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the proof is by a `` tower argument '' , similar in spirit to the proof of dehn s lemma .
証明は"タワー論"で デーンズレマの証明に似ています
first we require some terminology .
まず 用語が必要になります
by a _ loop _ in a surface @xmath128 , we understand an immersion from a circle into @xmath128 .
円から @ xmath128 への浸入を意味する.
a loop in @xmath128 is _ essential _ if it can not be homotoped into @xmath389 .
@ xmath128 のループは @ xmath389 に同位体化できない場合 _ 必須 _ です.
a loop in @xmath128 is said to _ fill _ @xmath128 if the complement of its image contains no essential loops .
@ xmath128 のループは _ xmath128 を満たす と言う.もしそのイメージの補完に必要のループが存在しないなら.
given a 1-relator group @xmath390 , with @xmath391 .
@xmath391 と 1 関連グループ @xmath390 を与えると
we view the free group on @xmath392 as @xmath393 , for some compact surface @xmath394 , where the @xmath76 s are represented by embedded loops meeting in a single point .
@xmath392の自由グループを @xmath393として見ます. @xmath394のコンパクトな表面では @xmath76sは単一の点に集まる埋め込まれたループで表されます.
the word @xmath78 is represented by an immersed loop @xmath395 , and if @xmath78 is cyclically reduced , we may take @xmath396 to minimize the number of self - interections in its free homotopy class .
@ xmath78という単語は @ xmath395というループで表され, @ xmath78が周期的に縮小された場合, @ xmath396 を使ってその自由同位体クラスにおける自己相互作用の数を最小限に抑えることができます.
+ + case 1 : the loop @xmath396 does not fill @xmath394 .
+ + ケース1 : ループ @xmath396 は @xmath394 を満たさない.
+ + in this case , there is an automorphism @xmath397 , such that some generator @xmath398 does not appear in @xmath78 .
+ + この場合は @ xmath397 の自動形が @ xmath78 にないように @ xmath398 の生成子が @ xmath78 にないようにします.
after re - labeling , we may assume that the missing generator is @xmath399 .
レーベルを入れ替えると 欠けているのは @ xmath399 だと仮定できます
we choose such a @xmath250 , and we replace the presentation @xmath400 with the presentation @xmath401 , which defines an isomorphic group .
このような @ xmath250 を選び, @ xmath400 の表現を @ xmath401 の表現に置き換えます.これは等同群を定義します.
we also replace @xmath396 with @xmath402 .
@xmath396を @xmath402に置き換えます
the group @xmath403 then splits as a free product @xmath404 .
グループ @xmath403 は,フリープロダクト @xmath404 として分割されます.
we relabel the ordered list @xmath405 by the ordered list @xmath406 , and let @xmath79 be the result of re - labeling @xmath407 .
順番リスト @ xmath405 を順番リスト @ xmath406 で再ラベルし, @ xmath79 を @ xmath407 の再ラベルの結果とする.
then we have @xmath408 , where @xmath409 .
@xmath408 が出てくるので @xmath409 が出てくる
we view this free product as an hnn - extension , with trivial edge groups .
この自由プロダクトはHnn-拡張子として見ます.
there is a sub - surface @xmath410 , such that @xmath411 the word @xmath79 is represented by a loop @xmath412 .
副面 @ xmath410 があり, @ xmath411 の単語 @ xmath79 はループ @ xmath412 で表されます.
in fact , in this case , we may choose @xmath413 .
選択するかもしれません @ xmath413
+ + case 2 : the loop @xmath396 fills @xmath394 .
+ + ケース2 : ループ @xmath396 が @xmath394 を満たす
+ + since @xmath414 , there is a map @xmath415 , such that @xmath416 .
@xmath414 から @xmath415 のマップが @xmath416 になる
by changing the generators of @xmath417 , and re - writing @xmath78 in terms of the new generators , we may assume that @xmath279 is the exponent - sum function @xmath418 .
@ xmath417 の生成子を変更し,新しい生成子で @ xmath78 を書き換えたら, @ xmath279 が @ xmath418 の指数和関数であると仮定できます.
corresponding to the homomorphism @xmath419 , there is an infinite cyclic cover @xmath420 .
同型化 @ xmath419 に対応する, 無限周期的なカバー @ xmath420 があります.
let @xmath421 be the corresponding covering transformation .
@ xmath421 が対応するカバー変換になります.
let @xmath422 be a compact fundamental domain for the action of @xmath423 .
@ xmath422 が @ xmath423 の動作のコンパクトな基本領域であるとする.
let @xmath424 be minimal such that the surface @xmath425 contains a lift of @xmath396 .
@ xmath424 が最小で,その表面は @ xmath425 のリフトが @ xmath396 であるようにします.
we have : @xmath426 we may choose these generators so they are represented by embedded loops in @xmath427 , meeting at a single point .
ゲネレーターを選んで ループを組み込み 単一の点で 交差させることができます
we label the elements of this list consecutively as @xmath406 .
このリストの要素を @ xmath406 と連動的にラベルします.
then we see ( as in section 2 ) that @xmath403 is an hnn - extension with vertex group @xmath428 for some word @xmath79 , represented by a loop @xmath412 , which is a lift of @xmath396 .
続いて (セクション2のように) @xmath403は @xmath396のリフトであるループ @xmath412で表される @xmath79の頂点群 @xmath428のhnn-拡張子である.
the edge group is the free group @xmath429 , where @xmath430 , and the images of the edge group are generated by @xmath431 and @xmath432 , respectively .
辺のグループが自由グループ @ xmath429 で,ここでは @ xmath430 で,辺のグループの画像はそれぞれ @ xmath431 と @ xmath432 で生成されます.
by the freiheitsatz , these are in fact free subgroups of @xmath433 .
フォリテージズ・ザッツによって, これらは実は @xmath433 の自由サブグループです.
+ + suppose that by the above procedure we have constructed a splitting of @xmath403 , with vertex group @xmath434 , where @xmath433 is represented by a loop @xmath435 in a surface @xmath427 .
+ + 上の手順で @ xmath403 の分割を頂点群 @ xmath434 で構築したと仮定し, @ xmath433 は @ xmath427 の表面のループで表される.
if @xmath436 , we may apply the above process to @xmath433 .
@ xmath436 の場合,上記のプロセスを @ xmath433 に適用できます.
continuing , we obtain a sequence of 1-relator groups @xmath437 , where @xmath438 , and @xmath387 is a vertex group for @xmath388 .
続いて, 1 関連群 @ xmath437 のシーケンスを得ます. @ xmath438 と @ xmath387 は @ xmath388 の頂点群です.
the sequence terminates at @xmath439 if and only if @xmath440 .
序列が @ xmath439 で終わるのは,ただし @ xmath440 で終わっている場合のみです.
topologically , for each @xmath94 we have surfaces @xmath441 and @xmath442 , ( where possibly @xmath443 ) so that @xmath444 is a subsurface of @xmath442 .
トポロジカルにすると, @ xmath94 において,表面が @ xmath441 と @ xmath442 になるので, @ xmath444 は @ xmath442 の下面になる.
we also have a loop @xmath445 representing the word @xmath446 , such that @xmath447 is a homeomorphic lift of @xmath448 .
@ xmath446を表現する @ xmath447のループも @ xmath448のホメオモルフなリフトです
+ + _ claim : _ the sequence @xmath437 terminates after finitely many steps .
+ + _ 主張: _ シーケンス @ xmath437 は,数値が有限であるステップで終了します.
+ + _ proof of claim : _ note that when a curve is lifted to a finite cover , the number of self - intersections can never go up .
+ + _ 証明: _ 曲線が有限なカバーに上げられたとき,自交点数は決して上がらないことに注意してください.
therefore the number of self - intersections of @xmath447 is less than or equal to the number of self - intersections of @xmath448 for all @xmath94 .
したがって, @ xmath447 の自己交差点数は, @ xmath448 の自己交差点数よりも小さいか,またはすべての @ xmath94 の自己交差点数に等しいです.
thus if the sequence @xmath437 is infinite , then the sequence @xmath449 must contain infinitely many consecutive terms for which the number of self - intersections remains constant .
したがって,もし @ xmath437 の列が無限なら,その次数 @ xmath449 は,自己交差数の定数である連続項の無限を含んでいるに違いない.
we claim that this is impossible .
信じられないことを主張します
indeed , suppose the number of self - intersections of @xmath447 is the same as the number of self - intersections of @xmath448 , and suppose that @xmath450 is constructed as in case 2 .
実際, @ xmath447 の自己交差点の数と @ xmath448 の自己交差点の数が同じであると仮定し, @ xmath450 が 2 番目の例のように構成されていると仮定します.
then the lifts of @xmath448 to @xmath442 are all disjoint .
@xmath448 から @xmath442 のリフトは全て不結合です.
let @xmath194 be the boundary of a regular neighborhood of one of these lifts in @xmath442 .
@ xmath194 は @ xmath442 のリフトの1つの正規の近隣の境界線とする.
since each lift of @xmath448 is essential , and since no lift of @xmath448 fills @xmath442 , then some component of @xmath194 must be essential .
@ xmath448 の各リフトが必須で, @ xmath448 のリフトが @ xmath442 を満たさないので, @ xmath194 の何らかのコンポーネントが必須でなければならない.
thus @xmath194 projects to a collection of loops in @xmath441 , which are disjoint from @xmath448 , at least one of which must be essential .
したがって @ xmath194 は @ xmath441 のループの集合にプロジェクトします. @ xmath448 から分離したループの集合で,少なくとも 1 つは必須でなければなりません.
thus @xmath448 does not fill @xmath441 .
したがって @ xmath448 は @ xmath441 を満たさない.
therefore , @xmath451 is constructed from @xmath387 as in case 1 , and so @xmath452 .
したがって, @ xmath451 は @ xmath387 から 1 のように構成され,したがって @ xmath452 です.
similarly , if the number of self - intersections of @xmath453 are all the same , then @xmath454 .
同様に,もし @ xmath453 の自己交差点数がすべて同じなら,その場合は @ xmath454 です.
thus if the sequence of @xmath387 s is infinite , we arrive at a contradiction .
連続した @ xmath387 s が無限なら 矛盾が生じます
often , facts about 1-relator groups are proved by induction on the length of the relator .
関連群に関する事実は, 関連群の長さに関する誘導で証明される.
proofs break into two cases : if @xmath61 , and the word @xmath48 has zero exponent sum on one of its letters , then @xmath455 , where @xmath433 is a 1-relator group , whose relator is shorter than the relator of @xmath33 .
証明は2つのケースに分けられます: @xmath61 と @xmath48 の単語が文字の1つに指数和がゼロである場合, @xmath455 と @xmath433 が 1 関連グループで,その関係数は @xmath33 の関係数より短い.
one may then apply the induction hypothesis and the hnn structure to prove things about @xmath33 .
@xmath33について証明するために 誘導仮説とHnn構造を適用できます
if @xmath48 does not have this form , one shows that @xmath33 embeds nicely in a certain 1-relator group @xmath456 , with @xmath457 ; where @xmath458 is a 1-relator group , whose relator is shorter than @xmath48 .
@ xmath48 がこの形式を持っていない場合, @ xmath33 が特定の1対関係群 @ xmath456 に @ xmath457; でうまく埋め込まれていることが示されます. ここで @ xmath458 は1対関係群で,その関係群は @ xmath48 より短いです.
one may then apply the induction hypothesis to @xmath458 , and attempt to transfer this information to @xmath33 .
誘導仮説を @ xmath458 に適用し,この情報を @ xmath33 に転送しようとします.
theorem [ hier ] makes it possible to prove facts about 1-relator groups by inducting , instead , on the length of a hierarchy .
理論 [ hier ] は,代わりに,階層の長さについて誘導することによって, 1 関連グループに関する事実を証明することを可能にします.
this allows one to avoid the embedding step , and give proofs which are , to a 3-manifold topologist , more intuitive .
これは埋め込みのステップを回避し, 3 倍多元トポロジストにとって直感的にわかりやすい証明を可能にします.
our main motivation for presenting proposition [ hier ] is provided by conjecture [ cnj ] .
仮説 (cnj) が提供されている.
the standard method for 1-relator groups appears problematic in this case , since there is no guarantee that the embedding step can be performed geometrically .
この場合, 1 関連器群の標準的な方法は問題視される. 組み込みステップが幾何学的に実行できる保証はないからです.
proposition [ hier ] gives hope that the conjecture might be approachable by inducting , instead , on the length of a hierarchy .
仮説はヒエラルキー上の長さで 誘導される可能性が期待されます
however , the proof given for the fibered case does not directly generalize .
しかし 繊維のケースの証明は 直接一般化しません
indeed , a key point in the proof of theorem [ main ] is that if @xmath0 is fibered , then the moldavansky splitting is realized geometrically .
実際,定理の証明の重要な点は, @ xmath0 が繊維化されている場合,モルダバンスキーの分割は幾何学的に実現されるということです.
but , in general , it is _ not _ true that the moldavansky splitting of a 1-relator 3-manifold group is geometric .
しかし,一般的に, 1 関連 3 複数群のモルダバンスキーの分割が幾何学的なのは _ _ 真実ではない.
let @xmath0 be the manifold @xmath459 in the snappea census .
@xmath0は,スナップpeaの数値の @xmath459の多様体とする.
then the presentation @xmath460 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
プレゼンテーション @xmath460 は @xmath0 のヒガード分割によって誘導されます.
since @xmath461 and @xmath462 , there is a unique ( up to isotopy ) longitude curve @xmath463 , whose image is trivial in @xmath464 .
@xmath461と@xmath462から, @xmath463の独特の (同位体まで) 経度曲線があり, @xmath464ではそのイメージは些細なものです.
one may compute that in @xmath1 , the loop @xmath465 represents the element @xmath466 .
@xmath1 のループ @xmath465 が @xmath466 の要素を表していることを計算できます.
thus @xmath467 $ ] has order 7 in @xmath468 .
順位は7で @ xmath468 に $ ] がある.
it follows that any non - separating surface in @xmath0 must have at least seven boundary components , and thus have a fundamental group of rank at least 6 .
@xmath0の分離しない表面は少なくとも7つの境界成分を持ち,したがって少なくとも6のランクを持つ基本群を持つ必要があります.
however , for this example , the moldavansky edge group has rank 2 .
しかしこの例では モルダバンスキーの辺縁群は 2 位です
w. jaco , `` roots , relations and centralizers in three - manifold groups '' , _ geometric topology ( proc .
根,関係,三重群の集積器, _ 幾何学上のトポロジー (%)
, park city , utah , 1974 _ , pp .
ユタ州 パークシティ 1974年
lecture notes in math .
数学で授業のメモを取った
438 , springer , berlin , 1975 .
438 スプリングル ベルリン 1975年
we present analytical and numerical evidence for the validity of an effective @xmath0 approach to the description of random field generation in @xmath1 and especially in an @xmath2 , dipolar spin glass models with strong uniaxial ising anisotropy and subject to weak external magnetic field @xmath3 transverse to the ising direction .
@xmath1におけるランダムなフィールド生成の記述に有効な @xmath0アプローチの有効性に関する分析的および数学的証拠を提示します.特に @xmath2で,強い単軸イシングアニソトロピーを持つ二極スピンガラスモデルで,弱外磁場 @xmath3を対象にします.
explicitely @xmath4dependent random fields are shown to naturally emerge in the effective low - energy description of a microscopic @xmath2 toy model .
顕微鏡の @ xmath2 玩具のモデルにおける 低エネルギー表現で自然に現れる @ xmath4 依存のランダムフィールドが示されています
we discuss our results in relation to recent theoretical studies pertaining to the topic of @xmath4induced random fields in the liho@xmath5y@xmath6f@xmath7 magnetic materials with the ho@xmath8 ising moments subject to a transverse field .
磁気材料のリホー磁気場における ランダムな場を誘導する 理論的な研究と関連して 議論します
we show that the @xmath0 approach is able to capture both the qualitative and _ quantitative _ aspects of the physics at small @xmath3 , giving results that agree with those obtained using conventional second order perturbation theory .
@xmath0アプローチは @xmath3の小さな物理学の質的および _ 定量的 _ 両方を捉えることができ,従来の2次乱理論を用いて得られた結果と一致する結果が得られることを示しました.
in condensed matter physics systems with strongly interacting quantum mechanical degrees of freedom , it is often a challenge to explain physical phenomena from a truly first principle atomistic point of view .
量子力学的な自由度が強く相互作用する 凝縮物質物理系では 物理現象を 原子論的な視点から 説明するのは 難しいことなのです
in systems where there are high energy scales well separated from a low - energy sector , effective low - energy theories offer the advantage of a reformulation of the problem with an exponentially smaller hilbert space .
低エネルギーセクターと高エネルギースケールが 隔てられているシステムでは 効果的な低エネルギー理論は ヒルベルト空間を指数関数的に小さくすることで 問題の再構成の利点を提供します
a well known and topical example where such an approach is used is in the derivation of an effective spin - only model starting from a hubbard model describing electrons hopping on a lattice .
既知の例として 効率的なスピンモデルを導き出します ハバードモデルから始めます 電子が格子で飛び回る様子を説明します
it is commonly accepted that the low - energy magnetic excitations of a hubbard model with a large coulomb repulsion @xmath9 are easier to investigate within an effective spin hamiltonian .
高いクーロン反発 @xmath9を持つハバードモデルの低エネルギー磁気刺激は 効果的なスピンハミルトン式の中で調査しやすいと一般的に認められています
@xcite generally speaking , the only requirement to be able to derive an effective model is to have a small parameter , which is @xmath10 in the previous example , where @xmath11 is the nearest - neighbor hopping constant .
@ xcite 一般的に言えば,有効なモデルを導出できる唯一の条件は,小さなパラメータを持つこと,これは @ xmath10 を前の例で, @ xmath11 が近隣のジャンプ定数である.
in many magnetic materials , the ground state degeneracy of the otherwise free magnetic ions can be partially lifted by electrostatic and covalent interactions due to the surrounding atoms @xmath12 the so called crystal field effect .
多くの磁性物質では 基本状態の変性 磁性イオンが 部分的に 立体力と共振相互作用によって 解除されることがあり 周囲の原子によるものです
in a number of situations , the energy scales associated with the spin - spin interactions are much smaller than the energy gap between the single - ion ground state and the excited crystal field states .
多くの状況では,スピン-スピン相互作用に関連したエネルギースケールは,単離基底状態と興奮した結晶場状態の間のエネルギーギャップよりもはるかに小さい.
in such cases , one can , as a first approximation , often neglect the high energy states and reduce the relevant hilbert space to a much smaller subspace of low energy states .
このような場合,最初の近似として, 高エネルギー状態を無視して, 関連ヒルベルト空間を 低エネルギー状態のより小さなサブスペースに 縮小することができます.
in this paper , we discuss the quantitative validity of an effective low - energy theory description of a model inspired by the phenomena displayed by the disordered liho@xmath5y@xmath6f@xmath7 magnetic material when subject to an external magnetic field @xmath3 applied perpendicular to the ising direction of the ho@xmath8 magnetic moments .
この論文では, 磁気物質の乱れによる現象に触発されたモデルによる低エネルギー理論の有効性について議論します. 磁気モメントの正方形に垂直に外磁場 @ xmath3 を適用したとき.
the liho@xmath5y@xmath6f@xmath7 magnetic material exhibits many interesting magnetic behaviors.
興味深い磁気特性があることがわかります. 磁気性物質は,
@xcite the magnetic properties of liho@xmath5y@xmath6f@xmath7 are due to the ho@xmath8 ions .
磁気性を持つのはホーホーホー8イオンによる
the single - ion ground state of ho@xmath8 is a doublet , while the first excited state is at @xmath13 k above the ground state.
ho@xmath8の単離基底状態はダブルレットで,最初の興奮状態は @xmath13 kの基底状態です.
@xcite the most relevant interactions between the magnetic ho@xmath8 ions are magnetic dipole - dipole interactions.
磁気ホーホーマット8イオン間の最も関連した相互作用は磁気二極体 - 二極体相互作用です.
@xcite since the maximum strength of the dipolar interactions is for nearest neighbor separation and is approximatly 0.31 k , collective behavior in this material occurs at temperatures less than o(1 k ) where only the ground doublet is significantly thermally populated .
@xciteは,二極相互作用の最大強度は近隣分離のためであり,約0.31kであるため,この材料の集合的行動は,土面ダブルレットだけが熱的に有意に満たされているo(1k) 未満の温度で発生します.
consequently , the cooperative phenomena and the low temperature properties of this material in zero applied magnetic field should be well captured by an effective model with spin-@xmath14 degrees of freedom.
したがって,この材料の協力現象と低温特性について, ゼロの磁場で, 効率的なモデルで, スピンの自由度が14度ある状態で, 把握できるはずです.
@xcite for example , in zero applied magnetic field , the system can be recast as a diluted dipolar ising model with the low - temperature phase being either a ferromagnet or a spin glass depending on the concentration @xmath15 of magnetic ions.
例えば,ゼロの磁場では,このシステムは,磁性イオンの濃度によって,低温相がフェロマグネットかスピンガラスであるような, 稀薄二極化モデルとして再構築できます.
@xcite on the other hand , for @xmath16 and with a magnetic field @xmath3 applied perpendicular to the crystallographic ising @xmath17axis direction , lihof@xmath7 has been advocated as one of the rare physical realization @xcite of the transverse field ising model ( tfim).
一方, @xcite の場合, @xmath16 と @xmath3 の磁場が結晶学的な ising @xmath17 軸方向に垂直に適用され, lihof@xmath7 は,横断フィールド ising モデル (tfim) の @xcite の希少な物理的実現の一つとして提唱されている.
@xcite yet , it is only relatively recently that a somewhat rigorous justification of a tfim description of lihof@xmath7 in nonzero @xmath3 has been put forward.
生命の定義を,非ゼロの @xmath3 で, 厳格に正当化することが, 比較的最近になって初めて明らかになった.
@xcite however , over the past twenty years , and until very recently , several experimental studies had found the behavior of liho@xmath5y@xmath6f@xmath7 ( @xmath18 , @xmath19 ) paradoxical , as we now discuss .
しかし過去20年間,最近まで,いくつかの実験研究で, 解約数 (liho) の振る舞いは矛盾していることが判明しました.
one may have naively expected that the application of a transverse magnetic field in liho@xmath5y@xmath6f@xmath7 would allow to explore the physics of the tfim in either a diluted ferromagnet or a spin glass , depending on the concentration @xmath15 .
軽く予想していたかもしれない 横断磁場を liho@xmath5y@xmath6f@xmath7 に適用すると 濃度によって 薄められたフェロマグネットか スピンガラスで tfim の物理を 探求できるだろう
however , the situation for @xmath18 is quite a bit more complicated.
しかし @xmath18 の状況は もっと複雑です