Datasets:
bjoernp
/
gaps_jpn

Dataset card Data Studio Files
xet
Community
sentences
stringlengths
1
233k
sentences_jp
stringlengths
1
7.68k
the _ color dual _ of @xmath757 is the graph formed by replacing all red edges with black edges and vice versa .
@ xmath757 の _ color dual _ は,すべての赤の辺を黒の辺に置き換えることで形成されるグラフです.
a graph is _ self color dual _ if it is isomorphic to its color dual up to a relabeling of the vertices .
グラフが _ 自色二重 _ になるのは,頂点の再分類まで,その色二重に同型である場合です.
we give a complete classification of the self color dual graphs @xmath304 .
xmath304の自己色の二重グラフの完全な分類をします.
[ selfdual ] the graph @xmath304 is self color dual if and only if @xmath758 for some positive integer @xmath12 .
[ selfdual ] グラフ @xmath304 は,もし,そして,ただもし,ある正の整数 @xmath12 に対して @xmath758 が自己色の二重であるならば.
to prove this , we require some terminology and background .
これを証明するには 用語と背景が必要です
define @xmath759 to be the ring of @xmath45-adic integers equipped with the usual @xmath45-adic metric .
@xmath759を @xmath45-adicの整数のリングとして定義します.
the map @xmath1 can be extended to be defined on @xmath759 .
@ xmath1のマップは @ xmath759で定義されるように拡張できます.
define the _ parity vector function _ @xmath760 to be the map sending @xmath4 to the @xmath1-orbit of @xmath4 taken mod @xmath45 .
@ xmath760 の _ 均等ベクトル関数を @ xmath4 を @ xmath1 の軌道に @ xmath45 で送るマップとして定義します.
bernstein @xcite shows that the inverse parity vector function @xmath761 is well - defined , that is , the parity vector of a @xmath45-adic uniquely determines the @xmath45-adic .
bernstein @ xcite は,逆対数ベクトル関数 @ xmath761 がよく定義されていることを示しています,つまり, @ xmath45-adic の対数ベクトルは @ xmath45-adic を唯一決定します.
moreover , lagarias @xcite shows that @xmath1 is conjugate to the binary shift map @xmath762 the map sending a @xmath45-adic binary expansion @xmath763 to the shifted @xmath45-adic @xmath764 , via the parity vector function @xmath765 .
さらに,ラガリアス @ xcite は @ xmath1 が二進位マップ @ xmath762 に結合していることを示しています.このマップは @ xmath45-adic の二進位拡張 @ xmath763 を,対数ベクトル関数 @ xmath765 を介して, 移転された @ xmath45-adic @ xmath764 に送ります.
that is , @xmath766 .
@xmath766 さん
in @xcite , hedlund shows that there are exactly two continuous _ autoconjugacies _ of the shift map ( conjugacies from @xmath767 to @xmath767 ) , namely the identity map and the `` bit complement '' map @xmath768 given by @xmath769 where @xmath770 for all @xmath212 .
@xciteでは,ヘドランドはシフトマップの正に2つの連続した _ 自動結合 _ (xmath767からxmath767までの結合) が存在することを示しています.すなわち,同一のマップと @xmath769によって与えられた @xmath769の `` ビット補足''マップ @xmath768で, @xmath770はすべての @xmath212 に対してあります.
for instance , @xmath771 .
例えば @xmath771 さん
in @xcite , the second author uses hedlund s result to demonstrate that there are exactly two continuous autoconjugacies of @xmath1 with itself .
@xciteでは,第二の著者は @xmath1 と自身に2つの連続した自己結合があることを示すために,ヘドランドの結果を用いる.
the identity map is one such map .
図形は その一例です
the other , denoted @xmath772 , is the map @xmath773 we will use @xmath774 to demonstrate self - color - duality in @xmath48 .
もう一つは @ xmath772 と記されていて @ xmath773 のマップで @ xmath774 を用いて @ xmath48 の自己色二元性を示します
we use the fact that @xmath775 is an involution , and hence @xmath774 is an involution as well , that is , @xmath776 .
@ xmath775 がインヴォルションであることに注目し,したがって @ xmath774 もインヴォルションである,つまり @ xmath776 です.
in particular , we have that @xmath777 and @xmath778 where these maps are defined .
具体的には @ xmath777 と @ xmath778 がこれらのマップを定義しています
finally , a map @xmath779 is called _ solenoidal _ if it induces a permutation on @xmath780 for all @xmath12 .
最後に,マップ @ xmath779 は @ xmath780 のすべての @ xmath12 に対する変数を誘導する場合は _ ソレノイド _ と呼ばれる.
it is known ( @xcite , @xcite , @xcite ) that the maps @xmath775 , @xmath761 , @xmath765 , and hence @xmath774 are all solenoidal .
図形 @xmath775, @xmath761, @xmath765, そして @xmath774 は全てソレノイドであることが知られている (@xcite, @xcite, @xcite).
note that @xmath774 therefore induces an involution on @xmath780 as well .
@xmath774は @xmath780にもインヴォルションを誘導します
we now have the tools to prove theorem [ selfdual ] .
理論を証明するツールができました
let @xmath781 and let @xmath782 denote the color dual of @xmath48 .
@ xmath781 と @ xmath782 は @ xmath48 の色対を表示します.
let @xmath783 denote the graph formed from @xmath48 by replacing each node label @xmath38 with @xmath784 .
@ xmath783 は @ xmath48 から生成されたグラフを表す. @ xmath38 のノードラベルを @ xmath784 に置き換える.
we show that @xmath785 , from which it follows that @xmath782 is isomorphic to @xmath48 up to a relabeling of the nodes .
@xmath782が @xmath48に等同であることを示す.
suppose that in @xmath782 , there is a red arrow from @xmath38 to @xmath7 .
@ xmath782 に @ xmath38 から @ xmath7 までの赤い矢印があるとします.
then in @xmath48 , there is a black arrow from @xmath38 to @xmath7 .
@xmath48では @xmath38から@xmath7までの黒い矢印があります
it follows that there are positive integers @xmath4 and @xmath20 congruent to @xmath38 and @xmath7 mod @xmath11 respectively for which @xmath308 .
順番に @xmath38 と @xmath7 mod @xmath11 に一致する正の整数 @xmath4 と @xmath20 が存在するので,その場合 @xmath308 が存在する.
therefore @xmath786 , and hence @xmath787 .
だから @xmath786, だから @xmath787
thus , in @xmath48 , there is a red arrow from @xmath788 to @xmath789 .
@xmath48では @xmath788から @xmath789までの赤い矢印があります
since @xmath774 is an involution , in @xmath783 , there is a red arrow from @xmath790 to @xmath791 .
@ xmath774 はインヴォルションなので @ xmath783 には @ xmath790 から @ xmath791 までの赤い矢印があります.
similarly , if there is a black arrow from @xmath38 to @xmath7 in @xmath782 then there is a black arrow from @xmath38 to @xmath7 in @xmath783 .
同様に, @ xmath38 から @ xmath7 への黒い矢印が @ xmath782 にある場合, @ xmath38 から @ xmath7 への黒い矢印が @ xmath783 にある場合も同様です.
for the reverse direction , suppose that in @xmath783 there is a red arrow from @xmath38 to @xmath7 .
逆方向では @ xmath783 に @ xmath38 から @ xmath7 までの赤い矢印があるとします.
then in @xmath48 , there is a red arrow from @xmath788 to @xmath789 .
@xmath48では @xmath788から @xmath789までの赤い矢印があります
thus there are positive integers @xmath4 and @xmath20 congruent to @xmath38 and @xmath7 mod @xmath11 respectively for which @xmath787 .
したがって,正の整数 @xmath4 と @xmath20 がそれぞれ @xmath38 と @xmath7 mod @xmath11 に一致し,その場合 @xmath787 が存在する.
thus @xmath786 , and since @xmath774 is an involution , we have @xmath308 .
解の逆の @ xmath786 と @ xmath774 がインヴォルションであるので @ xmath308 が得られます
it follows that there is a red arrow from @xmath38 to @xmath7 in @xmath782 .
@xmath782に @xmath38から@xmath7までの赤い矢印があることがわかります.
a similar argument shows that if there is a black arrow from @xmath38 to @xmath7 in @xmath783 then there is a black arrow from @xmath38 to @xmath7 in @xmath782 .
@xmath783に @xmath38から@xmath7までの黒い矢印があるなら @xmath782にも @xmath38から@xmath7までの黒い矢印があることを示します.
this shows that @xmath48 is self color dual .
@xmath48は自己カラーデュアルであることを示しています.
to prove that no other @xmath304 is self color dual , let @xmath792 where @xmath7 is an odd positive integer greater than @xmath2 and assume that @xmath793 is self color dual then there exists a graph isomorphism @xmath794 mapping red arrows to black ones and vice versa .
他の @ xmath304 が自己色二元でないことを証明するために, @ xmath792 が @ xmath7 より大きい奇数正整数で, @ xmath793 が自己色二元であると仮定すると, 赤矢印を黒矢印にマッピングするグラフ同型性 @ xmath794 が存在する.
for any node @xmath28 in @xmath793 define @xmath795 to be the set of nodes @xmath184 such that there is a black arrow from @xmath28 to @xmath184 and @xmath796 to be the set of nodes @xmath184 such that there is a red arrow from @xmath28 to @xmath184 .
@xmath28のノード @xmath793のノード @xmath795は @xmath184のノード集合として @xmath28から@xmath184までのノード集合に 黒の矢印があり @xmath796は @xmath184のノード集合として @xmath28から@xmath184までのノード集合に 赤の矢印があるように定義します
furthermore , for any nonnegative integer @xmath17 define @xmath797 to be the set of nodes that can be reached starting from @xmath28 by a path of length @xmath17 .
さらに,任意の非負の整数に対して, @ xmath17 は @ xmath797 を @ xmath28 から @ xmath17 の長さの経路で到達できるノードの集合と定義します.
clearly the graph isomorphism @xmath543 must preserve the number of nodes that can be reached in such a manner , i.e.
明らかにグラフの同型 @xmath543 は,このように到達できるノードの数を保持しなければならない,すなわち
@xmath798 for any @xmath28 and @xmath17 .
@xmath798は @xmath28と @xmath17のいずれかのために
suppose a node @xmath28 has a black arrow from @xmath28 to itself .
@ xmath28のノードには @ xmath28からそのノードへの黒い矢印があるとします.
then by the proof of proposition [ gammastructure ] , if @xmath799 then @xmath28 is even and there exists an even integer @xmath800 congruent to @xmath28 modulo @xmath183 such that either @xmath801 or @xmath802 is congruent to @xmath28 , and thus to @xmath800 , modulo 2@xmath803 .
仮説 [ ガンマ構造 ] の証明により,もし @ xmath799 が偶数であるならば, @ xmath28 は偶数で, @ xmath800 が @ xmath28 変数 @ xmath183 に一致する偶数整数が存在し, @ xmath801 または @ xmath802 が @ xmath28 に一致するので, @ xmath800, 2 変数 @ xmath803 に一致する.
thus either @xmath804 or @xmath805 so that in both cases @xmath800 , and thus @xmath28 , must be congruent to @xmath179 modulo @xmath183 .
したがって @ xmath804 または @ xmath805 のいずれかで, @ xmath800 と @ xmath28 は @ xmath179 変数 @ xmath183 に一致しなければならない.
a similar argument shows that the only node @xmath28 that has a red arrow from @xmath28 to itself is @xmath294 .
同じような引数は @ xmath28 からその本体に赤い矢印がついた @ xmath28 のノードが @ xmath294 であることを示します.
since any color reversing graph isomorphism must map these nodes to each other , @xmath806 and @xmath807 .
逆色グラフの同型性はこれらのノードを @ xmath806 と @ xmath807 とマッピングする必要があります.
we now show by finite induction that for any @xmath808 , @xmath809 is the set of all nodes @xmath28 such that @xmath810 .
任意の @ xmath808 に対して @ xmath809 は @ xmath28 のノード集合であるので @ xmath810 であることを有限誘導で示します.
for the base case , notice that @xmath811 so that in particular @xmath812 , i.e.
基本例では @xmath811 が特に @xmath812,つまり
the set of nodes that are congruent to @xmath294 modulo @xmath183 .
@xmath294 modulo @xmath183 に一致するノードの集合
if @xmath813 then we are done .
@xmath813 だったら終わりだ
if not , let @xmath13 and assume that @xmath814 which is a set of odd nodes .
変数でない場合は @ xmath13 と @ xmath814 を奇数のノード集合と仮定します.
then @xmath815 is the set of nodes obtained by following a red arrow from a node @xmath816 .
赤い矢印の後に @ xmath816 というノードから得られるノードの集合です.
since @xmath817 for some @xmath21 , and @xmath818 it follows that @xmath28 is in the set of all nodes that are congruent to @xmath294 modulo @xmath819 .
@xmath817は @xmath21と @xmath818のいずれかの場合, @xmath28は @xmath294 modulo @xmath819に一致するすべてのノードの集合に含まれている.
conversely if @xmath184 is congruent to @xmath294 modulo @xmath819 , then @xmath820 for some @xmath821 and thus is congruent modulo @xmath822 to @xmath823 since @xmath824 it is congruent to an element of @xmath809 and so there is a red arrow from an element of @xmath809 to @xmath184 .
逆に, @ xmath184 が @ xmath294 のモジュール @ xmath819 に一致すると, @ xmath820 は @ xmath821 のモジュール @ xmath822 と @ xmath823 に一致します. @ xmath824 が @ xmath809 の要素に一致しているので, @ xmath809 から @ xmath184 の要素に赤い矢印があります.
thus @xmath815 is the set of nodes that are congruent to @xmath294 modulo @xmath819 , which completes the induction .
したがって @ xmath815 は @ xmath294 modulo @ xmath819 に一致するノードの集合で,これはインデクションを完了します.
a similar argument shows that @xmath825 is the set of all nodes @xmath28 such that @xmath826 for all @xmath808 .
同じような引数は @xmath825 がすべての @xmath808 のノード @xmath28 の集合であることを示します.
since the graph isomorphism @xmath543 must map the set of nodes that are reachable by a path of length @xmath12 from @xmath294 to the set of nodes reachable by a path of length @xmath12 from @xmath806 we have that @xmath543 maps the set of nodes congruent to @xmath294 modulo @xmath7 to those congruent to @xmath179 modulo @xmath7 now @xmath7 is odd , so @xmath45 is invertible modulo @xmath7 .
グラフの同型化 @xmath543 は @xmath12 から @xmath294 の長さの経路で到達可能なノードの集合と @xmath12 から @xmath806 の長さの経路で到達可能なノードの集合をマッピングしなければならないので, @xmath543 は @xmath294 のモジュール @xmath7 に一致するノードの集合と @xmath179 のモジュール @xmath7 に一致するノードの集合をマッピングします.これでは @xmath7 は奇数なので @xmath45 は逆数モジュール @xmath7 です.
let @xmath827 and not congruent to @xmath294 modulo @xmath828 .
@ xmath827 と @ xmath294 modulo @ xmath828 に一致しないとする.
then @xmath28 is even and @xmath829 .
@xmath28は偶数で @xmath829は偶数です
conversely , if @xmath830 then @xmath831 for some even @xmath827 .
逆で,もし @ xmath830 ならば @ xmath831 は偶数 @ xmath827 になる.
thus every node @xmath827 that is not congruent to @xmath294 modulo @xmath828 has a black arrow from @xmath28 to a node @xmath184 congruent to @xmath832 modulo @xmath7 and every node @xmath830 has such an arrow pointing to it .
したがって @xmath827が @xmath294のモジュール @xmath828と一致しないノードには @xmath28から @xmath184の @xmath832のモジュール @xmath7に一致するノードへの黒い矢印があり, @xmath830のノードにはそのノードに指す矢印がある.
since we have seen that all other nodes congruent to @xmath294 modulo @xmath7 only have arrows pointing to other such nodes , @xmath833 consists of all nodes congruent to either @xmath294 or @xmath832 modulo @xmath7 .
@ xmath294 modulo @ xmath7 に一致する他のノードには,他のノードに指す矢印しか存在しないことがわかったので, @ xmath833 は @ xmath294 または @ xmath832 modulo @ xmath7 に一致するすべてのノードで構成されます.
similar arguments show that @xmath834 consists of all nodes congruent to either @xmath294 , @xmath832 , or @xmath835 modulo @xmath7 and that @xmath836 consists of all nodes congruent to either @xmath179 , @xmath837 , @xmath838 , or @xmath839 modulo @xmath7 .
同様の引数では, @ xmath834 は @ xmath294, @ xmath832, または @ xmath835 modulo @ xmath7 に一致するすべてのノードから構成され, @ xmath836 は @ xmath179, @ xmath837, @ xmath838, または @ xmath839 modulo @ xmath7 に一致するすべてのノードから構成されていることが示されています.
if @xmath7 is odd and greater than @xmath279 , directly counting these nodes shows that @xmath840 while @xmath841 contradicting [ eq : cardinality ] .
@xmath7 が奇数で @xmath279 よりも大きい場合,これらのノードを直接数えると @xmath840 が @xmath841 に [ eq: cardinality ] 矛盾していることがわかります.
if @xmath842 , directly counting these nodes shows that @xmath843 while @xmath844 again contradicting [ eq : cardinality ] .
if @xmath842, これらのノードを直接数えると @xmath843 が @xmath844 と同じで, [ eq: cardinality ] と矛盾していることがわかります.
finally , suppose @xmath845 .
ビデオの最後に @xmath845 を想像してみましょう
then @xmath37@xmath846 consists of the nodes congruent to @xmath832 modulo @xmath279 ( i.e.
計算のx37x846は, @xmath832 modulo @xmath279 (すなわち,
the nodes congruent to @xmath847 ) .
@xmath847 に一致するノード)
all arrows from these nodes point to a node congruent to @xmath835 modulo @xmath279 ( i.e.
これらのノードからのすべての矢印は, @xmath835 modulo @xmath279 (すなわち,
the nodes congruent to @xmath848 ) .
@xmath848 に一致するノード)
no node congruent to @xmath848 is in @xmath849 as these are all congruent to @xmath850 .
@ xmath848 に一致するノードは @ xmath849 にないので,これらはすべて @ xmath850 に一致する.
similarly , @xmath851 consists of the nodes congruent to @xmath837 modulo @xmath279 ( i.e.
同様に, @xmath851 は @xmath837 modulo @xmath279 (すなわち,
the nodes congruent to @xmath852 ) .
@xmath852 ) に一致するノードです.
since @xmath543 is a graph isomorphism , it must map the set of nodes @xmath849 to @xmath853 and @xmath846 to @xmath851 and also preserve the property that no arrow coming from a node in @xmath851 can map to a node in @xmath853 .
@ xmath543 はグラフ同型なので @ xmath849 のノードを @ xmath853 と @ xmath846 を @ xmath851 にマッピングし,また @ xmath851 のノードから来る矢印が @ xmath853 のノードにマッピングできないという性質も保持しなければなりません.
but since @xmath854 , the node @xmath35 has a red arrow mapping it to the node @xmath279 , which is in @xmath853 as these are all the nodes congruent to @xmath855 .
しかし @ xmath854 から 赤い矢印で @ xmath35 のノードが @ xmath279 にマッピングされます これは @ xmath853 にあります これは @ xmath855 に一致するノードです
this is a contradiction , which completes the proof .
これは矛盾であり, 証明を完了する.
to illustrate theorem [ selfdual ] , the graph @xmath856 is shown in figure [ mod8 ] , with each odd residue drawn directly above its image under @xmath774 .
定理 [ selfdual ] を説明するために,グラフ @xmath856 は図 [ mod8 ] に示され, @xmath774 の下に各奇数残留が画像のすぐ上に描かれています.
the digraph @xmath856 .
ダイグラフ @xmath856
self color duality is evident by reflecting about the horizontal . ]
横の反射で明らかになる ]
an _ endomorphism _ of a map @xmath779 is any map @xmath857 for which @xmath858 .
図 @ xmath779 の _ エンドモルフィズム _ は,その図 @ xmath858 が,どんな図 @ xmath857 もである.
note that an endomorphism is not necessarily invertible , and so while all autoconjugacies of @xmath1 are endomorphisms of @xmath1 , there may be endomorphisms which are not autoconjugacies .
エンドモルフィズムが必ずしも逆転するわけではないことに注意してください. したがって, @ xmath1 のすべての自己結合は @ xmath1 のエンドモルフィズムである一方, 自己結合でないエンドモルフィズムがある可能性があります.
in @xcite , the fourth author classified and studied all continuous endomorphisms of @xmath1 having solenoidal parity vector functions , and in @xcite , the first author and kraft studied the remaining continuous endomorphisms of @xmath1 .
@xciteでは,第4の著者は,ソレノイド対位ベクトル関数を持つ @xmath1 のすべての連続エンドモルフィズムを分類し,研究した. @xciteでは,第1の著者とクラフトは @xmath1 の残りの連続エンドモルフィズムを研究した.
it is natural to ask whether these endomorphisms yield further insights into the structure of the graphs @xmath48 .
グラフの構造に @ xmath48 より多くの洞察を得られるかどうか疑問に思うのは自然なことなのです
the simplest example of a continuous endomorphism of @xmath1 which is not an autoconjugacy is defined in @xcite as follows .
自動結合でない @xmath1 の連続エンドモルフィズムの一番単純な例は @xcite で次のように定義されています.
let @xmath859 be the _ discrete derivative _ map , given by @xmath860 where @xmath861 for all @xmath212 .
@ xmath859 は @ xmath860 によって与えられた _ 離散派生 _ 図で, @ xmath861 はすべての @ xmath212 に対して
then @xmath862 is an endomorphism of @xmath1 .
@xmath862は @xmath1のエンドモルフィズムである
unlike @xmath774 , the function @xmath863 is not solenoidal , since @xmath864 is not solenoidal .
@ xmath774とは異なり, @ xmath863 はソレノイドではない. @ xmath864 はソレノイドではないからです.
however , the value of @xmath4 mod @xmath11 determines the value of @xmath865 mod @xmath866 for all @xmath12 .
しかし, @ xmath4 mod @ xmath11 の値は, @ xmath865 mod @ xmath866 の値をすべての @ xmath12 に決定します.
in particular , @xmath864 induces a @xmath45-to-@xmath2 map @xmath867 , with @xmath868 for all @xmath4 .
特に @xmath864 は @xmath45 から @xmath2 のマッピング @xmath867 を誘導し, @xmath868 は @xmath4 すべてを誘導します.
thus @xmath863 also induces a @xmath45-to-@xmath2 map @xmath867 , with @xmath869 for all @xmath4 .
したがって @xmath863 は @xmath45 から @xmath2 のマップ @xmath867 を誘導し, @xmath869 は @xmath4 すべてを誘導する.
we therefore obtain the following .
結論として,次のことが得られます.
[ folding ] let @xmath870 be a positive integer .
@ xmath870 を正の整数とする.
* for any @xmath871 , there is a black edge between @xmath872 and @xmath873 in @xmath874 if and only if there is a path of length two in @xmath48 from @xmath4 to @xmath20 that consists of either two black or two red edges .
* @ xmath871 の場合, @ xmath874 の @ xmath872 と @ xmath873 の間に黒い辺があるのは, @ xmath48 から @ xmath4 までの @ xmath20 の間に 2 つの黒い辺または 2 つの赤の辺からなる長さ 2 の経路がある場合のみです.
* for any @xmath871 , there is a red edge between @xmath872 and @xmath873 in @xmath874 if and only if there is a path of length two in @xmath48 from @xmath4 to @xmath20 that consists of one black and one red edge .
* @ xmath871 の場合, @ xmath874 の @ xmath872 と @ xmath873 の間に赤い辺があるのは, @ xmath48 の @ xmath4 から @ xmath20 までの長さ 2 のパスが 1 つの黒い辺と 1 つの赤い辺から構成されている場合のみです.
in other words , @xmath48 `` folds '' onto @xmath874 by identifying @xmath774-pairs and using @xmath864 to define the edges .
簡単に言うと, @ xmath48 ` ` は @ xmath874 に @ xmath774 のペアを識別し, @ xmath864 を使って辺を定義します.
for @xmath875 , the graph @xmath856 shown in figure [ mod8 ] can be folded to obtain the graph @xmath876 , by identifying the @xmath774-pairs of nodes and drawing in new edges according proposition [ folding ] .
@xmath875 の場合,図 [ mod8 ] に示された @xmath856 のグラフは @xmath876 のグラフを得るため, @xmath774 のノードペアを特定し,プロポーズ [ 折り畳み ] に従って新しいエッジを描くことで折り畳みることができます.
( see figure [ foldingexample ] . )
(図 [折り畳み例] を参照)