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철학적 연구 방법은 “연구자가 기존 문헌에 대한 숙고를 통하여 서로 다른 관점들을 융합함으로써 이미 연구된 동일 현상이나 행위에 대한 보다 발전된 해석이나 설명을 가능케 해주는 연구 방법”이다.	A Philosophical research method is "a research method that enables a researcher to have a better explanation or interpretation of the same phenomenon or action already researched, by incorporating different views through reviews of existing literature.".
도형의 이름 짓기 활동은 이후 교육과정을 개정할수록 점차 강화되어 2007 개정 수학과 교육과정에서부터는 지도서뿐만 아니라 교과서의 과제로 제시되기 시작하였으며, 2009 개정 수학과 교육과정에서부터는 교육과정 문서에까지 명시되는 수준으로 강화되었다.	The activities listed on the figures were strengthened each time of education course revision, so from the 2007 revision of the math education course, it was suggested not only in the guide books but also in the activities of textbooks, and from the 2009 revision of the math education course, it was even strengthened to be stated on the documents of the education course.
2015 개정 수학과 교육과정에서는 교수-학습 방법 및 유의사항으로 ‘여러 가지 사각형의 성질은 구체적인 조작 활동을 통하여 간단한 것만 다루고, 여러 가지 사각형 사이의 관계는 다루지 않는다’고 제시되어 있다.	The 2015 revised math education course stated, as a caution and method for teaching and learning, "The characteristics of various quadrangles were simply dealt with at the basic level through specific operation activities, but the relationships between various quadrangles are not dealt with.".
이어서 2015 개정 수학과 교육과정의 초등학교 수학 내용 변화에 관하여 확인되는 이 상의 논점들에 대해 관련 문헌의 메타적인 검토를 통해 차기 수학과 교육과정 개정에 시사점을 도출하는 데 목적을 두었다.	Following this, we set goals for finding insights for the next revision of the math education course through meta-review of related literature about such issues as changes in the content of elementary school’s math education course in 2015.
우선, 교수학적 의도 구현의 어려움과 관련된 문제들은 수학과 교육과정에서 학생들이 도형의 이름을 지어보게 하거나, 원주율의 근삿값을 선택하게 하고 있으며, 간단한 사건의 가능성을 확률 직관에 의존하여 구하게 하는 것과 관련되었다.	First of all, problems regarding difficulties of materialization for the intention of teaching and learning are related to activities naming on figures, selecting approximations for circular constants, or calculation of the possibility of a simple event by depending on probability intuition.
교육과정의 개정이 이루어질 때마다 내용 체계의 변화나 유의사항의 보강이 이루어지지만, 언제나 본고와 같이 수학교육 연구자들에 의해 교과의 내적 논리에 따라 그 적절성에 대한 비판적 시각이 학계에서 꾸준히 제기되어 왔다.	Every time of revision for an education course, a supplement of change of contents system or cautions followed, but as always, there were criticisms about its relevance by math education researchers, according to the inner theories of the subject just like this text.
나아가 평균은 단일 집단의 특성을 요약하는 것보다는 여러 집단의 특성을 비교할 때 더 유용하기 때문에, 사회 교과에서는 평균을 비교하거나 변화 추이를 살펴보기 위해 막대그래프와 꺾은선그래프를 활용하는 사례도 다수 제시된다.	Furthermore, an average is more useful when comparing characteristics of various groups rather than summarizing characteristics of only a single group, so actually, there are a few examples of utilizing bar graphs or polygonal line graphs to find out the trend of change or compare averages in some social science subjects.
그렇다면 오히려 수학이 아닌 사회, 과학 등 타 교과에서 평균이 등장할 때 간단한 의미와 구하는 방법 정도만 가볍게 다루는 방안도 고려해볼 수 있으며, 이는 교과 간의 협의가 필요한 문제이다.	If so, lightly learning about the method and meaning of average in other subjects such as society, science, etc., instead of math can be considered, and this needs cooperation between each subject.
그러나 근삿값의 의미나 가치, 활용에 대한 충분한 학습이 이루어지지 않은 상황에서 초등학생들이 ‘상황에 따라 적절하게 선택하여 사용’하는 것은 불가능하다.	But, when an elementary student doesn’t fully learn the meaning, value, or utilization of "estimated value," it is impossible for him or her to use it freely or appropriately depending on various contexts.
이러한 점에서, 현재 적용되고 있는 2015 개정 수학과 교육과정의 초등학교 내용에서 주된 변화가 무엇이었는지 살펴보고, 그 적절성을 검토하는 작업이 차기 수학과 교육과정 개정 작업에 앞서 필요할 것으로 판단된다.	In that sense, there is a need to examine major changes in the content of the 2015 revised math education course for elementary school, and to review its relevance as well, in advance of the next revision of the course.
또한, 평가 방법 및 유의사항을 신설함으로써, 변별을 위해 난해한 문제를 제시하지 않고 학습자의 사고와 역량을 평가하여 학습과 성장을 도울 수 있도록 환류하기 위한 평가 본연의 목적을 구현하고자 하였다.	Furthermore, by adding evaluation methods and cautions, we tried to materialize the original goal of evaluation to promote learning and growth through the evaluation of a student’s thinking ability and capacity without suggesting difficult and hard questions to the student for distinguishment.
본 연구는 김동원 외가 실행한 두 차례의 FGI와 FGD를 통해 도출된 내용상의 쟁점에 몇 가지 이슈를 추가하여, 교육과정에 대한 비판적 주장을 조금 더 문헌에 근거를 두어 제기한 연구이다.	By focusing more on literature, this study added several issues to the content issues raised by FGI and FGD in Kim Dong-won et al. (2020) research to raise criticism on education courses.
2009 개정 수학과 교육과정에서도 자연수의 혼합 계산은 교과서 기준으로 나눗셈의 검산식을 지도한 이후인 4학년 1학기에 편성되어 왔다.	Also, the 2009 revised math education course teaches the mixed calculation of natural numbers only after learning the division check formula, in other words, in 4th grade 1st semester.
속력, 비와 비율, 모두 2015 개정 과학과, 수학과 교육과정 문서상으로는 모두 5~6학년 군에 배정되어 있으나, 국정 교과서 기준으로는 속력이 5학년 2학기, 비와 비율이 6학년 1학기에 편성되어 있다.	A student can learn about speed, proportion, and ratio in the fifth to sixth grade according to the 2015 revised science and math education course, but according to the authorized textbook, he can learn speed in the fifth grade of the second semester, and proportion and ratio in the sixth grade of the first semester.
교육과정 집필진은 성취기준에 제시된 내용을 교수-학습 방법 및 유의사항으로 이동한 것을 ‘완화’로 인식하는 반면, 교과서 집필진과 교사들은 성취기준과 교수-학습 방법 및 유의사항 모두 강제성을 지니는 제약 조건으로 인식한다.	The writing staffs of education courses recognize the moving of contents suggested in "performance standard" to "method and caution for teaching and learning" as "alleviation," but textbook writers and teachers recognize both "performance standard" and "method and caution for teaching and learning" as mandatory limitations.
문제에 따라 3, 3.1, 3.14 중 어느 값을 원주율의 근삿값으로 사용해야 할지를 판단할 만한 기준이 분명하지 않기 때문이다.	It’s because there was no clear standard for judging among values of 3, 3.1, and 3.14 which value should be used for approximation for circular constant in various types of questions.
연구 결과, 2015 개정 수학과 교육과정에서 초등학교 수학 내용은 도형 영역에서 물체의 위치와 방향을 추가한 것과 무게 단위 t이 하향된 것 외에는 모두 삭제 혹은 상향된 것으로 확인되었다.	As a result of the research, it is found that the contents of figure or geometry in the elementary school's 2015 revised math education course, except for adding the object’s position and direction and degrading "t" of weight units, were all deleted or ungraded.
이처럼 내용 범위를 제약하는 문구들은 학교 현장의 자연스러운 교수·학습 장면에서 재구성하여 다룰 수 있는 범위를 제한하여 학생들이 자유롭게 수학적 사고를 확장할 수 있도록 지원하기 어렵게 하는 것으로 판단된다.	As an example, word phrases limiting the contents range can limit the range of unconditional dealing and reconstructing for math in school teaching and learning, making it difficult for a student to freely expand his or her mathematical mind.
마지막으로, 2015 개정 수학과 교육과정의 초등학교 수학 내용 변화에 관하여 확인되는 이상의 논점들에 대해 관련 문헌의 메타적인 검토를 통해 차기 수학과 교육과정 개정에 시사점을 도출하는 데 목적을 둔다.	Lastly, we aim to find insights for the next revision of the math education course through a meta-review of related literature about such issues as the 2015 revised math education course for elementary school.
이외에도 2009 개정 수학과 교육과정과 비교하였을 때 2015 개정 수학과 교육과정에서 변화한 부분은 여러가지가 있으나, 본고에서는 박경미 외에서 각 영역별 독립적인 하위절로 서술한 변화에 한하여 언급하였다.	Besides, the 2015 revised math education course changed a few parts from the 2009 revised math education course, but this text only stated changes limited to what the research of Park Kyung-mi et al.
일반적으로 부피는 ‘입체도형이 차지하는 공간의 크기’를, 들이는 ‘그릇에 담을 수 있는 물체의 양’을 나타내지만, 그릇에 담은 물체는 일정한 크기의 공간을 차지하고 있기 때문에 일상에서 들이와 부피는 혼용된다.	In general, "volume" refers to "the amount of space occupied by a three-dimensional figure," and "capacity" refers to "the quantity of an object in a bowl," but because an object in a bowl already occupies a specific volume, volume and capacity units can be confusing.
그러나 교과서 집필진 및 교사들은 교육과정 문서 내 교수.학습 방법 및 유의사항에 대해 강제성을 띤 규제로 인식하기 때문에, 사각형의 포함 관계는 ‘절대 지도해서는 안되는 것’으로 여겨지게 되었다.	But, the writing staff of textbooks and teachers recognize the method and caution of teaching and learning in the documents of education course as regulation which is compulsory, so naturally, that’s why the relation of inclusion in quadrangles was regarded as a part "which shouldn’t be learnt.".
또한, 실생활 중심의 통계 내용 재구성과 도형의 이름 짓기 및 원주율의 다양한 근삿값 취급 등과 같은 내용 변화는 교수ㆍ학습 방법 및 유의사항의 수정을 통해 이루어진 것으로 확인되었다.	It is also discovered that changes in contents, such as the reconstruction of statistics contents toward real life, naming on figures, and dealing with various approximation values for circular constants, were brought about by changes in the method and caution of teaching and learning.
공간 감각은 말 그대로 ‘감각’을 익히는 것이기에 꾸준한 경험을 통해 신장할 수 있어야 하므로, 전 학년군에 걸쳐 공간 감각과 관련된 내용 요소와 성취기준을 유기적으로 마련할 필요가 있다.	Since "space sense" literally is to learn "a sense," it needs constant and long-term experience to develop, so systematic content elements and performance standards related to the space sense are needed for all grades of students accordingly.
조기 대수와 공간 감각의 지도는 특정 단원의 편성만으로 해결될 수 있는 문제가 아니므로 이를 위한 별도의 성취기준을 마련하는 방식보다는 기존의 성취기준을 보완하는 방안을 마련해보는 것이 필요하다.	Teaching "early algebra" and "space sense" is not available only by including related specific chapters, so supplementing existing performance standards is recommended instead of making a new performance standard.
또한, 교수학적 구현 측면에서는 교육 과정 문서의 의도가 교과서에 온전하게 구현되지 못하거나 학습자의 확장적인 사고를 차단하는 사례가 확인되었다.	Also, regarding materialization of teaching and learning, some cases showed that the initial intention of documents of education courses wasn’t wholly reflected in the textbooks, or that some textbooks prevented a student from expanding their mathematical mind.
구체물을 일정한 개수씩 묶는 행위는 바로 나눗셈을 학습하는 과정에서 이루어지며, 2015 개정 수학과 교육과정에서 나눗셈은 3~4학년군에 배정되어 있다.	Grouping concrete objects by a certain number is available in the very course of division learning, and the 2015 revised math education course assigned this part in third and fourth grade.
또한, 측정 영역에서도 [그림 3]의 오른쪽처럼 표준 단위에 대한 감각과 사물에 대한 양감을 길러주기 위한 목적으로 정밀한 측정뿐만 아니라 어림 활동이 함께 강조되고 있다.	Also, the contents about measuring size emphasize both detailed measures and estimated measures to develop a sense of standard unit and a sense of quantity, just like the right side of [Picture 3].
사각형의 포함 관계는 평가 기준으로 삼지 않는 정도로 완화하고, 대응 관계 또한 식으로 나타내는 것이 아닐 때는 적어도 일차함수 꼴까지 다룰 수 있도록 열어놓을 필요가 있다.	Regarding the relation of inclusion in quadrangles, performance standards need to be eased in order to not include the part. Also, the corresponding calculation needs to have openness so that in the case of not making its calculation, a student can learn up to the form of a linear function.
이 역시 과학 교과와의 위계가 상충되는 부분이며, 초등학생들이 교과별로 다소 모순되어 보이는 내용을 학습하여 혼란을 겪지 않도록 교과간의 협의를 통한 용어와 단위의 조정이 필요할 것으로 보인다.	This too, confronts with the hierarchy of science subjects, so, by consultation between subjects, the modification of units and terms needs to be made, so that an elementary student doesn’t suffer confusion of contradiction between each subject.
교육과정 문서의 문제는 아니지만, 그동안 전통적으로 수학 교과서에서 사용해 온 그래프의 틀이 타 교과에서 제시되는 틀과 이질적이라는 것 또한 문제로 지적할 수 있다.	It is not a matter of documents, of course, but it will be criticized as a problem in that the shape of graphs, which have traditionally been used in math textbooks, is much different from other subjects.
그러나 2015 개정 수학과 교육과정에서는 교수-학습 방법 및 유의사항으로 ‘두 양의 대응 관계는 덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만 다룬다’고 명시되어 있다.	But, as the 2015 revised math education course stated, as the method and caution of teaching and learning, "Corresponding calculation of two positive numbers simply deals with only limited the case of its having only one operation mark among addition, subtraction, multiplication, and division.".
본 연구에서는 2015 개정 수학과 교육과정의 초등학교 수학 내용 변화에서 확인되는 주요 쟁점들을 살펴보고, 이에 대해 수학 내적, 외적 및 교수학적인 관점에서 비판적으로 분 석했다.	This research examined major issues of changes in content in the 2015 revised math education course for elementary school and critically analyzed them from the perspective of internal and external math and teaching and learning.
교과의 내적 논리 대신 외적인 압력과 권위에 의존하는 교육과정의 개정은 권위 간의 서로 다른 목소리 앞에서 원칙을 잃고 딜레마에 봉착할 수 있음을 그간 경험해왔다.	Each revision of an education course, dependent on outside pressure or authority rather than internal theory of the subject, has had the experience of having a dilemma between confronted authorities so far.
즉, 교육과정에 제시된 내용 지식의 체계와 유의사항으로 제시된 문구를 대상으로 한 문제의식에 기반을 두되, 그 근거를 교과서 사례와 선행연구에 두어 주장의 합당함을 문헌으로 뒷받침하고자 한다.	Thus, we basically try to be based on critical thinking about the knowledge systems of contents in the education course and words and phrases in the caution section, and also support our argument’s legitimacy with literature such as examples of textbooks and preceding research.
이어서, 이러한 논점들에 대해 교과서 및 관련 문헌을 바탕으로 한 메타적인 검토를 진행 하고 이것이 수학적, 혹은 교수학적인 논리를 갖춘 합당한 문제제기인지에 대해 분석한다.	Following that, we conduct a meta-review of such issues using textbooks and related literature to determine whether our argument is justified and has appropriate mathematical and teaching and learning logic grounding.
비와 비율에 대한 학습이 이루어지지 않은 상태로 속력을 학습할 경우, 시간에 대한 거리의 비율로서 속력 개념을 이해하기보다는 ÷이라는 계산 방법에만 주목하게 될 우려가 있다.	If a student learns about "speed" before learning about "proportion and ratio," then he or she might not understand the concept of speed related to a proportion of distance to time and instead might focus only on the calculation formula itself (distance) ÷ (time).
액체나 기체와 같이 형태가 고정되지 않은 유체는 구적법을 이용하여 부피를 측정하는 것이 어렵기 때문에 초등학교 3~4학년군에 서는 이를 나타내는 또 다른 일상용어로서 들이를 사용한다.	In the case of fluids which don’t have a regular form, such as liquid or air, it is hard to measure their volume, so instead, students in third to fourth grade learn the volume with another term, "capacity.".
구체적으로 차기 수학과 교육과정 개정의 주요 변화는 크게 교과 역량, 내용 재구조화, 교수ㆍ학습 방법 및 평가의 방향 재구조화로 나눌 수 있다.	Concretely, major changes in the next revision of the math education course can be approximately divided into "Subject capacity," "Contents Reconstruction," and "Reconstruction of Method and Evaluation of Teaching and Learning.".
이러한 점에서 지금까지 여러 차례 이루어진 수학과 교육 과정 개정 작업에서는 수학 내용을 어떤 방식으로 재구조화할 것인지가 쟁점이 되어 왔다.	In this sense, the matter of "How the contents of math will be reconstructed" has been debated in each revision of the math education course so far.
본 연구는 2015 개정 수학과 교육과정에서 초등학교 수학의 주된 내용 변화를 알아보고, 이에 대해 현장에서 어떤 관점을 가졌는지, 추가로 어떤 논점을 제시했는지 살펴보았다.	This study examined major changes to the 2015 revised math education course in elementary school, and the perspectives of each school and issues raised in school about them as well.
교과서의 검정 기준과 선행학습 금지 원칙, 그리고 이를 보수적으로 해석할 수밖에 없는 출판사들의 경제적 상황 등도 교육과정 개정을 둘러싼 또 다른 외적 권위이다.	The authorization standard for textbooks, the ban of preceding study for schools, and the financial condition of publishing houses, which inevitably have to reflect such points as conservatively as they can, are all another external authority against revision of education courses.
백대현 또한, 홀수와 짝수의 지도가 초등학교 수준에서 비형식적인 수준의 언급으로만 마무리되는 것에 대한 우려와 함께 나눗셈을 이용한 형식적인 정의 도입의 필요성을 강조하고 있다.	Baek Dae-hyun (2021) also expressed concern about the fact that elementary schools simply teach "odd number" and "even number" at an informal level, and emphasized the importance of newly using the formal definition of two numbers by utilizing the division formula.
또한, 수학 교과 외적인 위계와 관련된 문제들은 주로 과학이나 사회과에서도 함께 다루는 용어나 그래프의 사용 방식 혹은 도입하는 시기의 차이와 주로 관련되었다.	Also, problems regarding the external hierarchy of math subjects were related to the differences related to learning periods or use of terms and graphs, which are commonly learned in science or social science subjects as well.
들이는 일상에서 부피보다 훨씬 낯선 용어이기 때문에, 오히려 부피라는 용어를 사용하면서 일상에서의 부피 개념과 입체도형의 부피 개념을 분명하게 지도하는 것이 필요해 보인다.	The unit of capacity is a much more unfamiliar term than "volume" in daily life, so teaching about the concept of volume in life and three-dimensional figures more clearly by using the unit of volume directly is recommended.
학습자의 사고 확장 기회를 제약할 수 있는 부분으로는 사각형의 포함 관계, 대응 관계, 조기 대수 및 공간 감각 지도와 관련된 내용이 확인되었다.	It is found that examples of parts of contents, which can limit a student’s opportunity to expand their mathematical mind, are such as "the relation of inclusion in quadrangles," "the corresponding calculation," "early algebra," and "space sense.".
이를 바탕으로 차기 수학과 교육 과정 개정 과정에서는 교육 과정 문서의 내적 완결성을 기하고 외적 권위를 완화할 필요가 있음을 제언한다.	Based on that, we suggest that pursuing internal completion of education course documents and relieving external authority for the next revision of the math education course is recommended.
홀수와 짝수는 일상에서 자주 사용되는 개념이므로, 오히려 나눗셈 단원에서 홀수와 짝수를 지도하면서 대수적 구조를 충실히 다루는 방안도 고민해 볼 수 있다.	"Odd number" and "even number" are commonly used concepts in daily life, so teaching odd numbers and even numbers with algebraic structure together in the division chapter can be considered.
게다가 막대그래프와 꺾은선그래프는 3~4학년군에서 다루고 있기 때문에, 막대그래프와 꺾은선그래프에서 평균을 소재로 다룰 수 없어 그래프의 필요성을 강조하는 데 제약이 존재한다.	In addition, a student learns a bar graph and a polygonal graph in third and fourth grade, which doesn’t let them learn about the concept of "average" yet, so there is a limitation to emphasizing the importance of the graph itself to them.
그러나 수학적 사고 및 의사소통과 같은 과정적 측면이 강조됨에 따라 제7차 수학과 교육과정에서 처음으로 도형의 이름 짓기 활동이 지도서에 제시되기 시작하였다.	However, as parts related to the process itself rather than the result, such as mathematical mind and communication skills, became emphasized, the seventh revised math education course first started to suggest "naming on figures" in the guide book.
그러나 근삿값에 대한 충분한 지도 없이 다양한 근삿값을 제시함으로 인해 원주율의 상수성에 대한 이해를 오히려 더 어렵게 만들 소지가 발생한 셈이다.	However, it has the potential to make a student harder to properly learn the approximation value of a circular constant in the situation that suggests various approximation values without enough teaching about the concept of approximation value.
이는 일상에서 위치, 방향과 같은 공간 감각이 초등학교 수학에서 충실히 다루지 않았던 데 대한 반성에서 비롯된 변화이다.	It’s because of their self-reflection about the fact that elementary school math education didn’t fully teach about spatial senses such as location and direction in daily life.
먼저, 2015 개정 수학과 교육 과정에서 초등학교 수학의 주된 내용 변화와 함께 현장 실태 분석 과정에서 도출된 주요 논점을 확인한다.	First, we will look into major changes in content in the 2015 revised math education course for elementary school as well as major issues from the analysis process about the current status of schools.
2015 수학과 교육과정에서는 3~4학년군에서 들이를 표현할 때 부피 단위인 L, mL를 사용하며, 5~6학년군에서는 부피를 나타내는 단위로서 ㎤, ㎥를 도입한다.	The 2015 revised math education course used the units of volume "L" and "mL" for expressing the unit of capacity in third and fourth grade, and introduced "㎤" and "㎥" as volume units in fifth and sixth grade.
초등학교 수학과 교육과정 중 도형 영역에서 개념을 학습하려면 주변 사물에서 해당 개념의 본질이 될 만한 속성을 추상화할 수 있어야 한다.	An elementary school math education course should make a student learn how to abstract surrounding objects’ fundamental properties into a concept when learning the concept of figure or geometry.
이들은 대부분 수학과 교육과정에서 성취기준의 수학 내용을 특정한 범위 내에서 혹은 특정한 방식으로만 다루도록 하는 여러 가지 제약 문구와 관련되었다.	These were mostly related to various limiting words and phrases dealing with learning the contents of performance standards in the math education course only in a specific way.
이로 인하여, 초등학교 수학과 교육 과정의 내용 변화에서도 다양한 논점이 확인되었음에도, 이에 관한 논의가 충분히 이루어지지 못하고 있다.	Because of this, despite discussions about various issues having been raised by changes in content in the elementary school math education course (Dongwon Kim et al., 2020), there is still not enough related discussion.
이는 초등학교 수준에서 가능성을 수로 나타내는 것은 어디까지나 확률 직관에만 의존하는 것으로 한정지었음을 드러내는 것이다.	This demonstrates that at the elementary student level, expressing possibility with a number was limited to only about probability intuition.
즉, 경우의 수를 고려해야 하는 경우를 배제하겠다는 교육과정 문서의 의도에 맞지 않는 모순적인 소재가 교과서에서 활용되고 있는 것이다.	In other words, textbooks continue to use content that is somewhat contradictory to documents of education courses that announced the removal of the contents of "number of cases" in the chapters.
속력 개념은 수학과에서 비와 비율을 지도할 때 과학과에 서 앞서 다뤘던 속력의 의미를 더 충실히 다루는 방안을 모색해야 한다.	Regarding the concept of “speed,” it needs to more fully deal with the meaning of “speed” taught in the science subject when learning “proportion and ratio.”.
이는 지구의 중력장 내에서 무게와 질량이 일치하기 때문에 일상 용어로서 무게와 질량을 구분하지 않고 다루고 있는 것으로 보인다.	It’s because since "weight" and "mass" are always the same in the Earth’s gravity field, it seems that it doesn’t distinguish between the concepts of weight and mass.
장기적으로는 초등학교 5학년에서 처음으로 가능성을 지도하고, 중학교 2학년에서 바로 확률 개념을 도입하는 분절적인 교육과정 체제를 재고할 필요가 있다.	In the long term, improving to a more segmental education system, such as starting to first teach "possibility" in the fifth grade of elementary school and introducing the concept of "probability" in the second grade of middle school, is needed.
구체적으로, 수학 내용 지식 위계 측면에서는 수학 내적인 위계나 타 교과와의 위계가 맞지 않는 부분들이 존재하였다.	More specifically, regarding the knowledge hierarchy of math education contents, there were contents that did not correspond with the internal hierarchy of math or the hierarchy of other subjects.
이 중, 수학 내외적 위계의 문제는 대체적으로 최근 수학과 교육과정의 학습 내용 감축 경향과 관련이 있어 보인다.	Among these, the problem of internal or external hierarchy in math seems to be generally related to the trend of reduction of learning content in recent math education courses.
이는 오히려 수학과 교육과정에서 다루는 통계 그래프가 일상에서의 통계 그래프와는 별개인 것처럼 인식케 할 우려가 있다.	This is worrying because it can make a student recognize statistics graph learned in math education course is totally different from statistics graph used in daily life.
그 중에서도 대개는 자연수, 분수, 소수의 사칙 계산의 원리와 알고리즘을 익히는 것이 주 된 비중을 차지한다.	Among these, most are generally related to learning the principles and algorithm of the four fundamental arithmetic operations: natural number, fraction, and decimal number.
그러나 5~6학년군에서는 등호의 관계적 의미, 즉 좌변과 우변 사이의 관계를 나타내는 구조적인 의미를 이해할 필요가 있다.	But, a student in fifth and sixth grade needs to learn the relational meaning of "equal sign." In other words, its structural meaning informs the relationship between the left and right side of the equation.
예를 들어, 약수와 배수를 학습할 때는 학생들이 식을 계산 절차가 아닌 대수적 구조로 바라보는 안목이 요구된다.	For example, when learning "division" and "multiple," a student needs to learn discernment that deals with an equation as an algebraic structure rather than just a calculation process.
통계 그래프의 지도 시기는, 적어도 막대그래프는 매우 직관적이기 때문에 3학년 수준에서 지도하는 방안을 고려할 필요가 있다.	Because a bar graph, for example, is highly intuitive, a plan to teach statistics graphs beginning in third grade should be considered.
또한, 일상에서 무게를 나타내는 단위로서 kg, g을 사용하지만 과학적으로 엄밀히 말하면 이는 질량을 나타내는 단위이다.	Also, on average, "kg" and "g" are used for expressing weight, but more accurately, from the scientific perspective, those are units used for mass.
이상에서 분석한 바와 같이 ‘즐거운 생활’ 과에서는 시간과 공간에 따라 주제를 선정하여 각 주제별 ‘바른 생활’, ‘슬기로운 생활’과와의 연계성을 고려하여 표현 놀이 중심의 활동을 전개할 수 있도록 내용 요소를 개발하였다.	As above, for the "pleasant life" subject, themes were selected according to various times and spaces, and content elements were developed to proceed activities focused on expressing plays, considering the connection with each theme of "disciplined life" and "wisdom for life" subjects.
‘즐거운 생활’과의 시간의 흐름에 따른 ‘봄, 여름, 가을, 겨울’ 주제에는 총 11개의 국악 제재가 수록되어 있고, 공간의 확장에 따른 ‘학교, 가족, 이웃, 나라’ 주제에는 총 12개의 국악 제재가 수록되어 있다.	In the subject "pleasant life," a total of 11 contents of Korean traditional music were included in themes "Spring, Summer, Fall, and Winter" according to the flow of time, and a total of 12 contents of Korean traditional music were included in themes "School, family, neighbor, or country" according to the expansion of space.
차기 교육과정에서의 국악 활용을 위한 논의를 활성화하고, 통합교과 내에서의 국악 교육의 방향을 개진하기 위해서는 ‘즐거운 생활’과 교육과정 구현에 나타난 국악 활용의 문제와 개선 방안에 관심을 기울여야 할 것으로 생각된다.	It is advised to concentrate more on the issue of utilization of Korean traditional music and its improving method to be materialized in the subject "pleasant life" to activate discussions about it for the next education course and to enhance the direction of incorporated subjects for Korean traditional music.
이러한 양상을 통해 ‘즐거운 생활’ 과에서는 주제 학습과 국악 곡과의 직.간접적인 관련성을 중요하게 고려하였으며, 주제 학습 내용을 직관적으로 파악할 수 있게 하는 데 중점을 두고 통합교과서를 개발하였음을 알수 있다.	Through this trend, it is found that incorporated subject textbooks were developed, considering direct or indirect relevance between Korean traditional songs and theme learnings in the subject "pleasant life," so that a student could intuitively understand the contents of theme learnings.
특히 주제 학습 내용과의 관련성, 직관적으로 주제 학습을 이해할 수 있는 국악 곡의 선정을 일차적인 문제로 고려하게 되면, 활용할 수 있는 국악 제재의 폭은 더 좁아지게 되는 문제가 있다.	Particularly when considering the selection of Korean traditional songs based primarily on their relevance to the contents of theme learning or their availability to intuitively represent theme learning, a problem that the range of utilizing Korean traditional music may arise.
국악 곡과 활동의 관련성이 부족하고, 국악 곡이 교과 연계 학습에 제대로 활용되지 못한 현상은 하나의 주제를 중심으로 통합적 활동을 연계하고자 한 통합교과의 목적에 부합하지 못한 사례라 할 수 있다.	A phenomenon that lacks relevance between Korean traditional songs and their activities, or a Korean traditional song that is not utilized well in the subject sequential learning, is an example of not fulfilling the goal of incorporated subjects, which is to connect each incorporated activity focused on one theme.
따라서 국악 활동을 통해 학생들이 함양할 수 있는 교과 역량이 무엇인지에 관심을 가지고, ‘즐거운 생활’과의 교과 역량 지도에 국악을 적극적으로 활용할 수 있게 하는 방안을 마련할 필요가 있다.	Therefore, it is needed to take care of what subject capacity Korean traditional music-related activities can be fostered for a student, and to prepare a method to actively utilize Korean traditional music in the subject capacity guidance of "pleasant life.".
이러한 내용 요소를 지도함에 있어 풍물놀이를 통해 지식과 기능, 태도를 학습할 수 있게 교과 연계 학습을 조직한다면, 놀이하기 또는 소리 구별에만 한정된 풍물놀이의 활용 범위를 넓힐 수 있을 것이다.	If sequential learning is organized to learn knowledge, function, or attitude of such content elements using Pungmulnori, the subject's range of utilizing Pungmulnori, which is currently limited to "Play" or "Distinguish its sounds," can be expanded further.
따라서 수업 활동과 교과 역량의 관계성을 일대일대응 관계로 설정하기는 어려울 수 있으나, 국악 활동을 어떤 방향으로 조직해야 ‘즐거운 생활’과의 교과 역량을 효과적으로 지도할 수 있는가에 대한 문제의식은 필요하다고 본다.	Therefore, although setting the relation between class activity and subject capacity as a 1:1 ratio could be difficult, at least an awareness of the problem needs to be made about how to organize Korean traditional music-related activities to effectively teach the subject capacity of "pleasant life.".
앞서 분석한 바와 같이, 통합교과서의 전래동요 관련 활동은 주제 학습을 위한 방법과 수단에 한정되어 있고, 학생들이 실생활에서 스스로의 놀이문화를 향유할 수 있게 하는 본질적인 방향성은 투영되지 못한 한계가 있었다.	As above, in incorporated subject textbooks, activities related to traditional children’s songs were only limited to methods or means for theme learning, so it had a limitation of not reflecting the fundamental direction for a student to voluntarily play and enjoy "play cultures" by themselves in their daily lives.
국악 곡과 주제 학습의 관련성, 적합성을 고려해야 하고, 표현 놀이 중심의 교과 성격을 교수.학습에 구체화하기 위해 ‘표현하기, 놀이하기, 감상하기’ 기능에 따라 국악 활동을 조직하는 작업이 따르게 된 것이다.	It made some tasks that needed to consider the relevance and suitability of Korean traditional songs and themes and to organize Korean traditional music-related activities according to functions "expressing, playing, and appreciating," to actualize the expression play-focused characteristic of the subject into teaching and learning.
교육과정에는 표현 활동의 의미를 직접적으로 정의해 놓지 않았으나, 평가 항목에 제시된 내용에 의하면 ‘즐거운 생활’과의 ‘표현하기’는 ‘노래, 이미지, 움직임, 놀이 등 다양한 방법으로 표현하는 활동’임을 짐작할 수 있다.	Although the education course didn’t state the meaning of "expression activity" directly, according to the contents of each evaluation section, it is assumed that "expression" in the subject "pleasant life" means an activity of expression in various ways, such as "singing, image, moving, play, etc.".
친구와의 놀이 활동, 가족 역할 놀이, 이웃 모습과 생활을 표현하는 활동 등을 통해 학교, 가정, 마을이라는 공간에서 이루어지는 인간관계를 학습할 수 있게 내용 요소를 제시한 것이 대표적인 예이다.	Suggesting content elements to learn relationships in spaces such as school, family, and town through "play activities with friends," "family role play," and "activities to express neighbors' image and lives" are some of the representative examples.
‘슬기로운 생활’ 과에서 ‘남북한의 생활 모습과 문화’를 탐구하고 ‘즐거운 생활’ 과에서 이와 관련하여 놀이를 전개하거나, 표현 활동을 제시함으로써 통일에 대한 학생들의 가치관과 태도를 기르는 데 중점을 두고 있다.	The subject "wisdom for life" explores "lives and cultures of North and South Korea," and the subject, "pleasant life" suggests related expression activity, or has a related play to focus on cultivating a student’s value and attitude toward the reunification of South Korea and North Korea.
그러나 국악 제재의 성취기준 구현 양상을 분석한 결과, ‘다리 빼기’를 제외한 나머지 국악 제재들은 ‘즐거운 생활’과 교육과정 성취기준에 한정되어 활용되고 있음을 알 수 있었다.	However, as a result of analysis of materialization of performance standards in Korean traditional music, all contents except "Pull a Leg" were limited only to the performance standard of the educational course subject, "pleasant life," when utilized.
이와 같은 활동들은 표현 놀이 활동으로서의 적절성은 갖추었다고 할 수 있겠지만, 전래동요 학습을 통해 학생들은 무엇을 할 수 있게 될 것인가에 대한 교육의 방향성이 드러나지 않은 아쉬움이 있다.	It is discouraging that although such activities have suitability as an expression play activity, they don’t reflect the direction of education well for Korean traditional children’s songs toward what a student learns from them.
따라서 국악을 활용하여 교과 연계 수업을 조직하기 위해서는 타 교과의 특성을 고려해야 하며, 타 교과와 ‘즐거운 생활’과의 관계에서 국악은 어떤 역할을 할 수 있을 것인지 생각해볼 필요가 있다.	As a result, in order to organize subject-integrated classes with Korean traditional music, we must first consider the characteristics of other subjects, and then consider what role Korean traditional music can play in the relationship between the subject "pleasant life" and other subjects.
특히 전래동요를 통해 옛 아이들이 어떠한 놀이문화를 향유하였는가를 예상해보고, 이를 바탕으로 자신의 실생활과 연계하여 새로운 노래와 놀이를 만들어 나갈 수 있게 하는 관점이 투영되지 않은 문제가 있다.	In particular, it is worrying that it doesn’t have a perspective that estimates what kinds of play cultures children enjoyed and played in the past through Korean traditional children’s songs and, accordingly, makes new songs and plays connected to real life.
전통사회에서 불린 전래동요나 민요 노랫말에 비추어 현대 학교 교육에서 설정한 주제 학습과의 적합성을 따진다면, ‘즐거운 생활’과의 주제 학습에 직접적으로 관련성을 지니는 곡은 몇 곡에 불과할 것이다.	According to the lyrics of traditional children's songs and traditional folk songs in traditional society, only a few songs would be appropriate for the theme learnings established by contemporary school education.
이러한 방법은 각 교과의 차시별 수업 내용이 분절적으로 이루어지는 것의 한계를 보완하면서, 각 교과에서 다루는 지식과 기능, 태도를 국악 제재를 활용하여 지도할 수 있는 방안이 될 것이다.	Such methods can be a way to supplement the limitation of segmentation of class contents in each subject and teach knowledge, function, and attitude in each subject by utilizing Korean traditional music.
이를 위해서는 ‘즐거운 생활’ 과에서 국악을 통해 학습할 수 있는 내용 요소를 추출하고, 국악 활동과 타 교과 활동 간의 공통적 요소를 선정하는 등의 작업이 선행되어야 할 것이다.	For this, first preparations, such as extracting content elements to learn with Korean traditional music in the subject, "pleasant life," and selecting common elements between Korean traditional music activities and other subjects' activities, need to be done in advance.
‘즐거운 생활’과의 주제 학습과 직접적인 관련이 없는 상황에서도 이러한 경험을 할 수 있도록 학교생활 전반에서 전래동요를 접할 수 있는 빈도와 가능성을 높이는 데 중점을 둘 필요가 있다.	Increasing the frequency and possibility of listening to traditional children’s songs in overall school life for a student to experience such things, even when in an irrelevant situation with the theme learning of the subject, "pleasant life," needs to be focused on.
통합교과서의 국악 제재를 통해 주제 학습의 효과성을 높이고 저학년 학생들의 국악 경험의 질을 높이기 위해서는 ‘즐거운 생활’과 교육과정의 방향성 내에서 국악 활용 제고 방안을 마련할 필요가 있다.	A method to improve the utilization of Korean traditional music within the direction of education course needs to be prepared to improve a lower grade student’s quality of Korean traditional music experiences and to improve the effect of theme learning through incorporated subject textbooks’ Korean traditional music contents.
차기 교육과정에서 통합교과서에 교과 역량을 구현하는 방식이 변화되더라도, 국악 제재의 특성 및 활동 내용을 고려하여 교과 역량에 따른 국악 활동을 재구성함으로써 교과 역량과의 관계성을 높일 필요가 있다.	Even if methods of materialization of subject capacity in the next education course incorporate textbook change, the relationship with subject capacity needs to be improved by reconstructing Korean traditional music activities according to subject capacity, considering the activity contents and characteristics of Korean traditional music content.
이러한 주제 학습은 학생들이 어떠한 시간적 배경에 살고 있는지 인지하고, 각 계절의 특징과 생활 방식 등을 탐구하여 표현해 보게 함으로써 일상 경험과의 관련성을 높이기 위한 방안이다.	Such theme learning is a method to improve the relevance of daily life experiences through a student’s recognition of timing background (season) and exploration of characteristics and methods of living for each season.
‘눈송이’를 듣고 몸으로 표현해 보면서 창의적 사고 역량을 함양할 수 있게 하였으며, ‘소리개 떴다’를 통해 겨울 철새인 ‘솔개’를 알아보고, 동물의 울음소리와 움직임을 흉내 내보는 활동을 제시하였다.	It suggested activities such as expressing with body motion listening to the song "snowflakes" to cultivate a student’s creativity mind, exploring the kite, which is one of the migratory birds, through "a kite comes" and imitating animal sounds and their motions.
‘길로 길로 가다가’를 통해 꼬리 잇기 놀이를 하면서 이웃과의 관계성을 학습할 수 있게 하였으며, ‘꿩 꿩 장 서방’의 노랫말을 바꾸면서 이웃의 모습을 표현할 수 있게 하였다.	It enabled a student to learn about the relationship with neighbors through "a play to connect tails of the group" through the song, "On the Way to the Road," and to express the neighbor’s images by changing the lyrics of the song, "phe, phe, pheasant.".
‘대문 놀이’는 ‘가족-다양 한 가족’ 주제와 직접적인 관련이 없지만, ‘집 안팎의 모습 표현하기’의 성취기준을 구현함에 있어 ‘대문’이 집의 구조에 해당되기 때문에 제재 곡으로 선정, 활용된 사례이다.	The song, "Gate Play," was not directly related to the theme, "family-various family," but "gate" in the play was related to the structure of "house" to materialize the performance standard of "expressing inside and outside of the house," so it was also selected and utilized as the contents of the theme.
이를 고려할 때, 교과서에 수록된 국 악 제재는 교과 연계 학습을 위한 소재로 활용되거나 주제 학습 모형을 구현하는 매개로서 그 역할을 할 것으로 기대할 수 있다.	Considering this, the role of Korean traditional music content can be utilized by utilizing Korean traditional music as a content for subject-integrated learning or as a bridge to materialize a theme learning model.
학생들이 실생활 속에서 무언가를 관찰하거나 바라면서, 또는 자신을 표출하고 공감하면서, 노래와 놀이가 하나가 되어 그들의 놀이문화를 갖게 할 수 있는 전략은 드러나 있지 않은 한계가 있다.	There is an unrevealed limitation of a strategy that a student can have in their play culture by combining songs and plays as one, through observing or looking at an object, expressing him/herself or empathizing.

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