file_path
stringlengths 11
79
| full_name
stringlengths 2
100
| traced_tactics
list | end
sequence | commit
stringclasses 4
values | url
stringclasses 4
values | start
sequence |
|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean | exp_mem_unitary_of_mem_skewAdjoint | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type u_2\nπΈ : Type u_1\nπΉ : Type ?u.368109\ninstββ· : IsROrC π\ninstββΆ : NormedRing πΈ\ninstββ΅ : NormedAlgebra π πΈ\ninstββ΄ : NormedRing πΉ\ninstβΒ³ : NormedAlgebra π πΉ\ninstβΒ² : CompleteSpace πΈ\ninstβΒΉ : StarRing πΈ\ninstβ : ContinuousStar πΈ\nx : πΈ\nh : x β skewAdjoint πΈ\nβ’ exp π x β unitary πΈ",
"tactic": "rw [unitary.mem_iff, star_exp, skewAdjoint.mem_iff.mp h, β\n exp_add_of_commute (Commute.refl x).neg_left, β exp_add_of_commute (Commute.refl x).neg_right,\n add_left_neg, add_right_neg, exp_zero, and_self_iff]"
}
] | [
492,
57
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
488,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean | MeasureTheory.SignedMeasure.totalVariation_mutuallySingular_iff | [] | [
598,
40
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
595,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean | ConvexCone.salient_iff_not_flat | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type u_1\nE : Type u_2\nF : Type ?u.66658\nG : Type ?u.66661\ninstβΒ² : OrderedSemiring π\ninstβΒΉ : AddCommGroup E\ninstβ : SMul π E\nSβ S : ConvexCone π E\nβ’ Salient S β Β¬Flat S",
"tactic": "simp [Salient, Flat]"
}
] | [
388,
23
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
387,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean | Set.div_union | [] | [
714,
21
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
713,
1
] |
Mathlib/Algebra/Star/Pi.lean | Function.update_star | [] | [
73,
62
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
71,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean | Finset.inf_sdiff_right | [
{
"state_after": "case hβ\nF : Type ?u.200836\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type ?u.200842\nΞ³ : Type ?u.200845\nΞΉ : Type u_1\nΞΊ : Type ?u.200851\ninstβ : BooleanAlgebra Ξ±\ns : Finset ΞΉ\nf : ΞΉ β Ξ±\na : Ξ±\nb : ΞΉ\nβ’ (inf {b} fun b => f b \\ a) = inf {b} f \\ a\n\ncase hβ\nF : Type ?u.200836\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type ?u.200842\nΞ³ : Type ?u.200845\nΞΉ : Type u_1\nΞΊ : Type ?u.200851\ninstβ : BooleanAlgebra Ξ±\ns : Finset ΞΉ\nf : ΞΉ β Ξ±\na : Ξ±\nb : ΞΉ\nt : Finset ΞΉ\nhβ : Β¬b β t\nhsβ : Finset.Nonempty t\nh : (inf t fun b => f b \\ a) = inf t f \\ a\nβ’ (inf (cons b t hβ) fun b => f b \\ a) = inf (cons b t hβ) f \\ a",
"state_before": "F : Type ?u.200836\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type ?u.200842\nΞ³ : Type ?u.200845\nΞΉ : Type u_1\nΞΊ : Type ?u.200851\ninstβ : BooleanAlgebra Ξ±\ns : Finset ΞΉ\nhs : Finset.Nonempty s\nf : ΞΉ β Ξ±\na : Ξ±\nβ’ (inf s fun b => f b \\ a) = inf s f \\ a",
"tactic": "induction' hs using Finset.Nonempty.cons_induction with b b t _ _ h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hβ\nF : Type ?u.200836\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type ?u.200842\nΞ³ : Type ?u.200845\nΞΉ : Type u_1\nΞΊ : Type ?u.200851\ninstβ : BooleanAlgebra Ξ±\ns : Finset ΞΉ\nf : ΞΉ β Ξ±\na : Ξ±\nb : ΞΉ\nβ’ (inf {b} fun b => f b \\ a) = inf {b} f \\ a",
"tactic": "rw [inf_singleton, inf_singleton]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hβ\nF : Type ?u.200836\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type ?u.200842\nΞ³ : Type ?u.200845\nΞΉ : Type u_1\nΞΊ : Type ?u.200851\ninstβ : BooleanAlgebra Ξ±\ns : Finset ΞΉ\nf : ΞΉ β Ξ±\na : Ξ±\nb : ΞΉ\nt : Finset ΞΉ\nhβ : Β¬b β t\nhsβ : Finset.Nonempty t\nh : (inf t fun b => f b \\ a) = inf t f \\ a\nβ’ (inf (cons b t hβ) fun b => f b \\ a) = inf (cons b t hβ) f \\ a",
"tactic": "rw [inf_cons, inf_cons, h, inf_sdiff]"
}
] | [
635,
42
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
631,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean | convexOn_of_slope_mono_adjacent | [
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "let y := a * x + b * z"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "have hxy : x < y := by\n rw [β one_mul x, β hab, add_mul]\n exact add_lt_add_left ((mul_lt_mul_left hb).2 hxz) _"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "have hyz : y < z := by\n rw [β one_mul z, β hab, add_mul]\n exact add_lt_add_right ((mul_lt_mul_left ha).2 hxz) _"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "have : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x) :=\n (div_le_div_iff (sub_pos.2 hxy) (sub_pos.2 hyz)).1 (hf hx hz hxy hyz)"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "have hxz : 0 < z - x := sub_pos.2 (hxy.trans hyz)"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "have ha : (z - y) / (z - x) = a := by\n rw [eq_comm, β sub_eq_iff_eq_add'] at hab\n simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', β hab]\n ring"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhbβ : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nhb : (y - x) / (z - x) = b\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "have hb : (y - x) / (z - x) = b := by\n rw [eq_comm, β sub_eq_iff_eq_add] at hab\n simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', β hab]\n ring"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhbβ : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nhb : (y - x) / (z - x) = b\nβ’ f (a β’ x + b β’ z) β€ a β’ f x + b β’ f z",
"tactic": "rwa [sub_mul, sub_mul, sub_le_iff_le_add', β add_sub_assoc, le_sub_iff_add_le, β mul_add,\n sub_add_sub_cancel, β le_div_iff hxz, add_div, mul_div_assoc, mul_div_assoc, mul_comm (f x),\n mul_comm (f z), ha, hb] at this"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nβ’ a * x + b * x < y",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nβ’ x < y",
"tactic": "rw [β one_mul x, β hab, add_mul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nβ’ a * x + b * x < y",
"tactic": "exact add_lt_add_left ((mul_lt_mul_left hb).2 hxz) _"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nβ’ y < a * z + b * z",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nβ’ y < z",
"tactic": "rw [β one_mul z, β hab, add_mul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxz : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nβ’ y < a * z + b * z",
"tactic": "exact add_lt_add_right ((mul_lt_mul_left ha).2 hxz) _"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - a = b\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nβ’ (z - y) / (z - x) = a",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nβ’ (z - y) / (z - x) = a",
"tactic": "rw [eq_comm, β sub_eq_iff_eq_add'] at hab"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - a = b\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nβ’ z - (a * x + (1 - a) * z) = a * (z - x)",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - a = b\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nβ’ (z - y) / (z - x) = a",
"tactic": "simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', β hab]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nha : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - a = b\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nβ’ z - (a * x + (1 - a) * z) = a * (z - x)",
"tactic": "ring"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - b = a\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nβ’ (y - x) / (z - x) = b",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : a + b = 1\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nβ’ (y - x) / (z - x) = b",
"tactic": "rw [eq_comm, β sub_eq_iff_eq_add] at hab"
},
{
"state_after": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - b = a\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nβ’ (1 - b) * x + b * z - x = b * (z - x)",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - b = a\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nβ’ (y - x) / (z - x) = b",
"tactic": "simp_rw [div_eq_iff hxz.ne', β hab]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type u_1\ninstβ : LinearOrderedField π\ns : Set π\nf : π β π\nhs : Convex π s\nhf : β {x y z : π}, x β s β z β s β x < y β y < z β (f y - f x) / (y - x) β€ (f z - f y) / (z - y)\nx : π\nhx : x β s\nz : π\nhz : z β s\nhxzβ : x < z\na b : π\nhaβ : 0 < a\nhb : 0 < b\nhab : 1 - b = a\ny : π := a * x + b * z\nhxy : x < y\nhyz : y < z\nthis : (f y - f x) * (z - y) β€ (f z - f y) * (y - x)\nhxz : 0 < z - x\nha : (z - y) / (z - x) = a\nβ’ (1 - b) * x + b * z - x = b * (z - x)",
"tactic": "ring"
}
] | [
132,
38
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
106,
1
] |
Mathlib/AlgebraicGeometry/RingedSpace.lean | AlgebraicGeometry.RingedSpace.mem_top_basicOpen | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "X : RingedSpace\nf : β(X.presheaf.obj β€.op)\nx : ββX.toPresheafedSpace\nβ’ x β β€",
"tactic": "trivial"
}
] | [
178,
27
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
176,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Image.lean | Finset.map_singleton | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.39238\nfβ : Ξ± βͺ Ξ²\ns : Finset Ξ±\nf : Ξ± βͺ Ξ²\na : Ξ±\nβ’ β(map f {a}) = β{βf a}",
"tactic": "simp only [coe_map, coe_singleton, Set.image_singleton]"
}
] | [
224,
78
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
223,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Action.lean | CategoryTheory.ActionCategory.back_coe | [
{
"state_after": "case mk\nM : Type u_1\ninstβΒΉ : Monoid M\nX : Type u\ninstβ : MulAction M X\nfstβ : SingleObj M\nsndβ : (actionAsFunctor M X).obj fstβ\nβ’ { fst := (), snd := ActionCategory.back { fst := fstβ, snd := sndβ } } = { fst := fstβ, snd := sndβ }",
"state_before": "M : Type u_1\ninstβΒΉ : Monoid M\nX : Type u\ninstβ : MulAction M X\nx : ActionCategory M X\nβ’ { fst := (), snd := ActionCategory.back x } = x",
"tactic": "cases x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk\nM : Type u_1\ninstβΒΉ : Monoid M\nX : Type u\ninstβ : MulAction M X\nfstβ : SingleObj M\nsndβ : (actionAsFunctor M X).obj fstβ\nβ’ { fst := (), snd := ActionCategory.back { fst := fstβ, snd := sndβ } } = { fst := fstβ, snd := sndβ }",
"tactic": "rfl"
}
] | [
92,
76
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
92,
1
] |
Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean | Bornology.isCobounded_sInter | [] | [
281,
16
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
279,
1
] |
Mathlib/Data/Complex/Basic.lean | Complex.normSq_conj | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "z : β\nβ’ βnormSq (β(starRingEnd β) z) = βnormSq z",
"tactic": "simp [normSq]"
}
] | [
652,
77
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
652,
1
] |
Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean | Order.not_isPredLimit_pred | [] | [
310,
89
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
310,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean | CauchyFilter.cauchyFilter_eq | [
{
"state_after": "case mp\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nβ’ lim βf = lim βg β (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\n\ncase mpr\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nβ’ (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±) β lim βf = lim βg",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nβ’ lim βf = lim βg β (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case mp\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nβ’ (f, g) β s",
"state_before": "case mp\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nβ’ lim βf = lim βg β (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)",
"tactic": "intro e s hs"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nβ’ (f, g) β s",
"state_before": "case mp\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nβ’ (f, g) β s",
"tactic": "rcases CauchyFilter.mem_uniformity'.1 hs with β¨t, tu, tsβ©"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro.a\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nβ’ t β βf ΓΛ’ βg",
"state_before": "case mp.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nβ’ (f, g) β s",
"tactic": "apply ts"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro.a.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\nβ’ t β βf ΓΛ’ βg",
"state_before": "case mp.intro.intro.a\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nβ’ t β βf ΓΛ’ βg",
"tactic": "rcases comp_mem_uniformity_sets tu with β¨d, du, dtβ©"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro.a.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\nx : Ξ± Γ Ξ±\nh : x β {x | (x, lim βf) β d} ΓΛ’ {y | (lim βg, y) β d}\nβ’ x β t",
"state_before": "case mp.intro.intro.a.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\nβ’ t β βf ΓΛ’ βg",
"tactic": "refine'\n mem_prod_iff.2\n β¨_, f.2.le_nhds_lim (mem_nhds_right (lim f.1) du), _,\n g.2.le_nhds_lim (mem_nhds_left (lim g.1) du), fun x h => _β©"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro.a.intro.intro.mk\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\na b : Ξ±\nh : (a, b) β {x | (x, lim βf) β d} ΓΛ’ {y | (lim βg, y) β d}\nβ’ (a, b) β t",
"state_before": "case mp.intro.intro.a.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\nx : Ξ± Γ Ξ±\nh : x β {x | (x, lim βf) β d} ΓΛ’ {y | (lim βg, y) β d}\nβ’ x β t",
"tactic": "cases' x with a b"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro.a.intro.intro.mk.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\na b : Ξ±\nhβ : (a, b).fst β {x | (x, lim βf) β d}\nhβ : (a, b).snd β {y | (lim βg, y) β d}\nβ’ (a, b) β t",
"state_before": "case mp.intro.intro.a.intro.intro.mk\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\na b : Ξ±\nh : (a, b) β {x | (x, lim βf) β d} ΓΛ’ {y | (lim βg, y) β d}\nβ’ (a, b) β t",
"tactic": "cases' h with hβ hβ"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro.a.intro.intro.mk.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\na b : Ξ±\nhβ : (a, b).fst β {x | (x, lim βf) β d}\nhβ : (a, b).snd β {y | (lim βf, y) β d}\nβ’ (a, b) β t",
"state_before": "case mp.intro.intro.a.intro.intro.mk.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\na b : Ξ±\nhβ : (a, b).fst β {x | (x, lim βf) β d}\nhβ : (a, b).snd β {y | (lim βg, y) β d}\nβ’ (a, b) β t",
"tactic": "rw [β e] at hβ"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp.intro.intro.a.intro.intro.mk.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\ne : lim βf = lim βg\ns : Set (CauchyFilter Ξ± Γ CauchyFilter Ξ±)\nhs : s β (π€ (CauchyFilter Ξ±)).sets\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nts : β (f g : CauchyFilter Ξ±), t β βf ΓΛ’ βg β (f, g) β s\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndt : d β d β t\na b : Ξ±\nhβ : (a, b).fst β {x | (x, lim βf) β d}\nhβ : (a, b).snd β {y | (lim βf, y) β d}\nβ’ (a, b) β t",
"tactic": "exact dt β¨_, hβ, hββ©"
},
{
"state_after": "case mpr\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nH : (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nβ’ lim βf = lim βg",
"state_before": "case mpr\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nβ’ (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±) β lim βf = lim βg",
"tactic": "intro H"
},
{
"state_after": "case mpr\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nH : (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nβ’ (lim βf, lim βg) β t",
"state_before": "case mpr\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nH : (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nβ’ lim βf = lim βg",
"tactic": "refine' separated_def.1 (by infer_instance) _ _ fun t tu => _"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nH : (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nβ’ (lim βf, lim βg) β t",
"state_before": "case mpr\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nH : (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nβ’ (lim βf, lim βg) β t",
"tactic": "rcases mem_uniformity_isClosed tu with β¨d, du, dc, dtβ©"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nh : d β βf ΓΛ’ βg\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"state_before": "case mpr.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nH : (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nβ’ (lim βf, lim βg) β t",
"tactic": "refine'\n H { p | (lim p.1.1, lim p.2.1) β t } (CauchyFilter.mem_uniformity'.2 β¨d, du, fun f g h => _β©)"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"state_before": "case mpr.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nh : d β βf ΓΛ’ βg\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"tactic": "rcases mem_prod_iff.1 h with β¨x, xf, y, yg, hβ©"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nlimc : β (f : CauchyFilter Ξ±) (x : Set Ξ±), x β βf β lim βf β closure x\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"state_before": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"tactic": "have limc : β (f : CauchyFilter Ξ±), β x β f.1, lim f.1 β closure x := by\n intro f x xf\n rw [closure_eq_cluster_pts]\n exact f.2.1.mono (le_inf f.2.le_nhds_lim (le_principal_iff.2 xf))"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nlimc : β (f : CauchyFilter Ξ±) (x : Set Ξ±), x β βf β lim βf β closure x\nthis : closure (x ΓΛ’ y) β d\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"state_before": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nlimc : β (f : CauchyFilter Ξ±) (x : Set Ξ±), x β βf β lim βf β closure x\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"tactic": "have := dc.closure_subset_iff.2 h"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nlimc : β (f : CauchyFilter Ξ±) (x : Set Ξ±), x β βf β lim βf β closure x\nthis : closure x ΓΛ’ closure y β d\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"state_before": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nlimc : β (f : CauchyFilter Ξ±) (x : Set Ξ±), x β βf β lim βf β closure x\nthis : closure (x ΓΛ’ y) β d\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"tactic": "rw [closure_prod_eq] at this"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nΞ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nlimc : β (f : CauchyFilter Ξ±) (x : Set Ξ±), x β βf β lim βf β closure x\nthis : closure x ΓΛ’ closure y β d\nβ’ (f, g) β {p | (lim βp.fst, lim βp.snd) β t}",
"tactic": "refine' dt (this β¨_, _β©) <;> dsimp <;> apply limc <;> assumption"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nf g : CauchyFilter Ξ±\nH : (f, g) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nβ’ SeparatedSpace Ξ±",
"tactic": "infer_instance"
},
{
"state_after": "Ξ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβΒΉ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβΒΉ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nfβ g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βfβ ΓΛ’ βg\nxβ : Set Ξ±\nxfβ : xβ β βfβ\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : xβ ΓΛ’ y β d\nf : CauchyFilter Ξ±\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\nβ’ lim βf β closure x",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nf g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βf ΓΛ’ βg\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : x ΓΛ’ y β d\nβ’ β (f : CauchyFilter Ξ±) (x : Set Ξ±), x β βf β lim βf β closure x",
"tactic": "intro f x xf"
},
{
"state_after": "Ξ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβΒΉ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβΒΉ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nfβ g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βfβ ΓΛ’ βg\nxβ : Set Ξ±\nxfβ : xβ β βfβ\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : xβ ΓΛ’ y β d\nf : CauchyFilter Ξ±\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\nβ’ lim βf β {a | ClusterPt a (π x)}",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβΒΉ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβΒΉ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nfβ g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βfβ ΓΛ’ βg\nxβ : Set Ξ±\nxfβ : xβ β βfβ\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : xβ ΓΛ’ y β d\nf : CauchyFilter Ξ±\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\nβ’ lim βf β closure x",
"tactic": "rw [closure_eq_cluster_pts]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβΒ³ : Inhabited Ξ±\ninstβΒ² : UniformSpace Ξ±\ninstβΒΉ : CompleteSpace Ξ±\ninstβ : SeparatedSpace Ξ±\nfβΒΉ gβ : CauchyFilter Ξ±\nH : (fβΒΉ, gβ) β π’ (CauchyFilter Ξ±)\nt : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ntu : t β π€ Ξ±\nd : Set (Ξ± Γ Ξ±)\ndu : d β π€ Ξ±\ndc : IsClosed d\ndt : d β t\nfβ g : CauchyFilter Ξ±\nhβ : d β βfβ ΓΛ’ βg\nxβ : Set Ξ±\nxfβ : xβ β βfβ\ny : Set Ξ±\nyg : y β βg\nh : xβ ΓΛ’ y β d\nf : CauchyFilter Ξ±\nx : Set Ξ±\nxf : x β βf\nβ’ lim βf β {a | ClusterPt a (π x)}",
"tactic": "exact f.2.1.mono (le_inf f.2.le_nhds_lim (le_principal_iff.2 xf))"
}
] | [
315,
69
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
287,
1
] |
Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean | GaloisConnection.l_csSup | [] | [
1280,
79
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1278,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean | Set.image_const_add_Iic | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβ : OrderedAddCommGroup Ξ±\na b c : Ξ±\nβ’ (fun x => a + x) '' Iic b = Iic (a + b)",
"tactic": "simp [add_comm]"
}
] | [
266,
92
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
266,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean | MeasureTheory.L1.SimpleFunc.negPart_toSimpleFunc | [
{
"state_after": "Ξ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\nβ’ β(toSimpleFunc (posPart (-f))) =α΅[ΞΌ] β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f))",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\nβ’ β(toSimpleFunc (negPart f)) =α΅[ΞΌ] β(MeasureTheory.SimpleFunc.negPart (toSimpleFunc f))",
"tactic": "rw [SimpleFunc.negPart, MeasureTheory.SimpleFunc.negPart]"
},
{
"state_after": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\nβ’ β (a : Ξ±),\n β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a β\n β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a β\n β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\nβ’ β(toSimpleFunc (posPart (-f))) =α΅[ΞΌ] β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f))",
"tactic": "filter_upwards [posPart_toSimpleFunc (-f), neg_toSimpleFunc f]"
},
{
"state_after": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a",
"state_before": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\nβ’ β (a : Ξ±),\n β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a β\n β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a β\n β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a",
"tactic": "intro a hβ hβ"
},
{
"state_after": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a",
"state_before": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a",
"tactic": "rw [hβ]"
},
{
"state_after": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ max (β(toSimpleFunc (-f)) a) 0 = max (β(-toSimpleFunc f) a) 0",
"state_before": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (-toSimpleFunc f)) a",
"tactic": "show max _ _ = max _ _"
},
{
"state_after": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ max ((-β(toSimpleFunc f)) a) 0 = max (β(-toSimpleFunc f) a) 0",
"state_before": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ max (β(toSimpleFunc (-f)) a) 0 = max (β(-toSimpleFunc f) a) 0",
"tactic": "rw [hβ]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nΞ± : Type u_1\nE : Type ?u.357414\nF : Type ?u.357417\nπ : Type ?u.357420\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedAddCommGroup F\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\ninstββΈ : NormedField π\ninstββ· : NormedSpace π E\ninstββΆ : NormedSpace β E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\nF' : Type ?u.359795\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup F'\ninstβΒ³ : NormedSpace β F'\nE' : Type ?u.359891\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E'\ninstβΒΉ : NormedSpace β E'\ninstβ : NormedSpace π E'\nf : { x // x β simpleFunc β 1 ΞΌ }\na : Ξ±\nhβ : β(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = β(MeasureTheory.SimpleFunc.posPart (toSimpleFunc (-f))) a\nhβ : β(toSimpleFunc (-f)) a = (-β(toSimpleFunc f)) a\nβ’ max ((-β(toSimpleFunc f)) a) 0 = max (β(-toSimpleFunc f) a) 0",
"tactic": "rfl"
}
] | [
612,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
604,
1
] |
Mathlib/Data/Real/ENNReal.lean | ENNReal.mul_eq_mul_left | [] | [
1019,
49
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1018,
1
] |
Mathlib/Data/Real/ENNReal.lean | ENNReal.mul_left_mono | [] | [
975,
74
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
975,
1
] |
Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean | Polynomial.natDegree_prod | [
{
"state_after": "R : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nβ’ natDegree (β i in s, f i) = β i in s, natDegree (f i)",
"state_before": "R : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ’ natDegree (β i in s, f i) = β i in s, natDegree (f i)",
"tactic": "nontriviality R"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nβ’ β i in s, leadingCoeff (f i) β 0",
"state_before": "R : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nβ’ natDegree (β i in s, f i) = β i in s, natDegree (f i)",
"tactic": "apply natDegree_prod'"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nβ’ β (a : ΞΉ), a β s β leadingCoeff (f a) β 0",
"state_before": "case h\nR : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nβ’ β i in s, leadingCoeff (f i) β 0",
"tactic": "rw [prod_ne_zero_iff]"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nx : ΞΉ\nhx : x β s\nβ’ leadingCoeff (f x) β 0",
"state_before": "case h\nR : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nβ’ β (a : ΞΉ), a β s β leadingCoeff (f a) β 0",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nR : Type u\nΞΉ : Type w\ns : Finset ΞΉ\ninstβΒΉ : CommSemiring R\ninstβ : NoZeroDivisors R\nf : ΞΉ β R[X]\nt : Multiset R[X]\nh : β (i : ΞΉ), i β s β f i β 0\nβ : Nontrivial R\nx : ΞΉ\nhx : x β s\nβ’ leadingCoeff (f x) β 0",
"tactic": "simp [h x hx]"
}
] | [
320,
28
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
315,
1
] |
Mathlib/Data/Semiquot.lean | Semiquot.mem_pure | [] | [
164,
24
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
163,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean | CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian.neg_add | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninstβΒΉ : Category C\ninstβ : NonPreadditiveAbelian C\nX Y : C\na b : X βΆ Y\nβ’ -(a + b) = -a - b",
"tactic": "rw [add_def, neg_sub', add_neg]"
}
] | [
415,
98
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
415,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean | CategoryTheory.Quotient.comp_right | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u_2\ninstβ : Category C\nr : HomRel C\na b c : C\ng : b βΆ c\naβ bβ : C\nx : a βΆ aβ\nmβ mβ : aβ βΆ bβ\ny : bβ βΆ b\nh : r mβ mβ\nβ’ CompClosure r ((x β« mβ β« y) β« g) ((x β« mβ β« y) β« g)",
"tactic": "simpa using CompClosure.intro x mβ mβ (y β« g) h"
}
] | [
81,
82
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
79,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity.lean | SimpleGraph.Walk.mem_support_nil_iff | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "V : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\nβ’ u β support nil β u = v",
"tactic": "simp"
}
] | [
591,
90
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
591,
1
] |
Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean | Equiv.Perm.subtypeCongr.left_apply | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ΅ : Type u_1\np : Ξ΅ β Prop\ninstβ : DecidablePred p\nep ep' : Perm { a // p a }\nen en' : Perm { a // Β¬p a }\na : Ξ΅\nh : p a\nβ’ β(subtypeCongr ep en) a = β(βep { val := a, property := h })",
"tactic": "simp [Perm.subtypeCongr.apply, h]"
}
] | [
566,
36
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
565,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean | Module.End.eigenspace_restrict_eq_bot | [
{
"state_after": "K R : Type v\nV M : Type w\ninstββ΅ : CommRing R\ninstββ΄ : AddCommGroup M\ninstβΒ³ : Module R M\ninstβΒ² : Field K\ninstβΒΉ : AddCommGroup V\ninstβ : Module K V\nf : End R M\np : Submodule R M\nhfp : β (x : M), x β p β βf x β p\nΞΌ : R\nhΞΌp : Disjoint (eigenspace f ΞΌ) p\nβ’ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) ΞΌ β€ β₯",
"state_before": "K R : Type v\nV M : Type w\ninstββ΅ : CommRing R\ninstββ΄ : AddCommGroup M\ninstβΒ³ : Module R M\ninstβΒ² : Field K\ninstβΒΉ : AddCommGroup V\ninstβ : Module K V\nf : End R M\np : Submodule R M\nhfp : β (x : M), x β p β βf x β p\nΞΌ : R\nhΞΌp : Disjoint (eigenspace f ΞΌ) p\nβ’ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) ΞΌ = β₯",
"tactic": "rw [eq_bot_iff]"
},
{
"state_after": "K R : Type v\nV M : Type w\ninstββ΅ : CommRing R\ninstββ΄ : AddCommGroup M\ninstβΒ³ : Module R M\ninstβΒ² : Field K\ninstβΒΉ : AddCommGroup V\ninstβ : Module K V\nf : End R M\np : Submodule R M\nhfp : β (x : M), x β p β βf x β p\nΞΌ : R\nhΞΌp : Disjoint (eigenspace f ΞΌ) p\nx : { x // x β p }\nhx : x β eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) ΞΌ\nβ’ x β β₯",
"state_before": "K R : Type v\nV M : Type w\ninstββ΅ : CommRing R\ninstββ΄ : AddCommGroup M\ninstβΒ³ : Module R M\ninstβΒ² : Field K\ninstβΒΉ : AddCommGroup V\ninstβ : Module K V\nf : End R M\np : Submodule R M\nhfp : β (x : M), x β p β βf x β p\nΞΌ : R\nhΞΌp : Disjoint (eigenspace f ΞΌ) p\nβ’ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) ΞΌ β€ β₯",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "K R : Type v\nV M : Type w\ninstββ΅ : CommRing R\ninstββ΄ : AddCommGroup M\ninstβΒ³ : Module R M\ninstβΒ² : Field K\ninstβΒΉ : AddCommGroup V\ninstβ : Module K V\nf : End R M\np : Submodule R M\nhfp : β (x : M), x β p β βf x β p\nΞΌ : R\nhΞΌp : Disjoint (eigenspace f ΞΌ) p\nx : { x // x β p }\nhx : x β eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) ΞΌ\nβ’ x β β₯",
"tactic": "simpa using hΞΌp.le_bot β¨eigenspace_restrict_le_eigenspace f hfp ΞΌ β¨x, hx, rflβ©, x.propβ©"
}
] | [
433,
90
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
429,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean | LinearMap.flip_separatingRight | [] | [
687,
49
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
685,
1
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean | List.exists_mem_cons | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\np : Ξ± β Prop\na : Ξ±\nl : List Ξ±\nβ’ (β x, x β a :: l β§ p x) β p a β¨ β x, x β l β§ p x",
"tactic": "simp"
}
] | [
218,
56
] | e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936 | https://github.com/leanprover/std4 | [
217,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean | Int.coprime_iff_nat_coprime | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a b : β€\nβ’ IsCoprime a b β Nat.coprime (natAbs a) (natAbs b)",
"tactic": "rw [β gcd_eq_one_iff_coprime, Nat.coprime_iff_gcd_eq_one, gcd_eq_natAbs]"
}
] | [
206,
75
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
205,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean | LieAlgebra.SpecialLinear.sl_non_abelian | [
{
"state_after": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nβ’ Β¬IsLieAbelian { x // x β sl n R }",
"state_before": "n : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nβ’ Β¬IsLieAbelian { x // x β sl n R }",
"tactic": "rcases Fintype.exists_pair_of_one_lt_card h with β¨j, i, hijβ©"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nβ’ Β¬IsLieAbelian { x // x β sl n R }",
"state_before": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nβ’ Β¬IsLieAbelian { x // x β sl n R }",
"tactic": "let A := Eb R i j hij"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nB : { x // x β sl n R } := Eb R j i (_ : i β j)\nβ’ Β¬IsLieAbelian { x // x β sl n R }",
"state_before": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nβ’ Β¬IsLieAbelian { x // x β sl n R }",
"tactic": "let B := Eb R j i hij.symm"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nB : { x // x β sl n R } := Eb R j i (_ : i β j)\nc : IsLieAbelian { x // x β sl n R }\nβ’ False",
"state_before": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nB : { x // x β sl n R } := Eb R j i (_ : i β j)\nβ’ Β¬IsLieAbelian { x // x β sl n R }",
"tactic": "intro c"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nB : { x // x β sl n R } := Eb R j i (_ : i β j)\nc : IsLieAbelian { x // x β sl n R }\nc' : βA β¬ βB = βB β¬ βA\nβ’ False",
"state_before": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nB : { x // x β sl n R } := Eb R j i (_ : i β j)\nc : IsLieAbelian { x // x β sl n R }\nβ’ False",
"tactic": "have c' : A.val β¬ B.val = B.val β¬ A.val := by\n rw [β sub_eq_zero, β sl_bracket, c.trivial, ZeroMemClass.coe_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nn : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nB : { x // x β sl n R } := Eb R j i (_ : i β j)\nc : IsLieAbelian { x // x β sl n R }\nc' : βA β¬ βB = βB β¬ βA\nβ’ False",
"tactic": "simpa [stdBasisMatrix, Matrix.mul_apply, hij] using congr_fun (congr_fun c' i) i"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : Type u_1\np : Type ?u.17923\nq : Type ?u.17926\nl : Type ?u.17929\nR : Type uβ\ninstββΆ : DecidableEq n\ninstββ΅ : DecidableEq p\ninstββ΄ : DecidableEq q\ninstβΒ³ : DecidableEq l\ninstβΒ² : CommRing R\ninstβΒΉ : Fintype n\ninstβ : Nontrivial R\nh : 1 < Fintype.card n\nj i : n\nhij : j β i\nA : { x // x β sl n R } := Eb R i j hij\nB : { x // x β sl n R } := Eb R j i (_ : i β j)\nc : IsLieAbelian { x // x β sl n R }\nβ’ βA β¬ βB = βB β¬ βA",
"tactic": "rw [β sub_eq_zero, β sl_bracket, c.trivial, ZeroMemClass.coe_zero]"
}
] | [
136,
83
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
128,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Prod.lean | Filter.sup_prod | [
{
"state_after": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.5445\nΞ΄ : Type ?u.5448\nΞΉ : Sort ?u.5451\ns : Set Ξ±\nt : Set Ξ²\nf : Filter Ξ±\ngβ : Filter Ξ²\nfβ fβ : Filter Ξ±\ng : Filter Ξ²\nβ’ Filter.prod (fβ β fβ) g = Filter.prod fβ g β Filter.prod fβ g",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.5445\nΞ΄ : Type ?u.5448\nΞΉ : Sort ?u.5451\ns : Set Ξ±\nt : Set Ξ²\nf : Filter Ξ±\ngβ : Filter Ξ²\nfβ fβ : Filter Ξ±\ng : Filter Ξ²\nβ’ (fβ β fβ) ΓΛ’ g = fβ ΓΛ’ g β fβ ΓΛ’ g",
"tactic": "dsimp only [SProd.sprod]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.5445\nΞ΄ : Type ?u.5448\nΞΉ : Sort ?u.5451\ns : Set Ξ±\nt : Set Ξ²\nf : Filter Ξ±\ngβ : Filter Ξ²\nfβ fβ : Filter Ξ±\ng : Filter Ξ²\nβ’ Filter.prod (fβ β fβ) g = Filter.prod fβ g β Filter.prod fβ g",
"tactic": "rw [Filter.prod, comap_sup, inf_sup_right, β Filter.prod, β Filter.prod]"
}
] | [
124,
75
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
122,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear.lean | continuousMultilinearCurryFin0_apply | [] | [
1707,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1705,
1
] |
Std/Data/String/Lemmas.lean | String.data_dropWhile | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "p : Char β Bool\ns : String\nβ’ (dropWhile s p).data = List.dropWhile p s.data",
"tactic": "rw [dropWhile_eq]"
}
] | [
1111,
64
] | e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936 | https://github.com/leanprover/std4 | [
1110,
9
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear.lean | ContinuousMultilinearMap.curry_uncurryRight | [
{
"state_after": "case H.h\nπ : Type u\nΞΉ : Type v\nΞΉ' : Type v'\nn : β\nE : ΞΉ β Type wE\nEβ : ΞΉ β Type wEβ\nE' : ΞΉ' β Type wE'\nEi : Fin (Nat.succ n) β Type wEi\nG : Type wG\nG' : Type wG'\ninstβΒΉβ΄ : Fintype ΞΉ\ninstβΒΉΒ³ : Fintype ΞΉ'\ninstβΒΉΒ² : NontriviallyNormedField π\ninstβΒΉΒΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (E i)\ninstβΒΉβ° : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (E i)\ninstββΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (Eβ i)\ninstββΈ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Eβ i)\ninstββ· : (i : ΞΉ') β NormedAddCommGroup (E' i)\ninstββΆ : (i : ΞΉ') β NormedSpace π (E' i)\ninstββ΅ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedAddCommGroup (Ei i)\ninstββ΄ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedSpace π (Ei i)\ninstβΒ³ : NormedAddCommGroup G\ninstβΒ² : NormedSpace π G\ninstβΒΉ : NormedAddCommGroup G'\ninstβ : NormedSpace π G'\nf : ContinuousMultilinearMap π (fun i => Ei (βcastSucc i)) (Ei (last n) βL[π] G)\nm : (i : Fin n) β Ei (βcastSucc i)\nx : Ei (last n)\nβ’ β(β(curryRight (uncurryRight f)) m) x = β(βf m) x",
"state_before": "π : Type u\nΞΉ : Type v\nΞΉ' : Type v'\nn : β\nE : ΞΉ β Type wE\nEβ : ΞΉ β Type wEβ\nE' : ΞΉ' β Type wE'\nEi : Fin (Nat.succ n) β Type wEi\nG : Type wG\nG' : Type wG'\ninstβΒΉβ΄ : Fintype ΞΉ\ninstβΒΉΒ³ : Fintype ΞΉ'\ninstβΒΉΒ² : NontriviallyNormedField π\ninstβΒΉΒΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (E i)\ninstβΒΉβ° : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (E i)\ninstββΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (Eβ i)\ninstββΈ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Eβ i)\ninstββ· : (i : ΞΉ') β NormedAddCommGroup (E' i)\ninstββΆ : (i : ΞΉ') β NormedSpace π (E' i)\ninstββ΅ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedAddCommGroup (Ei i)\ninstββ΄ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedSpace π (Ei i)\ninstβΒ³ : NormedAddCommGroup G\ninstβΒ² : NormedSpace π G\ninstβΒΉ : NormedAddCommGroup G'\ninstβ : NormedSpace π G'\nf : ContinuousMultilinearMap π (fun i => Ei (βcastSucc i)) (Ei (last n) βL[π] G)\nβ’ curryRight (uncurryRight f) = f",
"tactic": "ext (m x)"
},
{
"state_after": "case H.h\nπ : Type u\nΞΉ : Type v\nΞΉ' : Type v'\nn : β\nE : ΞΉ β Type wE\nEβ : ΞΉ β Type wEβ\nE' : ΞΉ' β Type wE'\nEi : Fin (Nat.succ n) β Type wEi\nG : Type wG\nG' : Type wG'\ninstβΒΉβ΄ : Fintype ΞΉ\ninstβΒΉΒ³ : Fintype ΞΉ'\ninstβΒΉΒ² : NontriviallyNormedField π\ninstβΒΉΒΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (E i)\ninstβΒΉβ° : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (E i)\ninstββΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (Eβ i)\ninstββΈ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Eβ i)\ninstββ· : (i : ΞΉ') β NormedAddCommGroup (E' i)\ninstββΆ : (i : ΞΉ') β NormedSpace π (E' i)\ninstββ΅ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedAddCommGroup (Ei i)\ninstββ΄ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedSpace π (Ei i)\ninstβΒ³ : NormedAddCommGroup G\ninstβΒ² : NormedSpace π G\ninstβΒΉ : NormedAddCommGroup G'\ninstβ : NormedSpace π G'\nf : ContinuousMultilinearMap π (fun i => Ei (βcastSucc i)) (Ei (last n) βL[π] G)\nm : (i : Fin n) β Ei (βcastSucc i)\nx : Ei (last n)\nβ’ β(βf (init (snoc m x))) x = β(βf m) x",
"state_before": "case H.h\nπ : Type u\nΞΉ : Type v\nΞΉ' : Type v'\nn : β\nE : ΞΉ β Type wE\nEβ : ΞΉ β Type wEβ\nE' : ΞΉ' β Type wE'\nEi : Fin (Nat.succ n) β Type wEi\nG : Type wG\nG' : Type wG'\ninstβΒΉβ΄ : Fintype ΞΉ\ninstβΒΉΒ³ : Fintype ΞΉ'\ninstβΒΉΒ² : NontriviallyNormedField π\ninstβΒΉΒΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (E i)\ninstβΒΉβ° : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (E i)\ninstββΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (Eβ i)\ninstββΈ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Eβ i)\ninstββ· : (i : ΞΉ') β NormedAddCommGroup (E' i)\ninstββΆ : (i : ΞΉ') β NormedSpace π (E' i)\ninstββ΅ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedAddCommGroup (Ei i)\ninstββ΄ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedSpace π (Ei i)\ninstβΒ³ : NormedAddCommGroup G\ninstβΒ² : NormedSpace π G\ninstβΒΉ : NormedAddCommGroup G'\ninstβ : NormedSpace π G'\nf : ContinuousMultilinearMap π (fun i => Ei (βcastSucc i)) (Ei (last n) βL[π] G)\nm : (i : Fin n) β Ei (βcastSucc i)\nx : Ei (last n)\nβ’ β(β(curryRight (uncurryRight f)) m) x = β(βf m) x",
"tactic": "simp only [snoc_last, ContinuousMultilinearMap.curryRight_apply,\n ContinuousMultilinearMap.uncurryRight_apply]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case H.h\nπ : Type u\nΞΉ : Type v\nΞΉ' : Type v'\nn : β\nE : ΞΉ β Type wE\nEβ : ΞΉ β Type wEβ\nE' : ΞΉ' β Type wE'\nEi : Fin (Nat.succ n) β Type wEi\nG : Type wG\nG' : Type wG'\ninstβΒΉβ΄ : Fintype ΞΉ\ninstβΒΉΒ³ : Fintype ΞΉ'\ninstβΒΉΒ² : NontriviallyNormedField π\ninstβΒΉΒΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (E i)\ninstβΒΉβ° : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (E i)\ninstββΉ : (i : ΞΉ) β NormedAddCommGroup (Eβ i)\ninstββΈ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Eβ i)\ninstββ· : (i : ΞΉ') β NormedAddCommGroup (E' i)\ninstββΆ : (i : ΞΉ') β NormedSpace π (E' i)\ninstββ΅ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedAddCommGroup (Ei i)\ninstββ΄ : (i : Fin (Nat.succ n)) β NormedSpace π (Ei i)\ninstβΒ³ : NormedAddCommGroup G\ninstβΒ² : NormedSpace π G\ninstβΒΉ : NormedAddCommGroup G'\ninstβ : NormedSpace π G'\nf : ContinuousMultilinearMap π (fun i => Ei (βcastSucc i)) (Ei (last n) βL[π] G)\nm : (i : Fin n) β Ei (βcastSucc i)\nx : Ei (last n)\nβ’ β(βf (init (snoc m x))) x = β(βf m) x",
"tactic": "rw [init_snoc]"
}
] | [
1504,
17
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1498,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Operations.lean | MulEquiv.coe_submonoidMap_apply | [] | [
1449,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1447,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Prod.lean | hasDerivWithinAt_pi | [] | [
106,
22
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
104,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean | intervalIntegral.integral_non_aestronglyMeasurable_of_le | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ΞΉ : Type ?u.11347958\nπ : Type ?u.11347961\nE : Type u_1\nF : Type ?u.11347967\nA : Type ?u.11347970\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : CompleteSpace E\ninstβ : NormedSpace β E\na b : β\nf g : β β E\nΞΌ : MeasureTheory.Measure β\nh : a β€ b\nhf : Β¬AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict ΞΌ (Ioc a b))\nβ’ Β¬AEStronglyMeasurable (fun x => f x) (Measure.restrict ΞΌ (Ξ a b))",
"tactic": "rwa [uIoc_of_le h]"
}
] | [
525,
61
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
523,
1
] |
Mathlib/Order/Atoms.lean | Set.Ici.isAtom_iff | [
{
"state_after": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type ?u.6700\ninstβ : PartialOrder Ξ±\na bβ : Ξ±\nb : β(Ici a)\nβ’ β₯ β b β a β βb",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type ?u.6700\ninstβ : PartialOrder Ξ±\na bβ : Ξ±\nb : β(Ici a)\nβ’ IsAtom b β a β βb",
"tactic": "rw [β bot_covby_iff]"
},
{
"state_after": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type ?u.6700\ninstβ : PartialOrder Ξ±\na bβ : Ξ±\nb : β(Ici a)\nβ’ OrdConnected (range β(OrderEmbedding.subtype fun c => a β€ c))",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type ?u.6700\ninstβ : PartialOrder Ξ±\na bβ : Ξ±\nb : β(Ici a)\nβ’ β₯ β b β a β βb",
"tactic": "refine' (Set.OrdConnected.apply_covby_apply_iff (OrderEmbedding.subtype fun c => a β€ c) _).symm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type ?u.6700\ninstβ : PartialOrder Ξ±\na bβ : Ξ±\nb : β(Ici a)\nβ’ OrdConnected (range β(OrderEmbedding.subtype fun c => a β€ c))",
"tactic": "simpa only [OrderEmbedding.subtype_apply, Subtype.range_coe_subtype] using Set.ordConnected_Ici"
}
] | [
189,
98
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
186,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean | DoubleQuot.coe_quotQuotMkβ | [] | [
725,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
724,
1
] |
Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean | Computation.parallel_congr_right | [] | [
410,
54
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
408,
1
] |
Mathlib/Algebra/Quaternion.lean | Quaternion.normSq_zpow | [] | [
1402,
23
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1401,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean | CategoryTheory.Limits.biproduct.ΞΉ_Ο_self | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "J : Type w\nC : Type u\ninstβΒ² : Category C\ninstβΒΉ : HasZeroMorphisms C\nf : J β C\ninstβ : HasBiproduct f\nj : J\nβ’ ΞΉ f j β« Ο f j = π (f j)",
"tactic": "simp [biproduct.ΞΉ_Ο]"
}
] | [
419,
71
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
418,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean | Ordinal.principal_add_of_principal_mul | [
{
"state_after": "case inl\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nhoβ : o < 2\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o\n\ncase inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"state_before": "o : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"tactic": "cases' lt_or_gt_of_ne hoβ with hoβ hoβ"
},
{
"state_after": "case inl\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nhoβ : o < succ 1\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"state_before": "case inl\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nhoβ : o < 2\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"tactic": "replace hoβ : o < succ 1 := by simpa using hoβ"
},
{
"state_after": "case inl\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nhoβ : o β€ 1\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"state_before": "case inl\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nhoβ : o < succ 1\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"tactic": "rw [lt_succ_iff] at hoβ"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nhoβ : o β€ 1\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"tactic": "exact principal_add_of_le_one hoβ"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "o : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoβ : o β 2\nhoβ : o < 2\nβ’ o < succ 1",
"tactic": "simpa using hoβ"
},
{
"state_after": "case inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\na b : Ordinal\nhao : a < o\nhbo : b < o\nβ’ (fun x x_1 => x + x_1) a b β€ (fun x x_1 => x * x_1) (max a b) 2",
"state_before": "case inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\nβ’ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o",
"tactic": "refine' fun a b hao hbo => lt_of_le_of_lt _ (ho (max_lt hao hbo) hoβ)"
},
{
"state_after": "case inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\na b : Ordinal\nhao : a < o\nhbo : b < o\nβ’ a + b β€ max a b * 2",
"state_before": "case inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\na b : Ordinal\nhao : a < o\nhbo : b < o\nβ’ (fun x x_1 => x + x_1) a b β€ (fun x x_1 => x * x_1) (max a b) 2",
"tactic": "dsimp only"
},
{
"state_after": "case inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\na b : Ordinal\nhao : a < o\nhbo : b < o\nβ’ a + b β€ max a b + max a b",
"state_before": "case inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\na b : Ordinal\nhao : a < o\nhbo : b < o\nβ’ a + b β€ max a b * 2",
"tactic": "rw [β one_add_one_eq_two, mul_add, mul_one]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\no : Ordinal\nho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o\nhoββ : o β 2\nhoβ : o > 2\na b : Ordinal\nhao : a < o\nhbo : b < o\nβ’ a + b β€ max a b + max a b",
"tactic": "exact add_le_add (le_max_left a b) (le_max_right a b)"
}
] | [
314,
58
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
305,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean | Int.ceil_eq_on_Ioc' | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type ?u.227030\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type ?u.227036\ninstβΒΉ : LinearOrderedRing Ξ±\ninstβ : FloorRing Ξ±\nzβ : β€\naβ : Ξ±\nz : β€\na : Ξ±\nha : a β Ioc (βz - 1) βz\nβ’ ββaβ = βz",
"tactic": "exact_mod_cast ceil_eq_on_Ioc z a ha"
}
] | [
1220,
39
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1219,
1
] |
Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean | ProjectiveSpectrum.zeroLocus_univ | [] | [
231,
48
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
230,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean | smul_vsub_rev_mem_vectorSpan_pair | [] | [
1275,
64
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1273,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiLp.lean | PiLp.nnnorm_equiv_symm_single | [
{
"state_after": "p : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ p)\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nβ’ ββ(PiLp.equiv p Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"state_before": "p : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx y : PiLp p Ξ²\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ p)\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nβ’ ββ(PiLp.equiv p Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"tactic": "clear x y"
},
{
"state_after": "p : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ p)\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nβ’ ββ(PiLp.equiv p Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"state_before": "p : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ p)\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nβ’ ββ(PiLp.equiv p Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"tactic": "haveI : Nonempty ΞΉ := β¨iβ©"
},
{
"state_after": "case top\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nβ’ (β¨ (i_1 : ΞΉ), βPi.single i b i_1ββ) = βbββ",
"state_before": "case top\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nβ’ ββ(PiLp.equiv β€ Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"tactic": "simp_rw [nnnorm_eq_ciSup, equiv_symm_apply]"
},
{
"state_after": "case top.refine'_1\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nj : ΞΉ\nβ’ βPi.single i b jββ β€ βbββ\n\ncase top.refine'_2\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nn : ββ₯0\nhn : n < βbββ\nβ’ βbββ = βPi.single i b iββ",
"state_before": "case top\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nβ’ (β¨ (i_1 : ΞΉ), βPi.single i b i_1ββ) = βbββ",
"tactic": "refine' ciSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt (fun j => _) fun n hn => β¨i, hn.trans_eq _β©"
},
{
"state_after": "case top.refine'_1.inl\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nβ’ βPi.single i b iββ β€ βbββ\n\ncase top.refine'_1.inr\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nj : ΞΉ\nhij : i β j\nβ’ βPi.single i b jββ β€ βbββ",
"state_before": "case top.refine'_1\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nj : ΞΉ\nβ’ βPi.single i b jββ β€ βbββ",
"tactic": "obtain rfl | hij := Decidable.eq_or_ne i j"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case top.refine'_1.inl\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nβ’ βPi.single i b iββ β€ βbββ",
"tactic": "rw [Pi.single_eq_same]"
},
{
"state_after": "case top.refine'_1.inr\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nj : ΞΉ\nhij : i β j\nβ’ 0 β€ βbββ",
"state_before": "case top.refine'_1.inr\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nj : ΞΉ\nhij : i β j\nβ’ βPi.single i b jββ β€ βbββ",
"tactic": "rw [Pi.single_eq_of_ne' hij, nnnorm_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case top.refine'_1.inr\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nj : ΞΉ\nhij : i β j\nβ’ 0 β€ βbββ",
"tactic": "exact zero_le _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case top.refine'_2\np : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ p)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\nhp : Fact (1 β€ β€)\nn : ββ₯0\nhn : n < βbββ\nβ’ βbββ = βPi.single i b iββ",
"tactic": "rw [Pi.single_eq_same]"
},
{
"state_after": "case coe\npβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nhp0 : βp β 0\nβ’ ββ(PiLp.equiv (βp) Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"state_before": "case coe\npβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nβ’ ββ(PiLp.equiv (βp) Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"tactic": "have hp0 : (p : β) β 0 := by\n exact_mod_cast (zero_lt_one.trans_le <| Fact.out (p := 1 β€ (p : ββ₯0β))).ne'"
},
{
"state_after": "case coe\npβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nhp0 : βp β 0\nβ’ β (x : ΞΉ), x β i β ββ(PiLp.equiv (βp) Ξ²).symm (Pi.single i b) xββ ^ βp = 0",
"state_before": "case coe\npβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nhp0 : βp β 0\nβ’ ββ(PiLp.equiv (βp) Ξ²).symm (Pi.single i b)ββ = βbββ",
"tactic": "rw [nnnorm_eq_sum ENNReal.coe_ne_top, ENNReal.coe_toReal, Fintype.sum_eq_single i,\n equiv_symm_apply, Pi.single_eq_same, β NNReal.rpow_mul, one_div, mul_inv_cancel hp0,\n NNReal.rpow_one]"
},
{
"state_after": "case coe\npβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nhp0 : βp β 0\nj : ΞΉ\nhij : j β i\nβ’ ββ(PiLp.equiv (βp) Ξ²).symm (Pi.single i b) jββ ^ βp = 0",
"state_before": "case coe\npβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nhp0 : βp β 0\nβ’ β (x : ΞΉ), x β i β ββ(PiLp.equiv (βp) Ξ²).symm (Pi.single i b) xββ ^ βp = 0",
"tactic": "intro j hij"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case coe\npβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nhp0 : βp β 0\nj : ΞΉ\nhij : j β i\nβ’ ββ(PiLp.equiv (βp) Ξ²).symm (Pi.single i b) jββ ^ βp = 0",
"tactic": "rw [equiv_symm_apply, Pi.single_eq_of_ne hij, nnnorm_zero, NNReal.zero_rpow hp0]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "pβ : ββ₯0β\nπ : Type ?u.441057\nπ' : Type ?u.441060\nΞΉ : Type u_1\nΞ± : ΞΉ β Type ?u.441068\nΞ² : ΞΉ β Type u_2\ninstββΉ : Fintype ΞΉ\ninstββΈ : Fact (1 β€ pβ)\ninstββ· : NormedField π\ninstββΆ : NormedField π'\ninstββ΅ : (i : ΞΉ) β SeminormedAddCommGroup (Ξ² i)\ninstββ΄ : (i : ΞΉ) β NormedSpace π (Ξ² i)\nc : π\nx' y' : (i : ΞΉ) β Ξ² i\niβ : ΞΉ\nΞΉ' : Type ?u.441269\ninstβΒ³ : Fintype ΞΉ'\nE : Type ?u.441275\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace π E\ninstβ : DecidableEq ΞΉ\ni : ΞΉ\nb : Ξ² i\nthis : Nonempty ΞΉ\np : ββ₯0\nhp : Fact (1 β€ βp)\nβ’ βp β 0",
"tactic": "exact_mod_cast (zero_lt_one.trans_le <| Fact.out (p := 1 β€ (p : ββ₯0β))).ne'"
}
] | [
848,
85
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
828,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean | Matrix.cramer_one | [
{
"state_after": "m : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni j : n\nβ’ β(LinearMap.comp (cramer 1) (LinearMap.single i)) 1 j = β(LinearMap.comp 1 (LinearMap.single i)) 1 j",
"state_before": "m : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\nβ’ cramer 1 = 1",
"tactic": "refine LinearMap.pi_ext' (fun (i : n) => LinearMap.ext_ring (funext (fun (j : n) => ?_)))"
},
{
"state_after": "case h.e'_3.h.e'_1\nm : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni j : n\nβ’ 1 = det 1\n\nm : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni j : n\nβ’ β (j : n), Pi.single i 1 j = OfNat.ofNat 1 j i",
"state_before": "m : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni j : n\nβ’ β(LinearMap.comp (cramer 1) (LinearMap.single i)) 1 j = β(LinearMap.comp 1 (LinearMap.single i)) 1 j",
"tactic": "convert congr_fun (cramer_row_self (1 : Matrix n n Ξ±) (Pi.single i 1) i _) j"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_3.h.e'_1\nm : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni j : n\nβ’ 1 = det 1",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "m : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni jβ j : n\nβ’ Pi.single i 1 j = OfNat.ofNat 1 j i",
"state_before": "m : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni j : n\nβ’ β (j : n), Pi.single i 1 j = OfNat.ofNat 1 j i",
"tactic": "intro j"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m : Type u\nn : Type v\nΞ± : Type w\ninstββ΄ : DecidableEq n\ninstβΒ³ : Fintype n\ninstβΒ² : DecidableEq m\ninstβΒΉ : Fintype m\ninstβ : CommRing Ξ±\nA : Matrix n n Ξ±\nb : n β Ξ±\ni jβ j : n\nβ’ Pi.single i 1 j = OfNat.ofNat 1 j i",
"tactic": "rw [Matrix.one_eq_pi_single, Pi.single_comm]"
}
] | [
136,
49
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
130,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean | Balanced.starConvex | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "π : Type ?u.84393\nE : Type u_1\nF : Type ?u.84399\ninstβΒΉ : AddCommGroup E\ninstβ : Module β E\ns t : Set E\naβ : β\nhs : Balanced β s\nx : E\nhx : x β s\na : β\nhaβ : 0 β€ a\nhaβ : a β€ 1\nβ’ βaβ β€ 1",
"tactic": "rwa [Real.norm_of_nonneg haβ]"
}
] | [
218,
67
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
216,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subsemigroup/Center.lean | Set.neg_mem_center | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "M : Type u_1\ninstβ : Ring M\na : M\nha : a β center M\nc : M\nβ’ c * -a = -a * c",
"tactic": "rw [β neg_mul_comm, ha (-c), neg_mul_comm]"
}
] | [
84,
45
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
83,
1
] |
Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean | QuaternionAlgebra.Basis.j_mul_k | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_2\nA : Type u_1\nB : Type ?u.31470\ninstββ΄ : CommRing R\ninstβΒ³ : Ring A\ninstβΒ² : Ring B\ninstβΒΉ : Algebra R A\ninstβ : Algebra R B\ncβ cβ : R\nq : Basis A cβ cβ\nβ’ q.j * q.k = -cβ β’ q.i",
"tactic": "rw [β i_mul_j, β mul_assoc, j_mul_i, neg_mul, k_mul_j, neg_smul]"
}
] | [
104,
67
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
103,
1
] |
Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean | Multiset.le_ndinsert_self | [] | [
64,
59
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
63,
1
] |
Mathlib/Order/Monotone/Monovary.lean | Monovary.comp_monotone_left | [] | [
164,
29
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
163,
1
] |
Std/Data/Int/Lemmas.lean | Int.sign_eq_one_of_pos | [] | [
1270,
23
] | e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936 | https://github.com/leanprover/std4 | [
1268,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Derivative.lean | Polynomial.derivative_comp | [
{
"state_after": "case h_add\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nΞΉ : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : β\ninstβ : CommSemiring R\nq pβ qβ : R[X]\naβΒΉ : βderivative (comp pβ q) = βderivative q * comp (βderivative pβ) q\naβ : βderivative (comp qβ q) = βderivative q * comp (βderivative qβ) q\nβ’ βderivative (comp (pβ + qβ) q) = βderivative q * comp (βderivative (pβ + qβ)) q\n\ncase h_monomial\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nΞΉ : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : β\ninstβ : CommSemiring R\nq : R[X]\nnβ : β\naβ : R\nβ’ βderivative (comp (β(monomial nβ) aβ) q) = βderivative q * comp (βderivative (β(monomial nβ) aβ)) q",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nΞΉ : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : β\ninstβ : CommSemiring R\np q : R[X]\nβ’ βderivative (comp p q) = βderivative q * comp (βderivative p) q",
"tactic": "induction p using Polynomial.induction_on'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h_add\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nΞΉ : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : β\ninstβ : CommSemiring R\nq pβ qβ : R[X]\naβΒΉ : βderivative (comp pβ q) = βderivative q * comp (βderivative pβ) q\naβ : βderivative (comp qβ q) = βderivative q * comp (βderivative qβ) q\nβ’ βderivative (comp (pβ + qβ) q) = βderivative q * comp (βderivative (pβ + qβ)) q",
"tactic": "simp [*, mul_add]"
},
{
"state_after": "case h_monomial\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nΞΉ : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : β\ninstβ : CommSemiring R\nq : R[X]\nnβ : β\naβ : R\nβ’ βC aβ * (βnβ * q ^ (nβ - 1) * βderivative q) = βderivative q * (βC aβ * βnβ * q ^ (nβ - 1))",
"state_before": "case h_monomial\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nΞΉ : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : β\ninstβ : CommSemiring R\nq : R[X]\nnβ : β\naβ : R\nβ’ βderivative (comp (β(monomial nβ) aβ) q) = βderivative q * comp (βderivative (β(monomial nβ) aβ)) q",
"tactic": "simp only [derivative_pow, derivative_mul, monomial_comp, derivative_monomial, derivative_C,\n zero_mul, C_eq_nat_cast, zero_add, RingHom.map_mul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h_monomial\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nΞΉ : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : β\ninstβ : CommSemiring R\nq : R[X]\nnβ : β\naβ : R\nβ’ βC aβ * (βnβ * q ^ (nβ - 1) * βderivative q) = βderivative q * (βC aβ * βnβ * q ^ (nβ - 1))",
"tactic": "ring"
}
] | [
552,
9
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
546,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean | Polynomial.annIdealGenerator_eq_minpoly | [
{
"state_after": "case pos\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\nβ’ annIdealGenerator π a = minpoly π a\n\ncase neg\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : Β¬annIdealGenerator π a = 0\nβ’ annIdealGenerator π a = minpoly π a",
"state_before": "π : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nβ’ annIdealGenerator π a = minpoly π a",
"tactic": "by_cases h : annIdealGenerator π a = 0"
},
{
"state_after": "case pos\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\nβ’ Β¬IsIntegral π a",
"state_before": "case pos\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\nβ’ annIdealGenerator π a = minpoly π a",
"tactic": "rw [h, minpoly.eq_zero]"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\np : π[X]\np_monic : Monic p\nhp : β(aeval a) p = 0\nβ’ False",
"state_before": "case pos\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\nβ’ Β¬IsIntegral π a",
"tactic": "rintro β¨p, p_monic, hp : aeval a p = 0β©"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\np : π[X]\np_monic : Monic p\nhp : β(aeval a) p = 0\nβ’ p β β₯",
"state_before": "case pos.intro.intro\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\np : π[X]\np_monic : Monic p\nhp : β(aeval a) p = 0\nβ’ False",
"tactic": "refine' p_monic.ne_zero (Ideal.mem_bot.mp _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos.intro.intro\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : annIdealGenerator π a = 0\np : π[X]\np_monic : Monic p\nhp : β(aeval a) p = 0\nβ’ p β β₯",
"tactic": "simpa only [annIdealGenerator_eq_zero_iff.mp h] using mem_annIdeal_iff_aeval_eq_zero.mpr hp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nπ : Type u_1\nA : Type u_2\ninstβΒ² : Field π\ninstβΒΉ : Ring A\ninstβ : Algebra π A\na : A\nh : Β¬annIdealGenerator π a = 0\nβ’ annIdealGenerator π a = minpoly π a",
"tactic": "exact minpoly.unique _ _ (monic_annIdealGenerator _ _ h) (annIdealGenerator_aeval_eq_zero _ _)\n fun q q_monic hq =>\n degree_annIdealGenerator_le_of_mem a q (mem_annIdeal_iff_aeval_eq_zero.mpr hq)\n q_monic.ne_zero"
}
] | [
169,
26
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
160,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean | Filter.tendsto_atTop_add_left_of_le | [] | [
780,
54
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
778,
1
] |
Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Seminorm.lean | RingSeminorm.toFun_eq_coe | [] | [
104,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
103,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean | MeasureTheory.integral_divergence_of_hasFDerivWithinAt_off_countable_auxβ | [
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "rcases I.exists_seq_mono_tendsto with β¨J, hJ_sub, hJl, hJuβ©"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "have hJ_sub' : β k, Box.Icc (J k) β Box.Icc I := fun k => (hJ_sub k).trans I.Ioo_subset_Icc"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "have hJ_le : β k, J k β€ I := fun k => Box.le_iff_Icc.2 (hJ_sub' k)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "have HcJ : β k, ContinuousOn f (Box.Icc (J k)) := fun k => Hc.mono (hJ_sub' k)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "have HdJ : β (k), β x β (Box.Icc (J k)) \\ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x :=\n fun k x hx => (Hd x β¨hJ_sub k hx.1, hx.2β©).hasFDerivWithinAt"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "have HJ_eq := fun k =>\n integral_divergence_of_hasFDerivWithinAt_off_countable_auxβ (J k) f f' s hs (HcJ k) (HdJ k)\n (HiJ k)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nhI_tendsto :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i))\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "have hI_tendsto :\n Tendsto (fun k => β« x in Box.Icc (J k), β i, f' x (e i) i) atTop\n (π (β« x in Box.Icc I, β i, f' x (e i) i)) := by\n simp only [IntegrableOn, β Measure.restrict_congr_set (Box.Ioo_ae_eq_Icc _)] at Hi β’\n rw [β Box.iUnion_Ioo_of_tendsto J.monotone hJl hJu] at Hi β’\n exact tendsto_set_integral_of_monotone (fun k => (J k).measurableSet_Ioo)\n (Box.Ioo.comp J).monotone Hi"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nhI_tendsto :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i))\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nhI_tendsto :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i))\nβ’ (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)",
"tactic": "refine' tendsto_nhds_unique_of_eventuallyEq hI_tendsto _ (eventually_of_forall HJ_eq)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nhI_tendsto :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i))\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"tactic": "clear hI_tendsto"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"tactic": "rw [tendsto_pi_nhds] at hJl hJu"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"tactic": "suffices β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d), (β k, c k β Icc (I.lower i) (I.upper i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« x in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop\n (π <| β« x in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i) by\n rw [Box.Icc_eq_pi] at hJ_sub'\n refine' tendsto_finset_sum _ fun i _ => (this _ _ _ _ (hJu _)).sub (this _ _ _ _ (hJl _))\n exacts [fun k => hJ_sub' k (J k).upper_mem_Icc _ trivial, fun k =>\n hJ_sub' k (J k).lower_mem_Icc _ trivial]"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "intro i c d hc hcd"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "have hd : d β Icc (I.lower i) (I.upper i) :=\n isClosed_Icc.mem_of_tendsto hcd (eventually_of_forall hc)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "have Hic : β k, IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) := fun k =>\n (Box.continuousOn_face_Icc ((continuous_apply i).comp_continuousOn Hc) (hc k)).integrableOn_Icc"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "have Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) :=\n (Box.continuousOn_face_Icc ((continuous_apply i).comp_continuousOn Hc) hd).integrableOn_Icc"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "have H :\n Tendsto (fun k => β« x in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop\n (π <| β« x in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i) := by\n have hIoo : (β k, Box.Ioo ((J k).face i)) = Box.Ioo (I.face i) :=\n Box.iUnion_Ioo_of_tendsto ((Box.monotone_face i).comp J.monotone)\n (tendsto_pi_nhds.2 fun _ => hJl _) (tendsto_pi_nhds.2 fun _ => hJu _)\n simp only [IntegrableOn, β Measure.restrict_congr_set (Box.Ioo_ae_eq_Icc _), β hIoo] at Hid β’\n exact tendsto_set_integral_of_monotone (fun k => ((J k).face i).measurableSet_Ioo)\n (Box.Ioo.monotone.comp ((Box.monotone_face i).comp J.monotone)) Hid"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nβ’ βαΆ (x : β) in atTop,\n dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (c x) x_1) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "refine' H.congr_dist (Metric.nhds_basis_closedBall.tendsto_right_iff.2 fun Ξ΅ Ξ΅pos => _)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nβ’ βαΆ (x : β) in atTop,\n dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (c x) x_1) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nβ’ βαΆ (x : β) in atTop,\n dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (c x) x_1) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"tactic": "have hvol_pos : β J : Box (Fin n), 0 < β j, (J.upper j - J.lower j) := fun J =>\n prod_pos fun j hj => sub_pos.2 <| J.lower_lt_upper _"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nβ’ βαΆ (x : β) in atTop,\n dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (c x) x_1) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nβ’ βαΆ (x : β) in atTop,\n dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (c x) x_1) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"tactic": "rcases Metric.uniformContinuousOn_iff_le.1 (I.isCompact_Icc.uniformContinuousOn_of_continuous Hc)\n (Ξ΅ / β j, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)) (div_pos Ξ΅pos (hvol_pos (I.face i)))\n with β¨Ξ΄, Ξ΄pos, hΞ΄β©"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nβ’ dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nβ’ βαΆ (x : β) in atTop,\n dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (c x) x_1) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"tactic": "refine' (hcd.eventually (Metric.ball_mem_nhds _ Ξ΄pos)).mono fun k hk => _"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nβ’ dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"tactic": "have Hsub : Box.Icc ((J k).face i) β Box.Icc (I.face i) :=\n Box.le_iff_Icc.1 (Box.face_mono (hJ_le _) i)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ ββ« (a : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d a) i - f (Fin.insertNth i (c k) a) iβ β€ Ξ΅",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ dist (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i)\n (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) β\n Metric.closedBall 0 Ξ΅",
"tactic": "rw [mem_closedBall_zero_iff, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg dist_nonneg, dist_eq_norm,\n β integral_sub (Hid.mono_set Hsub) ((Hic _).mono_set Hsub)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ ββ« (a : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d a) i - f (Fin.insertNth i (c k) a) iβ β€ Ξ΅",
"tactic": "calc\n ββ« x in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i - f (i.insertNth (c k) x) iβ β€\n (Ξ΅ / β j, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)) *\n (volume (Box.Icc ((J k).face i))).toReal := by\n refine norm_set_integral_le_of_norm_le_const' (((J k).face i).measure_Icc_lt_top _)\n ((J k).face i).measurableSet_Icc fun x hx => ?_\n rw [β dist_eq_norm]\n calc\n dist (f (i.insertNth d x) i) (f (i.insertNth (c k) x) i) β€\n dist (f (i.insertNth d x)) (f (i.insertNth (c k) x)) :=\n dist_le_pi_dist (f (i.insertNth d x)) (f (i.insertNth (c k) x)) i\n _ β€ Ξ΅ / β j, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j) :=\n hΞ΄ _ (I.mapsTo_insertNth_face_Icc hd <| Hsub hx) _\n (I.mapsTo_insertNth_face_Icc (hc _) <| Hsub hx) ?_\n rw [Fin.dist_insertNth_insertNth, dist_self, dist_comm]\n exact max_le hk.le Ξ΄pos.lt.le\n _ β€ Ξ΅ := by\n rw [Box.Icc_def, Real.volume_Icc_pi_toReal ((J k).face i).lower_le_upper,\n β le_div_iff (hvol_pos _)]\n refine' div_le_div_of_le_left Ξ΅pos.le (hvol_pos _)\n (prod_le_prod (fun j _ => _) fun j _ => _)\n exacts [sub_nonneg.2 (Box.lower_le_upper _ _),\n sub_le_sub ((hJ_sub' _ (J _).upper_mem_Icc).2 _) ((hJ_sub' _ (J _).lower_mem_Icc).1 _)]"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nHi : Integrable fun x => β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Ioo (βJ k), β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Ioo I, β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1))",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc I, β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i))",
"tactic": "simp only [IntegrableOn, β Measure.restrict_congr_set (Box.Ioo_ae_eq_Icc _)] at Hi β’"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nHi : Integrable fun x => β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Ioo (βJ k), β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in β (n_1 : β), βBox.Ioo (βJ n_1), β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1))",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nHi : Integrable fun x => β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Ioo (βJ k), β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Ioo I, β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1))",
"tactic": "rw [β Box.iUnion_Ioo_of_tendsto J.monotone hJl hJu] at Hi β’"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : Tendsto (Box.lower β βJ) atTop (π I.lower)\nhJu : Tendsto (Box.upper β βJ) atTop (π I.upper)\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nHi : Integrable fun x => β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Ioo (βJ k), β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1) atTop\n (π (β« (x : Fin (n + 1) β β) in β (n_1 : β), βBox.Ioo (βJ n_1), β x_1 : Fin (n + 1), β(f' x) (e x_1) x_1))",
"tactic": "exact tendsto_set_integral_of_monotone (fun k => (J k).measurableSet_Ioo)\n (Box.Ioo.comp J).monotone Hi"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β Set.pi Set.univ fun i => Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nthis :\n β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nthis :\n β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"tactic": "rw [Box.Icc_eq_pi] at hJ_sub'"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β Set.pi Set.univ fun i => Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nthis :\n β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\ni : Fin (n + 1)\nxβ : i β Finset.univ\nβ’ β (k : β), (Box.upper β βJ) k i β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\n\ncase refine'_2\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β Set.pi Set.univ fun i => Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nthis :\n β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\ni : Fin (n + 1)\nxβ : i β Finset.univ\nβ’ β (k : β), Box.lower (βJ k) i β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β Set.pi Set.univ fun i => Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nthis :\n β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nβ’ Tendsto\n (fun x =>\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ x) i) x_1) i) -\n β« (x_1 : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ x) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ x) i) x_1) i))\n atTop\n (π\n (β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.upper I i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i (Box.lower I i) x) i)))",
"tactic": "refine' tendsto_finset_sum _ fun i _ => (this _ _ _ _ (hJu _)).sub (this _ _ _ _ (hJl _))"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β Set.pi Set.univ fun i => Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nthis :\n β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\ni : Fin (n + 1)\nxβ : i β Finset.univ\nβ’ β (k : β), (Box.upper β βJ) k i β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\n\ncase refine'_2\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β Set.pi Set.univ fun i => Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\nthis :\n β (i : Fin (n + 1)) (c : β β β) (d : β),\n (β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)) β\n Tendsto c atTop (π d) β\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (c k) x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\ni : Fin (n + 1)\nxβ : i β Finset.univ\nβ’ β (k : β), Box.lower (βJ k) i β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)",
"tactic": "exacts [fun k => hJ_sub' k (J k).upper_mem_Icc _ trivial, fun k =>\n hJ_sub' k (J k).lower_mem_Icc _ trivial]"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nhIoo : (β (k : β), βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i)) = βBox.Ioo (Box.face I i)\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "have hIoo : (β k, Box.Ioo ((J k).face i)) = Box.Ioo (I.face i) :=\n Box.iUnion_Ioo_of_tendsto ((Box.monotone_face i).comp J.monotone)\n (tendsto_pi_nhds.2 fun _ => hJl _) (tendsto_pi_nhds.2 fun _ => hJu _)"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nhIoo : (β (k : β), βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i)) = βBox.Ioo (Box.face I i)\nHid : Integrable fun x => f (Fin.insertNth i d x) i\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in β (k : β), βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nhIoo : (β (k : β), βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i)) = βBox.Ioo (Box.face I i)\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "simp only [IntegrableOn, β Measure.restrict_congr_set (Box.Ioo_ae_eq_Icc _), β hIoo] at Hid β’"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nhIoo : (β (k : β), βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i)) = βBox.Ioo (Box.face I i)\nHid : Integrable fun x => f (Fin.insertNth i d x) i\nβ’ Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in β (k : β), βBox.Ioo (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i))",
"tactic": "exact tendsto_set_integral_of_monotone (fun k => ((J k).face i).measurableSet_Ioo)\n (Box.Ioo.monotone.comp ((Box.monotone_face i).comp J.monotone)) Hid"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ βf (Fin.insertNth i d x) i - f (Fin.insertNth i (c k) x) iβ β€\n Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ ββ« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i - f (Fin.insertNth i (c k) x) iβ β€\n (Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)) *\n ENNReal.toReal (ββvolume (βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)))",
"tactic": "refine norm_set_integral_le_of_norm_le_const' (((J k).face i).measure_Icc_lt_top _)\n ((J k).face i).measurableSet_Icc fun x hx => ?_"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ dist (f (Fin.insertNth i d x) i) (f (Fin.insertNth i (c k) x) i) β€\n Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ βf (Fin.insertNth i d x) i - f (Fin.insertNth i (c k) x) iβ β€\n Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)",
"tactic": "rw [β dist_eq_norm]"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ dist (Fin.insertNth i d x) (Fin.insertNth i (c k) x) β€ Ξ΄",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ dist (f (Fin.insertNth i d x) i) (f (Fin.insertNth i (c k) x) i) β€\n Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)",
"tactic": "calc\n dist (f (i.insertNth d x) i) (f (i.insertNth (c k) x) i) β€\n dist (f (i.insertNth d x)) (f (i.insertNth (c k) x)) :=\n dist_le_pi_dist (f (i.insertNth d x)) (f (i.insertNth (c k) x)) i\n _ β€ Ξ΅ / β j, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j) :=\n hΞ΄ _ (I.mapsTo_insertNth_face_Icc hd <| Hsub hx) _\n (I.mapsTo_insertNth_face_Icc (hc _) <| Hsub hx) ?_"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ max (dist (c k) d) 0 β€ Ξ΄",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ dist (Fin.insertNth i d x) (Fin.insertNth i (c k) x) β€ Ξ΄",
"tactic": "rw [Fin.dist_insertNth_insertNth, dist_self, dist_comm]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nx : Fin n β β\nhx : x β βBox.Icc (Box.face (βJ k) i)\nβ’ max (dist (c k) d) 0 β€ Ξ΄",
"tactic": "exact max_le hk.le Ξ΄pos.lt.le"
},
{
"state_after": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j) β€\n Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face (βJ k) i) j - Box.lower (Box.face (βJ k) i) j)",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ (Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)) *\n ENNReal.toReal (ββvolume (βBox.Icc (Box.face (βJ k) i))) β€\n Ξ΅",
"tactic": "rw [Box.Icc_def, Real.volume_Icc_pi_toReal ((J k).face i).lower_le_upper,\n β le_div_iff (hvol_pos _)]"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nj : Fin n\nxβ : j β Finset.univ\nβ’ 0 β€ Box.upper (Box.face (βJ k) i) j - Box.lower (Box.face (βJ k) i) j\n\ncase refine'_2\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nj : Fin n\nxβ : j β Finset.univ\nβ’ Box.upper (Box.face (βJ k) i) j - Box.lower (Box.face (βJ k) i) j β€\n Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j",
"state_before": "E : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nβ’ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j) β€\n Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face (βJ k) i) j - Box.lower (Box.face (βJ k) i) j)",
"tactic": "refine' div_le_div_of_le_left Ξ΅pos.le (hvol_pos _)\n (prod_le_prod (fun j _ => _) fun j _ => _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nj : Fin n\nxβ : j β Finset.univ\nβ’ 0 β€ Box.upper (Box.face (βJ k) i) j - Box.lower (Box.face (βJ k) i) j\n\ncase refine'_2\nE : Type u\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedSpace β E\ninstβ : CompleteSpace E\nn : β\nI : Box (Fin (n + 1))\nf : (Fin (n + 1) β β) β Fin (n + 1) β E\nf' : (Fin (n + 1) β β) β (Fin (n + 1) β β) βL[β] Fin (n + 1) β E\ns : Set (Fin (n + 1) β β)\nhs : Set.Countable s\nHc : ContinuousOn f (βBox.Icc I)\nHd : β (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Ioo I \\ s β HasFDerivAt f (f' x) x\nHi : IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc I)\nJ : β βo Box (Fin (n + 1))\nhJ_sub : β (n_1 : β), βBox.Icc (βJ n_1) β βBox.Ioo I\nhJl : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower β βJ) i x) atTop (π (Box.lower I x))\nhJu : β (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper β βJ) i x) atTop (π (Box.upper I x))\nhJ_sub' : β (k : β), βBox.Icc (βJ k) β βBox.Icc I\nhJ_le : β (k : β), βJ k β€ I\nHcJ : β (k : β), ContinuousOn f (βBox.Icc (βJ k))\nHdJ : β (k : β) (x : Fin (n + 1) β β), x β βBox.Icc (βJ k) \\ s β HasFDerivWithinAt f (f' x) (βBox.Icc (βJ k)) x\nHiJ : β (k : β), IntegrableOn (fun x => β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) (βBox.Icc (βJ k))\nHJ_eq :\n β (k : β),\n (β« (x : Fin (n + 1) β β) in βBox.Icc (βJ k), β i : Fin (n + 1), β(f' x) (e i) i) =\n β i : Fin (n + 1),\n ((β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.upper (βJ k) i) x) i) -\n β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i (Box.lower (βJ k) i) x) i)\ni : Fin (n + 1)\nc : β β β\nd : β\nhc : β (k : β), c k β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nhcd : Tendsto c atTop (π d)\nhd : d β Set.Icc (Box.lower I i) (Box.upper I i)\nHic : β (k : β), IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i (c k) x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nHid : IntegrableOn (fun x => f (Fin.insertNth i d x) i) (βBox.Icc (Box.face I i))\nH :\n Tendsto (fun k => β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face (βJ k) i), f (Fin.insertNth i d x) i) atTop\n (π (β« (x : Fin n β β) in βBox.Icc (Box.face I i), f (Fin.insertNth i d x) i))\nΞ΅ : β\nΞ΅pos : 0 < Ξ΅\nhvol_pos : β (J : Box (Fin n)), 0 < β j : Fin n, (Box.upper J j - Box.lower J j)\nΞ΄ : β\nΞ΄pos : Ξ΄ > 0\nhΞ΄ :\n β (x : Fin (n + 1) β β),\n x β βBox.Icc I β\n β (y : Fin (n + 1) β β),\n y β βBox.Icc I β\n dist x y β€ Ξ΄ β dist (f x) (f y) β€ Ξ΅ / β j : Fin n, (Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j)\nk : β\nhk : dist (c k) d < Ξ΄\nHsub : βBox.Icc (Box.face (βJ k) i) β βBox.Icc (Box.face I i)\nj : Fin n\nxβ : j β Finset.univ\nβ’ Box.upper (Box.face (βJ k) i) j - Box.lower (Box.face (βJ k) i) j β€\n Box.upper (Box.face I i) j - Box.lower (Box.face I i) j",
"tactic": "exacts [sub_nonneg.2 (Box.lower_le_upper _ _),\n sub_le_sub ((hJ_sub' _ (J _).upper_mem_Icc).2 _) ((hJ_sub' _ (J _).lower_mem_Icc).1 _)]"
}
] | [
247,
96
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
144,
1
] |
Std/Control/ForInStep/Lemmas.lean | ForInStep.bindList_cons' | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m : Type u_1 β Type u_2\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type u_1\ninstβΒΉ : Monad m\ninstβ : LawfulMonad m\nf : Ξ± β Ξ² β m (ForInStep Ξ²)\ns : ForInStep Ξ²\na : Ξ±\nl : List Ξ±\nβ’ bindList f (a :: l) s = do\n let x β ForInStep.bind s (f a)\n bindList f l x",
"tactic": "simp"
}
] | [
42,
71
] | e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936 | https://github.com/leanprover/std4 | [
40,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean | MeasureTheory.continuousWithinAt_of_dominated | [
{
"state_after": "Ξ± : Type u_2\nE : Type u_3\nFβ : Type ?u.1013642\nπ : Type ?u.1013645\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedSpace β E\ninstββΈ : CompleteSpace E\ninstββ· : NontriviallyNormedField π\ninstββΆ : NormedSpace π E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup Fβ\ninstβΒ³ : NormedSpace β Fβ\ninstβΒ² : CompleteSpace Fβ\nf g : Ξ± β E\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\nX : Type u_1\ninstβΒΉ : TopologicalSpace X\ninstβ : FirstCountableTopology X\nF : X β Ξ± β E\nxβ : X\nbound : Ξ± β β\ns : Set X\nhF_meas : βαΆ (x : X) in π[s] xβ, AEStronglyMeasurable (F x) ΞΌ\nh_bound : βαΆ (x : X) in π[s] xβ, βα΅ (a : Ξ±) βΞΌ, βF x aβ β€ bound a\nbound_integrable : Integrable bound\nh_cont : βα΅ (a : Ξ±) βΞΌ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s xβ\nβ’ ContinuousWithinAt\n (fun x => if hf : Integrable fun a => F x a then βL1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F x a) hf) else 0) s xβ",
"state_before": "Ξ± : Type u_2\nE : Type u_3\nFβ : Type ?u.1013642\nπ : Type ?u.1013645\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedSpace β E\ninstββΈ : CompleteSpace E\ninstββ· : NontriviallyNormedField π\ninstββΆ : NormedSpace π E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup Fβ\ninstβΒ³ : NormedSpace β Fβ\ninstβΒ² : CompleteSpace Fβ\nf g : Ξ± β E\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\nX : Type u_1\ninstβΒΉ : TopologicalSpace X\ninstβ : FirstCountableTopology X\nF : X β Ξ± β E\nxβ : X\nbound : Ξ± β β\ns : Set X\nhF_meas : βαΆ (x : X) in π[s] xβ, AEStronglyMeasurable (F x) ΞΌ\nh_bound : βαΆ (x : X) in π[s] xβ, βα΅ (a : Ξ±) βΞΌ, βF x aβ β€ bound a\nbound_integrable : Integrable bound\nh_cont : βα΅ (a : Ξ±) βΞΌ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s xβ\nβ’ ContinuousWithinAt (fun x => β« (a : Ξ±), F x a βΞΌ) s xβ",
"tactic": "simp only [integral, L1.integral]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_2\nE : Type u_3\nFβ : Type ?u.1013642\nπ : Type ?u.1013645\ninstβΒΉβ° : NormedAddCommGroup E\ninstββΉ : NormedSpace β E\ninstββΈ : CompleteSpace E\ninstββ· : NontriviallyNormedField π\ninstββΆ : NormedSpace π E\ninstββ΅ : SMulCommClass β π E\ninstββ΄ : NormedAddCommGroup Fβ\ninstβΒ³ : NormedSpace β Fβ\ninstβΒ² : CompleteSpace Fβ\nf g : Ξ± β E\nm : MeasurableSpace Ξ±\nΞΌ : Measure Ξ±\nX : Type u_1\ninstβΒΉ : TopologicalSpace X\ninstβ : FirstCountableTopology X\nF : X β Ξ± β E\nxβ : X\nbound : Ξ± β β\ns : Set X\nhF_meas : βαΆ (x : X) in π[s] xβ, AEStronglyMeasurable (F x) ΞΌ\nh_bound : βαΆ (x : X) in π[s] xβ, βα΅ (a : Ξ±) βΞΌ, βF x aβ β€ bound a\nbound_integrable : Integrable bound\nh_cont : βα΅ (a : Ξ±) βΞΌ, ContinuousWithinAt (fun x => F x a) s xβ\nβ’ ContinuousWithinAt\n (fun x => if hf : Integrable fun a => F x a then βL1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F x a) hf) else 0) s xβ",
"tactic": "exact continuousWithinAt_setToFun_of_dominated (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul ΞΌ)\n hF_meas h_bound bound_integrable h_cont"
}
] | [
1051,
44
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1044,
1
] |
Mathlib/AlgebraicGeometry/PresheafedSpace/HasColimits.lean | AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.map_id_c_app | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "J : Type u'\ninstβΒΉ : Category J\nC : Type u\ninstβ : Category C\nF : J β₯€ PresheafedSpace C\nj : J\nU : Opens ββ(F.obj j)\nβ’ π β(F.obj j) = (F.map (π j)).base",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "case mk\nJ : Type u'\ninstβΒΉ : Category J\nC : Type u\ninstβ : Category C\nF : J β₯€ PresheafedSpace C\nj : J\ncarrierβ : Set ββ(F.obj j)\nis_open'β : IsOpen carrierβ\nβ’ (F.map (π j)).c.app { carrier := carrierβ, is_open' := is_open'β }.op =\n (Pushforward.id (F.obj j).presheaf).inv.app { carrier := carrierβ, is_open' := is_open'β }.op β«\n (pushforwardEq (_ : π β(F.obj j) = (F.map (π j)).base) (F.obj j).presheaf).hom.app\n { carrier := carrierβ, is_open' := is_open'β }.op",
"state_before": "J : Type u'\ninstβΒΉ : Category J\nC : Type u\ninstβ : Category C\nF : J β₯€ PresheafedSpace C\nj : J\nU : Opens ββ(F.obj j)\nβ’ (F.map (π j)).c.app U.op =\n (Pushforward.id (F.obj j).presheaf).inv.app U.op β«\n (pushforwardEq (_ : π β(F.obj j) = (F.map (π j)).base) (F.obj j).presheaf).hom.app U.op",
"tactic": "cases U"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk\nJ : Type u'\ninstβΒΉ : Category J\nC : Type u\ninstβ : Category C\nF : J β₯€ PresheafedSpace C\nj : J\ncarrierβ : Set ββ(F.obj j)\nis_open'β : IsOpen carrierβ\nβ’ (F.map (π j)).c.app { carrier := carrierβ, is_open' := is_open'β }.op =\n (Pushforward.id (F.obj j).presheaf).inv.app { carrier := carrierβ, is_open' := is_open'β }.op β«\n (pushforwardEq (_ : π β(F.obj j) = (F.map (π j)).base) (F.obj j).presheaf).hom.app\n { carrier := carrierβ, is_open' := is_open'β }.op",
"tactic": "simp [PresheafedSpace.congr_app (F.map_id j)]"
}
] | [
67,
48
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
61,
1
] |
src/lean/Init/Data/Nat/Basic.lean | Nat.zero_ne_one | [] | [
430,
29
] | d5348dfac847a56a4595fb6230fd0708dcb4e7e9 | https://github.com/leanprover/lean4 | [
429,
11
] |
Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean | tsum_lt_tsum_of_nonneg | [] | [
1366,
58
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1364,
1
] |
Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean | Complex.mem_rootsOfUnity | [
{
"state_after": "n : β+\nx : βΛ£\nβ’ βx ^ βn = 1 β β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"state_before": "n : β+\nx : βΛ£\nβ’ x β rootsOfUnity n β β β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"tactic": "rw [mem_rootsOfUnity, Units.ext_iff, Units.val_pow_eq_pow_val, Units.val_one]"
},
{
"state_after": "n : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nβ’ βx ^ βn = 1 β β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"state_before": "n : β+\nx : βΛ£\nβ’ βx ^ βn = 1 β β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"tactic": "have hn0 : (n : β) β 0 := by exact_mod_cast n.ne_zero"
},
{
"state_after": "case mp\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nβ’ βx ^ βn = 1 β β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx\n\ncase mpr\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nβ’ (β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx) β βx ^ βn = 1",
"state_before": "n : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nβ’ βx ^ βn = 1 β β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : β+\nx : βΛ£\nβ’ ββn β 0",
"tactic": "exact_mod_cast n.ne_zero"
},
{
"state_after": "case mp\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\nβ’ β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"state_before": "case mp\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nβ’ βx ^ βn = 1 β β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"tactic": "intro h"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"state_before": "case mp\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\nβ’ β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"tactic": "obtain β¨i, hi, Hβ© : β i < (n : β), exp (2 * Ο * I / n) ^ i = x := by\n simpa only using (isPrimitiveRoot_exp n n.ne_zero).eq_pow_of_pow_eq_one h n.pos"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"state_before": "case mp.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"tactic": "refine' β¨i, hi, _β©"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = exp (βi * (2 * βΟ * I / ββn))",
"state_before": "case mp.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx",
"tactic": "rw [β H, β exp_nat_mul]"
},
{
"state_after": "case mp.intro.intro.e_z\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ 2 * βΟ * I * (βi / ββn) = βi * (2 * βΟ * I / ββn)",
"state_before": "case mp.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = exp (βi * (2 * βΟ * I / ββn))",
"tactic": "congr 1"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp.intro.intro.e_z\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\ni : β\nhi : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx\nβ’ 2 * βΟ * I * (βi / ββn) = βi * (2 * βΟ * I / ββn)",
"tactic": "field_simp [hn0, mul_comm (i : β)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nh : βx ^ βn = 1\nβ’ β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I / ββn) ^ i = βx",
"tactic": "simpa only using (isPrimitiveRoot_exp n n.ne_zero).eq_pow_of_pow_eq_one h n.pos"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\ni : β\nleftβ : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx\nβ’ βx ^ βn = 1",
"state_before": "case mpr\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\nβ’ (β i, i < βn β§ exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx) β βx ^ βn = 1",
"tactic": "rintro β¨i, _, Hβ©"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\ni : β\nleftβ : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx\nβ’ β n_1, ββn * (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βn_1 * (2 * βΟ * I)",
"state_before": "case mpr.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\ni : β\nleftβ : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx\nβ’ βx ^ βn = 1",
"tactic": "rw [β H, β exp_nat_mul, exp_eq_one_iff]"
},
{
"state_after": "case mpr.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\ni : β\nleftβ : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx\nβ’ ββn * (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = ββi * (2 * βΟ * I)",
"state_before": "case mpr.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\ni : β\nleftβ : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx\nβ’ β n_1, ββn * (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βn_1 * (2 * βΟ * I)",
"tactic": "use i"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr.intro.intro\nn : β+\nx : βΛ£\nhn0 : ββn β 0\ni : β\nleftβ : i < βn\nH : exp (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = βx\nβ’ ββn * (2 * βΟ * I * (βi / ββn)) = ββi * (2 * βΟ * I)",
"tactic": "field_simp [hn0, mul_comm ((n : β) : β), mul_comm (i : β)]"
}
] | [
91,
63
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
76,
8
] |
Mathlib/Topology/Support.lean | HasCompactMulSupport.comp_closedEmbedding | [
{
"state_after": "X : Type ?u.15456\nΞ± : Type u_1\nΞ±' : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.15468\nΞ΄ : Type ?u.15471\nM : Type ?u.15474\nE : Type ?u.15477\nR : Type ?u.15480\ninstββ΄ : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒ³ : TopologicalSpace Ξ±'\ninstβΒ² : One Ξ²\ninstβΒΉ : One Ξ³\ninstβ : One Ξ΄\ngβ : Ξ² β Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nfβ : Ξ± β Ξ³\nm : Ξ² β Ξ³ β Ξ΄\nx : Ξ±\nhf : HasCompactMulSupport f\ng : Ξ±' β Ξ±\nhg : ClosedEmbedding g\nβ’ IsCompact (closure (g β»ΒΉ' mulSupport f))",
"state_before": "X : Type ?u.15456\nΞ± : Type u_1\nΞ±' : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.15468\nΞ΄ : Type ?u.15471\nM : Type ?u.15474\nE : Type ?u.15477\nR : Type ?u.15480\ninstββ΄ : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒ³ : TopologicalSpace Ξ±'\ninstβΒ² : One Ξ²\ninstβΒΉ : One Ξ³\ninstβ : One Ξ΄\ngβ : Ξ² β Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nfβ : Ξ± β Ξ³\nm : Ξ² β Ξ³ β Ξ΄\nx : Ξ±\nhf : HasCompactMulSupport f\ng : Ξ±' β Ξ±\nhg : ClosedEmbedding g\nβ’ HasCompactMulSupport (f β g)",
"tactic": "rw [hasCompactMulSupport_def, Function.mulSupport_comp_eq_preimage]"
},
{
"state_after": "X : Type ?u.15456\nΞ± : Type u_1\nΞ±' : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.15468\nΞ΄ : Type ?u.15471\nM : Type ?u.15474\nE : Type ?u.15477\nR : Type ?u.15480\ninstββ΄ : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒ³ : TopologicalSpace Ξ±'\ninstβΒ² : One Ξ²\ninstβΒΉ : One Ξ³\ninstβ : One Ξ΄\ngβ : Ξ² β Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nfβ : Ξ± β Ξ³\nm : Ξ² β Ξ³ β Ξ΄\nx : Ξ±\nhf : HasCompactMulSupport f\ng : Ξ±' β Ξ±\nhg : ClosedEmbedding g\nβ’ closure (g β»ΒΉ' mulSupport f) β g β»ΒΉ' mulTSupport f",
"state_before": "X : Type ?u.15456\nΞ± : Type u_1\nΞ±' : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.15468\nΞ΄ : Type ?u.15471\nM : Type ?u.15474\nE : Type ?u.15477\nR : Type ?u.15480\ninstββ΄ : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒ³ : TopologicalSpace Ξ±'\ninstβΒ² : One Ξ²\ninstβΒΉ : One Ξ³\ninstβ : One Ξ΄\ngβ : Ξ² β Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nfβ : Ξ± β Ξ³\nm : Ξ² β Ξ³ β Ξ΄\nx : Ξ±\nhf : HasCompactMulSupport f\ng : Ξ±' β Ξ±\nhg : ClosedEmbedding g\nβ’ IsCompact (closure (g β»ΒΉ' mulSupport f))",
"tactic": "refine' isCompact_of_isClosed_subset (hg.isCompact_preimage hf) isClosed_closure _"
},
{
"state_after": "X : Type ?u.15456\nΞ± : Type u_1\nΞ±' : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.15468\nΞ΄ : Type ?u.15471\nM : Type ?u.15474\nE : Type ?u.15477\nR : Type ?u.15480\ninstββ΄ : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒ³ : TopologicalSpace Ξ±'\ninstβΒ² : One Ξ²\ninstβΒΉ : One Ξ³\ninstβ : One Ξ΄\ngβ : Ξ² β Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nfβ : Ξ± β Ξ³\nm : Ξ² β Ξ³ β Ξ΄\nx : Ξ±\nhf : HasCompactMulSupport f\ng : Ξ±' β Ξ±\nhg : ClosedEmbedding g\nβ’ g β»ΒΉ' closure (g '' (g β»ΒΉ' mulSupport f)) β g β»ΒΉ' mulTSupport f",
"state_before": "X : Type ?u.15456\nΞ± : Type u_1\nΞ±' : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.15468\nΞ΄ : Type ?u.15471\nM : Type ?u.15474\nE : Type ?u.15477\nR : Type ?u.15480\ninstββ΄ : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒ³ : TopologicalSpace Ξ±'\ninstβΒ² : One Ξ²\ninstβΒΉ : One Ξ³\ninstβ : One Ξ΄\ngβ : Ξ² β Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nfβ : Ξ± β Ξ³\nm : Ξ² β Ξ³ β Ξ΄\nx : Ξ±\nhf : HasCompactMulSupport f\ng : Ξ±' β Ξ±\nhg : ClosedEmbedding g\nβ’ closure (g β»ΒΉ' mulSupport f) β g β»ΒΉ' mulTSupport f",
"tactic": "rw [hg.toEmbedding.closure_eq_preimage_closure_image]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "X : Type ?u.15456\nΞ± : Type u_1\nΞ±' : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.15468\nΞ΄ : Type ?u.15471\nM : Type ?u.15474\nE : Type ?u.15477\nR : Type ?u.15480\ninstββ΄ : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒ³ : TopologicalSpace Ξ±'\ninstβΒ² : One Ξ²\ninstβΒΉ : One Ξ³\ninstβ : One Ξ΄\ngβ : Ξ² β Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nfβ : Ξ± β Ξ³\nm : Ξ² β Ξ³ β Ξ΄\nx : Ξ±\nhf : HasCompactMulSupport f\ng : Ξ±' β Ξ±\nhg : ClosedEmbedding g\nβ’ g β»ΒΉ' closure (g '' (g β»ΒΉ' mulSupport f)) β g β»ΒΉ' mulTSupport f",
"tactic": "exact preimage_mono (closure_mono <| image_preimage_subset _ _)"
}
] | [
222,
66
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
217,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean | Nat.eq_properDivisors_of_subset_of_sum_eq_sum | [
{
"state_after": "case zero\ns : Finset β\nhsub : s β properDivisors zero\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors zero, x β s = properDivisors zero\n\ncase succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ), x β s = properDivisors (succ nβ)",
"state_before": "n : β\ns : Finset β\nhsub : s β properDivisors n\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors n, x β s = properDivisors n",
"tactic": "cases n"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ), x β s = properDivisors (succ nβ)",
"tactic": "classical\n rw [β sum_sdiff hsub]\n intro h\n apply Subset.antisymm hsub\n rw [β sdiff_eq_empty_iff_subset]\n contrapose h\n rw [β Ne.def, β nonempty_iff_ne_empty] at h\n apply ne_of_lt\n rw [β zero_add (β x in s, x), β add_assoc, add_zero]\n apply add_lt_add_right\n have hlt :=\n sum_lt_sum_of_nonempty h fun x hx => pos_of_mem_properDivisors (sdiff_subset _ _ hx)\n simp only [sum_const_zero] at hlt\n apply hlt"
},
{
"state_after": "case zero\ns : Finset β\nhsub : s = β
\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors zero, x β s = properDivisors zero",
"state_before": "case zero\ns : Finset β\nhsub : s β properDivisors zero\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors zero, x β s = properDivisors zero",
"tactic": "rw [properDivisors_zero, subset_empty] at hsub"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case zero\ns : Finset β\nhsub : s = β
\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors zero, x β s = properDivisors zero",
"tactic": "simp [hsub]"
},
{
"state_after": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x β s = properDivisors (succ nβ)",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ), x β s = properDivisors (succ nβ)",
"tactic": "rw [β sum_sdiff hsub]"
},
{
"state_after": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x\nβ’ s = properDivisors (succ nβ)",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nβ’ β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x β s = properDivisors (succ nβ)",
"tactic": "intro h"
},
{
"state_after": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x\nβ’ properDivisors (succ nβ) β s",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x\nβ’ s = properDivisors (succ nβ)",
"tactic": "apply Subset.antisymm hsub"
},
{
"state_after": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x\nβ’ properDivisors (succ nβ) \\ s = β
",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x\nβ’ properDivisors (succ nβ) β s",
"tactic": "rw [β sdiff_eq_empty_iff_subset]"
},
{
"state_after": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Β¬properDivisors (succ nβ) \\ s = β
\nβ’ Β¬β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x\nβ’ properDivisors (succ nβ) \\ s = β
",
"tactic": "contrapose h"
},
{
"state_after": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ Β¬β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Β¬properDivisors (succ nβ) \\ s = β
\nβ’ Β¬β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"tactic": "rw [β Ne.def, β nonempty_iff_ne_empty] at h"
},
{
"state_after": "case succ.h\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ β x in s, x < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"state_before": "case succ\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ Β¬β x in s, x = β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"tactic": "apply ne_of_lt"
},
{
"state_after": "case succ.h\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ 0 + β x in s, x < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"state_before": "case succ.h\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ β x in s, x < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"tactic": "rw [β zero_add (β x in s, x), β add_assoc, add_zero]"
},
{
"state_after": "case succ.h.bc\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ 0 < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x",
"state_before": "case succ.h\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ 0 + β x in s, x < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x + β x in s, x",
"tactic": "apply add_lt_add_right"
},
{
"state_after": "case succ.h.bc\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nhlt : β i in properDivisors (succ nβ) \\ s, 0 < β i in properDivisors (succ nβ) \\ s, i\nβ’ 0 < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x",
"state_before": "case succ.h.bc\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nβ’ 0 < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x",
"tactic": "have hlt :=\n sum_lt_sum_of_nonempty h fun x hx => pos_of_mem_properDivisors (sdiff_subset _ _ hx)"
},
{
"state_after": "case succ.h.bc\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nhlt : 0 < β i in properDivisors (succ nβ) \\ s, i\nβ’ 0 < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x",
"state_before": "case succ.h.bc\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nhlt : β i in properDivisors (succ nβ) \\ s, 0 < β i in properDivisors (succ nβ) \\ s, i\nβ’ 0 < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x",
"tactic": "simp only [sum_const_zero] at hlt"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ.h.bc\ns : Finset β\nnβ : β\nhsub : s β properDivisors (succ nβ)\nh : Finset.Nonempty (properDivisors (succ nβ) \\ s)\nhlt : 0 < β i in properDivisors (succ nβ) \\ s, i\nβ’ 0 < β x in properDivisors (succ nβ) \\ s, x",
"tactic": "apply hlt"
}
] | [
358,
14
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
340,
1
] |
Mathlib/Topology/SubsetProperties.lean | QuotientMap.isClopen_preimage | [] | [
1657,
52
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1655,
11
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean | MeasureTheory.Measure.bind_bind | [
{
"state_after": "case h\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type u_3\ninstβΒ² : MeasurableSpace Ξ±\ninstβΒΉ : MeasurableSpace Ξ²\nΞ³ : Type u_1\ninstβ : MeasurableSpace Ξ³\nm : Measure Ξ±\nf : Ξ± β Measure Ξ²\ng : Ξ² β Measure Ξ³\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\ns : Set Ξ³\nhs : MeasurableSet s\nβ’ ββ(bind (bind m f) g) s = ββ(bind m fun a => bind (f a) g) s",
"state_before": "Ξ± : Type u_2\nΞ² : Type u_3\ninstβΒ² : MeasurableSpace Ξ±\ninstβΒΉ : MeasurableSpace Ξ²\nΞ³ : Type u_1\ninstβ : MeasurableSpace Ξ³\nm : Measure Ξ±\nf : Ξ± β Measure Ξ²\ng : Ξ² β Measure Ξ³\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\nβ’ bind (bind m f) g = bind m fun a => bind (f a) g",
"tactic": "ext1 s hs"
},
{
"state_after": "case h\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type u_3\ninstβΒ² : MeasurableSpace Ξ±\ninstβΒΉ : MeasurableSpace Ξ²\nΞ³ : Type u_1\ninstβ : MeasurableSpace Ξ³\nm : Measure Ξ±\nf : Ξ± β Measure Ξ²\ng : Ξ² β Measure Ξ³\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\ns : Set Ξ³\nhs : MeasurableSet s\nβ’ (β«β» (a : Ξ±), β«β» (x : Ξ²), ((fun ΞΌ => ββΞΌ s) β g) x βf a βm) = β«β» (a : Ξ±), ββ(((fun m => bind m g) β f) a) s βm",
"state_before": "case h\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type u_3\ninstβΒ² : MeasurableSpace Ξ±\ninstβΒΉ : MeasurableSpace Ξ²\nΞ³ : Type u_1\ninstβ : MeasurableSpace Ξ³\nm : Measure Ξ±\nf : Ξ± β Measure Ξ²\ng : Ξ² β Measure Ξ³\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\ns : Set Ξ³\nhs : MeasurableSet s\nβ’ ββ(bind (bind m f) g) s = ββ(bind m fun a => bind (f a) g) s",
"tactic": "erw [bind_apply hs hg, bind_apply hs ((measurable_bind' hg).comp hf),\n lintegral_bind hf ((measurable_coe hs).comp hg)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nΞ± : Type u_2\nΞ² : Type u_3\ninstβΒ² : MeasurableSpace Ξ±\ninstβΒΉ : MeasurableSpace Ξ²\nΞ³ : Type u_1\ninstβ : MeasurableSpace Ξ³\nm : Measure Ξ±\nf : Ξ± β Measure Ξ²\ng : Ξ² β Measure Ξ³\nhf : Measurable f\nhg : Measurable g\ns : Set Ξ³\nhs : MeasurableSet s\nβ’ (β«β» (a : Ξ±), β«β» (x : Ξ²), ((fun ΞΌ => ββΞΌ s) β g) x βf a βm) = β«β» (a : Ξ±), ββ(((fun m => bind m g) β f) a) s βm",
"tactic": "conv_rhs => enter [2, a]; erw [bind_apply hs hg]"
}
] | [
196,
51
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
191,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean | Matrix.blockTriangular_reindex_iff | [
{
"state_after": "case refine'_1\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular (β(reindex e e) M) b\nβ’ BlockTriangular M (b β βe)\n\ncase refine'_2\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular M (b β βe)\nβ’ BlockTriangular (β(reindex e e) M) b",
"state_before": "Ξ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nβ’ BlockTriangular (β(reindex e e) M) b β BlockTriangular M (b β βe)",
"tactic": "refine' β¨fun h => _, fun h => _β©"
},
{
"state_after": "case h.e'_6\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular (β(reindex e e) M) b\nβ’ M = submatrix (β(reindex e e) M) βe βe",
"state_before": "case refine'_1\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular (β(reindex e e) M) b\nβ’ BlockTriangular M (b β βe)",
"tactic": "convert h.submatrix"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_6\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular (β(reindex e e) M) b\nβ’ M = submatrix (β(reindex e e) M) βe βe",
"tactic": "simp only [reindex_apply, submatrix_submatrix, submatrix_id_id, Equiv.symm_comp_self]"
},
{
"state_after": "case h.e'_7\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular M (b β βe)\nβ’ b = (b β βe) β fun i => βe.symm i",
"state_before": "case refine'_2\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular M (b β βe)\nβ’ BlockTriangular (β(reindex e e) M) b",
"tactic": "convert h.submatrix"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_7\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type ?u.756\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.765\nm' : Ξ± β Type ?u.770\nn' : Ξ± β Type ?u.775\nR : Type v\ninstβΒΉ : CommRing R\nM N : Matrix m m R\nbβ : m β Ξ±\ninstβ : LT Ξ±\nb : n β Ξ±\ne : m β n\nh : BlockTriangular M (b β βe)\nβ’ b = (b β βe) β fun i => βe.symm i",
"tactic": "simp only [comp.assoc b e e.symm, Equiv.self_comp_symm, comp.right_id]"
}
] | [
73,
75
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
67,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean | Convex.openSegment_self_interior_subset_interior | [] | [
201,
73
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
199,
1
] |
Mathlib/Order/Monotone/Monovary.lean | AntivaryOn.comp_antitoneOn_right | [] | [
379,
79
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
377,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean | intervalIntegral.integral_deriv_mul_eq_sub | [] | [
1325,
58
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1319,
1
] |
Mathlib/Data/List/Basic.lean | List.lookmap_none | [] | [
3313,
86
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
3311,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Basic.lean | Set.dual_Ici | [] | [
231,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
230,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Basic.lean | Set.Ici_injective | [] | [
961,
38
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
960,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean | Polynomial.Chebyshev.T_mul | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nβ’ β (n : β), T R (0 * n) = comp (T R 0) (T R n)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nβ’ β (n : β), T R (1 * n) = comp (T R 1) (T R n)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nm n : β\nβ’ T R ((m + 2) * n) = comp (T R (m + 2)) (T R n)",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nm : β\nβ’ β (n : β), T R ((m + 2) * n) = comp (T R (m + 2)) (T R n)",
"tactic": "intro n"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nm n : β\nthis : 2 * T R n * T R ((m + 1) * n) = T R ((m + 2) * n) + T R (m * n)\nβ’ T R ((m + 2) * n) = comp (T R (m + 2)) (T R n)",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nm n : β\nβ’ T R ((m + 2) * n) = comp (T R (m + 2)) (T R n)",
"tactic": "have : 2 * T R n * T R ((m + 1) * n) = T R ((m + 2) * n) + T R (m * n) := by\n convert mul_T R n (m * n) using 1 <;> ring_nf"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nm n : β\nthis : 2 * T R n * T R ((m + 1) * n) = T R ((m + 2) * n) + T R (m * n)\nβ’ T R ((m + 2) * n) = comp (T R (m + 2)) (T R n)",
"tactic": "simp [this, T_mul m, β T_mul (m + 1)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.113283\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : CommRing S\nm n : β\nβ’ 2 * T R n * T R ((m + 1) * n) = T R ((m + 2) * n) + T R (m * n)",
"tactic": "convert mul_T R n (m * n) using 1 <;> ring_nf"
}
] | [
279,
42
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
272,
1
] |
Mathlib/Algebra/BigOperators/Basic.lean | Finset.prod_pi_mulSingle | [] | [
1136,
21
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1133,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Group.lean | Set.pairwise_disjoint_Ioc_zpow | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβ : OrderedCommGroup Ξ±\na b : Ξ±\nβ’ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (b ^ n) (b ^ (n + 1)))",
"tactic": "simpa only [one_mul] using pairwise_disjoint_Ioc_mul_zpow 1 b"
}
] | [
213,
64
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
211,
1
] |
Mathlib/Topology/Connected.lean | mem_connectedComponent | [] | [
597,
82
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
596,
1
] |
Mathlib/Data/Pi/Algebra.lean | Function.extend_inv | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "I : Type u\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type u_1\nfβ : I β Type vβ\ngβ : I β Type vβ\nh : I β Type vβ\nx y : (i : I) β fβ i\ni : I\ninstβ : Inv Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\ng : Ξ± β Ξ³\ne : Ξ² β Ξ³\nβ’ extend f gβ»ΒΉ eβ»ΒΉ = (extend f g e)β»ΒΉ",
"tactic": "classical\nfunext x\nsimp only [not_exists, extend_def, Pi.inv_apply, apply_dite Inv.inv]"
},
{
"state_after": "case h\nI : Type u\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type u_1\nfβ : I β Type vβ\ngβ : I β Type vβ\nh : I β Type vβ\nxβ y : (i : I) β fβ i\ni : I\ninstβ : Inv Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\ng : Ξ± β Ξ³\ne : Ξ² β Ξ³\nx : Ξ²\nβ’ extend f gβ»ΒΉ eβ»ΒΉ x = (extend f g e)β»ΒΉ x",
"state_before": "I : Type u\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type u_1\nfβ : I β Type vβ\ngβ : I β Type vβ\nh : I β Type vβ\nx y : (i : I) β fβ i\ni : I\ninstβ : Inv Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\ng : Ξ± β Ξ³\ne : Ξ² β Ξ³\nβ’ extend f gβ»ΒΉ eβ»ΒΉ = (extend f g e)β»ΒΉ",
"tactic": "funext x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nI : Type u\nΞ± : Type u_3\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type u_1\nfβ : I β Type vβ\ngβ : I β Type vβ\nh : I β Type vβ\nxβ y : (i : I) β fβ i\ni : I\ninstβ : Inv Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\ng : Ξ± β Ξ³\ne : Ξ² β Ξ³\nx : Ξ²\nβ’ extend f gβ»ΒΉ eβ»ΒΉ x = (extend f g e)β»ΒΉ x",
"tactic": "simp only [not_exists, extend_def, Pi.inv_apply, apply_dite Inv.inv]"
}
] | [
386,
71
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
382,
1
] |
Mathlib/Data/List/Chain.lean | List.Chain'.imp | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u\nΞ² : Type v\nR r : Ξ± β Ξ± β Prop\nlβ lβ lβ : List Ξ±\na b : Ξ±\nS : Ξ± β Ξ± β Prop\nH : β (a b : Ξ±), R a b β S a b\nl : List Ξ±\np : Chain' R l\nβ’ Chain' S l",
"tactic": "cases l <;> [trivial; exact Chain.imp H p]"
}
] | [
177,
64
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
176,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean | FormalMultilinearSeries.removeZero_coeff_succ | [] | [
107,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
105,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Bezout.lean | IsBezout.gcd_eq_sum | [
{
"state_after": "R : Type u\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : IsBezout R\nx y : R\nβ’ gcd x y β Ideal.span {gcd x y}",
"state_before": "R : Type u\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : IsBezout R\nx y : R\nβ’ gcd x y β Ideal.span {x, y}",
"tactic": "rw [β span_gcd]"
},
{
"state_after": "case a\nR : Type u\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : IsBezout R\nx y : R\nβ’ gcd x y β {gcd x y}",
"state_before": "R : Type u\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : IsBezout R\nx y : R\nβ’ gcd x y β Ideal.span {gcd x y}",
"tactic": "apply Ideal.subset_span"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a\nR : Type u\ninstβΒΉ : CommRing R\ninstβ : IsBezout R\nx y : R\nβ’ gcd x y β {gcd x y}",
"tactic": "simp"
}
] | [
86,
77
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
85,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean | Set.preimage_const_sub_Ioc | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\ninstβ : OrderedAddCommGroup Ξ±\na b c : Ξ±\nβ’ (fun x => a - x) β»ΒΉ' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)",
"tactic": "simp [β Ioi_inter_Iic, β Ici_inter_Iio, inter_comm]"
}
] | [
252,
54
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
251,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean | MeasureTheory.Lp.nnnorm_neg | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nE : Type u_2\nF : Type ?u.416520\nG : Type ?u.416523\nm m0 : MeasurableSpace Ξ±\np : ββ₯0β\nq : β\nΞΌ Ξ½ : Measure Ξ±\ninstβΒ² : NormedAddCommGroup E\ninstβΒΉ : NormedAddCommGroup F\ninstβ : NormedAddCommGroup G\nf : { x // x β Lp E p }\nβ’ β-fββ = βfββ",
"tactic": "rw [nnnorm_def, nnnorm_def, snorm_congr_ae (coeFn_neg _), snorm_neg]"
}
] | [
350,
71
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
349,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Order/LeftRightLim.lean | Monotone.le_rightLim | [] | [
136,
23
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
135,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Basic.lean | Subgroup.NormalizerCondition.normal_of_coatom | [] | [
2259,
73
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
2257,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean | RingSubgroupsBasis.mem_addGroupFilterBasis_iff | [] | [
136,
10
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
134,
1
] |
Mathlib/Order/Lattice.lean | AntitoneOn.sup | [] | [
1217,
58
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1215,
11
] |
Mathlib/Data/Finset/Prod.lean | Finset.product_union | [
{
"state_after": "case a.mk\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.73473\ns s' : Finset Ξ±\nt t' : Finset Ξ²\na : Ξ±\nb : Ξ²\ninstβΒΉ : DecidableEq Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ²\nx : Ξ±\ny : Ξ²\nβ’ (x, y) β s ΓΛ’ (t βͺ t') β (x, y) β s ΓΛ’ t βͺ s ΓΛ’ t'",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.73473\ns s' : Finset Ξ±\nt t' : Finset Ξ²\na : Ξ±\nb : Ξ²\ninstβΒΉ : DecidableEq Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ²\nβ’ s ΓΛ’ (t βͺ t') = s ΓΛ’ t βͺ s ΓΛ’ t'",
"tactic": "ext β¨x, yβ©"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.mk\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_2\nΞ³ : Type ?u.73473\ns s' : Finset Ξ±\nt t' : Finset Ξ²\na : Ξ±\nb : Ξ²\ninstβΒΉ : DecidableEq Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ²\nx : Ξ±\ny : Ξ²\nβ’ (x, y) β s ΓΛ’ (t βͺ t') β (x, y) β s ΓΛ’ t βͺ s ΓΛ’ t'",
"tactic": "simp only [and_or_left, mem_union, mem_product]"
}
] | [
243,
50
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
241,
1
] |
Mathlib/Analysis/Analytic/Linear.lean | ContinuousLinearMap.fpowerSeries_apply_add_two | [] | [
44,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
43,
1
] |
Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean | Cubic.card_roots_le | [
{
"state_after": "R : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nβ’ βcard (Polynomial.roots (toPoly P)) β€ 3",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nβ’ Finset.card (toFinset (roots P)) β€ 3",
"tactic": "apply (toFinset_card_le P.toPoly.roots).trans"
},
{
"state_after": "case pos\nR : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nhP : toPoly P = 0\nβ’ βcard (Polynomial.roots (toPoly P)) β€ 3\n\ncase neg\nR : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nhP : Β¬toPoly P = 0\nβ’ βcard (Polynomial.roots (toPoly P)) β€ 3",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nβ’ βcard (Polynomial.roots (toPoly P)) β€ 3",
"tactic": "by_cases hP : P.toPoly = 0"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos\nR : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nhP : toPoly P = 0\nβ’ βcard (Polynomial.roots (toPoly P)) β€ 3",
"tactic": "exact (card_roots' P.toPoly).trans (by rw [hP, natDegree_zero]; exact zero_le 3)"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nhP : toPoly P = 0\nβ’ 0 β€ 3",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nhP : toPoly P = 0\nβ’ natDegree (toPoly P) β€ 3",
"tactic": "rw [hP, natDegree_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nhP : toPoly P = 0\nβ’ 0 β€ 3",
"tactic": "exact zero_le 3"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nR : Type u_1\nS : Type ?u.686853\nF : Type ?u.686856\nK : Type ?u.686859\nP : Cubic R\ninstβΒ³ : CommRing R\ninstβΒ² : CommRing S\nΟ : R β+* S\ninstβΒΉ : IsDomain R\ninstβ : DecidableEq R\nhP : Β¬toPoly P = 0\nβ’ βcard (Polynomial.roots (toPoly P)) β€ 3",
"tactic": "exact WithBot.coe_le_coe.1 ((card_roots hP).trans degree_cubic_le)"
}
] | [
499,
71
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
495,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Cast/Field.lean | Nat.inv_pos_of_nat | [] | [
64,
66
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
63,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean | AffineIsometryEquiv.map_ne | [] | [
656,
19
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
655,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullbacks.lean | CategoryTheory.Limits.inl_inl_pushoutAssoc_hom | [
{
"state_after": "C : Type u\ninstββ΅ : Category C\nD : Type uβ\ninstββ΄ : Category D\nW X Y Z Xβ Xβ Xβ Zβ Zβ : C\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ninstβΒ³ : HasPushout gβ gβ\ninstβΒ² : HasPushout gβ gβ\ninstβΒΉ : HasPushout (gβ β« pushout.inr) gβ\ninstβ : HasPushout gβ (gβ β« pushout.inl)\nβ’ pushout.inl β« pushout.inl β« (pushoutAssoc gβ gβ gβ gβ).hom =\n pushout.inl β«\n pushout.desc pushout.inl (pushout.inl β« pushout.inr) (_ : gβ β« pushout.inl = gβ β« pushout.inl β« pushout.inr)\n\nC : Type u\ninstββ΅ : Category C\nD : Type uβ\ninstββ΄ : Category D\nW X Y Z Xβ Xβ Xβ Zβ Zβ : C\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ninstβΒ³ : HasPushout gβ gβ\ninstβΒ² : HasPushout gβ gβ\ninstβΒΉ : HasPushout (gβ β« pushout.inr) gβ\ninstβ : HasPushout gβ (gβ β« pushout.inl)\nβ’ pushout.inl β«\n pushout.desc pushout.inl (pushout.inl β« pushout.inr) (_ : gβ β« pushout.inl = gβ β« pushout.inl β« pushout.inr) =\n pushout.inl",
"state_before": "C : Type u\ninstββ΅ : Category C\nD : Type uβ\ninstββ΄ : Category D\nW X Y Z Xβ Xβ Xβ Zβ Zβ : C\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ninstβΒ³ : HasPushout gβ gβ\ninstβΒ² : HasPushout gβ gβ\ninstβΒΉ : HasPushout (gβ β« pushout.inr) gβ\ninstβ : HasPushout gβ (gβ β« pushout.inl)\nβ’ pushout.inl β« pushout.inl β« (pushoutAssoc gβ gβ gβ gβ).hom = pushout.inl",
"tactic": "trans fβ β« lβ"
},
{
"state_after": "case e_a\nC : Type u\ninstββ΅ : Category C\nD : Type uβ\ninstββ΄ : Category D\nW X Y Z Xβ Xβ Xβ Zβ Zβ : C\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ninstβΒ³ : HasPushout gβ gβ\ninstβΒ² : HasPushout gβ gβ\ninstβΒΉ : HasPushout (gβ β« pushout.inr) gβ\ninstβ : HasPushout gβ (gβ β« pushout.inl)\nβ’ pushout.inl β« (pushoutAssoc gβ gβ gβ gβ).hom =\n pushout.desc pushout.inl (pushout.inl β« pushout.inr) (_ : gβ β« pushout.inl = gβ β« pushout.inl β« pushout.inr)",
"state_before": "C : Type u\ninstββ΅ : Category C\nD : Type uβ\ninstββ΄ : Category D\nW X Y Z Xβ Xβ Xβ Zβ Zβ : C\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ninstβΒ³ : HasPushout gβ gβ\ninstβΒ² : HasPushout gβ gβ\ninstβΒΉ : HasPushout (gβ β« pushout.inr) gβ\ninstβ : HasPushout gβ (gβ β« pushout.inl)\nβ’ pushout.inl β« pushout.inl β« (pushoutAssoc gβ gβ gβ gβ).hom =\n pushout.inl β«\n pushout.desc pushout.inl (pushout.inl β« pushout.inr) (_ : gβ β« pushout.inl = gβ β« pushout.inl β« pushout.inr)",
"tactic": "congr 1"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_a\nC : Type u\ninstββ΅ : Category C\nD : Type uβ\ninstββ΄ : Category D\nW X Y Z Xβ Xβ Xβ Zβ Zβ : C\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ninstβΒ³ : HasPushout gβ gβ\ninstβΒ² : HasPushout gβ gβ\ninstβΒΉ : HasPushout (gβ β« pushout.inr) gβ\ninstβ : HasPushout gβ (gβ β« pushout.inl)\nβ’ pushout.inl β« (pushoutAssoc gβ gβ gβ gβ).hom =\n pushout.desc pushout.inl (pushout.inl β« pushout.inr) (_ : gβ β« pushout.inl = gβ β« pushout.inl β« pushout.inr)",
"tactic": "exact\n (pushoutPushoutLeftIsPushout gβ gβ gβ gβ).comp_coconePointUniqueUpToIso_hom _\n WalkingCospan.left"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninstββ΅ : Category C\nD : Type uβ\ninstββ΄ : Category D\nW X Y Z Xβ Xβ Xβ Zβ Zβ : C\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ngβ : Zβ βΆ Xβ\ninstβΒ³ : HasPushout gβ gβ\ninstβΒ² : HasPushout gβ gβ\ninstβΒΉ : HasPushout (gβ β« pushout.inr) gβ\ninstβ : HasPushout gβ (gβ β« pushout.inl)\nβ’ pushout.inl β«\n pushout.desc pushout.inl (pushout.inl β« pushout.inr) (_ : gβ β« pushout.inl = gβ β« pushout.inl β« pushout.inr) =\n pushout.inl",
"tactic": "exact pushout.inl_desc _ _ _"
}
] | [
2606,
33
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
2598,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Fold.lean | Finset.fold_image_idem | [
{
"state_after": "case empty\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nβ’ fold op b f (image g β
) = fold op b (f β g) β
\n\ncase cons\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nx : Ξ³\nxs : Finset Ξ³\nhx : Β¬x β xs\nih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f β g) xs\nβ’ fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f β g) (cons x xs hx)",
"state_before": "Ξ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\nsβ : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\ns : Finset Ξ³\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nβ’ fold op b f (image g s) = fold op b (f β g) s",
"tactic": "induction' s using Finset.cons_induction with x xs hx ih"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case empty\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nβ’ fold op b f (image g β
) = fold op b (f β g) β
",
"tactic": "rw [fold_empty, image_empty, fold_empty]"
},
{
"state_after": "case cons\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nx : Ξ³\nxs : Finset Ξ³\nhx : Β¬x β xs\nih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f β g) xs\nthis : DecidableEq Ξ³\nβ’ fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f β g) (cons x xs hx)",
"state_before": "case cons\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nx : Ξ³\nxs : Finset Ξ³\nhx : Β¬x β xs\nih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f β g) xs\nβ’ fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f β g) (cons x xs hx)",
"tactic": "haveI := Classical.decEq Ξ³"
},
{
"state_after": "case cons\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nx : Ξ³\nxs : Finset Ξ³\nhx : Β¬x β xs\nih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f β g) xs\nthis : DecidableEq Ξ³\nβ’ op (f (g x)) (fold op b (f β g) xs) = op ((f β g) x) (fold op b (f β g) xs)",
"state_before": "case cons\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nx : Ξ³\nxs : Finset Ξ³\nhx : Β¬x β xs\nih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f β g) xs\nthis : DecidableEq Ξ³\nβ’ fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f β g) (cons x xs hx)",
"tactic": "rw [fold_cons, cons_eq_insert, image_insert, fold_insert_idem, ih]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case cons\nΞ± : Type u_1\nΞ² : Type u_3\nΞ³ : Type u_2\nop : Ξ² β Ξ² β Ξ²\nhc : IsCommutative Ξ² op\nha : IsAssociative Ξ² op\nf : Ξ± β Ξ²\nb : Ξ²\ns : Finset Ξ±\na : Ξ±\ninstβ : DecidableEq Ξ±\ng : Ξ³ β Ξ±\nhi : IsIdempotent Ξ² op\nx : Ξ³\nxs : Finset Ξ³\nhx : Β¬x β xs\nih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f β g) xs\nthis : DecidableEq Ξ³\nβ’ op (f (g x)) (fold op b (f β g) xs) = op ((f β g) x) (fold op b (f β g) xs)",
"tactic": "simp only [Function.comp_apply]"
}
] | [
137,
36
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
131,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm.lean | MeasureTheory.snormEssSup_le_of_ae_bound | [] | [
428,
88
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
426,
1
] |
Mathlib/Topology/Maps.lean | IsClosedMap.of_inverse | [
{
"state_after": "Ξ± : Type u_2\nΞ² : Type u_1\nΞ³ : Type ?u.198659\nΞ΄ : Type ?u.198662\ninstβΒ² : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒΉ : TopologicalSpace Ξ²\ninstβ : TopologicalSpace Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nf' : Ξ² β Ξ±\nh : Continuous f'\nl_inv : LeftInverse f f'\nr_inv : Function.RightInverse f f'\ns : Set Ξ±\nhs : IsClosed s\nβ’ IsClosed (f' β»ΒΉ' s)",
"state_before": "Ξ± : Type u_2\nΞ² : Type u_1\nΞ³ : Type ?u.198659\nΞ΄ : Type ?u.198662\ninstβΒ² : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒΉ : TopologicalSpace Ξ²\ninstβ : TopologicalSpace Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nf' : Ξ² β Ξ±\nh : Continuous f'\nl_inv : LeftInverse f f'\nr_inv : Function.RightInverse f f'\ns : Set Ξ±\nhs : IsClosed s\nβ’ IsClosed (f '' s)",
"tactic": "rw [image_eq_preimage_of_inverse r_inv l_inv]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ξ± : Type u_2\nΞ² : Type u_1\nΞ³ : Type ?u.198659\nΞ΄ : Type ?u.198662\ninstβΒ² : TopologicalSpace Ξ±\ninstβΒΉ : TopologicalSpace Ξ²\ninstβ : TopologicalSpace Ξ³\nf : Ξ± β Ξ²\nf' : Ξ² β Ξ±\nh : Continuous f'\nl_inv : LeftInverse f f'\nr_inv : Function.RightInverse f f'\ns : Set Ξ±\nhs : IsClosed s\nβ’ IsClosed (f' β»ΒΉ' s)",
"tactic": "exact hs.preimage h"
}
] | [
501,
22
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
498,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean | collinear_insert_of_mem_affineSpan_pair | [
{
"state_after": "k : Type u_2\nV : Type u_3\nP : Type u_1\nΞΉ : Type ?u.322022\ninstβΒ³ : DivisionRing k\ninstβΒ² : AddCommGroup V\ninstβΒΉ : Module k V\ninstβ : AffineSpace V P\npβ pβ pβ : P\nh : pβ β affineSpan k {pβ, pβ}\nβ’ Collinear k {pβ, pβ}",
"state_before": "k : Type u_2\nV : Type u_3\nP : Type u_1\nΞΉ : Type ?u.322022\ninstβΒ³ : DivisionRing k\ninstβΒ² : AddCommGroup V\ninstβΒΉ : Module k V\ninstβ : AffineSpace V P\npβ pβ pβ : P\nh : pβ β affineSpan k {pβ, pβ}\nβ’ Collinear k {pβ, pβ, pβ}",
"tactic": "rw [collinear_insert_iff_of_mem_affineSpan h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "k : Type u_2\nV : Type u_3\nP : Type u_1\nΞΉ : Type ?u.322022\ninstβΒ³ : DivisionRing k\ninstβΒ² : AddCommGroup V\ninstβΒΉ : Module k V\ninstβ : AffineSpace V P\npβ pβ pβ : P\nh : pβ β affineSpan k {pβ, pβ}\nβ’ Collinear k {pβ, pβ}",
"tactic": "exact collinear_pair _ _ _"
}
] | [
559,
29
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
556,
1
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.