sentences
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233k
| sentences_jp
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7.68k
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let @xmath88 be the covering transformation corresponding to the element @xmath63 .
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@xmath88は @xmath63に対応するカバー変換になります.
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let @xmath89 be the attaching map of the 2-handle , and let @xmath90 be a lift .
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@ xmath89 は 2 ハンドルのマップで @ xmath90 は リフトで
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then @xmath91 represents some word @xmath92 , in the generators @xmath93 .
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文字の生成元に @ xmath91 が @ xmath92 を表す
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we may choose the lift so that the @xmath94-coordinates of the @xmath93 s involved in @xmath92 range from @xmath95 to @xmath96 .
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@xmath92に含まれる @xmath93の @xmath94座標が @xmath95から @xmath96までの範囲にあるようにリフトを選択できます.
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consider the connected sub - complex @xmath97 of @xmath98 which contains the lifted 2-handle , and the 1-cells corresponding to @xmath99 .
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引き上げられた2ハンドルと @ xmath99 に対応する1セルを含む @ xmath98 の接続されたサブコンプレックス @ xmath97 を考えましょう.
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then @xmath100 , and this gives @xmath33 the structure of an hnn - extension ( see fig .
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そして @ xmath100,そしてこれは @ xmath33 に hnn - 拡張の構造を与える (図を参照).
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1 ) .
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1 ) した.
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proceeding algebraically now , consider the presentation : @xmath101 then , by mapping @xmath102 to @xmath63 and @xmath93 to @xmath103 , one may check that this is a presentation of @xmath33 .
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代数的に進めると,次のプレゼンテーションを考える: @xmath101 それから, @xmath102 を @xmath63 と @xmath93 を @xmath103 にマッピングすることで,これは @xmath33 のプレゼンテーションであることを確認できます.
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now , let @xmath104 be the following 1-relator group : @xmath105 ( we have abused notation by re - using the symbol @xmath93 . )
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@xmath104 は次の1対対群であるとする. @xmath105 (記号 @xmath93 を再使用して記号を乱用した)
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define maps @xmath106 , by @xmath107 , and @xmath108 .
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@ xmath106, @ xmath107, @ xmath108のマップを定義する
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by theorem [ frei
] , these are both injections .
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理論では,これらは両方とも注射です.
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thus the presentation @xmath109 expresses @xmath33 as an hnn - extension with vertex group @xmath104 , and edge group @xmath110 .
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したがって @ xmath109 のプレゼンテーションは @ xmath33 を hnn - 拡張子として頂点群 @ xmath104,および辺群 @ xmath110 で表現します.
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for an illustration ,
suppose that @xmath111 .
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@xmath111 を例に挙げてみましょう
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then @xmath33 is an hnn - extension , with vertex group @xmath112 , edge group @xmath113 , and inclusions @xmath114 , sending @xmath115 and @xmath116 , sending @xmath117 and @xmath118 .
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頂点群 @ xmath112, 縁群 @ xmath113, 挿入群 @ xmath114 が @ xmath115 と @ xmath116 を送る, @ xmath117 と @ xmath118 を送る, と hnn-拡張子である.
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+ + * heegaard splittings of bundles * + suppose @xmath0 is a fibered 3-manifold , with a fiber @xmath2 , which is a compact surface with non - empty boundary , and monodromy @xmath119 .
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+ + * heegaard のバンドルの分割 * + @xmath0 が繊維状の3重複体で, @xmath2 が繊維状で,これは空でない境界を持つコンパクトな表面であり, @xmath119 は単体であるとする.
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let @xmath120 be a free generating set for @xmath121 , represented by a collection of embedded loops in @xmath2 , meeting at a single point .
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@ xmath120は @ xmath121の生成集合で, @ xmath2に埋め込まれたループの集合で表現され, 1 つの点で出会う.
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then @xmath1 has an hnn presentation : @xmath122 we have the following fact .
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@xmath1 は hnn のプレゼンテーション: @xmath122 は次の事実を持っています.
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[ fiberedhs ] the presentation @xmath123 for @xmath1 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
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@xmath1 の @xmath123 のプレゼンテーションは @xmath0 のヒガード分割によって誘導されます.
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let @xmath124 and @xmath125 be disjoint fibers in @xmath0 .
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@xmath124と@xmath125を @xmath0の断片繊維とする.
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let @xmath126 be an arc , whose interior is disjoint from @xmath127 , with one endpoint in @xmath124 and the other endpoint in @xmath125 .
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@ xmath126 は @ xmath127 から内側が離れている弧で,端の @ xmath124 と端の @ xmath125 にある.
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let @xmath128 be the boundary of a regular neighborhood of @xmath129 .
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@ xmath128 は @ xmath129 の正規の近隣の境界線とする.
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then one may verify that @xmath128 is a heegaard surface inducing the presentation @xmath109 .
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プレゼンテーション @ xmath109 を誘導する heegaard 表面である @ xmath128 を確認できます.
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* modifying heegaard splittings * + suppose @xmath15 is a heegaard splitting of @xmath0 .
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* heegaard分割を修正する * + @xmath15 が @xmath0 の heegaard分割であるとする.
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we may obtain a new heegaard splitting for @xmath0 by attaching a trivial 1-handle to @xmath3 , and drilling out the corresponding 1-handle from @xmath26 .
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@xmath3に1ハンドルを付け, @xmath26から1ハンドルを掘り出すことで @xmath0の新しいヒガード分割が得られます.
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we say that the new heegaard splitting is a _ stabilization _ of @xmath15 .
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新しいヒガード分割は @ xmath15 の _ 安定化 _ であると言えます
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suppose that there are essential disks @xmath130 , and @xmath131 , such that @xmath132 .
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@ xmath130 と @ xmath131 のエッセンシャルディスクが @ xmath132 であると仮定します.
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let @xmath133 denote the boundary of a regular neighborhood of @xmath134 .
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@ xmath133 は @ xmath134 の正規の近隣の境界を表します.
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then there is a 2-sphere @xmath135 , such that @xmath136 .
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円の2つを足した2つの球があるので
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let @xmath137 be the disk @xmath138 .
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ディスク @ xmath137 をディスク @ xmath138 にします.
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then we may form a new heegaard surface for @xmath0 by compressing @xmath5 along @xmath137 .
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@xmath5を @xmath137に沿って圧縮することで @xmath0の新しいヘイガーデ面を形成する
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we say that the resulting heegaard splitting is a _ destabilization _ of @xmath15 .
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ヒーガード分裂は @ xmath15 の _ 不安定化 _ である.
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there is a useful method for changing disk systems .
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ディスクシステムを変えるのに役立つ方法がある
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suppose @xmath139 is a disk system for @xmath3 , and that @xmath140 .
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@ xmath139 は @ xmath3 のディスクシステムで,その @ xmath140 は
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suppose that @xmath126 is an arc in @xmath45 , starting on @xmath141 and ending on @xmath142 , with @xmath143 for all @xmath144 .
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@xmath126は @xmath45の弧で @xmath141から始まり @xmath142で終わり @xmath143がすべての @xmath144で終わると仮定します.
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let @xmath145 be an embedded neighborhood of @xmath126 , so that @xmath146 is a neighborhood of @xmath147 , and @xmath148 for @xmath149 .
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@ xmath145 は @ xmath126 の内蔵近隣で, @ xmath146 は @ xmath147 の近隣で, @ xmath148 は @ xmath149 の近隣である.
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then the _ band sum _ of @xmath150 and @xmath151 along @xmath126 is the disk @xmath152 .
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円盤 @ xmath152 は @ xmath126 沿いの @ xmath150 と @ xmath151 の _ バンドの合計 _ である.
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the set @xmath153 is then a new disk system for @xmath3 .
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集合 @ xmath153 は,その場合 @ xmath3 の新しいディスクシステムになります.
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+ + * modifying group presentations * + suppose @xmath154 is a presentation for a group @xmath33 , where @xmath155 and @xmath156 .
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+ + * グループプレゼンテーションの変更 * + @xmath154 が @xmath33 のグループプレゼンテーションであるとする.
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one may obtain a new generating set by applying a free group automorphism to the @xmath76 s .
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@xmath76sにフリーグループ自動形式を適用することで新しい生成集合が得られます.
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we say that the resulting presentations are _
nielsen equivalent_.
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ニュルセン等価である.
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for example , if @xmath157 , and @xmath158 , let @xmath159 be the automorphism satisfying @xmath160 , and @xmath161 if @xmath162 .
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例えば, @ xmath157 と @ xmath158 の場合, @ xmath159 は @ xmath160 を満たす自動形, @ xmath161 は @ xmath162 を満たす自動形とする.
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let @xmath163 , and let @xmath164 be the word obtained from @xmath165 , by replacing @xmath166 with @xmath167 and @xmath76 with @xmath168 , for @xmath162 .
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@ xmath163 と @ xmath164 は @ xmath165 から @ xmath166 を @ xmath167 と @ xmath76 を @ xmath168 と置き換えて @ xmath162 から得られる単語になります.
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then @xmath169 is a presentation for @xmath33 .
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@xmath169は @xmath33のプレゼンテーションです.
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let @xmath170 which sends @xmath76 to @xmath171 , and stabilizes all the other generators .
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@ xmath170が @ xmath76を @ xmath171に送り 他のジェネレーターを安定させる
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in this case
, the new presentation for @xmath33 is obtained from @xmath27 by exchanging @xmath76 and @xmath171 in all the relators @xmath172 .
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この場合, @ xmath33 の新しいプレゼンテーションは @ xmath27 から @ xmath76 と @ xmath171 をすべてのリレーター @ xmath172 で交換することで得られます.
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the automorphisms @xmath173 and @xmath174 are called _ nielsen transformations _ of @xmath175 .
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@xmath173と@xmath174の自動形は @xmath175の _ ニーゼルン変換 _ と呼ばれる.
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the operation which a nielsen transformation induces on a group presentation is called a _
nielsen move_.
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グループプレゼンテーションでニールセン変換が誘導する操作は _ ニールセン 移動_ と呼ばれる.
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for a proof of the following fact , see @xcite , chapter i.
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次の事実の証明については @xcite, Chapter I を参照してください.
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[ nielsen ] the nielsen transformations generate @xmath176 .
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ナイルセン変換は @xmath176 を生成します
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in particular , if @xmath177 is nielsen equivalent to @xmath27 , then @xmath177 may be obtained from @xmath27 by a sequence of nielsen moves .
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@ xmath177 が @ xmath27 とのニールセン等価である場合, @ xmath177 は @ xmath27 から ニールセン動作の順序で得られます.
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we shall need the fact that nielsen moves can be realized geometrically .
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ニーレソンの動きは幾何学的に実現できるという事実が必要になる
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the proof of the following proposition may be found in @xcite .
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次の命題の証明は @xcite で見ることができます.
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[ gr ] ( griffiths ) let @xmath178 , for a handlebody @xmath3 .
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手を握った人 @xmath3 になるように
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then every automorphism of @xmath52 is induced by an automorphism of @xmath3 .
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@xmath52の全ての自動形は @xmath3の自動形によって誘導されます.
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in addition to the nielsen moves , it will be convenient to define the following operations on @xmath27 ( special examples of tietze tranformations ) , which give new presentations of @xmath1 : + + 1 .
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ニールセン演算に加えて, @xmath1 の新しい表現を与える @xmath27 (特異的な変形の例) に関する次の演算を定義することが便利である: + + 1.
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add a new element @xmath179 to @xmath77 , and also add @xmath179 to @xmath180 .
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@ xmath179を @ xmath77に追加し,また @ xmath179を @ xmath180に追加します.
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we say that @xmath27 has been * stabilized*.
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安定した状態です.
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+ + 2 .
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+ + 2 でした
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suppose that there is a relation ( not necessarily part of the presentation ) in the group of the form @xmath181 , where @xmath182 and @xmath48 is a word which does not involve @xmath183 .
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@xmath181 のグループに @xmath182 と @xmath48 が @xmath183 を含まない単語である関係 (必ずしもプレゼンテーションの一部ではない) が存在すると仮定します.
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then remove @xmath183 from @xmath77 , remove @xmath184 from @xmath180 ( if @xmath184 is in r ) , and , wherever @xmath183 appears in any relator @xmath185 , replace it with @xmath48 .
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@ xmath183 を @ xmath77 から削除し, @ xmath180 から @ xmath184 を削除します (もし @ xmath184 が r に含まれている場合),そして @ xmath183 が @ xmath185 の任意の関係子に現れる場合は, @ xmath48 で置き換えます.
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we say that @xmath27 has been * destabilized along @xmath183*.
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@xmath183*と共に不安定化しています.
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+ * modifying presentations of 3-manifold groups * + suppose that @xmath27 is a presentation for @xmath1 induced by a heegaard splitting @xmath15 of @xmath0 , where @xmath3 is a handlebody .
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+ * 3つの多元群のプレゼンテーションを修正する * + @xmath27が @xmath1のプレゼンテーションで @xmath0の @xmath15をヒエガード分割することで誘導され, @xmath3がハンドルボディであると仮定します.
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by proposition
[ gr ] , any automorphism of @xmath186 is induced by a handlebody automorphism .
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式 [ gr ] によって, @ xmath186 の任意の自動形はハンドルボディ自動形によって誘導されます.
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thus , if @xmath177 is obtained from @xmath27 by a nielsen move , then @xmath177 is also induced by the splitting @xmath15 .
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したがって, @ xmath177 が @ xmath27 から ニールセン 移動で得られた場合, @ xmath177 も @ xmath15 の分割によって誘導されます.
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it is easy to see that a stabilization of the splitting @xmath15 , results in a stabilization of @xmath27 .
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@xmath15の分割の安定化が @xmath27の安定化につながっていることは容易に見ることができます.
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similarly , a destabilization of @xmath15 corresponds to a destabilization of @xmath27 , as described in the following lemma .
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同様に,次のレマで説明したように, @ xmath15 の不安定化は @ xmath27 の不安定化に対応します.
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[ destab ] let @xmath15 be a heegaard splitting of @xmath0 , let @xmath139 and @xmath187 be disk systems for @xmath3 and @xmath26 , respectively , and let @xmath188 be the induced presentation of @xmath1 .
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[ destab ] @ xmath15 は @ xmath0 のヒガード分割, @ xmath139 と @ xmath187 はそれぞれ @ xmath3 と @ xmath26 のディスクシステム, @ xmath188 は @ xmath1 の誘導表現であるとする.
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let @xmath189 be the disk which is dual to the generator @xmath63 , and suppose @xmath190 , with @xmath191 .
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@ xmath189 が @ xmath63 のデュアルディスクで, @ xmath190 が @ xmath191 と仮定します.
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then @xmath27 can be destabilized along @xmath63 so that the resulting presentation is induced by a destabilization of @xmath20 .
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@xmath27は @xmath63に沿って不安定化され,その結果,プレゼンテーションは @xmath20の不安定化によって誘発されます.
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let @xmath192 be the boundary of a regular neighborhood of @xmath193 .
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@ xmath192は @ xmath193の正規の近所の境界線とする.
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then @xmath194 bounds a disk in both @xmath3 and in @xmath26 , so there is a sphere @xmath135 with @xmath195 .
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円盤を @ xmath3 と @ xmath26 の両方に @ xmath194 が境界を張るので @ xmath195 と @ xmath135 の球があります
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let @xmath196 be the ball bounded by @xmath128 with @xmath197 .
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@ xmath196は @ xmath128と @ xmath197で囲まれた球になります.
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then @xmath128 is a reducing sphere for @xmath15 , resulting in a destabilized heegaard splitting @xmath198 , where @xmath199 , and @xmath200 .
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@xmath128は @xmath15 の還元球であり, @xmath198 の不安定なヘイガード分割を導きます.
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we obtain a disk system for @xmath201 as follows .
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上のように @ xmath201 のディスクシステムを取得します.
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let @xmath202 , where @xmath203 , and the @xmath204 s are ordered consecutively along the circle @xmath205 .
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@ xmath202 と @ xmath203 の @ xmath204 が @ xmath205 の円に沿って順番に並んでいる.
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suppose @xmath206 , and let @xmath207 be the disk containing @xmath208 .
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@ xmath206 を仮定し, @ xmath207 を @ xmath208 を含むディスクとする.
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let @xmath126 be an arc of @xmath205 with endpoints @xmath209 and @xmath208 , which is disjoint from @xmath204 for @xmath210 .
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@ xmath126 は @ xmath205 の弧で,端点は @ xmath209 と @ xmath208 で, @ xmath204 から @ xmath210 に離れている.
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then we replace @xmath211 with the band sum of @xmath211 and @xmath150 along @xmath126 .
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@xmath211を @xmath211と @xmath150の帯の和で @xmath126と置き換えます
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let @xmath212 be the resulting disk system for @xmath3 , and then @xmath213 .
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@ xmath212 が @ xmath3 の結果のディスクシステムになり,次に @ xmath213 になります.
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the resulting presentation of @xmath1 is obtained from @xmath27 by applying a single nielsen move replacing the generator @xmath63 with @xmath214 .
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@xmath1 の結果の表示は @xmath27 から得られ, 単一のニールソン動作を適用して @xmath63 の生成子を @xmath214 に置き換えます.
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continuing , we obtain a disk system @xmath212 for @xmath3 , so that @xmath215 for all @xmath216 .
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続けて,すべての @ xmath216 の @ xmath215 になるように, @ xmath3 のディスクシステム @ xmath212 を得ます.
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then @xmath217 is a system for @xmath201 .
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@xmath217は @xmath201のシステムです
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let @xmath218 be the presentation of @xmath1 induced by the systems @xmath212 and @xmath187
.
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@xmath218は @xmath1の表示であり, @xmath212と @xmath187のシステムによって誘導される.
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then @xmath218 is obtained from @xmath27 by applying a sequence of nielsen moves , whose effect is to replace the generator @xmath63 with the relator corresponding to @xmath205 .
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続いて @ xmath218 は @ xmath27 から ニールソン動作の配列を適用して得られ,その効果は @ xmath63 の生成子を @ xmath205 に対応する相対数に置き換えることである.
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in @xmath218 ,
the disk @xmath219 corresponds to the relation @xmath220 .
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@ xmath218 のディスク @ xmath219 は @ xmath220 の関係に対応します.
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we obtain a disk system for @xmath221 as follows .
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システムディスクの @ xmath221 を取得します.
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let @xmath222 , where @xmath223 , and the @xmath204 s are ordered consecutively along the circle @xmath141 .
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@ xmath222 と @ xmath204 が @ xmath141 の円に沿って順番に並んでいる.
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suppose @xmath206 , and let @xmath224 be the disk containing @xmath208 .
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@ xmath206 を仮定し, @ xmath208 を含むディスクを @ xmath224 にします.
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let @xmath126 be an arc of @xmath141 with endpoints @xmath209 and @xmath208 , which is disjoint from @xmath204 for @xmath210 .
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@ xmath126 は @ xmath141 の弧で,端点は @ xmath209 と @ xmath208 で, @ xmath210 は @ xmath204 から離れている.
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then we replace @xmath225 with the band sum of @xmath225 and @xmath219 along @xmath126 .
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@xmath225を @xmath126に沿った @xmath225と @xmath219の帯の和に置き換えます
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let @xmath226 be the resulting disk system for @xmath26 , and then @xmath227 .
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@ xmath226 が @ xmath26 の結果のディスクシステムとなり,次に @ xmath227 になります.
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the presentation of @xmath1 induced by @xmath212 and @xmath226 is obtained from @xmath218 by removing one occurence of @xmath63 from one relation .
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@xmath212と@xmath226によって誘導された @xmath1の表現は @xmath218から @xmath63の1つの出現を1つの関係から削除することによって得られます.
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continuing , we obtain a disk system @xmath226 , so that @xmath228 , and @xmath229 for all @xmath230
.
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続けて,すべての @ xmath230 に対して @ xmath228 と @ xmath229 のように,ディスクシステム @ xmath226 を得ます.
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then @xmath231 is a system for @xmath221 .
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@xmath231 は @xmath221 のシステムです.
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let @xmath232 be the presentation of @xmath1 induced by the systems @xmath233 and @xmath234 .
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@xmath232は @xmath233と @xmath234のシステムによって誘導された @xmath1の表現であるとする.
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then @xmath232 is obtained from @xmath218 by removing the generator @xmath63 , the relator @xmath220 , and all occurrences of @xmath63 in the remaining relators of @xmath218 .
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生成元 @ xmath63, 関連元 @ xmath220, @ xmath63 の全ての出現を @ xmath218 の残りの関係元から取り除いて @ xmath232 を得られます.
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it follows that @xmath232 is obtained from @xmath27 by destabilizing along @xmath63 .
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@xmath232は @xmath27から @xmath63に沿って不安定化することで得られます.
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to prove theorem [ main ] , we require a technical version of lemma [ destab ] that works for _ immersed _ disks .
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定理を証明するには, 浸水ディスクで動作するレマの技術的なバージョンが必要です.
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[ immersed ] let @xmath15 be a heegaard splitting of @xmath0 , let @xmath139 and @xmath187 be disk systems for @xmath3 and @xmath26 , respectively , and let @xmath188 be a presentation of @xmath1 , where the generators are dual to the disks in @xmath139 , and each @xmath235 is represented by an immersed disk in @xmath26 .
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[ immersed ] @ xmath15 は @ xmath0 の heegaard 分割, @ xmath139 と @ xmath187 は @ xmath3 と @ xmath26 のディスクシステム,そして @ xmath188 は @ xmath1 のプレゼンテーションで, @ xmath139 のディスクと生成子はデュアルで, @ xmath235 は @ xmath26 のディスカートで表現されます.
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let @xmath189 be the disk which is dual to the generator @xmath63 .
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変数 @ xmath189 は変数 @ xmath63 のデュアルであるディスクになります.
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Subsets and Splits
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