ _) hδ.le) _ case h.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε y : α hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ ⊢ edist x y ≤ ↑δ case h.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε y : α hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ ⊢ edist y x ≤ ↑δ exacts [EMetric.mem_closedBall'.1 hy, EMetric.mem_closedBall.1 hy] Qed
continuous_edist α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α ⊢ Continuous fun p => edist p.1 p.2 apply continuous_of_le_add_edist 2 (by norm_num) ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α ⊢ ∀ (x y : α × α), edist x.1 x.2 ≤ edist y.1 y.2 + 2 * edist x y rintro ⟨x, y⟩ ⟨x', y'⟩ case mk.mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist (x, y).1 (x, y).2 ≤ edist (x', y').1 (x', y').2 + 2 * edist (x, y) (x', y') ** calc edist x y ≤ edist x x' + edist x' y' + edist y' y := edist_triangle4 _ _ _ _ _ = edist x' y' + (edist x x' + edist y y') := by simp only [edist_comm]; ac_rfl _ ≤ edist x' y' + (edist (x, y) (x', y') + edist (x, y) (x', y')) := (add_le_add_left (add_le_add (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) _) _ = edist x' y' + 2 * edist (x, y) (x', y') := by rw [← mul_two, mul_comm] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α ⊢ 2 ≠ ⊤ norm_num α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist x x' + edist x' y' + edist y' y = edist x' y' + (edist x x' + edist y y') simp only [edist_comm] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist x x' + edist x' y' + edist y y' = edist x' y' + (edist x x' + edist y y') ac_rfl ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist x' y' + (edist (x, y) (x', y') + edist (x, y) (x', y')) = edist x' y' + 2 * edist (x, y) (x', y') rw [← mul_two, mul_comm] Qed

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ENNReal.hasBasis_nhds_of_ne_top' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε) rcases (zero_le x).eq_or_gt with rfl \| x0 case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : 0 ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 0) (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (0 - ε) (0 + ε) simp_rw [zero_tsub, zero_add, ← bot_eq_zero, Icc_bot, ← bot_lt_iff_ne_bot] case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : 0 ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 ⊥) (fun x => ⊥ < x) fun ε => Iic ε exact nhds_bot_basis_Iic case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x ⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε) refine (nhds_basis_Ioo' ⟨_, x0⟩ ⟨_, xt.lt_top⟩).to_hasBasis ?_ fun ε ε0 => ?_ case inr.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x ⊢ ∀ (i : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞), i.1 < x ∧ x < i.2 → ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo i.1 i.2 rintro ⟨a, b⟩ ⟨ha, hb⟩ case inr.refine_1.mk.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ⊢ ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo (a, b).1 (a, b).2 rcases exists_between (tsub_pos_of_lt ha) with ⟨ε, ε0, hε⟩ case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 ⊢ ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo (a, b).1 (a, b).2 rcases lt_iff_exists_add_pos_lt.1 hb with ⟨δ, δ0, hδ⟩ case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 δ : ℝ≥0 δ0 : 0 < δ hδ : x + ↑δ < (a, b).2 ⊢ ∃ i', i' ≠ 0 ∧ Icc (x - i') (x + i') ⊆ Ioo (a, b).1 (a, b).2 refine ⟨min ε δ, (lt_min ε0 (coe_pos.2 δ0)).ne', Icc_subset_Ioo ?_ ?_⟩ case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 δ : ℝ≥0 δ0 : 0 < δ hδ : x + ↑δ < (a, b).2 ⊢ (a, b).1 < x - min ε ↑δ exact lt_tsub_comm.2 ((min_le_left _ _).trans_lt hε) case inr.refine_1.mk.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x a b : ℝ≥0∞ ha : (a, b).1 < x hb : x < (a, b).2 ε : ℝ≥0∞ ε0 : 0 < ε hε : ε < x - (a, b).1 δ : ℝ≥0 δ0 : 0 < δ hδ : x + ↑δ < (a, b).2 ⊢ x + min ε ↑δ < (a, b).2 exact (add_le_add_left (min_le_right _ _) _).trans_lt hδ case inr.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ x0 : 0 < x ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε ≠ 0 ⊢ ∃ i, (i.1 < x ∧ x < i.2) ∧ Ioo i.1 i.2 ⊆ Icc (x - ε) (x + ε) exact ⟨(x - ε, x + ε), ⟨ENNReal.sub_lt_self xt x0.ne' ε0, lt_add_right xt ε0⟩, Ioo_subset_Icc_self⟩ ** Qed
ENNReal.hasBasis_nhds_of_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ xt : x ≠ ⊤ ⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun x => 0 < x) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε) simpa only [pos_iff_ne_zero] using hasBasis_nhds_of_ne_top' xt ** Qed
ENNReal.biInf_le_nhds α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ 𝓟 (Icc (⊤ - 1) (⊤ + 1)) ≤ 𝓝 ⊤ simpa only [← coe_one, top_sub_coe, top_add, Icc_self, principal_singleton] using pure_le_nhds _ ** Qed
ENNReal.tendsto_nhds_of_Icc α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α u : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε) ⊢ Tendsto u f (𝓝 a) refine Tendsto.mono_right ?_ (biInf_le_nhds _) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α u : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε) ⊢ Tendsto u f (⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 (Icc (a - ε) (a + ε))) simpa only [tendsto_iInf, tendsto_principal] ** Qed
ENNReal.tendsto_nhds α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α u : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ha : a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto u f (𝓝 a) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε) simp only [nhds_of_ne_top ha, tendsto_iInf, tendsto_principal] ** Qed
ENNReal.tendsto_atTop α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ha : a ≠ ⊤ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε) simp only [true_and] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ha : a ≠ ⊤ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε) rfl ** Qed
ENNReal.tendsto_atTop_zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ≤ ε simp only [true_and] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β f : β → ℝ≥0∞ ⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ≤ ε rfl ** Qed
ENNReal.tendsto_sub α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ h : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ⊤)) (𝓝 (⊤ - ⊤)) simp only at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ↑b)) (𝓝 (⊤ - ↑b)) rw [top_sub_coe, tendsto_nhds_top_iff_nnreal] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ ⊢ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, ↑b), ↑x < a.1 - a.2 refine fun x => ((lt_mem_nhds <\| @coe_lt_top (b + 1 + x)).prod_nhds (ge_mem_nhds <\| coe_lt_coe.2 <\| lt_add_one b)).mono fun y hy => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ x : ℝ≥0 y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1) ⊢ ↑x < y.1 - y.2 rw [lt_tsub_iff_left] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ b : ℝ≥0 x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ x : ℝ≥0 y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1) ⊢ y.2 + ↑x < y.1 calc y.2 + x ≤ ↑(b + 1) + x := add_le_add_right hy.2 _ _ < y.1 := hy.1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 (↑a - ⊤)) rw [sub_top] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 0) refine (tendsto_pure.2 ?_).mono_right (pure_le_nhds _) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ ∀ᶠ (x : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (↑a, ⊤), x.1 - x.2 = 0 exact ((gt_mem_nhds <\| coe_lt_coe.2 <\| lt_add_one a).prod_nhds (lt_mem_nhds <\| @coe_lt_top (a + 1))).mono fun x hx => tsub_eq_zero_iff_le.2 (hx.1.trans hx.2).le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0 x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun a => a.1 - a.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a - b)) exact continuous_sub.tendsto (a, b) ** Qed
ENNReal.tendsto_mul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b)) ** have ht : ∀ b : ℝ≥0∞, b ≠ 0 → Tendsto (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.1 * p.2) (𝓝 ((⊤ : ℝ≥0∞), b)) (𝓝 ⊤) := fun b hb => by refine' tendsto_nhds_top_iff_nnreal.2 fun n => _ rcases lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 (pos_iff_ne_zero.2 hb) with ⟨ε, hε, hεb⟩ have : ∀ᶠ c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ in 𝓝 (∞, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 := (lt_mem_nhds <\| div_lt_top coe_ne_top hε.ne').prod_nhds (lt_mem_nhds hεb) refine' this.mono fun c hc => _ exact (ENNReal.div_mul_cancel hε.ne' coe_ne_top).symm.trans_lt (mul_lt_mul hc.1 hc.2) ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) refine' tendsto_nhds_top_iff_nnreal.2 fun n => _ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n < a.1 * a.2 rcases lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 (pos_iff_ne_zero.2 hb) with ⟨ε, hε, hεb⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n ε : ℝ≥0 hε : 0 < ↑ε hεb : ↑ε < b ⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n < a.1 * a.2 have : ∀ᶠ c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ in 𝓝 (∞, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 := (lt_mem_nhds <\| div_lt_top coe_ne_top hε.ne').prod_nhds (lt_mem_nhds hεb) case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n ε : ℝ≥0 hε : 0 < ↑ε hεb : ↑ε < b this : ∀ᶠ (c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 ⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n < a.1 * a.2 refine' this.mono fun c hc => _ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b✝ c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ha : a ≠ 0 ∨ b✝ ≠ ⊤ hb✝ : b✝ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ b : ℝ≥0∞ hb : b ≠ 0 n ε : ℝ≥0 hε : 0 < ↑ε hεb : ↑ε < b this : ∀ᶠ (c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, b), ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 c : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ hc : ↑n / ↑ε < c.1 ∧ ↑ε < c.2 ⊢ ↑n < c.1 * c.2 exact (ENNReal.div_mul_cancel hε.ne' coe_ne_top).symm.trans_lt (mul_lt_mul hc.1 hc.2) case top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) ha : ⊤ ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ hb : b ≠ 0 ∨ ⊤ ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 (⊤ * b)) simp only [ne_eq, or_false] at hb case top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) ha : ⊤ ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ hb : ¬b = 0 ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 (⊤ * b)) simp [ht b hb, top_mul hb] case coe.top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤) a : ℝ≥0 ha : ↑a ≠ 0 ∨ ⊤ ≠ ⊤ hb : ⊤ ≠ 0 ∨ ↑a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 (↑a * ⊤)) simp only [ne_eq, or_false] at ha Qed
ENNReal.Tendsto.const_mul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 b) hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ this : a = 0 ⊢ Tendsto (fun b => a * m b) f (𝓝 (a * b)) simp [this, tendsto_const_nhds] Qed
ENNReal.Tendsto.mul_const ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun x => m x * b) f (𝓝 (a * b)) simpa only [mul_comm] using ENNReal.Tendsto.const_mul hm ha Qed
ENNReal.tendsto_finset_prod_of_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a : ι → ℝ≥0∞ s : Finset ι h : ∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ s → a i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a c)) induction' s using Finset.induction with a s has IH case insert α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => ∏ c in insert a s, f c b) x (𝓝 (∏ c in insert a s, a✝ c)) simp only [Finset.prod_insert has] ** case insert α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => f a b * ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (a✝ a * ∏ c in s, a✝ c)) apply Tendsto.mul (h _ (Finset.mem_insert_self _ _)) case empty α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a : ι → ℝ≥0∞ s : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s → a i ≠ ⊤ h : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → a i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => ∏ c in ∅, f c b) x (𝓝 (∏ c in ∅, a c)) simp [tendsto_const_nhds] case insert.ha α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ a✝ a ≠ 0 ∨ ∏ c in s, a✝ c ≠ ⊤ right case insert.ha.h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ ∏ c in s, a✝ c ≠ ⊤ exact (prod_lt_top fun i hi => h' _ (Finset.mem_insert_of_mem hi)).ne case insert.hmb α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun a => ∏ c in s, f c a) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) exact IH (fun i hi => h _ (Finset.mem_insert_of_mem hi)) fun i hi => h' _ (Finset.mem_insert_of_mem hi) case insert.hb α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝¹ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : ι → α → ℝ≥0∞ x : Filter α a✝ : ι → ℝ≥0∞ s✝ : Finset ι h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h'✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → a✝ i ≠ ⊤ a : ι s : Finset ι has : ¬a ∈ s IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ (i : ι), i ∈ s → a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c in s, f c b) x (𝓝 (∏ c in s, a✝ c)) h : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i)) h' : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → a✝ i ≠ ⊤ ⊢ ∏ c in s, a✝ c ≠ 0 ∨ a✝ a ≠ ⊤ exact Or.inr (h' _ (Finset.mem_insert_self _ _)) Qed
ENNReal.continuous_div_const α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_zero : c ≠ 0 ⊢ Continuous fun x => x / c simp_rw [div_eq_mul_inv, continuous_iff_continuousAt] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_zero : c ≠ 0 ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun x => x * c⁻¹) x intro x α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_zero : c ≠ 0 x : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousAt (fun x => x * c⁻¹) x exact ENNReal.continuousAt_mul_const (Or.intro_left _ (inv_ne_top.mpr c_ne_zero)) Qed
ENNReal.continuous_pow α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ ⊢ Continuous fun a => a ^ n induction' n with n IH case succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n ⊢ Continuous fun a => a ^ Nat.succ n simp_rw [Nat.succ_eq_add_one, pow_add, pow_one, continuous_iff_continuousAt] ** case succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun a => a ^ n * a) x intro x case succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ n * a) x refine' ENNReal.Tendsto.mul (IH.tendsto _) _ tendsto_id _ <;> by_cases H : x = 0 case zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ Continuous fun a => a ^ Nat.zero simp [continuous_const] case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : x = 0 ⊢ x ^ n ≠ 0 ∨ x ≠ ⊤ simp only [H, zero_ne_top, Ne.def, or_true_iff, not_false_iff] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : ¬x = 0 ⊢ x ^ n ≠ 0 ∨ x ≠ ⊤ exact Or.inl fun h => H (pow_eq_zero h) case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : x = 0 ⊢ x ≠ 0 ∨ x ^ n ≠ ⊤ simp only [H, pow_eq_top_iff, zero_ne_top, false_or_iff, eq_self_iff_true, not_true, Ne.def, not_false_iff, false_and_iff] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ n : ℕ IH : Continuous fun a => a ^ n x : ℝ≥0∞ H : ¬x = 0 ⊢ x ≠ 0 ∨ x ^ n ≠ ⊤ simp only [H, true_or_iff, Ne.def, not_false_iff] Qed
ENNReal.continuousOn_sub α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousOn (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} rw [ContinuousOn] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞), x ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} → ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} x rintro ⟨x, y⟩ hp case mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ hp : (x, y) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} ⊢ ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y) simp only [Ne.def, Set.mem_setOf_eq, Prod.mk.inj_iff] at hp case mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ hp : ¬(x = ⊤ ∧ y = ⊤) ⊢ ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y) refine' tendsto_nhdsWithin_of_tendsto_nhds (tendsto_sub (not_and_or.mp hp)) ** Qed
ENNReal.continuous_sub_left α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_ne_top : a ≠ ⊤ ⊢ Continuous (uncurry Sub.sub ∘ fun x => (a, x)) refine continuousOn_sub.comp_continuous (Continuous.Prod.mk a) fun x => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_ne_top : a ≠ ⊤ x : ℝ≥0∞ ⊢ (a, x) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} simp only [a_ne_top, Ne.def, mem_setOf_eq, Prod.mk.inj_iff, false_and_iff, not_false_iff] ** Qed
ENNReal.continuousOn_sub_left α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousOn (fun x => a - x) {x \| x ≠ ⊤} rw [show (fun x => a - x) = (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.fst - p.snd) ∘ fun x => ⟨a, x⟩ by rfl] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ ContinuousOn ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (a, x)) {x \| x ≠ ⊤} apply ContinuousOn.comp continuousOn_sub (Continuous.continuousOn (Continuous.Prod.mk a)) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ MapsTo (fun b => (a, b)) {x \| x ≠ ⊤} {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} rintro _ h (_ \| _) case refl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ h : ⊤ ∈ {x \| x ≠ ⊤} ⊢ False exact h none_eq_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ (fun x => a - x) = (fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (a, x) rfl ** Qed
ENNReal.continuous_sub_right α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ Continuous fun x => x - a by_cases a_infty : a = ∞ case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : a = ⊤ ⊢ Continuous fun x => x - a simp [a_infty, continuous_const] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ Continuous fun x => x - a rw [show (fun x => x - a) = (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.fst - p.snd) ∘ fun x => ⟨x, a⟩ by rfl] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ Continuous ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (x, a)) apply ContinuousOn.comp_continuous continuousOn_sub (continuous_id'.prod_mk continuous_const) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), (x, a) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} intro x case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ x : ℝ≥0∞ ⊢ (x, a) ∈ {p \| p ≠ (⊤, ⊤)} simp only [a_infty, Ne.def, mem_setOf_eq, Prod.mk.inj_iff, and_false_iff, not_false_iff] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ a_infty : ¬a = ⊤ ⊢ (fun x => x - a) = (fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (x, a) rfl ** Qed
ENNReal.le_of_forall_lt_one_mul_le ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ h : ∀ (a : ℝ≥0∞), a < 1 → a * x ≤ y this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[Iio 1] 1) (𝓝 (1 * x)) ⊢ x ≤ y rw [one_mul] at this α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y : ℝ≥0∞ h : ∀ (a : ℝ≥0∞), a < 1 → a * x ≤ y this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[Iio 1] 1) (𝓝 x) ⊢ x ≤ y exact le_of_tendsto this (eventually_nhdsWithin_iff.2 <\| eventually_of_forall h) Qed
ENNReal.iInf_mul_left' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i by_cases H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rcases h H.1 H.2 with ⟨i, hi⟩ case pos.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 i : ι hi : f i = 0 ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rw [H.2, mul_zero, ← bot_eq_zero, iInf_eq_bot] case pos.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 i : ι hi : f i = 0 ⊢ ∀ (b : ℝ≥0∞), b > ⊥ → ∃ i, a * f i < b exact fun b hb => ⟨i, by rwa [hi, mul_zero, ← bot_eq_zero]⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0 i : ι hi : f i = 0 b : ℝ≥0∞ hb : b > ⊥ ⊢ a * f i < b rwa [hi, mul_zero, ← bot_eq_zero] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬(a = ⊤ ∧ ⨅ i, f i = 0) ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rw [not_and_or] at H case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i cases isEmpty_or_nonempty ι case neg.inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 h✝ : IsEmpty ι ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i rw [iInf_of_empty, iInf_of_empty, mul_top] case neg.inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 h✝ : IsEmpty ι ⊢ a ≠ 0 exact mt h0 (not_nonempty_iff.2 ‹_›) case neg.inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι H : ¬a = ⊤ ∨ ¬⨅ i, f i = 0 h✝ : Nonempty ι ⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i exact (ENNReal.mul_left_mono.map_iInf_of_continuousAt' (ENNReal.continuousAt_const_mul H)).symm Qed
ENNReal.iInf_mul_right' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0 h0 : a = 0 → Nonempty ι ⊢ ⨅ i, f i * a = (⨅ i, f i) * a simpa only [mul_comm a] using iInf_mul_left' h h0 Qed
ENNReal.tendsto_inv_iff α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun x => (m x)⁻¹) f (𝓝 a⁻¹) ⊢ Tendsto m f (𝓝 a) simpa only [inv_inv] using Tendsto.inv h ** Qed
ENNReal.Tendsto.div α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α ma mb : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hma : Tendsto ma f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 hmb : Tendsto mb f (𝓝 b) hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun a => ma a / mb a) f (𝓝 (a / b)) apply Tendsto.mul hma _ (ENNReal.tendsto_inv_iff.2 hmb) _ <;> simp [ha, hb] ** Qed
ENNReal.Tendsto.const_div α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 b) hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun b => a / m b) f (𝓝 (a / b)) apply Tendsto.const_mul (ENNReal.tendsto_inv_iff.2 hm) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 b) hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤ ⊢ b⁻¹ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤ simp [hb] ** Qed
ENNReal.Tendsto.div_const α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⊢ Tendsto (fun x => m x / b) f (𝓝 (a / b)) apply Tendsto.mul_const hm α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : Filter α m : α → ℝ≥0∞ a b : ℝ≥0∞ hm : Tendsto m f (𝓝 a) ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⊢ a ≠ 0 ∨ b⁻¹ ≠ ⊤ simp [ha] ** Qed
ENNReal.biSup_add' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 p : ι → Prop h : ∃ i, p i f : ι → ℝ≥0∞ ⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + a = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i + a haveI : Nonempty { i // p i } := nonempty_subtype.2 h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 p : ι → Prop h : ∃ i, p i f : ι → ℝ≥0∞ this : Nonempty { i // p i } ⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + a = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i + a simp only [iSup_subtype', iSup_add] ** Qed
ENNReal.add_biSup' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 p : ι → Prop h : ∃ i, p i f : ι → ℝ≥0∞ ⊢ a + ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), a + f i simp only [add_comm a, biSup_add' h] ** Qed
ENNReal.sSup_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ hs : Set.Nonempty s ⊢ sSup s + a = ⨆ b ∈ s, b + a rw [sSup_eq_iSup, biSup_add hs] ** Qed
ENNReal.add_iSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 s : ι → ℝ≥0∞ inst✝ : Nonempty ι ⊢ a + iSup s = ⨆ b, a + s b rw [add_comm, iSup_add] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 s : ι → ℝ≥0∞ inst✝ : Nonempty ι ⊢ ⨆ b, s b + a = ⨆ b, a + s b simp [add_comm] ** Qed
ENNReal.iSup_add_iSup_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 inst✝¹ : Nonempty ι inst✝ : Nonempty ι' f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a ⊢ iSup f + iSup g ≤ a simp_rw [iSup_add, add_iSup] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 inst✝¹ : Nonempty ι inst✝ : Nonempty ι' f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a ⊢ ⨆ b, ⨆ b_1, f b + g b_1 ≤ a exact iSup₂_le h ** Qed
ENNReal.biSup_add_biSup_le' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q✝ : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 p : ι → Prop q : ι' → Prop hp : ∃ i, p i hq : ∃ j, q j f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a ⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + ⨆ j, ⨆ (_ : q j), g j ≤ a simp_rw [biSup_add' hp, add_biSup' hq] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p✝ q✝ : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 ι' : Sort u_5 p : ι → Prop q : ι' → Prop hp : ∃ i, p i hq : ∃ j, q j f : ι → ℝ≥0∞ g : ι' → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a ⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨆ i_1, ⨆ (_ : q i_1), f i + g i_1 ≤ a exact iSup₂_le fun i hi => iSup₂_le (h i hi) ** Qed
ENNReal.iSup_add_iSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k ⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a cases isEmpty_or_nonempty ι case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : IsEmpty ι ⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a simp only [iSup_of_empty, bot_eq_zero, zero_add] case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι ⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a refine' le_antisymm _ (iSup_le fun a => add_le_add (le_iSup _ _) (le_iSup _ _)) case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι ⊢ iSup f + iSup g ≤ ⨆ a, f a + g a refine' iSup_add_iSup_le fun i j => _ case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι i j : ι ⊢ f i + g j ≤ ⨆ a, f a + g a rcases h i j with ⟨k, hk⟩ case inr.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f g : ι → ℝ≥0∞ h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k h✝ : Nonempty ι i j k : ι hk : f i + g j ≤ f k + g k ⊢ f i + g j ≤ ⨆ a, f a + g a exact le_iSup_of_le k hk ** Qed
ENNReal.finset_sum_iSup_nat α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) ⊢ ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n refine' Finset.induction_on s _ _ case refine'_1 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) ⊢ ∑ a in ∅, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in ∅, f a n simp case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) ⊢ ∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α}, ¬a ∈ s → ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n → ∑ a in insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in insert a s, f a n intro a s has ih case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n ⊢ ∑ a in insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in insert a s, f a n simp only [Finset.sum_insert has] case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n ⊢ iSup (f a) + ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, f a n + ∑ a in s, f a n rw [ih, iSup_add_iSup_of_monotone (hf a)] case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n ⊢ Monotone fun n => ∑ a in s, f a n intro i j h case refine'_2 α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝¹ : Set ℝ≥0∞ α : Type u_4 ι : Type u_5 inst✝ : SemilatticeSup ι s✝ : Finset α f : α → ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), Monotone (f a) a : α s : Finset α has : ¬a ∈ s ih : ∑ a in s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a in s, f a n i j : ι h : i ≤ j ⊢ (fun n => ∑ a in s, f a n) i ≤ (fun n => ∑ a in s, f a n) j exact Finset.sum_le_sum fun a _ => hf a h ** Qed
ENNReal.mul_iSup ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ a * iSup f = ⨆ i, a * f i by_cases hf : ∀ i, f i = 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ a * iSup f = ⨆ i, a * f i obtain rfl : f = fun _ => 0 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ f = fun x => 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), (fun x => 0) i = 0 ⊢ a * ⨆ x, 0 = ⨆ i, a * (fun x => 0) i exact funext hf case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 a : ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), (fun x => 0) i = 0 ⊢ a * ⨆ x, 0 = ⨆ i, a * (fun x => 0) i simp only [iSup_zero_eq_zero, mul_zero] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ a * iSup f = ⨆ i, a * f i refine' (monotone_id.const_mul' _).map_iSup_of_continuousAt _ (mul_zero a) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ ContinuousAt (fun x => a * id x) (⨆ i, f i) refine' ENNReal.Tendsto.const_mul tendsto_id (Or.inl _) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : ι), f i = 0 ⊢ id (⨆ i, f i) ≠ 0 exact mt iSup_eq_zero.1 hf Qed
ENNReal.mul_sSup ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ a * sSup s = ⨆ i ∈ s, a * i simp only [sSup_eq_iSup, mul_iSup] Qed
ENNReal.iSup_mul ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ iSup f * a = ⨆ i, f i * a rw [mul_comm, mul_iSup] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ ⨆ i, a * f i = ⨆ i, f i * a congr case e_s α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ ⊢ (fun i => a * f i) = fun i => f i * a funext case e_s.h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 f : ι → ℝ≥0∞ a : ℝ≥0∞ x✝ : ι ⊢ a * f x✝ = f x✝ * a rw [mul_comm] Qed
ENNReal.smul_iSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Sort u_4 R : Type u_5 inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞ inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞ f : ι → ℝ≥0∞ c : R ⊢ c • ⨆ i, f i = ⨆ i, c • f i simp only [← smul_one_mul c (f _), ← smul_one_mul c (iSup f), ENNReal.mul_iSup] ** Qed
ENNReal.smul_sSup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ R : Type u_4 inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞ inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ c : R ⊢ c • sSup s = ⨆ i ∈ s, c • i simp_rw [← smul_one_mul c (sSup s), ENNReal.mul_sSup, smul_one_mul] ** Qed
ENNReal.exists_countable_dense_no_zero_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ⊢ ∃ s, Set.Countable s ∧ Dense s ∧ ¬0 ∈ s ∧ ¬⊤ ∈ s obtain ⟨s, s_count, s_dense, hs⟩ : ∃ s : Set ℝ≥0∞, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ x, IsBot x → x ∉ s) ∧ ∀ x, IsTop x → x ∉ s := exists_countable_dense_no_bot_top ℝ≥0∞ case intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → ¬x ∈ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → ¬x ∈ s ⊢ ∃ s, Set.Countable s ∧ Dense s ∧ ¬0 ∈ s ∧ ¬⊤ ∈ s exact ⟨s, s_count, s_dense, fun h => hs.1 0 (by simp) h, fun h => hs.2 ∞ (by simp) h⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → ¬x ∈ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → ¬x ∈ s h : 0 ∈ s ⊢ IsBot 0 simp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ s : Set ℝ≥0∞ s_count : Set.Countable s s_dense : Dense s hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → ¬x ∈ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → ¬x ∈ s h : ⊤ ∈ s ⊢ IsTop ⊤ simp ** Qed
ENNReal.exists_lt_add_of_lt_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' have : NeZero y := ⟨hy⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this : NeZero y ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' have : NeZero z := ⟨hz⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' have A : Tendsto (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z)) := by apply Tendsto.mono_left _ (Filter.prod_mono nhdsWithin_le_nhds nhdsWithin_le_nhds) rw [← nhds_prod_eq] exact tendsto_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z)) ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' rcases ((A.eventually (lt_mem_nhds h)).and (Filter.prod_mem_prod self_mem_nhdsWithin self_mem_nhdsWithin)).exists with ⟨⟨y', z'⟩, hx, hy', hz'⟩ case intro.mk.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z)) y' z' : ℝ≥0∞ hx : x < (y', z').1 + (y', z').2 hy' : (y', z').1 ∈ Iio y hz' : (y', z').2 ∈ Iio z ⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z' exact ⟨y', z', hy', hz', hx⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z)) apply Tendsto.mono_left _ (Filter.prod_mono nhdsWithin_le_nhds nhdsWithin_le_nhds) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝 y ×ˢ 𝓝 z) (𝓝 (y + z)) rw [← nhds_prod_eq] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ x y z : ℝ≥0∞ h : x < y + z hy : y ≠ 0 hz : z ≠ 0 this✝ : NeZero y this : NeZero z ⊢ Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝 (y, z)) (𝓝 (y + z)) exact tendsto_add ** Qed
ENNReal.exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ ⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R by_contra h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R ⊢ False simp_rw [not_exists, not_frequently, not_lt] at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 ⊢ False refine hx (ENNReal.eq_top_of_forall_nnreal_le fun r => le_limsInf_of_le (by isBoundedDefault) ?_) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n simp only [eventually_map, ENNReal.coe_le_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, r ≤ ↑Real.nnabs (x a) filter_upwards [h r] with i hi using hi.trans (le_abs_self (x i)) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2 r : ℝ≥0 ⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l) isBoundedDefault ** Qed
ENNReal.exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ ⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n by_contra h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n ⊢ False simp_rw [not_exists, not_frequently, not_lt] at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 ⊢ False refine hx (ENNReal.eq_top_of_forall_nnreal_le fun r => le_limsInf_of_le (by isBoundedDefault) ?_) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n simp only [eventually_map, ENNReal.coe_le_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 r : ℝ≥0 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, r ≤ ↑Real.nnabs (x a) filter_upwards [h (-r)] with i hi using(le_neg.1 hi).trans (neg_le_abs_self _) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hx : liminf (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤ h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1 r : ℝ≥0 ⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (map (fun n => ↑(↑Real.nnabs (x n))) l) isBoundedDefault ** Qed
ENNReal.exists_upcrossings_of_not_bounded_under α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => \|x i\| ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i rw [isBoundedUnder_le_abs, not_and_or] at hbdd α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : (¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i) ∨ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain hbdd \| hbdd := hbdd case inl α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨R, hR⟩ := exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top hf case inl.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨q, hq⟩ := exists_rat_gt R case inl.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i refine' ⟨q, q + 1, (lt_add_iff_pos_right _).2 zero_lt_one, _, _⟩ case inl.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑q refine' fun hcon => hR _ case inl.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => x i < ↑q) x_1 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun n => x n < R) x_1 filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.2 (lt_of_lt_of_le hq (not_lt.1 hx)).le case inl.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑(q + 1) < x i simp only [IsBoundedUnder, IsBounded, eventually_map, eventually_atTop, ge_iff_le, not_exists, not_forall, not_le, exists_prop] at hbdd case inl.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x a ≤ x_1 ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑(q + 1) < x i refine' fun hcon => hbdd ↑(q + 1) _ case inl.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R q : ℚ hq : R < ↑q hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x a ≤ x_1 hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => ↑(q + 1) < x i) x_1 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, x a ≤ ↑(q + 1) filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.1 hx case inr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨R, hR⟩ := exists_frequently_lt_of_liminf_ne_top' hf case inr.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i obtain ⟨q, hq⟩ := exists_rat_lt R case inr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R ⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i refine' ⟨q - 1, q, (sub_lt_self_iff _).2 zero_lt_one, _, _⟩ case inr.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑(q - 1) simp only [IsBoundedUnder, IsBounded, eventually_map, eventually_atTop, ge_iff_le, not_exists, not_forall, not_le, exists_prop] at hbdd case inr.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x_1 ≤ x a ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑(q - 1) refine' fun hcon => hbdd ↑(q - 1) _ case inr.intro.intro.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R hbdd : ∀ (x_1 : ℝ), ¬∀ᶠ (a : ι) in l, x_1 ≤ x a hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => x i < ↑(q - 1)) x_1 ⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, ↑(q - 1) ≤ x a filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.1 hx case inr.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R ⊢ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑q < x i refine' fun hcon => hR _ case inr.intro.intro.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q✝ : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 l : Filter ι x : ι → ℝ hf : liminf (fun i => ↑(↑Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤ hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun i => x i R : ℝ hR : ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n q : ℚ hq : ↑q < R hcon : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun i => ↑q < x i) x_1 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ¬(fun n => R < x n) x_1 filter_upwards [hcon] with x hx using not_lt.2 ((not_lt.1 hx).trans hq.le) ** Qed
ENNReal.hasSum_coe α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r simp only [HasSum, ← coe_finset_sum, tendsto_coe] ** Qed
ENNReal.coe_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 r : ℝ≥0 hr : HasSum f r ⊢ ↑(tsum f) = ∑' (a : α), ↑(f a) rw [hr.tsum_eq, ENNReal.tsum_coe_eq hr] ** Qed
ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 ⊢ ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤ ↔ Summable f refine ⟨fun h => ?_, fun h => ENNReal.coe_tsum h ▸ ENNReal.coe_ne_top⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 h : ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤ ⊢ Summable f lift ∑' b, (f b : ℝ≥0∞) to ℝ≥0 using h with a ha case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 a : ℝ≥0 ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b) ⊢ Summable f refine' ⟨a, ENNReal.hasSum_coe.1 _⟩ case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 a : ℝ≥0 ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b) ⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑a rw [ha] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : β → ℝ≥0 a : ℝ≥0 ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b) ⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) (∑' (b : β), ↑(f b)) exact ENNReal.summable.hasSum ** Qed
ENNReal.tsum_eq_iSup_sum' α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ∑' (a : α), f a = ⨆ i, ∑ a in s i, f a rw [ENNReal.tsum_eq_iSup_sum] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ⨆ s, ∑ a in s, f a = ⨆ i, ∑ a in s i, f a symm α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ⨆ i, ∑ a in s i, f a = ⨆ s, ∑ a in s, f a change ⨆ i : ι, (fun t : Finset α => ∑ a in t, f a) (s i) = ⨆ s : Finset α, ∑ a in s, f a α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 s : ι → Finset α hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i ⊢ ⨆ i, (fun t => ∑ a in t, f a) (s i) = ⨆ s, ∑ a in s, f a exact (Finset.sum_mono_set f).iSup_comp_eq hs ** Qed
ENNReal.lt_top_of_tsum_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g a : α → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : α), a i ≠ ⊤ j : α ⊢ a j < ⊤ contrapose! tsum_ne_top with h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g a : α → ℝ≥0∞ j : α h : ⊤ ≤ a j ⊢ ∑' (i : α), a i = ⊤ exact ENNReal.tsum_eq_top_of_eq_top ⟨j, top_unique h⟩ ** Qed
ENNReal.tsum_const_eq_top_of_ne_zero α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ ∑' (x : α), c = ⊤ have A : Tendsto (fun n : ℕ => (n : ℝ≥0∞) * c) atTop (𝓝 (∞ * c)) := by apply ENNReal.Tendsto.mul_const tendsto_nat_nhds_top simp only [true_or_iff, top_ne_zero, Ne.def, not_false_iff] ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) ⊢ ∑' (x : α), c = ⊤ ** have B : ∀ n : ℕ, (n : ℝ≥0∞) * c ≤ ∑' _ : α, c := fun n => by rcases Infinite.exists_subset_card_eq α n with ⟨s, hs⟩ simpa [hs] using @ENNReal.sum_le_tsum α (fun _ => c) s ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) B : ∀ (n : ℕ), ↑n * c ≤ ∑' (x : α), c ⊢ ∑' (x : α), c = ⊤ simpa [hc] using le_of_tendsto' A B α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) apply ENNReal.Tendsto.mul_const tendsto_nat_nhds_top α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 ⊢ ⊤ ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤ simp only [true_or_iff, top_ne_zero, Ne.def, not_false_iff] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) n : ℕ ⊢ ↑n * c ≤ ∑' (x : α), c rcases Infinite.exists_subset_card_eq α n with ⟨s, hs⟩ case intro α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 inst✝ : Infinite α c : ℝ≥0∞ hc : c ≠ 0 A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c)) n : ℕ s : Finset α hs : Finset.card s = n ⊢ ↑n * c ≤ ∑' (x : α), c simpa [hs] using @ENNReal.sum_le_tsum α (fun _ => c) s Qed
ENNReal.tsum_mul_left ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i by_cases hf : ∀ i, f i = 0 case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : α), f i = 0 ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i simp [hf] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∀ (i : α), f i = 0 ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i rw [← ENNReal.tsum_eq_zero] at hf case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i ** have : Tendsto (fun s : Finset α => ∑ j in s, a * f j) atTop (𝓝 (a * ∑' i, f i)) := by simp only [← Finset.mul_sum] exact ENNReal.Tendsto.const_mul ENNReal.summable.hasSum (Or.inl hf) ** case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 this : Tendsto (fun s => ∑ j in s, a * f j) atTop (𝓝 (a * ∑' (i : α), f i)) ⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i exact HasSum.tsum_eq this α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 ⊢ Tendsto (fun s => ∑ j in s, a * f j) atTop (𝓝 (a * ∑' (i : α), f i)) simp only [← Finset.mul_sum] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ hf : ¬∑' (i : α), f i = 0 ⊢ Tendsto (fun s => a * ∑ x in s, f x) atTop (𝓝 (a * ∑' (x : α), f x)) exact ENNReal.Tendsto.const_mul ENNReal.summable.hasSum (Or.inl hf) Qed
ENNReal.tsum_mul_right ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ⊢ ∑' (i : α), f i * a = (∑' (i : α), f i) * a simp [mul_comm, ENNReal.tsum_mul_left] Qed
ENNReal.tsum_const_smul α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ R : Type u_4 inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞ inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞ a : R ⊢ ∑' (i : α), a • f i = a • ∑' (i : α), f i simpa only [smul_one_mul] using @ENNReal.tsum_mul_left _ (a • (1 : ℝ≥0∞)) _ ** Qed
ENNReal.tsum_iSup_eq α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 a : α f : α → ℝ≥0∞ x✝ : α h : x✝ ≠ a ⊢ ⨆ (_ : a = x✝), f x✝ = 0 simp [h.symm] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 a : α f : α → ℝ≥0∞ ⊢ ⨆ (_ : a = a), f a = f a simp ** Qed
ENNReal.hasSum_iff_tendsto_nat α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ ⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) refine' ⟨HasSum.tendsto_sum_nat, fun h => _⟩ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) ⊢ HasSum f r rw [← iSup_eq_of_tendsto _ h, ← ENNReal.tsum_eq_iSup_nat] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) ⊢ HasSum f (∑' (i : ℕ), f i) exact ENNReal.summable.hasSum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r✝ p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ r : ℝ≥0∞ h : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) ⊢ Monotone fun n => ∑ i in Finset.range n, f i exact fun s t hst => Finset.sum_le_sum_of_subset (Finset.range_subset.2 hst) ** Qed
ENNReal.tendsto_nat_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n)) rw [← hasSum_iff_tendsto_nat] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ ⊢ HasSum (fun i => f i) (∑' (n : ℕ), f n) exact ENNReal.summable.hasSum ** Qed
ENNReal.summable_toNNReal_of_tsum_ne_top α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤ ⊢ Summable (ENNReal.toNNReal ∘ f) simpa only [← tsum_coe_ne_top_iff_summable, toNNReal_apply_of_tsum_ne_top hf] using hf ** Qed
ENNReal.tendsto_cofinite_zero_of_tsum_ne_top α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) have f_ne_top : ∀ n, f n ≠ ∞ := ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hf α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) have h_f_coe : f = fun n => ((f n).toNNReal : ENNReal) := funext fun n => (coe_toNNReal (f_ne_top n)).symm α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤ h_f_coe : f = fun n => ↑(ENNReal.toNNReal (f n)) ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) rw [h_f_coe, ← @coe_zero, tendsto_coe] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤ h_f_coe : f = fun n => ↑(ENNReal.toNNReal (f n)) ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toNNReal (f n)) cofinite (𝓝 0) exact NNReal.tendsto_cofinite_zero_of_summable (summable_toNNReal_of_tsum_ne_top hf) ** Qed
ENNReal.tendsto_atTop_zero_of_tsum_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0) rw [← Nat.cofinite_eq_atTop] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0) exact tendsto_cofinite_zero_of_tsum_ne_top hf ** Qed
ENNReal.tendsto_tsum_compl_atTop_zero α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0) lift f to α → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hf case intro α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0 hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), (fun i => ↑(f i)) ↑b) atTop (𝓝 0) convert ENNReal.tendsto_coe.2 (NNReal.tendsto_tsum_compl_atTop_zero f) case h.e'_3.h α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0 hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ x✝ : Finset α ⊢ ∑' (b : { x // ¬x ∈ x✝ }), (fun i => ↑(f i)) ↑b = ↑(∑' (b : { x // ¬x ∈ x✝ }), f ↑b) rw [ENNReal.coe_tsum] case h.e'_3.h α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞ α : Type u_4 f : α → ℝ≥0 hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ x✝ : Finset α ⊢ Summable fun b => f ↑b exact NNReal.summable_comp_injective (tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 hf) Subtype.coe_injective ** Qed
ENNReal.tsum_sub α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞ f g : ℕ → ℝ≥0∞ h₁ : ∑' (i : ℕ), g i ≠ ⊤ h₂ : g ≤ f this : ∀ (i : ℕ), f i - g i + g i = f i ⊢ ∑' (i : ℕ), (f i - g i) + ∑' (i : ℕ), g i = ∑' (i : ℕ), f i simp only [← ENNReal.tsum_add, this] ** Qed
ENNReal.tsum_le_tsum_comp_of_surjective α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞ f : α → β hf : Surjective f g : β → ℝ≥0∞ ⊢ ∑' (y : β), g y = ∑' (y : β), g (f (surjInv hf y)) simp only [surjInv_eq hf] ** Qed
ENNReal.tsum_biUnion_le_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s✝ : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 f : α → ℝ≥0∞ s : Set ι t : ι → Set α ⊢ ⋃ i ∈ s, t i = ⋃ i, t ↑i simp ** Qed
ENNReal.tsum_iUnion_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 inst✝ : Fintype ι f : α → ℝ≥0∞ t : ι → Set α ⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑ i : ι, ∑' (x : ↑(t i)), f ↑x rw [← tsum_fintype] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 inst✝ : Fintype ι f : α → ℝ≥0∞ t : ι → Set α ⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑' (b : ι) (x : ↑(t b)), f ↑x exact tsum_iUnion_le_tsum f t ** Qed
ENNReal.tsum_add_one_eq_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (n : ℕ), f n = ⊤ hf0 : f 0 ≠ ⊤ ⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤ rw [tsum_eq_zero_add' ENNReal.summable, add_eq_top] at hf α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f✝ g : α → ℝ≥0∞ f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : f 0 = ⊤ ∨ ∑' (b : ℕ), f (b + 1) = ⊤ hf0 : f 0 ≠ ⊤ ⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤ exact hf.resolve_left hf0 ** Qed
ENNReal.finite_const_le_of_tsum_ne_top α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 ⊢ Set.Finite {i \| ε ≤ a i} by_contra h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 h : ¬Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ False have := Infinite.to_subtype h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 h : ¬Set.Finite {i \| ε ≤ a i} this : Infinite ↑{i \| ε ≤ a i} ⊢ False refine tsum_ne_top (top_unique ?_) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤ ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 h : ¬Set.Finite {i \| ε ≤ a i} this : Infinite ↑{i \| ε ≤ a i} ⊢ ⊤ ≤ ∑' (i : ι), a i calc ⊤ = ∑' _ : { i \| ε ≤ a i }, ε := (tsum_const_eq_top_of_ne_zero ε_ne_zero).symm _ ≤ ∑' i, a i := tsum_le_tsum_of_inj (↑) Subtype.val_injective (fun _ _ => zero_le _) (fun i => i.2) ENNReal.summable ENNReal.summable ** Qed
ENNReal.finset_card_const_le_le_of_tsum_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 ⊢ ∃ hf, ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) ≤ c / ε have hf : { i : ι \| ε ≤ a i }.Finite := finite_const_le_of_tsum_ne_top (ne_top_of_le_ne_top c_ne_top tsum_le_c) ε_ne_zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 hf : Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ ∃ hf, ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) ≤ c / ε refine ⟨hf, (ENNReal.le_div_iff_mul_le (.inl ε_ne_zero) (.inr c_ne_top)).2 ?_⟩ ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 hf : Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) * ε ≤ c ** calc ↑hf.toFinset.card * ε = ∑ _i in hf.toFinset, ε := by rw [Finset.sum_const, nsmul_eq_mul] _ ≤ ∑ i in hf.toFinset, a i := Finset.sum_le_sum fun i => hf.mem_toFinset.1 _ ≤ ∑' i, a i := ENNReal.sum_le_tsum _ _ ≤ c := tsum_le_c ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f g : α → ℝ≥0∞ ι : Type u_4 a : ι → ℝ≥0∞ c : ℝ≥0∞ c_ne_top : c ≠ ⊤ tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c ε : ℝ≥0∞ ε_ne_zero : ε ≠ 0 hf : Set.Finite {i \| ε ≤ a i} ⊢ ↑(Finset.card (Finite.toFinset hf)) * ε = ∑ _i in Finite.toFinset hf, ε rw [Finset.sum_const, nsmul_eq_mul] Qed
ENNReal.tendsto_toReal_iff α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 fi : Filter ι f : ι → ℝ≥0∞ hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤ x : ℝ≥0∞ hx : x ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (f n)) fi (𝓝 (ENNReal.toReal x)) ↔ Tendsto f fi (𝓝 x) lift f to ι → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 fi : Filter ι x : ℝ≥0∞ hx : x ≠ ⊤ f : ι → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) n)) fi (𝓝 (ENNReal.toReal x)) ↔ Tendsto (fun i => ↑(f i)) fi (𝓝 x) lift x to ℝ≥0 using hx case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ ι : Type u_4 fi : Filter ι f : ι → ℝ≥0 x : ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) n)) fi (𝓝 (ENNReal.toReal ↑x)) ↔ Tendsto (fun i => ↑(f i)) fi (𝓝 ↑x) simp [tendsto_coe] ** Qed
ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable_coe α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 ⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable fun a => ↑(f a) rw [NNReal.summable_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 ⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable fun a => f a exact tsum_coe_ne_top_iff_summable ** Qed
ENNReal.hasSum_toReal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0∞ hsum : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤ ⊢ HasSum (fun x => ENNReal.toReal (f x)) (∑' (x : α), ENNReal.toReal (f x)) lift f to α → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hsum case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ ⊢ HasSum (fun x => ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) x)) (∑' (x : α), ENNReal.toReal ((fun i => ↑(f i)) x)) simp only [coe_toReal, ← NNReal.coe_tsum, NNReal.hasSum_coe] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 a b c d : ℝ≥0∞ r p q : ℝ≥0 x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞ s : Set ℝ≥0∞ f : α → ℝ≥0 hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤ ⊢ HasSum (fun a => f a) (∑' (a : α), f a) exact (tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 hsum).hasSum ** Qed
NNReal.tsum_eq_toNNReal_tsum α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) by_cases h : Summable f case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 h : Summable f ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) rw [← ENNReal.coe_tsum h, ENNReal.toNNReal_coe] case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) have A := tsum_eq_zero_of_not_summable h case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 h : ¬Summable f A : ∑' (b : β), f b = 0 ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) simp only [← ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable, Classical.not_not] at h case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 A : ∑' (b : β), f b = 0 h : ∑' (b : β), ↑(f b) = ⊤ ⊢ ∑' (b : β), f b = ENNReal.toNNReal (∑' (b : β), ↑(f b)) simp only [h, ENNReal.top_toNNReal, A] ** Qed
NNReal.exists_le_hasSum_of_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : β → ℝ≥0 r : ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b hfr : HasSum f r ⊢ ∑' (b : β), ↑(g b) ≤ ↑r refine hasSum_le (fun b => ?_) ENNReal.summable.hasSum (ENNReal.hasSum_coe.2 hfr) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : β → ℝ≥0 r : ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b hfr : HasSum f r b : β ⊢ ↑(g b) ≤ ↑(f b) exact ENNReal.coe_le_coe.2 (hgf _) ** Qed
Summable.countable_support_nnreal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 h : Summable f ⊢ Set.Countable (support f) rw [← NNReal.summable_coe] at h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 h : Summable fun a => ↑(f a) ⊢ Set.Countable (support f) simpa [support] using h.countable_support ** Qed
NNReal.hasSum_iff_tendsto_nat α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) rw [← ENNReal.hasSum_coe, ENNReal.hasSum_iff_tendsto_nat] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) simp only [← ENNReal.coe_finset_sum] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 r : ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ↑(∑ a in Finset.range n, f a)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ a in Finset.range n, f a) atTop (𝓝 r) exact ENNReal.tendsto_coe ** Qed
NNReal.not_summable_iff_tendsto_nat_atTop α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ ¬Summable f ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop constructor case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ ¬Summable f → Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop intro h case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop refine' ((tendsto_of_monotone _).resolve_right h).comp _ case mp.refine'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ Monotone fun s => ∑ b in s, f b case mp.refine'_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 h : ¬Summable f ⊢ Tendsto (fun n => Finset.range n) atTop atTop exacts [Finset.sum_mono_set _, tendsto_finset_range] case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop → ¬Summable f rintro hnat ⟨r, hr⟩ case mpr.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hnat : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop r : ℝ≥0 hr : HasSum f r ⊢ False exact not_tendsto_nhds_of_tendsto_atTop hnat _ (hasSum_iff_tendsto_nat.1 hr) ** Qed
NNReal.summable_iff_not_tendsto_nat_atTop α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop rw [← not_iff_not, Classical.not_not, not_summable_iff_tendsto_nat_atTop] ** Qed
NNReal.summable_of_sum_range_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 c : ℝ≥0 h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c ⊢ Summable f refine summable_iff_not_tendsto_nat_atTop.2 fun H => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 c : ℝ≥0 h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop ⊢ False rcases exists_lt_of_tendsto_atTop H 0 c with ⟨n, -, hn⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 c : ℝ≥0 h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop n : ℕ hn : c < ∑ i in Finset.range n, f i ⊢ False exact lt_irrefl _ (hn.trans_le (h n)) ** Qed
NNReal.summable_sigma α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ Summable f ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } constructor case mp α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ Summable f → (∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } simp only [← NNReal.summable_coe, NNReal.coe_tsum] case mp α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ (Summable fun a => ↑(f a)) → (∀ (x : α), Summable fun a => ↑(f { fst := x, snd := a })) ∧ Summable fun a => ∑' (a_1 : β a), ↑(f { fst := a, snd := a_1 }) exact fun h => ⟨h.sigma_factor, h.sigma⟩ case mpr α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ ((∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y }) → Summable f rintro ⟨h₁, h₂⟩ case mpr.intro α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 h₁ : ∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y } h₂ : Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } ⊢ Summable f simpa only [← ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable, ENNReal.tsum_sigma', ENNReal.coe_tsum (h₁ _)] using h₂ ** Qed
NNReal.indicator_summable α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α ⊢ Summable (indicator s f) refine' NNReal.summable_of_le (fun a => le_trans (le_of_eq (s.indicator_apply f a)) _) hf α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α ⊢ (if a ∈ s then f a else 0) ≤ f a split_ifs case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α h✝ : a ∈ s ⊢ f a ≤ f a case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α h✝ : ¬a ∈ s ⊢ 0 ≤ f a exact le_refl (f a) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f s : Set α a : α h✝ : ¬a ∈ s ⊢ 0 ≤ f a exact zero_le_coe ** Qed
NNReal.tendsto_sum_nat_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0) rw [← tendsto_coe] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ Tendsto (fun a => ↑(∑' (k : ℕ), f (k + a))) atTop (𝓝 ↑0) convert _root_.tendsto_sum_nat_add fun i => (f i : ℝ) case h.e'_3.h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 x✝ : ℕ ⊢ ↑(∑' (k : ℕ), f (k + x✝)) = ∑' (k : ℕ), ↑(f (k + x✝)) norm_cast ** Qed
NNReal.hasSum_lt α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0 sf sg : ℝ≥0 i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg ⊢ sf < sg have A : ∀ a : α, (f a : ℝ) ≤ g a := fun a => NNReal.coe_le_coe.2 (h a) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0 sf sg : ℝ≥0 i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a) ⊢ sf < sg have : (sf : ℝ) < sg := hasSum_lt A (NNReal.coe_lt_coe.2 hi) (hasSum_coe.2 hf) (hasSum_coe.2 hg) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0 sf sg : ℝ≥0 i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a) this : ↑sf < ↑sg ⊢ sf < sg exact NNReal.coe_lt_coe.1 this ** Qed
NNReal.tsum_pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0 hg : Summable g i : α hi : 0 < g i ⊢ 0 < ∑' (b : α), g b rw [← tsum_zero] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0 hg : Summable g i : α hi : 0 < g i ⊢ ∑' (x : ?m.346396), 0 < ∑' (b : α), g b α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0 hg : Summable g i : α hi : 0 < g i ⊢ Type ?u.346394 exact tsum_lt_tsum (fun a => zero_le _) hi hg ** Qed
NNReal.tsum_eq_add_tsum_ite α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f i : α ⊢ ∑' (x : α), f x = f i + ∑' (x : α), if x = i then 0 else f x refine' tsum_eq_add_tsum_ite' i (NNReal.summable_of_le (fun i' => _) hf) α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f i i' : α ⊢ update (fun x => f x) i 0 i' ≤ f i' rw [Function.update_apply] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 hf : Summable f i i' : α ⊢ (if i' = i then 0 else f i') ≤ f i' split_ifs <;> simp only [zero_le', le_rfl] ** Qed
ENNReal.tsum_toReal_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0∞ hf : ∀ (a : α), f a ≠ ⊤ ⊢ ENNReal.toReal (∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ENNReal.toReal (f a) simp only [ENNReal.toReal, tsum_toNNReal_eq hf, NNReal.coe_tsum] ** Qed
ENNReal.tendsto_sum_nat_add α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0∞ hf : ∑' (i : ℕ), f i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0) lift f to ℕ → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hf : ∑' (i : ℕ), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤ ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), (fun i => ↑(f i)) (k + i)) atTop (𝓝 0) replace hf : Summable f := tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hf : Summable f ⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), (fun i => ↑(f i)) (k + i)) atTop (𝓝 0) simp only [← ENNReal.coe_tsum, NNReal.summable_nat_add _ hf, ← ENNReal.coe_zero] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 hf : Summable f ⊢ Tendsto (fun i => ↑(∑' (a : ℕ), f (a + i))) atTop (𝓝 ↑0) exact_mod_cast NNReal.tendsto_sum_nat_add f ** Qed
ENNReal.hasSum_lt α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg ⊢ sf < sg by_cases hsg : sg = ⊤ case pos α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg hsg : sg = ⊤ ⊢ sf < sg exact hsg.symm ▸ lt_of_le_of_ne le_top hsf case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg hsg : ¬sg = ⊤ ⊢ sf < sg have hg' : ∀ x, g x ≠ ⊤ := ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top (hg.tsum_eq.symm ▸ hsg) case neg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i hsf : sf ≠ ⊤ hf : HasSum f sf hg : HasSum g sg hsg : ¬sg = ⊤ hg' : ∀ (x : α), g x ≠ ⊤ ⊢ sf < sg lift f to α → ℝ≥0 using fun x => ne_of_lt (lt_of_le_of_lt (h x) <\| lt_of_le_of_ne le_top (hg' x)) case neg.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : α → ℝ≥0∞ sf sg : ℝ≥0∞ i : α hsf : sf ≠ ⊤ hg : HasSum g sg hsg : ¬sg = ⊤ hg' : ∀ (x : α), g x ≠ ⊤ f : α → ℝ≥0 h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ g a hi : (fun i => ↑(f i)) i < g i hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) sf ⊢ sf < sg lift g to α → ℝ≥0 using hg' case neg.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 sf sg : ℝ≥0∞ i : α hsf : sf ≠ ⊤ hsg : ¬sg = ⊤ f : α → ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) sf g : α → ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) sg h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ (fun i => ↑(g i)) a hi : (fun i => ↑(f i)) i < (fun i => ↑(g i)) i ⊢ sf < sg lift sf to ℝ≥0 using hsf case neg.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 sg : ℝ≥0∞ i : α hsg : ¬sg = ⊤ f g : α → ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) sg h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ (fun i => ↑(g i)) a hi : (fun i => ↑(f i)) i < (fun i => ↑(g i)) i sf : ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑sf ⊢ ↑sf < sg lift sg to ℝ≥0 using hsg case neg.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 i : α f g : α → ℝ≥0 h : ∀ (a : α), (fun i => ↑(f i)) a ≤ (fun i => ↑(g i)) a hi : (fun i => ↑(f i)) i < (fun i => ↑(g i)) i sf : ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑sf sg : ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) ↑sg ⊢ ↑sf < ↑sg simp only [coe_le_coe, coe_lt_coe] at h hi ⊢ case neg.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 i : α f g : α → ℝ≥0 sf : ℝ≥0 hf : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑sf sg : ℝ≥0 hg : HasSum (fun i => ↑(g i)) ↑sg h : ∀ (a : α), f a ≤ g a hi : f i < g i ⊢ sf < sg exact NNReal.hasSum_lt h hi (ENNReal.hasSum_coe.1 hf) (ENNReal.hasSum_coe.1 hg) ** Qed
tsum_comp_le_tsum_of_inj α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : Type u_4 f : α → ℝ hf : Summable f hn : ∀ (a : α), 0 ≤ f a i : β → α hi : Injective i ⊢ tsum (f ∘ i) ≤ tsum f lift f to α → ℝ≥0 using hn case intro α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : Type u_4 i : β → α hi : Injective i f : α → ℝ≥0 hf : Summable fun i => ↑(f i) ⊢ tsum ((fun i => ↑(f i)) ∘ i) ≤ ∑' (i : α), ↑(f i) rw [NNReal.summable_coe] at hf ** Qed
summable_of_nonneg_of_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f g : β → ℝ hg : ∀ (b : β), 0 ≤ g b hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b hf : Summable f ⊢ Summable g lift f to β → ℝ≥0 using fun b => (hg b).trans (hgf b) case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 g : β → ℝ hg : ∀ (b : β), 0 ≤ g b f : β → ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), g b ≤ (fun i => ↑(f i)) b hf : Summable fun i => ↑(f i) ⊢ Summable g lift g to β → ℝ≥0 using hg case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 hf : Summable fun i => ↑(f i) g : β → ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b ⊢ Summable fun i => ↑(g i) rw [NNReal.summable_coe] at hf ⊢ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : β → ℝ≥0 hf : Summable fun i => f i g : β → ℝ≥0 hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b ⊢ Summable fun i => g i exact NNReal.summable_of_le (fun b => NNReal.coe_le_coe.1 (hgf b)) hf ** Qed
Summable.toNNReal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf : Summable f ⊢ Summable fun n => Real.toNNReal (f n) apply NNReal.summable_coe.1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf : Summable f ⊢ Summable fun a => ↑(Real.toNNReal (f a)) refine' summable_of_nonneg_of_le (fun n => NNReal.coe_nonneg _) (fun n => _) hf.abs α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf : Summable f n : α ⊢ ↑(Real.toNNReal (f n)) ≤ \|f n\| simp only [le_abs_self, Real.coe_toNNReal', max_le_iff, abs_nonneg, and_self_iff] ** Qed
Summable.countable_support_ennreal α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0∞ h : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤ ⊢ Set.Countable (support f) lift f to α → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top h case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ≥0 h : ∑' (i : α), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤ ⊢ Set.Countable (support fun i => ↑(f i)) simpa [support] using (ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 h).countable_support_nnreal ** Qed
hasSum_iff_tendsto_nat_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ f i r : ℝ ⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r) lift f to ℕ → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : ℝ f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ HasSum (fun i => ↑(f i)) r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop (𝓝 r) simp only [HasSum, ← NNReal.coe_sum, NNReal.tendsto_coe'] case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : ℝ f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ (∃ hx, Tendsto (fun a => ∑ a in a, f a) atTop (𝓝 { val := r, property := hx })) ↔ ∃ hx, Tendsto (fun a => ∑ a in Finset.range a, f a) atTop (𝓝 { val := r, property := hx }) exact exists_congr fun hr => NNReal.hasSum_iff_tendsto_nat ** Qed
ENNReal.ofReal_tsum_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : α → ℝ hf_nonneg : ∀ (n : α), 0 ≤ f n hf : Summable f ⊢ ENNReal.ofReal (∑' (n : α), f n) = ∑' (n : α), ENNReal.ofReal (f n) simp_rw [ENNReal.ofReal, ENNReal.tsum_coe_eq (NNReal.hasSum_real_toNNReal_of_nonneg hf_nonneg hf)] ** Qed
not_summable_iff_tendsto_nat_atTop_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n ⊢ ¬Summable f ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop lift f to ℕ → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ≥0 ⊢ (¬Summable fun i => ↑(f i)) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop atTop exact_mod_cast NNReal.not_summable_iff_tendsto_nat_atTop ** Qed
summable_iff_not_tendsto_nat_atTop_of_nonneg α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n ⊢ Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop rw [← not_iff_not, Classical.not_not, not_summable_iff_tendsto_nat_atTop_of_nonneg hf] ** Qed
summable_sigma_of_nonneg α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ hf : ∀ (x : (x : α) × β x), 0 ≤ f x ⊢ Summable f ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => f { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f { fst := x, snd := y } lift f to (Σx, β x) → ℝ≥0 using hf case intro α : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 β : α → Type u_4 f : (x : α) × β x → ℝ≥0 ⊢ (Summable fun i => ↑(f i)) ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => (fun i => ↑(f i)) { fst := x, snd := y }) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), (fun i => ↑(f i)) { fst := x, snd := y } exact_mod_cast NNReal.summable_sigma ** Qed
summable_of_sum_range_le α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ c : ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c ⊢ Summable f refine (summable_iff_not_tendsto_nat_atTop_of_nonneg hf).2 fun H => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ c : ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop ⊢ False rcases exists_lt_of_tendsto_atTop H 0 c with ⟨n, -, hn⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 f : ℕ → ℝ c : ℝ hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n h : ∀ (n : ℕ), ∑ i in Finset.range n, f i ≤ c H : Tendsto (fun n => ∑ i in Finset.range n, f i) atTop atTop n : ℕ hn : c < ∑ i in Finset.range n, f i ⊢ False exact lt_irrefl _ (hn.trans_le (h n)) ** Qed
edist_ne_top_of_mem_ball α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : EMetricSpace β a : β r : ℝ≥0∞ x y : ↑(EMetric.ball a r) ⊢ edist a ↑x + edist a ↑y < r + r rw [edist_comm a x, edist_comm a y] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : EMetricSpace β a : β r : ℝ≥0∞ x y : ↑(EMetric.ball a r) ⊢ edist (↑x) a + edist (↑y) a < r + r exact add_lt_add x.2 y.2 ** Qed
tendsto_iff_edist_tendsto_0 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α l : Filter β f : β → α y : α ⊢ Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (fun x => edist (f x) y) l (𝓝 0) simp only [EMetric.nhds_basis_eball.tendsto_right_iff, EMetric.mem_ball, @tendsto_order ℝ≥0∞ β _ _, forall_prop_of_false ENNReal.not_lt_zero, forall_const, true_and_iff] ** Qed
EMetric.cauchySeq_iff_le_tendsto_0 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α ⊢ (∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε) ↔ ∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) constructor case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α ⊢ (∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε) → ∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) intro hs case mp α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ⊢ ∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) refine ⟨fun N => EMetric.diam (s '' Ici N), fun n m N hn hm => ?_, ?_⟩ case mp.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε n m N : β hn : N ≤ n hm : N ≤ m ⊢ edist (s n) (s m) ≤ (fun N => diam (s '' Ici N)) N exact EMetric.edist_le_diam_of_mem (mem_image_of_mem _ hn) (mem_image_of_mem _ hm) case mp.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ⊢ Tendsto (fun N => diam (s '' Ici N)) atTop (𝓝 0) refine ENNReal.tendsto_nhds_zero.2 fun ε ε0 => ?_ case mp.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x : β) in atTop, diam (s '' Ici x) ≤ ε rcases hs ε ε0 with ⟨N, hN⟩ case mp.refine_2.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 N : β hN : ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ⊢ ∀ᶠ (x : β) in atTop, diam (s '' Ici x) ≤ ε refine (eventually_ge_atTop N).mono fun n hn => EMetric.diam_le ?_ case mp.refine_2.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 N : β hN : ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε n : β hn : N ≤ n ⊢ ∀ (x : α), x ∈ s '' Ici n → ∀ (y : α), y ∈ s '' Ici n → edist x y ≤ ε rintro _ ⟨k, hk, rfl⟩ _ ⟨l, hl, rfl⟩ case mp.refine_2.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α hs : ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 N : β hN : ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε n : β hn : N ≤ n k : β hk : k ∈ Ici n l : β hl : l ∈ Ici n ⊢ edist (s k) (s l) ≤ ε exact (hN _ (hn.trans hk) _ (hn.trans hl)).le case mpr α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α ⊢ (∃ b, (∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)) → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε rintro ⟨b, ⟨b_bound, b_lim⟩⟩ ε εpos case mpr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε have : ∀ᶠ n in atTop, b n < ε := b_lim.eventually (gt_mem_nhds εpos) case mpr.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : ∀ᶠ (n : β) in atTop, b n < ε ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε rcases this.exists with ⟨N, hN⟩ case mpr.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : ∀ᶠ (n : β) in atTop, b n < ε N : β hN : b N < ε ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (s m) (s n) < ε refine ⟨N, fun m hm n hn => ?_⟩ case mpr.intro.intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝² : PseudoEMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : β → α b : β → ℝ≥0∞ b_bound : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) ≤ b N b_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0) ε : ℝ≥0∞ εpos : ε > 0 this : ∀ᶠ (n : β) in atTop, b n < ε N : β hN : b N < ε m : β hm : N ≤ m n : β hn : N ≤ n ⊢ edist (s m) (s n) < ε calc edist (s m) (s n) ≤ b N := b_bound m n N hm hn _ < ε := hN ** Qed
continuous_of_le_add_edist ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y ⊢ Continuous f refine continuous_iff_continuousAt.2 fun x => ENNReal.tendsto_nhds_of_Icc fun ε ε0 => ?_ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) rcases ENNReal.exists_nnreal_pos_mul_lt hC ε0.ne' with ⟨δ, δ0, hδ⟩ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : ↑δ * C < ε ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) rw [mul_comm] at hδ case intro.intro α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε ⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) filter_upwards [EMetric.closedBall_mem_nhds x (ENNReal.coe_pos.2 δ0)] with y hy case h α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε y : α hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ ⊢ f y ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε) refine ⟨tsub_le_iff_right.2 <\| (h x y).trans ?_, (h y x).trans ?_⟩ <;> refine add_le_add_left (le_trans (mul_le_mul_left' ?_ _) hδ.le) _ case h.refine_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε y : α hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ ⊢ edist x y ≤ ↑δ case h.refine_2 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α f : α → ℝ≥0∞ C : ℝ≥0∞ hC : C ≠ ⊤ h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y x : α ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 δ : ℝ≥0 δ0 : δ > 0 hδ : C * ↑δ < ε y : α hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ ⊢ edist y x ≤ ↑δ exacts [EMetric.mem_closedBall'.1 hy, EMetric.mem_closedBall.1 hy] Qed
continuous_edist α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α ⊢ Continuous fun p => edist p.1 p.2 apply continuous_of_le_add_edist 2 (by norm_num) ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α ⊢ ∀ (x y : α × α), edist x.1 x.2 ≤ edist y.1 y.2 + 2 * edist x y rintro ⟨x, y⟩ ⟨x', y'⟩ case mk.mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist (x, y).1 (x, y).2 ≤ edist (x', y').1 (x', y').2 + 2 * edist (x, y) (x', y') ** calc edist x y ≤ edist x x' + edist x' y' + edist y' y := edist_triangle4 _ _ _ _ _ = edist x' y' + (edist x x' + edist y y') := by simp only [edist_comm]; ac_rfl _ ≤ edist x' y' + (edist (x, y) (x', y') + edist (x, y) (x', y')) := (add_le_add_left (add_le_add (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) _) _ = edist x' y' + 2 * edist (x, y) (x', y') := by rw [← mul_two, mul_comm] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α ⊢ 2 ≠ ⊤ norm_num α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist x x' + edist x' y' + edist y' y = edist x' y' + (edist x x' + edist y y') simp only [edist_comm] α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist x x' + edist x' y' + edist y y' = edist x' y' + (edist x x' + edist y y') ac_rfl ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : PseudoEMetricSpace α x y x' y' : α ⊢ edist x' y' + (edist (x, y) (x', y') + edist (x, y) (x', y')) = edist x' y' + 2 * edist (x, y) (x', y') rw [← mul_two, mul_comm] Qed