file_path
stringlengths 11
79
| full_name
stringlengths 2
100
| traced_tactics
list | end
sequence | commit
stringclasses 4
values | url
stringclasses 4
values | start
sequence |
|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib/Data/Fintype/Card.lean | Fintype.card_ulift | [] | [
369,
25
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
368,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean | LieAlgebra.derivedLength_zero | [
{
"state_after": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\n⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = 0 ↔ I = ⊥",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\n⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = 0 ↔ I = ⊥",
"tactic": "let s := { k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥ }"
},
{
"state_after": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\n⊢ sInf s = 0 ↔ I = ⊥",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\n⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = 0 ↔ I = ⊥",
"tactic": "change sInf s = 0 ↔ _"
},
{
"state_after": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nhne : s ≠ ∅\n⊢ sInf s = 0 ↔ I = ⊥",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\n⊢ sInf s = 0 ↔ I = ⊥",
"tactic": "have hne : s ≠ ∅ := by\n obtain ⟨k, hk⟩ := id hI\n refine' Set.Nonempty.ne_empty ⟨k, _⟩\n rw [derivedSeries_def, LieIdeal.derivedSeries_eq_bot_iff] at hk ; exact hk"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nhne : s ≠ ∅\n⊢ sInf s = 0 ↔ I = ⊥",
"tactic": "simp [hne]"
},
{
"state_after": "case mk.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk : ℕ\nhk : derivedSeries R { x // x ∈ ↑I } k = ⊥\n⊢ s ≠ ∅",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\n⊢ s ≠ ∅",
"tactic": "obtain ⟨k, hk⟩ := id hI"
},
{
"state_after": "case mk.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk : ℕ\nhk : derivedSeries R { x // x ∈ ↑I } k = ⊥\n⊢ k ∈ s",
"state_before": "case mk.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk : ℕ\nhk : derivedSeries R { x // x ∈ ↑I } k = ⊥\n⊢ s ≠ ∅",
"tactic": "refine' Set.Nonempty.ne_empty ⟨k, _⟩"
},
{
"state_after": "case mk.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk : ℕ\nhk : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥\n⊢ k ∈ s",
"state_before": "case mk.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk : ℕ\nhk : derivedSeries R { x // x ∈ ↑I } k = ⊥\n⊢ k ∈ s",
"tactic": "rw [derivedSeries_def, LieIdeal.derivedSeries_eq_bot_iff] at hk"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nhI : IsSolvable R { x // x ∈ ↑I }\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk : ℕ\nhk : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥\n⊢ k ∈ s",
"tactic": "exact hk"
}
] | [
362,
13
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
354,
1
] |
Mathlib/Tactic/NormNum/Core.lean | Mathlib.Meta.NormNum.IsRat.nonneg_to_eq | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝ : DivisionRing α\nn d : ℕ\ninv✝ : Invertible ↑d\n⊢ ↑(Int.ofNat n) * ⅟↑d = ↑n / ↑d",
"tactic": "simp [div_eq_mul_inv]"
}
] | [
171,
60
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
169,
1
] |
Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean | CircleDeg1Lift.translationNumber_eq_int_iff | [
{
"state_after": "case mp\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\n⊢ τ f = ↑m → ∃ x, ↑f x = x + ↑m\n\ncase mpr\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\n⊢ (∃ x, ↑f x = x + ↑m) → τ f = ↑m",
"state_before": "f g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\n⊢ τ f = ↑m ↔ ∃ x, ↑f x = x + ↑m",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case mp\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\nh : τ f = ↑m\n⊢ ∃ x, ↑f x = x + ↑m",
"state_before": "case mp\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\n⊢ τ f = ↑m → ∃ x, ↑f x = x + ↑m",
"tactic": "intro h"
},
{
"state_after": "case mp\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\nh : τ f = ↑m\n⊢ ∃ x, ↑f x = x + τ f",
"state_before": "case mp\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\nh : τ f = ↑m\n⊢ ∃ x, ↑f x = x + ↑m",
"tactic": "simp only [← h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\nh : τ f = ↑m\n⊢ ∃ x, ↑f x = x + τ f",
"tactic": "exact f.exists_eq_add_translationNumber hf"
},
{
"state_after": "case mpr.intro\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\nx : ℝ\nhx : ↑f x = x + ↑m\n⊢ τ f = ↑m",
"state_before": "case mpr\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\n⊢ (∃ x, ↑f x = x + ↑m) → τ f = ↑m",
"tactic": "rintro ⟨x, hx⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr.intro\nf g : CircleDeg1Lift\nhf : Continuous ↑f\nm : ℤ\nx : ℝ\nhx : ↑f x = x + ↑m\n⊢ τ f = ↑m",
"tactic": "exact f.translationNumber_of_eq_add_int hx"
}
] | [
948,
47
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
941,
1
] |
Mathlib/Control/Bifunctor.lean | Bifunctor.comp_snd | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂\ninst✝¹ : Bifunctor F\ninst✝ : LawfulBifunctor F\nα : Type u₀\nβ₀ β₁ β₂ : Type u₁\ng : β₀ → β₁\ng' : β₁ → β₂\nx : F α β₀\n⊢ snd g' (snd g x) = snd (g' ∘ g) x",
"tactic": "simp [snd, bimap_bimap]"
}
] | [
111,
68
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
110,
1
] |
src/lean/Init/Prelude.lean | Or.intro_left | [] | [
523,
11
] | d5348dfac847a56a4595fb6230fd0708dcb4e7e9 | https://github.com/leanprover/lean4 | [
522,
1
] |
Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean | FreeRing.coe_zero | [] | [
329,
77
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
329,
11
] |
Std/Data/RBMap/Lemmas.lean | Std.RBNode.foldl_eq_foldl_toList | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nα✝ : Type u_2\nf : α✝ → α → α✝\ninit : α✝\nt : RBNode α\n⊢ foldl f init t = List.foldl f init (toList t)",
"tactic": "induction t generalizing init <;> simp [*]"
}
] | [
347,
45
] | e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936 | https://github.com/leanprover/std4 | [
346,
1
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean | List.get?_eq_some | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α✝ : Type u_1\na : α✝\nl : List α✝\nn : Nat\ne : get? l n = some a\nhn : length l ≤ n\n⊢ False",
"tactic": "cases get?_len_le hn ▸ e"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α✝ : Type u_1\na : α✝\nl : List α✝\nn : Nat\ne : get? l n = some a\nthis : n < length l\n⊢ get l { val := n, isLt := this } = a",
"tactic": "rwa [get?_eq_get this, Option.some.injEq] at e"
}
] | [
517,
35
] | e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936 | https://github.com/leanprover/std4 | [
513,
1
] |
Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean | Hyperreal.IsSt.map | [
{
"state_after": "case intro\nr : ℝ\nf : ℝ → ℝ\nhf : ContinuousAt f r\ng : ℕ → ℝ\nhxr : IsSt (ofSeq g) r\n⊢ IsSt (Germ.map f (ofSeq g)) (f r)",
"state_before": "x : ℝ*\nr : ℝ\nhxr : IsSt x r\nf : ℝ → ℝ\nhf : ContinuousAt f r\n⊢ IsSt (Germ.map f x) (f r)",
"tactic": "rcases ofSeq_surjective x with ⟨g, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\nr : ℝ\nf : ℝ → ℝ\nhf : ContinuousAt f r\ng : ℕ → ℝ\nhxr : IsSt (ofSeq g) r\n⊢ IsSt (Germ.map f (ofSeq g)) (f r)",
"tactic": "exact isSt_ofSeq_iff_tendsto.2 <| hf.tendsto.comp (isSt_ofSeq_iff_tendsto.1 hxr)"
}
] | [
394,
83
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
391,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean | CategoryTheory.Limits.HasColimit.ofCoconesIso | [] | [
900,
86
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
898,
1
] |
Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal.lean | FractionalIdeal.coe_one | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\nS : Submonoid R\nP : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing P\ninst✝ : Algebra R P\nloc : IsLocalization S P\n⊢ ↑1 = 1",
"tactic": "rw [coe_one_eq_coeSubmodule_top, coeSubmodule_top]"
}
] | [
377,
53
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
376,
1
] |
Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean | LowerSemicontinuousWithinAt.add | [] | [
487,
41
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
484,
1
] |
Mathlib/Order/FixedPoints.lean | OrderHom.map_gfp_comp | [] | [
165,
40
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
164,
1
] |
Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean | not_bddAbove_iff' | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nι : Sort x\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\ns t : Set α\na b : α\n⊢ ¬BddAbove s ↔ ∀ (x : α), ∃ y, y ∈ s ∧ ¬y ≤ x",
"tactic": "simp [BddAbove, upperBounds, Set.Nonempty]"
}
] | [
122,
45
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
121,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Order/Basic.lean | Nat.le_findGreatest | [] | [
644,
69
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
643,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/Series.lean | continuous_tsum | [
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\n𝕜 : Type ?u.14249\nE : Type ?u.14252\nF : Type u_2\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : CompleteSpace F\nu : α → ℝ\ninst✝ : TopologicalSpace β\nf : α → β → F\nhu : Summable u\nhfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n\nhf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) univ\n⊢ ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) univ",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\n𝕜 : Type ?u.14249\nE : Type ?u.14252\nF : Type u_2\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : CompleteSpace F\nu : α → ℝ\ninst✝ : TopologicalSpace β\nf : α → β → F\nhf : ∀ (i : α), Continuous (f i)\nhu : Summable u\nhfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n\n⊢ Continuous fun x => ∑' (n : α), f n x",
"tactic": "simp_rw [continuous_iff_continuousOn_univ] at hf ⊢"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\n𝕜 : Type ?u.14249\nE : Type ?u.14252\nF : Type u_2\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : CompleteSpace F\nu : α → ℝ\ninst✝ : TopologicalSpace β\nf : α → β → F\nhu : Summable u\nhfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n\nhf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) univ\n⊢ ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) univ",
"tactic": "exact continuousOn_tsum hf hu fun n x _ => hfu n x"
}
] | [
97,
53
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
94,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean | DifferentiableAt.clm_comp | [] | [
90,
60
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
88,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Basic.lean | Finset.erase_ssubset_insert | [] | [
1969,
72
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1967,
1
] |
Mathlib/Data/Fintype/Card.lean | Finite.injective_iff_surjective_of_equiv | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.27313\ninst✝ : Finite α\nf : α → β\ne : α ≃ β\nthis : Injective (↑e.symm ∘ f) ↔ Surjective (↑e.symm ∘ f)\nhinj : Injective f\n⊢ Surjective f",
"tactic": "simpa [Function.comp] using e.surjective.comp (this.1 (e.symm.injective.comp hinj))"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.27313\ninst✝ : Finite α\nf : α → β\ne : α ≃ β\nthis : Injective (↑e.symm ∘ f) ↔ Surjective (↑e.symm ∘ f)\nhsurj : Surjective f\n⊢ Injective f",
"tactic": "simpa [Function.comp] using e.injective.comp (this.2 (e.symm.surjective.comp hsurj))"
}
] | [
646,
90
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
641,
1
] |
Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean | MeasureTheory.Measure.toPmf_toMeasure | [
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.141584\nγ : Type ?u.141587\ninst✝³ : Countable α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSingletonClass α\nμ : Measure α\ninst✝ : IsProbabilityMeasure μ\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ (∑' (x : α), Set.indicator s (↑(toPmf μ)) x) = ∑' (x : α), Set.indicator s (fun x => ↑↑μ {x}) x",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.141584\nγ : Type ?u.141587\ninst✝³ : Countable α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSingletonClass α\nμ : Measure α\ninst✝ : IsProbabilityMeasure μ\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ ↑↑(toMeasure (toPmf μ)) s = ↑↑μ s",
"tactic": "rw [μ.toPmf.toMeasure_apply s hs, ← μ.tsum_indicator_apply_singleton s hs]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.141584\nγ : Type ?u.141587\ninst✝³ : Countable α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSingletonClass α\nμ : Measure α\ninst✝ : IsProbabilityMeasure μ\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ (∑' (x : α), Set.indicator s (↑(toPmf μ)) x) = ∑' (x : α), Set.indicator s (fun x => ↑↑μ {x}) x",
"tactic": "rfl"
}
] | [
363,
8
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
360,
1
] |
Mathlib/Order/LocallyFinite.lean | Finset.coe_Ioo | [] | [
363,
27
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
362,
1
] |
Mathlib/Init/Algebra/Order.lean | Decidable.eq_or_lt_of_le | [] | [
221,
28
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
220,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Monic.lean | Polynomial.Monic.mul_right_ne_zero | [
{
"state_after": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : p = 1\n⊢ p * q ≠ 0\n\ncase neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : ¬p = 1\n⊢ p * q ≠ 0",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\n⊢ p * q ≠ 0",
"tactic": "by_cases h : p = 1"
},
{
"state_after": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : ¬p = 1\n⊢ ¬q = 0 ∧ ¬degree p = ⊥",
"state_before": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : ¬p = 1\n⊢ p * q ≠ 0",
"tactic": "rw [Ne.def, ← degree_eq_bot, hp.degree_mul_comm, hp.degree_mul, WithBot.add_eq_bot, not_or,\n degree_eq_bot]"
},
{
"state_after": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : ¬p = 1\n⊢ ¬degree p = ⊥",
"state_before": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : ¬p = 1\n⊢ ¬q = 0 ∧ ¬degree p = ⊥",
"tactic": "refine' ⟨hq, _⟩"
},
{
"state_after": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : 0 < degree p\n⊢ ¬degree p = ⊥",
"state_before": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : ¬p = 1\n⊢ ¬degree p = ⊥",
"tactic": "rw [← hp.degree_le_zero_iff_eq_one, not_le] at h"
},
{
"state_after": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : 0 < degree p\n⊢ ⊥ < 0",
"state_before": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : 0 < degree p\n⊢ ¬degree p = ⊥",
"tactic": "refine' (lt_trans _ h).ne'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : 0 < degree p\n⊢ ⊥ < 0",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : Monic p\nq : R[X]\nhq : q ≠ 0\nh : p = 1\n⊢ p * q ≠ 0",
"tactic": "simpa [h]"
}
] | [
455,
7
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
447,
1
] |
Std/Data/List/Basic.lean | List.dropSlice_zero₂ | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nn : Nat\nx : α\nxs : List α\n⊢ dropSlice (n + 1) 0 (x :: xs) = x :: xs",
"tactic": "simp [dropSlice, dropSlice_zero₂]"
}
] | [
1261,
55
] | e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936 | https://github.com/leanprover/std4 | [
1259,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean | LinearMap.tailing_disjoint_tunnel_succ | [
{
"state_after": "R : Type u\nK : Type u'\nM : Type v\nV : Type v'\nM₂ : Type w\nV₂ : Type w'\nM₃ : Type y\nV₃ : Type y'\nM₄ : Type z\nι : Type x\nM₅ : Type ?u.543558\nM₆ : Type ?u.543561\ninst✝⁴ : Ring R\nN : Type u_1\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nf : M × N →ₗ[R] M\ni : Injective ↑f\nn : ℕ\n⊢ tailing f i n ⊓ ↑OrderDual.ofDual (↑(tunnel f i) (n + 1)) = ⊥",
"state_before": "R : Type u\nK : Type u'\nM : Type v\nV : Type v'\nM₂ : Type w\nV₂ : Type w'\nM₃ : Type y\nV₃ : Type y'\nM₄ : Type z\nι : Type x\nM₅ : Type ?u.543558\nM₆ : Type ?u.543561\ninst✝⁴ : Ring R\nN : Type u_1\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nf : M × N →ₗ[R] M\ni : Injective ↑f\nn : ℕ\n⊢ Disjoint (tailing f i n) (↑OrderDual.ofDual (↑(tunnel f i) (n + 1)))",
"tactic": "rw [disjoint_iff]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nK : Type u'\nM : Type v\nV : Type v'\nM₂ : Type w\nV₂ : Type w'\nM₃ : Type y\nV₃ : Type y'\nM₄ : Type z\nι : Type x\nM₅ : Type ?u.543558\nM₆ : Type ?u.543561\ninst✝⁴ : Ring R\nN : Type u_1\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nf : M × N →ₗ[R] M\ni : Injective ↑f\nn : ℕ\n⊢ Submodule.map (tunnelAux f (tunnel' f i n)) (Submodule.snd R M N) ⊓\n Submodule.map (tunnelAux f (tunnel' f i (n + 0))) (Submodule.fst R M N) =\n ⊥",
"state_before": "R : Type u\nK : Type u'\nM : Type v\nV : Type v'\nM₂ : Type w\nV₂ : Type w'\nM₃ : Type y\nV₃ : Type y'\nM₄ : Type z\nι : Type x\nM₅ : Type ?u.543558\nM₆ : Type ?u.543561\ninst✝⁴ : Ring R\nN : Type u_1\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nf : M × N →ₗ[R] M\ni : Injective ↑f\nn : ℕ\n⊢ tailing f i n ⊓ ↑OrderDual.ofDual (↑(tunnel f i) (n + 1)) = ⊥",
"tactic": "dsimp [tailing, tunnel, tunnel']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nK : Type u'\nM : Type v\nV : Type v'\nM₂ : Type w\nV₂ : Type w'\nM₃ : Type y\nV₃ : Type y'\nM₄ : Type z\nι : Type x\nM₅ : Type ?u.543558\nM₆ : Type ?u.543561\ninst✝⁴ : Ring R\nN : Type u_1\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nf : M × N →ₗ[R] M\ni : Injective ↑f\nn : ℕ\n⊢ Submodule.map (tunnelAux f (tunnel' f i n)) (Submodule.snd R M N) ⊓\n Submodule.map (tunnelAux f (tunnel' f i (n + 0))) (Submodule.fst R M N) =\n ⊥",
"tactic": "erw [Submodule.map_inf_eq_map_inf_comap,\n Submodule.comap_map_eq_of_injective (tunnelAux_injective _ i _), inf_comm,\n Submodule.fst_inf_snd, Submodule.map_bot]"
}
] | [
947,
46
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
941,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Basic.lean | Polynomial.monomial_eq_zero_iff | [] | [
470,
64
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
469,
1
] |
Mathlib/Data/IsROrC/Basic.lean | IsROrC.ratCast_im | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "K : Type u_1\nE : Type ?u.6542975\ninst✝ : IsROrC K\nq : ℚ\n⊢ ↑im ↑q = 0",
"tactic": "rw [← ofReal_ratCast, ofReal_im]"
}
] | [
686,
83
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
686,
1
] |
Mathlib/Data/Dfinsupp/Basic.lean | Dfinsupp.single_neg | [] | [
919,
31
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
917,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean | Finset.smul_inter_subset | [] | [
1401,
28
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1400,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean | Polynomial.map_scaleRoots | [
{
"state_after": "case a\nA : Type ?u.488366\nK : Type ?u.488369\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : IsDomain A\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nM : Submonoid A\np : R[X]\nx : R\nf : R →+* S\nh : ↑f (leadingCoeff p) ≠ 0\nn✝ : ℕ\n⊢ coeff (map f (scaleRoots p x)) n✝ = coeff (scaleRoots (map f p) (↑f x)) n✝",
"state_before": "A : Type ?u.488366\nK : Type ?u.488369\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : IsDomain A\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nM : Submonoid A\np : R[X]\nx : R\nf : R →+* S\nh : ↑f (leadingCoeff p) ≠ 0\n⊢ map f (scaleRoots p x) = scaleRoots (map f p) (↑f x)",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a\nA : Type ?u.488366\nK : Type ?u.488369\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : IsDomain A\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nM : Submonoid A\np : R[X]\nx : R\nf : R →+* S\nh : ↑f (leadingCoeff p) ≠ 0\nn✝ : ℕ\n⊢ coeff (map f (scaleRoots p x)) n✝ = coeff (scaleRoots (map f p) (↑f x)) n✝",
"tactic": "simp [Polynomial.natDegree_map_of_leadingCoeff_ne_zero _ h]"
}
] | [
146,
62
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
143,
1
] |
Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean | Complex.exp_bound | [
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\n⊢ CauSeq.lim (cauSeqAbs (exp' x + -const (↑abs) (∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)))) ≤\n ↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹)",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\n⊢ ↑abs (exp x - ∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)) ≤ ↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹)",
"tactic": "rw [← lim_const (abv := Complex.abs) (∑ m in range n, _), exp, sub_eq_add_neg,\n ← lim_neg, lim_add, ← lim_abs]"
},
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x + -const (↑abs) (∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)))) j ≤\n ↑(const abs' (↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹))) j",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\n⊢ CauSeq.lim (cauSeqAbs (exp' x + -const (↑abs) (∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)))) ≤\n ↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹)",
"tactic": "refine' lim_le (CauSeq.le_of_exists ⟨n, fun j hj => _⟩)"
},
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x - const (↑abs) (∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)))) j ≤\n ↑(const abs' (↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹))) j",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x + -const (↑abs) (∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)))) j ≤\n ↑(const abs' (↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹))) j",
"tactic": "simp_rw [← sub_eq_add_neg]"
},
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑abs (∑ m in range j, x ^ m / ↑(Nat.factorial m) - ∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)) ≤\n ↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹)",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x - const (↑abs) (∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)))) j ≤\n ↑(const abs' (↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹))) j",
"tactic": "show\n abs ((∑ m in range j, x ^ m / m.factorial) - ∑ m in range n, x ^ m / m.factorial) ≤\n abs x ^ n * ((n.succ : ℝ) * (n.factorial * n : ℝ)⁻¹)"
},
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑abs (∑ k in filter (fun k => n ≤ k) (range j), x ^ k / ↑(Nat.factorial k)) ≤\n ↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹)",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑abs (∑ m in range j, x ^ m / ↑(Nat.factorial m) - ∑ m in range n, x ^ m / ↑(Nat.factorial m)) ≤\n ↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹)",
"tactic": "rw [sum_range_sub_sum_range hj]"
},
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\nm : ℕ\nhm : m ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j)\n⊢ x ^ m / ↑(Nat.factorial m) = x ^ n * (x ^ (m - n) / ↑(Nat.factorial m))",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑abs (∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), x ^ m / ↑(Nat.factorial m)) =\n ↑abs (∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), x ^ n * (x ^ (m - n) / ↑(Nat.factorial m)))",
"tactic": "refine' congr_arg abs (sum_congr rfl fun m hm => _)"
},
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\nm : ℕ\nhm : m < j ∧ n ≤ m\n⊢ x ^ m / ↑(Nat.factorial m) = x ^ n * (x ^ (m - n) / ↑(Nat.factorial m))",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\nm : ℕ\nhm : m ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j)\n⊢ x ^ m / ↑(Nat.factorial m) = x ^ n * (x ^ (m - n) / ↑(Nat.factorial m))",
"tactic": "rw [mem_filter, mem_range] at hm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\nm : ℕ\nhm : m < j ∧ n ≤ m\n⊢ x ^ m / ↑(Nat.factorial m) = x ^ n * (x ^ (m - n) / ↑(Nat.factorial m))",
"tactic": "rw [← mul_div_assoc, ← pow_add, add_tsub_cancel_of_le hm.2]"
},
{
"state_after": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ∑ x_1 in filter (fun k => n ≤ k) (range j), ↑abs x ^ n * (↑abs (x ^ (x_1 - n)) / ↑(Nat.factorial x_1)) ≤\n ∑ x_1 in filter (fun k => n ≤ k) (range j), ↑abs x ^ n * (1 / ↑(Nat.factorial x_1))",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), ↑abs (x ^ n * (x ^ (m - n) / ↑(Nat.factorial m))) ≤\n ∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), ↑abs x ^ n * (1 / ↑(Nat.factorial m))",
"tactic": "simp_rw [map_mul, map_pow, map_div₀, abs_cast_nat]"
},
{
"state_after": "case h.h.h\nx : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\ni✝ : ℕ\na✝ : i✝ ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j)\n⊢ ↑abs (x ^ (i✝ - n)) ≤ 1",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ∑ x_1 in filter (fun k => n ≤ k) (range j), ↑abs x ^ n * (↑abs (x ^ (x_1 - n)) / ↑(Nat.factorial x_1)) ≤\n ∑ x_1 in filter (fun k => n ≤ k) (range j), ↑abs x ^ n * (1 / ↑(Nat.factorial x_1))",
"tactic": "gcongr"
},
{
"state_after": "case h.h.h\nx : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\ni✝ : ℕ\na✝ : i✝ ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j)\n⊢ ↑abs x ^ (i✝ - n) ≤ 1",
"state_before": "case h.h.h\nx : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\ni✝ : ℕ\na✝ : i✝ ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j)\n⊢ ↑abs (x ^ (i✝ - n)) ≤ 1",
"tactic": "rw [abv_pow abs]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.h.h\nx : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\ni✝ : ℕ\na✝ : i✝ ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j)\n⊢ ↑abs x ^ (i✝ - n) ≤ 1",
"tactic": "exact pow_le_one _ (abs.nonneg _) hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), ↑abs x ^ n * (1 / ↑(Nat.factorial m)) =\n ↑abs x ^ n * ∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), 1 / ↑(Nat.factorial m)",
"tactic": "simp [abs_mul, abv_pow abs, abs_div, mul_sum.symm]"
},
{
"state_after": "case h\nx : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), 1 / ↑(Nat.factorial m) ≤ ↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹",
"state_before": "x : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ↑abs x ^ n * ∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), 1 / ↑(Nat.factorial m) ≤\n ↑abs x ^ n * (↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹)",
"tactic": "gcongr"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nx : ℂ\nhx : ↑abs x ≤ 1\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nj : ℕ\nhj : j ≥ n\n⊢ ∑ m in filter (fun k => n ≤ k) (range j), 1 / ↑(Nat.factorial m) ≤ ↑(Nat.succ n) * (↑(Nat.factorial n) * ↑n)⁻¹",
"tactic": "exact sum_div_factorial_le _ _ hn"
}
] | [
1640,
40
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1611,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean | UV.compress_sdiff_sdiff | [
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α\ninst✝¹ : DecidableRel Disjoint\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : Finset α\nu v a✝ b✝ a b : α\n⊢ (b ⊔ a \\ b) \\ (b \\ a) = a",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α\ninst✝¹ : DecidableRel Disjoint\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : Finset α\nu v a✝ b✝ a b : α\n⊢ compress (a \\ b) (b \\ a) b = a",
"tactic": "refine' (compress_of_disjoint_of_le disjoint_sdiff_self_left sdiff_le).trans _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α\ninst✝¹ : DecidableRel Disjoint\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : Finset α\nu v a✝ b✝ a b : α\n⊢ b \\ (b \\ a) ≤ a",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α\ninst✝¹ : DecidableRel Disjoint\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : Finset α\nu v a✝ b✝ a b : α\n⊢ (b ⊔ a \\ b) \\ (b \\ a) = a",
"tactic": "rw [sup_sdiff_self_right, sup_sdiff, disjoint_sdiff_self_right.sdiff_eq_left, sup_eq_right]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α\ninst✝¹ : DecidableRel Disjoint\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : Finset α\nu v a✝ b✝ a b : α\n⊢ b \\ (b \\ a) ≤ a",
"tactic": "exact sdiff_sdiff_le"
}
] | [
158,
23
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
155,
1
] |
Mathlib/Data/Real/Irrational.lean | Irrational.int_add | [
{
"state_after": "q : ℚ\nx y : ℝ\nh : Irrational x\nm : ℤ\n⊢ Irrational (↑↑m + x)",
"state_before": "q : ℚ\nx y : ℝ\nh : Irrational x\nm : ℤ\n⊢ Irrational (↑m + x)",
"tactic": "rw [← cast_coe_int]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "q : ℚ\nx y : ℝ\nh : Irrational x\nm : ℤ\n⊢ Irrational (↑↑m + x)",
"tactic": "exact h.rat_add m"
}
] | [
239,
20
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
237,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Prod.lean | Finset.filter_product_left | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.28906\ns s' : Finset α\nt t' : Finset β\na : α\nb : β\np : α → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\n⊢ filter (fun x => p x.fst) (s ×ˢ t) = filter p s ×ˢ t",
"tactic": "simpa using filter_product p fun _ => true"
}
] | [
154,
45
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
152,
1
] |
Mathlib/Order/CompleteLattice.lean | iInf_exists | [] | [
1315,
27
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1314,
1
] |
Mathlib/Data/PNat/Interval.lean | PNat.card_fintype_Ioc | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a b : ℕ+\n⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = ↑b - ↑a",
"tactic": "rw [← card_Ioc, Fintype.card_ofFinset]"
}
] | [
107,
41
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
106,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Basic.lean | Set.coe_setOf | [] | [
182,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
181,
1
] |
Mathlib/Data/Part.lean | Part.Mem.left_unique | [] | [
151,
13
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
150,
1
] |
Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean | PNat.XgcdType.reduce_a | [
{
"state_after": "u✝ u : XgcdType\nh : r u = 0\n⊢ (if x : r u = 0 then finish u else flip (reduce (step u))) = finish u",
"state_before": "u✝ u : XgcdType\nh : r u = 0\n⊢ reduce u = finish u",
"tactic": "rw [reduce]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "u✝ u : XgcdType\nh : r u = 0\n⊢ (if x : r u = 0 then finish u else flip (reduce (step u))) = finish u",
"tactic": "exact if_pos h"
}
] | [
353,
17
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
351,
1
] |
Mathlib/Tactic/PushNeg.lean | Mathlib.Tactic.PushNeg.not_or_eq | [] | [
22,
64
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
22,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Functor/Basic.lean | CategoryTheory.Functor.id_obj | [] | [
98,
48
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
98,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean | Submodule.basis_of_pid_aux | [
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have : ∃ ϕ : M →ₗ[R] R, ∀ ψ : M →ₗ[R] R, ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N := by\n obtain ⟨P, P_eq, P_max⟩ :=\n set_has_maximal_iff_noetherian.mpr (inferInstance : IsNoetherian R R) _\n (show (Set.range fun ψ : M →ₗ[R] R ↦ ψ.submoduleImage N).Nonempty from\n ⟨_, Set.mem_range.mpr ⟨0, rfl⟩⟩)\n obtain ⟨ϕ, rfl⟩ := Set.mem_range.mp P_eq\n exact ⟨ϕ, fun ψ hψ ↦ P_max _ ⟨_, rfl⟩ hψ⟩"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "let ϕ := this.choose"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have ϕ_max := this.choose_spec"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "let a := generator (ϕ.submoduleImage N)"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N := generator_mem _"
},
{
"state_after": "case pos\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : a = 0\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))\n\ncase neg\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "by_cases a_zero : a = 0"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "obtain ⟨y, yN, ϕy_eq⟩ := (LinearMap.mem_submoduleImage_of_le N_le_M).mp a_mem"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, N_le_M yN⟩ ≠ 0 := fun h ↦ a_zero (ϕy_eq.symm.trans h)"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nhdvd : ∀ (i : ι), a ∣ ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) }\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have hdvd : ∀ i, a ∣ b'M.coord i ⟨y, N_le_M yN⟩ := fun i ↦\n generator_maximal_submoduleImage_dvd N_le_M ϕ_max y yN ϕy_eq (b'M.coord i)"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nhdvd : ∀ (i : ι), a ∣ ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) }\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "choose c hc using hdvd"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "cases nonempty_fintype ι"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "let y' : O := ∑ i, c i • b'M i"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have y'M : y' ∈ M := M.sum_mem fun i _ ↦ M.smul_mem (c i) (b'M i).2"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have mk_y' : (⟨y', y'M⟩ : M) = ∑ i, c i • b'M i :=\n Subtype.ext\n (show y' = M.subtype _ by\n simp only [LinearMap.map_sum, LinearMap.map_smul]\n rfl)"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have a_smul_y' : a • y' = y := by\n refine Subtype.mk_eq_mk.mp (show (a • ⟨y', y'M⟩ : M) = ⟨y, N_le_M yN⟩ from ?_)\n rw [← b'M.sum_repr ⟨y, N_le_M yN⟩, mk_y', Finset.smul_sum]\n refine' Finset.sum_congr rfl fun i _ ↦ _\n rw [← mul_smul, ← hc]\n rfl"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "refine' ⟨y', y'M, a, a_smul_y'.symm ▸ yN, _⟩"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1 :=\n mul_left_cancel₀ a_zero\n (calc\n a • ϕ ⟨y', y'M⟩ = ϕ ⟨a • y', _⟩ := (ϕ.map_smul a ⟨y', y'M⟩).symm\n _ = ϕ ⟨y, N_le_M yN⟩ := by simp only [a_smul_y']\n _ = a := ϕy_eq\n _ = a * 1 := (mul_one a).symm\n )"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0 := by simpa only [ϕy'_eq] using one_ne_zero"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "let M' : Submodule R O := ϕ.ker.map M.subtype"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "let N' : Submodule R O := (ϕ.comp (ofLe N_le_M)).ker.map N.subtype"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have M'_le_M : M' ≤ M := M.map_subtype_le (LinearMap.ker ϕ)"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have N'_le_M' : N' ≤ M' := by\n intro x hx\n simp only [mem_map, LinearMap.mem_ker] at hx⊢\n obtain ⟨⟨x, xN⟩, hx, rfl⟩ := hx\n exact ⟨⟨x, N_le_M xN⟩, hx, rfl⟩"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have N'_le_N : N' ≤ N := N.map_subtype_le (LinearMap.ker (ϕ.comp (ofLe N_le_M)))"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\n⊢ ∃ _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\n⊢ ∃ M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "refine' ⟨M', M'_le_M, N', N'_le_N, N'_le_M', _⟩"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\n⊢ ∃ _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\n⊢ ∃ _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0 := by\n intro c z zN' hc\n refine' (mul_eq_zero.mp (y'_ortho_M' (a * c) z (N'_le_M' zN') _)).resolve_left a_zero\n rw [mul_comm, mul_smul, hc]"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }\n\ncase neg.intro.intro.intro.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑?neg.intro.intro.intro.refine'_1✝ i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\n⊢ ∃ _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "refine' ⟨y'_ortho_M', ay'_ortho_N', fun n' bN' ↦ ⟨_, _⟩⟩"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as',\n ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as',\n ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "intro m' hn'm' bM'"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ Basis (Fin (m' + 1)) R { x // x ∈ M }\n\ncase neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as',\n ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n as' i • ↑(↑?neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1✝ (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as',\n ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "refine' ⟨Nat.succ_le_succ hn'm', _, _⟩"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\n⊢ ∃ as',\n ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n as' i •\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' (_ : ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'))\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as',\n ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n as' i •\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' (_ : ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'))\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"tactic": "intro as h"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\n⊢ ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n Fin.cons a as i •\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' (_ : ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'))\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\n⊢ ∃ as',\n ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n as' i •\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' (_ : ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'))\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"tactic": "refine' ⟨Fin.cons a as, _⟩"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n Fin.cons a as i •\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' (_ : ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'))\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\n⊢ ∀ (i : Fin (n' + 1)),\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n Fin.cons a as i •\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' (_ : ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'))\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"tactic": "intro i"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') i) =\n Fin.cons a as i •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM')\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N (_ : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • y + z = 0 → c = 0)\n (_ : ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'))\n i) =\n Fin.cons a as i •\n ↑(↑(Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' (_ : ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'))\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"tactic": "rw [Basis.coe_mkFinConsOfLe, Basis.coe_mkFinConsOfLe]"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') 0) =\n Fin.cons a as 0 •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM')\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) 0))\n\ncase neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni✝ : Fin (n' + 1)\ni : Fin n'\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') (Fin.succ i)) =\n Fin.cons a as (Fin.succ i) •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM')\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) (Fin.succ i)))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') i) =\n Fin.cons a as i •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM')\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) i))",
"tactic": "refine' Fin.cases _ (fun i ↦ _) i"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nP : Submodule R R\nP_eq : P ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N\nP_max : ∀ (I : Submodule R R), (I ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N) → ¬P < I\n⊢ ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\n⊢ ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N",
"tactic": "obtain ⟨P, P_eq, P_max⟩ :=\n set_has_maximal_iff_noetherian.mpr (inferInstance : IsNoetherian R R) _\n (show (Set.range fun ψ : M →ₗ[R] R ↦ ψ.submoduleImage N).Nonempty from\n ⟨_, Set.mem_range.mpr ⟨0, rfl⟩⟩)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R\nP_eq : LinearMap.submoduleImage ϕ N ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N\nP_max : ∀ (I : Submodule R R), (I ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N) → ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < I\n⊢ ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N",
"state_before": "case intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nP : Submodule R R\nP_eq : P ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N\nP_max : ∀ (I : Submodule R R), (I ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N) → ¬P < I\n⊢ ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N",
"tactic": "obtain ⟨ϕ, rfl⟩ := Set.mem_range.mp P_eq"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R\nP_eq : LinearMap.submoduleImage ϕ N ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N\nP_max : ∀ (I : Submodule R R), (I ∈ range fun ψ => LinearMap.submoduleImage ψ N) → ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < I\n⊢ ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N",
"tactic": "exact ⟨ϕ, fun ψ hψ ↦ P_max _ ⟨_, rfl⟩ hψ⟩"
},
{
"state_after": "case pos\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis✝ : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this✝\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this✝) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : a = 0\nthis : N = ⊥\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"state_before": "case pos\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : a = 0\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "have := eq_bot_of_generator_maximal_submoduleImage_eq_zero b'M N_le_M ϕ_max a_zero"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis✝ : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this✝\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this✝) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : a = 0\nthis : N = ⊥\n⊢ ∃ y,\n y ∈ M ∧\n ∃ a x M',\n M' ≤ M ∧\n ∃ N',\n N' ≤ N ∧\n ∃ _N'_le_M' _y_ortho_M' _ay_ortho_N',\n ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),\n ∃ bN,\n ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),\n ∃ hnm bM,\n ∀ (as : Fin n' → R),\n (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →\n ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))",
"tactic": "contradiction"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\n⊢ ∑ x : ι, ↑(c x • ↑b'M x) = ∑ x : ι, c x • ↑(Submodule.subtype M) (↑b'M x)",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\n⊢ y' = ↑(Submodule.subtype M) (∑ i : ι, c i • ↑b'M i)",
"tactic": "simp only [LinearMap.map_sum, LinearMap.map_smul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\n⊢ ∑ x : ι, ↑(c x • ↑b'M x) = ∑ x : ι, c x • ↑(Submodule.subtype M) (↑b'M x)",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\n⊢ a • { val := y', property := y'M } = { val := y, property := (_ : y ∈ M) }",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\n⊢ a • y' = y",
"tactic": "refine Subtype.mk_eq_mk.mp (show (a • ⟨y', y'M⟩ : M) = ⟨y, N_le_M yN⟩ from ?_)"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\n⊢ ∑ x : ι, a • c x • ↑b'M x = ∑ i : ι, ↑(↑b'M.repr { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) i • ↑b'M i",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\n⊢ a • { val := y', property := y'M } = { val := y, property := (_ : y ∈ M) }",
"tactic": "rw [← b'M.sum_repr ⟨y, N_le_M yN⟩, mk_y', Finset.smul_sum]"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\ni : ι\nx✝ : i ∈ Finset.univ\n⊢ a • c i • ↑b'M i = ↑(↑b'M.repr { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) i • ↑b'M i",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\n⊢ ∑ x : ι, a • c x • ↑b'M x = ∑ i : ι, ↑(↑b'M.repr { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) i • ↑b'M i",
"tactic": "refine' Finset.sum_congr rfl fun i _ ↦ _"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\ni : ι\nx✝ : i ∈ Finset.univ\n⊢ ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } • ↑b'M i =\n ↑(↑b'M.repr { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) i • ↑b'M i",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\ni : ι\nx✝ : i ∈ Finset.univ\n⊢ a • c i • ↑b'M i = ↑(↑b'M.repr { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) i • ↑b'M i",
"tactic": "rw [← mul_smul, ← hc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\ni : ι\nx✝ : i ∈ Finset.univ\n⊢ ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } • ↑b'M i =\n ↑(↑b'M.repr { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) i • ↑b'M i",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\n⊢ ↑ϕ { val := a • y', property := (_ : a • ↑{ val := y', property := y'M } ∈ M) } =\n ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) }",
"tactic": "simp only [a_smul_y']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\n⊢ ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0",
"tactic": "simpa only [ϕy'_eq] using one_ne_zero"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nx : O\nhx : x ∈ N'\n⊢ x ∈ M'",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\n⊢ N' ≤ M'",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nx : O\nhx : ∃ y, ↑(LinearMap.comp (Exists.choose this) (ofLe N_le_M)) y = 0 ∧ ↑(Submodule.subtype N) y = x\n⊢ ∃ y, ↑(Exists.choose this) y = 0 ∧ ↑(Submodule.subtype M) y = x",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nx : O\nhx : x ∈ N'\n⊢ x ∈ M'",
"tactic": "simp only [mem_map, LinearMap.mem_ker] at hx⊢"
},
{
"state_after": "case intro.mk.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nx : O\nxN : x ∈ N\nhx : ↑(LinearMap.comp (Exists.choose this) (ofLe N_le_M)) { val := x, property := xN } = 0\n⊢ ∃ y, ↑(Exists.choose this) y = 0 ∧ ↑(Submodule.subtype M) y = ↑(Submodule.subtype N) { val := x, property := xN }",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nx : O\nhx : ∃ y, ↑(LinearMap.comp (Exists.choose this) (ofLe N_le_M)) y = 0 ∧ ↑(Submodule.subtype N) y = x\n⊢ ∃ y, ↑(Exists.choose this) y = 0 ∧ ↑(Submodule.subtype M) y = x",
"tactic": "obtain ⟨⟨x, xN⟩, hx, rfl⟩ := hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.mk.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nx : O\nxN : x ∈ N\nhx : ↑(LinearMap.comp (Exists.choose this) (ofLe N_le_M)) { val := x, property := xN } = 0\n⊢ ∃ y, ↑(Exists.choose this) y = 0 ∧ ↑(Submodule.subtype M) y = ↑(Submodule.subtype N) { val := x, property := xN }",
"tactic": "exact ⟨⟨x, N_le_M xN⟩, hx, rfl⟩"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\nc : R\nx : O\nxM' : x ∈ M'\nhc : c • y' + x = 0\n⊢ c = 0",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\n⊢ ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0",
"tactic": "intro c x xM' hc"
},
{
"state_after": "case intro.mk.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\nc : R\nx : O\nxM : x ∈ M\nhx' : { val := x, property := xM } ∈ LinearMap.ker ϕ\nxM' : ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } ∈ M'\nhc : c • y' + ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } = 0\n⊢ c = 0",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\nc : R\nx : O\nxM' : x ∈ M'\nhc : c • y' + x = 0\n⊢ c = 0",
"tactic": "obtain ⟨⟨x, xM⟩, hx', rfl⟩ := Submodule.mem_map.mp xM'"
},
{
"state_after": "case intro.mk.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\nc : R\nx : O\nxM : x ∈ M\nhx' : ↑ϕ { val := x, property := xM } = 0\nxM' : ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } ∈ M'\nhc : c • y' + ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } = 0\n⊢ c = 0",
"state_before": "case intro.mk.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\nc : R\nx : O\nxM : x ∈ M\nhx' : { val := x, property := xM } ∈ LinearMap.ker ϕ\nxM' : ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } ∈ M'\nhc : c • y' + ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } = 0\n⊢ c = 0",
"tactic": "rw [LinearMap.mem_ker] at hx'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.mk.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\nc : R\nx : O\nxM : x ∈ M\nhx' : ↑ϕ { val := x, property := xM } = 0\nxM' : ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } ∈ M'\nhc : c • y' + ↑(Submodule.subtype M) { val := x, property := xM } = 0\nhc' : c • { val := y', property := y'M } + { val := x, property := xM } = 0\n⊢ c = 0",
"tactic": "simpa only [LinearMap.map_add, LinearMap.map_zero, LinearMap.map_smul, smul_eq_mul, add_zero,\n mul_eq_zero, ϕy'_ne_zero, hx', or_false_iff] using congr_arg ϕ hc'"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • a • y' + z = 0\n⊢ c = 0",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\n⊢ ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0",
"tactic": "intro c z zN' hc"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • a • y' + z = 0\n⊢ (a * c) • y' + z = 0",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • a • y' + z = 0\n⊢ c = 0",
"tactic": "refine' (mul_eq_zero.mp (y'_ortho_M' (a * c) z (N'_le_M' zN') _)).resolve_left a_zero"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • a • y' + z = 0\n⊢ (a * c) • y' + z = 0",
"tactic": "rw [mul_comm, mul_smul, hc]"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ ∀ (c : R) (x : O), x ∈ N' → c • y + x = 0 → c = 0\n\ncase neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }",
"tactic": "refine' Basis.mkFinConsOfLe y yN bN' N'_le_N _ _"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • y + z = 0\n⊢ c = 0",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ ∀ (c : R) (x : O), x ∈ N' → c • y + x = 0 → c = 0",
"tactic": "intro c z zN' hc"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • y + z = 0\n⊢ c • a • y' + z = 0",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • y + z = 0\n⊢ c = 0",
"tactic": "refine' ay'_ortho_N' c z zN' _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc✝ : ι → R\nhc✝ : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c✝ i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c✝ i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c✝ i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nc : R\nz : O\nzN' : z ∈ N'\nhc : c • y + z = 0\n⊢ c • a • y' + z = 0",
"tactic": "rwa [← a_smul_y'] at hc"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\n⊢ ∃ c, z + c • y ∈ N'",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\n⊢ ∀ (z : O), z ∈ N → ∃ c, z + c • y ∈ N'",
"tactic": "intro z zN"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ ∃ c, z + c • y ∈ N'",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\n⊢ ∃ c, z + c • y ∈ N'",
"tactic": "obtain ⟨b, hb⟩ : _ ∣ ϕ ⟨z, N_le_M zN⟩ := generator_submoduleImage_dvd_of_mem N_le_M ϕ zN"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ { val := z - b • y, property := (_ : z - b • y ∈ N) } ∈ LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M))\n\ncase neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ ↑(Submodule.subtype N) { val := z - b • y, property := (_ : z - b • y ∈ N) } = z + -b • y",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ ∃ c, z + c • y ∈ N'",
"tactic": "refine' ⟨-b, Submodule.mem_map.mpr ⟨⟨_, N.sub_mem zN (N.smul_mem b yN)⟩, _, _⟩⟩"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ ↑ϕ ({ val := z, property := (_ : z ∈ M) } - b • { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) = 0",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ { val := z - b • y, property := (_ : z - b • y ∈ N) } ∈ LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M))",
"tactic": "refine' LinearMap.mem_ker.mpr (show ϕ (⟨z, N_le_M zN⟩ - b • ⟨y, N_le_M yN⟩) = 0 from _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ ↑ϕ ({ val := z, property := (_ : z ∈ M) } - b • { val := y, property := (_ : y ∈ M) }) = 0",
"tactic": "rw [LinearMap.map_sub, LinearMap.map_smul, hb, ϕy_eq, smul_eq_mul, mul_comm, sub_self]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_1.refine'_2.intro.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb✝ : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nz : O\nzN : z ∈ N\nb : R\nhb : ↑ϕ { val := z, property := (_ : z ∈ M) } = generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N) * b\n⊢ ↑(Submodule.subtype N) { val := z - b • y, property := (_ : z - b • y ∈ N) } = z + -b • y",
"tactic": "simp only [sub_eq_add_neg, neg_smul, coeSubtype]"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ Basis (Fin (m' + 1)) R { x // x ∈ M }",
"tactic": "refine' Basis.mkFinConsOfLe y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' _"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ∃ c, z + c • y' ∈ M'",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\n⊢ ∀ (z : O), z ∈ M → ∃ c, z + c • y' ∈ M'",
"tactic": "intro z zM"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ↑ϕ ({ val := z, property := zM } - ↑ϕ { val := z, property := zM } • { val := y', property := y'M }) = 0\n\ncase neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ↑(Submodule.subtype M)\n ({ val := z, property := zM } - ↑ϕ { val := z, property := zM } • { val := y', property := y'M }) =\n z + -↑ϕ { val := z, property := zM } • y'",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ∃ c, z + c • y' ∈ M'",
"tactic": "refine' ⟨-ϕ ⟨z, zM⟩, ⟨⟨z, zM⟩ - ϕ ⟨z, zM⟩ • ⟨y', y'M⟩, LinearMap.mem_ker.mpr _, _⟩⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ↑ϕ ({ val := z, property := zM } - ↑ϕ { val := z, property := zM } • { val := y', property := y'M }) = 0",
"tactic": "rw [LinearMap.map_sub, LinearMap.map_smul, ϕy'_eq, smul_eq_mul, mul_one, sub_self]"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ↑(Submodule.subtype M) { val := z, property := zM } +\n -(↑ϕ { val := z, property := zM } • ↑(Submodule.subtype M) { val := y', property := y'M }) =\n z + -(↑ϕ { val := z, property := zM } • y')",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ↑(Submodule.subtype M)\n ({ val := z, property := zM } - ↑ϕ { val := z, property := zM } • { val := y', property := y'M }) =\n z + -↑ϕ { val := z, property := zM } • y'",
"tactic": "rw [LinearMap.map_sub, LinearMap.map_smul, sub_eq_add_neg, neg_smul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_1.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nz : O\nzM : z ∈ M\n⊢ ↑(Submodule.subtype M) { val := z, property := zM } +\n -(↑ϕ { val := z, property := zM } • ↑(Submodule.subtype M) { val := y', property := y'M }) =\n z + -(↑ϕ { val := z, property := zM } • y')",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ y = generator (LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N) • ∑ x : ι, ↑(c x • ↑b'M x)",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') 0) =\n Fin.cons a as 0 •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM')\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) 0))",
"tactic": "simp only [Fin.cons_zero, Fin.castLE_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_1\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni : Fin (n' + 1)\n⊢ y = generator (LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N) • ∑ x : ι, ↑(c x • ↑b'M x)",
"tactic": "exact a_smul_y'.symm"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni✝ : Fin (n' + 1)\ni : Fin n'\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') (Fin.succ i)) =\n Fin.cons a as (Fin.succ i) •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM') (Fin.succ (↑(Fin.castLE (_ : n' ≤ m')) i)))",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni✝ : Fin (n' + 1)\ni : Fin n'\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') (Fin.succ i)) =\n Fin.cons a as (Fin.succ i) •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM')\n (↑(Fin.castLE (_ : Nat.succ n' ≤ Nat.succ m')) (Fin.succ i)))",
"tactic": "rw [Fin.castLE_succ]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro.intro.refine'_2.refine'_2.refine'_2\nι : Type u_1\nR : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM✝ : Type ?u.43078\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\nb : ι → M✝\ninst✝² : Finite ι\nO : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup O\ninst✝ : Module R O\nM N : Submodule R O\nb'M : Basis ι R { x // x ∈ M }\nN_bot : N ≠ ⊥\nN_le_M : N ≤ M\nthis : ∃ ϕ, ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage ϕ N < LinearMap.submoduleImage ψ N\nϕ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R := Exists.choose this\nϕ_max : ∀ (ψ : { x // x ∈ M } →ₗ[R] R), ¬LinearMap.submoduleImage (Exists.choose this) N < LinearMap.submoduleImage ψ N\na : R := generator (LinearMap.submoduleImage ϕ N)\na_mem : a ∈ LinearMap.submoduleImage ϕ N\na_zero : ¬a = 0\ny : O\nyN : y ∈ N\nϕy_eq : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a\n_ϕy_ne_zero : ↑ϕ { val := y, property := (_ : y ∈ M) } ≠ 0\nc : ι → R\nhc : ∀ (i : ι), ↑(Basis.coord b'M i) { val := y, property := (_ : y ∈ M) } = a * c i\nval✝ : Fintype ι\ny' : O := ∑ i : ι, ↑(c i • ↑b'M i)\ny'M : y' ∈ M\nmk_y' : { val := y', property := y'M } = ∑ i : ι, c i • ↑b'M i\na_smul_y' : a • y' = y\nϕy'_eq : ↑ϕ { val := y', property := y'M } = 1\nϕy'_ne_zero : ↑ϕ { val := y', property := y'M } ≠ 0\nM' : Submodule R O := map (Submodule.subtype M) (LinearMap.ker ϕ)\nN' : Submodule R O := map (Submodule.subtype N) (LinearMap.ker (LinearMap.comp ϕ (ofLe N_le_M)))\nM'_le_M : M' ≤ M\nN'_le_M' : N' ≤ M'\nN'_le_N : N' ≤ N\ny'_ortho_M' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y' + z = 0 → c = 0\nay'_ortho_N' : ∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y' + z = 0 → c = 0\nn' : ℕ\nbN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }\nm' : ℕ\nhn'm' : n' ≤ m'\nbM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }\nas : Fin n' → R\nh : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))\ni✝ : Fin (n' + 1)\ni : Fin n'\n⊢ ↑(Fin.cons { val := y, property := yN } (↑(ofLe N'_le_N) ∘ ↑bN') (Fin.succ i)) =\n Fin.cons a as (Fin.succ i) •\n ↑(Fin.cons { val := y', property := y'M } (↑(ofLe M'_le_M) ∘ ↑bM') (Fin.succ (↑(Fin.castLE (_ : n' ≤ m')) i)))",
"tactic": "simp only [Fin.cons_succ, Function.comp_apply, coe_ofLe, map_coe, coeSubtype, h i]"
}
] | [
289,
87
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
166,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean | Matrix.SpecialLinearGroup.coe_pow | [] | [
161,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
160,
1
] |
Mathlib/Order/Hom/Basic.lean | OrderIso.apply_symm_apply | [] | [
857,
31
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
856,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean | Nat.ArithmeticFunction.cardDistinctFactors_eq_cardFactors_iff_squarefree | [
{
"state_after": "R : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\n⊢ List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n ↔ List.Nodup (factors n)",
"state_before": "R : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\n⊢ ↑ω n = ↑Ω n ↔ Squarefree n",
"tactic": "rw [squarefree_iff_nodup_factors h0, cardDistinctFactors_apply]"
},
{
"state_after": "case mp\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n\n⊢ List.Nodup (factors n)\n\ncase mpr\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.Nodup (factors n)\n⊢ List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n",
"state_before": "R : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\n⊢ List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n ↔ List.Nodup (factors n)",
"tactic": "constructor <;> intro h"
},
{
"state_after": "case mp\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n\n⊢ List.Nodup (List.dedup (factors n))",
"state_before": "case mp\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n\n⊢ List.Nodup (factors n)",
"tactic": "rw [← n.factors.dedup_sublist.eq_of_length h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n\n⊢ List.Nodup (List.dedup (factors n))",
"tactic": "apply List.nodup_dedup"
},
{
"state_after": "case mpr\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.Nodup (factors n)\n⊢ List.length (factors n) = ↑Ω n",
"state_before": "case mpr\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.Nodup (factors n)\n⊢ List.length (List.dedup (factors n)) = ↑Ω n",
"tactic": "rw [h.dedup]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr\nR : Type ?u.569435\nn : ℕ\nh0 : n ≠ 0\nh : List.Nodup (factors n)\n⊢ List.length (factors n) = ↑Ω n",
"tactic": "rfl"
}
] | [
928,
8
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
921,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean | Finset.min'_lt_max'_of_card | [
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nF : Type ?u.344901\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.344907\nγ : Type ?u.344910\nι : Type ?u.344913\nκ : Type ?u.344916\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nH : Finset.Nonempty s\nx : α\nh₂ : 1 < card s\na : α\nha : a ∈ s\nb : α\nhb : b ∈ s\nhab : a ≠ b\n⊢ min' s (_ : Finset.Nonempty s) < max' s (_ : Finset.Nonempty s)",
"state_before": "F : Type ?u.344901\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.344907\nγ : Type ?u.344910\nι : Type ?u.344913\nκ : Type ?u.344916\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nH : Finset.Nonempty s\nx : α\nh₂ : 1 < card s\n⊢ min' s (_ : Finset.Nonempty s) < max' s (_ : Finset.Nonempty s)",
"tactic": "rcases one_lt_card.1 h₂ with ⟨a, ha, b, hb, hab⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nF : Type ?u.344901\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.344907\nγ : Type ?u.344910\nι : Type ?u.344913\nκ : Type ?u.344916\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nH : Finset.Nonempty s\nx : α\nh₂ : 1 < card s\na : α\nha : a ∈ s\nb : α\nhb : b ∈ s\nhab : a ≠ b\n⊢ min' s (_ : Finset.Nonempty s) < max' s (_ : Finset.Nonempty s)",
"tactic": "exact s.min'_lt_max' ha hb hab"
}
] | [
1406,
33
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1402,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean | Filter.coprodᵢ_cofinite | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_2\nα✝ : Type ?u.3999\nβ : Type ?u.4002\nl : Filter α✝\nα : ι → Type u_1\ninst✝ : Finite ι\ns : Set ((i : ι) → α i)\n⊢ (sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun i => cofinite) ↔ sᶜ ∈ cofinite",
"tactic": "simp only [compl_mem_coprodᵢ, mem_cofinite, compl_compl, forall_finite_image_eval_iff]"
}
] | [
126,
91
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
123,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean | LinearMap.det_comp | [] | [
252,
28
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
250,
1
] |
Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal.lean | FractionalIdeal.coeToSubmodule_ne_bot | [] | [
337,
40
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
336,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Instances.lean | Set.Ico.coe_lt_one | [] | [
216,
8
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
215,
1
] |
Mathlib/Order/JordanHolder.lean | CompositionSeries.length_pos_of_mem_ne | [] | [
374,
95
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
367,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean | ContinuousLinearEquiv.coe_funUnique | [] | [
2441,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
2440,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/Equiv.lean | RingEquiv.toNonUnitalRingHom_eq_coe | [] | [
614,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
613,
1
] |
Mathlib/Data/Real/NNReal.lean | NNReal.coe_mono | [] | [
382,
88
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
382,
11
] |
Mathlib/Topology/Instances/Int.lean | Int.pairwise_one_le_dist | [
{
"state_after": "m n : ℤ\nhne : m ≠ n\n⊢ 1 ≤ dist m n",
"state_before": "⊢ Pairwise fun m n => 1 ≤ dist m n",
"tactic": "intro m n hne"
},
{
"state_after": "m n : ℤ\nhne : m ≠ n\n⊢ 1 ≤ abs (↑m - ↑n)",
"state_before": "m n : ℤ\nhne : m ≠ n\n⊢ 1 ≤ dist m n",
"tactic": "rw [dist_eq]"
},
{
"state_after": "m n : ℤ\nhne : m ≠ n\n⊢ 1 ≤ abs (m - n)",
"state_before": "m n : ℤ\nhne : m ≠ n\n⊢ 1 ≤ abs (↑m - ↑n)",
"tactic": "norm_cast"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m n : ℤ\nhne : m ≠ n\n⊢ 1 ≤ abs (m - n)",
"tactic": "rwa [← zero_add (1 : ℤ), Int.add_one_le_iff, abs_pos, sub_ne_zero]"
}
] | [
43,
94
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
41,
1
] |
Mathlib/Control/Basic.lean | fish_assoc | [] | [
127,
38
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
125,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean | Matrix.charpoly_reindex | [
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\nn : Type w\ninst✝³ : DecidableEq n\ninst✝² : Fintype n\nm : Type v\ninst✝¹ : DecidableEq m\ninst✝ : Fintype m\ne : n ≃ m\nM : Matrix n n R\n⊢ det (charmatrix (↑(reindex e e) M)) = det (charmatrix M)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\nn : Type w\ninst✝³ : DecidableEq n\ninst✝² : Fintype n\nm : Type v\ninst✝¹ : DecidableEq m\ninst✝ : Fintype m\ne : n ≃ m\nM : Matrix n n R\n⊢ charpoly (↑(reindex e e) M) = charpoly M",
"tactic": "unfold Matrix.charpoly"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\nn : Type w\ninst✝³ : DecidableEq n\ninst✝² : Fintype n\nm : Type v\ninst✝¹ : DecidableEq m\ninst✝ : Fintype m\ne : n ≃ m\nM : Matrix n n R\n⊢ det (charmatrix (↑(reindex e e) M)) = det (charmatrix M)",
"tactic": "rw [charmatrix_reindex, Matrix.det_reindex_self]"
}
] | [
101,
51
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
98,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/Idempotents.lean | IsIdempotentElem.coe_compl | [] | [
126,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
125,
1
] |
Mathlib/Algebra/BigOperators/Multiset/Basic.lean | Multiset.prod_eq_pow_single | [
{
"state_after": "case h\nι : Type ?u.29694\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.29700\nγ : Type ?u.29703\ninst✝¹ : CommMonoid α\ns t : Multiset α\na✝ : α\nm : Multiset ι\nf g : ι → α\ninst✝ : DecidableEq α\na : α\nh✝ : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 1\nl : List α\nh : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ Quotient.mk (List.isSetoid α) l → a' = 1\n⊢ prod (Quotient.mk (List.isSetoid α) l) = a ^ count a (Quotient.mk (List.isSetoid α) l)",
"state_before": "ι : Type ?u.29694\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.29700\nγ : Type ?u.29703\ninst✝¹ : CommMonoid α\ns t : Multiset α\na✝ : α\nm : Multiset ι\nf g : ι → α\ninst✝ : DecidableEq α\na : α\nh : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 1\n⊢ prod s = a ^ count a s",
"tactic": "induction' s using Quotient.inductionOn with l"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nι : Type ?u.29694\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.29700\nγ : Type ?u.29703\ninst✝¹ : CommMonoid α\ns t : Multiset α\na✝ : α\nm : Multiset ι\nf g : ι → α\ninst✝ : DecidableEq α\na : α\nh✝ : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 1\nl : List α\nh : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ Quotient.mk (List.isSetoid α) l → a' = 1\n⊢ prod (Quotient.mk (List.isSetoid α) l) = a ^ count a (Quotient.mk (List.isSetoid α) l)",
"tactic": "simp [List.prod_eq_pow_single a h]"
}
] | [
148,
37
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
145,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Basic.lean | Set.inclusion_inclusion | [
{
"state_after": "case mk\nα : Type u_1\ns t u : Set α\nhst : s ⊆ t\nhtu : t ⊆ u\nval✝ : α\nproperty✝ : val✝ ∈ s\n⊢ inclusion htu (inclusion hst { val := val✝, property := property✝ }) =\n inclusion (_ : s ⊆ u) { val := val✝, property := property✝ }",
"state_before": "α : Type u_1\ns t u : Set α\nhst : s ⊆ t\nhtu : t ⊆ u\nx : ↑s\n⊢ inclusion htu (inclusion hst x) = inclusion (_ : s ⊆ u) x",
"tactic": "cases x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk\nα : Type u_1\ns t u : Set α\nhst : s ⊆ t\nhtu : t ⊆ u\nval✝ : α\nproperty✝ : val✝ ∈ s\n⊢ inclusion htu (inclusion hst { val := val✝, property := property✝ }) =\n inclusion (_ : s ⊆ u) { val := val✝, property := property✝ }",
"tactic": "rfl"
}
] | [
2794,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
2791,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Extr.lean | isMaxFilter_dual_iff | [] | [
214,
10
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
213,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Groupoid.lean | CategoryTheory.Groupoid.reverse_eq_inv | [] | [
99,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
98,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean | Cardinal.lift_mk_shrink'' | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α✝ β : Type u\nα : Type (max u v)\ninst✝ : Small α\n⊢ lift (#Shrink α) = (#α)",
"tactic": "rw [← lift_umax', lift_mk_shrink.{max u v, v, 0} α, ← lift_umax, lift_id]"
}
] | [
1032,
76
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1030,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean | MeasureTheory.FiniteMeasure.restrict_nonzero_iff | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ω : Type u_1\ninst✝⁴ : MeasurableSpace Ω\nR : Type ?u.41322\ninst✝³ : SMul R ℝ≥0\ninst✝² : SMul R ℝ≥0∞\ninst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞\ninst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞\nμ : FiniteMeasure Ω\nA : Set Ω\n⊢ restrict μ A ≠ 0 ↔ (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑μ s)) A ≠ 0",
"tactic": "rw [← mass_nonzero_iff, restrict_mass]"
}
] | [
305,
41
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
304,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean | Cardinal.power_nat_le | [] | [
958,
29
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
957,
1
] |
Mathlib/Data/Fin/Basic.lean | Fin.succ_cast_eq | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n m n' : ℕ\ni : Fin n\nh : n = n'\n⊢ Nat.succ n = Nat.succ n'",
"tactic": "rw [h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n m n' : ℕ\ni : Fin n\nh : n = n'\n⊢ ↑(succ (↑(cast h) i)) = ↑(↑(cast (_ : Nat.succ n = Nat.succ n')) (succ i))",
"tactic": "simp"
}
] | [
1198,
17
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1196,
1
] |
Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean | TopCat.piIsoPi_inv_π | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "J : Type v\ninst✝ : SmallCategory J\nι : Type v\nα : ι → TopCatMax\ni : ι\n⊢ (piIsoPi α).inv ≫ Pi.π α i = piπ α i",
"tactic": "simp [piIsoPi]"
}
] | [
71,
62
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
70,
1
] |
Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean | ciSup_mono' | [] | [
1093,
59
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1091,
1
] |
Mathlib/Algebra/Category/GroupCat/EpiMono.lean | GroupCat.SurjectiveOfEpiAuxs.h_apply_fromCoset_nin_range | [
{
"state_after": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑((τ.symm.trans (↑g x)).trans τ)\n (fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑(↑h x)\n (fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"tactic": "change ((τ).symm.trans (g x)).trans τ _ = _"
},
{
"state_after": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞)\n (↑(↑g x)\n (↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞).symm\n (fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }))) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑((τ.symm.trans (↑g x)).trans τ)\n (fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"tactic": "simp only [tau, MonoidHom.coe_mk, Equiv.toFun_as_coe, Equiv.coe_trans, Function.comp_apply]"
},
{
"state_after": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞)\n (↑(↑g x)\n (fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞)\n (↑(↑g x)\n (↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞).symm\n (fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }))) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"tactic": "rw [Equiv.symm_swap,\n @Equiv.swap_apply_of_ne_of_ne X' _ (fromCoset ⟨f.range.carrier, ⟨1, one_leftCoset _⟩⟩) ∞\n (fromCoset ⟨b *l f.range.carrier, ⟨b, rfl⟩⟩) (fromCoset_ne_of_nin_range _ hb) (by simp)]"
},
{
"state_after": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞)\n (fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n (fun x => x ∈ Set.range (Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier))\n (x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier)) }) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞)\n (↑(↑g x)\n (fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"tactic": "simp only [g_apply_fromCoset, leftCoset_assoc]"
},
{
"state_after": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\nr : x * b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ b ∈ MonoidHom.range f",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ ↑(Equiv.swap\n (fromCoset\n { val := (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) })\n ∞)\n (fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n (fun x => x ∈ Set.range (Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier))\n (x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier)) }) =\n fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) }",
"tactic": "refine' Equiv.swap_apply_of_ne_of_ne (fromCoset_ne_of_nin_range _ fun r => hb _) (by simp)"
},
{
"state_after": "case h.e'_4\nA B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\nr : x * b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ b = x⁻¹ * (x * b)",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\nr : x * b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ b ∈ MonoidHom.range f",
"tactic": "convert Subgroup.mul_mem _ (Subgroup.inv_mem _ hx) r"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_4\nA B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\nr : x * b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ b = x⁻¹ * (x * b)",
"tactic": "rw [← mul_assoc, mul_left_inv, one_mul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ fromCoset\n { val := b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n ∃ y,\n Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier y =\n b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier) } ≠\n ∞",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "A B : GroupCat\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\nhx : x ∈ MonoidHom.range f\nb : ↑B\nhb : ¬b ∈ MonoidHom.range f\n⊢ fromCoset\n { val := x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier,\n property :=\n (_ :\n (fun x => x ∈ Set.range (Function.swap leftCoset (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier))\n (x * b *l (MonoidHom.range f).toSubmonoid.toSubsemigroup.carrier)) } ≠\n ∞",
"tactic": "simp"
}
] | [
291,
42
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
280,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean | Basis.ofVectorSpaceIndex.linearIndependent | [
{
"state_after": "case h.e'_4\nι : Type ?u.1148087\nι' : Type ?u.1148090\nR : Type ?u.1148093\nR₂ : Type ?u.1148096\nK : Type u_1\nM : Type ?u.1148102\nM' : Type ?u.1148105\nM'' : Type ?u.1148108\nV : Type u\nV' : Type ?u.1148113\ninst✝⁴ : DivisionRing K\ninst✝³ : AddCommGroup V\ninst✝² : AddCommGroup V'\ninst✝¹ : Module K V\ninst✝ : Module K V'\nv : ι → V\ns t : Set V\nx y z : V\n⊢ Subtype.val = ↑(ofVectorSpace K V)",
"state_before": "ι : Type ?u.1148087\nι' : Type ?u.1148090\nR : Type ?u.1148093\nR₂ : Type ?u.1148096\nK : Type u_1\nM : Type ?u.1148102\nM' : Type ?u.1148105\nM'' : Type ?u.1148108\nV : Type u\nV' : Type ?u.1148113\ninst✝⁴ : DivisionRing K\ninst✝³ : AddCommGroup V\ninst✝² : AddCommGroup V'\ninst✝¹ : Module K V\ninst✝ : Module K V'\nv : ι → V\ns t : Set V\nx y z : V\n⊢ LinearIndependent K Subtype.val",
"tactic": "convert (ofVectorSpace K V).linearIndependent"
},
{
"state_after": "case h.e'_4.h\nι : Type ?u.1148087\nι' : Type ?u.1148090\nR : Type ?u.1148093\nR₂ : Type ?u.1148096\nK : Type u_1\nM : Type ?u.1148102\nM' : Type ?u.1148105\nM'' : Type ?u.1148108\nV : Type u\nV' : Type ?u.1148113\ninst✝⁴ : DivisionRing K\ninst✝³ : AddCommGroup V\ninst✝² : AddCommGroup V'\ninst✝¹ : Module K V\ninst✝ : Module K V'\nv : ι → V\ns t : Set V\nx✝ y z : V\nx : { x // x ∈ ofVectorSpaceIndex K V }\n⊢ ↑x = ↑(ofVectorSpace K V) x",
"state_before": "case h.e'_4\nι : Type ?u.1148087\nι' : Type ?u.1148090\nR : Type ?u.1148093\nR₂ : Type ?u.1148096\nK : Type u_1\nM : Type ?u.1148102\nM' : Type ?u.1148105\nM'' : Type ?u.1148108\nV : Type u\nV' : Type ?u.1148113\ninst✝⁴ : DivisionRing K\ninst✝³ : AddCommGroup V\ninst✝² : AddCommGroup V'\ninst✝¹ : Module K V\ninst✝ : Module K V'\nv : ι → V\ns t : Set V\nx y z : V\n⊢ Subtype.val = ↑(ofVectorSpace K V)",
"tactic": "ext x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_4.h\nι : Type ?u.1148087\nι' : Type ?u.1148090\nR : Type ?u.1148093\nR₂ : Type ?u.1148096\nK : Type u_1\nM : Type ?u.1148102\nM' : Type ?u.1148105\nM'' : Type ?u.1148108\nV : Type u\nV' : Type ?u.1148113\ninst✝⁴ : DivisionRing K\ninst✝³ : AddCommGroup V\ninst✝² : AddCommGroup V'\ninst✝¹ : Module K V\ninst✝ : Module K V'\nv : ι → V\ns t : Set V\nx✝ y z : V\nx : { x // x ∈ ofVectorSpaceIndex K V }\n⊢ ↑x = ↑(ofVectorSpace K V) x",
"tactic": "rw [ofVectorSpace_apply_self]"
}
] | [
1489,
32
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1485,
1
] |
src/lean/Init/Data/Nat/Basic.lean | Nat.lt_of_succ_le | [] | [
311,
4
] | d5348dfac847a56a4595fb6230fd0708dcb4e7e9 | https://github.com/leanprover/lean4 | [
310,
1
] |
Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean | Equiv.sumAssoc_symm_apply_inl | [] | [
372,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
371,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean | Set.preimage_neg_Iio | [] | [
149,
23
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
148,
1
] |
Mathlib/Topology/Order.lean | TopologicalSpace.le_generateFrom_iff_subset_isOpen | [] | [
170,
99
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
167,
1
] |
Mathlib/Algebra/Module/PointwisePi.lean | smul_pi | [] | [
54,
89
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
51,
1
] |
Mathlib/Algebra/BigOperators/Basic.lean | Finset.prod_comm' | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.324815\nβ : Type u\nα : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset γ\nt : γ → Finset α\nt' : Finset α\ns' : α → Finset γ\nh : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'\nf : γ → α → β\n⊢ ∏ x in s, ∏ y in t x, f x y = ∏ y in t', ∏ x in s' y, f x y",
"tactic": "classical\n have : ∀ z : γ × α, (z ∈ s.biUnion fun x => (t x).map <| Function.Embedding.sectr x _) ↔\n z.1 ∈ s ∧ z.2 ∈ t z.1 := by\n rintro ⟨x, y⟩\n simp only [mem_biUnion, mem_map, Function.Embedding.sectr_apply, Prod.mk.injEq,\n exists_eq_right, ← and_assoc]\n exact\n (prod_finset_product' _ _ _ this).symm.trans\n ((prod_finset_product_right' _ _ _) fun ⟨x, y⟩ => (this _).trans ((h x y).trans and_comm))"
},
{
"state_after": "ι : Type ?u.324815\nβ : Type u\nα : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset γ\nt : γ → Finset α\nt' : Finset α\ns' : α → Finset γ\nh : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'\nf : γ → α → β\nthis :\n ∀ (z : γ × α), (z ∈ Finset.biUnion s fun x => map (Function.Embedding.sectr x α) (t x)) ↔ z.fst ∈ s ∧ z.snd ∈ t z.fst\n⊢ ∏ x in s, ∏ y in t x, f x y = ∏ y in t', ∏ x in s' y, f x y",
"state_before": "ι : Type ?u.324815\nβ : Type u\nα : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset γ\nt : γ → Finset α\nt' : Finset α\ns' : α → Finset γ\nh : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'\nf : γ → α → β\n⊢ ∏ x in s, ∏ y in t x, f x y = ∏ y in t', ∏ x in s' y, f x y",
"tactic": "have : ∀ z : γ × α, (z ∈ s.biUnion fun x => (t x).map <| Function.Embedding.sectr x _) ↔\n z.1 ∈ s ∧ z.2 ∈ t z.1 := by\n rintro ⟨x, y⟩\n simp only [mem_biUnion, mem_map, Function.Embedding.sectr_apply, Prod.mk.injEq,\n exists_eq_right, ← and_assoc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.324815\nβ : Type u\nα : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset γ\nt : γ → Finset α\nt' : Finset α\ns' : α → Finset γ\nh : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'\nf : γ → α → β\nthis :\n ∀ (z : γ × α), (z ∈ Finset.biUnion s fun x => map (Function.Embedding.sectr x α) (t x)) ↔ z.fst ∈ s ∧ z.snd ∈ t z.fst\n⊢ ∏ x in s, ∏ y in t x, f x y = ∏ y in t', ∏ x in s' y, f x y",
"tactic": "exact\n (prod_finset_product' _ _ _ this).symm.trans\n ((prod_finset_product_right' _ _ _) fun ⟨x, y⟩ => (this _).trans ((h x y).trans and_comm))"
},
{
"state_after": "case mk\nι : Type ?u.324815\nβ : Type u\nα : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset γ\nt : γ → Finset α\nt' : Finset α\ns' : α → Finset γ\nh : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'\nf : γ → α → β\nx : γ\ny : α\n⊢ ((x, y) ∈ Finset.biUnion s fun x => map (Function.Embedding.sectr x α) (t x)) ↔\n (x, y).fst ∈ s ∧ (x, y).snd ∈ t (x, y).fst",
"state_before": "ι : Type ?u.324815\nβ : Type u\nα : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset γ\nt : γ → Finset α\nt' : Finset α\ns' : α → Finset γ\nh : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'\nf : γ → α → β\n⊢ ∀ (z : γ × α), (z ∈ Finset.biUnion s fun x => map (Function.Embedding.sectr x α) (t x)) ↔ z.fst ∈ s ∧ z.snd ∈ t z.fst",
"tactic": "rintro ⟨x, y⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk\nι : Type ?u.324815\nβ : Type u\nα : Type v\nγ : Type w\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset γ\nt : γ → Finset α\nt' : Finset α\ns' : α → Finset γ\nh : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'\nf : γ → α → β\nx : γ\ny : α\n⊢ ((x, y) ∈ Finset.biUnion s fun x => map (Function.Embedding.sectr x α) (t x)) ↔\n (x, y).fst ∈ s ∧ (x, y).snd ∈ t (x, y).fst",
"tactic": "simp only [mem_biUnion, mem_map, Function.Embedding.sectr_apply, Prod.mk.injEq,\n exists_eq_right, ← and_assoc]"
}
] | [
710,
99
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
699,
1
] |
Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean | Mathlib.Tactic.Ring.pow_bit0 | [
{
"state_after": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na : R\nk : ℕ\n⊢ a ^ Nat.mul 2 k = a ^ k * a ^ k",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na : R\nk : ℕ\nb c : R\nx✝¹ : a ^ k = b\nx✝ : b * b = c\n⊢ a ^ Nat.mul 2 k = c",
"tactic": "subst_vars"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na : R\nk : ℕ\n⊢ a ^ Nat.mul 2 k = a ^ k * a ^ k",
"tactic": "simp [Nat.succ_mul, pow_add]"
}
] | [
662,
43
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
661,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean | Set.einfsep_insert | [
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\nx y z : α\ns t : Set α\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ einfsep s ≤ einfsep (insert x s)",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\nx y z : α\ns t : Set α\n⊢ einfsep (insert x s) = (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ einfsep s",
"tactic": "refine' le_antisymm (le_min einfsep_insert_le (einfsep_anti (subset_insert _ _))) _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\nx y z : α\ns t : Set α\n⊢ ∀ (x_1 : α),\n x_1 = x ∨ x_1 ∈ s →\n ∀ (y : α),\n y = x ∨ y ∈ s → x_1 ≠ y → (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : x ≠ y), edist x y) ≤ edist x_1 y ∨ einfsep s ≤ edist x_1 y",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\nx y z : α\ns t : Set α\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ einfsep s ≤ einfsep (insert x s)",
"tactic": "simp_rw [le_einfsep_iff, inf_le_iff, mem_insert_iff]"
},
{
"state_after": "case inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny z✝ : α\ns t : Set α\nz : α\nhyz : z ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : z ≠ y), edist z y) ≤ edist z z ∨ einfsep s ≤ edist z z\n\ncase inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny z : α\nhz : z ∈ s\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y_1 : α) (_ : y_1 ∈ s) (_ : y ≠ y_1), edist y y_1) ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z\n\ncase inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny : α\nhy : y ∈ s\nz : α\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : z ≠ y), edist z y) ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z\n\ncase inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\nx y✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny : α\nhy : y ∈ s\nz : α\nhz : z ∈ s\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : x ≠ y), edist x y) ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\nx y z : α\ns t : Set α\n⊢ ∀ (x_1 : α),\n x_1 = x ∨ x_1 ∈ s →\n ∀ (y : α),\n y = x ∨ y ∈ s → x_1 ≠ y → (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : x ≠ y), edist x y) ≤ edist x_1 y ∨ einfsep s ≤ edist x_1 y",
"tactic": "rintro y (rfl | hy) z (rfl | hz) hyz"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny z✝ : α\ns t : Set α\nz : α\nhyz : z ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : z ≠ y), edist z y) ≤ edist z z ∨ einfsep s ≤ edist z z",
"tactic": "exact False.elim (hyz rfl)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny z : α\nhz : z ∈ s\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y_1 : α) (_ : y_1 ∈ s) (_ : y ≠ y_1), edist y y_1) ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z",
"tactic": "exact Or.inl (iInf_le_of_le _ (iInf₂_le hz hyz))"
},
{
"state_after": "case inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny : α\nhy : y ∈ s\nz : α\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : z ≠ y), edist z y) ≤ edist z y ∨ einfsep s ≤ edist z y",
"state_before": "case inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny : α\nhy : y ∈ s\nz : α\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : z ≠ y), edist z y) ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z",
"tactic": "rw [edist_comm]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\ny✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny : α\nhy : y ∈ s\nz : α\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : z ≠ y), edist z y) ≤ edist z y ∨ einfsep s ≤ edist z y",
"tactic": "exact Or.inl (iInf_le_of_le _ (iInf₂_le hy hyz.symm))"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.44124\ninst✝ : PseudoEMetricSpace α\nx y✝ z✝ : α\ns t : Set α\ny : α\nhy : y ∈ s\nz : α\nhz : z ∈ s\nhyz : y ≠ z\n⊢ (⨅ (y : α) (_ : y ∈ s) (_ : x ≠ y), edist x y) ≤ edist y z ∨ einfsep s ≤ edist y z",
"tactic": "exact Or.inr (einfsep_le_edist_of_mem hy hz hyz)"
}
] | [
232,
53
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
223,
1
] |
Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean | HasStrictDerivAt.complexToReal_fderiv | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "e : ℂ → ℂ\ne' : ℂ\nz : ℝ\nE : Type ?u.117471\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nf : ℂ → ℂ\nf' x : ℂ\nh : HasStrictDerivAt f f' x\n⊢ HasStrictFDerivAt f (f' • 1) x",
"tactic": "simpa only [Complex.restrictScalars_one_smulRight] using h.hasStrictFDerivAt.restrictScalars ℝ"
}
] | [
123,
97
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
121,
1
] |
Mathlib/Data/Real/ENNReal.lean | ENNReal.one_half_lt_one | [] | [
1748,
37
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1747,
11
] |
Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean | Subalgebra.mem_comap | [] | [
524,
10
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
523,
1
] |
Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean | StructureGroupoid.LocalInvariantProp.liftPropWithinAt_mono_of_mem | [
{
"state_after": "H : Type u_1\nM : Type u_2\nH' : Type u_3\nM' : Type u_4\nX : Type ?u.47928\ninst✝⁶ : TopologicalSpace H\ninst✝⁵ : TopologicalSpace M\ninst✝⁴ : ChartedSpace H M\ninst✝³ : TopologicalSpace H'\ninst✝² : TopologicalSpace M'\ninst✝¹ : ChartedSpace H' M'\ninst✝ : TopologicalSpace X\nG : StructureGroupoid H\nG' : StructureGroupoid H'\ne e' : LocalHomeomorph M H\nf f' : LocalHomeomorph M' H'\nP : (H → H') → Set H → H → Prop\ng g' : M → M'\ns t : Set M\nx : M\nQ : (H → H) → Set H → H → Prop\nhG : LocalInvariantProp G G' P\nmono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x\nh : LiftPropWithinAt P g s x\nhst : s ∈ 𝓝[t] x\n⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' t] ↑(chartAt H x) x",
"state_before": "H : Type u_1\nM : Type u_2\nH' : Type u_3\nM' : Type u_4\nX : Type ?u.47928\ninst✝⁶ : TopologicalSpace H\ninst✝⁵ : TopologicalSpace M\ninst✝⁴ : ChartedSpace H M\ninst✝³ : TopologicalSpace H'\ninst✝² : TopologicalSpace M'\ninst✝¹ : ChartedSpace H' M'\ninst✝ : TopologicalSpace X\nG : StructureGroupoid H\nG' : StructureGroupoid H'\ne e' : LocalHomeomorph M H\nf f' : LocalHomeomorph M' H'\nP : (H → H') → Set H → H → Prop\ng g' : M → M'\ns t : Set M\nx : M\nQ : (H → H) → Set H → H → Prop\nhG : LocalInvariantProp G G' P\nmono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x\nh : LiftPropWithinAt P g s x\nhst : s ∈ 𝓝[t] x\n⊢ LiftPropWithinAt P g t x",
"tactic": "refine' ⟨h.1.mono_of_mem hst, mono_of_mem _ h.2⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "H : Type u_1\nM : Type u_2\nH' : Type u_3\nM' : Type u_4\nX : Type ?u.47928\ninst✝⁶ : TopologicalSpace H\ninst✝⁵ : TopologicalSpace M\ninst✝⁴ : ChartedSpace H M\ninst✝³ : TopologicalSpace H'\ninst✝² : TopologicalSpace M'\ninst✝¹ : ChartedSpace H' M'\ninst✝ : TopologicalSpace X\nG : StructureGroupoid H\nG' : StructureGroupoid H'\ne e' : LocalHomeomorph M H\nf f' : LocalHomeomorph M' H'\nP : (H → H') → Set H → H → Prop\ng g' : M → M'\ns t : Set M\nx : M\nQ : (H → H) → Set H → H → Prop\nhG : LocalInvariantProp G G' P\nmono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x\nh : LiftPropWithinAt P g s x\nhst : s ∈ 𝓝[t] x\n⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' t] ↑(chartAt H x) x",
"tactic": "simp_rw [← mem_map, (chartAt H x).symm.map_nhdsWithin_preimage_eq (mem_chart_target H x),\n (chartAt H x).left_inv (mem_chart_source H x), hst]"
}
] | [
452,
56
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
447,
1
] |
Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean | StrictAnti.compares | [] | [
842,
54
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
840,
11
] |
Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean | Class.mem_sInter | [
{
"state_after": "x y : Class\nh : Set.Nonempty x\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → y ∈ z\n⊢ y ∈ ⋂₀ x",
"state_before": "x y : Class\nh : Set.Nonempty x\n⊢ y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ (z : Class), z ∈ x → y ∈ z",
"tactic": "refine' ⟨fun hy z => mem_of_mem_sInter hy, fun H => _⟩"
},
{
"state_after": "x y : Class\nh : Set.Nonempty x\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → y ∈ z\n⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z",
"state_before": "x y : Class\nh : Set.Nonempty x\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → y ∈ z\n⊢ y ∈ ⋂₀ x",
"tactic": "simp_rw [mem_def, sInter_apply]"
},
{
"state_after": "case intro\nx y : Class\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → y ∈ z\nz : ZFSet\nhz : z ∈ x\n⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z",
"state_before": "x y : Class\nh : Set.Nonempty x\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → y ∈ z\n⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z",
"tactic": "obtain ⟨z, hz⟩ := h"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nx : Class\nz : ZFSet\nhz : z ∈ x\ny : ZFSet\nright✝ : ↑z y\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → ↑y ∈ z\n⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = ↑y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z",
"state_before": "case intro\nx y : Class\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → y ∈ z\nz : ZFSet\nhz : z ∈ x\n⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z",
"tactic": "obtain ⟨y, rfl, _⟩ := H z (coe_mem.2 hz)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nx : Class\nz : ZFSet\nhz : z ∈ x\ny : ZFSet\nright✝ : ↑z y\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → ↑y ∈ z\nw : ZFSet\nhxw : x w\n⊢ y ∈ w",
"state_before": "case intro.intro.intro\nx : Class\nz : ZFSet\nhz : z ∈ x\ny : ZFSet\nright✝ : ↑z y\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → ↑y ∈ z\n⊢ ∃ x_1, ↑x_1 = ↑y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z",
"tactic": "refine' ⟨y, rfl, fun w hxw => _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\nx : Class\nz : ZFSet\nhz : z ∈ x\ny : ZFSet\nright✝ : ↑z y\nH : ∀ (z : Class), z ∈ x → ↑y ∈ z\nw : ZFSet\nhxw : x w\n⊢ y ∈ w",
"tactic": "simpa only [coe_mem, coe_apply] using H w (coe_mem.2 hxw)"
}
] | [
1722,
60
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1716,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean | PartENat.withTopEquiv_zero | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "⊢ ↑withTopEquiv 0 = 0",
"tactic": "simpa only [Nat.cast_zero] using withTopEquiv_natCast 0"
}
] | [
701,
58
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
700,
1
] |
Mathlib/Data/Finmap.lean | Finmap.keys_empty | [] | [
234,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
233,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean | Set.image_vsub_prod | [] | [
605,
15
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
604,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Basic.lean | Set.compl_Iic | [] | [
1061,
22
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1060,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean | Finset.max_eq_bot | [
{
"state_after": "case intro\nF : Type ?u.314269\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.314275\nγ : Type ?u.314278\nι : Type ?u.314281\nκ : Type ?u.314284\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nh : Finset.max s = ⊥\nH : Finset.Nonempty s\na : α\nha : Finset.max s = ↑a\n⊢ s = ∅",
"state_before": "F : Type ?u.314269\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.314275\nγ : Type ?u.314278\nι : Type ?u.314281\nκ : Type ?u.314284\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nh : Finset.max s = ⊥\nH : Finset.Nonempty s\n⊢ s = ∅",
"tactic": "obtain ⟨a, ha⟩ := max_of_nonempty H"
},
{
"state_after": "case intro\nF : Type ?u.314269\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.314275\nγ : Type ?u.314278\nι : Type ?u.314281\nκ : Type ?u.314284\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nh : Finset.max s = ⊥\nH : Finset.Nonempty s\na : α\nha : ⊥ = ↑a\n⊢ s = ∅",
"state_before": "case intro\nF : Type ?u.314269\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.314275\nγ : Type ?u.314278\nι : Type ?u.314281\nκ : Type ?u.314284\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nh : Finset.max s = ⊥\nH : Finset.Nonempty s\na : α\nha : Finset.max s = ↑a\n⊢ s = ∅",
"tactic": "rw [h] at ha"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\nF : Type ?u.314269\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.314275\nγ : Type ?u.314278\nι : Type ?u.314281\nκ : Type ?u.314284\ninst✝ : LinearOrder α\ns : Finset α\nh : Finset.max s = ⊥\nH : Finset.Nonempty s\na : α\nha : ⊥ = ↑a\n⊢ s = ∅",
"tactic": "cases ha"
}
] | [
1194,
32
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
1190,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Monoid.lean | Set.image_const_add_Ioc | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "M : Type u_1\ninst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M\ninst✝ : ExistsAddOfLE M\na b c d : M\n⊢ (fun x => a + x) '' Ioc b c = Ioc (a + b) (a + c)",
"tactic": "simp only [add_comm a, image_add_const_Ioc]"
}
] | [
137,
46
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
136,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean | Matrix.map_one | [
{
"state_after": "case a.h\nl : Type ?u.76780\nm : Type ?u.76783\nn : Type u_1\no : Type ?u.76789\nm' : o → Type ?u.76794\nn' : o → Type ?u.76799\nR : Type ?u.76802\nS : Type ?u.76805\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.76812\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : Zero α\ninst✝² : One α\ninst✝¹ : Zero β\ninst✝ : One β\nf : α → β\nh₀ : f 0 = 0\nh₁ : f 1 = 1\ni✝ x✝ : n\n⊢ map 1 f i✝ x✝ = OfNat.ofNat 1 i✝ x✝",
"state_before": "l : Type ?u.76780\nm : Type ?u.76783\nn : Type u_1\no : Type ?u.76789\nm' : o → Type ?u.76794\nn' : o → Type ?u.76799\nR : Type ?u.76802\nS : Type ?u.76805\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.76812\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : Zero α\ninst✝² : One α\ninst✝¹ : Zero β\ninst✝ : One β\nf : α → β\nh₀ : f 0 = 0\nh₁ : f 1 = 1\n⊢ map 1 f = 1",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "case a.h\nl : Type ?u.76780\nm : Type ?u.76783\nn : Type u_1\no : Type ?u.76789\nm' : o → Type ?u.76794\nn' : o → Type ?u.76799\nR : Type ?u.76802\nS : Type ?u.76805\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.76812\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : Zero α\ninst✝² : One α\ninst✝¹ : Zero β\ninst✝ : One β\nf : α → β\nh₀ : f 0 = 0\nh₁ : f 1 = 1\ni✝ x✝ : n\n⊢ f (if i✝ = x✝ then 1 else 0) = if i✝ = x✝ then 1 else 0",
"state_before": "case a.h\nl : Type ?u.76780\nm : Type ?u.76783\nn : Type u_1\no : Type ?u.76789\nm' : o → Type ?u.76794\nn' : o → Type ?u.76799\nR : Type ?u.76802\nS : Type ?u.76805\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.76812\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : Zero α\ninst✝² : One α\ninst✝¹ : Zero β\ninst✝ : One β\nf : α → β\nh₀ : f 0 = 0\nh₁ : f 1 = 1\ni✝ x✝ : n\n⊢ map 1 f i✝ x✝ = OfNat.ofNat 1 i✝ x✝",
"tactic": "simp only [one_apply, map_apply]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.h\nl : Type ?u.76780\nm : Type ?u.76783\nn : Type u_1\no : Type ?u.76789\nm' : o → Type ?u.76794\nn' : o → Type ?u.76799\nR : Type ?u.76802\nS : Type ?u.76805\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.76812\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : Zero α\ninst✝² : One α\ninst✝¹ : Zero β\ninst✝ : One β\nf : α → β\nh₀ : f 0 = 0\nh₁ : f 1 = 1\ni✝ x✝ : n\n⊢ f (if i✝ = x✝ then 1 else 0) = if i✝ = x✝ then 1 else 0",
"tactic": "split_ifs <;> simp [h₀, h₁]"
}
] | [
558,
30
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
554,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean | DifferentiableOn.clog | [] | [
145,
39
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
143,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean | Finsupp.mem_supported | [] | [
201,
10
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
200,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Degree/Definitions.lean | Polynomial.degree_X | [] | [
518,
32
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
517,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Category/Pointed.lean | Pointed.coe_of | [] | [
56,
6
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
55,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean | Submodule.pi_top | [] | [
293,
41
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
292,
1
] |
Mathlib/FieldTheory/Separable.lean | Polynomial.Separable.map | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : CommSemiring R\nS : Type v\ninst✝ : CommSemiring S\np : R[X]\nh : Separable p\nf : R →+* S\na b : R[X]\nH : a * p + b * ↑derivative p = 1\n⊢ Polynomial.map f a * Polynomial.map f p + Polynomial.map f b * ↑derivative (Polynomial.map f p) = 1",
"tactic": "rw [derivative_map, ← Polynomial.map_mul, ← Polynomial.map_mul, ← Polynomial.map_add, H,\n Polynomial.map_one]"
}
] | [
133,
27
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
129,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean | CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso_comp_kernel_map | [
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninst✝³ : Category C\nX Y Z : C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasKernel f'\nsq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk f'\n⊢ (kernelSubobjectIso f).hom ≫\n kernel.map f f' sq.left sq.right\n (_ : (Arrow.mk f).hom ≫ (𝟭 C).map sq.right = (𝟭 C).map sq.left ≫ (Arrow.mk f').hom) =\n kernelSubobjectMap sq ≫ (kernelSubobjectIso f').hom",
"tactic": "simp [← Iso.comp_inv_eq, kernel_map_comp_kernelSubobjectIso_inv]"
}
] | [
187,
70
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
184,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff.lean | contDiffAt_id | [] | [
182,
25
] | 5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad | https://github.com/leanprover-community/mathlib4 | [
181,
1
] |
Subsets and Splits
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