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Metric.uniformInducing_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β ⊢ (∀ (i' : ℝ), 0 < i' → ∃ i, 0 < i ∧ Prod.map f f ⁻¹' {p | dist p.1 p.2 < i} ⊆ {p | dist p.1 p.2 < i'}) ↔ ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → ∃ ε, ε > 0 ∧ ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ ** simp only [subset_def, Prod.forall, gt_iff_lt, preimage_setOf_eq, Prod_map, mem_setOf] ** Qed
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Metric.uniformEmbedding_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β ⊢ UniformEmbedding f ↔ Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → ∃ ε, ε > 0 ∧ ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ ** rw [uniformEmbedding_iff, and_comm, uniformInducing_iff] ** Qed
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Metric.totallyBounded_of_finite_discretization ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε ⊢ TotallyBounded s ** cases' s.eq_empty_or_nonempty with hs hs ** case inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε hs : Set.Nonempty s ⊢ TotallyBounded s ** rcases hs with ⟨x0, hx0⟩ ** case inr.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s ⊢ TotallyBounded s ** haveI : Inhabited s := ⟨⟨x0, hx0⟩⟩ ** case inr.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this : Inhabited ↑s ⊢ TotallyBounded s ** refine' totallyBounded_iff.2 fun ε ε0 => _ ** case inr.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this : Inhabited ↑s ε : ℝ ε0 : ε > 0 ⊢ ∃ t, Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** rcases H ε ε0 with ⟨β, fβ, F, hF⟩ ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β✝ : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this : Inhabited ↑s ε : ℝ ε0 : ε > 0 β : Type u fβ : Fintype β F : ↑s → β hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε ⊢ ∃ t, Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** let Finv := Function.invFun F ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β✝ : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this : Inhabited ↑s ε : ℝ ε0 : ε > 0 β : Type u fβ : Fintype β F : ↑s → β hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε Finv : β → ↑s := Function.invFun F ⊢ ∃ t, Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** refine' ⟨range (Subtype.val ∘ Finv), finite_range _, fun x xs => _⟩ ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β✝ : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this : Inhabited ↑s ε : ℝ ε0 : ε > 0 β : Type u fβ : Fintype β F : ↑s → β hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε Finv : β → ↑s := Function.invFun F x : α xs : x ∈ s ⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε ** let x' := Finv (F ⟨x, xs⟩) ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β✝ : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this : Inhabited ↑s ε : ℝ ε0 : ε > 0 β : Type u fβ : Fintype β F : ↑s → β hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε Finv : β → ↑s := Function.invFun F x : α xs : x ∈ s x' : ↑s := Finv (F { val := x, property := xs }) ⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε ** have : F x' = F ⟨x, xs⟩ := Function.invFun_eq ⟨⟨x, xs⟩, rfl⟩ ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β✝ : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this✝ : Inhabited ↑s ε : ℝ ε0 : ε > 0 β : Type u fβ : Fintype β F : ↑s → β hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε Finv : β → ↑s := Function.invFun F x : α xs : x ∈ s x' : ↑s := Finv (F { val := x, property := xs }) this : F x' = F { val := x, property := xs } ⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε ** simp only [Set.mem_iUnion, Set.mem_range] ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β✝ : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε x0 : α hx0 : x0 ∈ s this✝ : Inhabited ↑s ε : ℝ ε0 : ε > 0 β : Type u fβ : Fintype β F : ↑s → β hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε Finv : β → ↑s := Function.invFun F x : α xs : x ∈ s x' : ↑s := Finv (F { val := x, property := xs }) this : F x' = F { val := x, property := xs } ⊢ ∃ i i_1, x ∈ ball i ε ** exact ⟨_, ⟨F ⟨x, xs⟩, rfl⟩, hF _ _ this.symm⟩ ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε hs : s = ∅ ⊢ TotallyBounded s ** rw [hs] ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε hs : s = ∅ ⊢ TotallyBounded ∅ ** exact totallyBounded_empty ** Qed
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Metric.finite_approx_of_totallyBounded ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α hs : TotallyBounded s ⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** intro ε ε_pos ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α hs : TotallyBounded s ε : ℝ ε_pos : ε > 0 ⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** rw [totallyBounded_iff_subset] at hs ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α hs : ∀ (d : Set (α × α)), d ∈ 𝓤 α → ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ d} ε : ℝ ε_pos : ε > 0 ⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε ** exact hs _ (dist_mem_uniformity ε_pos) ** Qed
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Metric.tendstoUniformlyOnFilter_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι p' : Filter β ⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p p' ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε ** refine' ⟨fun H ε hε => H _ (dist_mem_uniformity hε), fun H u hu => _⟩ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι p' : Filter β H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ⊢ ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u ** rcases mem_uniformity_dist.1 hu with ⟨ε, εpos, hε⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι p' : Filter β H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ εpos : ε > 0 hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u ⊢ ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u ** refine' (H ε εpos).mono fun n hn => hε hn ** Qed
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Metric.tendstoLocallyUniformlyOn_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι s : Set β ⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ (x : β), x ∈ s → ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → dist (f y) (F n y) < ε ** refine' ⟨fun H ε hε => H _ (dist_mem_uniformity hε), fun H u hu x hx => _⟩ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι s : Set β H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ (x : β), x ∈ s → ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → dist (f y) (F n y) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α x : β hx : x ∈ s ⊢ ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → (f y, F n y) ∈ u ** rcases mem_uniformity_dist.1 hu with ⟨ε, εpos, hε⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι s : Set β H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ (x : β), x ∈ s → ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → dist (f y) (F n y) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α x : β hx : x ∈ s ε : ℝ εpos : ε > 0 hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u ⊢ ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → (f y, F n y) ∈ u ** rcases H ε εpos x hx with ⟨t, ht, Ht⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι s : Set β H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ (x : β), x ∈ s → ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → dist (f y) (F n y) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α x : β hx : x ∈ s ε : ℝ εpos : ε > 0 hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u t : Set β ht : t ∈ 𝓝[s] x Ht : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → dist (f y) (F n y) < ε ⊢ ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → (f y, F n y) ∈ u ** exact ⟨t, ht, Ht.mono fun n hs x hx => hε (hs x hx)⟩ ** Qed
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Metric.tendstoUniformlyOn_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι s : Set β ⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), x ∈ s → dist (f x) (F n x) < ε ** refine' ⟨fun H ε hε => H _ (dist_mem_uniformity hε), fun H u hu => _⟩ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι s : Set β H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), x ∈ s → dist (f x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), x ∈ s → (f x, F n x) ∈ u ** rcases mem_uniformity_dist.1 hu with ⟨ε, εpos, hε⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι s : Set β H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), x ∈ s → dist (f x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ εpos : ε > 0 hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u ⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), x ∈ s → (f x, F n x) ∈ u ** exact (H ε εpos).mono fun n hs x hx => hε (hs x hx) ** Qed
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Metric.tendstoLocallyUniformly_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : TopologicalSpace β F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι ⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ (x : β), ∃ t, t ∈ 𝓝 x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : β), y ∈ t → dist (f y) (F n y) < ε ** simp only [← tendstoLocallyUniformlyOn_univ, tendstoLocallyUniformlyOn_iff, nhdsWithin_univ,
mem_univ, forall_const, exists_prop] ** Qed
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Metric.tendstoUniformly_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι ⊢ TendstoUniformly F f p ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), dist (f x) (F n x) < ε ** rw [← tendstoUniformlyOn_univ, tendstoUniformlyOn_iff] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α F : ι → β → α f : β → α p : Filter ι ⊢ (∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), x ∈ univ → dist (f x) (F n x) < ε) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), dist (f x) (F n x) < ε ** simp ** Qed
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Metric.eventually_nhds_prod_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α f : Filter ι x₀ : α p : α × ι → Prop ⊢ (∀ᶠ (x : α × ι) in 𝓝 x₀ ×ˢ f, p x) ↔ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i) ** refine (nhds_basis_ball.prod f.basis_sets).eventually_iff.trans ?_ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α f : Filter ι x₀ : α p : α × ι → Prop ⊢ (∃ i, (0 < i.1 ∧ i.2 ∈ f) ∧ ∀ ⦃x : α × ι⦄, x ∈ ball x₀ i.1 ×ˢ id i.2 → p x) ↔ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i) ** simp only [Prod.exists, forall_prod_set, id, mem_ball, and_assoc, exists_and_left, and_imp] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α f : Filter ι x₀ : α p : α × ι → Prop ⊢ (∃ a, 0 < a ∧ ∃ x, x ∈ f ∧ ∀ (x_1 : α), dist x_1 x₀ < a → ∀ (y : ι), y ∈ x → p (x_1, y)) ↔ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i) ** rfl ** Qed
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Metric.eventually_prod_nhds_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α f : Filter ι x₀ : α p : ι × α → Prop ⊢ (∀ᶠ (x : ι × α) in f ×ˢ 𝓝 x₀, p x) ↔ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → p (i, x) ** rw [eventually_swap_iff, Metric.eventually_nhds_prod_iff] ** case mpr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α f : Filter ι x₀ : α p : ι × α → Prop ⊢ (∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → p (i, x)) → ∃ ε, ε > 0 ∧ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (Prod.swap (x, i)) ** rintro ⟨a1, a2, a3, a4, a5⟩ ** case mpr.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α f : Filter ι x₀ : α p : ι × α → Prop a1 : ι → Prop a2 : ∀ᶠ (i : ι) in f, a1 i a3 : ℝ a4 : a3 > 0 a5 : ∀ {i : ι}, a1 i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < a3 → p (i, x) ⊢ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (Prod.swap (x, i)) ** exact ⟨a3, a4, a1, a2, fun b1 b2 b3 => a5 b3 b1⟩ ** Qed
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Metric.isOpen_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α ⊢ IsOpen s ↔ ∀ (x : α), x ∈ s → ∃ ε, ε > 0 ∧ ball x ε ⊆ s ** simp only [isOpen_iff_mem_nhds, mem_nhds_iff] ** Qed
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Metric.tendsto_nhdsWithin_nhdsWithin ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β t : Set β f : α → β a : α b : β ⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, 0 < ia ∧ ∀ (x : α), x ∈ ball a ia ∩ s → f x ∈ ball b ib ∩ t) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ t ∧ dist (f x) b < ε ** simp only [inter_comm _ s, inter_comm _ t, mem_inter_iff, and_imp] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β t : Set β f : α → β a : α b : β ⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, 0 < ia ∧ ∀ (x : α), x ∈ s → x ∈ ball a ia → f x ∈ t ∧ f x ∈ ball b ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ t ∧ dist (f x) b < ε ** rfl ** Qed
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Metric.tendsto_nhdsWithin_nhds ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β a : α b : β ⊢ Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) b < ε ** rw [← nhdsWithin_univ b, tendsto_nhdsWithin_nhdsWithin] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β a : α b : β ⊢ (∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ univ ∧ dist (f x) b < ε) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) b < ε ** simp only [mem_univ, true_and_iff] ** Qed
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Metric.continuousAt_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β a : α ⊢ ContinuousAt f a ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {x : α}, dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε ** rw [ContinuousAt, tendsto_nhds_nhds] ** Qed
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Metric.continuousWithinAt_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β a : α s : Set α ⊢ ContinuousWithinAt f s a ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε ** rw [ContinuousWithinAt, tendsto_nhdsWithin_nhds] ** Qed
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Metric.continuousOn_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : PseudoMetricSpace β f : α → β s : Set α ⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (b : α), b ∈ s → ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ (a : α), a ∈ s → dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε ** simp [ContinuousOn, continuousWithinAt_iff] ** Qed
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Metric.continuousAt_iff' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝ : TopologicalSpace β f : β → α b : β ⊢ ContinuousAt f b ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, dist (f x) (f b) < ε ** rw [ContinuousAt, tendsto_nhds] ** Qed
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Metric.continuousWithinAt_iff' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β f : β → α b : β s : Set β ⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε ** rw [ContinuousWithinAt, tendsto_nhds] ** Qed
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Metric.continuousOn_iff' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β f : β → α s : Set β ⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (b : β), b ∈ s → ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε ** simp [ContinuousOn, continuousWithinAt_iff'] ** Qed
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Metric.tendsto_atTop ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : β → α a : α ⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → dist (u n) a < ε ** simp only [true_and] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : β → α a : α ⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, ∀ (x : β), x ∈ Ici ia → u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → dist (u n) a < ε ** rfl ** Qed
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Metric.tendsto_atTop' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α x y z : α δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α inst✝² : Nonempty β inst✝¹ : SemilatticeSup β inst✝ : NoMaxOrder β u : β → α a : α ⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ (x : β), x ∈ Ioi ia → u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (n : β), n > N → dist (u n) a < ε ** simp only [true_and, gt_iff_lt, mem_Ioi, mem_ball] ** Qed
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Metric.isOpen_singleton_iff ** α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α✝ x✝ y z : α✝ δ ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α✝ α : Type u_3 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ⊢ IsOpen {x} ↔ ∃ ε, ε > 0 ∧ ∀ (y : α), dist y x < ε → y = x ** simp [isOpen_iff, subset_singleton_iff, mem_ball] ** Qed
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Dense.exists_dist_lt ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α hs : Dense s x : α ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y < ε ** have : (ball x ε).Nonempty := by simp [hε] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α hs : Dense s x : α ε : ℝ hε : 0 < ε this : Set.Nonempty (ball x ε) ⊢ ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y < ε ** simpa only [mem_ball'] using hs.exists_mem_open isOpen_ball this ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α hs : Dense s x : α ε : ℝ hε : 0 < ε ⊢ Set.Nonempty (ball x ε) ** simp [hε] ** Qed
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Metric.uniformity_edist_aux ** α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ⊢ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ** simp only [le_antisymm_iff, le_iInf_iff, le_principal_iff] ** α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ⊢ (∀ (i : ℝ≥0∞), i > 0 → {p | ↑(d p.1 p.2) < i} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}) ∧ ∀ (i : ℝ), i > 0 → {p | ↑(d p.1 p.2) < i} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ** refine ⟨fun ε hε => ?_, fun ε hε => ?_⟩ ** case refine_1 α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ε : ℝ≥0∞ hε : ε > 0 ⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ** rcases ENNReal.lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 hε with ⟨ε', ε'0, ε'ε⟩ ** case refine_1.intro.intro α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ε : ℝ≥0∞ hε : ε > 0 ε' : ℝ≥0 ε'0 : 0 < ↑ε' ε'ε : ↑ε' < ε ⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ** refine mem_iInf_of_mem (ε' : ℝ) (mem_iInf_of_mem (ENNReal.coe_pos.1 ε'0) ?_) ** case refine_1.intro.intro α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ε : ℝ≥0∞ hε : ε > 0 ε' : ℝ≥0 ε'0 : 0 < ↑ε' ε'ε : ↑ε' < ε ⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε'} ** exact fun x hx => lt_trans (ENNReal.coe_lt_coe.2 hx) ε'ε ** case refine_2 α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ε : ℝ hε : ε > 0 ⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ** lift ε to ℝ≥0 using le_of_lt hε ** case refine_2.intro α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ε : ℝ≥0 hε : ↑ε > 0 ⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ** refine mem_iInf_of_mem (ε : ℝ≥0∞) (mem_iInf_of_mem (ENNReal.coe_pos.2 hε) ?_) ** case refine_2.intro α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 d : α → α → ℝ≥0 ε : ℝ≥0 hε : ↑ε > 0 ⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε} ∈ 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε} ** exact fun _ => ENNReal.coe_lt_coe.1 ** Qed
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Metric.uniformity_edist ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α ⊢ 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε} ** simp only [PseudoMetricSpace.uniformity_dist, dist_nndist, edist_nndist,
Metric.uniformity_edist_aux] ** Qed
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Metric.emetric_ball ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ ⊢ EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ε) = ball x ε ** ext y ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ y : α ⊢ y ∈ EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ε) ↔ y ∈ ball x ε ** simp only [EMetric.mem_ball, mem_ball, edist_dist] ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ y : α ⊢ ENNReal.ofReal (dist y x) < ENNReal.ofReal ε ↔ dist y x < ε ** exact ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff_of_nonneg dist_nonneg ** Qed
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Metric.emetric_ball_nnreal ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ≥0 ⊢ EMetric.ball x ↑ε = ball x ↑ε ** rw [← Metric.emetric_ball] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ≥0 ⊢ EMetric.ball x ↑ε = EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ↑ε) ** simp ** Qed
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Metric.emetric_closedBall ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ h : 0 ≤ ε ⊢ EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal ε) = closedBall x ε ** ext y ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ h : 0 ≤ ε y : α ⊢ y ∈ EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal ε) ↔ y ∈ closedBall x ε ** simp [edist_le_ofReal h] ** Qed
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Metric.emetric_closedBall_nnreal ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α ε : ℝ≥0 ⊢ EMetric.closedBall x ↑ε = closedBall x ↑ε ** rw [← Metric.emetric_closedBall ε.coe_nonneg, ENNReal.ofReal_coe_nnreal] ** Qed
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Metric.inseparable_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y : α ⊢ Inseparable x y ↔ dist x y = 0 ** rw [EMetric.inseparable_iff, edist_nndist, dist_nndist, ENNReal.coe_eq_zero, NNReal.coe_eq_zero] ** Qed
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PseudoMetricSpace.replaceUniformity_eq ** α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 U : UniformSpace α m : PseudoMetricSpace α H : 𝓤 α = 𝓤 α ⊢ replaceUniformity m H = m ** ext ** case h.dist.h.h α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 U : UniformSpace α m : PseudoMetricSpace α H : 𝓤 α = 𝓤 α x✝¹ x✝ : α ⊢ dist x✝¹ x✝ = dist x✝¹ x✝ ** rfl ** Qed
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PseudoMetricSpace.replaceTopology_eq ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α γ : Type u_3 U : TopologicalSpace γ m : PseudoMetricSpace γ H : U = UniformSpace.toTopologicalSpace ⊢ replaceTopology m H = m ** ext ** case h.dist.h.h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α γ : Type u_3 U : TopologicalSpace γ m : PseudoMetricSpace γ H : U = UniformSpace.toTopologicalSpace x✝¹ x✝ : γ ⊢ dist x✝¹ x✝ = dist x✝¹ x✝ ** rfl ** Qed
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PseudoMetricSpace.replaceBornology_eq ** α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 m : PseudoMetricSpace α B : Bornology α H : ∀ (s : Set α), IsBounded s ↔ IsBounded s ⊢ replaceBornology m H = m ** ext ** case h.dist.h.h α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α✝ α : Type u_3 m : PseudoMetricSpace α B : Bornology α H : ∀ (s : Set α), IsBounded s ↔ IsBounded s x✝¹ x✝ : α ⊢ dist x✝¹ x✝ = dist x✝¹ x✝ ** rfl ** Qed
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Real.dist_0_eq_abs ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : ℝ ⊢ dist x 0 = |x| ** simp [Real.dist_eq] ** Qed
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Real.dist_left_le_of_mem_uIcc ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : ℝ h : y ∈ uIcc x z ⊢ dist x y ≤ dist x z ** simpa only [dist_comm x] using abs_sub_left_of_mem_uIcc h ** Qed
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Real.dist_right_le_of_mem_uIcc ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : ℝ h : y ∈ uIcc x z ⊢ dist y z ≤ dist x z ** simpa only [dist_comm _ z] using abs_sub_right_of_mem_uIcc h ** Qed
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Real.dist_le_of_mem_uIcc ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y x' y' : ℝ hx : x ∈ uIcc x' y' hy : y ∈ uIcc x' y' ⊢ y ∈ uIcc y' x' ** rwa [uIcc_comm] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y x' y' : ℝ hx : x ∈ uIcc x' y' hy : y ∈ uIcc x' y' ⊢ x ∈ uIcc y' x' ** rwa [uIcc_comm] ** Qed
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Real.dist_le_of_mem_Icc ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y x' y' : ℝ hx : x ∈ Icc x' y' hy : y ∈ Icc x' y' ⊢ dist x y ≤ y' - x' ** simpa only [Real.dist_eq, abs_of_nonpos (sub_nonpos.2 <| hx.1.trans hx.2), neg_sub] using
Real.dist_le_of_mem_uIcc (Icc_subset_uIcc hx) (Icc_subset_uIcc hy) ** Qed
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Real.dist_le_of_mem_Icc_01 ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y : ℝ hx : x ∈ Icc 0 1 hy : y ∈ Icc 0 1 ⊢ dist x y ≤ 1 ** simpa only [sub_zero] using Real.dist_le_of_mem_Icc hx hy ** Qed
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Real.ball_eq_Ioo ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x r y : ℝ ⊢ y ∈ ball x r ↔ y ∈ Ioo (x - r) (x + r) ** rw [mem_ball, dist_comm, Real.dist_eq, abs_sub_lt_iff, mem_Ioo, ← sub_lt_iff_lt_add',
sub_lt_comm] ** Qed
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Real.closedBall_eq_Icc ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x r : ℝ ⊢ closedBall x r = Icc (x - r) (x + r) ** ext y ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x r y : ℝ ⊢ y ∈ closedBall x r ↔ y ∈ Icc (x - r) (x + r) ** rw [mem_closedBall, dist_comm, Real.dist_eq, abs_sub_le_iff, mem_Icc, ← sub_le_iff_le_add',
sub_le_comm] ** Qed
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Real.Ioo_eq_ball ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y : ℝ ⊢ Ioo x y = ball ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ** rw [Real.ball_eq_Ioo, ← sub_div, add_comm, ← sub_add, add_sub_cancel', add_self_div_two,
← add_div, add_assoc, add_sub_cancel'_right, add_self_div_two] ** Qed
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Real.Icc_eq_closedBall ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y : ℝ ⊢ Icc x y = closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ** rw [Real.closedBall_eq_Icc, ← sub_div, add_comm, ← sub_add, add_sub_cancel', add_self_div_two, ←
add_div, add_assoc, add_sub_cancel'_right, add_self_div_two] ** Qed
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Metric.uniformity_eq_comap_nhds_zero ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α ⊢ 𝓤 α = comap (fun p => dist p.1 p.2) (𝓝 0) ** ext s ** case a α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set (α × α) ⊢ s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ comap (fun p => dist p.1 p.2) (𝓝 0) ** simp only [mem_uniformity_dist, (nhds_basis_ball.comap _).mem_iff] ** case a α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set (α × α) ⊢ (∃ ε, ε > 0 ∧ ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ (fun p => dist p.1 p.2) ⁻¹' ball 0 i ⊆ s ** simp [subset_def, Real.dist_0_eq_abs] ** Qed
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cauchySeq_iff_tendsto_dist_atTop_0 ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : β → α ⊢ CauchySeq u ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0) ** rw [cauchySeq_iff_tendsto, Metric.uniformity_eq_comap_nhds_zero, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : β → α ⊢ Tendsto ((fun p => dist p.1 p.2) ∘ Prod.map u u) atTop (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0) ** rfl ** Qed
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tendsto_uniformity_iff_dist_tendsto_zero ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α f : ι → α × α p : Filter ι ⊢ Tendsto f p (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => dist (f x).1 (f x).2) p (𝓝 0) ** rw [Metric.uniformity_eq_comap_nhds_zero, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α f : ι → α × α p : Filter ι ⊢ Tendsto ((fun p => dist p.1 p.2) ∘ f) p (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x => dist (f x).1 (f x).2) p (𝓝 0) ** rfl ** Qed
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eventually_closedBall_subset ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α u : Set α hu : u ∈ 𝓝 x ⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, closedBall x r ⊆ u ** obtain ⟨ε, εpos, hε⟩ : ∃ ε, 0 < ε ∧ closedBall x ε ⊆ u := nhds_basis_closedBall.mem_iff.1 hu ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α u : Set α hu : u ∈ 𝓝 x ε : ℝ εpos : 0 < ε hε : closedBall x ε ⊆ u ⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, closedBall x r ⊆ u ** have : Iic ε ∈ 𝓝 (0 : ℝ) := Iic_mem_nhds εpos ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α u : Set α hu : u ∈ 𝓝 x ε : ℝ εpos : 0 < ε hε : closedBall x ε ⊆ u this : Iic ε ∈ 𝓝 0 ⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, closedBall x r ⊆ u ** filter_upwards [this] with _ hr using Subset.trans (closedBall_subset_closedBall hr) hε ** Qed
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Metric.uniformCauchySeqOn_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ ⊢ UniformCauchySeqOn F atTop s ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ** constructor ** case mp α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ ⊢ UniformCauchySeqOn F atTop s → ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ** intro h ε hε ** case mp α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : UniformCauchySeqOn F atTop s ε : ℝ hε : ε > 0 ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ** let u := { a : α × α | dist a.fst a.snd < ε } ** case mp α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : UniformCauchySeqOn F atTop s ε : ℝ hε : ε > 0 u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε} ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ** have hu : u ∈ 𝓤 α := Metric.mem_uniformity_dist.mpr ⟨ε, hε, by simp⟩ ** case mp α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : UniformCauchySeqOn F atTop s ε : ℝ hε : ε > 0 u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε} hu : u ∈ 𝓤 α ⊢ ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ** rw [← @Filter.eventually_atTop_prod_self' _ _ _ fun m =>
∀ x ∈ s, dist (F m.fst x) (F m.snd x) < ε] ** case mp α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : UniformCauchySeqOn F atTop s ε : ℝ hε : ε > 0 u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε} hu : u ∈ 𝓤 α ⊢ ∀ᶠ (x : β × β) in atTop, ∀ (x_1 : γ), x_1 ∈ s → dist (F x.1 x_1) (F x.2 x_1) < ε ** specialize h u hu ** case mp α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ ε : ℝ hε : ε > 0 u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε} hu : u ∈ 𝓤 α h : ∀ᶠ (m : β × β) in atTop ×ˢ atTop, ∀ (x : γ), x ∈ s → (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u ⊢ ∀ᶠ (x : β × β) in atTop, ∀ (x_1 : γ), x_1 ∈ s → dist (F x.1 x_1) (F x.2 x_1) < ε ** rw [prod_atTop_atTop_eq] at h ** case mp α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ ε : ℝ hε : ε > 0 u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε} hu : u ∈ 𝓤 α h : ∀ᶠ (m : β × β) in atTop, ∀ (x : γ), x ∈ s → (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u ⊢ ∀ᶠ (x : β × β) in atTop, ∀ (x_1 : γ), x_1 ∈ s → dist (F x.1 x_1) (F x.2 x_1) < ε ** exact h.mono fun n h x hx => h x hx ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : UniformCauchySeqOn F atTop s ε : ℝ hε : ε > 0 u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε} ⊢ ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u ** simp ** case mpr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ ⊢ (∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε) → UniformCauchySeqOn F atTop s ** intro h u hu ** case mpr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ⊢ ∀ᶠ (m : β × β) in atTop ×ˢ atTop, ∀ (x : γ), x ∈ s → (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u ** rcases Metric.mem_uniformity_dist.mp hu with ⟨ε, hε, hab⟩ ** case mpr.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ hε : ε > 0 hab : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u ⊢ ∀ᶠ (m : β × β) in atTop ×ˢ atTop, ∀ (x : γ), x ∈ s → (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u ** rcases h ε hε with ⟨N, hN⟩ ** case mpr.intro.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ hε : ε > 0 hab : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u N : β hN : ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ⊢ ∀ᶠ (m : β × β) in atTop ×ˢ atTop, ∀ (x : γ), x ∈ s → (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u ** rw [prod_atTop_atTop_eq, eventually_atTop] ** case mpr.intro.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ hε : ε > 0 hab : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u N : β hN : ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ⊢ ∃ a, ∀ (b : β × β), b ≥ a → ∀ (x : γ), x ∈ s → (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u ** use (N, N) ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ hε : ε > 0 hab : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u N : β hN : ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε ⊢ ∀ (b : β × β), b ≥ (N, N) → ∀ (x : γ), x ∈ s → (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u ** intro b hb x hx ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ hε : ε > 0 hab : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u N : β hN : ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε b : β × β hb : b ≥ (N, N) x : γ hx : x ∈ s ⊢ (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u ** rcases hb with ⟨hbl, hbr⟩ ** case h.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β γ : Type u_3 F : β → γ → α s : Set γ h : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε u : Set (α × α) hu : u ∈ 𝓤 α ε : ℝ hε : ε > 0 hab : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u N : β hN : ∀ (m : β), m ≥ N → ∀ (n : β), n ≥ N → ∀ (x : γ), x ∈ s → dist (F m x) (F n x) < ε b : β × β x : γ hx : x ∈ s hbl : (N, N).1 ≤ b.1 hbr : (N, N).2 ≤ b.2 ⊢ (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u ** exact hab (hN b.fst hbl.ge b.snd hbr.ge x hx) ** Qed
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cauchySeq_bdd ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u ⊢ ∃ R, R > 0 ∧ ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R ** rcases Metric.cauchySeq_iff'.1 hu 1 zero_lt_one with ⟨N, hN⟩ ** case intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 ⊢ ∃ R, R > 0 ∧ ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R ** suffices : ∃ R > 0, ∀ n, dist (u n) (u N) < R ** case this α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 ⊢ ∃ R, R > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R ** let R := Finset.sup (Finset.range N) fun n => nndist (u n) (u N) ** case this α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 R : ℝ≥0 := Finset.sup (Finset.range N) fun n => nndist (u n) (u N) ⊢ ∃ R, R > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R ** refine' ⟨↑R + 1, add_pos_of_nonneg_of_pos R.2 zero_lt_one, fun n => _⟩ ** case this α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 R : ℝ≥0 := Finset.sup (Finset.range N) fun n => nndist (u n) (u N) n : ℕ ⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1 ** cases' le_or_lt N n with h h ** case intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 this : ∃ R, R > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R ⊢ ∃ R, R > 0 ∧ ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R ** rcases this with ⟨R, R0, H⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 R : ℝ R0 : R > 0 H : ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R ⊢ ∃ R, R > 0 ∧ ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R ** exact ⟨_, add_pos R0 R0, fun m n =>
lt_of_le_of_lt (dist_triangle_right _ _ _) (add_lt_add (H m) (H n))⟩ ** case this.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 R : ℝ≥0 := Finset.sup (Finset.range N) fun n => nndist (u n) (u N) n : ℕ h : N ≤ n ⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1 ** exact lt_of_lt_of_le (hN _ h) (le_add_of_nonneg_left R.2) ** case this.inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 R : ℝ≥0 := Finset.sup (Finset.range N) fun n => nndist (u n) (u N) n : ℕ h : n < N ⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1 ** have : _ ≤ R := Finset.le_sup (Finset.mem_range.2 h) ** case this.inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β u : ℕ → α hu : CauchySeq u N : ℕ hN : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (u n) (u N) < 1 R : ℝ≥0 := Finset.sup (Finset.range N) fun n => nndist (u n) (u N) n : ℕ h : n < N this : nndist (u n) (u N) ≤ R ⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1 ** exact lt_of_le_of_lt this (lt_add_of_pos_right _ zero_lt_one) ** Qed
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cauchySeq_iff_le_tendsto_0 ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s ⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) ** let S N := (fun p : ℕ × ℕ => dist (s p.1) (s p.2)) '' { p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N } ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} ⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) ** have hS : ∀ N, ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x := by
rcases cauchySeq_bdd hs with ⟨R, -, hR⟩
refine' fun N => ⟨R, _⟩
rintro _ ⟨⟨m, n⟩, _, rfl⟩
exact le_of_lt (hR m n) ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) ** have ub : ∀ m n N, N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) := fun m n N hm hn =>
le_csSup (hS N) ⟨⟨_, _⟩, ⟨hm, hn⟩, rfl⟩ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) ⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) ** have S0m : ∀ n, (0 : ℝ) ∈ S n := fun n => ⟨⟨n, n⟩, ⟨le_rfl, le_rfl⟩, dist_self _⟩ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n ⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) ** have S0 := fun n => le_csSup (hS n) (S0m n) ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n) ⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0) ** refine' ⟨fun N => sSup (S N), S0, ub, Metric.tendsto_atTop.2 fun ε ε0 => _⟩ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n) ε : ℝ ε0 : ε > 0 ⊢ ∃ N, ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (sSup (S n)) 0 < ε ** refine' (Metric.cauchySeq_iff.1 hs (ε / 2) (half_pos ε0)).imp fun N hN n hn => _ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n) ε : ℝ ε0 : ε > 0 N : ℕ hN : ∀ (m : ℕ), m ≥ N → ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (s m) (s n) < ε / 2 n : ℕ hn : n ≥ N ⊢ dist (sSup (S n)) 0 < ε ** rw [Real.dist_0_eq_abs, abs_of_nonneg (S0 n)] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n) ε : ℝ ε0 : ε > 0 N : ℕ hN : ∀ (m : ℕ), m ≥ N → ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (s m) (s n) < ε / 2 n : ℕ hn : n ≥ N ⊢ sSup (S n) < ε ** refine' lt_of_le_of_lt (csSup_le ⟨_, S0m _⟩ _) (half_lt_self ε0) ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n) ε : ℝ ε0 : ε > 0 N : ℕ hN : ∀ (m : ℕ), m ≥ N → ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (s m) (s n) < ε / 2 n : ℕ hn : n ≥ N ⊢ ∀ (b : ℝ), b ∈ S n → b ≤ ε / 2 ** rintro _ ⟨⟨m', n'⟩, ⟨hm', hn'⟩, rfl⟩ ** case intro.mk.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N) S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n) ε : ℝ ε0 : ε > 0 N : ℕ hN : ∀ (m : ℕ), m ≥ N → ∀ (n : ℕ), n ≥ N → dist (s m) (s n) < ε / 2 n : ℕ hn : n ≥ N m' n' : ℕ hm' : (m', n').1 ≥ n hn' : (m', n').2 ≥ n ⊢ (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) (m', n') ≤ ε / 2 ** exact le_of_lt (hN _ (le_trans hn hm') _ (le_trans hn hn')) ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} ⊢ ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ** rcases cauchySeq_bdd hs with ⟨R, -, hR⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} R : ℝ hR : ∀ (m n : ℕ), dist (s m) (s n) < R ⊢ ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ x ** refine' fun N => ⟨R, _⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} R : ℝ hR : ∀ (m n : ℕ), dist (s m) (s n) < R N : ℕ ⊢ ∀ (y : ℝ), y ∈ S N → y ≤ R ** rintro _ ⟨⟨m, n⟩, _, rfl⟩ ** case intro.intro.intro.mk.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α inst✝¹ : Nonempty β inst✝ : SemilatticeSup β s : ℕ → α hs : CauchySeq s S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} R : ℝ hR : ∀ (m n : ℕ), dist (s m) (s n) < R N m n : ℕ left✝ : (m, n) ∈ {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N} ⊢ (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) (m, n) ≤ R ** exact le_of_lt (hR m n) ** Qed
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NNReal.nndist_eq ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α a b x✝ : ℝ≥0 ⊢ nndist a b ≤ x✝ ↔ max (a - b) (b - a) ≤ x✝ ** simp only [← NNReal.coe_le_coe, coe_nndist, dist_eq, max_le_iff, abs_sub_le_iff,
tsub_le_iff_right, NNReal.coe_add] ** Qed
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NNReal.nndist_zero_eq_val ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α z : ℝ≥0 ⊢ nndist 0 z = z ** simp only [NNReal.nndist_eq, max_eq_right, tsub_zero, zero_tsub, zero_le'] ** Qed
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NNReal.nndist_zero_eq_val' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α z : ℝ≥0 ⊢ nndist z 0 = z ** rw [nndist_comm] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α z : ℝ≥0 ⊢ nndist 0 z = z ** exact NNReal.nndist_zero_eq_val z ** Qed
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NNReal.le_add_nndist ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α a b : ℝ≥0 ⊢ a ≤ b + nndist a b ** suffices (a : ℝ) ≤ (b : ℝ) + dist a b by
rwa [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_add, coe_nndist] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α a b : ℝ≥0 ⊢ ↑a ≤ ↑b + dist a b ** rw [← sub_le_iff_le_add'] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α a b : ℝ≥0 ⊢ ↑a - ↑b ≤ dist a b ** exact le_of_abs_le (dist_eq a b).ge ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α a b : ℝ≥0 this : ↑a ≤ ↑b + dist a b ⊢ a ≤ b + nndist a b ** rwa [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_add, coe_nndist] ** Qed
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dist_prod_same_left ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α y₁ y₂ : β ⊢ dist (x, y₁) (x, y₂) = dist y₁ y₂ ** simp [Prod.dist_eq, dist_nonneg] ** Qed
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dist_prod_same_right ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x₁ x₂ : α y : β ⊢ dist (x₁, y) (x₂, y) = dist x₁ x₂ ** simp [Prod.dist_eq, dist_nonneg] ** Qed
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ball_prod_same ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α y : β r : ℝ z : α × β ⊢ z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r ** simp [Prod.dist_eq] ** Qed
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closedBall_prod_same ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α y : β r : ℝ z : α × β ⊢ z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r ** simp [Prod.dist_eq] ** Qed
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sphere_prod ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ ⊢ sphere x r = sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r ** obtain hr | rfl | hr := lt_trichotomy r 0 ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ hr : r < 0 ⊢ sphere x r = sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r ** simp [hr] ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β ⊢ sphere x 0 = sphere x.1 0 ×ˢ closedBall x.2 0 ∪ closedBall x.1 0 ×ˢ sphere x.2 0 ** cases x ** case inr.inl.mk α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β fst✝ : α snd✝ : β ⊢ sphere (fst✝, snd✝) 0 = sphere (fst✝, snd✝).1 0 ×ˢ closedBall (fst✝, snd✝).2 0 ∪ closedBall (fst✝, snd✝).1 0 ×ˢ sphere (fst✝, snd✝).2 0 ** simp_rw [← closedBall_eq_sphere_of_nonpos le_rfl, union_self, closedBall_prod_same] ** case inr.inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ hr : 0 < r ⊢ sphere x r = sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r ** ext ⟨x', y'⟩ ** case inr.inr.h.mk α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ hr : 0 < r x' : α y' : β ⊢ (x', y') ∈ sphere x r ↔ (x', y') ∈ sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r ** simp_rw [Set.mem_union, Set.mem_prod, Metric.mem_closedBall, Metric.mem_sphere, Prod.dist_eq,
max_eq_iff] ** case inr.inr.h.mk α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ hr : 0 < r x' : α y' : β ⊢ dist x' x.1 = r ∧ dist y' x.2 ≤ dist x' x.1 ∨ dist y' x.2 = r ∧ dist x' x.1 ≤ dist y' x.2 ↔ dist x' x.1 = r ∧ dist y' x.2 ≤ r ∨ dist x' x.1 ≤ r ∧ dist y' x.2 = r ** refine' or_congr (and_congr_right _) (and_comm.trans (and_congr_left _)) ** case inr.inr.h.mk.refine'_1 α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ hr : 0 < r x' : α y' : β ⊢ dist x' x.1 = r → (dist y' x.2 ≤ dist x' x.1 ↔ dist y' x.2 ≤ r) case inr.inr.h.mk.refine'_2 α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ hr : 0 < r x' : α y' : β ⊢ dist y' x.2 = r → (dist x' x.1 ≤ dist y' x.2 ↔ dist x' x.1 ≤ r) ** all_goals rintro rfl; rfl ** case inr.inr.h.mk.refine'_2 α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β r : ℝ hr : 0 < r x' : α y' : β ⊢ dist y' x.2 = r → (dist x' x.1 ≤ dist y' x.2 ↔ dist x' x.1 ≤ r) ** rintro rfl ** case inr.inr.h.mk.refine'_2 α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : PseudoMetricSpace β x : α × β x' : α y' : β hr : 0 < dist y' x.2 ⊢ dist x' x.1 ≤ dist y' x.2 ↔ dist x' x.1 ≤ dist y' x.2 ** rfl ** Qed
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dist_dist_dist_le_right ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α ⊢ dist (dist x y) (dist x z) ≤ dist y z ** simpa only [dist_comm x] using dist_dist_dist_le_left y z x ** Qed
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tendsto_iff_dist_tendsto_zero ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α f : β → α x : Filter β a : α ⊢ Tendsto f x (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun b => dist (f b) a) x (𝓝 0) ** rw [← nhds_comap_dist a, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α f : β → α x : Filter β a : α ⊢ Tendsto ((fun x => dist x a) ∘ f) x (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun b => dist (f b) a) x (𝓝 0) ** rfl ** Qed
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Metric.mem_closure_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α a : α ⊢ (∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ y, y ∈ s ∧ y ∈ ball a i) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ b, b ∈ s ∧ dist a b < ε ** simp only [mem_ball, dist_comm] ** Qed
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Metric.mem_closure_range_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α e : β → α a : α ⊢ a ∈ closure (range e) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ k, dist a (e k) < ε ** simp only [mem_closure_iff, exists_range_iff] ** Qed
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Metric.mem_closure_range_iff_nat ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α e : β → α a : α ⊢ (∀ (i : ℕ), True → ∃ y, y ∈ range e ∧ y ∈ ball a (1 / (↑i + 1))) ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ k, dist a (e k) < 1 / (↑n + 1) ** simp only [mem_ball, dist_comm, exists_range_iff, forall_const] ** Qed
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Metric.mem_of_closed' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α hs : IsClosed s a : α ⊢ a ∈ s ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ b, b ∈ s ∧ dist a b < ε ** simpa only [hs.closure_eq] using @mem_closure_iff _ _ s a ** Qed
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Metric.dense_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ s : Set α x : α ⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ (r : ℝ), r > 0 → Set.Nonempty (ball x r ∩ s) ** simp only [mem_closure_iff, Set.Nonempty, exists_prop, mem_inter_iff, mem_ball', and_comm] ** Qed
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Metric.denseRange_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x✝ y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s : Set α f : β → α x : α ⊢ x ∈ closure (range f) ↔ ∀ (r : ℝ), r > 0 → ∃ y, dist x (f y) < r ** simp only [mem_closure_iff, exists_range_iff] ** Qed
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Inducing.isSeparable_preimage ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α f : β → α inst✝ : TopologicalSpace β hf : Inducing f s : Set α hs : IsSeparable s ⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s) ** have : SeparableSpace s := hs.separableSpace ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α f : β → α inst✝ : TopologicalSpace β hf : Inducing f s : Set α hs : IsSeparable s this : SeparableSpace ↑s ⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s) ** have : SecondCountableTopology s := UniformSpace.secondCountable_of_separable _ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α f : β → α inst✝ : TopologicalSpace β hf : Inducing f s : Set α hs : IsSeparable s this✝ : SeparableSpace ↑s this : SecondCountableTopology ↑s ⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s) ** have : Inducing ((mapsTo_preimage f s).restrict _ _ _) :=
(hf.comp inducing_subtype_val).codRestrict _ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α f : β → α inst✝ : TopologicalSpace β hf : Inducing f s : Set α hs : IsSeparable s this✝¹ : SeparableSpace ↑s this✝ : SecondCountableTopology ↑s this : Inducing (MapsTo.restrict f (f ⁻¹' s) s (_ : MapsTo f (f ⁻¹' s) s)) ⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s) ** have := this.secondCountableTopology ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α f : β → α inst✝ : TopologicalSpace β hf : Inducing f s : Set α hs : IsSeparable s this✝² : SeparableSpace ↑s this✝¹ : SecondCountableTopology ↑s this✝ : Inducing (MapsTo.restrict f (f ⁻¹' s) s (_ : MapsTo f (f ⁻¹' s) s)) this : SecondCountableTopology ↑(f ⁻¹' s) ⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s) ** exact isSeparable_of_separableSpace_subtype _ ** Qed
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ContinuousOn.isSeparable_image ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β f : α → β s : Set α hf : ContinuousOn f s hs : IsSeparable s ⊢ IsSeparable (f '' s) ** rw [image_eq_range, ← image_univ] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α x y z : α ε ε₁ ε₂ : ℝ s✝ : Set α inst✝ : TopologicalSpace β f : α → β s : Set α hf : ContinuousOn f s hs : IsSeparable s ⊢ IsSeparable ((fun x => f ↑x) '' univ) ** exact (isSeparable_univ_iff.2 hs.separableSpace).image hf.restrict ** Qed
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nndist_pi_le_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 ⊢ nndist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r ** simp [nndist_pi_def] ** Qed
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nndist_pi_lt_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < r ⊢ nndist f g < r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) < r ** simp [nndist_pi_def, Finset.sup_lt_iff (show ⊥ < r from hr)] ** Qed
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nndist_pi_eq_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < r ⊢ nndist f g = r ↔ (∃ i, nndist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r ** rw [eq_iff_le_not_lt, nndist_pi_lt_iff hr, nndist_pi_le_iff, not_forall, and_comm] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < r ⊢ ((∃ x, ¬nndist (f x) (g x) < r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r) ↔ (∃ i, nndist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r ** simp_rw [not_lt, and_congr_left_iff, le_antisymm_iff] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < r ⊢ (∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r) → ((∃ x, r ≤ nndist (f x) (g x)) ↔ ∃ i, nndist (f i) (g i) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f i) (g i)) ** intro h ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < r h : ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r ⊢ (∃ x, r ≤ nndist (f x) (g x)) ↔ ∃ i, nndist (f i) (g i) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f i) (g i) ** refine' exists_congr fun b => _ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < r h : ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r b : β ⊢ r ≤ nndist (f b) (g b) ↔ nndist (f b) (g b) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f b) (g b) ** apply (and_iff_right <| h _).symm ** Qed
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dist_pi_lt_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 < r ⊢ dist f g < r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) < r ** lift r to ℝ≥0 using hr.le ** case intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < ↑r ⊢ dist f g < ↑r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) < ↑r ** exact nndist_pi_lt_iff hr ** Qed
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dist_pi_le_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 ≤ r ⊢ dist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ r ** lift r to ℝ≥0 using hr ** case intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 ⊢ dist f g ≤ ↑r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ ↑r ** exact nndist_pi_le_iff ** Qed
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dist_pi_eq_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 < r ⊢ dist f g = r ↔ (∃ i, dist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ r ** lift r to ℝ≥0 using hr.le ** case intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b r : ℝ≥0 hr : 0 < ↑r ⊢ dist f g = ↑r ↔ (∃ i, dist (f i) (g i) = ↑r) ∧ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ ↑r ** simp_rw [← coe_nndist, NNReal.coe_eq, nndist_pi_eq_iff hr, NNReal.coe_le_coe] ** Qed
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dist_pi_le_iff' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) inst✝ : Nonempty β f g : (b : β) → π b r : ℝ ⊢ dist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ r ** by_cases hr : 0 ≤ r ** case pos α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) inst✝ : Nonempty β f g : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 ≤ r ⊢ dist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ r ** exact dist_pi_le_iff hr ** case neg α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) inst✝ : Nonempty β f g : (b : β) → π b r : ℝ hr : ¬0 ≤ r ⊢ dist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ r ** exact iff_of_false (fun h => hr <| dist_nonneg.trans h) fun h =>
hr <| dist_nonneg.trans <| h <| Classical.arbitrary _ ** Qed
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dist_pi_const ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) inst✝ : Nonempty β a b : α ⊢ (dist (fun x => a) fun x => b) = dist a b ** simpa only [dist_edist] using congr_arg ENNReal.toReal (edist_pi_const a b) ** Qed
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nndist_le_pi_nndist ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b b : β ⊢ nndist (f b) (g b) ≤ nndist f g ** rw [← ENNReal.coe_le_coe, ← edist_nndist, ← edist_nndist] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b b : β ⊢ edist (f b) (g b) ≤ edist f g ** exact edist_le_pi_edist f g b ** Qed
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dist_le_pi_dist ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) f g : (b : β) → π b b : β ⊢ dist (f b) (g b) ≤ dist f g ** simp only [dist_nndist, NNReal.coe_le_coe, nndist_le_pi_nndist f g b] ** Qed
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ball_pi ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 < r ⊢ ball x r = Set.pi Set.univ fun b => ball (x b) r ** ext p ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 < r p : (b : β) → π b ⊢ p ∈ ball x r ↔ p ∈ Set.pi Set.univ fun b => ball (x b) r ** simp [dist_pi_lt_iff hr] ** Qed
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ball_pi' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) inst✝ : Nonempty β x : (b : β) → π b r : ℝ hr : r ≤ 0 ⊢ ball x r = Set.pi Set.univ fun b => ball (x b) r ** simp [ball_eq_empty.2 hr] ** Qed
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closedBall_pi ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 ≤ r ⊢ closedBall x r = Set.pi Set.univ fun b => closedBall (x b) r ** ext p ** case h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ hr : 0 ≤ r p : (b : β) → π b ⊢ p ∈ closedBall x r ↔ p ∈ Set.pi Set.univ fun b => closedBall (x b) r ** simp [dist_pi_le_iff hr] ** Qed
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closedBall_pi' ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) inst✝ : Nonempty β x : (b : β) → π b r : ℝ hr : r < 0 ⊢ closedBall x r = Set.pi Set.univ fun b => closedBall (x b) r ** simp [closedBall_eq_empty.2 hr] ** Qed
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sphere_pi ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ h : 0 < r ∨ Nonempty β ⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r ** obtain hr | rfl | hr := lt_trichotomy r 0 ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ h : 0 < r ∨ Nonempty β hr : r < 0 ⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r ** simp [hr] ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β ⊢ sphere x 0 = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) 0) ∩ closedBall x 0 ** rw [closedBall_eq_sphere_of_nonpos le_rfl, eq_comm, Set.inter_eq_right] ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β ⊢ sphere x 0 ⊆ ⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) 0 ** letI := h.resolve_left (lt_irrefl _) ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β this : Nonempty β := Or.resolve_left h (lt_irrefl 0) ⊢ sphere x 0 ⊆ ⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) 0 ** inhabit β ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β this : Nonempty β := Or.resolve_left h (lt_irrefl 0) inhabited_h : Inhabited β ⊢ sphere x 0 ⊆ ⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) 0 ** refine' subset_iUnion_of_subset default _ ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β this : Nonempty β := Or.resolve_left h (lt_irrefl 0) inhabited_h : Inhabited β ⊢ sphere x 0 ⊆ Function.eval default ⁻¹' sphere (x default) 0 ** intro x hx ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x✝ : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β this : Nonempty β := Or.resolve_left h (lt_irrefl 0) inhabited_h : Inhabited β x : (x : β) → π x hx : x ∈ sphere x✝ 0 ⊢ x ∈ Function.eval default ⁻¹' sphere (x✝ default) 0 ** replace hx := hx.le ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x✝ : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β this : Nonempty β := Or.resolve_left h (lt_irrefl 0) inhabited_h : Inhabited β x : (x : β) → π x hx : dist x x✝ ≤ 0 ⊢ x ∈ Function.eval default ⁻¹' sphere (x✝ default) 0 ** rw [dist_pi_le_iff le_rfl] at hx ** case inr.inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x✝ : (b : β) → π b h : 0 < 0 ∨ Nonempty β this : Nonempty β := Or.resolve_left h (lt_irrefl 0) inhabited_h : Inhabited β x : (x : β) → π x hx : ∀ (b : β), dist (x b) (x✝ b) ≤ 0 ⊢ x ∈ Function.eval default ⁻¹' sphere (x✝ default) 0 ** exact le_antisymm (hx default) dist_nonneg ** case inr.inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ h : 0 < r ∨ Nonempty β hr : 0 < r ⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r ** ext ** case inr.inr.h α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x : (b : β) → π b r : ℝ h : 0 < r ∨ Nonempty β hr : 0 < r x✝ : (b : β) → π b ⊢ x✝ ∈ sphere x r ↔ x✝ ∈ (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r ** simp [dist_pi_eq_iff hr, dist_pi_le_iff hr.le] ** Qed
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Fin.nndist_insertNth_insertNth ** α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α✝ π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) n : ℕ α : Fin (n + 1) → Type u_4 inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i) i : Fin (n + 1) x y : α i f g : (j : Fin n) → α (succAbove i j) c : ℝ≥0 ⊢ nndist (insertNth i x f) (insertNth i y g) ≤ c ↔ max (nndist x y) (nndist f g) ≤ c ** simp [nndist_pi_le_iff, i.forall_iff_succAbove] ** Qed
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Fin.dist_insertNth_insertNth ** α✝ : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝³ : PseudoMetricSpace α✝ π : β → Type u_3 inst✝² : Fintype β inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) n : ℕ α : Fin (n + 1) → Type u_4 inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i) i : Fin (n + 1) x y : α i f g : (j : Fin n) → α (succAbove i j) ⊢ dist (insertNth i x f) (insertNth i y g) = max (dist x y) (dist f g) ** simp only [dist_nndist, Fin.nndist_insertNth_insertNth, NNReal.coe_max] ** Qed
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Real.dist_le_of_mem_pi_Icc ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x y x' y' : β → ℝ hx : x ∈ Set.Icc x' y' hy : y ∈ Set.Icc x' y' ⊢ dist x y ≤ dist x' y' ** refine' (dist_pi_le_iff dist_nonneg).2 fun b =>
(Real.dist_le_of_mem_uIcc _ _).trans (dist_le_pi_dist x' y' b) <;> refine' Icc_subset_uIcc _ ** case refine'_1 α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x y x' y' : β → ℝ hx : x ∈ Set.Icc x' y' hy : y ∈ Set.Icc x' y' b : β ⊢ x b ∈ Set.Icc (x' b) (y' b) case refine'_2 α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝² : PseudoMetricSpace α π : β → Type u_3 inst✝¹ : Fintype β inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b) x y x' y' : β → ℝ hx : x ∈ Set.Icc x' y' hy : y ∈ Set.Icc x' y' b : β ⊢ y b ∈ Set.Icc (x' b) (y' b) ** exacts [⟨hx.1 _, hx.2 _⟩, ⟨hy.1 _, hy.2 _⟩] ** Qed
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exists_pos_lt_subset_ball ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hr : 0 < r hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r ⊢ ∃ r', r' ∈ Ioo 0 r ∧ s ⊆ ball x r' ** rcases eq_empty_or_nonempty s with (rfl | hne) ** case inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hr : 0 < r hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r hne : Set.Nonempty s ⊢ ∃ r', r' ∈ Ioo 0 r ∧ s ⊆ ball x r' ** have : IsCompact s :=
(isCompact_closedBall x r).of_isClosed_subset hs (h.trans ball_subset_closedBall) ** case inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hr : 0 < r hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r hne : Set.Nonempty s this : IsCompact s ⊢ ∃ r', r' ∈ Ioo 0 r ∧ s ⊆ ball x r' ** obtain ⟨y, hys, hy⟩ : ∃ y ∈ s, s ⊆ closedBall x (dist y x) :=
this.exists_forall_ge hne (continuous_id.dist continuous_const).continuousOn ** case inr.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hr : 0 < r hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r hne : Set.Nonempty s this : IsCompact s y : α hys : y ∈ s hy : s ⊆ closedBall x (dist y x) ⊢ ∃ r', r' ∈ Ioo 0 r ∧ s ⊆ ball x r' ** have hyr : dist y x < r := h hys ** case inr.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hr : 0 < r hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r hne : Set.Nonempty s this : IsCompact s y : α hys : y ∈ s hy : s ⊆ closedBall x (dist y x) hyr : dist y x < r ⊢ ∃ r', r' ∈ Ioo 0 r ∧ s ⊆ ball x r' ** rcases exists_between hyr with ⟨r', hyr', hrr'⟩ ** case inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hr : 0 < r hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r hne : Set.Nonempty s this : IsCompact s y : α hys : y ∈ s hy : s ⊆ closedBall x (dist y x) hyr : dist y x < r r' : ℝ hyr' : dist y x < r' hrr' : r' < r ⊢ ∃ r', r' ∈ Ioo 0 r ∧ s ⊆ ball x r' ** exact ⟨r', ⟨dist_nonneg.trans_lt hyr', hrr'⟩, hy.trans <| closedBall_subset_ball hyr'⟩ ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ hr : 0 < r hs : IsClosed ∅ h : ∅ ⊆ ball x r ⊢ ∃ r', r' ∈ Ioo 0 r ∧ ∅ ⊆ ball x r' ** exact ⟨r / 2, ⟨half_pos hr, half_lt_self hr⟩, empty_subset _⟩ ** Qed
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exists_lt_subset_ball ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r ⊢ ∃ r', r' < r ∧ s ⊆ ball x r' ** cases' le_or_lt r 0 with hr hr ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r hr : r ≤ 0 ⊢ ∃ r', r' < r ∧ s ⊆ ball x r' ** rw [ball_eq_empty.2 hr, subset_empty_iff] at h ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hs : IsClosed s h : s = ∅ hr : r ≤ 0 ⊢ ∃ r', r' < r ∧ s ⊆ ball x r' ** subst s ** case inl α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ hr : r ≤ 0 hs : IsClosed ∅ ⊢ ∃ r', r' < r ∧ ∅ ⊆ ball x r' ** exact (exists_lt r).imp fun r' hr' => ⟨hr', empty_subset _⟩ ** case inr α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝¹ : PseudoMetricSpace α inst✝ : ProperSpace α x : α r : ℝ s : Set α hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x r hr : 0 < r ⊢ ∃ r', r' < r ∧ s ⊆ ball x r' ** exact (exists_pos_lt_subset_ball hr hs h).imp fun r' hr' => ⟨hr'.1.2, hr'.2⟩ ** Qed
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Metric.secondCountable_of_almost_dense_set ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ s, Set.Countable s ∧ ∀ (x : α), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε ⊢ SecondCountableTopology α ** refine' EMetric.secondCountable_of_almost_dense_set fun ε ε0 => _ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ s, Set.Countable s ∧ ∀ (x : α), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ⊢ ∃ t, Set.Countable t ∧ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε = univ ** rcases ENNReal.lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 ε0 with ⟨ε', ε'0, ε'ε⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ s, Set.Countable s ∧ ∀ (x : α), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ε' : ℝ≥0 ε'0 : 0 < ↑ε' ε'ε : ↑ε' < ε ⊢ ∃ t, Set.Countable t ∧ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε = univ ** choose s hsc y hys hyx using H ε' (by exact_mod_cast ε'0) ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ s, Set.Countable s ∧ ∀ (x : α), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ε' : ℝ≥0 ε'0 : 0 < ↑ε' ε'ε : ↑ε' < ε s : Set α hsc : Set.Countable s y : α → α hys : ∀ (x : α), y x ∈ s hyx : ∀ (x : α), dist x (y x) ≤ ↑ε' ⊢ ∃ t, Set.Countable t ∧ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε = univ ** refine' ⟨s, hsc, iUnion₂_eq_univ_iff.2 fun x => ⟨y x, hys _, le_trans _ ε'ε.le⟩⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ s, Set.Countable s ∧ ∀ (x : α), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ε' : ℝ≥0 ε'0 : 0 < ↑ε' ε'ε : ↑ε' < ε s : Set α hsc : Set.Countable s y : α → α hys : ∀ (x : α), y x ∈ s hyx : ∀ (x : α), dist x (y x) ≤ ↑ε' x : α ⊢ edist x (y x) ≤ ↑ε' ** exact_mod_cast hyx x ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α H : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ s, Set.Countable s ∧ ∀ (x : α), ∃ y, y ∈ s ∧ dist x y ≤ ε ε : ℝ≥0∞ ε0 : ε > 0 ε' : ℝ≥0 ε'0 : 0 < ↑ε' ε'ε : ↑ε' < ε ⊢ ↑ε' > 0 ** exact_mod_cast ε'0 ** Qed
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lebesgue_number_lemma_of_metric_sUnion ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α c : Set (Set α) hs : IsCompact s hc₁ : ∀ (t : Set α), t ∈ c → IsOpen t hc₂ : s ⊆ ⋃₀ c ⊢ ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ (x : α), x ∈ s → ∃ t, t ∈ c ∧ ball x δ ⊆ t ** rw [sUnion_eq_iUnion] at hc₂ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α c : Set (Set α) hs : IsCompact s hc₁ : ∀ (t : Set α), t ∈ c → IsOpen t hc₂ : s ⊆ ⋃ i, ↑i ⊢ ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ (x : α), x ∈ s → ∃ t, t ∈ c ∧ ball x δ ⊆ t ** simpa using lebesgue_number_lemma_of_metric hs (by simpa) hc₂ ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α s : Set α c : Set (Set α) hs : IsCompact s hc₁ : ∀ (t : Set α), t ∈ c → IsOpen t hc₂ : s ⊆ ⋃ i, ↑i ⊢ ∀ (i : ↑c), IsOpen ↑i ** simpa ** Qed
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Metric.hasBasis_cobounded_compl_closedBall ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ c : α x✝ : Set α ⊢ (∃ r, x✝ ⊆ closedBall c r) ↔ ∃ i, True ∧ (closedBall c i)ᶜ ⊆ x✝ᶜ ** simp ** Qed
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Metric.hasBasis_cobounded_compl_ball ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ c : α x✝ : Set α ⊢ (∃ r, x✝ ⊆ ball c r) ↔ ∃ i, True ∧ (ball c i)ᶜ ⊆ x✝ᶜ ** simp ** Qed
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Metric.comap_dist_right_atTop ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ c : α ⊢ HasBasis (cobounded α) (fun x => True) fun i => (fun x => dist x c) ⁻¹' Ici i ** simpa only [compl_def, mem_ball, not_lt] using hasBasis_cobounded_compl_ball c ** Qed
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Metric.comap_dist_left_atTop ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ c : α ⊢ comap (dist c) atTop = cobounded α ** simpa only [dist_comm _ c] using comap_dist_right_atTop c ** Qed
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Metric.tendsto_dist_right_atTop_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ c : α f : β → α l : Filter β ⊢ Tendsto (fun x => dist (f x) c) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded α) ** rw [← comap_dist_right_atTop c, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ c : α f : β → α l : Filter β ⊢ Tendsto (fun x => dist (f x) c) l atTop ↔ Tendsto ((fun x => dist x c) ∘ f) l atTop ** rfl ** Qed
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Metric.tendsto_dist_left_atTop_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ c : α f : β → α l : Filter β ⊢ Tendsto (fun x => dist c (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded α) ** simp only [dist_comm c, tendsto_dist_right_atTop_iff] ** Qed
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Metric.isBounded_range_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s t : Set α r : ℝ f : β → α ⊢ (∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ range f → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ range f → dist x y ≤ C) ↔ ∃ C, ∀ (x y : β), dist (f x) (f y) ≤ C ** simp only [forall_range_iff] ** Qed
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Metric.isBounded_image_iff ** α : Type u β : Type v X : Type u_1 ι : Type u_2 inst✝ : PseudoMetricSpace α x : α s✝ t : Set α r : ℝ f : β → α s : Set β ⊢ (∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ f '' s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ f '' s → dist x y ≤ C) ↔ ∃ C, ∀ (x : β), x ∈ s → ∀ (y : β), y ∈ s → dist (f x) (f y) ≤ C ** simp only [ball_image_iff] ** Qed
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