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let @xmath0 be a compact , orientable 3-manifold .
@ xmath0はコンパクトで方向性のある3倍数で,
heegaard splitting _ of @xmath0 is a pair @xmath15 , where @xmath16 are compression bodies , such that @xmath17 , and @xmath18 .
heegaard splitting _ の @ xmath0 は @ xmath15 のペアで, @ xmath16 は @ xmath17 と @ xmath18 のような圧縮体である.
the surface @xmath19 is called a _ heegaard surface _ for @xmath0 .
表面 @ xmath19 は @ xmath0 の _ heegaard 表面 _ と呼ばれます.
the _ genus _ of the splitting @xmath20 is the genus of @xmath2 .
@xmath20の分割の _ genus _ は @xmath2の genus である.
the _ heegaard genus _ of @xmath0 , denoted @xmath21 , is the minimal genus among all heegaard splittings of @xmath0 .
@xmath0 の _ heegaard genus _ は @xmath21 と表記され, @xmath0 のすべての heegaard 分割のうち最小の属である.
in our setting , it will be convenient to restrict the class of heegaard splittings .
条件を考慮して 希ガード・スプリントの クラス限定は便利です
we shall define a _ restricted heegaard splitting _ to be a heegaard splitting @xmath20 , where @xmath3 is a handlebody .
@ xmath20の heegaard分割として _ 制限されたheegaard分割 _ を定義します. @ xmath3はハンドルボディです.
( this notion is closely related to the more standard notion of a `` tunnel system '' ) .
標準的なトンネルシステムとは密接に関連している"
the _ restricted heegaard genus _ , denoted @xmath22 , is the minimal genus among all restricted heegaard splittings .
@xmath22で表記される _ 限定ヒガード属 _ は,全ての限定ヒガード分割のうち最小の属である.
if @xmath23 has fewer than two components , then @xmath24 .
@ xmath23 のコンポーネントが2つ未満なら @ xmath24 です.
any restricted heegaard splitting @xmath15 determines a collection of finite presentations of @xmath1 .
@xmath15 の制限された heegaard 分割は @xmath1 の有限な表現の集合を決定します.
indeed , if we choose disk systems @xmath10 and @xmath25 for @xmath3 and @xmath26 , respectively , we obtain a presentation for @xmath1 , whose generators correspond to the elements of @xmath10 , and whose relators correspond to the attaching maps of the disks in @xmath25 .
実際,もし @ xmath3 と @ xmath26 のディスクシステム @ xmath10 と @ xmath25 を選択すると, @ xmath1 のプレゼンテーションが得られ,そのジェネレーターは @ xmath10 の要素に,そのリレーターは @ xmath25 のディスクのマップに対応する.
we say that the resulting presentation , @xmath27 , is _ induced by _ note that different choices of @xmath10 or @xmath25 would lead to different presentations , all of which are said to be induced by @xmath15 .
与えられた表現 @ xmath27 は _ により誘発された と言う. @ xmath10 または @ xmath25 の異なる選択は @ xmath15 によって誘発された と言う異なる表現をもたらすことに注意してください.
any presentation obtained from @xmath27 by deleting trivial relators is also said to be induced from @xmath15 .
@xmath27から得られた表現は @xmath15から誘導されたものとも言われます
we say that a presentation for a group is _ geometric _ if it is induced by a heegaard splitting of some 3-manifold .
グループが3つの多様体で 希ガード分割によって誘発された場合 グループが _ ジオメトリック _ であるとします
for example , if @xmath0 is the exterior of the trefoil knot , then @xmath28 is induced by a genus 2 heegaard splitting of @xmath0 .
例えば,もし @ xmath0 が三葉の結の外側であるならば, @ xmath28 は @ xmath0 の genus 2 heegaard 分割によって誘導される.
note that the 1-relator presentation @xmath29 is induced by heegaard splittings of two different 3-manifolds ; it is induced by the genus 1 heegaard splitting of @xmath30 , and also by the genus 1 heegaard splitting of @xmath31 , where , in the latter case , the 2-handle is attached along a trivial curve of the heegaard torus .
1対比表記 @xmath29 は,2つの異なる3倍数のヒガード分割によって誘発される; それは@xmath30 のジェノス1ヒガード分割によって誘発され,また @xmath31 のジェノス1ヒガード分割によって誘発され,後者の場合,2ハンドルはヒガードトーラスの一般的な曲線に沿って結合される.
our main theorem is the following : [ main ] if @xmath0 is a compact , orientable 3-manifold which fibers over @xmath32 , then any 1-relator presentation for @xmath1 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
基本定理は次のとおりです: [ 基本 ] もし @ xmath0 が @ xmath32 を経由するコンパクトで方向性のある3倍数であるならば, @ xmath1 の任意の1対比表現は @ xmath0 のヒガード分割によって誘導されます.
if @xmath33 is any group , we let @xmath34 denote the minimal cardinality among all generating sets for @xmath33 .
@ xmath33 が任意のグループである場合, @ xmath33 の生成集合の最小のカーディナリティを @ xmath34 に代入します.
we have the obvious inequality @xmath35 .
明らかに不等式 @xmath35 があります
there are examples where this inequality is sharp ( see @xcite ) , however it is an open problem whether equality holds if @xmath0 is hyperbolic .
この不等式が鋭い例がある (xciteを参照) が,しかし,xmath0が超大理数である場合の等式が成立するかどうかは未解決である.
theorem [ main ] implies that equality does hold in the case where @xmath0 is fibered , and @xmath33 is a 1-relator group .
定理 [ main ] は @ xmath0 が線維群で, @ xmath33 が 1 関連群である場合でも等式が成立することを示唆しています.
this includes many hyperbolic examples .
誇張的な例もたくさんあります
let @xmath0 be a compact , orientable 3-manifold which fibers over @xmath32 , and suppose that @xmath1 has a 1-relator presentation .
@ xmath0は @ xmath32をファイバーするコンパクトで方向性のある3つの多様体で, @ xmath1は1対関係性表現を持っていると仮定します.
then @xmath36 .
じゃあ @xmath36 さん
_ remark : _ the hypotheses of the corollary force @xmath37 .
追随力の仮説 @xmath37
see theorem [ brown ] .
定理 (ブラウン) を参照.
let @xmath38 be the given presentation for @xmath1 .
@ xmath38 は @ xmath1 の与えられたプレゼンテーションになります.
by theorem [ main ] , @xmath27 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
理論 [ main ] によれば, @xmath27 は @xmath0 のヒガード分割によって誘導される.
first , suppose that @xmath39 .
始めに @xmath39 が
there are now two possibilities .
可能性は2つある
if @xmath40 , then we must have @xmath41 , and @xmath42 .
@xmath40なら @xmath41と @xmath42が 存在するはずです
thus @xmath43 .
じゃあ,xmath43に
if @xmath44 , then @xmath3 is a solid torus , and the 2-handle is attached along a trivial curve in @xmath45 .
@xmath44 の場合, @xmath3 は固体型トーラスで, 2 つのハンドルは @xmath45 の微小な曲線に沿って固定されます.
so in this case , @xmath46 , and again @xmath43 .
@xmath46と @xmath43の 組み合わせです
suppose now that @xmath47 .
仮に,この @xmath47 が,
recall that an element @xmath48 in a free group @xmath2 is _ primitive _ if it is contained in a free basis for @xmath2 .
@ xmath2 の自由基に含まれている場合,自由グループ @ xmath2 の要素 @ xmath48 は _ プリミティブ _ であることを思い出してください.
if @xmath48 is non - primitive , then @xmath1 is non - free ( see @xcite chapter ii , proposition 5.10 ) , so @xmath49 .
@xmath48 が非原始であるならば, @xmath1 は非自由である (第2章第5.10項を参照),したがって @xmath49 です.
if @xmath48 is primitive , then @xmath50 , and @xmath46 or @xmath30 .
@ xmath48 が原始であるなら, @ xmath50,そして @ xmath46 または @ xmath30 が成り立つ.
in this case @xmath51 .
この場合は @xmath51 です.
say that a word @xmath48 in a free group @xmath52 is _ geometric _ if it can be represented by a simple closed curve on the boundary of a genus @xmath53 handlebody .
単語の @ xmath48 が自由グループ @ xmath52 の境界にある単純な閉曲線で表せるなら _ 形状の _ 形状であると言えます.
[ word ] if @xmath48 is a non - geometric word in @xmath54 , and if @xmath55 has a map onto @xmath56 with finitely generated kernel , then @xmath55 is not the fundamental group of an orientable 3-manifold .
[ word ] @ xmath48 が @ xmath54 の非幾何学的な単語であり, @ xmath55 が @ xmath56 にマッピングされていて, カーネルが有限に生成されている場合, @ xmath55 は 3 方向の多元体の基本群ではない.
_ remark : _ for any given word , these two conditions are straightforward to verify .
_ 註: _ この2つの条件は,任意の単語では簡単に確認できます.
the algorithm to determine if a word in @xmath52 is geometric is given in @xcite , and an implementation , in the 2-generator case , is currently available at www.math.buffalo.edu/ jdmaster .
@xmath52の単語が幾何学的なかどうかを判断するアルゴリズムは @xcite で示されており, 2つの生成器の場合の実装は www.math.buffalo.edu/ jdmaster で利用できます.
the procedure to determine if @xmath57 is finitely generated is discussed in section [ back ] .
@xmath57 が有限生成されているかどうかを判断する手順は [ 戻る ] セクションで説明します.
for example , corollary [ word ] implies that the group @xmath58 is not the fundamental group of an orientable 3-manifold .
例えば, [ word ] の帰結は,グループ @xmath58 が 3 つの方向性多様体の基本グループではないことを意味します.
( of corollary [ word ] ) suppose the kernel is finitely generated , and @xmath59 for an orientable 3-manifold @xmath0 .
カーネルが有限に生成され, @xmath59は3つの多様体 @xmath0の方向化であるとする.
by scott s compact core theorem ( @xcite ) , we may assume that @xmath0 is compact .
スコットが示したコンパクトな核定理 (xcite) によって, @xmath0 はコンパクトであると仮定できます.
by stallings theorem ( @xcite ) , @xmath0 is fibered .
ストリングの定理では @xmath0 は繊維化されている.
thus , by theorem [ main ] , the given 1-relator presentation for @xmath1 is geometric .
したがって,定理 [ main ] によって, @ xmath1 の与えられた 1 関連表は幾何学的なものである.
thus the word @xmath48 is geometric .
文字のxmath48は幾何学的なものです
we expect that a version of theorem [ main ] remains true without the hypothesis that @xmath0 is fibered .
@ xmath0が線維化されているという仮説なしに 定理のバージョンが正しいと期待します
[ cnj ] let @xmath0 be a compact , orientable 3-manifold .
@ xmath0 はコンパクトで方向性のある 3 倍数で
any 1-relator presentation of @xmath1 is geometric ; and + b. if @xmath0 has no 2-sphere boundary components , then any 1-relator presentation of @xmath1 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
@xmath1の任意の1対対比表現は幾何学的な; と + b. もし @xmath0に2球の境界成分がないなら, @xmath1の任意の1対比表現は @xmath0のヒガード分割によって誘導される.
conjecture [ cnj ] a is equivalent to : [ cnj2 ] the group @xmath60 is the fundamental group of an orientable 3-manifold if and only if @xmath48 is a geometric word .
推測 [ cnj ] a は,次の式に等しい: [ cnj2 ] グループ @xmath60 は,もし @xmath48 が幾何的な単語である場合にのみ,方向性のある 3 倍数の基本群である.
conjecture [ cnj ] b implies that rank equals restricted heegaard genus for orientable 3-manifolds with 1-relator fundamental groups .
推測 [ cnj ] b は, 1 関連基数群を持つ 3 方向の多様体に対して,ランクが限定基数族に等しいことを意味する.
in particular , conjecture [ cnj ] b implies the poincar conjecture .
特に,仮定 [ cnj ] b はポインカー仮定を暗示しています.
evidence for conjecture [ cnj ] a is given by the manifolds in the snappea census .
推定の証拠は の数値の多様性によって与えられます
there are 4303 examples given there of 1-relator presentations of orientable-3-manifold groups .
方向性3の多元群の1リレーター表現の例は4303個あります
we have used a computer to verify that all of these presentations are in fact geometric .
コンピュータで確認したところ これらの図は全て幾何学的なものです
section [ back ] contains some background material .
背景資料を掲載しています
the proof of theorem [ main ] is contained in section [ proof ] .
定理の証明は [ main ] のセクション [ proof ] に含まれています.
section [ groups ] contains a general theorem about 1-relator groups , which is motivated by conjecture [ cnj ] .
セクション [ groups ] は,推定法 [ cnj ] によって動機づけられた, 1 関連群に関する一般定理を含んでいます.
the final section contains some general discussion about 1-relator groups and conjecture [ cnj ] .
最後のセクションは, 1 関連群と推測 (cnj) についての一般的な議論を網羅しています.
we wish to thank tao li for a useful conversation , and ilya kapovich for help with the references .
参考資料の提供を ありがとう
* brown s criterion * + given a 1-relator group @xmath61 , where @xmath48 is cyclically reduced , and a surjection @xmath62 .
* ブラウン の基準 * + 1 関連群 @ xmath61 が与えられ, @ xmath48 は周期的に減少し, @ xmath62 は 超越されます.
we shall describe a criterion , due to brown , for determining if @xmath57 is finitely generated .
@ xmath57 が有限で生成されているかどうかを判断するための基準を,ブラウンで説明します.
suppose that the exponent sum on @xmath63 in @xmath48 is zero .
@xmath48の @xmath63の指数の和が0であると仮定します.
this can always be arranged , by applying an appropriate free group automorphism to @xmath48 ( see lemma [ exp ] ) .
これは常に @ xmath48 に適切な自由グループ自動形式を適用することで整理できます (レマ [ exp ] を参照してください).
if @xmath64 , then it is easy to see that @xmath57 is infinitely generated .
@ xmath64 の場合は, @ xmath57 が無限生成されていることが分かりやすい.
if @xmath65 , then @xmath57 is generated by @xmath66 , and we have @xmath67 , for some finite sequence of integers @xmath68 .
@xmath65 の場合, @xmath57 は @xmath66 によって生成され, 整数の @xmath68 の有限な順序で @xmath67 が得られます.
the following is proved in @xcite .
@xcite で証明されている.
[ brown](brown ) @xmath69 is finitely generated if and only if @xmath70 , and @xmath68 has a unique minimum and maximum .
[ 茶色 ] 茶色) @xmath69 は,もし,そして,もし,ただし,@xmath70 と @xmath68 が,唯一最小値と最大値を持っている場合に限って生成されます.
this result follows from theorem 4.2 ( and the discussion imediately preceding it ) in @xcite .
この結果は @xcite の定理 4.2 (およびその直前の議論) から得られた結果です.
the proof is an application of the freiheitsatz ( theorem [ frei ] below ) .
証明はフリーズハツツの適用である (以下はフリーズ理論である).
+ + _ remark : _ theorem [ brown ] provides another method of showing that certain 1-relator groups are not 3-manifold groups .
+ + _ 注記: _ 定理 [ 茶色 ] は,ある1対系群が3対系群ではないことを示す別の方法を提供します.
suppose @xmath33 is as above , and that the sequence @xmath68 has \i .
@ xmath33 は上記の通りで @ xmath68 の配列は \ i であると仮定します.
a unique maximum ( resp .
単一の最大値 (レッポ)
minimum ) and \ii .
及び 及び
a repeated minimum ( resp .
繰り返し最低値 (レポ) を設定する
maximum ) .
制限する)
+ then @xmath33 is not the fundamental group of a compact , orientable 3-manifold .
+ では @xmath33 はコンパクトで方向性のある 3 倍数の基本群ではない.
indeed , if @xmath71 for a compact , orientable 3-manifold @xmath0 , then the cover @xmath72 corresponding to @xmath57 has two ends .
実際,もし @ xmath71 がコンパクトで方向性のある 3 倍数 @ xmath0 ならば, @ xmath57 に対応するカバー @ xmath72 には 2 つの端がある.
assumption i. implies that one of the ends has a finitely generated group .
仮定iは,端の1つに有限生成グループがあることを意味する.
thus by an argument of stallings ( proof of theorem 2 of @xcite ) , @xmath0 is fibered , and so @xmath57 is finitely generated .
したがって,ストリングの引数 (xciteの定理2の証明) によって,xmath0は繊維化され,したがってxmath57は有限に生成されます.
but , by assumption ii and proposition [ brown ] , @xmath69 is not finitely generated , for a contradiction .
しかし,仮定IIと命題 (ブラウン) によって, @xmath69は有限で生成されない,矛盾です.
for example , this argument shows that a baumslag - solitar group of the type @xmath73 is not the fundamental group of a compact , orientable 3-manifold if @xmath74 a special case of a well - known result of jaco @xcite .
例えば,この引数は @ xmath73 の型のバームスラグ - ソリタール群が, jaco @ xcite のよく知られている結果の特殊例である @ xmath74 がコンパクトで, 方向性のある 3 倍数の基本群ではないことを示している.
+ + * magnus s freiheitsatz * + one of the fundamental results about 1-relator groups is the following : [ frei ] ( magnus s freiheitsatz ) let @xmath61 , where @xmath48 is cyclically reduced , and let @xmath75 .
+ + * magnus s freiheitsatz * + 1関係群に関する基本的な結果の1つは次のとおりである: [ frei ] (magnus s freiheitsatz ) は @xmath61, ここで @xmath48は周期的に減少し, @xmath75を.
suppose that @xmath48 involves some @xmath76 which is not in @xmath77 .
@xmath48は @xmath77にない @xmath76を含んでいると仮定します.
then @xmath77 freely generates a free subgroup of @xmath33 .
@ xmath77 は @ xmath33 のサブグループを生成します
for a proof , see , for example , @xcite .
@xcite を参照してください
+ + * uniqueness of the relator * + the following result is proposition ii.5.8 in @xcite : ( magnus ) [ uniqueword ] if two elements @xmath78 and @xmath79 have the same normal closure in a free group @xmath2 , then @xmath78 is conjugate to @xmath79 or @xmath80 .
+ + * 関連因子の独特性 * + 次の結果は @xcite の命題 ii.5.8 である: (magnus ) [ 単一語 ] もし自由グループ @xmath78 と @xmath79 の2つの要素が同じ正規閉塞を持つなら, @xmath78 は @xmath79 または @xmath80 と結合する.
in particular , if one fixes a generating set for a 1-relator group , then the relator is determined , up to conjugacy and inverse .
特に,もし1対対子グループに生成集合を固定すると,対子が決定される.
+ + * the moldavansky splitting * + suppose that @xmath81 , where the exponent sum of @xmath63 on @xmath48 is zero .
+ + * モルダバンスキーの分割 * + @xmath81 が @xmath48 の @xmath63 の指数和がゼロであるとする.
we shall now explain a method , due to moldavansky , of representing @xmath33 as an hnn - extension , with a 1-relator vertex group .
モンダバンスキーの方法として @ xmath33 を hnn-拡張子として 1 関連頂点群で表現する方法を説明します.
further details of the construction are given in @xcite .
建設の詳細は @xcite に掲載しています.
let us represent @xmath33 as the fundamental group of a 2-complex @xmath82 , consisting of a bouquet of @xmath53 circles , with a single 2-handle attached , according to the word @xmath48 .
@xmath33を @xmath48の単語に合わせて 2つのハンドルで @xmath53の円の束からなる 2つの複合体の @xmath82の基本群として表しましょう.
let @xmath62 be the homomorphism which sends any word to the exponent sum of @xmath63 .
@xmath62は @xmath63の指数和に任意の単語を送る同型式であるとする.
then @xmath57 corresponds to an infinite cyclic cover @xmath83 , as pictured in fig .
図で示したように,無限周期的なカバー @ xmath83 に @ xmath57 が対応します.
1 , and @xmath84 is generated by elements of the form @xmath85 , for @xmath86 and @xmath87 .
1 と @ xmath84 は @ xmath86 と @ xmath87 の形式の要素によって生成されます.