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7.68k
suppose there is a compressing disk @xmath236 for @xmath26 , so that @xmath237 .
@ xmath236 のための圧縮ディスク @ xmath26 が存在するとします
then @xmath15 can be destabilized to a splitting @xmath198 , and @xmath27 can be destabilized along @xmath63 to a presentation @xmath232 , where the generators of @xmath232 are dual to a disk system for @xmath201 , and the relations of @xmath232 correspond to immersed disks in @xmath221 .
@ xmath15 は @ xmath198 を分割して @ xmath27 を @ xmath63 で @ xmath232 のプレゼンテーションに不安定化させることができる. @ xmath232 のジェネレーターは @ xmath201 のディスクシステムとデュアルで @ xmath232 の関係性は @ xmath221 に浸されたディスクに対応する.
the proof is similar to the proof of lemma [ destab ] .
証明はレマの証明に似ています.
the disks @xmath238 determine a reducing sphere @xmath128 , which bounds a ball @xmath196 , giving a destabilized heegaard splitting @xmath198 , where @xmath199 , and @xmath200 .
円盤 @ xmath238 は,球 @ xmath196 を囲む縮小球 @ xmath128 を決定し, @ xmath198 の分裂で @ xmath199 と @ xmath200 の分裂で不安定なヒガードが得られます.
we obtain a disk system for @xmath201 as above .
上のように @ xmath201 のディスクシステムを取得します.
if @xmath239 is an immersed disk representing @xmath235 , we can remove intersection points of @xmath240 , by banding together @xmath239 and @xmath236 , along a subarc of @xmath141 .
@ xmath239 が @ xmath235 を表す浸水ディスクである場合, @ xmath240 の交点を @ xmath239 と @ xmath236 を @ xmath141 のサブークに沿って帯状に結合して削除できます.
unlike the situation in lemma [ destab ] , we also have to consider the possibility that @xmath239 meets @xmath236 .
@ xmath239が @ xmath236と出会う可能性も考慮しなければなりません.
however , these intersections can be removed by banding together @xmath239 and @xmath150 , along a subarc of @xmath241 .
しかし,これらの交差点を @ xmath239 と @ xmath150 を @ xmath241 のサブアークに沿ってバンドで取り除くことが出来ます.
the result is an immersed disk @xmath242 in @xmath221 , and the word represented by @xmath243 is the same as the word represented by @xmath244 .
結果は @ xmath242 に @ xmath221 を埋め込んだディスクで @ xmath243 で表される単語は @ xmath244 で表される単語と同じです.
repeating this procedure for each @xmath245 , we obtain immersed disks in the handlebody @xmath221 , representing the relators in a presentation @xmath232 , obtained by destabilizing @xmath27 along @xmath63 .
この手順を @ xmath245 に繰り返すと @ xmath63 沿いに @ xmath27 を不安定化して得られる @ xmath232 のプレゼンテーションの関係者を表す @ xmath221 のハンドルボディに埋め込まれたディスクが得られます.
suppose @xmath246 for some compact , orientable , fibered 3-manifold @xmath0 .
線維の3つあるマニフォルドの @ xmath0 を想像してみてください
the first step is to put the word @xmath48 into a standard form .
標準的な形式に @ xmath48 を入れます
we let @xmath247 denote the exponent sum of the letter @xmath76 in the word @xmath48 .
@xmath48の文字 @xmath76の指数和を @xmath247に代入します
we may assume that @xmath206 , for otherwise @xmath248 and @xmath39 , so @xmath0 is either @xmath30 or @xmath31 , and the presentation is induced by a genus 1 heegaard splitting of @xmath0 .
@ xmath206 と @ xmath248 と @ xmath39 の場合, @ xmath0 は @ xmath30 または @ xmath31 で, @ xmath0 の genus 1 heegaard 分割によって生成される.
since @xmath0 is fibered , there is a map @xmath62 with finitely generated kernel , and so , by theorem [ brown ] , we may assume that @xmath70 , and the given presentation has the form : @xmath249 suppose that @xmath48 is primitive .
@ xmath0は繊維でできているので, 有限生成のカーネルを持つ @ xmath62のマップがあり, 定理 [ 茶色 ] によって @ xmath70と仮定し, 与えられたプレゼンテーションは次の形式である: @ xmath249 @ xmath48が原始であるとする.
then ( by proposition [ gr ] ) , @xmath48 is geometric , and @xmath50 .
ならば (命題 [ gr ] によって) @xmath48は幾何学で @xmath50は
then @xmath42 or @xmath31 , and the presentation is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
@xmath42 または @xmath31 となり, @xmath0 のヒガード分割によってプレゼンテーションが誘導されます.
so assume , from now on , that @xmath48 is non - primitive .
初期化されていないと仮定します
[ exp ] there is an automorphism @xmath250 of the free group on @xmath251 , such that @xmath252 .
@xmath252 のように @xmath251 の自由グループに @xmath250 の自動形がある.
let @xmath253 and @xmath254 .
@xmath253と@xmath254を入れると
let @xmath255 be the nielsen transformation which stabilizes @xmath256 , and satisfies @xmath257 .
@ xmath255 を @ xmath256 を安定させ @ xmath257 を満たすニールソン変換とする.
let @xmath258 be the nielsen transformation which stabilizes @xmath259 , and satisfies @xmath260 .
@ xmath258 を @ xmath259 を安定させ @ xmath260 を満たすニールソン変換とする.
we have : @xmath261 thus by applying the euclidean algorithm to @xmath262 , we may find an automorphism @xmath250 , such that @xmath263 , and @xmath264 .
ユークリッドアルゴリズムを @ xmath262 に適用すると @ xmath263 と @ xmath264 のような @ xmath250 の自動形が得られる.
replacing @xmath256 with @xmath265 if necessary , we have @xmath266 .
@ xmath256 を @ xmath265 で置き換えたら @ xmath266 が出てきます
we now return to the proof of theorem [ main ] .
理論の証明に戻ります
let @xmath250 be the automorphism given by lemma [ exp ] .
@xmath250はレマ [ exp ] によって与えられた自動形であるとする.
by proposition [ gr ] , the presentation @xmath55 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 if and only if the presentation @xmath267 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
式 [ gr ] で,プレゼンテーション @xmath55 は @xmath0 の heegaard 分割によって誘導される.ただし,プレゼンテーション @xmath267 が @xmath0 の heegaard 分割によって誘導される.
thus we may replace @xmath48 with @xmath268 , and so assume that @xmath269 and @xmath270 .
@ xmath48 を @ xmath268 に置き換えて, @ xmath269 と @ xmath270 を仮定します.
let @xmath271 .
じゃあ,xmath271を やってみよう
since @xmath272 , then we can represent the word @xmath48 in the free group @xmath273 as a product of @xmath274 s : i.e.
@xmath272 から,自由グループ @xmath273 の @xmath48 を @xmath274 s の積として表現できます.
@xmath275 .
ツイートして
replacing @xmath48 by a conjugate , we may assume that @xmath276 , and we let @xmath277 .
@ xmath48を結合語に置き換えて, @ xmath276と仮定し, @ xmath277を置きます.
then @xmath278 , for some word @xmath79 .
@xmath278 について @xmath79 について
since @xmath279 has finitely generated kernel , then by proposition [ brown ] , the letters @xmath280 and @xmath281 appear only once each in the word @xmath79 .
@ xmath279 は カーネルを有限に生成しているので,プロポーズ [ ブラウン ] によって @ xmath280 と @ xmath281 は @ xmath79 の単語に 1 回しか登場しません.
in particular , the word @xmath79 is primitive .
特に @xmath79 という言葉は 初期的なものです
since @xmath48 is non - primitive , we must have @xmath282 .
@ xmath48 は原始ではないので @ xmath282 が必要です.
as explained in the previous section , the 1-relator group @xmath33 has a moldavansky splitting .
前段で説明したように, 1 関連群 @ xmath33 はモルダバンスキーの分割を持っています.
in our case , the splitting has the following structure : the vertex group is @xmath283 ; the stable letter is @xmath284 ; the edge group is @xmath285 .
頂点群は @ xmath283,安定文字は @ xmath284,辺群は @ xmath285 です.
the inclusion maps are : @xmath286 this splitting is represented by a triple @xmath287 .
挿入マップは: @xmath286 この分割は @xmath287 の三重で表されます.
since @xmath281 appears only once in @xmath79 , then in fact @xmath288 , and the splitting @xmath289 decomposes @xmath33 as a mapping torus of a free group automorphism @xmath290 .
@ xmath281 は @ xmath79 に 1 回しか登場しないので,実際には @ xmath288 で, @ xmath289 の分割は @ xmath33 をフリーグループ自動形 @ xmath290 のマッピング・トーラスとして分解します.
in particular , we have that @xmath291 .
具体的には @xmath291 があります
if @xmath292 is a non - separating incompressible surface , with dual loop @xmath293 , we let @xmath294 and @xmath295 be the corresponding subsurfaces of @xmath296 .
@ xmath292 が @ xmath293 の二重ループで分離できない表面である場合, @ xmath294 と @ xmath295 を @ xmath296 の対応する部分表面とする.
let @xmath297 be a base - point for @xmath121 , and let @xmath298 be the pre - images of @xmath299 in @xmath300 .
@ xmath297 は @ xmath121 の基点, @ xmath298 は @ xmath300 の @ xmath299 の前像とする.
let @xmath301 be the map induced by inclusion .
@ xmath301 をインクルージョンによって誘導されたマップとする.
we say that the splitting @xmath289 is _ realized geometrically _ if @xmath2 and @xmath293 can be chosen so that @xmath302 , @xmath303 , and @xmath304 = t$ ] .
@xmath289の分割は _ 幾何学的に実現 _ したと言えます @xmath2と@xmath293が @xmath302, @xmath303, @xmath304 = t$ ] として選択できれば
+ + _ claim : _ the splitting @xmath289 is realized geometrically .
+ + _ 主張: _ @xmath289の分割は幾何学的に実現される.
+ + _ proof of claim : _ the map @xmath305 is dual to a fiber @xmath2 , and the element @xmath306 is represented by a dual loop @xmath293 for @xmath2 .
+ + _ 証明: _ マップ @xmath305 はファイバー @xmath2 のデュアルであり, @xmath306 要素は @xmath2 のデュアルループ @xmath293 で表されます.
then @xmath307 .
じゃあ @xmath307 さん
also , @xmath308 $ ] , and so @xmath309 , as required .
また, @ xmath308 $ ], そして @ xmath309, 必要に応じて.
+ + by the claim , the fiber of @xmath0 has free fundamental group , and therefore @xmath0 must have non - empty boundary .
+ + 理屈では,xmath0のファイバーは自由基本群を持ち,したがってxmath0は非空の境界を持つ必要があります.
( in fact , by a result of lyndon ( @xcite ) , any compact , orientable , irreducible 3-manifold with a 1-relator fundamental group must have non - empty boundary . )
(実際,リンドン (@xcite) の結果として, 1 関連元基本群を持つコンパクトで方向性のある,還元不能の3 倍数には,空でない境界がある.
we now wish to write down an explicit presentation for @xmath33 , corresponding to the splitting @xmath289 .
@ xmath33 の明示的なプレゼンテーションを書き込むことにしました @ xmath289 の分割に相当します
first , we may conjugate and invert @xmath79 , if necessary , so that it has the form @xmath310 , for some word @xmath311 which does not involve @xmath281 .
まず @ xmath79 を必要に応じて 結合して逆転させると @ xmath310 の形になる. @ xmath281 を含まない @ xmath311 という単語は
we may then eliminate the generator @xmath281 from our presentation for @xmath104 , obtaining the following presentation for @xmath1 : @xmath312 our next task is to show that the presentation @xmath313 is induced by a heegaard splitting .
次に,xmath281の生成子を @ xmath104のプレゼンテーションから削除して, @ xmath1の次のプレゼンテーションを得ることができます: @ xmath312 次の課題は @ xmath313のプレゼンテーションがヒガード分割によって誘発されていることを示すことになります.
by the claim , there is a fiber surface @xmath2 in @xmath0 , inducing the splitting @xmath289 , and hence inducing the presentation ( 2 ) .
請求によると, @xmath0 に @xmath2 の繊維面があり, @xmath289 の分割を誘導し,したがってプレゼンテーション (2) を誘導する.
the difficulty is that , _ a priori _ , the given generators @xmath314 of the fiber group may not be representable by embedded loops in @xmath2 .
難しいのは, _ a priori _, ファイバーグループの与えられた生成子 @ xmath314 が @ xmath2 の埋め込まれたループで表現できないかもしれないことです.
let @xmath15 be the genus @xmath315 splitting for @xmath0 given by lemma [ fiberedhs ] .
@xmath15は,レマ [ fiberedhs ] によって与えられた @xmath0 のための @xmath315 の属であるとする.
let @xmath316 and @xmath317 be disk systems for @xmath3 and @xmath26 , respectively , inducing a presentation of the following form : @xmath318 ( so @xmath274 is dual to @xmath319 for @xmath320 , and @xmath321 is dual to @xmath322 . )
@ xmath316 と @ xmath317 はそれぞれ @ xmath3 と @ xmath26 のディスクシステムで,次の形式の表示を誘導します: @ xmath318 (つまり @ xmath274 は @ xmath319 のダブルで @ xmath320 は @ xmath321 のダブルで @ xmath322 です).
since @xmath321 and @xmath102 are both represented by loops which are dual to @xmath2 , then @xmath323 for some @xmath324 .
@xmath321と@xmath102は @xmath2と二重のループで表現されているので, @xmath323は @xmath324のいずれかである.
it follows that @xmath325 is the composition of @xmath326 with an inner automorphism .
内部自律形を持つ @ xmath325 は @ xmath326 の組成である.
thus there is a fiber - preserving automorphism of @xmath0 which takes the presentation @xmath327 to : @xmath328 thus presentation ( 4 ) is induced by a heegaard splitting , which we still refer to as @xmath15 .
したがって @xmath0 のファイバー保存自動形は @xmath327 の表示を : @xmath328 にします.したがって表示 (4 ) は @xmath15 と呼ばれるヒガード分割によって誘導されます.
we also replace the disk systems @xmath329 and @xmath330 with their images under the automorphism .
自動形象の下のディスクシステム @ xmath329 と @ xmath330 の画像も置き換えます.
since @xmath314 and @xmath331 are both free bases for @xmath332 , then by proposition [ nielsen ] there is a sequence of nielsen transformations taking @xmath331 to @xmath314 .
@xmath314と@xmath331は @xmath332の自由基なので,命題 [ nielsen ] によって @xmath331から@xmath314までのニールセン変換のシーケンスがあります.
suppose the first such move sends @xmath333 to @xmath334 , and stabilizes all the other generators .
@ xmath333を @ xmath334に送り 他のジェネレーターを安定させるとします
then the corresponding nielsen move , applied to presentation ( 4 ) , gives : @xmath335 we now perform a tietze transformation , multiplying ( a conjugate of ) the @xmath94th relation by ( a conjugate of ) the @xmath336th relation , to obtain the following presentation : @xmath337 to perform this move geometrically , we choose an ( immersed ) arc @xmath338 , with one endpoint on @xmath339 and the other on @xmath340 , which is disjoint from all the disks @xmath341 .
次に,対応するニールソン動が,プレゼンテーション (4) に適用され,次のプレゼンテーションを得る: @xmath335 次は, (a conjugate of ) を @xmath94th の関係 (a conjugate of ) を @xmath336th の関係 (a conjugate of ) で掛け, ティツー変換を実行します: @xmath337 この動きを幾何学的に実行するには, (浸された) 弧 @xmath338 を選択します. 端点の1つは @xmath339 で,もう1つは @xmath340 で,これはすべてのディスク @xmath341 から分離されています.
then we attach a regular neighborhood of @xmath126 to @xmath245 and @xmath342 , obtaining an immersed disk whose boundary represents the relator @xmath343 .
接点の @ xmath126 を @ xmath245 と @ xmath342 に固定して, 接点の @ xmath343 を境界とする 埋められた円盤が得られます.
continuing , we may change the presentation @xmath344 to the presentation @xmath313 , and we see that the relators @xmath345 of @xmath313 are represented by _ immersed _ disks @xmath346 , in @xmath26 .
続いて,プレゼンテーション @ xmath344 を @ xmath313 に変更し, @ xmath313 の @ xmath345 のリレーターが @ xmath26 の _ 浸された _ ディスクで表現されていることがわかります.
by dehn s lemma , there is a compressing disk @xmath347 for @xmath26 , so that @xmath348 .
デーンズレマでは, @ xmath347 の圧縮ディスクが @ xmath26 のために存在します.
let @xmath349 be the word represented by @xmath350 .
@ xmath349 は @ xmath350 で表される単語になります.
+ + * claim : * the circle @xmath350 meets @xmath351 in a single point .
+ + * 主張: * 円 @xmath350 は @xmath351 と 1 つの点で交差する.
+ + before proving the claim , we make a definition .
証明する前に定義をします
+ + * definition : * for any word @xmath352 on a generating set @xmath353 , and any @xmath354 , we define @xmath355 to be the number of times the generator @xmath356 , or its inverse , occurs in @xmath352 .
+ + * 定義: * 生成集合 @xmath353 の任意の単語 @xmath352 と任意の @xmath354 に対して, @xmath355 を生成元 @xmath356 またはその逆の @xmath352 に現れる回数として定義します.
note this is different from the exponent sum .
これは指数の和とは違うことに注意してください.
for example , we have @xmath357 .
例えば @ xmath357 があります
since @xmath348 , then @xmath358 for each @xmath94 .
@xmath348から,それぞれの @xmath94に @xmath358を入れます.
therefore , for each generator @xmath356 in ( 2 ) , we have @xmath359 .
したがって, (2) の各生成元 @ xmath356 に対して, @ xmath359 が得られます.
+ + * proof of claim : * we have @xmath360 .
証明の証明: @xmath360 ができました.
suppose @xmath361 .
想像してみてください @xmath361
thus @xmath362 .
じゃあ,xmath362をやってみよう
since @xmath363 for each generator @xmath356 , then @xmath364 , @xmath365 , and @xmath366 for all other generators @xmath356 .
@ xmath363は,それぞれの生成元 @ xmath356から,他のすべての生成元 @ xmath356は @ xmath364, @ xmath365, @ xmath366になります.
furthermore , since @xmath349 represents the trivial element in @xmath1 , the exponent sum of @xmath102 in @xmath349 must be zero .
さらに, @ xmath349 は @ xmath1 の微小要素を表しているので, @ xmath349 の @ xmath102 の指数和は 0 でなければならない.
we see that the only possibilities are that @xmath349 is trivial , or else conjugate to @xmath367 .
@ xmath349 が無意味である,または @ xmath367 に結合するしかない可能性がわかります.
the latter case is impossible , since the element @xmath368 is contained in a basis for the free group @xmath121 .
任意のグループ @ xmath121 のベースに @ xmath368 要素が含まれているので,後者のケースは不可能です.
so @xmath349 is the trivial word .
@xmath349は 些細な言葉です
but then there is a reducing sphere @xmath128 for @xmath15 which is disjoint from all the disks @xmath369 ; therefore some non - empty subset of the generators @xmath370 must be trivial in @xmath1 .
しかし,すべてのディスクから分離された @ xmath15 のための還元球 @ xmath128 があります; したがって,生成元 @ xmath370 の空でない部分集合は @ xmath1 で微小でなければなりません.
this is impossible , since @xmath371 is a basis for the free group @xmath121 .
これは不可能です @ xmath371 は自由グループ @ xmath121 のベースです
this proves the claim .
これは主張を証明する
+ by lemma [ immersed ] , we can destabilize @xmath20 to a splitting @xmath372 , and we can destabilize the presentation @xmath27 along @xmath368 to obtain a presentation @xmath232 , where the relators of @xmath232 are represented by immersed disks in @xmath221 .
+ lemma [ immersed ] で @ xmath20 を分割 @ xmath372 に変形させ, @ xmath27 を @ xmath368 に沿って変形させ, @ xmath232 のプレゼンテーションを得ることができます. @ xmath232 のリレーターは @ xmath221 に浸されたディスクで表されます.
the presentation @xmath232 has a relator of the form @xmath373 .
プレゼンテーション @ xmath232 には @ xmath373 の形式のリレーターがあります.
since @xmath374 appears once in this relator , we can repeat the previous argument , to obtain a reducing sphere for the splitting @xmath198 , and a destabilization of the presentation @xmath232 along @xmath374 .
@ xmath374 はこのリレーターに 1 回登場するので, @ xmath198 を分割する縮小球と @ xmath374 に沿った @ xmath232 の不安定化を得るため, 前述の引数を繰り返すことができます.
continuing , we may reduce the heegaard splitting @xmath15 to a splitting @xmath198 , where @xmath375 , and @xmath376 is generated by @xmath377 and @xmath378 .
@ xmath15 のヒガード分割を @ xmath198 の分割に減らして @ xmath375 と @ xmath376 が @ xmath377 と @ xmath378 から生成されるようにします.
applying an automorphism of the handlebody @xmath201 , we may take the generators of @xmath376 to be @xmath251 , and then the heegaard splitting @xmath198 determines a 1-relator presentation : @xmath379 where @xmath380 is a geometric word .
@ xmath201のハンドルボディの自動形をとると, @ xmath376の生成子は @ xmath251とすると, @ xmath198のヒガード分割は, @ xmath379の1対比表現を決定します. @ xmath380は幾何的な単語です.
comparing the presentation ( 6 ) with the original presentation @xmath381 , and applying theorem [ uniqueword ] , we see that @xmath48 is conjugate to @xmath380 or @xmath382 in the free group @xmath383 .
プレゼンテーション (6 ) とオリジナルのプレゼンテーション @xmath381 を比較し,定理 [ 単一語 ] を適用すると, @xmath48 はフリーグループ @xmath383 の @xmath380 または @xmath382 と結合していることがわかります.
therefore @xmath48 is geometric , and the given presentation @xmath381 is induced by a heegaard splitting of @xmath0 .
したがって @ xmath48 は幾何学であり,与えられたプレゼンテーション @ xmath381 は @ xmath0 のヒエガード分割によって誘導されます.
it was observed in @xcite that 1-relator groups and haken 3-manifolds share some common features .
@xciteでは,1 関連群とハッケン3 複数の群が共通する特徴があることが観察されました
in this section , we shall make the analogy explicit , showing that every 1-relator group possesses a `` 1-relator hierarchy '' .
このセクションでは,この類似性を明示的に示し, 1 関連グループには1 関連基層があることを示します.
let @xmath33 be a 1-relator group .
@ xmath33 を 1 関連群とする.
we define a _ 1-relator hierarchy _ for @xmath33 to be a finite sequence of 1-relator groups @xmath384 , such that @xmath385 , @xmath386 is cyclic , and @xmath387 splits as an hnn - extension with vertex group @xmath388 .
@ xmath33 の 1 関連群 @ xmath384 の有限な列である _ 1 関連群 _ を定義し, @ xmath385, @ xmath386 は周期的であり, @ xmath387 は頂点群 @ xmath388 と hnn - 拡張として分割されます.
[ hier ] let @xmath33 be a 1-relator group .
@ xmath33 が 1 関連群であるとする.
then @xmath33 has a 1-relator hierarchy .
リストの上の2つの要素を組み合わせると